Przekształcenia wykresów funkcji sprawdzian

Przekształcenia wykresów funkcji

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Na podstawie wykresu funkcji $f(x) = (x + 2)^2$, gdzie $x \in (-4, 0)$, naszkicuj wykres funkcji $g(x) = f\left(\dfrac{1}{2}x\right)$. Następnie wyznacz:
a) wzór i dziedzinę funkcji $g$,
b) przedział, w którym funkcja $g$ jest rosnąca.

Wskazówki:

Zauważ, że przejście z funkcji $y = f(x)$ do funkcji $y = f(c \cdot x)$ przy $c = \dfrac{1}{2}$ to przekształcenie polegające na 2-krotnym rozciągnięciu wykresu w poziomie wzdłuż osi $OX$ (powinowactwo prostokątne względem osi $OY$ o skali $k = 2$). Każdy punkt $(x, y)$ wykresu $f$ przechodzi w punkt $(2x, y)$.
Dziedzinę nowej funkcji wyznaczamy z warunku, że argument $\dfrac{1}{2}x$ musi leżeć w dziedzinie funkcji wyjściowej, czyli $-4 < \dfrac{1}{2}x < 0$.
Do zbadania monotoniczności wykorzystaj postać kanoniczną paraboli oraz położenie jej wierzchołka.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wykres funkcji wyjściowej $f(x) = (x + 2)^2$ dla $x \in (-4, 0)$ i analiza stanu początkowego:
Wyjściowa funkcja to $f(x) = (x + 2)^2$ określona na przedziale obustronnie otwartym $x \in (-4, 0)$. Jej wykresem jest fragment paraboli z ramionami skierowanymi ku górze oraz wierzchołkiem w punkcie: $$ W = (-2, 0) $$ Obliczamy wartości na krańcach dziedziny (końce łuku paraboli nienależące do wykresu – zaznaczane otwartymi kółkami): $$ \begin{aligned} f(-4) &= (-4 + 2)^2 = (-2)^2 = 4 \implies (-4, 4) \\[8pt] f(0) &= (0 + 2)^2 = 2^2 = 4 \implies (0, 4) \end{aligned} $$ Wykres pomocniczy przedstawia wyjściową funkcję przed przekształceniem:
Podpunkt a) Wyznaczenie wzoru i dziedziny funkcji $g(x) = f\left(\dfrac{1}{2}x\right)$:
Wstawiamy wyrażenie $\dfrac{1}{2}x$ w miejsce zmiennej $x$ we wzorze funkcji $f(x) = (x + 2)^2$: $$ \begin{aligned} g(x) &= f\left(\dfrac{1}{2}x\right) \\[8pt] &= \left(\dfrac{1}{2}x + 2\right)^2 \end{aligned} $$ Wzór ten można zapisać również wyłączając czynnik $\dfrac{1}{2}$ przed nawias: $$ \begin{aligned} g(x) &= \left[\dfrac{1}{2}(x + 4)\right]^2 \\[8pt] &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 (x + 4)^2 \\[8pt] &= \dfrac{1}{4}(x + 4)^2 \end{aligned} $$ Wyznaczamy dziedzinę funkcji $g$. Wiemy, że dziedziną funkcji $f$ jest przedział $D_f = (-4, 0)$. Oznacza to, że argument $\dfrac{1}{2}x$ musi spełniać warunek: $$ -4 < \dfrac{1}{2}x < 0 $$ Mnożymy obustronnie przez $2$: $$ \begin{aligned} -4 \cdot 2 &< x < 0 \cdot 2 \\[8pt] -8 &< x < 0 \end{aligned} $$ Stąd dziedzina funkcji $g$ to: $$ D_g = (-8, 0) $$
Podpunkt b) Wyznaczenie przedziału, w którym funkcja $g$ jest rosnąca:
Wyjściowa postać kanoniczna otrzymanej funkcji to $g(x) = \dfrac{1}{4}(x + 4)^2$ dla $x \in (-8, 0)$.
Współczynnik kierunkowy przy najwyższej potędze wynosi $a = \dfrac{1}{4} > 0$, co oznacza, że ramiona paraboli są skierowane w górę.
Współrzędne wierzchołka paraboli odczytujemy bezpośrednio z postaci kanonicznej: $$ W = (x_w, y_w) = (-4, 0) $$ Ponieważ ramiona paraboli skierowane są do góry, funkcja: - maleje na lewo od wierzchołka: dla $x \in (-8, -4\rangle$, - rośnie na prawo od wierzchołka: dla $x \in \langle -4, 0)$.
Uwzględniając, że punkt $x = 0$ nie należy do dziedziny funkcji $g$, przedziałem, w którym funkcja $g$ jest rosnąca, jest: $$ \langle -4, 0) $$
Szkic wykresu wynikowego funkcji $g(x)$ i zaznaczenie przedziału wzrostu:
Geometrycznie zamiana argumentu $x \to \dfrac{1}{2}x$ oznacza dwukrotne rozciągnięcie wykresu od osi $OY$ wzdłuż osi $OX$ (współrzędna $y$ każdego punktu pozostaje bez zmian, a współrzędna $x$ ulega podwojeniu): - punkt $(-4, 4)$ przechodzi w punkt $(-8, 4)$ (kółko otwarte), - wierzchołek $(-2, 0)$ przechodzi w wierzchołek $(-4, 0)$, - punkt $(0, 4)$ pozostaje w punkcie $(0, 4)$ (kółko otwarte).
Na poniższym rysunku wynikowym zielonym pogrubionym odcinkiem na osi $OX$ zaznaczono przedział $\langle -4, 0)$, w którym funkcja rośnie:

Odpowiedź:
a) Wzór funkcji: $g(x) = \left(\dfrac{1}{2}x + 2\right)^2$ (lub $g(x) = \dfrac{1}{4}(x + 4)^2$), dziedzina: $D_g = (-8, 0)$

b) Funkcja $g$ jest rosnąca w przedziale $\langle -4, 0)$

Zadanie 2 (3 pkt)

Podaj wzór funkcji, której wykres otrzymasz z wykresu funkcji $f(x) = x^2$, stosując następujące przekształcenia:

a) przesunięcie równoległe o wektor $\vec{u} = [-2, 4]$, następnie symetria osiowa otrzymanego wykresu względem osi $OX$

b) symetria osiowa względem osi $OX$, następnie przesunięcie równoległe otrzymanego wykresu o wektor $\vec{u} = [-2, 4]$

Wskazówki:

Przesunięcie równoległe wykresu funkcji $y = f(x)$ o wektor $\vec{u} = [p, q]$ daje wykres funkcji o wzorze $y = f(x - p) + q$. W przypadku wektora $\vec{u} = [-2, 4]$ w miejsce argumentu $x$ wstawiamy $(x - (-2)) = (x + 2)$, a do całej wartości funkcji dodajemy $4$.
Symetria osiowa względem osi $OX$ przekształca wykres funkcji $y = g(x)$ w wykres funkcji $y = -g(x)$. Oznacza to zmianę znaku przed całym dotychczasowym wyrażeniem opisującym funkcję.
Zwróć uwagę na kolejność operacji – przesunięcie równoległe i symetria osiowa na ogół nie są przemienne, co widać po różnych wynikach w podpunktach a) i b).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Przekształcenie funkcji $f(x) = x^2$ najpierw przez przesunięcie o wektor $\vec{u} = [-2, 4]$, a następnie przez symetrię osiową względem osi $OX$:
Rozpoczynamy od wyjściowego wzoru funkcji $f(x) = x^2$. Przekształcenie wykonujemy w dwóch kolejnych etapach:

• Etap 1 – Przesunięcie równoległe o wektor $\vec{u} = [-2, 4]$:
Stosujemy wzór na przesunięcie o wektor $[p, q]$, gdzie $p = -2$ oraz $q = 4$. Otrzymujemy funkcję pomocniczą $g(x)$: $$\begin{aligned} g(x) &= f(x - (-2)) + 4 \\[8pt] &= f(x + 2) + 4 \\[8pt] &= (x + 2)^2 + 4 \end{aligned}$$ • Etap 2 – Symetria osiowa względem osi $OX$:
Odbicie wykresu funkcji $g(x)$ względem osi $OX$ zmienia znak całej wartości funkcji na przeciwny ($y = -g(x)$): $$\begin{aligned} y &= -\left[(x + 2)^2 + 4\right] \\[8pt] &= -(x + 2)^2 - 4 \end{aligned}$$ Wzór ten możemy również zapisać w postaci ogólnej, rozwijając kwadrat sumy: $$\begin{aligned} y &= -\left(x^2 + 4x + 4\right) - 4 \\[8pt] &= -x^2 - 4x - 4 - 4 \\[8pt] &= -x^2 - 4x - 8 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Przekształcenie funkcji $f(x) = x^2$ najpierw przez symetrię osiową względem osi $OX$, a następnie przez przesunięcie o wektor $\vec{u} = [-2, 4]$:
W tym przypadku kolejność operacji jest odwrotna. Ponownie wychodzimy od funkcji bazowej $f(x) = x^2$:

• Etap 1 – Symetria osiowa względem osi $OX$:
Najpierw odbijamy wykres funkcji $f(x)$ względem osi $OX$, uzyskując funkcję pomocniczą $h(x)$: $$\begin{aligned} h(x) &= -f(x) \\[8pt] &= -x^2 \end{aligned}$$ • Etap 2 – Przesunięcie równoległe o wektor $\vec{u} = [-2, 4]$:
Następnie przesuwamy otrzymany wykres funkcji $h(x)$ o wektor $\vec{u} = [-2, 4]$. Zastępujemy zmienną $x$ wyrażeniem $(x - (-2)) = (x + 2)$ oraz dodajemy $4$: $$\begin{aligned} y &= h(x - (-2)) + 4 \\[8pt] &= h(x + 2) + 4 \\[8pt] &= -(x + 2)^2 + 4 \end{aligned}$$ Przekształcamy wzór do postaci ogólnej: $$\begin{aligned} y &= -\left(x^2 + 4x + 4\right) + 4 \\[8pt] &= -x^2 - 4x - 4 + 4 \\[8pt] &= -x^2 - 4x \end{aligned}$$
Porównanie i interpretacja wpływu kolejności przekształceń:
Zestawiając postacie kanoniczne obu otrzymanych funkcji: $$\begin{aligned} \text{Dla podpunktu a): } y &= -(x + 2)^2 - 4 \\[8pt] \text{Dla podpunktu b): } y &= -(x + 2)^2 + 4 \end{aligned}$$ Zauważamy, że w podpunkcie a) wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $W_a = (-2, -4)$, natomiast w podpunkcie b) w punkcie $W_b = (-2, 4)$. Wynika to z faktu, że w podpunkcie a) przesunięcie w pionie o $+4$ jednostki zostało na końcu objęte symetrią względem osi $OX$ (zmieniło znak na $-4$), podczas gdy w podpunkcie b) przesunięcie o $+4$ nastąpiło już po symetrii.

Odpowiedź:
a) $y = -(x + 2)^2 - 4$ (postać ogólna: $y = -x^2 - 4x - 8$)

b) $y = -(x + 2)^2 + 4$ (postać ogólna: $y = -x^2 - 4x$)

Zadanie 3 (3 pkt)

Funkcja $f(x) = \dfrac{2}{x} + 1$.

a) Naszkicuj wykres funkcji $h(x) = |f(x)|$. Następnie przesuń wykres funkcji $h$ równolegle o wektor $\vec{u} = [0, 3]$. Podaj wzór otrzymanej funkcji.

b) Czy otrzymamy wykres tej samej funkcji, co w punkcie a), jeśli wykres funkcji $y = \left|\dfrac{2}{x}\right|$ przesuniemy równolegle o wektor $\vec{u} = [0, 4]$?

