Geometria analityczna sprawdzian 2

Geometria analityczna

Sprawdzian 2

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Napisz równania kierunkowe prostych $k$ i $l$ przechodzących przez punkt $P(-2, 2)$, gdy prosta $k$ jest równoległa, a prosta $l$ jest prostopadła do prostej $m : -3x + 2y + 1 = 0$.

Wskazówki:

Przekształć równanie ogólne prostej $m$ do postaci kierunkowej $y = ax + b$, wyznaczając zmienną $y$. Odczytany współczynnik $a_m$ określa nachylenie prostej.
Warunek równoległości: proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe ($a_k = a_m$).
Warunek prostopadłości: proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$ ($a_l \cdot a_m = -1 \iff a_l = -\dfrac{1}{a_m}$).
Wyraz wolny $b$ wyznaczamy, podstawiając współrzędne punktu $P(-2, 2)$ do postaci kierunkowej lub bezpośrednio ze wzoru punktowo-kierunkowego: $y - y_P = a(x - x_P)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie postaci kierunkowej prostej $m$:
Wychodzimy od podanego równania ogólnego prostej $m$: $$ -3x + 2y + 1 = 0 $$ Przenosimy wyrażenia z $x$ oraz wyraz wolny na prawą stronę: $$ 2y = 3x - 1 $$ Dzielimy obie strony równania przez $2$: $$ y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2} $$ Współczynnik kierunkowy prostej $m$ wynosi: $$ a_m = \dfrac{3}{2} $$ Poniższy szkic przedstawia układ współrzędnych z naniesioną prostą wyjściową $m$ oraz zadanym punktem $P(-2, 2)$:
Wyznaczenie równania kierunkowego prostej $k$ równoległej do prostej $m$:
Proste są równoległe, gdy mają identyczne współczynniki kierunkowe: $$ k \parallel m \iff a_k = a_m = \dfrac{3}{2} $$
Sposób I – Wyznaczenie wyrazu wolnego z postaci kierunkowej:
Zapisujemy równanie prostej $k$ z nieznanym wyrazem wolnym $b_k$: $$ y = \dfrac{3}{2}x + b_k $$ Podstawiamy współrzędne punktu $P(-2, 2)$: $$ \begin{aligned} 2 &= \dfrac{3}{2} \cdot (-2) + b_k \\[8pt] 2 &= -3 + b_k \\[8pt] b_k &= 2 + 3 = 5 \end{aligned} $$ Stąd równanie prostej $k$ wynosi: $$ y = \dfrac{3}{2}x + 5 $$
Sposób II – Wykorzystanie wzoru punktowo-kierunkowego:
Równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym $a$ przechodzącej przez punkt $P(x_P, y_P)$ wyraża się wzorem: $$ y - y_P = a(x - x_P) $$ Podstawiamy $a = \dfrac{3}{2}$ oraz $P(-2, 2)$: $$ \begin{aligned} y - 2 &= \dfrac{3}{2}\big(x - (-2)\big) \\[8pt] y - 2 &= \dfrac{3}{2}(x + 2) \\[8pt] y - 2 &= \dfrac{3}{2}x + 3 \\[8pt] y &= \dfrac{3}{2}x + 3 + 2 \\[8pt] y &= \dfrac{3}{2}x + 5 \end{aligned} $$
Wyznaczenie równania kierunkowego prostej $l$ prostopadłej do prostej $m$:
Warunek prostopadłości prostych o współczynnikach kierunkowych $a_l$ oraz $a_m$ ma postać: $$ l \perp m \iff a_l \cdot a_m = -1 $$ Wyznaczamy współczynnik $a_l$: $$ a_l = -\dfrac{1}{a_m} = -\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} = -\dfrac{2}{3} $$
Sposób I – Wyznaczenie wyrazu wolnego z postaci kierunkowej:
Zapisujemy równanie prostej $l$ z nieznanym wyrazem wolnym $b_l$: $$ y = -\dfrac{2}{3}x + b_l $$ Podstawiamy współrzędne punktu $P(-2, 2)$: $$ \begin{aligned} 2 &= -\dfrac{2}{3} \cdot (-2) + b_l \\[8pt] 2 &= \dfrac{4}{3} + b_l \\[8pt] b_l &= 2 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{6}{3} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3} \end{aligned} $$ Stąd równanie kierunkowe prostej $l$ ma postać: $$ y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{2}{3} $$
Sposób II – Wykorzystanie wzoru punktowo-kierunkowego:
Podstawiamy $a_l = -\dfrac{2}{3}$ oraz punkt $P(-2, 2)$ do wzoru $y - y_P = a_l(x - x_P)$: $$ \begin{aligned} y - 2 &= -\dfrac{2}{3}\big(x - (-2)\big) \\[8pt] y - 2 &= -\dfrac{2}{3}(x + 2) \\[8pt] y - 2 &= -\dfrac{2}{3}x - \dfrac{4}{3} \\[8pt] y &= -\dfrac{2}{3}x - \dfrac{4}{3} + 2 \\[8pt] y &= -\dfrac{2}{3}x - \dfrac{4}{3} + \dfrac{6}{3} \\[8pt] y &= -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{2}{3} \end{aligned} $$
Podsumowanie i rysunek wynikowy:
Obie proste przechodzą przez punkt $P(-2, 2)$. Prosta $k$ jest równoległa do prostej $m$ (obie mają ten sam kąt nachylenia do osi $OX$), natomiast prosta $l$ przecina obie proste pod kątem prostym ($90^\circ$).

