Trygonometria sprawdzian

Trygonometria

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 17 i jednej z przyprostokątnych długości 8. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych sinusa, cosinusa i tangensa kąta ostrego $\alpha$ leżącego naprzeciw dłuższej przyprostokątnej w tym trójkącie.

Wskazówki:

Długość brakującej przyprostokątnej wyznacz z twierdzenia Pitagorasa: $a^2 + b^2 = c^2$.
Porównaj długości obu przyprostokątnych, aby poprawnie wskazać dłuższą z nich i zlokalizować kąt ostry $\alpha$.
Wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym oblicz z definicji:
• sinus to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej,
• cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta do przeciwprostokątnej,
• tangens to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przyległej.
Alternatywnie wartości funkcji można wyznaczyć z tożsamości trygonometrycznych (z jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ oraz zależności $\text{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i obliczenie długości drugiej przyprostokątnej:
Niech $c = 17$ oznacza długość przeciwprostokątnej, a $a = 8$ długość podanej przyprostokątnej. Drugą przyprostokątną oznaczamy literą $b$.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy: $$ a^2 + b^2 = c^2 $$ Podstawiamy dane wartości: $$ \begin{aligned} 8^2 + b^2 &= 17^2 \\[8pt] 64 + b^2 &= 289 \\[8pt] b^2 &= 289 - 64 \\[8pt] b^2 &= 225 \end{aligned} $$ Ponieważ długość boku musi być liczbą dodatnią: $$ b = \sqrt{225} = 15 $$ Porównujemy długości obu przyprostokątnych: $$ 15 > 8 \implies b > a $$ Dłuższą przyprostokątną jest przyprostokątna o długości $b = 15$. Zgodnie z treścią zadania kąt $\alpha$ leży naprzeciw dłuższej przyprostokątnej, zatem:
• przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$: $b = 15$
• przyprostokątna przyległa do kąta $\alpha$: $a = 8$
• przeciwprostokątna: $c = 17$
Sposób I – Wyznaczenie wartości funkcji z definicji w trójkącie prostokątnym:
Stosujemy klasyczne definicje funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego $\alpha$:

• Sinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej: $$ \sin\alpha = \dfrac{b}{c} = \dfrac{15}{17} $$ • Cosinus to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej: $$ \cos\alpha = \dfrac{a}{c} = \dfrac{8}{17} $$ • Tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $\alpha$ do długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta: $$ \text{tg}\alpha = \dfrac{b}{a} = \dfrac{15}{8} = 1\dfrac{7}{8} $$
Sposób II – Wyznaczenie wartości funkcji za pomocą tożsamości trygonometrycznych:
Wychodzimy z wartości cosinusa kąta $\alpha$, która wynika bezpośrednio ze stosunku przyprostokątnej przyległej ($a = 8$) do przeciwprostokątnej ($c = 17$): $$ \cos\alpha = \dfrac{8}{17} $$ Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, aby wyznaczyć wartość sinusa: $$ \begin{aligned} \sin^2\alpha + \left(\dfrac{8}{17}\right)^2 &= 1 \\[8pt] \sin^2\alpha + \dfrac{64}{289} &= 1 \\[8pt] \sin^2\alpha &= 1 - \dfrac{64}{289} \\[8pt] \sin^2\alpha &= \dfrac{225}{289} \end{aligned} $$ Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym ($\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$), sinus przyjmuje wartość dodatnią: $$ \sin\alpha = \sqrt{\dfrac{225}{289}} = \dfrac{15}{17} $$ Wartość tangensa wyznaczamy ze związku $\text{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$: $$ \begin{aligned} \text{tg}\alpha &= \dfrac{\dfrac{15}{17}}{\dfrac{8}{17}} \\[8pt] &= \dfrac{15}{17} \cdot \dfrac{17}{8} \\[8pt] &= \dfrac{15}{8} = 1\dfrac{7}{8} \end{aligned} $$ Obie metody prowadzą do identycznych wyników.
Podsumowanie i rysunek wynikowy:
Trójkąt o bokach $8, 15, 17$ jest trójkątem pitagorejskim. Poniższy rysunek przedstawia kompletnie opisany trójkąt z wyznaczonymi wartościami funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha$:

Odpowiedź:
$\sin\alpha = \dfrac{15}{17}, \quad \cos\alpha = \dfrac{8}{17}, \quad \text{tg}\alpha = \dfrac{15}{8} = 1\dfrac{7}{8}$

Zadanie 2 (4 pkt)

Wyznacz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $\alpha$, jeżeli:

a) $\cos \alpha = \dfrac{2}{5}$

b) $\text{tg } \alpha = 4$

Wskazówki:

Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym ($\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$), co oznacza, że wszystkie wartości funkcji trygonometrycznych ($\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\text{tg } \alpha$, $\text{ctg } \alpha$) są liczbami ściśle dodatnimi.
Podstawowe tożsamości trygonometryczne to jedynka trygonometryczna: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, iloraz tangensa: $\text{tg } \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ oraz zależność odwrotności: $\text{ctg } \alpha = \dfrac{1}{\text{tg } \alpha}$.
Zadanie można rozwiązać dwoma równorzędnymi metodami: algebraicznie (korzystając z tożsamości trygonometrycznych) lub geometrycznie (konstruując pomocniczy trójkąt prostokątny i stosując twierdzenie Pitagorasa).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Sposób I – Wyznaczenie wartości funkcji za pomocą tożsamości trygonometrycznych dla $\cos \alpha = \dfrac{2}{5}$:
Wychodzimy z danej wartości $\cos \alpha = \dfrac{2}{5}$. Aby obliczyć $\sin \alpha$, stosujemy jedynkę trygonometryczną: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ Podstawiamy wartość cosinusa: $$\begin{aligned} \sin^2 \alpha + \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 &= 1 \\[8pt] \sin^2 \alpha + \dfrac{4}{25} &= 1 \\[8pt] \sin^2 \alpha &= 1 - \dfrac{4}{25} \\[8pt] \sin^2 \alpha &= \dfrac{21}{25} \end{aligned}$$ Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym, sinus przyjmuje wyłącznie wartość dodatnią: $$\sin \alpha = \sqrt{\dfrac{21}{25}} = \dfrac{\sqrt{21}}{5}$$ Następnie wyznaczamy tangens kąta $\alpha$: $$\begin{aligned} \text{tg } \alpha &= \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \\[8pt] &= \dfrac{\dfrac{\sqrt{21}}{5}}{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{\sqrt{21}}{5} \cdot \dfrac{5}{2} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{21}}{2} \end{aligned}$$ Cotangens jest odwrotnością tangensa. Usuwamy niewymierność z mianownika: $$\begin{aligned} \text{ctg } \alpha &= \dfrac{1}{\text{tg } \alpha} = \dfrac{2}{\sqrt{21}} \\[8pt] &= \dfrac{2 \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = \dfrac{2\sqrt{21}}{21} \end{aligned}$$
Podpunkt a) Sposób II – Wyznaczenie wartości z definicji w trójkącie prostokątnym:
Niech dany będzie trójkąt prostokątny o kącie ostrym $\alpha$, przyprostokątnych $a, b$ oraz przeciwprostokątnej $c$. Z definicji cosinusa: $$\cos \alpha = \dfrac{b}{c} = \dfrac{2}{5}$$ Przyjmujemy długości boków jako $b = 2$ oraz $c = 5$.

Rysunek pomocniczy (stan wyjściowy):

Długość brakującej przyprostokątnej $a$ wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa: $$\begin{aligned} a^2 + b^2 &= c^2 \\[8pt] a^2 + 2^2 &= 5^2 \\[8pt] a^2 + 4 &= 25 \\[8pt] a^2 &= 21 \\[8pt] a &= \sqrt{21} \end{aligned}$$ Rysunek wynikowy (po obliczeniu boku $a$):