Wskazówki:

Wykres funkcji $f(x) = \dfrac{2}{x} + 1$ to hiperbola $y = \dfrac{2}{x}$ przesunięta o $1$ jednostkę w górę (asymptota pozioma $y = 1$, pionowa $x = 0$).
Wykres funkcji $h(x) = |f(x)|$ tworzymy, pozostawiając część wykresu znajdującą się nad osią $OX$ oraz na niej bez zmian, a część leżącą pod osią $OX$ odbijając symetrycznie względem tej osi do góry.
Przesunięcie równoległe wykresu o wektor $\vec{u} = [0, q]$ oznacza dodanie wartości $q$ do całego wzoru funkcji: $g(x) = h(x) + q$.
Aby sprawdzić, czy dwa przekształcenia dają tę samą funkcję, porównaj ich postacie algebraiczne lub oblicz wartości obu funkcji dla wybranego argumentu. Jeśli choć dla jednego argumentu wartości są różne, funkcje nie są tożsame.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Analiza i szkic wyjściowej funkcji $f(x) = \dfrac{2}{x} + 1$:
Określamy dziedzinę, asymptoty oraz punkty kluczowe funkcji $f(x)$: $$\begin{aligned} D &= \mathbb{R} \setminus \{0\} \end{aligned}$$ Asymptota pionowa to prosta o równaniu $x = 0$ (oś $OY$), natomiast asymptota pozioma to prosta $y = 1$.

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $f(x)$: $$\begin{aligned} \dfrac{2}{x} + 1 &= 0 \\[8pt] \dfrac{2}{x} &= -1 \\[8pt] x &= -2 \end{aligned}$$ Wykres przecina oś $OX$ w punkcie $(-2, 0)$. Wyznaczamy kilka punktów pomocniczych: $$\begin{aligned} f(-4) &= \dfrac{2}{-4} + 1 = \dfrac{1}{2} \\[8pt] f(-1) &= \dfrac{2}{-1} + 1 = -1 \\[8pt] f(1) &= \dfrac{2}{1} + 1 = 3 \\[8pt] f(2) &= \dfrac{2}{2} + 1 = 2 \end{aligned}$$ Zauważmy, że dla $x \in (-2, 0)$ funkcja przyjmuje wartości ujemne (jej wykres leży poniżej osi $OX$).
Nałożenie wartości bezwzględnej i szkic wykresu funkcji $h(x) = |f(x)|$:
Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej: $$\begin{aligned} h(x) = |f(x)| = \begin{cases} f(x), & \text{dla } f(x) \ge 0 \\ -f(x), & \text{dla } f(x) < 0 \end{cases} \end{aligned}$$ Część wykresu leżącą na osi $OX$ i powyżej niej (dla $x \in (-\infty, -2] \cup (0, \infty)$) pozostawiamy bez zmian.

Część wykresu leżącą poniżej osi $OX$ (dla $x \in (-2, 0)$) odbijamy symetrycznie względem osi $OX$ w górę: $$\begin{aligned} (-1, -1) &\xrightarrow{\text{odbicie}} (-1, 1) \end{aligned}$$ W punkcie $(-2, 0)$ wykres odbija się od osi $OX$. Asymptota pozioma przy $x \to -\infty$ oraz $x \to +\infty$ to nadal $y = 1$, a dla $x \to 0$ funkcja z obu stron dąży do $+\infty$.
Przesunięcie o wektor $\vec{u} = [0, 3]$ i wyznaczenie wzoru otrzymanej funkcji:
Przesunięcie wykresu dowolnej funkcji $y = h(x)$ równolegle o wektor $\vec{u} = [p, q] = [0, 3]$ polega na przesunięciu każdego punktu o $3$ jednostki w górę wzdłuż osi $OY$.

