Zbiory liczbowe. Liczby rzeczywiste. Sprawdzian

Zbiory liczbowe. Liczby rzeczywiste

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Wyznacz zbiory: $A \cup B$, $A \cap B$, $A - B$, $B - A$, gdy: $$A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ jest dzielnikiem liczby } 30\}$$ $$B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ jest dzielnikiem liczby } 20\}$$

Wskazówki:

Wypisz jawnie wszystkie dodatnie dzielniki naturalne liczby $30$ (zbiór $A$) oraz liczby $20$ (zbiór $B$).
Iloczyn zbiorów ($A \cap B$) to zbiór elementów należących jednocześnie do obu zbiorów (wspólne dzielniki).
Suma zbiorów ($A \cup B$) to zbiór zawierający wszystkie elementy należące do co najmniej jednego ze zbiorów (bez powtórzeń).
Różnica zbiorów ($A - B$) zawiera elementy ze zbioru $A$, które nie należą do $B$. Analogicznie $B - A$ zawiera elementy z $B$, które nie należą do $A$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie i wypisanie elementów zbiorów $A$ oraz $B$:
Zbiór $A$ składa się ze wszystkich liczb naturalnych będących dzielnikami liczby $30$: $$A = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$$ Zbiór $B$ tworzą wszystkie liczby naturalne będące dzielnikami liczby $20$: $$B = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$$
Wyznaczenie iloczynu (części wspólnej) zbiorów $A \cap B$ oraz ilustracja na diagramie Venna:
Część wspólną tworzą liczby, które występują jednocześnie w zbiorze $A$ oraz w zbiorze $B$: $$\begin{aligned} A \cap B &= \{x \in \mathbb{N} \mid x \in A \text{ i } x \in B\} \\[8pt] &= \{1, 2, 5, 10\} \end{aligned}$$
Wyznaczenie sumy zbiorów $A \cup B$:
Suma zbiorów to zbiór wszystkich elementów, które należą do zbioru $A$ lub do zbioru $B$. Wypisujemy wszystkie elementy w porządku rosnącym, nie powtarzając elementów wspólnych: $$\begin{aligned} A \cup B &= \{x \in \mathbb{N} \mid x \in A \text{ lub } x \in B\} \\[8pt] &= \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20, 30\} \end{aligned}$$
Wyznaczenie różnic zbiorów $A - B$ oraz $B - A$:
1. Różnica $A - B$ (elementy należące do $A$ i nienależące do $B$): Usuwamy ze zbioru $A$ elementy części wspólnej $A \cap B$: $$\begin{aligned} A - B &= \{3, 6, 15, 30\} \end{aligned}$$
2. Różnica $B - A$ (elementy należące do $B$ i nienależące do $A$): Usuwamy ze zbioru $B$ elementy części wspólnej $A \cap B$: $$\begin{aligned} B - A &= \{4, 20\} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20, 30\}$

$A \cap B = \{1, 2, 5, 10\}$

$A - B = \{3, 6, 15, 30\}$

$B - A = \{4, 20\}$

Zadanie 2 (2 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia: $$3|1 - \sqrt{3}| - |\sqrt{3} - 2| + |5 - 2\sqrt{3}|$$

Wskazówki:

Przypomnij sobie algebraiczną definicję wartości bezwzględnej: $|a| = a$ dla $a \ge 0$ oraz $|a| = -a$ dla $a < 0$.
Aby ustalić znak każdego z wyrażeń pod modułami, porównaj liczby wymierne z pierwiastkami (pamiętając, że $1 = \sqrt{1}$, $2 = \sqrt{4}$ oraz $5 = \sqrt{25}$).
Jeśli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, opuszczając moduł zmieniamy znak każdego jego składnika na przeciwny.
Pamiętaj o uwzględnieniu znaków minus stojących przed nawiasami podczas redukcji wyrazów podobnych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Ustalenie znaków wyrażeń pod poszczególnymi wartościami bezwzględnymi:
Analizujemy znak każdego z trzech wyrażeń wewnątrz modułów:
- Wyrażenie $1 - \sqrt{3}$: ponieważ $1 = \sqrt{1}$, a $\sqrt{1} < \sqrt{3}$, wartość ta jest ujemna: $$1 - \sqrt{3} < 0$$
- Wyrażenie $\sqrt{3} - 2$: ponieważ $2 = \sqrt{4}$, a $\sqrt{3} < \sqrt{4}$, wartość ta jest ujemna: $$\sqrt{3} - 2 < 0$$
- Wyrażenie $5 - 2\sqrt{3}$: włączamy liczbę $2$ pod znak pierwiastka, czyli $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12}$. Ponieważ $5 = \sqrt{25}$, a $\sqrt{25} > \sqrt{12}$, wartość ta jest dodatnia: $$5 - 2\sqrt{3} > 0$$
Opuszczenie symboli wartości bezwzględnej zgodnie z ich definicją:
Dla wyrażeń o wartości ujemnej zmieniamy znaki składników na przeciwne, a wyrażenie dodatnie przepisujemy bez zmian: $$\begin{aligned} |1 - \sqrt{3}| &= -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1 \\[8pt] |\sqrt{3} - 2| &= -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3} \\[8pt] |5 - 2\sqrt{3}| &= 5 - 2\sqrt{3} \end{aligned}$$
Podstawienie rozpisanych modułów do wyjściowego wyrażenia i redukcja wyrazów podobnych:
Wstawiamy otrzymane wyrażenia w nawiasach do początkowego wzoru: $$\begin{aligned} 3|1 - \sqrt{3}| - |\sqrt{3} - 2| + |5 - 2\sqrt{3}| &= 3(\sqrt{3} - 1) - (2 - \sqrt{3}) + (5 - 2\sqrt{3}) \\[8pt] &= 3\sqrt{3} - 3 - 2 + \sqrt{3} + 5 - 2\sqrt{3} \\[8pt] &= (3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + (-3 - 2 + 5) \\[8pt] &= 2\sqrt{3} + 0 \\[8pt] &= 2\sqrt{3} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
$2\sqrt{3}$

Zadanie 3 (3 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej przedziały: $$A = (-5, 1\rangle, \quad B = \langle -2, 4)$$ Wyznacz: $A \cup B$, $A \cap B$, $A - B$, $B - A$, $A'$, $B'$

Wskazówki:

Zaznaczenie na osi: Pamiętaj, że nawias okrągły $()$ oznacza kraniec nienależący do przedziału (kółko otwarte/niezamalowane), a nawias ostrokątny $\langle$ lub $\rangle$ oznacza kraniec należący do przedziału (kółko domknięte/zamalowane).
Suma przedziałów ($A \cup B$): Obejmuje wszystkie liczby, które należą do przedziału $A$ LUB do przedziału $B$ (łączny zakres pokryty przez oba przedziały).
Część wspólna ($A \cap B$): Obejmuje liczby, które należą JEDNOCZEŚNIE do przedziału $A$ I do przedziału $B$ (obszar, w którym oba przedziały się nakładają).
Różnica zbiorów ($A - B$ oraz $B - A$): Różnica $A - B$ to elementy zbioru $A$, z którego wyrzucamy wszystkie punkty należące do $B$. Zwróć szczególną uwagę na krańce: jeśli punkt graniczny należał do $B$, to po odjęciu zostaje usunięty (nawias okrągły).
Dopełnienie zbioru ($A'$ oraz $B'$): Dopełnienie to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nienależących do danego przedziału ($A' = \mathbb{R} - A$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i zaznaczenie danych przedziałów na osi liczbowej:
Analizujemy krańce zadanych przedziałów:
- Przedział $A = (-5, 1\rangle$ jest lewostronnie otwarty i prawostronnie domknięty. Oznacza to, że liczba $-5$ do niego nie należy (kółko otwarte), natomiast liczba $1$ do niego należy (kółko zamalowane).
- Przedział $B = \langle -2, 4)$ jest lewostronnie domknięty i prawostronnie otwarty. Oznacza to, że liczba $-2$ należy do przedziału (kółko zamalowane), a liczba $4$ do niego nie należy (kółko otwarte).
Wyznaczenie sumy przedziałów $A \cup B$ oraz części wspólnej $A \cap B$:
1. Suma przedziałów $A \cup B$:
Suma zbiorów to zbiór elementów należących do co najmniej jednego ze zbiorów: $$A \cup B = \{x \in \mathbb{R}: x \in A \lor x \in B\}$$ Łącząc przedział $A = (-5, 1\rangle$ z przedziałem $B = \langle -2, 4)$, zauważamy, że zachodzą one na siebie w przedziale $\langle -2, 1\rangle$. Zakres liczb zaczyna się tuż za liczbą $-5$ (bez $-5$) i ciągnie się nieprzerwanie aż do liczby $4$ (bez $4$): $$A \cup B = (-5, 4)$$
2. Część wspólna (iloczyn) przedziałów $A \cap B$:
Iloczyn zbiorów to zbiór elementów należących równocześnie do obu przedziałów: $$A \cap B = \{x \in \mathbb{R}: x \in A \land x \in B\}$$ Przedziały nakładają się od liczby $-2$ do liczby $1$. Ponieważ $-2 \in B$ oraz $-2 \in A$, lewy brzeg jest domknięty. Podobnie $1 \in A$ oraz $1 \in B$, więc prawy brzeg również jest domknięty: $$A \cap B = \langle -2, 1 \rangle$$
Wyznaczenie różnic zbiorów $A - B$ oraz $B - A$:
1. Różnica $A - B$:
Różnica $A - B$ zawiera elementy, które należą do $A$ i jednocześnie nie należą do $B$: $$A - B = \{x \in \mathbb{R}: x \in A \land x \notin B\}$$ Ze zbioru $A = (-5, 1\rangle$ usuwamy część wspólną z $B$, czyli przedział $\langle -2, 1\rangle$. Ponieważ liczba $-2$ należy do zbioru $B$, zostaje usunięta ze zbioru $A$. W efekcie przy $-2$ otrzymujemy nawias otwarty: $$A - B = (-5, -2)$$
2. Różnica $B - A$:
Różnica $B - A$ zawiera elementy, które należą do $B$ i jednocześnie nie należą do $A$: $$B - A = \{x \in \mathbb{R}: x \in B \land x \notin A\}$$ Ze zbioru $B = \langle -2, 4)$ usuwamy część pokrywającą się ze zbiorem $A$, czyli odcinek $\langle -2, 1\rangle$. Ponieważ liczba $1$ należy do zbioru $A$, zostaje usunięta z $B$. W rezultacie przy $1$ otrzymujemy nawias otwarty: $$B - A = (1, 4)$$
Wyznaczenie dopełnień przedziałów $A'$ oraz $B'$:
Dopełnieniem zbioru w przestrzeni liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które do niego nie należą: $$X' = \mathbb{R} - X$$
1. Dopełnienie zbioru $A = (-5, 1\rangle$:
Zbiór $A$ dzieli oś liczbową na trzy części. Elementy leżące na zewnątrz to liczby mniejsze bądź równe $-5$ oraz liczby ściśle większe od $1$:
- Ponieważ $-5 \notin A$, liczba $-5$ wchodzi do dopełnienia (kółko zamalowane, nawias domknięty $\langle$).
- Ponieważ $1 \in A$, liczba $1$ nie wchodzi do dopełnienia (kółko otwarte, nawias okrągły $)$).
Stąd dopełnienie zbioru $A$ wynosi: $$A' = (-\infty, -5\rangle \cup (1, +\infty)$$
2. Dopełnienie zbioru $B = \langle -2, 4)$:
Elementy leżące poza zbiorem $B$ to liczby mniejsze od $-2$ oraz liczby większe bądź równe $4$:
- Ponieważ $-2 \in B$, liczba $-2$ nie wchodzi do dopełnienia (kółko otwarte, nawias okrągły $)$).
- Ponieważ $4 \notin B$, liczba $4$ wchodzi do dopełnienia (kółko zamalowane, nawias domknięty $\langle$).
Stąd dopełnienie zbioru $B$ wynosi: $$B' = (-\infty, -2) \cup \langle 4, +\infty)$$