Odczytujemy wartości funkcji wprost z trójkąta: $$\begin{aligned} \sin \alpha &= \dfrac{a}{c} = \dfrac{\sqrt{21}}{5} \\[8pt] \text{tg } \alpha &= \dfrac{a}{b} = \dfrac{\sqrt{21}}{2} \\[8pt] \text{ctg } \alpha &= \dfrac{b}{a} = \dfrac{2}{\sqrt{21}} = \dfrac{2\sqrt{21}}{21} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Sposób I – Wyznaczenie wartości funkcji za pomocą tożsamości trygonometrycznych dla $\text{tg } \alpha = 4$:
Wychodzimy z danej wartości $\text{tg } \alpha = 4$. Wartość cotangensa obliczamy natychmiast jako odwrotność: $$\text{ctg } \alpha = \dfrac{1}{\text{tg } \alpha} = \dfrac{1}{4}$$ Z definicji $\text{tg } \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 4$ wynika, że: $$\sin \alpha = 4\cos \alpha$$ Wstawiamy tę zależność do jedynki trygonometrycznej: $$\begin{aligned} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha &= 1 \\[8pt] (4\cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha &= 1 \\[8pt] 16\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha &= 1 \\[8pt] 17\cos^2 \alpha &= 1 \quad \Big/ : 17 \\[8pt] \cos^2 \alpha &= \dfrac{1}{17} \end{aligned}$$ Kąt $\alpha$ jest ostry ($\cos \alpha > 0$), zatem pierwiastkujemy i usuwamy niewymierność: $$\begin{aligned} \cos \alpha &= \dfrac{1}{\sqrt{17}} = \dfrac{1 \cdot \sqrt{17}}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{17}}{17} \end{aligned}$$ Mając $\cos \alpha$, obliczamy $\sin \alpha$: $$\begin{aligned} \sin \alpha &= 4\cos \alpha = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{17}}{17} \\[8pt] &= \dfrac{4\sqrt{17}}{17} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Sposób II – Wyznaczenie wartości z definicji w trójkącie prostokątnym:
Wartość tangensa możemy zapisać w postaci ułamka: $$\text{tg } \alpha = \dfrac{a}{b} = \dfrac{4}{1}$$ Przyjmujemy długości przyprostokątnych jako $a = 4$ (naprzeciw kąta $\alpha$) oraz $b = 1$ (przyległa do kąta $\alpha$).

Rysunek pomocniczy (stan wyjściowy):

Obliczamy przeciwprostokątną $c$ z twierdzenia Pitagorasa: $$\begin{aligned} c^2 &= a^2 + b^2 \\[8pt] c^2 &= 4^2 + 1^2 \\[8pt] c^2 &= 16 + 1 = 17 \\[8pt] c &= \sqrt{17} \end{aligned}$$ Rysunek wynikowy (po obliczeniu przeciwprostokątnej $c$):

Odczytujemy wartości funkcji z trójkąta i usuwamy niewymierności z mianowników: $$\begin{aligned} \sin \alpha &= \dfrac{a}{c} = \dfrac{4}{\sqrt{17}} = \dfrac{4\sqrt{17}}{17} \\[8pt] \cos \alpha &= \dfrac{b}{c} = \dfrac{1}{\sqrt{17}} = \dfrac{\sqrt{17}}{17} \\[8pt] \text{ctg } \alpha &= \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{4} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{21}}{5}$, $\text{tg } \alpha = \dfrac{\sqrt{21}}{2}$, $\text{ctg } \alpha = \dfrac{2\sqrt{21}}{21}$

b) $\sin \alpha = \dfrac{4\sqrt{17}}{17}$, $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{17}}{17}$, $\text{ctg } \alpha = \dfrac{1}{4}$

Zadanie 3 (4 pkt)

Oblicz wartości wyrażeń:

a) $\cos^2 65^\circ + \cos^2 25^\circ - 2\cos 60^\circ$

b) $(\sin 60^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ)^2 - (\operatorname{tg} 60^\circ + \cos 30^\circ)^2$

Wskazówki:

Zastosuj wzór redukcyjny dla kątów dopełniających: $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$. Zauważ, że $65^\circ + 25^\circ = 90^\circ$, skąd $\cos 65^\circ = \sin 25^\circ$.
Skorzystaj z tożsamości jedynki trygonometrycznej: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Przypomnij sobie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów charakterystycznych: $$\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}, \quad \operatorname{tg} 45^\circ = 1, \quad \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$$
W podpunkcie b) możesz podnieść nawiasy do kwadratu za pomocą wzorów skróconego mnożenia lub skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $\cos^2 65^\circ + \cos^2 25^\circ - 2\cos 60^\circ$:
Zauważamy, że kąty $65^\circ$ i $25^\circ$ są kątami dopełniającymi do $90^\circ$ ($65^\circ = 90^\circ - 25^\circ$). Korzystamy ze wzoru redukcyjnego: $$\begin{aligned} \cos 65^\circ &= \cos(90^\circ - 25^\circ) = \sin 25^\circ \end{aligned}$$ Podnosząc do kwadratu, otrzymujemy: $$\begin{aligned} \cos^2 65^\circ &= \sin^2 25^\circ \end{aligned}$$ Wstawiamy tę zależność do sumy pierwszych dwóch składników i korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $$\begin{aligned} \cos^2 65^\circ + \cos^2 25^\circ &= \sin^2 25^\circ + \cos^2 25^\circ \\[8pt] &= 1 \end{aligned}$$ Następnie odczytujemy wartość cosinusa kąta $60^\circ$: $$\begin{aligned} \cos 60^\circ &= \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$ Obliczamy wartość trzeciego składnika: $$\begin{aligned} 2\cos 60^\circ &= 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}$$ Ostatecznie łączymy obliczone wartości: $$\begin{aligned} \cos^2 65^\circ + \cos^2 25^\circ - 2\cos 60^\circ &= 1 - 1 \\[8pt] &= 0 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $(\sin 60^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ)^2 - (\operatorname{tg} 60^\circ + \cos 30^\circ)^2$:
Wypisujemy wartości poszczególnych funkcji trygonometrycznych: $$\begin{aligned} \sin 60^\circ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] \operatorname{tg} 45^\circ &= 1 \\[8pt] \operatorname{tg} 60^\circ &= \sqrt{3} \\[8pt] \cos 30^\circ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$
Sposób I – Podniesienie do kwadratu każdego z nawiasów:
Rozpisujemy pierwszy nawias za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$\begin{aligned} (\sin 60^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ)^2 &= \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1\right)^2 \\[8pt] &= \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + 1^2 \\[8pt] &= \dfrac{3}{4} - \sqrt{3} + 1 \\[8pt] &= \dfrac{7}{4} - \sqrt{3} \end{aligned}$$ Upraszczamy wyrażenie wewnątrz drugiego nawiasu, sprowadzając do wspólnego mianownika: $$\begin{aligned} \operatorname{tg} 60^\circ + \cos 30^\circ &= \sqrt{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] &= \dfrac{2\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] &= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$ Podnosimy otrzymaną wartość do kwadratu: $$\begin{aligned} (\operatorname{tg} 60^\circ + \cos 30^\circ)^2 &= \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\[8pt] &= \dfrac{3^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{2^2} \\[8pt] &= \dfrac{9 \cdot 3}{4} \\[8pt] &= \dfrac{27}{4} \end{aligned}$$ Odejmujemy drugą wartość od pierwszej: $$\begin{aligned} (\sin 60^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ)^2 - (\operatorname{tg} 60^\circ + \cos 30^\circ)^2 &= \left(\dfrac{7}{4} - \sqrt{3}\right) - \dfrac{27}{4} \\[8pt] &= \dfrac{7}{4} - \dfrac{27}{4} - \sqrt{3} \\[8pt] &= -\dfrac{20}{4} - \sqrt{3} \\[8pt] &= -5 - \sqrt{3} \end{aligned}$$
Sposób II – Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów:
Stosujemy tożsamość algebraiczną $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, przyjmując: $$\begin{aligned} A &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1 \\[8pt] B &= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$ Obliczamy różnicę $A - B$: $$\begin{aligned} A - B &= \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1\right) - \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{2} - 1 \\[8pt] &= \dfrac{-2\sqrt{3}}{2} - 1 \\[8pt] &= -\sqrt{3} - 1 \end{aligned}$$ Obliczamy sumę $A + B$: $$\begin{aligned} A + B &= \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1\right) + \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{2} - 1 \\[8pt] &= \dfrac{4\sqrt{3}}{2} - 1 \\[8pt] &= 2\sqrt{3} - 1 \end{aligned}$$ Mnożymy oba czynniki: $$\begin{aligned} (A - B)(A + B) &= (-\sqrt{3} - 1)(2\sqrt{3} - 1) \\[8pt] &= -(\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1) \\[8pt] &= -\left[2 \cdot (\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 1\right] \\[8pt] &= -\left[2 \cdot 3 + \sqrt{3} - 1\right] \\[8pt] &= -\left[6 + \sqrt{3} - 1\right] \\[8pt] &= -(5 + \sqrt{3}) \\[8pt] &= -5 - \sqrt{3} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $0$

