Równania i nierówności z wartością bezwzględną sprawdzian

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia: $$ \dfrac{|\sqrt{18} - 3|}{|1 - \sqrt{2}|} - 2|5 - 3\sqrt{2}| $$

Wskazówki:

Definicja wartości bezwzględnej: $|x| = x$, gdy $x \ge 0$, oraz $|x| = -x$, gdy $x < 0$. Aby poprawnie opuścić moduły, należy najpierw ustalić znak każdego wyrażenia pod wartością bezwzględną.
Aby porównać liczby całkowite z pierwiastkami, warto włączyć czynnik pod pierwiastek lub skorzystać ze znajomości przybliżeń dziesiętnych (np. $5 = \sqrt{25}$, a $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$).
Ułamek po opuszczeniu modułów można uprościć na dwa sposoby: poprzez wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias w liczniku i skrócenie z mianownikiem lub poprzez usunięcie niewymierności z mianownika (mnożenie przez sprzężenie).

Rozwiązanie krok po kroku:

Badanie znaku wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i opuszczenie modułów:
Rozpatrujemy kolejno każde z trzech wyrażeń w modułach:

• Wyrażenie w liczniku $|\sqrt{18} - 3|$:
Wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka: $$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $$ Ponieważ $18 > 9$, zachodzi $\sqrt{18} > \sqrt{9} = 3$, czyli różnica jest dodatnia: $$ \sqrt{18} - 3 > 0 \implies |\sqrt{18} - 3| = \sqrt{18} - 3 = 3\sqrt{2} - 3 $$
• Wyrażenie w mianowniku $|1 - \sqrt{2}|$:
Wiemy, że $\sqrt{2} \approx 1{,}414 > 1$, zatem różnica jest liczbą ujemną: $$ 1 - \sqrt{2} < 0 $$ Z definicji wartości bezwzględnej zmieniamy znak wyrażenia na przeciwny: $$ |1 - \sqrt{2}| = -(1 - \sqrt{2}) = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1 $$
• Wyrażenie w drugim składniku $|5 - 3\sqrt{2}|$:
Wprowadzamy liczbę $3$ pod znak pierwiastka: $$ 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18} $$ Liczbę $5$ zapisujemy w postaci pierwiastka kwadratowego: $$ 5 = \sqrt{25} $$ Ponieważ $25 > 18$, mamy $\sqrt{25} > \sqrt{18}$, czyli $5 > 3\sqrt{2}$. Wyrażenie jest dodatnie: $$ 5 - 3\sqrt{2} > 0 \implies |5 - 3\sqrt{2}| = 5 - 3\sqrt{2} $$
Sposób I – Uproszczenie ułamka przez wyłączenie czynnika przed nawias i obliczenie wartości wyrażenia:
Wstawiamy wyznaczone wartości modułów do wyjściowego wyrażenia: $$ \dfrac{3\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} - 1} - 2(5 - 3\sqrt{2}) $$ W liczniku ułamka wyłączamy wspólny czynnik $3$ przed nawias: $$ 3\sqrt{2} - 3 = 3(\sqrt{2} - 1) $$ Zauważamy, że w liczniku i mianowniku występuje ten sam czynnik $(\sqrt{2} - 1)$, który możemy skrócić: $$ \dfrac{3(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} - 1} = 3 $$ Podstawiamy wartość ułamka i redukujemy całe wyrażenie: $$ \begin{aligned} 3 - 2(5 - 3\sqrt{2}) &= 3 - 10 + 6\sqrt{2} \\[8pt] &= -7 + 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2} - 7 \end{aligned} $$
Sposób II – Uproszczenie ułamka przez usunięcie niewymierności z mianownika:
Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka $\dfrac{3\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} - 1}$, mnożąc licznik oraz mianownik przez sprzężenie mianownika, czyli przez $(\sqrt{2} + 1)$: $$ \begin{aligned} \dfrac{3\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2} - 1} &= \dfrac{(3\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} \\[8pt] &= \dfrac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 3\sqrt{2} \cdot 1 - 3 \cdot \sqrt{2} - 3 \cdot 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} \\[8pt] &= \dfrac{3 \cdot 2 + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 3}{2 - 1} \\[8pt] &= \dfrac{6 - 3}{1} = 3 \end{aligned} $$ Wstawiamy wynik do całego wyrażenia i wykonujemy pozostałe działania: $$ \begin{aligned} 3 - 2(5 - 3\sqrt{2}) &= 3 - 10 + 6\sqrt{2} \\[8pt] &= 6\sqrt{2} - 7 \end{aligned} $$ Obie metody prowadzą do tego samego wyniku.

