Ciągi sprawdzian

Ciągi

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $18$ wynosi $24$. Wyznacz iloraz tego ciągu.

Wskazówki:

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (szereg geometryczny) istnieje tylko wtedy, gdy ciąg jest zbieżny, czyli gdy iloraz spełnia warunek $|q| < 1$.
Wzór na sumę takiego ciągu to $S = \dfrac{a_1}{1 - q}$, gdzie $a_1$ jest pierwszym wyrazem, a $q$ ilorazem ciągu.
Podstaw do wzoru znane wartości $a_1$ oraz $S$, a następnie rozwiąż otrzymane równanie liniowe z niewiadomą $q$.
Na końcu upewnij się, że wyznaczony iloraz spełnia założenie zbieżności $|q| < 1$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego oraz założeń:
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ jest określona wzorem: $$S = \dfrac{a_1}{1 - q}$$ Warunkiem koniecznym i wystarczającym na zbieżność takiego szeregu jest: $$|q| < 1 \iff q \in (-1, 1)$$ Z treści zadania mamy dany pierwszy wyraz oraz sumę wszystkich wyrazów: $$a_1 = 18, \quad S = 24$$
Ułożenie równania i wyznaczenie ilorazu $q$:
Wstawiamy wartości $a_1 = 18$ i $S = 24$ do wzoru na sumę: $$24 = \dfrac{18}{1 - q}$$ Mnożymy obie strony równania przez mianownik $(1 - q)$: $$\begin{aligned} 24(1 - q) &= 18 \\[8pt] 1 - q &= \dfrac{18}{24} \end{aligned}$$ Upraszczamy ułamek po prawej stronie, dzieląc licznik i mianownik przez $6$: $$1 - q = \dfrac{3}{4}$$ Przekształcamy równanie, aby wyznaczyć niewiadomą $q$: $$\begin{aligned} -q &= \dfrac{3}{4} - 1 \\[8pt] -q &= -\dfrac{1}{4} \\[8pt] q &= \dfrac{1}{4} \end{aligned}$$
Sprawdzenie warunku zbieżności szeregu:
Sprawdzamy, czy obliczony iloraz spełnia założenie zbieżności nieskończonego szeregu geometrycznego: $$|q| = \left|\dfrac{1}{4}\right| = \dfrac{1}{4} < 1$$ Warunek jest spełniony, zatem otrzymana wartość jest prawidłowym rozwiązaniem zadania.

Odpowiedź:
Iloraz tego ciągu wynosi $q = \dfrac{1}{4}$.

Zadanie 2 (3 pkt)

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ zachodzi $a_2 = 5$ oraz $\dfrac{a_4+a_7}{a_4} = \dfrac{11}{10}$. Znajdź pierwszy wyraz tego ciągu.

Wskazówki:

Wykorzystaj własność ciągu geometrycznego mówiącą, że iloraz dwóch wyrazów oddalonych o $k$ pozycji zależy wyłącznie od ilorazu ciągu: $\dfrac{a_{n+k}}{a_n} = q^k$.
Rozbij sumę w liczniku ułamka $\dfrac{a_4 + a_7}{a_4}$ na dwa osobne ułamki, co pozwoli w prosty sposób wyznaczyć wartość $q^3$.
Mając obliczony iloraz $q$ oraz wyraz $a_2 = 5$, pierwszy wyraz ciągu znajdziesz ze wzoru $a_1 = \dfrac{a_2}{q}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Rozbicie ułamka i wyznaczenie ilorazu ciągu $q$:
Wychodzimy z równania podanego w treści zadania: $$\dfrac{a_4+a_7}{a_4} = \dfrac{11}{10}$$ Rozdzielamy lewą stronę na sumę dwóch ułamków o wspólnym mianowniku: $$\begin{aligned} \dfrac{a_4}{a_4} + \dfrac{a_7}{a_4} &= \dfrac{11}{10} \\[8pt] 1 + \dfrac{a_7}{a_4} &= \dfrac{11}{10} \end{aligned}$$ Z definicji ciągu geometrycznego wiemy, że $\dfrac{a_7}{a_4} = q^{7-4} = q^3$. Wstawiamy tę zależność do równania: $$\begin{aligned} 1 + q^3 &= \dfrac{11}{10} \\[8pt] q^3 &= \dfrac{11}{10} - 1 \\[8pt] q^3 &= \dfrac{1}{10} \end{aligned}$$ Wyciągamy pierwiastek stopnia trzeciego z obu stron: $$q = \sqrt[3]{\dfrac{1}{10}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{10}}$$
Sposób I – Obliczenie pierwszego wyrazu ciągu $a_1$:
W ciągu geometrycznym wyraz drugi jest powiązany z pierwszym wzorem $a_2 = a_1 \cdot q$. Przekształcamy wzór, aby wyznaczyć $a_1$: $$a_1 = \dfrac{a_2}{q}$$ Podstawiamy dane $a_2 = 5$ oraz $q = \dfrac{1}{\sqrt[3]{10}}$: $$\begin{aligned} a_1 &= \dfrac{5}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{10}}} \\[8pt] &= 5 \cdot \sqrt[3]{10} \end{aligned}$$
Sposób II – Zastosowanie ogólnego wzoru na $n$-ty wyraz ciągu:
Każdy wyraz ciągu geometrycznego można wyrazić za pomocą pierwszego wyrazu $a_1$ oraz ilorazu $q$ wzorem $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$: $$\begin{aligned} a_2 &= a_1 \cdot q = 5 \\[8pt] a_4 &= a_1 \cdot q^3 \\[8pt] a_7 &= a_1 \cdot q^6 \end{aligned}$$ Podstawiamy te zależności do wyjściowego równania: $$\begin{aligned} \dfrac{a_1 \cdot q^3 + a_1 \cdot q^6}{a_1 \cdot q^3} &= \dfrac{11}{10} \\[8pt] \dfrac{a_1 \cdot q^3 \cdot (1 + q^3)}{a_1 \cdot q^3} &= \dfrac{11}{10} \end{aligned}$$ Skracamy wspólny czynnik $a_1 \cdot q^3$: $$\begin{aligned} 1 + q^3 &= \dfrac{11}{10} \\[8pt] q^3 &= \dfrac{1}{10} \implies q = \dfrac{1}{\sqrt[3]{10}} \end{aligned}$$ Wyznaczamy wyraz pierwszy z równania $a_1 \cdot q = 5$: $$a_1 = \dfrac{5}{q} = 5\sqrt[3]{10}$$

Odpowiedź:
Pierwszy wyraz ciągu wynosi $a_1 = 5\sqrt[3]{10}$.

Zadanie 3 (5 pkt)

Rozwiąż równanie: $(x - 1) + \dfrac{x - 1}{x + 1} + \dfrac{x - 1}{(x + 1)^2} + \dots = 4$

Wskazówki:

Zauważ, że lewa strona równania stanowi sumę nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1 = x - 1$.
Wyznacz iloraz $q$ i bezwzględnie określ warunek zbieżności szeregu $|q| < 1$, który wyznacza dziedzinę równania.
Zastosuj wzór na sumę szeregu geometrycznego $S = \dfrac{a_1}{1 - q}$, rozwiąż otrzymane równanie kwadratowe i skonfrontuj wyniki z dziedziną.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie ilorazu szeregu i warunku zbieżności (dziedziny równania):
Rozpatrujemy wyjściowe równanie: $$(x - 1) + \dfrac{x - 1}{x + 1} + \dfrac{x - 1}{(x + 1)^2} + \dots = 4$$ Lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz to: $$a_1 = x - 1$$ Kolejny wyraz to $a_2 = \dfrac{x - 1}{x + 1}$. Wyznaczamy iloraz szeregu $q$: $$q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{\dfrac{x - 1}{x + 1}}{x - 1} = \dfrac{1}{x + 1}$$ Mianownik ułamka nie może być zerem, zatem $x + 1 \neq 0 \iff x \neq -1$.
Suma nieskończonego szeregu geometrycznego istnieje (szereg jest zbieżny) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: $$|q| < 1$$ Podstawiamy wyznaczony iloraz $q$: $$\left|\dfrac{1}{x + 1}\right| < 1 \iff \dfrac{1}{|x + 1|} < 1 \iff |x + 1| > 1$$ Rozwiązujemy nierówność z wartością bezwzględną: $$\begin{aligned} x + 1 > 1 \quad &\text{lub} \quad x + 1 < -1 \\[8pt] x > 0 \quad &\text{lub} \quad x < -2 \end{aligned}$$ Zatem dziedziną równania jest zbiór: $$D = (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$$
Zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego:
Dla każdego $x \in D$ możemy obliczyć sumę nieskończonego szeregu ze wzoru: $$S = \dfrac{a_1}{1 - q}$$ Obliczamy mianownik $1 - q$: $$\begin{aligned} 1 - q &= 1 - \dfrac{1}{x + 1} \\[8pt] &= \dfrac{x + 1 - 1}{x + 1} \\[8pt] &= \dfrac{x}{x + 1} \end{aligned}$$ Podstawiamy $a_1 = x - 1$ oraz $1 - q = \dfrac{x}{x + 1}$ do wzoru na sumę: $$\begin{aligned} S &= \dfrac{x - 1}{\dfrac{x}{x + 1}} \\[8pt] &= (x - 1) \cdot \dfrac{x + 1}{x} \\[8pt] &= \dfrac{x^2 - 1}{x} \end{aligned}$$ Przyrównujemy sumę do prawej strony równania: $$\dfrac{x^2 - 1}{x} = 4$$
Rozwiązanie otrzymanego równania kwadratowego:
Ponieważ $x \in D$ (co oznacza, że $x \neq 0$), mnożymy równanie obustronnie przez $x$: $$\begin{aligned} x^2 - 1 &= 4x \\[8pt] x^2 - 4x - 1 &= 0 \end{aligned}$$ Wyznaczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$$ $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ Obliczamy pierwiastki równania: $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{4 - 2\sqrt{5}}{2} = 2 - \sqrt{5} \\[8pt] x_2 &= \dfrac{4 + 2\sqrt{5}}{2} = 2 + \sqrt{5} \end{aligned}$$
Weryfikacja rozwiązań z dziedziną równania i interpretacja graficzna:
Sprawdzamy przynależność obu wyznaczonych wartości do dziedziny $D = (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$:

• Dla pierwiastka $x_1 = 2 - \sqrt{5}$:
Przyjmując przybliżenie $\sqrt{5} \approx 2{,}24$, otrzymujemy: $$x_1 = 2 - \sqrt{5} \approx 2 - 2{,}24 = -0{,}24$$ Wartość ta leży w przedziale $[-2, 0]$, co oznacza, że: $$x_1 = 2 - \sqrt{5} \notin D$$ Dla tego argumentu warunek $|q| < 1$ nie jest spełniony (szereg jest rozbieżny), więc odrzucamy to rozwiązanie.

• Dla pierwiastka $x_2 = 2 + \sqrt{5}$:
$$x_2 = 2 + \sqrt{5} \approx 2 + 2{,}24 = 4{,}24 > 0$$ Wartość ta w pełni mieści się w przedziale $(0, +\infty)$, czyli: $$x_2 = 2 + \sqrt{5} \in D$$

Jedynym rozwiązaniem wyjściowego równania jest $x = 2 + \sqrt{5}$.

Odpowiedź:
$x = 2 + \sqrt{5}$

Zadanie 4 (4 pkt)

Oblicz $x$, wiedząc, że $-6 - 3 + 0 + 3 + \dots + x = 2100$.