b) $-5 - \sqrt{3}$

Zadanie 4 (3 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{2\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - 3\sin\alpha}$, jeśli $\alpha$ jest kątem ostrym i $\operatorname{tg}\alpha = 2$.

Wskazówki:

Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym, dlatego $\cos\alpha > 0$. Możesz podzielić licznik i mianownik ułamka przez $\cos\alpha$, aby uzależnić całe wyrażenie bezpośrednio od wartości $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Alternatywnie wykorzystaj zależność $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2 \implies \sin\alpha = 2\cos\alpha$ i podstaw to wyrażenie do ułamka, po czym skróć $\cos\alpha$.
Wartości $\sin\alpha$ oraz $\cos\alpha$ możesz także wyznaczyć geometrycznie, konstruując trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $2$ oraz $1$ i stosując twierdzenie Pitagorasa.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza założeń i dziedziny wyrażenia:
Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym, czyli: $$\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$$ Dla każdego kąta ostrego funkcje trygonometryczne przyjmują wartości dodatnie: $$\sin\alpha > 0, \quad \cos\alpha > 0$$ Z treści zadania tangens tego kąta wynosi: $$\operatorname{tg}\alpha = 2$$ Sprawdzamy, czy mianownik wyrażenia jest różny od zera: $$\begin{aligned} \cos\alpha - 3\sin\alpha &= \cos\alpha\left(1 - 3\operatorname{tg}\alpha\right) \\[8pt] &= \cos\alpha(1 - 3 \cdot 2) \\[8pt] &= -5\cos\alpha \ne 0 \end{aligned}$$ Ponieważ $\cos\alpha > 0$, mianownik nigdy się nie zeruje, więc wyrażenie ma sens liczbowy.
Sposób I – Dzielenie licznika i mianownika przez $\cos\alpha$:
Wychodzimy od zadanego wyrażenia: $$W = \dfrac{2\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - 3\sin\alpha}$$ Dzielimy licznik oraz mianownik ułamka przez $\cos\alpha$: $$W = \dfrac{\dfrac{2\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha}}{\dfrac{\cos\alpha - 3\sin\alpha}{\cos\alpha}}$$ Rozdzielamy poszczególne składniki na sumy i różnice ułamków: $$\begin{aligned} W &= \dfrac{2 \cdot \dfrac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\dfrac{\cos\alpha}{\cos\alpha} - 3 \cdot \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} \\[8pt] &= \dfrac{2 \cdot 1 + \operatorname{tg}\alpha}{1 - 3\operatorname{tg}\alpha} \end{aligned}$$ Podstawiamy znaną wartość $\operatorname{tg}\alpha = 2$: $$\begin{aligned} W &= \dfrac{2 + 2}{1 - 3 \cdot 2} \\[8pt] &= \dfrac{4}{1 - 6} \\[8pt] &= \dfrac{4}{-5} \\[8pt] &= -\dfrac{4}{5} = -0{,}8 \end{aligned}$$
Sposób II – Wyznaczenie zależności między $\sin\alpha$ a $\cos\alpha$ i redukcja:
Z definicji funkcji tangens otrzymujemy: $$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2$$ Mnożymy obie strony równości przez $\cos\alpha$: $$\sin\alpha = 2\cos\alpha$$ Wstawiamy wyrażenie $2\cos\alpha$ w miejsce każdego wystąpienia $\sin\alpha$ w ułamku: $$\begin{aligned} W &= \dfrac{2\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - 3\sin\alpha} \\[8pt] &= \dfrac{2\cos\alpha + 2\cos\alpha}{\cos\alpha - 3 \cdot (2\cos\alpha)} \\[8pt] &= \dfrac{4\cos\alpha}{\cos\alpha - 6\cos\alpha} \\[8pt] &= \dfrac{4\cos\alpha}{-5\cos\alpha} \end{aligned}$$ Skracamy ułamek przez $\cos\alpha \ne 0$: $$W = \dfrac{4}{-5} = -\dfrac{4}{5} = -0{,}8$$
Sposób III – Interpretacja geometryczna w trójkącie prostokątnym:
Funkcję tangens kąta ostrego $\alpha$ możemy zdefiniować w trójkącie prostokątnym $ABC$ jako stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $\alpha$ ($a$) do przyprostokątnej przyległej ($b$): $$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{a}{b} = 2 = \dfrac{2}{1}$$ Możemy przyjąć $a = 2$ oraz $b = 1$. Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy przeciwprostokątną $c$: $$\begin{aligned} c^2 &= a^2 + b^2 \\[8pt] c^2 &= 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 \\[8pt] c &= \sqrt{5} \end{aligned}$$

Odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych: $$\begin{aligned} \sin\alpha &= \dfrac{a}{c} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\[8pt] \cos\alpha &= \dfrac{b}{c} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \end{aligned}$$ Podstawiamy je do wyrażenia: $$\begin{aligned} W &= \dfrac{2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}} + \dfrac{2}{\sqrt{5}}}{\dfrac{1}{\sqrt{5}} - 3 \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}}} \\[8pt] &= \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{5}} + \dfrac{2}{\sqrt{5}}}{\dfrac{1}{\sqrt{5}} - \dfrac{6}{\sqrt{5}}} \\[8pt] &= \dfrac{\dfrac{4}{\sqrt{5}}}{-\dfrac{5}{\sqrt{5}}} \\[8pt] &= \dfrac{4}{\sqrt{5}} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right) \\[8pt] &= -\dfrac{4}{5} = -0{,}8 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
$-\dfrac{4}{5}$

Zadanie 5 (3 pkt)

Oblicz obwód prostokąta w którym kąt między przekątną długości $4\sqrt{3}$ a krótszym bokiem wynosi $60^\circ$.

Wskazówki:

Przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne, w których przeciwprostokątną jest przekątna $d = 4\sqrt{3}$, a przyprostokątnymi boki prostokąta: dłuższy $a$ i krótszy $b$.
Kąt o mierze $60^\circ$ leży między przekątną a krótszym bokiem $b$, co oznacza, że bok $b$ jest przyprostokątną przyległą do tego kąta, a dłuższy bok $a$ leży naprzeciwko niego.
Długości boków można wyznaczyć za pomocą funkcji trygonometrycznych ($\cos 60^\circ$ oraz $\sin 60^\circ$) lub korzystając ze szczególnych własności trójkąta prostokątnego o kątach $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ (połowy trójkąta równobocznego) i twierdzenia Pitagorasa.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza trójkąta prostokątnego:
Niech prostokąt ma wierzchołki $ABCD$, gdzie:
- $a = |AB| = |CD|$ – dłuższy bok prostokąta,
- $b = |BC| = |AD|$ – krótszy bok prostokąta,
- $d = |AC| = 4\sqrt{3}$ – przekątna prostokąta.
Kąt między przekątną $AC$ a krótszym bokiem $BC$ wynosi $60^\circ$ ($\angle BCA = 60^\circ$). Przekątna tworzy z bokami trójkąt prostokątny $ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $B$:
Sposób I – Wyznaczenie długości boków za pomocą funkcji trygonometrycznych:
W trójkącie prostokątnym $ABC$ bok $b$ leży przy kącie $60^\circ$, a bok $a$ naprzeciwko tego kąta.

