Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi sprawdzian

Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (5 pkt)

Rozwiąż graficznie układ równań $$ \begin{cases} \dfrac{x + 3y}{3} + \dfrac{x + y}{6} = 1, \\[8pt] 2(x + 2) = 3x + 2. \end{cases} $$

Wskazówki:

Aby rozwiązać układ równań metodą graficzną, należy doprowadzić każde z równań do prostszej postaci liniowej i wyznaczyć odpowiadające im proste na płaszczyźnie.
Pierwsze równanie po wymnożeniu przez wspólny mianownik przekształcamy do postaci ogólnej lub kierunkowej prostej, a następnie wyznaczamy co najmniej dwa punkty o współrzędnych całkowitych.
Drugie równanie redukuje się do postaci $x = c$, co oznacza prostą pionową, prostopadłą do osi $OX$.
Współrzędne punktu przecięcia obu prostych stanowią parę liczb $(x, y)$ będącą rozwiązaniem układu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Przekształcenie pierwszego równania i wyznaczenie punktów prostej $l_1$:
Rozpatrujemy pierwsze równanie układu: $$ \dfrac{x + 3y}{3} + \dfrac{x + y}{6} = 1 $$ Mnożymy obie strony równania przez wspólny mianownik $6$, aby pozbyć się ułamków: $$ 6 \cdot \left(\dfrac{x + 3y}{3} + \dfrac{x + y}{6}\right) = 6 \cdot 1 $$ $$ 2(x + 3y) + (x + y) = 6 $$ Redukujemy wyrazy podobne: $$ \begin{aligned} 2x + 6y + x + y &= 6 \\[8pt] 3x + 7y &= 6 \end{aligned} $$ Wyznaczamy $y$ w zależności od $x$ (postać kierunkowa prostej $l_1$): $$ \begin{aligned} 7y &= -3x + 6 \\[8pt] y &= -\dfrac{3}{7}x + \dfrac{6}{7} \end{aligned} $$ Aby precyzyjnie narysować prostą na siatce kratek, wyznaczamy dwa punkty o współrzędnych całkowitych:
• dla $x = 2$: $$ y = -\dfrac{3}{7} \cdot 2 + \dfrac{6}{7} = -\dfrac{6}{7} + \dfrac{6}{7} = 0 \implies A(2, 0) $$
• dla $x = -5$: $$ y = -\dfrac{3}{7} \cdot (-5) + \dfrac{6}{7} = \dfrac{15}{7} + \dfrac{6}{7} = \dfrac{21}{7} = 3 \implies B(-5, 3) $$ Prosta $l_1$ przechodzi przez punkty $A(2, 0)$ oraz $B(-5, 3)$.
Przekształcenie drugiego równania i wyznaczenie prostej $l_2$:
Rozpatrujemy drugie równanie układu: $$ 2(x + 2) = 3x + 2 $$ Wymnażamy nawias po lewej stronie: $$ 2x + 4 = 3x + 2 $$ Przenosimy wyrażenia z niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$ \begin{aligned} 2x - 3x &= 2 - 4 \\[8pt] -x &= -2 \\[8pt] x &= 2 \end{aligned} $$ Równanie $x = 2$ opisuje prostą pionową $l_2$ równoległą do osi $OY$ i prostopadłą do osi $OX$, przecinającą oś odciętych w punkcie $(2, 0)$. Każdy punkt leżący na tej prostej ma pierwszą współrzędną równą $2$.
Graficzne wyznaczenie rozwiązania układu (rysunek wynikowy):
Rysujemy w kartezjańskim układzie współrzędnych prostą $l_1$ przechodzącą przez punkty $A(2, 0)$ i $B(-5, 3)$ oraz pionową prostą $l_2: x = 2$. Obie proste przecinają się dokładnie w jednym punkcie $P(2, 0)$.