Wskazówki:

Zauważ, że składniki po lewej stronie równania tworzą ciąg arytmetyczny – wyznacz jego pierwszy wyraz oraz stałą różnicę.
Wyraź ostatni wyraz $x$ (czyli $n$-ty wyraz ciągu) za pomocą wzoru ogólnego w zależności od liczby wyrazów $n$.
Zastosuj wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ułóż równanie kwadratowe z niewiadomą $n$.
Pamiętaj o założeniu, że liczba wyrazów ciągu musi być dodatnią liczbą całkowitą ($n \in \mathbb{N}^+$). Po ustaleniu $n$ oblicz szukaną wartość $x$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Identyfikacja ciągu arytmetycznego i wyznaczenie jego parametrów:
Równanie ma postać: $$-6 - 3 + 0 + 3 + \dots + x = 2100$$ Lewa strona jest sumą kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$. Odczytujemy pierwszy oraz drugi wyraz: $$\begin{aligned} a_1 &= -6 \\[8pt] a_2 &= -3 \end{aligned}$$ Obliczamy różnicę ciągu $r$: $$\begin{aligned} r &= a_2 - a_1 \\[8pt] &= -3 - (-6) \\[8pt] &= 3 \end{aligned}$$ Kolejne różnice są identyczne ($0 - (-3) = 3$, $3 - 0 = 3$), co potwierdza, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym o różnicy $r = 3$.
Zapisanie wzoru na $n$-ty wyraz ciągu i uzależnienie $x$ od $n$:
Niech $n$ oznacza liczbę sumowanych wyrazów, przy czym $n \in \mathbb{N}^+$. Ostatnim wyrazem tej sumy jest: $$a_n = x$$ Korzystamy ze wzoru ogólnego na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_n = a_1 + (n - 1)r$: $$\begin{aligned} x &= -6 + (n - 1) \cdot 3 \\[8pt] &= -6 + 3n - 3 \\[8pt] &= 3n - 9 \end{aligned}$$
Zastosowanie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego i ułożenie równania:
Wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to: $$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$ Wiedząc, że suma wynosi $S_n = 2100$, podstawiamy $a_1 = -6$ oraz $a_n = 3n - 9$: $$\begin{aligned} \dfrac{-6 + (3n - 9)}{2} \cdot n &= 2100 \\[8pt] \dfrac{3n - 15}{2} \cdot n &= 2100 \end{aligned}$$ Mnożymy obustronnie przez $2$: $$n(3n - 15) = 4200$$ $$3n^2 - 15n - 4200 = 0$$ Dzielimy obie strony równania przez $3$, aby uprościć współczynniki trójmianu: $$n^2 - 5n - 1400 = 0$$
Rozwiązanie równania kwadratowego i wyznaczenie liczby wyrazów $n$:
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $$\begin{aligned} \Delta &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1400) \\[8pt] &= 25 + 5600 \\[8pt] &= 5625 \end{aligned}$$ $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{5625} = 75$$ Wyznaczamy pierwiastki równania: $$\begin{aligned} n_1 &= \dfrac{-(-5) - 75}{2 \cdot 1} = \dfrac{5 - 75}{2} = -\dfrac{70}{2} = -35 \\[8pt] n_2 &= \dfrac{-(-5) + 75}{2 \cdot 1} = \dfrac{5 + 75}{2} = \dfrac{80}{2} = 40 \end{aligned}$$ Ponieważ liczba wyrazów ciągu musi być dodatnią liczbą całkowitą ($n \in \mathbb{N}^+$), odrzucamy rozwiązanie ujemne $n_1 = -35$. Zatem: $$n = 40$$
Obliczenie wartości niewiadomej $x$:
Podstawiamy wyznaczoną liczbę wyrazów $n = 40$ do wzoru na $x$: $$\begin{aligned} x &= 3 \cdot 40 - 9 \\[8pt] &= 120 - 9 \\[8pt] &= 111 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Szukana wartość wynosi $x = 111$.

