Elementy analizy matematycznej sprawdzian

Elementy analizy matematycznej

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (7 pkt)

Zbadaj istnienie asymptot (poziomej, pionowej i ukośnej) wykresu funkcji $g(x) = \dfrac{2x^2 - 4x}{x}$ oraz napisz równania tych, które istnieją.

Wskazówki:

Wyznacz dziedzinę funkcji – mianownik ułamka musi być różny od zera. Punkty nienależące do dziedziny są jedynymi kandydatami na asymptoty pionowe.
Asymptota pionowa $x = x_0$ istnieje tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z granic jednostronnych w punkcie $x_0$ jest niewłaściwa (dąży do $+\infty$ lub $-\infty$). Jeśli granica jest skończona, funkcja ma w tym punkcie punkt nieciągłości usuwalnej (lukę w wykresie), a nie asymptotę pionową.
Asymptotę poziomą wyznacza granica funkcji przy $x \to \pm\infty$. Jeśli granica jest nieskończona, asymptota pozioma nie występuje.
Równanie asymptoty ukośnej ma postać $y = ax + b$, gdzie współczynniki wyznaczamy ze wzorów granicznych: $a = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{g(x)}{x}$ oraz $b = \lim\limits_{x \to \pm\infty} [g(x) - ax]$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie dziedziny i uproszczenie wzoru funkcji:
Mianownik ułamka musi być różny od zera: $$x \neq 0$$ Zatem dziedziną funkcji jest zbiór: $$D = \mathbb{R} \setminus \{0\} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$$ Dla każdego argumentu $x \in D$ (czyli dla $x \neq 0$) możemy wyłączyć wspólny czynnik $x$ przed nawias w liczniku i uprościć ułamek: $$\begin{aligned} g(x) &= \dfrac{2x^2 - 4x}{x} \\[8pt] &= \dfrac{x(2x - 4)}{x} \\[8pt] &= 2x - 4 \quad \text{dla } x \neq 0 \end{aligned}$$ Wykres funkcji $g(x)$ to prosta o równaniu $y = 2x - 4$ z wyłączonym punktem odpowiadającym argumentowi $x = 0$.
Badanie istnienia asymptot pionowych:
Jedynym punktem brzegowym dziedziny, w którym mogłaby pojawić się asymptota pionowa, jest punkt $x = 0$.

Obliczamy granice jednostronne funkcji przy $x \to 0$: $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} g(x) &= \lim_{x \to 0^-} (2x - 4) = 2 \cdot 0 - 4 = -4 \\[8pt] \lim_{x \to 0^+} g(x) &= \lim_{x \to 0^+} (2x - 4) = 2 \cdot 0 - 4 = -4 \end{aligned}$$ Obie granice jednostronne są skończone (właściwe) i równe $-4$. Żadna z granic nie dąży do $+\infty$ ani do $-\infty$.

W punkcie $x = 0$ wykres posiada jedynie punkt nieciągłości usuwalnej (tzw. dziurę w punkcie $(0, -4)$). Oznacza to, że wykres funkcji nie posiada asymptoty pionowej.
Badanie istnienia asymptot poziomych:
Asymptota pozioma $y = c$ istnieje, gdy granica funkcji przy $x \to +\infty$ lub $x \to -\infty$ jest liczbą skończoną.

Obliczamy granice w nieskończonościach: $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} g(x) &= \lim_{x \to +\infty} (2x - 4) = +\infty \\[8pt] \lim_{x \to -\infty} g(x) &= \lim_{x \to -\infty} (2x - 4) = -\infty \end{aligned}$$ Ponieważ obie granice są niewłaściwe, wykres funkcji nie posiada asymptoty poziomej.
Badanie istnienia asymptot ukośnych:
Szukamy prostej o równaniu $y = ax + b$, będącej asymptotą ukośną przy $x \to +\infty$ oraz $x \to -\infty$.