Współrzędne punktu przecięcia $P(2, 0)$ to: $$ \begin{cases} x = 2 \\ y = 0 \end{cases} $$
Sprawdzenie rachunkowe:
Wstawiamy parę liczb $x = 2$ oraz $y = 0$ do początkowych równań układu:
• Równanie 1: $$ L_1 = \dfrac{2 + 3 \cdot 0}{3} + \dfrac{2 + 0}{6} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{6}{6} = 1 = P_1 $$
• Równanie 2: $$ \begin{aligned} L_2 &= 2(2 + 2) = 2 \cdot 4 = 8 \\[8pt] P_2 &= 3 \cdot 2 + 2 = 6 + 2 = 8 \implies L_2 = P_2 \end{aligned} $$ Oba równania są spełnione, co potwierdza poprawność rozwiązania graficznego.

Odpowiedź:
Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: $$ \begin{cases} x = 2 \\ y = 0 \end{cases} $$ czyli punkt przecięcia prostych $P(2, 0)$.

Zadanie 2 (6 pkt)

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania $$\begin{cases} 4y = (2x - 7)(-7 - 2x) + (2x + 5)^2 - 74, \\[6pt] (3x - 4)^2 - (3x - y)(3x + y) = y(y - 4). \end{cases}$$

Wskazówki:

Uprość każde z równań z osobna, stosując wzory skróconego mnożenia: kwadrat sumy $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, kwadrat różnicy $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ oraz różnicę kwadratów $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Zwróć uwagę na iloczyn $(2x - 7)(-7 - 2x)$ – wyłączenie minusa daje $-(2x - 7)(2x + 7) = -(4x^2 - 49)$.
Po zredukowaniu wyrazów podobnych wyznacz jedną ze zmiennych (np. $y$) z prostszego równania i podstaw otrzymane wyrażenie do drugiego równania zgodnie z metodą podstawiania.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie wyjściowego układu równań i uproszczenie pierwszego równania:
Rozpoczynamy od wyjściowego układu równań: $$\begin{cases} 4y = (2x - 7)(-7 - 2x) + (2x + 5)^2 - 74 \\[6pt] (3x - 4)^2 - (3x - y)(3x + y) = y(y - 4) \end{cases}$$ Przekształcamy pierwsze równanie. Zauważmy, że w iloczynie $(2x - 7)(-7 - 2x)$ możemy wyłączyć znak minus przed nawias: $$\begin{aligned} (2x - 7)(-7 - 2x) &= -(2x - 7)(2x + 7) \\[8pt] &= -\left[(2x)^2 - 7^2\right] \\[8pt] &= -\left(4x^2 - 49\right) \\[8pt] &= -4x^2 + 49 \end{aligned}$$ Rozwijamy drugi składnik, stosując wzór na kwadrat sumy: $$\begin{aligned} (2x + 5)^2 &= (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 \\[8pt] &= 4x^2 + 20x + 25 \end{aligned}$$ Podstawiamy otrzymane wyrażenia do pierwszego równania: $$\begin{aligned} 4y &= -4x^2 + 49 + 4x^2 + 20x + 25 - 74 \\[8pt] 4y &= (-4x^2 + 4x^2) + 20x + (49 + 25 - 74) \\[8pt] 4y &= 20x + (74 - 74) \\[8pt] 4y &= 20x \quad \Big/ : 4 \\[8pt] y &= 5x \end{aligned}$$
Uproszczenie drugiego równania układu:
Zajmujemy się drugim równaniem wyjściowym: $$(3x - 4)^2 - (3x - y)(3x + y) = y(y - 4)$$ Rozwijamy poszczególne wyrażenia: $$\begin{aligned} (3x - 4)^2 &= (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2 = 9x^2 - 24x + 16 \\[8pt] (3x - y)(3x + y) &= (3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2 \\[8pt] y(y - 4) &= y^2 - 4y \end{aligned}$$ Wstawiamy przekształcone wyrażenia do równania, pamiętając o zmianie znaków przy odejmowaniu nawiasu: $$\begin{aligned} 9x^2 - 24x + 16 - \left(9x^2 - y^2\right) &= y^2 - 4y \\[8pt] 9x^2 - 24x + 16 - 9x^2 + y^2 &= y^2 - 4y \\[8pt] -24x + 16 + y^2 &= y^2 - 4y \end{aligned}$$ Odejmujemy $y^2$ od obu stron równania: $$\begin{aligned} -24x + 16 &= -4y \quad \Big/ : (-4) \\[8pt] 6x - 4 &= y \\[8pt] y &= 6x - 4 \end{aligned}$$
Zastosowanie metody podstawiania i wyznaczenie niewiadomych:
Układ równań po uproszczeniu ma postać: $$\begin{cases} y = 5x \\[6pt] y = 6x - 4 \end{cases}$$ Podstawiamy wyrażenie $y = 5x$ z pierwszego równania w miejsce $y$ do drugiego równania: $$\begin{aligned} 5x &= 6x - 4 \\[8pt] 5x - 6x &= -4 \\[8pt] -x &= -4 \quad \Big/ \cdot (-1) \\[8pt] x &= 4 \end{aligned}$$ Mając wyznaczoną wartość $x = 4$, obliczamy wartość zmiennej $y$: $$\begin{aligned} y &= 5x \\[8pt] y &= 5 \cdot 4 \\[8pt] y &= 20 \end{aligned}$$
Sprawdzenie poprawności z wyjściowym układem równań:
Podstawiamy parę liczb $x = 4$ oraz $y = 20$ do obu równań wyjściowych:

• Dla równania pierwszego: $$\begin{aligned} L &= 4y = 4 \cdot 20 = 80 \\[8pt] P &= (2 \cdot 4 - 7)(-7 - 2 \cdot 4) + (2 \cdot 4 + 5)^2 - 74 \\[8pt] &= (8 - 7)(-7 - 8) + (8 + 5)^2 - 74 \\[8pt] &= 1 \cdot (-15) + 13^2 - 74 \\[8pt] &= -15 + 169 - 74 = 80 \\[8pt] L &= P \end{aligned}$$ • Dla równania drugiego: $$\begin{aligned} L &= (3 \cdot 4 - 4)^2 - (3 \cdot 4 - 20)(3 \cdot 4 + 20) \\[8pt] &= (12 - 4)^2 - (12 - 20)(12 + 20) \\[8pt] &= 8^2 - (-8) \cdot 32 = 64 - (-256) = 64 + 256 = 320 \\[8pt] P &= y(y - 4) = 20(20 - 4) = 20 \cdot 16 = 320 \\[8pt] L &= P \end{aligned}$$ Oba równania są spełnione.

Odpowiedź:
$\begin{cases} x = 4 \\ y = 20 \end{cases}$ (czyli para liczb $(4, 20)$)

Zadanie 3 (6 pkt)

Rozwiąż układ równań liniowych z trzema niewiadomymi $x, y, z$: $$\begin{cases} x + y + z = 21, \\ y = x + 5, \\ z + 2 = 2y. \end{cases}$$

Wskazówki:

Drugie równanie podaje zmienną $y$ uzależnioną bezpośrednio od $x$: $y = x + 5$.
Z trzeciego równania wyznacz zmienną $z$ w zależności od $y$, a następnie wstaw $y = x + 5$, aby otrzymać wyrażenie na $z$ zależne wyłącznie od $x$.
Podstaw wyrażenia określające $y$ oraz $z$ do pierwszego równania – uzyskasz w ten sposób proste równanie liniowe z jedną niewiadomą $x$.
Alternatywnie zadanie można rozwiązać po uporządkowaniu układu do postaci ogólnej za pomocą metody przeciwnych współczynników.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Rozwiązanie metodą podstawiania:
Wypisujemy wyjściowy układ równań: $$\begin{cases} x + y + z = 21 \\ y = x + 5 \\ z + 2 = 2y \end{cases}$$ Z trzeciego równania wyznaczamy niewiadomą $z$: $$\begin{aligned} z + 2 &= 2y \\[8pt] z &= 2y - 2 \end{aligned}$$ Podstawiamy zależność $y = x + 5$ do wzoru na $z$, aby uzależnić je bezpośrednio od zmiennej $x$: $$\begin{aligned} z &= 2(x + 5) - 2 \\[8pt] &= 2x + 10 - 2 \\[8pt] &= 2x + 8 \end{aligned}$$ Wstawiamy zależności $y = x + 5$ oraz $z = 2x + 8$ do pierwszego równania: $$\begin{aligned} x + y + z &= 21 \\[8pt] x + (x + 5) + (2x + 8) &= 21 \\[8pt] 4x + 13 &= 21 \end{aligned}$$ Odejmujemy $13$ od obu stron równania: $$\begin{aligned} 4x &= 21 - 13 \\[8pt] 4x &= 8 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony przez $4$: $$\begin{aligned} x &= 2 \end{aligned}$$ Obliczamy wartości pozostałych niewiadomych, wstawiając $x = 2$: $$\begin{aligned} y &= x + 5 = 2 + 5 = 7 \\[8pt] z &= 2x + 8 = 2 \cdot 2 + 8 = 4 + 8 = 12 \end{aligned}$$
Sposób II – Rozwiązanie metodą przeciwnych współczynników:
Porządkujemy układ równań tak, aby niewiadome znajdowały się po lewej stronie, a wyrazy wolne po prawej: $$\begin{cases} x + y + z = 21 & \text{(równanie 1)} \\ -x + y = 5 & \text{(równanie 2)} \\ -2y + z = -2 & \text{(równanie 3)} \end{cases}$$ Współczynniki przy niewiadomej $x$ w równaniu 1 oraz w równaniu 2 są liczbami przeciwnymi ($1$ oraz $-1$). Dodajemy równanie 1 i równanie 2 stronami: $$\begin{aligned} (x + y + z) + (-x + y) &= 21 + 5 \\[8pt] 2y + z &= 26 \quad \text{(równanie 4)} \end{aligned}$$ Zestawiamy równanie 4 z równaniem 3, otrzymując układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi $y$ i $z$: $$\begin{cases} 2y + z = 26 \\ -2y + z = -2 \end{cases}$$ Dodajemy oba równania stronami w celu wyeliminowania zmiennej $y$: $$\begin{aligned} (2y + z) + (-2y + z) &= 26 + (-2) \\[8pt] 2z &= 24 \\[8pt] z &= 12 \end{aligned}$$ Odejmujemy drugie równanie od pierwszego stronami: $$\begin{aligned} (2y + z) - (-2y + z) &= 26 - (-2) \\[8pt] 4y &= 28 \\[8pt] y &= 7 \end{aligned}$$ Podstawiamy obliczoną wartość $y = 7$ do równania drugiego: $$\begin{aligned} y &= x + 5 \\[8pt] 7 &= x + 5 \\[8pt] x &= 7 - 5 = 2 \end{aligned}$$
Sprawdzenie poprawności otrzymanego rozwiązania:
Podstawiamy wyznaczone liczby $x = 2$, $y = 7$, $z = 12$ do wszystkich trzech równań wyjściowych:

Równanie pierwsze: $$\begin{aligned} L &= x + y + z = 2 + 7 + 12 = 21 \\[8pt] P &= 21 \implies L = P \end{aligned}$$ Równanie drugie: $$\begin{aligned} L &= y = 7 \\[8pt] P &= x + 5 = 2 + 5 = 7 \implies L = P \end{aligned}$$ Równanie trzecie: $$\begin{aligned} L &= z + 2 = 12 + 2 = 14 \\[8pt] P &= 2y = 2 \cdot 7 = 14 \implies L = P \end{aligned}$$ Wszystkie równania są spełnione.