Oznaczmy otrzymaną funkcję jako $g(x)$. Jej wzór ma postać: $$\begin{aligned} g(x) &= h(x) + 3 \\[8pt] &= \left|\dfrac{2}{x} + 1\right| + 3 \end{aligned}$$ W wyniku przesunięcia o $3$ jednostki w górę: $$\begin{aligned} \text{asymptota pozioma: } y = 1 &\longrightarrow y = 1 + 3 = 4 \\[8pt] \text{punkt załamania: } (-2, 0) &\longrightarrow (-2, 3) \\[8pt] \text{punkt } (-1, 1) &\longrightarrow (-1, 4) \\[8pt] \text{punkt } (1, 3) &\longrightarrow (1, 6) \\[8pt] \text{punkt } (2, 2) &\longrightarrow (2, 5) \end{aligned}$$ Asymptota pionowa pozostaje bez zmian: $x = 0$.
Podpunkt b) Porównanie z przesunięciem funkcji $y = \left|\dfrac{2}{x}\right|$ o wektor $\vec{u} = [0, 4]$:
Wyznaczamy wzór funkcji powstałej po przesunięciu wykresu $y = \left|\dfrac{2}{x}\right|$ o wektor $\vec{u} = [0, 4]$. Oznaczmy tę funkcję jako $k(x)$: $$\begin{aligned} k(x) &= \left|\dfrac{2}{x}\right| + 4 \end{aligned}$$ Porównajmy obie funkcje: $$\begin{aligned} g(x) &= \left|\dfrac{2}{x} + 1\right| + 3 \\[8pt] k(x) &= \left|\dfrac{2}{x}\right| + 4 \end{aligned}$$ Zauważmy istotną różnicę w symetrii obu funkcji:
Funkcja $k(x)$ jest funkcją parzystą, ponieważ dla każdego $x \neq 0$: $$\begin{aligned} k(-x) &= \left|\dfrac{2}{-x}\right| + 4 = \left|\dfrac{2}{x}\right| + 4 = k(x) \end{aligned}$$ Zatem jej wykres jest w pełni symetryczny względem osi $OY$.

Natomiast funkcja $g(x)$ nie jest funkcją parzystą. Sprawdźmy wartości obu funkcji dla wybranego argumentu ujemnego, np. dla $x = -2$: $$\begin{aligned} g(-2) &= \left|\dfrac{2}{-2} + 1\right| + 3 = |-1 + 1| + 3 = 0 + 3 = 3 \\[8pt] k(-2) &= \left|\dfrac{2}{-2}\right| + 4 = |-1| + 4 = 1 + 4 = 5 \end{aligned}$$ Ponieważ $g(-2) = 3 \neq 5 = k(-2)$, funkcje przyjmują różne wartości dla tego samego argumentu, a zatem ich wykresy nie są identyczne (pokrywają się jedynie dla $x > 0$, natomiast dla $x < 0$ mają zupełnie inny przebieg).

Wniosek: Nie otrzymamy wykresu tej samej funkcji.

Odpowiedź:
a) Wzór otrzymanej funkcji: $g(x) = \left|\dfrac{2}{x} + 1\right| + 3$

b) Nie, nie otrzymamy wykresu tej samej funkcji.

Zadanie 4 (3 pkt)

Rozwiąż graficznie nierówność: $|x - 5| > (x - 3)^2$

Wskazówki:

Zdefiniuj dwie osobne funkcje odpowiadające lewej i prawej stronie nierówności: $f(x) = |x - 5|$ oraz $g(x) = (x - 3)^2$.
Sporządź staranne wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych, wykorzystując punkty charakterystyczne oraz wektory przesunięcia.
Wyznacz punkty przecięcia wykresów i odczytaj przedział argumentów $x$, dla których wykres funkcji $f(x)$ leży ściśle powyżej wykresu funkcji $g(x)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zdefiniowanie funkcji i sporządzenie wykresów w układzie współrzędnych:
Nierówność $|x - 5| > (x - 3)^2$ rozpatrujemy jako porównanie wartości dwóch funkcji: $$f(x) = |x - 5|, \quad g(x) = (x - 3)^2$$ Charakterystyka wykresu funkcji $f(x) = |x - 5|$: Powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji podstawowej $y = |x|$ o 5 jednostek w prawo wzdłuż osi $OX$ (o wektor $[5, 0]$). Punkt załamania (wierzchołek) leży w punkcie $(5, 0)$. Wybrane punkty należące do wykresu: $$\begin{aligned} x &= 0 \implies f(0) = |0 - 5| = 5 \\[8pt] x &= 1 \implies f(1) = |1 - 5| = 4 \\[8pt] x &= 3 \implies f(3) = |3 - 5| = 2 \\[8pt] x &= 4 \implies f(4) = |4 - 5| = 1 \\[8pt] x &= 5 \implies f(5) = |5 - 5| = 0 \end{aligned}$$ Charakterystyka wykresu funkcji $g(x) = (x - 3)^2$: Jest to funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej. Jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w górę, powstała przez przesunięcie paraboli $y = x^2$ o 3 jednostki w prawo (o wektor $[3, 0]$). Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $W = (3, 0)$. Wybrane punkty paraboli: $$\begin{aligned} x &= 0 \implies g(0) = (0 - 3)^2 = 9 \\[8pt] x &= 1 \implies g(1) = (1 - 3)^2 = 4 \\[8pt] x &= 2 \implies g(2) = (2 - 3)^2 = 1 \\[8pt] x &= 3 \implies g(3) = (3 - 3)^2 = 0 \\[8pt] x &= 4 \implies g(4) = (4 - 3)^2 = 1 \\[8pt] x &= 5 \implies g(5) = (5 - 3)^2 = 4 \end{aligned}$$ Szkicujemy oba wykresy w jednym kartezjańskim układzie współrzędnych:
Wyznaczenie punktów przecięcia wykresów:
Aby precyzyjnie ustalić granice przedziału, wyznaczamy punkty wspólne obu wykresów, przyrównując wzory funkcji: $$|x - 5| = (x - 3)^2$$ Rozpatrujemy definicję modułu w dwóch przedziałach:

• Dla $x \ge 5$ wyrażenie pod modułem jest nieujemne: $|x - 5| = x - 5$: $$\begin{aligned} x - 5 &= x^2 - 6x + 9 \\[8pt] x^2 - 7x + 14 &= 0 \end{aligned}$$ $$\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 49 - 56 = -7 < 0$$ Brak punktów przecięcia w przedziale $\langle 5, +\infty)$.

• Dla $x < 5$ wyrażenie pod modułem jest ujemne: $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$: $$\begin{aligned} 5 - x &= x^2 - 6x + 9 \\[8pt] x^2 - 5x + 4 &= 0 \end{aligned}$$ $$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$ $$\sqrt{\Delta} = 3$$ $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{5 - 3}{2} = 1 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{5 + 3}{2} = 4 \end{aligned}$$ Oba rozwiązania spełniają warunek $x < 5$. Obliczamy odpowiadające im rzędne: $$\begin{aligned} y_1 &= |1 - 5| = 4 \implies A = (1, 4) \\[8pt] y_2 &= |4 - 5| = 1 \implies B = (4, 1) \end{aligned}$$
Interpretacja graficzna nierówności i odczytanie zbioru rozwiązań:
Nierówność $f(x) > g(x)$ oznacza, że poszukujemy tych argumentów $x$, dla których wykres funkcji $f(x) = |x - 5|$ znajduje się ściśle powyżej wykresu paraboli $g(x) = (x - 3)^2$.

Z rysunku wynika, że wykres $f(x)$ leży nad parabolą $g(x)$ pomiędzy punktami ich przecięcia $A$ i $B$. Ponieważ nierówność jest ostra ($>$), same punkty przecięcia nie należą do zbioru rozwiązań (oznaczamy je na wykresie kółkami otwartymi).