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy $a$: $$\begin{aligned} a &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{g(x)}{x} \\[8pt] &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x - 4}{x} \\[8pt] &= \lim_{x \to \pm\infty} \left(2 - \dfrac{4}{x}\right) = 2 - 0 = 2 \end{aligned}$$ Współczynnik $a = 2 \neq 0$ jest skończony, zatem wyznaczamy wyraz wolny $b$: $$\begin{aligned} b &= \lim_{x \to \pm\infty} [g(x) - ax] \\[8pt] &= \lim_{x \to \pm\infty} [(2x - 4) - 2x] \\[8pt] &= \lim_{x \to \pm\infty} (-4) = -4 \end{aligned}$$ Zgodnie z formalną definicją asymptoty ukośnej, odległość pionowa między wykresem a prostą dąży do zera: $$\lim_{x \to \pm\infty} [g(x) - (ax + b)] = \lim_{x \to \pm\infty} [(2x - 4) - (2x - 4)] = \lim_{x \to \pm\infty} 0 = 0$$ Zatem prosta o równaniu $y = 2x - 4$ jest asymptotą ukośną (obustronną) wykresu badanej funkcji.
Interpretacja graficzna rozwiązania:
Wykres funkcji $g(x)$ pokrywa się z prostą $y = 2x - 4$ dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem punktu $(0, -4)$, w którym znajduje się punkt otwarty (wycięty z dziedziny).

Odpowiedź:
Wykres funkcji nie posiada asymptoty pionowej ani poziomej. Jedyną asymptotą wykresu jest asymptota ukośna o równaniu $y = 2x - 4$.

Zadanie 2 (6 pkt)

Wyznacz zbiór wartości funkcji $g(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x$, jeśli $x \in \langle 0, 4 \rangle$.

Wskazówki:

Funkcja $g$ jest funkcją wielomianową, a więc jest ciągła i różniczkowalna na całym przedziale $\langle 0, 4 \rangle$.
Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa funkcja ciągła w przedziale domkniętym osiąga swoją wartość najmniejszą $m$ oraz największą $M$.
Na mocy własności Darboux zbiorem wartości funkcji ciągłej w przedziale domkniętym jest przedział $\langle m, M \rangle$.
Wartości największej i najmniejszej szukamy wśród wartości funkcji na końcach przedziału oraz w punktach zerowania się pierwszej pochodnej (punktach stacjonarnych) należących do wnętrza przedziału.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie pochodnej funkcji $g(x)$ i jej miejsc zerowych:
Wychodzimy z wyjściowego wzoru funkcji $g(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x$ określonej dla $x \in \langle 0, 4 \rangle$. Obliczamy pochodną: $$\begin{aligned} g'(x) &= \left(\dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\right)' \\[8pt] &= \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x + 3 \\[8pt] &= x^2 - 4x + 3 \end{aligned}$$ Przyrównujemy pochodną do zera w celu znalezienia punktów stacjonarnych: $$\begin{aligned} x^2 - 4x + 3 &= 0 \\[8pt] (x - 1)(x - 3) &= 0 \end{aligned}$$ Pochodna zeruje się dla: $$x = 1 \quad \text{oraz} \quad x = 3$$ Oba punkty leżą wewnątrz zadanego przedziału: $1 \in (0, 4)$ oraz $3 \in (0, 4)$.
Badanie znaku pochodnej i monotoniczności funkcji:
Wykresem pochodnej $g'(x) = x^2 - 4x + 3$ jest parabola z ramionami skierowanymi w górę. Analizujemy znak pochodnej w przedziale $\langle 0, 4 \rangle$:
- Dla $x \in \langle 0, 1)$ zachodzi $g'(x) > 0$, więc funkcja $g(x)$ rośnie.
- W punkcie $x = 1$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, zatem funkcja osiąga maksimum lokalne.
- Dla $x \in (1, 3)$ zachodzi $g'(x) < 0$, więc funkcja $g(x)$ maleje.
- W punkcie $x = 3$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem funkcja osiąga minimum lokalne.
- Dla $x \in (3, 4\rangle$ zachodzi $g'(x) > 0$, więc funkcja $g(x)$ rośnie.
Obliczenie wartości funkcji w punktach krytycznych oraz na krańcach przedziału:
Wyznaczamy wartości funkcji $g(x)$ we wszystkich czterech punktach: - Wartość na lewym końcu przedziału ($x = 0$): $$g(0) = \dfrac{1}{3} \cdot 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 = 0$$ - Wartość w punkcie maksimum lokalnego ($x = 1$): $$\begin{aligned} g(1) &= \dfrac{1}{3} \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 \\[8pt] &= \dfrac{1}{3} - 2 + 3 = 1\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} \end{aligned}$$ - Wartość w punkcie minimum lokalnego ($x = 3$): $$\begin{aligned} g(3) &= \dfrac{1}{3} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 \\[8pt] &= \dfrac{27}{3} - 18 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0 \end{aligned}$$ - Wartość na prawym końcu przedziału ($x = 4$): $$\begin{aligned} g(4) &= \dfrac{1}{3} \cdot 4^3 - 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 \\[8pt] &= \dfrac{64}{3} - 32 + 12 = \dfrac{64}{3} - 20 \\[8pt] &= \dfrac{64}{3} - \dfrac{60}{3} = \dfrac{4}{3} \end{aligned}$$
Ustalenie wartości najmniejszej, największej oraz wyznaczenie zbioru wartości:
Porównujemy wyznaczone wartości: $$\begin{aligned} m &= \min_{x \in \langle 0, 4 \rangle} g(x) = g(0) = g(3) = 0 \\[8pt] M &= \max_{x \in \langle 0, 4 \rangle} g(x) = g(1) = g(4) = \dfrac{4}{3} \end{aligned}$$ Z ciągłości funkcji $g(x)$ w przedziale domkniętym wynika, że funkcja osiąga wszystkie wartości z przedziału domkniętego od wartości najmniejszej do największej. Zbiór wartości funkcji wynosi: $$ZW = \left\langle 0, \dfrac{4}{3} \right\rangle$$
Interpretacja graficzna i odczyt zbioru wartości z wykresu:
Poniższy rysunek przedstawia wykres badanej funkcji $g(x)$ w zadanym przedziale $\langle 0, 4 \rangle$ na tle siatki zeszytowej oraz rzutowanie wykresu na oś $OY$, wyznaczające zbiór wartości:

Odpowiedź:
Zbiorem wartości funkcji jest $ZW = \left\langle 0, \dfrac{4}{3} \right\rangle$.

Zadanie 3 (6 pkt)

Wyznacz dziedzinę, a następnie maksymalne przedziały monotoniczności funkcji: $f(x) = x - 2 + \dfrac{x - 2}{x - 3} + \dfrac{x - 2}{(x - 3)^2} + \dfrac{x - 2}{(x - 3)^3} + \dots$

Wskazówki:

Zauważ, że wzór funkcji stanowi sumę nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1 = x - 2$ oraz ilorazie $q = \dfrac{1}{x - 3}$.
Wyznacz dziedzinę z warunku zbieżności szeregu geometrycznego $|q| < 1$ oraz zbadaj zachowanie szeregu w przypadku, gdy pierwszy wyraz się zeruje ($a_1 = 0$).
Zwiń sumę szeregu do postaci zwartej $S = \dfrac{a_1}{1 - q}$, a następnie zbadaj znak pierwszej pochodnej $f'(x)$, pamiętając o uwzględnieniu ograniczeń dziedziny.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza szeregu geometrycznego i wyznaczenie dziedziny funkcji:
Rozpatrujemy wyjściową funkcję zapisaną w postaci nieskończonej sumy: $$f(x) = x - 2 + \dfrac{x - 2}{x - 3} + \dfrac{x - 2}{(x - 3)^2} + \dfrac{x - 2}{(x - 3)^3} + \dots$$ Mianownik ułamka musi być różny od zera: $$x - 3 \neq 0 \iff x \neq 3$$ Wyrazy sumy tworzą ciąg geometryczny o parametrach: $$a_1 = x - 2, \quad a_2 = \dfrac{x - 2}{x - 3}$$ Wyznaczamy iloraz tego szeregu dla $x \neq 2$: $$q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{\dfrac{x - 2}{x - 3}}{x - 2} = \dfrac{1}{x - 3}$$ Nieskończony szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek zbieżności: $$|q| < 1 \iff \left|\dfrac{1}{x - 3}\right| < 1 \iff |x - 3| > 1$$ Rozwiązujemy nierówność z wartością bezwzględną: $$\begin{aligned} x - 3 > 1 \quad &\text{lub} \quad x - 3 < -1 \\[8pt] x > 4 \quad &\text{lub} \quad x < 2 \end{aligned}$$ Co daje zbiór: $$x \in (-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$$ Uwaga dydaktyczna: Dla $x = 2$ mamy $a_1 = 0$ oraz każdy kolejny składnik sumy jest równy $0$. Suma nieskończona przyjmuje postać $0 + 0 + 0 + \dots = 0$, czyli szereg jest zbieżny do liczby $0$. W zależności od przyjętej w szkole konwencji (ścisły warunek formalny $|q| < 1$ czy dopuszczenie zbieżnego szeregu zerowego), dziedzinę zapisujemy jako: $$D = (-\infty, 2) \cup (4, +\infty) \quad \text{lub} \quad D = (-\infty, 2] \cup (4, +\infty)$$
Zapisanie wzoru funkcji w postaci wymiernej:
Dla argumentów należących do obszaru zbieżności stosujemy wzór na sumę szeregu geometrycznego: $$S = \dfrac{a_1}{1 - q}$$ Obliczamy mianownik: $$\begin{aligned} 1 - q &= 1 - \dfrac{1}{x - 3} \\[8pt] &= \dfrac{x - 3 - 1}{x - 3} \\[8pt] &= \dfrac{x - 4}{x - 3} \end{aligned}$$ Podstawiamy wyrażenia do wzoru na sumę: $$\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{x - 2}{\dfrac{x - 4}{x - 3}} \\[8pt] &= (x - 2) \cdot \dfrac{x - 3}{x - 4} \\[8pt] &= \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 4} \end{aligned}$$ Zauważmy, że dla $x = 2$ wartość wzoru wynosi $\dfrac{2^2 - 10 + 6}{2 - 4} = \dfrac{0}{-2} = 0$, co w pełni pokrywa się z sumą szeregu zerowego.
Obliczenie pochodnej funkcji $f'(x)$:
Sposób I – Pochodna ilorazu:
Różniczkujemy funkcję $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 4}$ za pomocą wzoru $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$: $$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{(x^2 - 5x + 6)'(x - 4) - (x^2 - 5x + 6)(x - 4)'}{(x - 4)^2} \\[8pt] &= \dfrac{(2x - 5)(x - 4) - (x^2 - 5x + 6) \cdot 1}{(x - 4)^2} \\[8pt] &= \dfrac{2x^2 - 8x - 5x + 20 - x^2 + 5x - 6}{(x - 4)^2} \\[8pt] &= \dfrac{x^2 - 8x + 14}{(x - 4)^2} \end{aligned}$$
Sposób II – Wydzielenie części całkowitej:
Dzielimy licznik przez mianownik: $$\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 4} = \dfrac{x(x - 4) - (x - 4) + 2}{x - 4} = x - 1 + \dfrac{2}{x - 4}$$ Różniczkując tak przygotowaną postać, natychmiast otrzymujemy: $$\begin{aligned} f'(x) &= 1 - \dfrac{2}{(x - 4)^2} \\[8pt] &= \dfrac{(x - 4)^2 - 2}{(x - 4)^2} \end{aligned}$$
Wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej oraz analiza znaków:
Mianownik pochodnej $(x - 4)^2$ jest ściśle dodatni dla każdego $x \in D$. O znaku pochodnej decyduje wyłącznie jej licznik: $$f'(x) = 0 \iff (x - 4)^2 - 2 = 0 \iff (x - 4)^2 = 2$$ $$\begin{aligned} x - 4 = -\sqrt{2} \quad &\implies \quad x_1 = 4 - \sqrt{2} \approx 4 - 1{,}41 = 2{,}59 \\[8pt] x - 4 = \sqrt{2} \quad &\implies \quad x_2 = 4 + \sqrt{2} \approx 4 + 1{,}41 = 5{,}41 \end{aligned}$$ Sprawdzamy przynależność wyznaczonych punktów do dziedziny funkcji:

• Punkt $x_1 = 4 - \sqrt{2} \approx 2{,}59$ leży w przedziale $[2, 4]$, czyli nie należy do dziedziny ($x_1 \notin D$).
• Punkt $x_2 = 4 + \sqrt{2} \approx 5{,}41$ leży w przedziale $(4, +\infty)$, czyli należy do dziedziny ($x_2 \in D$).

Analizujemy znak licznika $L(x) = (x - 4)^2 - 2$ w poszczególnych przedziałach dziedziny:

1. Dla $x \in (-\infty, 2)$ [lub $(-\infty, 2]$]:
Ponieważ $x < 2 < 4 - \sqrt{2}$, parabola leży ponad osią ($L(x) > 0$), zatem $f'(x) > 0$. W całym tym przedziale funkcja jest ściśle rosnąca.

2. Dla $x \in (4, 4 + \sqrt{2})$:
Wartości argumentów leżą między pierwiastkami paraboli, co oznacza, że $L(x) < 0$, a zatem $f'(x) < 0$. Funkcja jest ściśle malejąca w przedziale $(4, 4 + \sqrt{2}]$.

3. Dla $x \in (4 + \sqrt{2}, +\infty)$:
Dla $x > 4 + \sqrt{2}$ wartości licznika są dodatnie ($L(x) > 0$), zatem $f'(x) > 0$. Funkcja jest ściśle rosnąca w przedziale $[4 + \sqrt{2}, +\infty)$.

Zgodnie z zasadami wyznaczania maksymalnych przedziałów monotoniczności, przedziały domykamy w punktach należących do dziedziny, w których funkcja jest ciągła (w punkcie $x = 4 + \sqrt{2}$ oraz opcjonalnie w punkcie $x = 2$).

Odpowiedź:
Dziedzina funkcji:
$D = (-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$ [lub $D = (-\infty, 2] \cup (4, +\infty)$]

Maksymalne przedziały monotoniczności:
• funkcja jest rosnąca w przedziale $(-\infty, 2)$ [lub $(-\infty, 2]$]

• funkcja jest malejąca w przedziale $(4, 4 + \sqrt{2}]$

• funkcja jest rosnąca w przedziale $[4 + \sqrt{2}, +\infty)$

Zadanie 4 (6 pkt)

Dana jest funkcja: $g(x) = \dfrac{2}{x}$.

a) Wyznacz równania stycznych do wykresu funkcji $g$ i prostopadłych do prostej $y = 2x$.

b) Naszkicuj wykres funkcji $g$ wraz ze znalezionymi stycznymi.

Wskazówki:

Dziedziną funkcji hiperbolicznej $g(x) = \dfrac{2}{x}$ jest zbiór $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Wykorzystaj warunek prostopadłości prostych: dwie proste o współczynnikach kierunkowych $a_1$ oraz $a_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1 \cdot a_2 = -1$.
Zadanie na wyznaczenie równań stycznych możesz rozwiązać na dwa sposoby: z wykorzystaniem interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji $g'(x_0) = a_s$ (Sposób I) lub algebraicznie, tworząc układ równań z prostą $y = ax + b$ i żądając zerowania się wyróżnika $\Delta = 0$ (Sposób II).
W podpunkcie b sporządź tabelę wartości funkcji $g(x)$ dla kilku charakterystycznych argumentów i narysuj obie gałęzie hiperboli wraz z wyznaczonymi prostymi stycznymi, zaznaczając punkty styczności.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie współczynnika kierunkowego stycznych z warunku prostopadłości:
Dana jest prosta o równaniu $y = 2x$. Jej współczynnik kierunkowy wynosi: $$a_k = 2$$ Niech szukana prosta styczna ma równanie kierunkowe $s: y = a_s x + b$. Ponieważ styczna ma być prostopadła do danej prostej ($s \perp k$), ich współczynniki kierunkowe muszą spełniać warunek: $$\begin{aligned} a_s \cdot a_k &= -1 \\[8pt] a_s \cdot 2 &= -1 \\[8pt] a_s &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$ Każda prosta prostopadła do prostej $y = 2x$ ma zatem postać $y = -\dfrac{1}{2}x + b$.
Podpunkt a) Sposób I – Wykorzystanie pochodnej funkcji do wyznaczenia punktów styczności i równań stycznych:
Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $g(x) = \dfrac{2}{x}$ w punkcie o odciętej $x_0$ jest równy wartości pochodnej funkcji w tym punkcie: $$a_s = g'(x_0)$$ Obliczamy pochodną funkcji $g(x) = 2x^{-1}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$: $$\begin{aligned} g'(x) &= \left(2x^{-1}\right)' \\[8pt] &= 2 \cdot (-1)x^{-2} \\[8pt] &= -\dfrac{2}{x^2} \end{aligned}$$ Przyrównujemy pochodną do wyznaczonego współczynnika kierunkowego $a_s = -\dfrac{1}{2}$: $$\begin{aligned} -\dfrac{2}{x_0^2} &= -\dfrac{1}{2} \\[8pt] \dfrac{2}{x_0^2} &= \dfrac{1}{2} \\[8pt] x_0^2 &= 4 \\[8pt] x_0 = 2 \quad &\text{lub} \quad x_0 = -2 \end{aligned}$$ Oba punkty należą do dziedziny funkcji. Wyznaczamy ich rzędne $y_0 = g(x_0)$ oraz równania stycznych:

• Dla pierwszego punktu styczności ($x_0 = 2$): $$y_0 = g(2) = \dfrac{2}{2} = 1 \implies P_1 = (2, 1)$$ Korzystamy z równania prostej o danym współczynniku kierunkowym przechodzącej przez punkt $P_1(2, 1)$: $$\begin{aligned} y - y_0 &= a_s(x - x_0) \\[8pt] y - 1 &= -\dfrac{1}{2}(x - 2) \\[8pt] y - 1 &= -\dfrac{1}{2}x + 1 \\[8pt] y &= -\dfrac{1}{2}x + 2 \end{aligned}$$ • Dla drugiego punktu styczności ($x_0 = -2$): $$y_0 = g(-2) = \dfrac{2}{-2} = -1 \implies P_2 = (-2, -1)$$ Wyznaczamy równanie stycznej w punkcie $P_2(-2, -1)$: $$\begin{aligned} y - y_0 &= a_s(x - x_0) \\[8pt] y - (-1) &= -\dfrac{1}{2}(x - (-2)) \\[8pt] y + 1 &= -\dfrac{1}{2}(x + 2) \\[8pt] y + 1 &= -\dfrac{1}{2}x - 1 \\[8pt] y &= -\dfrac{1}{2}x - 2 \end{aligned}$$
Podpunkt a) Sposób II – Metoda algebraiczna (układ równań i warunek $\Delta = 0$):
Szukamy prostych postaci $y = -\dfrac{1}{2}x + b$, które mają z hiperbolą $g(x) = \dfrac{2}{x}$ dokładnie jeden punkt wspólny (punkt styczności). Przyrównujemy prawe strony równań: $$\dfrac{2}{x} = -\dfrac{1}{2}x + b \quad \text{dla } x \neq 0$$ Mnożymy obustronnie przez $2x$: $$\begin{aligned} 4 &= -x^2 + 2bx \\[8pt] x^2 - 2bx + 4 &= 0 \end{aligned}$$ Prosta jest styczna do wykresu funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy powstałe równanie kwadratowe posiada dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste, czyli gdy jego wyróżnik jest równy zero ($\Delta = 0$): $$\begin{aligned} \Delta &= (-2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \\[8pt] &= 4b^2 - 16 \end{aligned}$$ Przyrównujemy wyróżnik do zera: $$\begin{aligned} 4b^2 - 16 &= 0 \\[8pt] 4b^2 &= 16 \\[8pt] b^2 &= 4 \\[8pt] b = 2 \quad &\text{lub} \quad b = -2 \end{aligned}$$ Otrzymujemy dwa równania stycznych: $$s_1: y = -\dfrac{1}{2}x + 2 \quad \text{oraz} \quad s_2: y = -\dfrac{1}{2}x - 2$$ Współrzędne odciętych punktów styczności odpowiadają podwójnemu pierwiastkowi równania $x_0 = \dfrac{-(-2b)}{2 \cdot 1} = b$:
• Dla $b = 2 \implies x_0 = 2$, $y_0 = g(2) = 1 \implies P_1(2, 1)$,
• Dla $b = -2 \implies x_0 = -2$, $y_0 = g(-2) = -1 \implies P_2(-2, -1)$.
Podpunkt b) Analiza punktów charakterystycznych do sporządzenia wykresu:
Aby precyzyjnie naszkicować wykres funkcji $g(x) = \dfrac{2}{x}$, wyznaczamy wartości dla wybranych argumentów:

• Dla gałęzi w I ćwiartce ($x > 0$): $$g\left(\dfrac{1}{2}\right) = 4, \quad g(1) = 2, \quad g(2) = 1, \quad g(4) = \dfrac{1}{2}$$ • Dla gałęzi w III ćwiartce ($x < 0$): $$g\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -4, \quad g(-1) = -2, \quad g(-2) = -1, \quad g(-4) = -\dfrac{1}{2}$$ Wykres posiada dwie asymptoty: pionową $x = 0$ (oś $OY$) oraz poziomą $y = 0$ (oś $OX$).

Dla prostych stycznych wyznaczamy punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych:
• Prosta $s_1: y = -\dfrac{1}{2}x + 2$: przecina oś $OY$ w punkcie $(0, 2)$, a oś $OX$ w punkcie $(4, 0)$. Przechodzi przez punkt styczności $P_1(2, 1)$.
• Prosta $s_2: y = -\dfrac{1}{2}x - 2$: przecina oś $OY$ w punkcie $(0, -2)$, a oś $OX$ w punkcie $(-4, 0)$. Przechodzi przez punkt styczności $P_2(-2, -1)$.
Podpunkt b) Rysunek wynikowy – szkic wykresu funkcji $g$ wraz ze stycznymi:
Naniesione proste styczne $s_1$ i $s_2$ są równoległe do siebie i prostopadłe do prostej pomocniczej $y = 2x$, dotykając hiperboli w punktach $P_1$ oraz $P_2$.

Odpowiedź:
a) Równania stycznych to: $y = -\dfrac{1}{2}x + 2$ oraz $y = -\dfrac{1}{2}x - 2$.

b) Wykres funkcji $g(x) = \dfrac{2}{x}$ składa się z dwóch gałęzi hiperboli leżących w I i III ćwiartce, do których w punktach $P_1(2, 1)$ oraz $P_2(-2, -1)$ poprowadzono powyższe styczne.

Zadanie 5 (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których funkcja $$g(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - x - 6}{x - 3} & \text{dla } x \neq 3 \\[6pt] 3a - 5 & \text{dla } x = 3 \end{cases}$$ jest ciągła w punkcie $x_0 = 3$.