Odpowiedź:
Prosta $k$: $y = \dfrac{3}{2}x + 5$ (lub $y = 1{,}5x + 5$)

Prosta $l$: $y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{2}{3}$

Zadanie 2 (3 pkt)

Napisz równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkt $P = (3, 0)$ i nachylonej do osi $OX$ pod kątem $150^\circ$.

Wskazówki:

Współczynnik kierunkowy prostej $a$ jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do dodatniej półosi osi $OX$: $a = \text{tg } \alpha$.
Wartość funkcji $\text{tg } 150^\circ$ wyznaczamy, stosując wzór redukcyjny dla drugiej ćwiartki: $\text{tg }(180^\circ - \beta) = -\text{tg } \beta$.
Równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym $a$ przechodzącej przez punkt $P(x_0, y_0)$ ma postać $y - y_0 = a(x - x_0)$. Otrzymany wzór przekształcamy do postaci ogólnej $Ax + By + C = 0$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej:
Z treści zadania znamy punkt $P = (3, 0)$, przez który przechodzi prosta, oraz kąt nachylenia tej prostej do dodatniej półosi osi $OX$: $\alpha = 150^\circ$.

Współczynnik kierunkowy prostej $a$ obliczamy z definicji tangensa kąta nachylenia: $$a = \text{tg } 150^\circ$$ Stosujemy wzór redukcyjny dla kąta rozwartego: $$\begin{aligned} a &= \text{tg }(180^\circ - 30^\circ) \\[8pt] &= -\text{tg } 30^\circ \\[8pt] &= -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned}$$
Wyznaczenie równania kierunkowego prostej:
Równanie prostej o współczynniku kierunkowym $a$ przechodzącej przez punkt $P(x_0, y_0)$ można wyznaczyć na dwa równorzędne sposoby:

• Sposób I (z postaci punkt-współczynnik kierunkowy):
Wstawiamy współrzędne punktu $P(3, 0)$ oraz $a = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ do wzoru $y - y_0 = a(x - x_0)$: $$\begin{aligned} y - 0 &= -\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x - 3) \\[8pt] y &= -\dfrac{\sqrt{3}}{3}x + \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot (-3) \\[8pt] y &= -\dfrac{\sqrt{3}}{3}x + \sqrt{3} \end{aligned}$$ • Sposób II (z wyznaczenia wyrazu wolnego $b$):
Podstawiamy współrzędne punktu $x = 3$, $y = 0$ do równania kierunkowego $y = ax + b$: $$\begin{aligned} 0 &= -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3 + b \\[8pt] 0 &= -\sqrt{3} + b \\[8pt] b &= \sqrt{3} \end{aligned}$$ Otrzymujemy identyczną postać kierunkową: $$y = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}x + \sqrt{3}$$
Przekształcenie do postaci ogólnej oraz rysunek wynikowy:
Postać ogólna prostej ma postać $Ax + By + C = 0$. Przenosimy wszystkie składniki na lewą stronę równania: $$\dfrac{\sqrt{3}}{3}x + y - \sqrt{3} = 0$$ Mnożymy obustronnie przez $3$, aby wyeliminować ułamek: $$\sqrt{3}x + 3y - 3\sqrt{3} = 0$$ Dzieląc obie strony równania przez $\sqrt{3}$ (lub mnożąc wyjściową postać przez $\sqrt{3}$), otrzymujemy postać o najprostszych współczynnikach: $$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}x + \dfrac{3}{\sqrt{3}}y - \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} &= 0 \\[8pt] x + \dfrac{3\sqrt{3}}{3}y - 3 &= 0 \\[8pt] x + \sqrt{3}y - 3 &= 0 \end{aligned}$$ Poniższy rysunek przedstawia wyznaczoną prostą wraz z zaznaczonym punktem $P(3, 0)$, kątem nachylenia $150^\circ$ oraz punktem przecięcia z osią $OY$:

Odpowiedź:
$x + \sqrt{3}y - 3 = 0$ (lub $\sqrt{3}x + 3y - 3\sqrt{3} = 0$)

Zadanie 3 (7 pkt)

Dany jest odcinek $AB$ o końcach $A = (3, 4)$ i $B = (-1, -4)$.

a) Napisz równanie symetralnej tego odcinka.

b) Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek $AB$.

Wskazówki:

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do niego, przechodząca przez jego środek.
Współrzędne środka odcinka $M(x_M, y_M)$ o końcach $A(x_A, y_A)$ oraz $B(x_B, y_B)$ obliczamy ze wzorów: $$x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}, \quad y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}$$
Dwie proste o współczynnikach kierunkowych $a_1$ oraz $a_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy: $$a_1 \cdot a_2 = -1 \implies a_2 = -\dfrac{1}{a_1}$$
Alternatywnie symetralną można wyznaczyć z warunku geometrycznego: punkt $P(x, y)$ leży na symetralnej odcinka $AB$, gdy jest jednakowo oddalony od obu jego końców ($|PA|^2 = |PB|^2$).
Środkiem okręgu, którego średnicą jest odcinek $AB$, jest środek tego odcinka ($S = M$), a promień $r$ to połowa długości odcinka $AB$ (czyli $r^2 = |SA|^2$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza geometryczna odcinka $AB$:
Nanosimy w kartezjańskim układzie współrzędnych dane punkty $A(3, 4)$ oraz $B(-1, -4)$ i łączymy je odcinkiem:
Podpunkt a) Wyznaczenie równania symetralnej odcinka $AB$:
Sposób I – Wykorzystanie środka odcinka oraz warunku prostopadłości:
Wyznaczamy współrzędne środka $M$ odcinka $AB$: $$\begin{aligned} x_M &= \dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{3 + (-1)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \\[8pt] y_M &= \dfrac{y_A + y_B}{2} = \dfrac{4 + (-4)}{2} = \dfrac{0}{2} = 0 \end{aligned}$$ Środkiem odcinka jest punkt $M(1, 0)$.