Odpowiedź:
$6\sqrt{2} - 7$ (lub $-7 + 6\sqrt{2}$)

Zadanie 2 (3 pkt)

Wykorzystując symbol wartości bezwzględnej zapisz nierówność, której zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów $(-\infty, -6) \cup (-4, +\infty)$.

Wskazówki:

Skorzystaj z geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej na osi liczbowej: wyrażenie $|x - a|$ oznacza odległość liczby $x$ od punktu $a$.
Nierówność postaci $|x - a| > r$ oznacza zbiór liczb oddalonych od środka $a$ o więcej niż $r$, co na osi daje sumę dwóch zewnętrznych przedziałów $(-\infty, a - r) \cup (a + r, +\infty)$.
Wyznacz środek $a$ jako średnią arytmetyczną liczb granicznych: $a = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$, a promień $r$ jako połowę odległości między nimi: $r = \dfrac{x_2 - x_1}{2}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza zadanego zbioru rozwiązań:
Z treści zadania zbiór rozwiązań szukanej nierówności to suma rozłącznych przedziałów otwartych: $$(-\infty, -6) \cup (-4, +\infty)$$ Końcami tych przedziałów na osi liczbowej są punkty: $$x_1 = -6, \quad x_2 = -4$$ Ponieważ przedziały są otwarte, punkty te nie należą do zbioru rozwiązań (zaznaczamy je pustymi kółkami), a rozwiązanie obejmuje wszystkie liczby leżące na lewo od $-6$ oraz na prawo od $-4$.
Wyznaczenie środka oraz odległości (promienia) na osi liczbowej:
Szukana nierówność o postaci geometrycznej: $$|x - a| > r$$ opisuje zbiór liczb $x$, których odległość od środka $a$ jest większa od promienia $r$.

• Środek $a$ leży dokładnie w połowie odcinka łączącego liczby $-6$ oraz $-4$: $$\begin{aligned} a &= \dfrac{x_1 + x_2}{2} \\[8pt] &= \dfrac{-6 + (-4)}{2} \\[8pt] &= \dfrac{-10}{2} = -5 \end{aligned}$$ • Promień $r$ to odległość od wyznaczonego środka $a = -5$ do każdego z punktów granicznych: $$\begin{aligned} r &= \dfrac{x_2 - x_1}{2} \\[8pt] &= \dfrac{-4 - (-6)}{2} \\[8pt] &= \dfrac{2}{2} = 1 \end{aligned}$$ Możemy to również sprawdzić bezpośrednio: $|-4 - (-5)| = |1| = 1$ oraz $|-6 - (-5)| = |-1| = 1$.
Zapisanie nierówności z wartością bezwzględną i weryfikacja algebraiczna:
Podstawiamy wyznaczone wartości $a = -5$ oraz $r = 1$ do wzoru ogólnego: $$\begin{aligned} |x - a| &> r \\[8pt] |x - (-5)| &> 1 \\[8pt] |x + 5| &> 1 \end{aligned}$$ Sprawdzamy poprawność otrzymanej nierówności, rozwiązując ją algebraicznie: $$\begin{aligned} |x + 5| > 1 &\iff x + 5 < -1 \quad \text{lub} \quad x + 5 > 1 \\[8pt] &\iff x < -1 - 5 \quad \text{lub} \quad x > 1 - 5 \\[8pt] &\iff x < -6 \quad \text{lub} \quad x > -4 \\[8pt] &\iff x \in (-\infty, -6) \cup (-4, +\infty) \end{aligned}$$ Zbiór rozwiązań pokrywa się dokładnie z zadaną w poleceniu sumą przedziałów.

