Wyrażenia algebraiczne sprawdzian

Wyrażenia algebraiczne

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (1 pkt)

Liczba $-2\log_3 3 - \log_3 9$ jest równa:

Wskazówki:

Wartość logarytmu $\log_a b$ to liczba $c$ taka, że podstawa podniesiona do potęgi $c$ daje liczbę logarytmowaną ($a^c = b$).
Zadanie można rozwiązać bezpośrednio, wyznaczając wartości poszczególnych logarytmów: $\log_3 3$ oraz $\log_3 9$, lub stosując prawa działań na logarytmach.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Obliczenie wartości poszczególnych logarytmów z definicji:
Mamy wyjściowe wyrażenie: $$ -2\log_3 3 - \log_3 9 $$ Wyznaczamy wartość logarytmu $\log_3 3$. Z definicji logarytmu szukamy potęgi liczby $3$, która daje $3$: $$ 3^1 = 3 \implies \log_3 3 = 1 $$ Wyznaczamy wartość logarytmu $\log_3 9$. Szukamy potęgi liczby $3$, która daje $9$: $$ 3^2 = 9 \implies \log_3 9 = 2 $$ Podstawiamy otrzymane liczby do wyjściowego wyrażenia: $$ \begin{aligned} -2\log_3 3 - \log_3 9 &= -2 \cdot 1 - 2 \\[8pt] &= -2 - 2 \\[8pt] &= -4 \end{aligned} $$
Sposób II – Zastosowanie praw działań na logarytmach:
Mamy wyjściowe wyrażenie: $$ -2\log_3 3 - \log_3 9 $$ Wyłączamy znak minus przed nawias: $$ -(2\log_3 3 + \log_3 9) $$ Wprowadzamy współczynnik $2$ do wykładnika liczby logarytmowanej na mocy wzoru $k\log_a x = \log_a(x^k)$: $$ 2\log_3 3 = \log_3(3^2) = \log_3 9 $$ Stosujemy wzór na sumę logarytmów o jednakowych podstawach $\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)$: $$ \begin{aligned} -(2\log_3 3 + \log_3 9) &= -(\log_3 9 + \log_3 9) \\[8pt] &= -\log_3(9 \cdot 9) \\[8pt] &= -\log_3 81 \end{aligned} $$ Ponieważ $3^4 = 81$, wartość $\log_3 81 = 4$, co prowadzi do wyniku: $$ -\log_3 81 = -4 $$

Odpowiedź:
$-4$

Zadanie 2 (2 pkt)

Zapisz liczbę w postaci potęgi o podstawie 2: $\sqrt{32} \cdot \sqrt[7]{8 \cdot \sqrt[11]{16\sqrt{8}}}$.

Wskazówki:

Przedstaw każdą liczbę występującą pod pierwiastkami jako potęgę liczby $2$: $32 = 2^5$, $16 = 2^4$, $8 = 2^3$.
Zastosuj definicję potęgi o wykładniku ułamkowym: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$. Dla pierwiastka stopnia $11$ mamy $\sqrt[11]{a} = a^{\frac{1}{11}}$.
Upraszczaj wyrażenie stopniowo od najbardziej wewnętrznych pierwiastków, korzystając z praw działań na potęgach: $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$ oraz $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie wyjściowego wyrażenia i zamiana liczb na potęgi o podstawie 2:
Rozpoczynamy od danego w poleceniu wyrażenia: $$\sqrt{32} \cdot \sqrt[7]{8 \cdot \sqrt[11]{16\sqrt{8}}}$$ Zapisujemy wszystkie liczby całkowite jako potęgi dwójki: $$\begin{aligned} 32 &= 2^5 \\[8pt] 16 &= 2^4 \\[8pt] 8 &= 2^3 \end{aligned}$$ Podstawiamy je do wyrażenia: $$\sqrt{2^5} \cdot \sqrt[7]{2^3 \cdot \sqrt[11]{2^4 \cdot \sqrt{2^3}}}$$
Uproszczenie najbardziej wewnętrznego wyrażenia $16\sqrt{8}$:
Zamieniamy pierwiastek kwadratowy na potęgę o wykładniku ułamkowym: $\sqrt{2^3} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$. Następnie wykonujemy mnożenie potęg o tej samej podstawie: $$\begin{aligned} 16\sqrt{8} &= 2^4 \cdot 2^{\frac{3}{2}} \\[8pt] &= 2^{4 + \frac{3}{2}} \\[8pt] &= 2^{\frac{8}{2} + \frac{3}{2}} \\[8pt] &= 2^{\frac{11}{2}} \end{aligned}$$
Obliczenie wartości pierwiastka jedenastego stopnia:
Zgodnie z definicją potęgi o wykładniku ułamkowym mamy $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$. Dla pierwiastka stopnia $11$ otrzymujemy wykładnik $\frac{1}{11}$: $$\begin{aligned} \sqrt[11]{16\sqrt{8}} &= \sqrt[11]{2^{\frac{11}{2}}} \\[8pt] &= \left(2^{\frac{11}{2}}\right)^{\frac{1}{11}} \\[8pt] &= 2^{\frac{11}{2} \cdot \frac{1}{11}} \\[8pt] &= 2^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$$
Uproszczenie wyrażenia pod pierwiastkiem siódmego stopnia:
Mnożymy liczbę $8 = 2^3$ przez uzyskany wynik $2^{\frac{1}{2}}$: $$\begin{aligned} 8 \cdot \sqrt[11]{16\sqrt{8}} &= 2^3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= 2^{3 + \frac{1}{2}} \\[8pt] &= 2^{\frac{6}{2} + \frac{1}{2}} \\[8pt] &= 2^{\frac{7}{2}} \end{aligned}$$ Następnie wyciągamy pierwiastek stopnia 7: $$\begin{aligned} \sqrt[7]{8 \cdot \sqrt[11]{16\sqrt{8}}} &= \sqrt[7]{2^{\frac{7}{2}}} \\[8pt] &= \left(2^{\frac{7}{2}}\right)^{\frac{1}{7}} \\[8pt] &= 2^{\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{7}} \\[8pt] &= 2^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$$
Wyznaczenie końcowej potęgi o podstawie 2:
Zapisujemy pierwszy czynnik wyjściowego iloczynu w postaci potęgi o podstawie 2: $$\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{\frac{5}{2}}$$ Mnożymy oba czynniki, dodając ich wykładniki: $$\begin{aligned} \sqrt{32} \cdot \sqrt[7]{8 \cdot \sqrt[11]{16\sqrt{8}}} &= 2^{\frac{5}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= 2^{\frac{5}{2} + \frac{1}{2}} \\[8pt] &= 2^{\frac{6}{2}} \\[8pt] &= 2^3 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
$2^3$ (lub $8$)

Zadanie 3 (5 pkt)

Rozwiąż równanie i nierówność

a) $3x + (1 - x)^2 \le (x - 5)(x + 5)$

b) $x - (x - 2)(x + 2) = 2 - (x + 4)^2$

Wskazówki:

Zastosuj wzory skróconego mnożenia:
- kwadrat różnicy: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- kwadrat sumy: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- różnica kwadratów: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
Zwróć szczególną uwagę na znak minus stojący przed nawiasem – po opuszczeniu nawiasu zmienia on znaki wszystkich wyrazów wewnątrz na przeciwne.
Uporządkuj wyrażenia po obu stronach, zredukuj wyrazy podobne (w tym wyraz z $x^2$), a następnie przenieś niewiadome na jedną stronę, a liczby na drugą.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $3x + (1 - x)^2 \le (x - 5)(x + 5)$:
Rozpisujemy wyrażenia po lewej i prawej stronie, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia: $$\begin{aligned} (1 - x)^2 &= 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + x^2 = 1 - 2x + x^2 \\[8pt] (x - 5)(x + 5) &= x^2 - 5^2 = x^2 - 25 \end{aligned}$$ Wstawiamy rozpisane wyrażenia do nierówności wyjściowej: $$\begin{aligned} 3x + 1 - 2x + x^2 &\le x^2 - 25 \end{aligned}$$ Redukujemy wyrazy podobne po lewej stronie ($3x - 2x = x$): $$\begin{aligned} x^2 + x + 1 &\le x^2 - 25 \end{aligned}$$ Odejmujemy $x^2$ od obu stron nierówności: $$\begin{aligned} x + 1 &\le -25 \end{aligned}$$ Odejmujemy $1$ od obu stron: $$\begin{aligned} x &\le -25 - 1 \\[8pt] x &\le -26 \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział domknięty prawostronnie: $$x \in (-\infty, -26]$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $x - (x - 2)(x + 2) = 2 - (x + 4)^2$:
Rozpisujemy iloczyn oraz potęgę, stosując odpowiednie wzory skróconego mnożenia: $$\begin{aligned} (x - 2)(x + 2) &= x^2 - 2^2 = x^2 - 4 \\[8pt] (x + 4)^2 &= x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16 \end{aligned}$$ Podstawiamy otrzymane wyrażenia w nawiasach do wyjściowego równania: $$\begin{aligned} x - (x^2 - 4) &= 2 - (x^2 + 8x + 16) \end{aligned}$$ Opuszczamy nawiasy, pamiętając o zmianie znaku każdego wyrazu stojącego po znaku minus: $$\begin{aligned} x - x^2 + 4 &= 2 - x^2 - 8x - 16 \end{aligned}$$ Redukujemy wyrazy podobne po prawej stronie ($2 - 16 = -14$): $$\begin{aligned} -x^2 + x + 4 &= -x^2 - 8x - 14 \end{aligned}$$ Dodajemy $x^2$ do obu stron równania: $$\begin{aligned} x + 4 &= -8x - 14 \end{aligned}$$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} x + 8x &= -14 - 4 \\[8pt] 9x &= -18 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $9$: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{-18}{9} \\[8pt] x &= -2 \end{aligned}$$ Sprawdzamy poprawność otrzymanego rozwiązania: $$\begin{aligned} L &= -2 - (-2 - 2)(-2 + 2) = -2 - (-4) \cdot 0 = -2 - 0 = -2 \\[8pt] P &= 2 - (-2 + 4)^2 = 2 - 2^2 = 2 - 4 = -2 \end{aligned}$$ Ponieważ $L = P$, liczba $-2$ jest jedynym rozwiązaniem równania.

Odpowiedź:
a) $x \le -26$ (czyli $x \in (-\infty, -26]$)

b) $x = -2$

Zadanie 4 (3 pkt)

Wykaż, że jeśli $x$ i $y$ są liczbami rzeczywistymi, $x + y = 4$ oraz $x^2 + y^2 = 20$, to $xy = -2$.

Wskazówki:

Zastosuj wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch liczb: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Pogrupuj wyrazy tak, aby wyodrębnić wyrażenie $x^2 + y^2$, a następnie wstaw dane liczbowe z polecenia.
Zadanie można również rozwiązać, wyznaczając jedną zmienną z równania sumy i wstawiając ją do równania kwadratowego.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
Przypominamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń: $$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$$ Zmieniając kolejność składników po prawej stronie, zapisujemy wzór w postaci: $$(x + y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy$$ Z treści zadania wiemy, że: $$x + y = 4 \quad \text{oraz} \quad x^2 + y^2 = 20$$ Podstawiamy obie wartości do powyższej tożsamości: $$\begin{aligned} 4^2 &= 20 + 2xy \\[8pt] 16 &= 20 + 2xy \end{aligned}$$ Przekształcamy równanie, aby wyznaczyć składnik z iloczynem $xy$: $$\begin{aligned} 16 - 20 &= 2xy \\[8pt] 2xy &= -4 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $2$: $$xy = -2$$ Co należało wykazać.
Sposób II – Metoda podstawiania i bezpośrednia redukcja iloczynu:
Z pierwszego warunku $x + y = 4$ wyznaczamy zmienną $y$: $$y = 4 - x$$ Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania $x^2 + y^2 = 20$: $$\begin{aligned} x^2 + (4 - x)^2 &= 20 \\[8pt] x^2 + (16 - 8x + x^2) &= 20 \\[8pt] 2x^2 - 8x + 16 &= 20 \end{aligned}$$ Odejmujemy $20$ od obu stron równania: $$2x^2 - 8x - 4 = 0$$ Dzielimy całe równanie obustronnie przez $2$: $$\begin{aligned} x^2 - 4x - 2 &= 0 \\[8pt] x^2 - 4x &= 2 \end{aligned}$$ Rozpisujemy teraz szukany iloczyn $xy$, zastępując zmienną $y$ wyrażeniem $4 - x$: $$\begin{aligned} xy &= x(4 - x) \\[8pt] &= 4x - x^2 \\[8pt] &= -(x^2 - 4x) \end{aligned}$$ Wstawiamy obliczoną wcześniej wartość $x^2 - 4x = 2$: $$xy = -(2) = -2$$ Co stanowi drugie, równoważne zakończenie dowodu.

Odpowiedź:
Przeprowadzono dowód (wykazano, że $xy = -2$).

Zadanie 5 (4 pkt)

Dane są liczby: $a$, $b$, $c$, gdzie $$ a = \left(\sqrt{2-\sqrt{3}} + \sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2 $$ $$ b = \sqrt{9} \cdot \left[(1{,}5)^{-1} + 9^{-1{,}5}\right] - 27^{-\frac{2}{3}} \cdot \left(\dfrac{81}{16}\right)^0 $$ $$ c = 24 \cdot 32^{-\frac{3}{5}} + \left(2^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot \sqrt{8} $$ Doprowadź liczby do najprostszej postaci i oblicz kwadrat sumy tych liczb.

Wskazówki:

Przy upraszczaniu liczby $a$ zastosuj wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Iloczyn pod pierwiastkiem w wyrazie podwojonym oblicz za pomocą wzoru na różnicę kwadratów $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$.
W liczbach $b$ oraz $c$ zamień ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe i zapisz podstawy potęg w postaci potęg liczb pierwszych ($9 = 3^2$, $27 = 3^3$, $32 = 2^5$). Skorzystaj z praw działań na potęgach: $x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$, $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ oraz $x^0 = 1$ (dla $x \neq 0$).
Kwadrat sumy trzech liczb oznacza $(a + b + c)^2$ – w pierwszej kolejności dodajemy wyznaczone wartości liczb $a$, $b$ i $c$, a dopiero otrzymany wynik podnosimy do drugiej potęgi.

Rozwiązanie krok po kroku:

Doprowadzenie liczby $a$ do najprostszej postaci:
Wyjściowe wyrażenie ma postać: $$ a = \left(\sqrt{2-\sqrt{3}} + \sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2 $$ Zauważmy, że $2 = \sqrt{4} > \sqrt{3}$, więc oba wyrażenia pod pierwiastkami są dodatnie. Stosujemy wzór na kwadrat sumy $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$: $$ \begin{aligned} a &= \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2 + 2\sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}} + \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2 \\[8pt] &= (2 - \sqrt{3}) + 2\sqrt{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} + (2 + \sqrt{3}) \end{aligned} $$ Wyrażenie pod pierwiastkiem upraszczamy, stosując wzór na różnicę kwadratów: $$ (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 $$ Wstawiamy otrzymany wynik i redukujemy wyrazy podobne: $$ \begin{aligned} a &= 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{1} + 2 + \sqrt{3} \\[8pt] &= 2 + 2 \cdot 1 + 2 \\[8pt] &= 6 \end{aligned} $$
Doprowadzenie liczby $b$ do najprostszej postaci:
Wyjściowe wyrażenie ma postać: $$ b = \sqrt{9} \cdot \left[(1{,}5)^{-1} + 9^{-1{,}5}\right] - 27^{-\frac{2}{3}} \cdot \left(\dfrac{81}{16}\right)^0 $$ Obliczamy wartości poszczególnych składników i potęg:
- Pierwiastek: $\sqrt{9} = 3$
- Pierwszy składnik w nawiasie: $$ (1{,}5)^{-1} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1} = \dfrac{2}{3} $$
- Drugi składnik w nawiasie zamieniamy na potęgę liczby $3$: $$ 9^{-1{,}5} = 9^{-\frac{3}{2}} = (3^2)^{-\frac{3}{2}} = 3^{2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)} = 3^{-3} = \dfrac{1}{3^3} = \dfrac{1}{27} $$
- Wartość całego nawiasu kwadratowego: $$ (1{,}5)^{-1} + 9^{-1{,}5} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{27} = \dfrac{18}{27} + \dfrac{1}{27} = \dfrac{19}{27} $$
- Iloczyn z początkowym pierwiastkiem: $$ \sqrt{9} \cdot \left[(1{,}5)^{-1} + 9^{-1{,}5}\right] = 3 \cdot \dfrac{19}{27} = \dfrac{19}{9} $$
- Potęga o podstawie $27$: $$ 27^{-\frac{2}{3}} = (3^3)^{-\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)} = 3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} $$
- Dowolna niezerowa liczba podniesiona do potęgi zerowej wynosi $1$: $$ \left(\dfrac{81}{16}\right)^0 = 1 $$
Odejmujemy oba wyznaczone człony: $$ \begin{aligned} b &= \dfrac{19}{9} - \dfrac{1}{9} \cdot 1 \\[8pt] &= \dfrac{19}{9} - \dfrac{1}{9} \\[8pt] &= \dfrac{18}{9} = 2 \end{aligned} $$
Doprowadzenie liczby $c$ do najprostszej postaci:
Wyjściowe wyrażenie ma postać: $$ c = 24 \cdot 32^{-\frac{3}{5}} + \left(2^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot \sqrt{8} $$ Upraszczamy oba składniki sumy:
- Pierwszy składnik – zapisujemy liczbę $32$ jako potęgę dwójki ($32 = 2^5$): $$ 32^{-\frac{3}{5}} = (2^5)^{-\frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)} = 2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} $$ Stąd: $$ 24 \cdot 32^{-\frac{3}{5}} = 24 \cdot \dfrac{1}{8} = 3 $$
- Drugi składnik – stosujemy regułę potęgowania potęgi $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $$ \left(2^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{\frac{(\sqrt{2})^2}{4}} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} $$
- Upraszczamy pierwiastek $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ i mnożymy: $$ \left(2^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 2 = 4 $$
Dodajemy oba składniki: $$ c = 3 + 4 = 7 $$
Obliczenie kwadratu sumy liczb $a$, $b$ oraz $c$:
Mamy wyznaczone liczby w najprostszej postaci: $$ a = 6, \quad b = 2, \quad c = 7 $$ Obliczamy najpierw sumę tych trzech liczb: $$ a + b + c = 6 + 2 + 7 = 15 $$ Następnie obliczamy kwadrat tej sumy: $$ (a + b + c)^2 = 15^2 = 225 $$

Odpowiedź:
Postacie najprostsze liczb:
$a = 6$

$b = 2$

$c = 7$

Kwadrat sumy tych liczb:
$(a + b + c)^2 = 225$