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej zawierającej odcinek $AB$: $$\begin{aligned} a_{AB} &= \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \\[8pt] &= \dfrac{-4 - 4}{-1 - 3} = \dfrac{-8}{-4} = 2 \end{aligned}$$ Symetralna $s$ jest prostopadła do odcinka $AB$ ($s \perp AB$), zatem jej współczynnik kierunkowy $a_s$ wynosi: $$\begin{aligned} a_s \cdot a_{AB} &= -1 \\[8pt] a_s \cdot 2 &= -1 \\[8pt] a_s &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$ Wyznaczamy równanie symetralnej przechodzącej przez punkt $M(1, 0)$: $$\begin{aligned} y - y_M &= a_s(x - x_M) \\[8pt] y - 0 &= -\dfrac{1}{2}(x - 1) \\[8pt] y &= -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$ W postaci ogólnej (mnożąc obustronnie przez $2$): $$\begin{aligned} 2y &= -x + 1 \\[8pt] x + 2y - 1 &= 0 \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie warunku równości odległości $|PA| = |PB|$:
Dowolny punkt $P(x, y)$ należy do symetralnej odcinka $AB$ wtedy i tylko wtedy, gdy jego odległość od punktu $A$ jest równa odległości od punktu $B$: $$\begin{aligned} |PA|^2 &= |PB|^2 \\[8pt] (x - 3)^2 + (y - 4)^2 &= [x - (-1)]^2 + [y - (-4)]^2 \\[8pt] (x - 3)^2 + (y - 4)^2 &= (x + 1)^2 + (y + 4)^2 \end{aligned}$$ Rozwijamy kwadraty sum i różnic za pomocą wzorów skróconego mnożenia: $$\begin{aligned} x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 &= x^2 + 2x + 1 + y^2 + 8y + 16 \end{aligned}$$ Redukujemy wyrazy kwadratowe $x^2$ oraz $y^2$: $$\begin{aligned} -6x - 8y + 25 &= 2x + 8y + 17 \end{aligned}$$ Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: $$\begin{aligned} -6x - 2x - 8y - 8y + 25 - 17 &= 0 \\[8pt] -8x - 16y + 8 &= 0 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $-8$: $$\begin{aligned} x + 2y - 1 &= 0 \\[8pt] 2y &= -x + 1 \\[8pt] y &= -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$ Obie metody prowadzą do identycznego równania symetralnej.
Podpunkt b) Wyznaczenie równania okręgu, którego średnicą jest odcinek $AB$:
Środkiem okręgu $S(a, b)$ o średnicy $AB$ jest środek tego odcinka: $$S = M = (1, 0)$$ Promień okręgu $r$ to odległość środka $S(1, 0)$ od dowolnego końca średnicy, np. punktu $A(3, 4)$: $$\begin{aligned} r^2 &= |SA|^2 \\[8pt] &= (3 - 1)^2 + (4 - 0)^2 \\[8pt] &= 2^2 + 4^2 \\[8pt] &= 4 + 16 \\[8pt] &= 20 \end{aligned}$$ Dla sprawdzenia obliczamy kwadrat odległości środka od punktu $B(-1, -4)$: $$\begin{aligned} |SB|^2 &= (-1 - 1)^2 + (-4 - 0)^2 \\[8pt] &= (-2)^2 + (-4)^2 \\[8pt] &= 4 + 16 = 20 \end{aligned}$$ Promień okręgu wynosi $r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Wstawiamy współrzędne środka $S(1, 0)$ oraz wartość $r^2 = 20$ do postaci kanonicznej równania okręgu $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$: $$\begin{aligned} (x - 1)^2 + (y - 0)^2 &= 20 \\[8pt] (x - 1)^2 + y^2 &= 20 \end{aligned}$$ W postaci ogólnej: $$\begin{aligned} x^2 - 2x + 1 + y^2 &= 20 \\[8pt] x^2 + y^2 - 2x - 19 &= 0 \end{aligned}$$
Rysunek wynikowy z wyznaczoną symetralną i okręgiem:
Poniższy rysunek przedstawia odcinek $AB$, wyznaczoną symetralną $s$ oraz okrąg oparty na średnicy $AB$:

Odpowiedź:
a) Równanie symetralnej odcinka $AB$:
$y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$ (lub $x + 2y - 1 = 0$)

b) Równanie okręgu o średnicy $AB$:
$(x - 1)^2 + y^2 = 20$ (lub $x^2 + y^2 - 2x - 19 = 0$)

Zadanie 4 (5 pkt)

Wyznacz równanie ogólne okręgu przechodzącego przez punkty $A = (-5, 0)$ i $B = (1, 4)$, jeśli jego środek należy do prostej $k : y = 2x - 1$.

Wskazówki:

Środek okręgu $S(a, b)$ leży na prostej $k: y = 2x - 1$, co pozwala zapisać jego współrzędne przy użyciu jednej zmiennej: $S = (a, 2a - 1)$.
Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu, co oznacza, że ich odległości od środka $S$ są równe promieniowi okręgu ($|SA| = |SB| = r$).
Alternatywnie środek okręgu można wyznaczyć jako punkt przecięcia prostej $k$ z symetralną odcinka $AB$.
Równanie ogólne okręgu otrzymuje się przez rozwinięcie postaci kanonicznej $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ i uporządkowanie wyrazów do postaci $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są dwa punkty $A = (-5, 0)$ oraz $B = (1, 4)$, a także prosta $k: y = 2x - 1$, na której leży nieznany środek okręgu $S$.
Sposób I – Wyznaczenie środka okręgu z równości promieni:
Niech $S = (a, b)$ będzie poszukiwanym środkiem okręgu. Ponieważ punkt $S$ leży na prostej $k: y = 2x - 1$, jego współrzędne spełniają równanie tej prostej: $$b = 2a - 1 \implies S = (a, 2a - 1)$$ Punkty $A(-5, 0)$ oraz $B(1, 4)$ leżą na okręgu, zatem ich odległości od środka $S$ są równe promieniowi okręgu $r$: $$|SA|^2 = |SB|^2 = r^2$$ Wyznaczamy kwadrat odległości $|SA|^2$: $$\begin{aligned} |SA|^2 &= (a - (-5))^2 + (b - 0)^2 \\[8pt] &= (a + 5)^2 + (2a - 1)^2 \\[8pt] &= (a^2 + 10a + 25) + (4a^2 - 4a + 1) \\[8pt] &= 5a^2 + 6a + 26 \end{aligned}$$ Wyznaczamy kwadrat odległości $|SB|^2$: $$\begin{aligned} |SB|^2 &= (a - 1)^2 + (b - 4)^2 \\[8pt] &= (a - 1)^2 + ((2a - 1) - 4)^2 \\[8pt] &= (a - 1)^2 + (2a - 5)^2 \\[8pt] &= (a^2 - 2a + 1) + (4a^2 - 20a + 25) \\[8pt] &= 5a^2 - 22a + 26 \end{aligned}$$ Przyrównujemy oba wyrażenia: $$\begin{aligned} 5a^2 + 6a + 26 &= 5a^2 - 22a + 26 \\[8pt] 6a &= -22a \\[8pt] 28a &= 0 \\[8pt] a &= 0 \end{aligned}$$ Obliczamy drugą współrzędną środka $b$: $$b = 2 \cdot 0 - 1 = -1$$ Zatem środkiem okręgu jest punkt: $$S = (0, -1)$$ Obliczamy kwadrat promienia okręgu $r^2$: $$\begin{aligned} r^2 &= |SA|^2 = (0 + 5)^2 + (-1 - 0)^2 \\[8pt] &= 5^2 + (-1)^2 \\[8pt] &= 25 + 1 = 26 \implies r = \sqrt{26} \end{aligned}$$
Sposób II – Wyznaczenie środka z przecięcia symetralnej odcinka $AB$ z prostą $k$:
Środek dowolnego okręgu przechodzącego przez punkty $A$ i $B$ leży na symetralnej odcinka $AB$.

