Trygonometria kąta ostrego sprawdzian

Trygonometria kąta ostrego

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $3b$ i $4b$. Większy kąt ostry ma miarę $\alpha$. Oblicz wartość wyrażenia: $$ \dfrac{2\sin\alpha - \text{ctg}^2\alpha}{\cos^2\alpha + \text{tg}\alpha} $$

Wskazówki:

W trójkącie prostokątnym naprzeciw dłuższego boku leży kąt o większej mierze. Ponieważ $4b > 3b$, większy kąt ostry $\alpha$ leży naprzeciw przyprostokątnej o długości $4b$.
Długość przeciwprostokątnej wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa: $c = \sqrt{(3b)^2 + (4b)^2}$.
Wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $\alpha$ są bezwymiarowymi stosunkami długości boków – parametr $b$ skraca się przy ich obliczaniu.
Wartości funkcji trygonometrycznych można również wyznaczyć alternatywnie z tożsamości trygonometrycznych (z definicji tangensa oraz jedynki trygonometrycznej).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza relacji między bokami a kątami:
W trójkącie prostokątnym suma miar obu kątów ostrych wynosi $90^\circ$. Z własności trójkąta wynika, że naprzeciw dłuższej przyprostokątnej zawsze leży kąt ostry o większej mierze. Zakładając $b > 0$, mamy: $$ 4b > 3b $$ Zatem większy kąt ostry $\alpha$ leży naprzeciw boku o długości $4b$, natomiast przyprostokątna przyległa do kąta $\alpha$ ma długość $3b$. Poniższy szkic przedstawia sytuację wyjściową:
Sposób I – Wyznaczenie przeciwprostokątnej i obliczenie wartości wyrażenia:
Wyznaczamy długość przeciwprostokątnej $c$ za pomocą twierdzenia Pitagorasa: $$ \begin{aligned} c^2 &= (3b)^2 + (4b)^2 \\[8pt] c^2 &= 9b^2 + 16b^2 \\[8pt] c^2 &= 25b^2 \\[8pt] c &= \sqrt{25b^2} = 5b \end{aligned} $$ Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, zapisujemy wartości dla kąta $\alpha$: $$ \sin\alpha = \dfrac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}} = \dfrac{4b}{5b} = \dfrac{4}{5} $$ $$ \cos\alpha = \dfrac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \dfrac{3b}{5b} = \dfrac{3}{5} $$ $$ \text{tg}\alpha = \dfrac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przyprostokątna przyległa}} = \dfrac{4b}{3b} = \dfrac{4}{3} $$ $$ \text{ctg}\alpha = \dfrac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przyprostokątna naprzeciw}} = \dfrac{3b}{4b} = \dfrac{3}{4} $$ Obliczamy wartość licznika wyrażenia: $$ \begin{aligned} L &= 2\sin\alpha - \text{ctg}^2\alpha \\[8pt] &= 2 \cdot \dfrac{4}{5} - \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \\[8pt] &= \dfrac{8}{5} - \dfrac{9}{16} \\[8pt] &= \dfrac{8 \cdot 16}{80} - \dfrac{9 \cdot 5}{80} \\[8pt] &= \dfrac{128 - 45}{80} = \dfrac{83}{80} \end{aligned} $$ Obliczamy wartość mianownika wyrażenia: $$ \begin{aligned} M &= \cos^2\alpha + \text{tg}\alpha \\[8pt] &= \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + \dfrac{4}{3} \\[8pt] &= \dfrac{9}{25} + \dfrac{4}{3} \\[8pt] &= \dfrac{9 \cdot 3}{75} + \dfrac{4 \cdot 25}{75} \\[8pt] &= \dfrac{27 + 100}{75} = \dfrac{127}{75} \end{aligned} $$ Dzielimy licznik przez mianownik: $$ \begin{aligned} \dfrac{L}{M} &= \dfrac{\dfrac{83}{80}}{\dfrac{127}{75}} \\[8pt] &= \dfrac{83}{80} \cdot \dfrac{75}{127} \\[8pt] &= \dfrac{83 \cdot 15}{16 \cdot 127} \\[8pt] &= \dfrac{1245}{2032} \end{aligned} $$
Sposób II – Wyznaczenie wartości funkcji z tożsamości trygonometrycznych:
Wartości funkcji tangens i kotangens kąta $\alpha$ wynikają wprost ze stosunku przyprostokątnych, bez konieczności obliczania przeciwprostokątnej: $$ \text{tg}\alpha = \dfrac{4b}{3b} = \dfrac{4}{3}, \quad \text{ctg}\alpha = \dfrac{1}{\text{tg}\alpha} = \dfrac{3}{4} $$ Z definicji $\text{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ otrzymujemy zależność: $$ \sin\alpha = \dfrac{4}{3}\cos\alpha $$ Podstawiamy tę zależność do jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $$ \begin{aligned} \left(\dfrac{4}{3}\cos\alpha\right)^2 + \cos^2\alpha &= 1 \\[8pt] \dfrac{16}{9}\cos^2\alpha + \cos^2\alpha &= 1 \\[8pt] \dfrac{25}{9}\cos^2\alpha &= 1 \\[8pt] \cos^2\alpha &= \dfrac{9}{25} \end{aligned} $$ Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym ($\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$), wartości funkcji są dodatnie: $$ \cos\alpha = \sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} $$ $$ \sin\alpha = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{5} $$ Podstawiając otrzymane wartości do wyjściowego wyrażenia: $$ \dfrac{2 \cdot \dfrac{4}{5} - \left(\dfrac{3}{4}\right)^2}{\dfrac{9}{25} + \dfrac{4}{3}} = \dfrac{\dfrac{83}{80}}{\dfrac{127}{75}} = \dfrac{1245}{2032} $$
Podsumowanie i rysunek wynikowy:
Trójkąt o bokach $3b, 4b, 5b$ jest klasycznym trójkątem pitagorejskim skalowanym przez współczynnik $b$. Poniższy rysunek przedstawia trójkąt z kompletem wyznaczonych wielkości oraz wartości funkcji trygonometrycznych:

Odpowiedź:
$\dfrac{1245}{2032}$

Zadanie 2 (3 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia: $\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ - 2\sin 45^\circ$.

Wskazówki:

Zauważ zależność między kątami ostrymi: $40^\circ + 50^\circ = 90^\circ$. Są to kąty dopełniające się, co pozwala zastosować wzór redukcyjny $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$.
Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ dla dowolnego kąta $\alpha$.
Przypomnij sobie dokładną wartość funkcji trygonometrycznej dla kąta $45^\circ$: $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zastosowanie wzoru redukcyjnego dla kątów dopełniających:
Wychodzimy z danego w poleceniu wyrażenia: $$\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ - 2\sin 45^\circ$$ Kąt $50^\circ$ możemy zapisać jako $90^\circ - 40^\circ$. Korzystając ze wzoru na kofunkcję kąta ostrego $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$, otrzymujemy: $$\begin{aligned} \sin 50^\circ &= \sin(90^\circ - 40^\circ) \\[8pt] &= \cos 40^\circ \end{aligned}$$ Podnosząc obie strony do kwadratu: $$\sin^2 50^\circ = \cos^2 40^\circ$$
Zastosowanie tożsamości trygonometrycznej (jedynki trygonometrycznej):
Wstawiamy wyrażenie $\cos^2 40^\circ$ w miejsce $\sin^2 50^\circ$ do wyjściowego wyrażenia: $$\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ - 2\sin 45^\circ$$ Zgodnie z jedynką trygonometryczną $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ (tutaj dla kąta $\alpha = 40^\circ$): $$\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1$$ Wyrażenie przyjmuje znacznie prostszą postać: $$1 - 2\sin 45^\circ$$
Podstawienie wartości $\sin 45^\circ$ i obliczenie wyniku końcowego:
Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów podstawowych wiemy, że: $$\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ Wstawiamy tę wartość do przekształconego wyrażenia: $$\begin{aligned} 1 - 2\sin 45^\circ &= 1 - 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\[8pt] &= 1 - \sqrt{2} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
$1 - \sqrt{2}$

Zadanie 3 (3 pkt)

Wiedząc, że kąt $\alpha$ jest kątem ostrym i $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{4}{3}$, wyznacz $\cos\alpha$, $\sin\alpha$, $\operatorname{ctg}\alpha$ korzystając z podstawowych tożsamości trygonometrycznych.