Odpowiedź:
$|x + 5| > 1$

Zadanie 3 (2 pkt)

Rozwiąż równanie: $||x - 7| + 2| = 2$

Wskazówki:

Równanie typu $|A| = c$ dla $c > 0$ rozbija się na alternatywę dwóch równań: $A = c$ lub $A = -c$.
Pamiętaj o podstawowej własności wartości bezwzględnej: dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi $|w| \ge 0$. Wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych.
Równanie można również rozwiązać, zauważając, że wyrażenie wewnątrz zewnętrznej wartości bezwzględnej jest sumą liczby nieujemnej i liczby $2$, a więc jest zawsze dodatnie. Pozwala to natychmiast opuścić zewnętrzne kreski bez zmiany znaku.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Rozbicie zewnętrznej wartości bezwzględnej na dwa przypadki:
Wychodzimy od równania wyjściowego: $$||x - 7| + 2| = 2$$ Stosujemy własność wartości bezwzględnej: równanie $|A| = 2$ jest równoważne alternatywie: $$\begin{aligned} |x - 7| + 2 = 2 \quad &\text{lub} \quad |x - 7| + 2 = -2 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy pierwsze równanie: $$\begin{aligned} |x - 7| + 2 &= 2 \\[8pt] |x - 7| &= 2 - 2 \\[8pt] |x - 7| &= 0 \end{aligned}$$ Wartość bezwzględna jest równa zero tylko wtedy, gdy wyrażenie pod nią jest równe zero: $$\begin{aligned} x - 7 &= 0 \\[8pt] x &= 7 \end{aligned}$$ Rozpatrujemy drugie równanie: $$\begin{aligned} |x - 7| + 2 &= -2 \\[8pt] |x - 7| &= -2 - 2 \\[8pt] |x - 7| &= -4 \end{aligned}$$ Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$ wartość bezwzględna jest nieujemna ($|x - 7| \ge 0$), równanie to jest sprzeczne: $$x \in \emptyset$$ Jedynym rozwiązaniem równania jest zatem $x = 7$.
Sposób II – Wykorzystanie nieujemności wartości bezwzględnej:
Wychodzimy od równania wyjściowego: $$||x - 7| + 2| = 2$$ Zauważmy, że dla każdego $x \in \mathbb{R}$: $$\begin{aligned} |x - 7| &\ge 0 \end{aligned}$$ Dodając $2$ do obu stron nierówności, otrzymujemy: $$\begin{aligned} |x - 7| + 2 &\ge 2 > 0 \end{aligned}$$ Skoro wyrażenie wewnątrz zewnętrznej wartości bezwzględnej jest ściśle dodatnie dla każdego $x$, możemy opuścić zewnętrzne kreski wartości bezwzględnej bez zmiany znaku: $$\begin{aligned} ||x - 7| + 2| &= |x - 7| + 2 \end{aligned}$$ Równanie wyjściowe upraszcza się bezpośrednio do postaci: $$\begin{aligned} |x - 7| + 2 &= 2 \\[8pt] |x - 7| &= 0 \\[8pt] x &= 7 \end{aligned}$$
Interpretacja graficzna rozwiązania:
Rozwiązanie równania odpowiada wyznaczeniu punktów przecięcia wykresów dwóch funkcji: $$\begin{aligned} f(x) &= ||x - 7| + 2| = |x - 7| + 2 \\[8pt] g(x) &= 2 \end{aligned}$$ Wykres funkcji $f(x)$ to symetryczna litera „V” o wierzchołku w punkcie $(7, 2)$, natomiast wykres funkcji $g(x)$ to pozioma prosta o równaniu $y = 2$.