1. Wyznaczamy środek $M$ odcinka $AB$: $$\begin{aligned} M &= \left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \ \dfrac{y_A + y_B}{2}\right) \\[8pt] &= \left(\dfrac{-5 + 1}{2}, \ \dfrac{0 + 4}{2}\right) = (-2, 2) \end{aligned}$$ 2. Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej $AB$: $$a_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{4 - 0}{1 - (-5)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$$ 3. Współczynnik kierunkowy symetralnej $s$ jest prostopadły do prostej $AB$: $$a_s = -\dfrac{1}{a_{AB}} = -\dfrac{3}{2}$$ Równanie symetralnej przechodzącej przez punkt $M(-2, 2)$: $$\begin{aligned} y - 2 &= -\dfrac{3}{2}(x - (-2)) \\[8pt] y - 2 &= -\dfrac{3}{2}x - 3 \\[8pt] y &= -\dfrac{3}{2}x - 1 \end{aligned}$$ 4. Środek okręgu $S$ jest punktem przecięcia prostej $k$ oraz symetralnej $s$: $$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = -\dfrac{3}{2}x - 1 \end{cases}$$ Przyrównujemy prawe strony: $$\begin{aligned} 2x - 1 &= -\dfrac{3}{2}x - 1 \\[8pt] 2x + \dfrac{3}{2}x &= 0 \\[8pt] \dfrac{7}{2}x &= 0 \implies x = 0 \end{aligned}$$ Obliczamy rzędną: $$y = 2 \cdot 0 - 1 = -1 \implies S = (0, -1)$$
Przekształcenie równania okręgu do postaci ogólnej i interpretacja graficzna:
Znamy współrzędne środka $S = (0, -1)$ oraz kwadrat promienia $r^2 = 26$. Zapisujemy równanie okręgu w postaci kanonicznej: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$ $$(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = 26 \implies x^2 + (y + 1)^2 = 26$$ Rozwijamy wyrażenie, stosując wzór skróconego mnożenia: $$\begin{aligned} x^2 + (y^2 + 2y + 1) &= 26 \\[8pt] x^2 + y^2 + 2y + 1 - 26 &= 0 \\[8pt] x^2 + y^2 + 2y - 25 &= 0 \end{aligned}$$ Otrzymujemy poszukiwane równanie ogólne: $$x^2 + y^2 + 2y - 25 = 0$$

Odpowiedź:
Równanie ogólne okręgu: $x^2 + y^2 + 2y - 25 = 0$

Zadanie 5 (3 pkt)

Rozwiąż algebraicznie układ równań. Następnie przedstaw jego ilustrację graficzną. $$ \begin{cases} x + y = 2 \\[6pt] x^2 + y^2 + 4x = 0 \end{cases} $$

Wskazówki:

Aby rozwiązać układ algebraicznie, zastosuj metodę podstawiania: wyznacz jedną z niewiadomych z równania liniowego ($y = 2 - x$) i wstaw do drugiego równania.
Rozwiń kwadrat różnicy za pomocą wzoru $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ i doprowadź równanie do najprostszej postaci. Zwróć uwagę na znak kwadratu niewiadomej lub wyróżnik $\Delta$.
W celu sporządzenia interpretacji graficznej zidentyfikuj obie figury geometryczne: pierwsze równanie opisuje prostą, natomiast drugie po dopełnieniu do pełnego kwadratu opisuje okrąg w postaci kanonicznej $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
Porównaj promień okręgu $R$ z odległością $d$ środka okręgu od prostej, aby jednoznacznie uzasadnić brak punktów wspólnych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozwiązanie algebraiczne układu równań metodą podstawiania:
Dany jest układ równań: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\[6pt] x^2 + y^2 + 4x = 0 \end{cases} $$ Z pierwszego równania wyznaczamy niewiadomą $y$: $$ y = 2 - x $$ Wstawiamy wyrażenie $y = 2 - x$ w miejsce zmiennej $y$ do drugiego równania: $$ x^2 + (2 - x)^2 + 4x = 0 $$ Stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy $(2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2$: $$ \begin{aligned} x^2 + 4 - 4x + x^2 + 4x &= 0 \\[8pt] 2x^2 + 4 &= 0 \\[8pt] 2x^2 &= -4 \quad \big/ : 2 \\[8pt] x^2 &= -2 \end{aligned} $$ Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$ kwadrat jest liczbą nieujemną ($x^2 \ge 0$), zatem równanie $x^2 = -2$ nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Równoważnie, badając wyróżnik równania kwadratowego $2x^2 + 0x + 4 = 0$: $$ \Delta = 0^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = -32 < 0 $$ Układ równań jest sprzeczny – brak par liczb rzeczywistych $(x, y)$ spełniających oba równania.
Przekształcenie drugiego równania i identyfikacja okręgu:
Drugie równanie ma postać: $$ x^2 + y^2 + 4x = 0 $$ Grupujemy wyrazy ze zmienną $x$ i dopełniamy do pełnego kwadratu sumy: $$ \begin{aligned} (x^2 + 4x) + y^2 &= 0 \\[8pt] (x^2 + 4x + 4) - 4 + y^2 &= 0 \\[8pt] (x + 2)^2 + y^2 &= 4 \\[8pt] (x + 2)^2 + y^2 &= 2^2 \end{aligned} $$ Jest to równanie okręgu w postaci kanonicznej $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, gdzie:
- środek okręgu: $S(-2, 0)$,
- promień okręgu: $R = \sqrt{4} = 2$.
Identyfikacja prostej i badanie wzajemnego położenia figur:
Pierwsze równanie układu opisuje prostą: $$ x + y = 2 \iff y = -x + 2 $$ Przecina ona osie układu współrzędnych w punktach: $$ (0, 2) \quad \text{oraz} \quad (2, 0) $$ Zapisujemy równanie prostej w postaci ogólnej $Ax + By + C = 0$: $$ k: 1 \cdot x + 1 \cdot y - 2 = 0 $$ Obliczamy odległość $d$ środka okręgu $S(-2, 0)$ od prostej $k$: $$ \begin{aligned} d(S, k) &= \dfrac{|A x_S + B y_S + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \\[8pt] &= \dfrac{|1 \cdot (-2) + 1 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \\[8pt] &= \dfrac{|-4|}{\sqrt{2}} \\[8pt] &= \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \end{aligned} $$ Porównujemy odległość $d$ z promieniem okręgu $R = 2$: $$ d = 2\sqrt{2} = \sqrt{8} \approx 2{,}83 > 2 = R $$ Ponieważ odległość środka okręgu od prostej jest ściśle większa od promienia ($d > R$), prosta jest rozłączna z okręgiem i nie posiada z nim żadnych punktów wspólnych.
Ilustracja graficzna układu równań:
Rysujemy w jednym układzie współrzędnych okrąg o środku $S(-2, 0)$ i promieniu $R = 2$ oraz prostą $y = -x + 2$:

Wykres potwierdza, że prosta i okrąg nie mają punktów przecięcia ani punktu styczności.

Odpowiedź:
Układ równań nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych (jest sprzeczny: brak par liczb $(x, y)$ spełniających układ).

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Napisz równania kierunkowe prostych $ k $ i $ l $ przechodzących przez punkt $ P(1, -3) $, gdy prosta $ k $ jest równoległa, a prosta $ l $ jest prostopadła do prostej $ m: 4x - y + 5 = 0 $.