Wskazówki:

Podstawowe tożsamości trygonometryczne dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$:
- związek tangensa z sinusem i cosinusem: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$,
- jedynka trygonometryczna: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$,
- związek cotangensa z tangensem (odwrotność): $\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$.
Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym ($\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$), co oznacza, że wszystkie wartości funkcji trygonometrycznych są liczbami ściśle dodatnimi ($\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha > 0$, $\operatorname{tg}\alpha > 0$, $\operatorname{ctg}\alpha > 0$).
Ze wzoru na tangens wyznacz $\sin\alpha$ w zależności od $\cos\alpha$, a następnie wstaw otrzymane wyrażenie do jedynki trygonometrycznej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie wartości $\operatorname{ctg}\alpha$ z tożsamości odwrotności:
Wartość funkcji tangens wynosi $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{4}{3}$. Korzystamy bezpośrednio z tożsamości wiążącej cotangens z tangensem: $$\begin{aligned} \operatorname{ctg}\alpha &= \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} \\[8pt] &= \dfrac{1}{\dfrac{4}{3}} \\[8pt] &= \dfrac{3}{4} \end{aligned}$$
Sposób I – Wyznaczenie wartości $\cos\alpha$ oraz $\sin\alpha$ z układu równań z jedynką trygonometryczną:
Korzystamy z definicji tangensa $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$: $$\begin{aligned} \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} &= \dfrac{4}{3} \\[8pt] \sin\alpha &= \dfrac{4}{3}\cos\alpha \end{aligned}$$ Wstawiamy zależność $\sin\alpha = \dfrac{4}{3}\cos\alpha$ do jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $$\begin{aligned} \left(\dfrac{4}{3}\cos\alpha\right)^2 + \cos^2\alpha &= 1 \\[8pt] \dfrac{16}{9}\cos^2\alpha + \cos^2\alpha &= 1 \\[8pt] \dfrac{16}{9}\cos^2\alpha + \dfrac{9}{9}\cos^2\alpha &= 1 \\[8pt] \dfrac{25}{9}\cos^2\alpha &= 1 \end{aligned}$$ Mnożymy obie strony równania przez odwrotność ułamka, czyli przez $\dfrac{9}{25}$: $$\begin{aligned} \cos^2\alpha &= \dfrac{9}{25} \end{aligned}$$ Ponieważ kąt $\alpha$ jest kątem ostrym ($\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$), cosinus tego kąta przyjmuje wartość dodatnią ($\cos\alpha > 0$): $$\begin{aligned} \cos\alpha &= \sqrt{\dfrac{9}{25}} \\[8pt] \cos\alpha &= \dfrac{3}{5} \end{aligned}$$ Podstawiamy obliczoną wartość $\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$ do wyrażenia na $\sin\alpha$: $$\begin{aligned} \sin\alpha &= \dfrac{4}{3} \cdot \cos\alpha \\[8pt] &= \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{5} \\[8pt] &= \dfrac{4}{5} \end{aligned}$$
Sposób II – Wyznaczenie wartości z tożsamości $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$:
Dzieląc tożsamość jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ obustronnie przez $\cos^2\alpha$ (dla $\cos\alpha \ne 0$), otrzymujemy tożsamość: $$\begin{aligned} \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \dfrac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} &= \dfrac{1}{\cos^2\alpha} \\[8pt] \operatorname{tg}^2\alpha + 1 &= \dfrac{1}{\cos^2\alpha} \end{aligned}$$ Podstawiamy znaną wartość $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{4}{3}$: $$\begin{aligned} 1 + \left(\dfrac{4}{3}\right)^2 &= \dfrac{1}{\cos^2\alpha} \\[8pt] 1 + \dfrac{16}{9} &= \dfrac{1}{\cos^2\alpha} \\[8pt] \dfrac{25}{9} &= \dfrac{1}{\cos^2\alpha} \end{aligned}$$ Odwracamy obie strony równości: $$\begin{aligned} \cos^2\alpha &= \dfrac{9}{25} \end{aligned}$$ Z faktu, że $\alpha$ jest kątem ostrym ($\cos\alpha > 0$): $$\begin{aligned} \cos\alpha &= \dfrac{3}{5} \end{aligned}$$ Następnie wyznaczamy sinus ze związku $\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha$: $$\begin{aligned} \sin\alpha &= \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{5} \\[8pt] &= \dfrac{4}{5} \end{aligned}$$
Interpretacja geometryczna rozwiązania w trójkącie prostokątnym:
W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym $\alpha$ stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej wynosi $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{4}{3}$.