Wykresy stykają się w dokładnie jednym punkcie $(7, 2)$, co potwierdza, że jedynym rozwiązaniem równania jest liczba $x = 7$.

Odpowiedź:
$x = 7$

Zadanie 4 (2 pkt)

Rozwiąż graficznie nierówność: $\sqrt{x^2} \ge x + 4$

Wskazówki:

Wykorzystaj podstawową tożsamość algebraiczną $\sqrt{x^2} = |x|$, która jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Zdefiniuj dwie funkcje: $f(x) = |x|$ (funkcja wartości bezwzględnej) oraz $g(x) = x + 4$ (funkcja liniowa) i naszkicuj ich wykresy w jednym układzie współrzędnych.
Wyznacz punkt przecięcia wykresów, a następnie odczytaj przedział argumentów $x$, dla których wykres funkcji $f(x)$ leży powyżej wykresu funkcji $g(x)$ lub pokrywa się z nim.

Rozwiązanie krok po kroku:

Przekształcenie nierówności i sporządzenie wykresów pomocniczych:
Wychodzimy od wyjściowej nierówności: $$\sqrt{x^2} \ge x + 4$$ Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ zachodzi tożsamość pierwiastka kwadratowego: $$\sqrt{x^2} = |x|$$ Nierówność przyjmuje równoważną postać: $$|x| \ge x + 4$$ Rozpatrujemy ją graficznie jako relację między wartościami dwóch funkcji: $$f(x) = |x| \quad \text{oraz} \quad g(x) = x + 4$$ Charakterystyka wykresu funkcji $f(x) = |x|$: Jest to wykres wartości bezwzględnej o wierzchołku w początku układu współrzędnych $(0, 0)$. Składa się z dwóch półprostych: $$f(x) = \begin{cases} x & \text{dla } x \ge 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}$$ Wybrane punkty: $(-4, 4)$, $(-2, 2)$, $(0, 0)$, $(2, 2)$, $(4, 4)$.

Charakterystyka wykresu funkcji $g(x) = x + 4$: Jest to funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym $a = 1$ i wyrazie wolnym $b = 4$. Wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0, 4)$, a oś $OX$ w miejscu zerowym $x = -4$ (punkt $(-4, 0)$).
Wyznaczenie punktu przecięcia wykresów:
W celu precyzyjnego ustalenia granicy przedziału rozwiązań przyrównujemy wzory obu funkcji: $$|x| = x + 4$$ Rozpatrujemy równanie w dwóch przedziałach ze względu na definicję modułu:

• Dla $x \ge 0$ mamy $|x| = x$: $$x = x + 4 \iff 0 = 4 \quad \text{(równanie sprzeczne)}$$ Dla argumentów nieujemnych wykresy są prostymi równoległymi o tym samym współczynniku kierunkowym $a = 1$ i nie przecinają się.

• Dla $x < 0$ mamy $|x| = -x$: $$\begin{aligned} -x &= x + 4 \\[8pt] -x - x &= 4 \\[8pt] -2x &= 4 \quad / : (-2) \\[8pt] x &= -2 \end{aligned}$$ Otrzymana wartość spełnia warunek $x < 0$. Obliczamy odpowiadającą jej rzędną: $$y = |-2| = -2 + 4 = 2$$ Punktem przecięcia obu wykresów jest punkt: $$P = (-2, 2)$$
Sposób I – Odczytanie rozwiązań z interpretacji graficznej:
Nierówność $|x| \ge x + 4$ oznacza, że poszukujemy argumentów $x$, dla których wykres funkcji $f(x) = |x|$ leży powyżej wykresu prostej $g(x) = x + 4$ lub na tej samej wysokości.

Z rysunku odczytujemy wzajemne położenie wykresów:
- Dla $x \le -2$ ramie wykresu $y = -x$ znajduje się nad prostą $y = x + 4$ (dla $x = -2$ wykresy się przecinają), co spełnia nierówność.
- Dla $x \in (-2, 0)$ prosta $g(x)$ leży powyżej wykresu wartości bezwzględnej (np. dla $x = -1$ mamy $|-1| = 1$ oraz $g(-1) = 3$, czyli $1 < 3$).
- Dla $x \ge 0$ prosta $g(x) = x + 4$ biegnie równolegle i ściśle o $4$ jednostki wyżej niż półprosta $f(x) = x$.