Odpowiedź:
$A \cup B = (-5, 4)$

$A \cap B = \langle -2, 1 \rangle$

$A - B = (-5, -2)$

$B - A = (1, 4)$

$A' = (-\infty, -5\rangle \cup (1, +\infty)$

$B' = (-\infty, -2) \cup \langle 4, +\infty)$

Zadanie 4 (4 pkt)

Rozwiąż równania:

a) $(x + 4)(x - 2)^2 = 0$

b) $\dfrac{4x - 1}{2} + x = \dfrac{3x + 5}{4}$

Wskazówki:

W podpunkcie a) skorzystaj z własności iloczynu: iloczyn dwóch lub więcej wyrażeń jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedno z nich wynosi zero.
W podpunkcie b) pomnóż obie strony równania przez wspólny mianownik (czyli liczbę $4$), aby pozbyć się ułamków, a następnie uporządkuj wyrazy z niewiadomą na jedną stronę.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $(x + 4)(x - 2)^2 = 0$:
Równanie ma postać iloczynową. Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero: $$\begin{aligned} x + 4 &= 0 \quad \text{lub} \quad (x - 2)^2 = 0 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy pierwsze równanie liniowe: $$x = -4$$ Rozwiązujemy drugie równanie: kwadrat wyrażenia jest równy zero tylko wtedy, gdy samo wyrażenie podnoszone do kwadratu wynosi zero: $$\begin{aligned} x - 2 &= 0 \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}$$ Rozwiązanie $x = 2$ jest pierwiastkiem dwukrotnym (o krotności 2). Ostatecznie równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste: $x = -4$ oraz $x = 2$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{4x - 1}{2} + x = \dfrac{3x + 5}{4}$:
Aby pozbyć się mianowników, mnożymy obie strony równania przez wspólny mianownik, czyli przez $4$: $$4 \cdot \left( \dfrac{4x - 1}{2} + x \right) = 4 \cdot \dfrac{3x + 5}{4}$$ Upraszczamy poszczególne składniki: $$2(4x - 1) + 4x = 3x + 5$$ Wymnażamy wyrażenie w nawiasie przez $2$: $$8x - 2 + 4x = 3x + 5$$ Redukujemy wyrazy podobne po lewej stronie: $$12x - 2 = 3x + 5$$ Przenosimy wyrażenia z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą stronę, pamiętając o zmianie znaków na przeciwne: $$\begin{aligned} 12x - 3x &= 5 + 2 \\[8pt] 9x &= 7 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez współczynnik stojący przy niewiadomej, czyli przez $9$: $$x = \dfrac{7}{9}$$

Odpowiedź:
a) $x = -4$ lub $x = 2$

b) $x = \dfrac{7}{9}$

Zadanie 5 (3 pkt)

W wyborach do rady miasta partia B uzyskała wynik o 2 punkty procentowe mniejszy niż w sondażu przedwyborczym, w którym miała 25%.

a) O ile procent mniej głosów uzyskała partia B w wyborach?

b) Zakładając, że wynik sondażu był przybliżeniem wyniku rzeczywistego z nadmiarem, oblicz błąd względny tego przybliżenia.

Wskazówki:

Odróżniaj punkty procentowe ($\text{p.p.}$) od procentów ($\%$). Jeśli poparcie spadło o $2\text{ p.p.}$ z poziomu $25\%$, to rzeczywisty wynik wynosi $25\% - 2\% = 23\%$.
Aby obliczyć, o ile procent zmalała dana wielkość, odnieś bezwzględną różnicę do wartości początkowej (wartości z sondażu): $\dfrac{|W_w - W_s|}{W_s} \cdot 100\%$.
Błąd bezwzględny przybliżenia to $\Delta = |a - x|$, gdzie $a$ to wartość przybliżona (wynik sondażu), a $x$ to wartość dokładna (wynik rzeczywisty).
Błąd względny przybliżenia to stosunek błędu bezwzględnego do dokładnej wartości rzeczywistej: $\delta = \dfrac{|a - x|}{|x|}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie rzeczywistego wyniku wyborczego partii B:
Z treści zadania wiemy, że w sondażu przedwyborczym partia B uzyskała poparcie: $$W_s = 25\%$$ W rzeczywistych wyborach wynik partii był o $2$ punkty procentowe ($\text{p.p.}$) mniejszy. Odejmujemy punkty procentowe od wartości wyjściowej: $$W_w = 25\% - 2\text{ p.p.} = 23\%$$ Wynik partii B w wyborach wyniósł zatem $23\%$.
Podpunkt a) Obliczenie, o ile procent mniej głosów uzyskała partia B w wyborach:
W podpunkcie a) pytamy o spadek poparcia partii B odniesiony do wartości wyjściowej z sondażu ($W_s = 25\%$).