Przyjmując długości przyprostokątnych jako $a = 4x$ oraz $b = 3x$ (dla $x > 0$), z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej $c$: $$\begin{aligned} c &= \sqrt{(3x)^2 + (4x)^2} = \sqrt{9x^2 + 16x^2} = \sqrt{25x^2} = 5x \end{aligned}$$

Odpowiedź:
$\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$

$\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$

$\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{3}{4}$

Zadanie 4 (2 pkt)

Sprawdź, czy podana równość jest tożsamością, jeśli $\alpha$ jest kątem ostrym: $$\dfrac{\operatorname{tg}\alpha + \sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} = 1 + \cos\alpha.$$

Wskazówki:

Sprawdź dziedzinę wyrażenia – dla kąta ostrego funkcje trygonometryczne przyjmują wartości ściśle dodatnie, a mianownik jest różny od zera.
Rozbij ułamek po lewej stronie równości na sumę dwóch ułamków o wspólnym mianowniku.
Zastosuj podstawową tożsamość trygonometryczną: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ i uprość iloraz.

Rozwiązanie krok po kroku:

Ustalenie założeń dla kąta ostrego $\alpha$:
Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym, co oznacza, że: $$\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$$ Dla każdego kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych są dodatnie: $$\sin\alpha > 0, \quad \cos\alpha > 0, \quad \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} > 0$$ Mianownik po lewej stronie równości spełnia warunek: $$\operatorname{tg}\alpha \ne 0$$ Zatem wyrażenie po lewej stronie jest w pełni określone dla każdego kąta ostrego $\alpha$.
Sposób I – Rozbicie lewej strony na sumę ułamków:
Wychodzimy od lewej strony tożsamości: $$L = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha + \sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha}$$ Rozdzielamy licznik na dwa oddzielne ułamki o wspólnym mianowniku: $$\begin{aligned} L &= \dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} + \dfrac{\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} \\[8pt] &= 1 + \dfrac{\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} \end{aligned}$$ Podstawiamy tożsamość $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$: $$L = 1 + \dfrac{\sin\alpha}{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}$$ Dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność: $$\begin{aligned} L &= 1 + \sin\alpha \cdot \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \\[8pt] &= 1 + \cos\alpha \end{aligned}$$ Prawa strona tożsamości wynosi: $$P = 1 + \cos\alpha$$ Ponieważ $L = P$, równość jest tożsamością trygonometryczną dla każdego kąta ostrego $\alpha$.
Sposób II – Zamiana tangensa na iloraz w całym ułamku:
Zapisujemy lewą stronę równości, zastępując funkcję tangens wyrażeniem $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$: $$L = \dfrac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \sin\alpha}{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}$$ W liczniku sprowadzamy oba składniki do wspólnego mianownika $\cos\alpha$: $$\begin{aligned} \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \sin\alpha &= \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\sin\alpha \cdot \cos\alpha}{\cos\alpha} \\[8pt] &= \dfrac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\cos\alpha} \end{aligned}$$ Wstawiamy przekształcony licznik do całego ułamka: $$L = \dfrac{\dfrac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\cos\alpha}}{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}$$ Mnożymy licznik przez odwrotność mianownika: $$\begin{aligned} L &= \dfrac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\cos\alpha} \cdot \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \\[8pt] &= 1 + \cos\alpha \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy: $$L = P = 1 + \cos\alpha$$ Co ostatecznie potwierdza, że równość jest tożsamością.