Odpowiedź:
Rozwiązaniem układu równań jest trójka liczb: $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 7 \\ z = 12 \end{cases}$$ czyli $(x, y, z) = (2, 7, 12)$.

Zadanie 4 (6 pkt)

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników $$\begin{cases} (x - 5)(x + 5) = (x + 3)^2 - y, \\ \dfrac{4x - y}{2} - \dfrac{2x - y}{3} = 1. \end{cases}$$

Wskazówki:

Zastosuj wzory skróconego mnożenia w pierwszym równaniu: różnicę kwadratów $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ oraz kwadrat sumy $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Pozbądź się ułamków w drugim równaniu, mnożąc obie strony przez wspólny mianownik liczb $2$ i $3$, czyli przez $6$. Pamiętaj o uwzględnieniu nawiasu przy odejmowaniu licznika drugiego ułamka.
Doprowadź oba równania do postaci uporządkowanej $ax + by = c$, a następnie zauważ przeciwne współczynniki przy zmiennej $y$ i dodaj równania stronami.

Rozwiązanie krok po kroku:

Przekształcenie pierwszego równania układu do postaci liniowej:
Wychodzimy od pierwszego równania: $$(x - 5)(x + 5) = (x + 3)^2 - y$$ Po lewej stronie stosujemy wzór na różnicę kwadratów, a po prawej wzór na kwadrat sumy: $$\begin{aligned} x^2 - 5^2 &= x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - y \\[8pt] x^2 - 25 &= x^2 + 6x + 9 - y \end{aligned}$$ Odejmujemy $x^2$ od obu stron równania i przenosimy wyrazy z niewiadomymi na lewą stronę, a liczby na prawą: $$\begin{aligned} -25 &= 6x + 9 - y \\[8pt] -6x + y &= 9 + 25 \\[8pt] -6x + y &= 34 \end{aligned}$$
Uproszczenie drugiego równania układu i likwidacja mianowników:
Wychodzimy od drugiego równania: $$\dfrac{4x - y}{2} - \dfrac{2x - y}{3} = 1$$ Mnożymy obie strony równania przez $6$, aby zredukować mianowniki: $$\begin{aligned} 6 \cdot \left(\dfrac{4x - y}{2}\right) - 6 \cdot \left(\dfrac{2x - y}{3}\right) &= 6 \cdot 1 \\[8pt] 3(4x - y) - 2(2x - y) &= 6 \end{aligned}$$ Wymnażamy wyrażenia w nawiasach, zwracając uwagę na zmianę znaku przy mnożeniu przez $-2$: $$\begin{aligned} 12x - 3y - 4x + 2y &= 6 \\[8pt] (12x - 4x) + (-3y + 2y) &= 6 \\[8pt] 8x - y &= 6 \end{aligned}$$
Sposób I – Rozwiązanie układu metodą przeciwnych współczynników:
Zestawiamy oba przekształcone równania: $$\begin{cases} -6x + y = 34 \\ 8x - y = 6 \end{cases}$$ Współczynniki przy zmiennej $y$ to $1$ w pierwszym równaniu oraz $-1$ w drugim równaniu. Są to liczby przeciwne, więc dodajemy oba równania stronami: $$\begin{aligned} (-6x + y) + (8x - y) &= 34 + 6 \\[8pt] -6x + 8x + y - y &= 40 \\[8pt] 2x &= 40 \quad / : 2 \\[8pt] x &= 20 \end{aligned}$$ Wyznaczoną wartość $x = 20$ wstawiamy do jednego z równań, np. do równania drugiego: $$\begin{aligned} 8 \cdot 20 - y &= 6 \\[8pt] 160 - y &= 6 \\[8pt] -y &= 6 - 160 \\[8pt] -y &= -154 \quad / \cdot (-1) \\[8pt] y &= 154 \end{aligned}$$ Otrzymujemy parę liczb: $$\begin{cases} x = 20 \\ y = 154 \end{cases}$$
Sposób II – Alternatywne rozwiązanie metodą podstawiania:
Z pierwszego równania $-6x + y = 34$ wyznaczamy bezpośrednio zmienną $y$: $$y = 6x + 34$$ Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania $8x - y = 6$: $$\begin{aligned} 8x - (6x + 34) &= 6 \\[8pt] 8x - 6x - 34 &= 6 \\[8pt] 2x - 34 &= 6 \\[8pt] 2x &= 6 + 34 \\[8pt] 2x &= 40 \quad / : 2 \\[8pt] x &= 20 \end{aligned}$$ Obliczamy wartość zmiennej $y$: $$\begin{aligned} y &= 6 \cdot 20 + 34 \\[8pt] &= 120 + 34 \\[8pt] &= 154 \end{aligned}$$
Sprawdzenie poprawności z wyjściowym układem równań:
Podstawiamy wyznaczone wartości $x = 20$ oraz $y = 154$ do lewych i prawych stron równań wyjściowych:

Dla równania pierwszego: $$\begin{aligned} L_1 &= (20 - 5)(20 + 5) = 15 \cdot 25 = 375 \\[8pt] P_1 &= (20 + 3)^2 - 154 = 23^2 - 154 = 529 - 154 = 375 \\[8pt] L_1 &= P_1 \end{aligned}$$ Dla równania drugiego: $$\begin{aligned} L_2 &= \dfrac{4 \cdot 20 - 154}{2} - \dfrac{2 \cdot 20 - 154}{3} \\[8pt] &= \dfrac{80 - 154}{2} - \dfrac{40 - 154}{3} \\[8pt] &= \dfrac{-74}{2} - \dfrac{-114}{3} \\[8pt] &= -37 - (-38) = -37 + 38 = 1 = P_2 \end{aligned}$$ Oba równania są spełnione.

Odpowiedź:
$$\begin{cases} x = 20 \\ y = 154 \end{cases}$$

Zadanie 5 (6 pkt)

W dwóch naczyniach znajduje się roztwór wodny soli. W pierwszym naczyniu stężenie procentowe wynosi 15%, a w drugim 35%. Po ile kilogramów każdego roztworu należy wziąć, aby otrzymać 14 kg mieszaniny o stężeniu 25%?

Wskazówki:

Wprowadź oznaczenia dla mas poszczególnych roztworów. Pamiętaj, że łączna masa mieszaniny jest sumą mas obu roztworów, a łączna masa czystej soli w roztworze końcowym jest równa sumie mas soli zawartych w roztworach składowych.
Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby: układając układ równań z dwiema niewiadomymi (Sposób I) lub zapisując równanie bilansu z jedną niewiadomą (Sposób II).

Rozwiązanie krok po kroku:

Wprowadzenie oznaczeń i analiza bilansu masy soli:
Niech:
- $x$ – masa roztworu o stężeniu $15\%$ wyrażona w kilogramach,
- $y$ – masa roztworu o stężeniu $35\%$ wyrażona w kilogramach.
Łączna masa mieszaniny wynosi $14\text{ kg}$, stąd pierwsze równanie: $$ x + y = 14 $$ Masa czystej substancji (soli) w każdym roztworze to iloczyn stężenia procentowego i masy danego roztworu:
- w pierwszym roztworze: $15\% \cdot x = 0{,}15x$,
- w drugim roztworze: $35\% \cdot y = 0{,}35y$,
- w otrzymanej mieszaninie: $25\% \cdot 14\text{ kg} = 0{,}25 \cdot 14 = 3{,}5\text{ kg}$.
Suma mas czystej soli z obu naczyń musi dać masę soli w mieszaninie: $$ 0{,}15x + 0{,}35y = 3{,}5 $$
Sposób I – Rozwiązanie za pomocą układu równań z dwiema niewiadomymi:
Zestawiamy oba warunki w układ równań: $$ \begin{cases} x + y = 14 \\[6pt] 0{,}15x + 0{,}35y = 3{,}5 \end{cases} $$ Mnożymy drugie równanie obustronnie przez $100$, aby uprościć współczynniki: $$ \begin{cases} x + y = 14 \\[6pt] 15x + 35y = 350 \end{cases} $$ Wyznaczamy zmienną $y$ z pierwszego równania: $$ y = 14 - x $$ Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania: $$ \begin{aligned} 15x + 35(14 - x) &= 350 \\[8pt] 15x + 490 - 35x &= 350 \\[8pt] -20x + 490 &= 350 \\[8pt] -20x &= 350 - 490 \\[8pt] -20x &= -140 \quad \big/ : (-20) \\[8pt] x &= 7\text{ kg} \end{aligned} $$ Obliczamy masę drugiego roztworu $y$: $$ y = 14 - 7 = 7\text{ kg} $$
Sposób II – Rozwiązanie za pomocą równania z jedną niewiadomą:
Jeżeli weźmiemy $x\text{ kg}$ roztworu o stężeniu $15\%$, to masa roztworu o stężeniu $35\%$ musi wynosić $(14 - x)\text{ kg}$.
Układamy bezpośrednie równanie bilansu masy soli: $$ 0{,}15 \cdot x + 0{,}35 \cdot (14 - x) = 0{,}25 \cdot 14 $$ Rozwiązujemy równanie krok po kroku: $$ \begin{aligned} 0{,}15x + 4{,}9 - 0{,}35x &= 3{,}5 \\[8pt] -0{,}20x + 4{,}9 &= 3{,}5 \\[8pt] -0{,}20x &= 3{,}5 - 4{,}9 \\[8pt] -0{,}20x &= -1{,}4 \quad \big/ : (-0{,}20) \\[8pt] x &= \dfrac{1{,}4}{0{,}20} = 7\text{ kg} \end{aligned} $$ Masa drugiego roztworu wynosi: $$ 14 - x = 14 - 7 = 7\text{ kg} $$
Sprawdzenie poprawności wyniku:
Sprawdzamy stężenie procentowe powstałej mieszaniny po połączeniu $7\text{ kg}$ roztworu $15\%$ oraz $7\text{ kg}$ roztworu $35\%$:
- Łączna masa roztworu: $7\text{ kg} + 7\text{ kg} = 14\text{ kg}$
- Masa czystej soli: $0{,}15 \cdot 7 + 0{,}35 \cdot 7 = 1{,}05 + 2{,}45 = 3{,}5\text{ kg}$
- Stężenie procentowe mieszaniny: $$ c_p = \dfrac{3{,}5\text{ kg}}{14\text{ kg}} \cdot 100\% = \dfrac{1}{4} \cdot 100\% = 25\% $$
Wynik jest zgodny ze wszystkimi warunkami zadania. Warto zauważyć, że ponieważ stężenie docelowe $25\%$ leży dokładnie w połowie pomiędzy $15\%$ a $35\%$, roztwory musiały zostać zmieszane w równym stosunku masowym $1:1$.

Odpowiedź:
Należy wziąć po $7\text{ kg}$ każdego roztworu (czyli $7\text{ kg}$ roztworu o stężeniu $15\%$ oraz $7\text{ kg}$ roztworu o stężeniu $35\%$).

Grupa B

Zadanie 1 (5 pkt)

Rozwiąż graficznie układ równań $ \begin{cases} \displaystyle \frac{x+2y}{4}+\frac{x+4y}{8}=\;\frac{3}{4},\\[2mm] 2(x+3)=3x+4. \end{cases} $