Stosujemy definicję funkcji cosinus dla kąta $60^\circ$: $$ \cos(60^\circ) = \dfrac{b}{d} $$ Podstawiamy wartość $\cos(60^\circ) = \dfrac{1}{2}$ oraz $d = 4\sqrt{3}$: $$ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} &= \dfrac{b}{4\sqrt{3}} \\[8pt] b &= 4\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} \\[8pt] b &= 2\sqrt{3} \end{aligned} $$ Następnie stosujemy definicję funkcji sinus dla kąta $60^\circ$: $$ \sin(60^\circ) = \dfrac{a}{d} $$ Podstawiamy wartość $\sin(60^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $$ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= \dfrac{a}{4\sqrt{3}} \\[8pt] a &= 4\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] a &= 2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 3 = 6 \end{aligned} $$ Sprawdzamy warunek relacji długości boków: $$ b = 2\sqrt{3} = \sqrt{12} \approx 3{,}46 < 6 = a $$ Rzeczywiście bok $b$ jest krótszym bokiem prostokąta.
Sposób II – Wykorzystanie własności trójkąta $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ i twierdzenia Pitagorasa:
W trójkącie prostokątnym $ABC$ suma miar kątów ostrych wynosi $90^\circ$, zatem drugi kąt ostry ma miarę: $$ \angle CAB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $$ Trójkąt o kątach $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ jest połową trójkąta równobocznego o boku równym przeciwprostokątnej $d = 4\sqrt{3}$.
Przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $30^\circ$ (czyli krótszy bok $b$) ma długość równą połowie przeciwprostokątnej: $$ b = \dfrac{1}{2} d = \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $$ Długość dłuższego boku $a$ wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa: $$ a^2 + b^2 = d^2 $$ Podstawiamy wyznaczoną wartość boku $b$ oraz przekątnej $d$: $$ \begin{aligned} a^2 + (2\sqrt{3})^2 &= (4\sqrt{3})^2 \\[8pt] a^2 + (4 \cdot 3) &= (16 \cdot 3) \\[8pt] a^2 + 12 &= 48 \\[8pt] a^2 &= 48 - 12 \\[8pt] a^2 &= 36 \implies a = \sqrt{36} = 6 \end{aligned} $$
Obliczenie obwodu prostokąta i rysunek wynikowy:
Obwód prostokąta jest sumą długości wszystkich jego czterech boków: $$ \text{Obw} = 2a + 2b $$ Podstawiamy obliczone wartości $a = 6$ oraz $b = 2\sqrt{3}$: $$ \begin{aligned} \text{Obw} &= 2 \cdot 6 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \\[8pt] &= 12 + 4\sqrt{3} = 4(3 + \sqrt{3}) \end{aligned} $$ Otrzymane wymiary przedstawia poniższy rysunek:

Odpowiedź:
$\text{Obw} = 12 + 4\sqrt{3} = 4(3 + \sqrt{3})$

Zadanie 6 (3 pkt)

Oblicz $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ wiedząc, że $\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{4}$.

Wskazówki:

Podnieś obie strony podanego w treści równania do kwadratu.
Zastosuj wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Skorzystaj z tożsamości trygonometrycznej jedynki trygonometrycznej: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, a następnie wyznacz wartość iloczynu $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podniesienie obu stron wyjściowego równania do kwadratu:
Wychodzimy od równości podanej w poleceniu: $$\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{4}$$ Podnosimy obie strony równania do kwadratu: $$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^2$$ Lewą stronę rozwijamy za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $$\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \dfrac{1}{16}$$
Zastosowanie jedynki trygonometrycznej i wyznaczenie iloczynu:
Grupujemy wyrazy z kwadratami po lewej stronie: $$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha = \dfrac{1}{16}$$ Wykorzystujemy podstawową tożsamość trygonometryczną $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \dfrac{1}{16}$$ Przenosimy liczbę $1$ na prawą stronę równania: $$\begin{aligned} 2\sin \alpha \cos \alpha &= \dfrac{1}{16} - 1 \\[8pt] 2\sin \alpha \cos \alpha &= \dfrac{1}{16} - \dfrac{16}{16} \\[8pt] 2\sin \alpha \cos \alpha &= -\dfrac{15}{16} \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $2$ (czyli mnożymy przez $\dfrac{1}{2}$): $$\begin{aligned} \sin \alpha \cdot \cos \alpha &= -\dfrac{15}{16} \cdot \dfrac{1}{2} \\[8pt] \sin \alpha \cdot \cos \alpha &= -\dfrac{15}{32} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
$\sin \alpha \cdot \cos \alpha = -\dfrac{15}{32}$

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 13 i jednej z przyprostokątnych długości 5. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych sinusa, cosinusa i tangensa kąta ostrego $\alpha$ leżącego naprzeciw krótszej przyprostokątnej w tym trójkącie.