Odpowiedź:
Podana równość jest tożsamością trygonometryczną dla każdego kąta ostrego $\alpha$.

Zadanie 5 (3 pkt)

Korzystając z danych na rysunku oblicz obwód i pole trójkąta. Wykorzystaj poznane funkcje trygonometryczne. $|AB| = |AC|$

Wskazówki:

Kąty $\angle CAB$ oraz $\angle CAD$ są kątami przyległymi (tworzą prostą $DB$), co pozwala natychmiast wyznaczyć miarę kąta ostrego w trójkącie prostokątnym $CDA$: $\angle CAD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
W trójkącie prostokątnym $CDA$ wykorzystaj funkcję sinus ($\sin 60^\circ$), aby wyznaczyć długość ramienia $|AC|$, a następnie funkcję tangens lub cosinus, aby obliczyć długość przyprostokątnej $|DA|$.
Pamiętaj, że trójkąt $ABC$ jest równoramienny ($|AB| = |AC|$), co pozwala wyznaczyć całą długość przyprostokątnej $|DB| = |DA| + |AB|$.
Długość podstawy $|BC|$ oraz pole trójkąta można wyznaczyć na dwa niezależne sposoby: z twierdzenia Pitagorasa i wzoru klasycznego lub z twierdzenia cosinusów i wzoru trygonometrycznego na pole.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie kąta przyległego $\angle CAD$:
Punkty $D$, $A$ i $B$ leżą na jednej prostej, zatem kąt $\angle CAD$ jest kątem przyległym do kąta rozwartego $\angle CAB = 120^\circ$: $$ \angle CAD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $$ W trójkącie prostokątnym $CDA$ otrzymujemy kąty ostre $60^\circ$ oraz $30^\circ$:
Wyznaczenie długości boków $|AC|$, $|AB|$ oraz odcinka $|DA|$:
W trójkącie prostokątnym $CDA$ przeciwprostokątną jest odcinek $|AC|$, a przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta $60^\circ$ jest $|CD| = \sqrt{10}$.
Stosujemy definicję sinusa kąta ostrego: $$ \sin(60^\circ) = \dfrac{|CD|}{|AC|} $$ Podstawiamy wartość $\sin(60^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $$ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= \dfrac{\sqrt{10}}{|AC|} \\[8pt] |AC| \cdot \sqrt{3} &= 2\sqrt{10} \\[8pt] |AC| &= \dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{3}} \\[8pt] |AC| &= \dfrac{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{3}}{3} = \dfrac{2\sqrt{30}}{3} \end{aligned} $$ Z treści zadania trójkąt $ABC$ jest równoramienny i zachodzi warunek $|AB| = |AC|$, skąd: $$ |AB| = \dfrac{2\sqrt{30}}{3} $$ Następnie obliczamy długość przyprostokątnej $|DA|$, korzystając z funkcji tangens: $$ \tan(60^\circ) = \dfrac{|CD|}{|DA|} $$ Ponieważ $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$: $$ \begin{aligned} \sqrt{3} &= \dfrac{\sqrt{10}}{|DA|} \\[8pt] |DA| \cdot \sqrt{3} &= \sqrt{10} \\[8pt] |DA| &= \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{30}}{3} \end{aligned} $$
Wyznaczenie długości podstawy $|BC|$:
Przedstawiamy dwa alternatywne sposoby wyznaczenia długości trzeciego boku trójkąta:

Sposób I – Wykorzystanie trójkąta prostokątnego $CDB$ i twierdzenia Pitagorasa:
Długość całej przyprostokątnej $|DB|$ jest sumą odcinków $|DA|$ oraz $|AB|$: $$ \begin{aligned} |DB| &= |DA| + |AB| \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{30}}{3} + \dfrac{2\sqrt{30}}{3} \\[8pt] &= \dfrac{3\sqrt{30}}{3} = \sqrt{30} \end{aligned} $$ W trójkącie prostokątnym $CDB$ stosujemy twierdzenie Pitagorasa: $$ |BC|^2 = |CD|^2 + |DB|^2 $$ Podstawiamy wartości $|CD| = \sqrt{10}$ oraz $|DB| = \sqrt{30}$: $$ \begin{aligned} |BC|^2 &= (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{30})^2 \\[8pt] &= 10 + 30 = 40 \\[8pt] |BC| &= \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10} \end{aligned} $$
Sposób II – Wykorzystanie twierdzenia cosinusów w trójkącie $ABC$:
W trójkącie $ABC$ znamy długości boków $|AB| = |AC| = \dfrac{2\sqrt{30}}{3}$ oraz kąt między nimi $\angle CAB = 120^\circ$: $$ |BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(120^\circ) $$ Wyznaczamy wartość funkcji cosinus dla kąta rozwartego, korzystając ze wzorów redukcyjnych: $$ \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\dfrac{1}{2} $$ Podstawiamy dane: $$ \begin{aligned} |BC|^2 &= \left(\dfrac{2\sqrt{30}}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{2\sqrt{30}}{3}\right)^2 - 2 \cdot \dfrac{2\sqrt{30}}{3} \cdot \dfrac{2\sqrt{30}}{3} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\[8pt] &= \dfrac{120}{9} + \dfrac{120}{9} + \dfrac{120}{9} \\[8pt] &= 3 \cdot \dfrac{120}{9} = \dfrac{120}{3} = 40 \\[8pt] |BC| &= \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \end{aligned} $$
Obliczenie obwodu trójkąta $ABC$:
Obwód trójkąta jest sumą długości wszystkich jego trzech boków: $$ \text{Obw} = |AB| + |AC| + |BC| $$ Podstawiamy wyznaczone wartości: $$ \begin{aligned} \text{Obw} &= \dfrac{2\sqrt{30}}{3} + \dfrac{2\sqrt{30}}{3} + 2\sqrt{10} \\[8pt] &= \dfrac{4\sqrt{30}}{3} + 2\sqrt{10} = \dfrac{4\sqrt{30} + 6\sqrt{10}}{3} \end{aligned} $$
Obliczenie pola trójkąta $ABC$:
Pole trójkąta również możemy obliczyć dwoma metodami:

Sposób I – Wzór klasyczny z wysokością opuszczoną na przedłużenie boku:
Biorąc jako podstawę bok $|AB| = \dfrac{2\sqrt{30}}{3}$, wysokością opuszczoną na prostą zawierającą tę podstawę jest odcinek $|CD| = \sqrt{10}$: $$ \begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD| \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2\sqrt{30}}{3} \cdot \sqrt{10} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{300}}{3} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{100 \cdot 3}}{3} = \dfrac{10\sqrt{3}}{3} \end{aligned} $$
Sposób II – Wzór trygonometryczny na pole trójkąta:
Pole trójkąta o danych dwóch bokach i kącie zawartym między nimi: $$ P = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin(120^\circ) $$ Korzystamy z tożsamości $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $$ \begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2\sqrt{30}}{3} \cdot \dfrac{2\sqrt{30}}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{120}{9} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] &= \dfrac{60\sqrt{3}}{18} = \dfrac{10\sqrt{3}}{3} \end{aligned} $$
Rysunek wynikowy z naniesionymi obliczonymi wielkościami:
Poniższy szkic podsumowuje geometrię trójkąta $ABC$ wraz z wszystkimi wyznaczonymi długościami boków:

Odpowiedź:
Obwód trójkąta:
$\text{Obw} = \dfrac{4\sqrt{30}}{3} + 2\sqrt{10}$

Pole trójkąta:
$P = \dfrac{10\sqrt{3}}{3}$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnej $b$ i przeciwprostokątnej $2b$. Mniejszy kąt ostry ma miarę $\beta$. Oblicz wartość wyrażenia: $\frac{\operatorname{tg}^2 \beta + \cos \beta}{5\sin \beta - \operatorname{ctg} \beta}$.