Wskazówki:

Zastosuj definicję ciągłości funkcji w punkcie: funkcja $g$ jest ciągła w punkcie $x_0 = 3$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica $\lim\limits_{x \to 3} g(x)$, określona jest wartość $g(3)$ oraz zachodzi równość $\lim\limits_{x \to 3} g(x) = g(3)$.
Oblicz granicę funkcji przy $x \to 3$. Ponieważ bezpośrednie wstawienie $x = 3$ prowadzi do symbolu nieoznaczonego $\left[\frac{0}{0}\right]$, rozłóż trójmian kwadratowy w liczniku na czynniki liniowe i skróć wspólny dwumian $(x - 3)$.
Przyrównaj obliczoną wartość granicy do wartości $g(3) = 3a - 5$ i rozwiąż powstałe równanie liniowe z niewiadomą $a$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Warunek ciągłości funkcji w punkcie $x_0 = 3$:
Zgodnie z definicją ciągłości, funkcja $g$ jest ciągła w punkcie $x_0 = 3$, gdy spełniony jest warunek: $$\lim_{x \to 3} g(x) = g(3)$$ Z drugiego wiersza wzoru funkcji odczytujemy wartość funkcji dla argumentu $x = 3$: $$g(3) = 3a - 5$$ Aby funkcja była ciągła, granica funkcji $\lim\limits_{x \to 3} g(x)$ musi istnieć i przyjmować dokładnie tę samą wartość.
Obliczenie granicy funkcji $\lim\limits_{x \to 3} g(x)$:
Obliczając granicę przy $x \to 3$, rozpatrujemy argumenty bliskie liczbie $3$, lecz różne od niej ($x \neq 3$). W tym przedziale funkcja jest określona wzorem wymiernym: $$g(x) = \dfrac{x^2 - x - 6}{x - 3}$$ Bezpośrednie podstawienie $x = 3$ daje wyrażenie nieoznaczone typu $\left[\dfrac{0}{0}\right]$: $$\dfrac{3^2 - 3 - 6}{3 - 3} = \left[\dfrac{0}{0}\right]$$ Rozkładamy trójmian kwadratowy w liczniku na postać iloczynową. Obliczamy wyróżnik $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) \\[8pt] &= 1 + 24 = 25 \end{aligned}$$ $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5$$ Wyznaczamy pierwiastki trójmianu: $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-(-1) - 5}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 - 5}{2} = -2 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-(-1) + 5}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 + 5}{2} = 3 \end{aligned}$$ Zatem licznik przyjmuje postać: $$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$ Podstawiamy otrzymany iloczyn do granicy i redukujemy czynnik $(x - 3)$ (ponieważ przy przejściu granicznym $x \neq 3$): $$\begin{aligned} \lim_{x \to 3} g(x) &= \lim_{x \to 3} \dfrac{(x - 3)(x + 2)}{x - 3} \\[8pt] &= \lim_{x \to 3} (x + 2) \\[8pt] &= 3 + 2 = 5 \end{aligned}$$
Wyznaczenie wartości parametru $a$ z warunku ciągłości:
Przyrównujemy wyznaczoną wartość granicy do wartości funkcji w punkcie $x = 3$: $$\begin{aligned} \lim_{x \to 3} g(x) &= g(3) \\[8pt] 5 &= 3a - 5 \\[8pt] 3a &= 10 \\[8pt] a &= \dfrac{10}{3} = 3\dfrac{1}{3} \end{aligned}$$ Dla wartości parametru $a = \dfrac{10}{3}$ funkcja przyjmuje w punkcie $x_0 = 3$ wartość równą granicy obustronnej ($g(3) = 5$), co czyni ją funkcją ciągłą w tym punkcie.

Odpowiedź:
Funkcja jest ciągła w punkcie $x_0 = 3$ dla $a = \dfrac{10}{3}$ (czyli $a = 3\dfrac{1}{3}$).

Grupa B

Zadanie 1 (7 pkt)

Zbadaj istnienie asymptot (poziomej, pionowej i ukośnej) wykresu funkcji $h(x) = \frac{x^2 + 5x}{x}$ oraz napisz równania tych, które istnieją.