Zadanie 5 (5 pkt)

Oblicz:

a) $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{(5n^2 - 3)(n + 1)}{(4 + n)(2 - 4n)}$

b) $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{2n + 1}{n^2 + 2} - \dfrac{4n}{2 + n}\right)$

c) $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{15 - 3n}{5n^2 + 6}\right)^3$

d) $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{12n^2 - 7n}{1 + 2 + 3 + \dots + n + (2n - 3)}$

e) $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{5^n + 7^n}$

Wskazówki:

W granicach wyrażeń wymiernych wyznacz stopień wielomianu w liczniku i mianowniku, a następnie wyłącz najwyższą potęgę $n$ mianownika przed nawias w obu częściach ułamka.
W przypadku sumy lub różnicy ciągów zbadaj granicę każdego ułamka osobno, o ile nie prowadzi to do symbolu nieoznaczonego.
Ciąg kolejnych liczb naturalnych $1 + 2 + 3 + \dots + n$ to ciąg arytmetyczny – zwiń go za pomocą wzoru na sumę początkowych wyrazów: $S_n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$.
Granicę pierwiastka sumy potęg postaci $\sqrt[n]{a^n + b^n}$ wyznacz za pomocą twierdzenia o trzech ciągach lub poprzez wyłączenie potęgi o większej podstawie przed znak pierwiastka.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy granicę $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{(5n^2 - 3)(n + 1)}{(4 + n)(2 - 4n)}$:
Wymnażamy wyrażenia w liczniku oraz mianowniku: $$\begin{aligned} (5n^2 - 3)(n + 1) &= 5n^3 + 5n^2 - 3n - 3 \\[8pt] (4 + n)(2 - 4n) &= 8 - 16n + 2n - 4n^2 \\[8pt] &= -4n^2 - 14n + 8 \end{aligned}$$ Zauważmy, że stopień licznika wynosi $3$, a stopień mianownika wynosi $2$. Wyłączamy z mianownika najwyższą potęgę, czyli $n^2$, oraz dzielimy licznik przez $n^2$: $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \dfrac{5n^3 + 5n^2 - 3n - 3}{-4n^2 - 14n + 8} &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2 \left(5n + 5 - \dfrac{3}{n} - \dfrac{3}{n^2}\right)}{n^2 \left(-4 - \dfrac{14}{n} + \dfrac{8}{n^2}\right)} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{5n + 5 - \dfrac{3}{n} - \dfrac{3}{n^2}}{-4 - \dfrac{14}{n} + \dfrac{8}{n^2}} \end{aligned}$$ Gdy $n \to \infty$, ułamki $\dfrac{3}{n}$, $\dfrac{3}{n^2}$, $\dfrac{14}{n}$ oraz $\dfrac{8}{n^2}$ dążą do zera: $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{5n + 5}{-4} = \left[ \dfrac{+\infty}{-4} \right] = -\infty$$
Podpunkt b) Obliczamy granicę $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{2n + 1}{n^2 + 2} - \dfrac{4n}{2 + n}\right)$:
Badamy granice obu ułamków niezależnie:

Dla pierwszego ułamka dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$: $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n + 1}{n^2 + 2} &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2}}{1 + \dfrac{2}{n^2}} \\[8pt] &= \dfrac{0 + 0}{1 + 0} = 0 \end{aligned}$$ Dla drugiego ułamka dzielimy licznik i mianownik przez $n$: $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \dfrac{4n}{2 + n} &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{4}{\dfrac{2}{n} + 1} \\[8pt] &= \dfrac{4}{0 + 1} = 4 \end{aligned}$$ Zgodnie z twierdzeniem o granicy różnicy ciągów: $$\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{2n + 1}{n^2 + 2} - \dfrac{4n}{2 + n}\right) = 0 - 4 = -4$$
Podpunkt c) Obliczamy granicę $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{15 - 3n}{5n^2 + 6}\right)^3$:
Wyznaczamy najpierw granicę wyrażenia znajdującego się wewnątrz nawiasu, dzieląc licznik oraz mianownik przez najwyższą potęgę mianownika, czyli $n^2$: $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \dfrac{15 - 3n}{5n^2 + 6} &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{15}{n^2} - \dfrac{3}{n}}{5 + \dfrac{6}{n^2}} \\[8pt] &= \dfrac{0 - 0}{5 + 0} = \dfrac{0}{5} = 0 \end{aligned}$$ Korzystając z własności granic potęg ciągów: $$\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{15 - 3n}{5n^2 + 6}\right)^3 = 0^3 = 0$$
Podpunkt d) Obliczamy granicę $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{12n^2 - 7n}{1 + 2 + 3 + \dots + n + (2n - 3)}$:
Wyrażenie w mianowniku zawiera sumę pierwszych $n$ kolejnych liczb naturalnych. Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego: $$1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{1 + n}{2} \cdot n = \dfrac{n^2 + n}{2}$$ Zapisujemy i upraszczamy cały mianownik: $$\begin{aligned} M_n &= \dfrac{n^2 + n}{2} + 2n - 3 \\[8pt] &= \dfrac{n^2 + n + 4n - 6}{2} \\[8pt] &= \dfrac{n^2 + 5n - 6}{2} \end{aligned}$$ Podstawiamy otrzymane wyrażenie do ułamka: $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \dfrac{12n^2 - 7n}{\dfrac{n^2 + 5n - 6}{2}} &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{2(12n^2 - 7n)}{n^2 + 5n - 6} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{24n^2 - 14n}{n^2 + 5n - 6} \end{aligned}$$ Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$: $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \dfrac{24 - \dfrac{14}{n}}{1 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{6}{n^2}} &= \dfrac{24 - 0}{1 + 0 - 0} = 24 \end{aligned}$$
Podpunkt e) Obliczamy granicę $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{5^n + 7^n}$:
Zadanie to można rozwiązać na dwa sposoby:

Sposób I – Wykorzystanie twierdzenia o trzech ciągach:
Dla każdego $n \ge 1$ prawdziwe są nierówności: $$7^n \le 5^n + 7^n \le 7^n + 7^n = 2 \cdot 7^n$$ Pierwiastkujemy stronami pierwiastkiem stopnia $n$: $$\sqrt[n]{7^n} \le \sqrt[n]{5^n + 7^n} \le \sqrt[n]{2 \cdot 7^n}$$ $$7 \le \sqrt[n]{5^n + 7^n} \le 7 \cdot \sqrt[n]{2}$$ Obliczamy granice ciągów ograniczających: $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} 7 &= 7 \\[8pt] \lim_{n \to \infty} \left(7 \cdot \sqrt[n]{2}\right) &= 7 \cdot 1 = 7 \end{aligned}$$ Na mocy twierdzenia o trzech ciągach: $$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{5^n + 7^n} = 7$$
Sposób II – Wyłączenie dominującej potęgi przed pierwiastek:
Wyłączamy $7^n$ przed nawias pod pierwiastkiem: $$\begin{aligned} \sqrt[n]{5^n + 7^n} &= \sqrt[n]{7^n \left(\left(\dfrac{5}{7}\right)^n + 1\right)} \\[8pt] &= 7 \cdot \sqrt[n]{\left(\dfrac{5}{7}\right)^n + 1} \end{aligned}$$ Ponieważ podstawa potęgi spełnia warunek $\left|\dfrac{5}{7}\right| < 1$, zachodzi: $$\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{5}{7}\right)^n = 0$$ Stąd wyrażenie pod pierwiastkiem dąży do $1$: $$\lim_{n \to \infty} 7 \cdot \sqrt[n]{0 + 1} = 7 \cdot 1 = 7$$

Odpowiedź:
a) $-\infty$

b) $-4$

c) $0$

d) $24$

e) $7$

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie 36 wynosi 48. Wyznacz iloraz tego ciągu.