Ponieważ nierówność jest nieostra ($\ge$), punkt przecięcia $x = -2$ należy do zbioru rozwiązań:

Odczytany zbiór rozwiązań: $$x \in (-\infty, -2\rangle$$
Sposób II – Algebraiczne potwierdzenie poprawności wyniku:
Rozwiązujemy nierówność $|x| \ge x + 4$ algebraicznie metodą przedziałów:

1. Przypadek I: $x \in \langle 0, +\infty)$ $$\begin{aligned} x &\ge x + 4 \\[8pt] 0 &\ge 4 \quad \text{(sprzeczność)} \end{aligned}$$ W tym przedziale nierówność nie posiada rozwiązań: $x \in \emptyset$.

2. Przypadek II: $x \in (-\infty, 0)$ $$\begin{aligned} -x &\ge x + 4 \\[8pt] -2x &\ge 4 \quad / : (-2) \\[8pt] x &\le -2 \end{aligned}$$ Wyznaczamy część wspólną warunku $x < 0$ oraz $x \le -2$: $$x \in (-\infty, -2\rangle \cap (-\infty, 0) \implies x \in (-\infty, -2\rangle$$ Łącząc wyniki z obu przypadków, otrzymujemy: $$x \in (-\infty, -2\rangle \cup \emptyset \implies x \in (-\infty, -2\rangle$$

Odpowiedź:
$x \in (-\infty, -2\rangle$

Zadanie 5 (3 pkt)

Rozwiąż równanie: $$ \sqrt{x^2 + 6x + 9} - \sqrt{x^2 - 8x + 16} = 0 $$

Wskazówki:

Zauważ, że trójmiany pod pierwiastkami można zwinąć za pomocą wzorów skróconego mnożenia: kwadratu sumy $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ oraz kwadratu różnicy $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Skorzystaj z podstawowej tożsamości algebraicznej wiążącej pierwiastek arytmetyczny z wartością bezwzględną: $\sqrt{a^2} = |a|$.
Otrzymane równanie z wartością bezwzględną postaci $|A| = |B|$ można rozwiązać algebraicznie (korzystając z faktu, że $A = B$ lub $A = -B$) albo geometrycznie (interpretując wartość bezwzględną jako odległość na osi liczbowej).

Rozwiązanie krok po kroku:

Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia i definicji pierwiastka:
Wyjściowe równanie ma postać: $$ \sqrt{x^2 + 6x + 9} - \sqrt{x^2 - 8x + 16} = 0 $$ Zwijamy trójmiany kwadratowe pod pierwiastkami w pełne kwadraty: $$ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 $$ $$ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 $$ Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc wyrażenia podpierwiastkowe są określone dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych $D = \mathbb{R}$.