Sposób I – Wykorzystanie wzoru na zmianę procentową:
Różnica poparcia wynosi $25\% - 23\% = 2\%$. Dzielimy tę różnicę przez wyjściowy wynik sondażowy: $$\begin{aligned} \dfrac{W_s - W_w}{W_s} \cdot 100\% &= \dfrac{25\% - 23\%}{25\%} \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{2\%}{25\%} \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{2}{25} \cdot 100\% \\[8pt] &= 2 \cdot 4\% = 8\% \end{aligned}$$ Sposób II – Ułożenie proporcji:
Przyjmujemy wynik sondażu $25\%$ jako bazowe $100\%$: $$\begin{aligned} 25\% &\longleftrightarrow 100\% \\[8pt] 2\% &\longleftrightarrow p\% \end{aligned}$$ Wyznaczamy $p$: $$p = \dfrac{2 \cdot 100}{25} = 2 \cdot 4 = 8\%$$ Partia B uzyskała w wyborach o $8\%$ mniej głosów niż przewidywał sondaż.
Podpunkt b) Obliczenie błędu względnego przybliżenia:
Sondaż stanowił przybliżenie wyniku rzeczywistego z nadmiarem. Oznaczmy:
- wartość dokładna (rzeczywisty wynik wyborczy): $x = 23\% = 0{,}23$
- wartość przybliżona (wynik z sondażu): $a = 25\% = 0{,}25$
Obliczamy błąd bezwzględny przybliżenia: $$\Delta = |a - x| = |25\% - 23\%| = 2\% = 0{,}02$$ Błąd względny $\delta$ to iloraz błędu bezwzględnego i wartości dokładnej $x$: $$\delta = \dfrac{\Delta}{|x|} = \dfrac{|a - x|}{|x|} = \dfrac{2\%}{23\%} = \dfrac{2}{23}$$ Wyrażamy błąd względny w procentach: $$\begin{aligned} \delta &= \dfrac{2}{23} \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{200}{23}\% \\[8pt] &= 8\dfrac{16}{23}\% \approx 8{,}70\% \end{aligned}$$
Podsumowanie i interpretacja graficzna pojęć:
Zestawienie graficzne obrazuje różnicę między punktami procentowymi, zmianą procentową a błędem względnym przybliżenia:
- Różnica w punktach procentowych: $25\% - 23\% = 2\text{ p.p.}$
- Spadek poparcia względem sondażu (baza $25\%$): $\dfrac{2}{25} = 8\%$
- Błąd względny przybliżenia względem wartości rzeczywistej (baza $23\%$): $\dfrac{2}{23} \approx 8{,}70\%$

Odpowiedź:
a) Partia B uzyskała w wyborach o $8\%$ mniej głosów niż w sondażu.

b) Błąd względny przybliżenia wynosi $\dfrac{2}{23}$ (czyli $\dfrac{200}{23}\% = 8\dfrac{16}{23}\% \approx 8{,}70\%$).