Stosujemy tożsamość $\sqrt{a^2} = |a|$: $$ \sqrt{(x+3)^2} = |x+3| \quad \text{oraz} \quad \sqrt{(x-4)^2} = |x-4| $$ Równanie przyjmuje postać: $$ |x + 3| - |x - 4| = 0 $$ Przenosimy drugi moduł na prawą stronę: $$ |x + 3| = |x - 4| $$
Sposób I – Rozwiązanie algebraiczne równania $|x + 3| = |x - 4|$:
Dla dowolnych wyrażeń rzeczywistych równość modułów $|A| = |B|$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenia te są sobie równe lub różnią się jedynie znakiem: $$ |A| = |B| \iff A = B \quad \text{lub} \quad A = -B $$ Przyjmując $A = x + 3$ oraz $B = x - 4$, otrzymujemy alternatywę dwóch równań liniowych: $$ x + 3 = x - 4 \quad \text{lub} \quad x + 3 = -(x - 4) $$ Rozwiązujemy oba przypadki:
- Przypadek 1: $$ \begin{aligned} x + 3 &= x - 4 \\[8pt] x - x &= -4 - 3 \\[8pt] 0 &= -7 \end{aligned} $$ Otrzymaliśmy równość sprzeczną, co oznacza, że w tym przypadku brak rozwiązań.
- Przypadek 2: $$ \begin{aligned} x + 3 &= -x + 4 \\[8pt] x + x &= 4 - 3 \\[8pt] 2x &= 1 \\[8pt] x &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} $$
Liczba $x = \dfrac{1}{2}$ należy do dziedziny $D = \mathbb{R}$ i jest jedynym rozwiązaniem równania.
Sposób II – Interpretacja geometryczna na osi liczbowej:
Zapisujemy równanie za pomocą różnic odpowiadających odległościom między punktami: $$ |x - (-3)| = |x - 4| $$ Wartość bezwzględna różnicy $|x - a|$ interpretowana jest na osi liczbowej jako odległość punktu o współrzędnej $x$ od punktu o współrzędnej $a$.

Równanie oznacza zatem poszukiwanie takiej liczby $x$, której odległość od liczby $-3$ jest dokładnie taka sama jak odległość od liczby $4$. Punkt ten jest środkiem odcinka o końcach $-3$ i $4$: $$ \begin{aligned} x &= \dfrac{-3 + 4}{2} \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} $$ Odległość rozwiązania od obu liczb wynosi: $$ d = \left|\dfrac{1}{2} - (-3)\right| = \left|\dfrac{1}{2} + 3\right| = 3{,}5 $$ $$ d = \left|\dfrac{1}{2} - 4\right| = |-3{,}5| = 3{,}5 $$ Graficzna ilustracja na osi liczbowej:

Odpowiedź:
$x = \dfrac{1}{2}$

Zadanie 6 (3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m \in \mathbb{R}$, dla których zbiór rozwiązań nierówności $3m + 2x > 4(x - 2m)$ jest przedziałem $(-\infty, 5 + 3m)$.

Wskazówki:

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności liniowej względem niewiadomej $x$, traktując $m$ jako stały parametr.
Pamiętaj o odwróceniu zwrotu nierówności na przeciwny podczas dzielenia obu stron przez liczbę ujemną.
Zapisz otrzymane rozwiązanie w postaci przedziału liczbowego i przyrównaj jego prawy koniec do wartości $5 + 3m$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozwiązanie nierówności z parametrem względem niewiadomej $x$:
Wychodzimy od nierówności liniowej podanej w poleceniu: $$3m + 2x > 4(x - 2m)$$ W pierwszym kroku opuszczamy nawias po prawej stronie, mnożąc każdy wyraz przez $4$: $$3m + 2x > 4x - 8m$$ Następnie przenosimy wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a wyrażenia z parametrem $m$ na prawą stronę: $$\begin{aligned} 2x - 4x &> -8m - 3m \\[8pt] -2x &> -11m \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony nierówności przez $-2$. Pamiętamy, że dzielenie przez liczbę ujemną powoduje zmianę zwrotu nierówności na przeciwny: $$\begin{aligned} x &< \dfrac{-11m}{-2} \\[8pt] x &< \dfrac{11}{2}m \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział: $$x \in \left(-\infty, \dfrac{11}{2}m\right)$$
Ułożenie i rozwiązanie równania z parametrem $m$:
Zgodnie z treścią zadania zbiór rozwiązań nierówności ma być równy przedziałowi $(-\infty, 5 + 3m)$. Ponieważ oba przedziały są lewostronnie nieograniczone oraz otwarte, ich prawe końce muszą być równe: $$\dfrac{11}{2}m = 5 + 3m$$ Przenosimy wyrażenie zawierające parametr $m$ na lewą stronę: $$\begin{aligned} \dfrac{11}{2}m - 3m &= 5 \\[8pt] \dfrac{11}{2}m - \dfrac{6}{2}m &= 5 \\[8pt] \dfrac{5}{2}m &= 5 \end{aligned}$$ Mnożymy obie strony równania przez odwrotność ułamka $\dfrac{5}{2}$, czyli przez $\dfrac{2}{5}$: $$\begin{aligned} m &= 5 \cdot \dfrac{2}{5} \\[8pt] m &= 2 \end{aligned}$$
Interpretacja graficzna i sprawdzenie wyznaczonego przedziału:
Dla wyznaczonej wartości $m = 2$ obliczamy prawy koniec przedziału podanego w treści zadania: $$5 + 3m = 5 + 3 \cdot 2 = 5 + 6 = 11$$ Również z wyznaczonego w pierwszym punkcie rozwiązania otrzymujemy: $$\dfrac{11}{2}m = \dfrac{11}{2} \cdot 2 = 11$$ Zbiorem rozwiązań nierówności jest zatem przedział $(-\infty, 11)$, co ilustrujemy na osi liczbowej:

Odpowiedź:
$m = 2$

Zadanie 7 (5 pkt)

Przeprowadź dyskusję istnienia i liczby rozwiązań układu równań z parametrem $m$, gdzie $m \in \mathbb{R}$. W przypadku istnienia rozwiązań, wyznacz je: $$\begin{cases} mx + y = 3 \\[8pt] 2mx - my = 6 \end{cases}$$

Wskazówki:

Zadanie można rozwiązać dwoma standardowymi metodami licealnymi: metodą wyznacznikową (wzorami Cramera) lub metodą podstawiania (sprowadzając układ do jednego równania liniowego z parametrem).
W metodzie wyznacznikowej wyliczamy wyznacznik główny $W$ oraz wyznaczniki zmiennych $W_x$ i $W_y$. Jeśli $W \neq 0$, układ jest oznaczony (ma jedno rozwiązanie). Jeśli $W = 0$, układ może być sprzeczny (gdy któryś z wyznaczników $W_x, W_y$ jest różny od zera) lub nieoznaczony (gdy $W_x = W_y = 0$).
W przypadku, gdy wszystkie wyznaczniki się zerują, należy bezpośrednio podstawić wartość parametru do wyjściowego układu równań, aby sprawdzić tożsamość równań.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyznaczenie wyznaczników macierzy układu (wzory Cramera):
Zapisujemy wyjściowy układ równań: $$\begin{cases} mx + y = 3 \\[8pt] 2mx - my = 6 \end{cases}$$ Wyznaczamy wyznacznik główny $W$: $$\begin{aligned} W &= \begin{vmatrix} m & 1 \\[4pt] 2m & -m \end{vmatrix} \\[8pt] &= m \cdot (-m) - 1 \cdot 2m \\[8pt] &= -m^2 - 2m \\[8pt] &= -m(m + 2) \end{aligned}$$ Następnie wyznaczamy wyznacznik $W_x$: $$\begin{aligned} W_x &= \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[4pt] 6 & -m \end{vmatrix} \\[8pt] &= 3 \cdot (-m) - 1 \cdot 6 \\[8pt] &= -3m - 6 \\[8pt] &= -3(m + 2) \end{aligned}$$ Na koniec wyznaczamy wyznacznik $W_y$: $$\begin{aligned} W_y &= \begin{vmatrix} m & 3 \\[4pt] 2m & 6 \end{vmatrix} \\[8pt] &= m \cdot 6 - 3 \cdot 2m \\[8pt] &= 6m - 6m \\[8pt] &= 0 \end{aligned}$$
Dyskusja liczby i postaci rozwiązań metodą Cramera:
Miejscami zerowymi wyznacznika głównego $W = -m(m + 2)$ są liczby $m = 0$ oraz $m = -2$. Rozpatrujemy trzy przypadki:

Przypadek 1: $W \neq 0$, czyli $m \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 0\}$
Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (jest to układ oznaczony). Wyznaczamy niewiadome ze wzorów Cramera: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{W_x}{W} = \dfrac{-3(m + 2)}{-m(m + 2)} = \dfrac{3}{m} \\[8pt] y &= \dfrac{W_y}{W} = \dfrac{0}{-m(m + 2)} = 0 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest para liczb: $$(x, y) = \left(\dfrac{3}{m},\, 0\right)$$
Przypadek 2: $m = 0$
Obliczamy wartości wyznaczników dla $m = 0$: $$\begin{aligned} W &= 0 \\[8pt] W_x &= -3(0 + 2) = -6 \neq 0 \\[8pt] W_y &= 0 \end{aligned}$$ Ponieważ $W = 0$ oraz $W_x \neq 0$, układ jest sprzeczny (nie posiada żadnych rozwiązań).
Możemy to również zauważyć wstawiając bezpośrednio $m = 0$ do wyjściowego układu: $$\begin{cases} 0 \cdot x + y = 3 \implies y = 3 \\[8pt] 0 \cdot x - 0 \cdot y = 6 \implies 0 = 6 \quad \text{(sprzeczność)} \end{cases}$$
Przypadek 3: $m = -2$
Dla $m = -2$ wszystkie trzy wyznaczniki przyjmują wartość zero: $$\begin{aligned} W &= 0 \\[8pt] W_x &= -3(-2 + 2) = 0 \\[8pt] W_y &= 0 \end{aligned}$$ Podstawiamy $m = -2$ bezpośrednio do wyjściowego układu równań: $$\begin{cases} -2x + y = 3 \\[8pt] -4x + 2y = 6 \end{cases}$$ Dzieląc drugie równanie obustronnie przez $2$, otrzymujemy równanie identyczne z pierwszym: $$-2x + y = 3 \iff y = 2x + 3$$ Układ ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony). Zbiór rozwiązań tworzą pary postaci: $$(x, y) = (x,\, 2x + 3) \quad \text{dla } x \in \mathbb{R}$$
Sposób II – Metoda podstawiania (algebraiczna):
Z pierwszego równania wyjściowego układu wyznaczamy niewiadomą $y$: $$y = 3 - mx$$ Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania: $$2mx - m(3 - mx) = 6$$ Upraszczamy i grupujemy wyrazy z niewiadomą $x$: $$\begin{aligned} 2mx - 3m + m^2x &= 6 \\[8pt] (m^2 + 2m)x &= 3m + 6 \\[8pt] m(m + 2)x &= 3(m + 2) \end{aligned}$$ Analizujemy współczynnik stojący przy $x$:

• Jeżeli $m(m + 2) \neq 0$ (czyli $m \neq 0$ oraz $m \neq -2$), możemy podzielić obustronnie przez $m(m + 2)$: $$x = \dfrac{3(m + 2)}{m(m + 2)} = \dfrac{3}{m}$$ Wtedy podstawiając do wzoru na $y$: $$y = 3 - m \cdot \dfrac{3}{m} = 3 - 3 = 0$$ Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie: $(x, y) = \left(\dfrac{3}{m},\, 0\right)$.

• Jeżeli $m = 0$, po podstawieniu otrzymujemy: $$0 \cdot x = 3 \cdot 2 \iff 0 = 6$$ Równanie jest sprzeczne, brak rozwiązań.

• Jeżeli $m = -2$, po podstawieniu otrzymujemy: $$0 \cdot x = 3 \cdot 0 \iff 0 = 0$$ Równanie jest tożsamościowe (spełnione dla każdego $x \in \mathbb{R}$). Wtedy: $$y = 3 - (-2)x = 2x + 3$$ Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci $(x,\, 2x + 3)$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$.

Odpowiedź:
• Dla $m \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 0\}$: układ ma dokładnie jedno rozwiązanie: $\begin{cases} x = \dfrac{3}{m} \\[6pt] y = 0 \end{cases}$

• Dla $m = -2$: układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci: $\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\[6pt] y = 2x + 3 \end{cases}$

• Dla $m = 0$: układ nie posiada rozwiązań (układ sprzeczny).