Zadanie 6 (4 pkt)

Rozwiąż nierówność i przedstaw rozwiązanie na osi liczbowej: $$\dfrac{x + 1}{4} - \dfrac{1}{2}x \ge \dfrac{2x + 3}{6}$$

Wskazówki:

Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników występujących w nierówności: $\text{NWW}(4, 2, 6) = 12$.
Pomnóż obie strony nierówności przez $12$, pamiętając o ujęciu liczników wyrażeń ułamkowych w nawiasy.
Zredukuj wyrazy podobne i przenieś niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą stronę.
Przy dzieleniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną pamiętaj o bezwzględnej zmianie zwrotu znaku nierówności na przeciwny.
Zaznacz punkt graniczny na osi liczbowej kółkiem zamalowanym (ze względu na znak $\ge$) i poprowadź półprostą w lewą stronę.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozwiązujemy nierówność $\dfrac{x + 1}{4} - \dfrac{1}{2}x \ge \dfrac{2x + 3}{6}$:
W nierówności występują ułamki o mianownikach $4$, $2$ oraz $6$. Wyznaczamy ich wspólny mianownik: $$\text{NWW}(4, 2, 6) = 12$$ Mnożymy obie strony nierówności przez dodatnią liczbę $12$ (zwrot nierówności nie ulega zmianie): $$12 \cdot \left(\dfrac{x + 1}{4} - \dfrac{1}{2}x\right) \ge 12 \cdot \left(\dfrac{2x + 3}{6}\right)$$ Skracamy mianowniki z liczbą $12$: $$3(x + 1) - 6x \ge 2(2x + 3)$$
Sposób I – Wymnożenie nawiasów i redukcja wyrazów:
Wymnażamy liczby przed nawiasami: $$3x + 3 - 6x \ge 4x + 6$$ Redukujemy wyrazy podobne po lewej stronie: $$-3x + 3 \ge 4x + 6$$ Przenosimy wyrazy ze zmienną $x$ na lewą stronę, a wyrazy wolne na prawą stronę: $$\begin{aligned} -3x - 4x &\ge 6 - 3 \\[8pt] -7x &\ge 3 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony nierówności przez ujemną liczbę $-7$, zmieniając zwrot nierówności na przeciwny ($\ge$ na $\le$): $$\begin{aligned} x &\le \dfrac{3}{-7} \\[8pt] x &\le -\dfrac{3}{7} \end{aligned}$$ Zapisujemy rozwiązanie w postaci przedziału liczbowego: $$x \in \left(-\infty, -\dfrac{3}{7}\right\rangle$$
Sposób II – Sprowadzenie lewej strony do jednego ułamka:
Zapisujemy wyrażenie po lewej stronie pod wspólną kreską ułamkową o mianowniku $4$: $$\begin{aligned} \dfrac{x + 1}{4} - \dfrac{2x}{4} &\ge \dfrac{2x + 3}{6} \\[8pt] \dfrac{x + 1 - 2x}{4} &\ge \dfrac{2x + 3}{6} \\[8pt] \dfrac{1 - x}{4} &\ge \dfrac{2x + 3}{6} \end{aligned}$$ Mnożymy obustronnie przez $12$: $$\begin{aligned} 3(1 - x) &\ge 2(2x + 3) \\[8pt] 3 - 3x &\ge 4x + 6 \end{aligned}$$ Przenosimy niewiadomą $x$ na prawą stronę, aby zachować dodatni współczynnik: $$\begin{aligned} 3 - 6 &\ge 4x + 3x \\[8pt] -3 &\ge 7x \\[8pt] 7x &\le -3 \\[8pt] x &\le -\dfrac{3}{7} \end{aligned}$$
Przedstawienie rozwiązania na osi liczbowej:
Rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste mniejsze lub równe $-\dfrac{3}{7}$.
Liczba $-\dfrac{3}{7} \approx -0{,}43$ leży pomiędzy $-1$ a $0$. Ponieważ nierówność jest słaba ($\le$), w punkcie $-\dfrac{3}{7}$ rysujemy kółko zamalowane (domknięte) i zaznaczamy półprostą skierowaną w lewą stronę (ku $-\infty$).

Odpowiedź:
Rozwiązaniem nierówności jest $x \le -\dfrac{3}{7}$ (czyli $x \in \left(-\infty, -\dfrac{3}{7}\right\rangle$).

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Wyznacz zbiory: $ A \cup B $, $ A \cap B $, $ A - B $, $ B - A $, gdy: $ A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ jest dzielnikiem liczby 36} \} $ $ B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ jest dzielnikiem liczby 48} \} $