Rozwiązaniem nierówności jest przedział: $$x \in (1, 4)$$

Odpowiedź:
$x \in (1, 4)$

Zadanie 5 (3 pkt)

Jednym z rozwiązań równania $$ \dfrac{3}{|x|-1} = |x| + m $$ z niewiadomą $x$ i parametrem $m$ jest liczba $-3$.

a) Oblicz $m$.

b) Dla wyznaczonej wartości parametru $m$, na podstawie wykresów odpowiednich funkcji, wyznacz zbiór rozwiązań nierówności $$ \dfrac{3}{|x|-1} > |x| + m $$

Wskazówki:

Liczba spełniająca równanie to taka, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej $x$ daje prawdziwą równość stron. Pamiętaj o uwzględnieniu wartości bezwzględnej $|-3| = 3$ oraz wyznaczeniu dziedziny wyrażenia z mianownikiem.
Aby rozwiązać nierówność metodą graficzną, przedstaw lewą i prawą stronę jako dwie osobne funkcje: $f(x) = \dfrac{3}{|x|-1}$ oraz $g(x) = |x| + m$. Sporządź ich staranne wykresy w jednym układzie współrzędnych i odczytaj przedziały argumentów, dla których wykres funkcji $f(x)$ znajduje się ściśle powyżej wykresu funkcji $g(x)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie dziedziny równania oraz wartości parametru $m$:
Wyjściowe równanie ma postać: $$ \dfrac{3}{|x|-1} = |x| + m $$ Mianownik ułamka nie może być równy zero, dlatego najpierw wyznaczamy dziedzinę: $$ \begin{aligned} |x| - 1 &\neq 0 \\[8pt] |x| &\neq 1 \\[8pt] x &\neq -1 \quad \text{oraz} \quad x \neq 1 \end{aligned} $$ Zatem dziedziną jest zbiór $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.

Liczba $x = -3$ należy do dziedziny i jest rozwiązaniem równania, więc spełnia je tożsamościowo: $$ \dfrac{3}{|-3|-1} = |-3| + m $$ Obliczamy wartość bezwzględną $|-3| = 3$ i wyznaczamy parametr $m$: $$ \begin{aligned} \dfrac{3}{3 - 1} &= 3 + m \\[8pt] \dfrac{3}{2} &= 3 + m \\[8pt] m &= \dfrac{3}{2} - 3 \\[8pt] m &= -\dfrac{3}{2} = -1{,}5 \end{aligned} $$
Podpunkt b) Zapisanie nierówności i rozbicie na funkcje $f(x)$ oraz $g(x)$:
Dla wyznaczonej wartości parametru $m = -\dfrac{3}{2}$ wyjściowa nierówność przyjmuje postać: $$ \dfrac{3}{|x|-1} > |x| - \dfrac{3}{2} $$ Wprowadzamy dwie funkcje pomocnicze określone na dziedzinie $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$: $$ f(x) = \dfrac{3}{|x|-1} \quad \text{oraz} \quad g(x) = |x| - \dfrac{3}{2} $$ Rozwiązaniem nierówności $f(x) > g(x)$ jest zbiór tych argumentów $x$, dla których wykres funkcji $f(x)$ leży ściśle powyżej wykresu funkcji $g(x)$.
Własności funkcji oraz wyznaczenie punktów wspólnych ich wykresów:
Zauważmy, że obie funkcje są parzyste, ponieważ dla każdego $x \in D$ zachodzi $f(-x) = f(x)$ oraz $g(-x) = g(x)$. Oznacza to, że ich wykresy są osiowosymetryczne względem osi $OY$.

Wykres funkcji $f(x) = \dfrac{3}{|x|-1}$:
- Dla $x \ge 0$ ($x \neq 1$) mamy $f(x) = \dfrac{3}{x-1}$, czyli hiperbolę powstałą z przesunięcia wykresu $y = \dfrac{3}{x}$ o $1$ jednostkę w prawo. Posiada ona asymptotę pionową $x = 1$ oraz poziomą $y = 0$.
- Dla $x < 0$ ($x \neq -1$) wykres jest symetrycznym odbiciem prawej strony względem osi $OY$, z asymptotą pionową $x = -1$.
- Wartości w wybranych punktach: $f(0) = -3$, $f(2) = 3$, $f(3) = 1{,}5$, $f(4) = 1$ oraz symetrycznie $f(-2) = 3$, $f(-3) = 1{,}5$, $f(-4) = 1$.
Wykres funkcji $g(x) = |x| - \dfrac{3}{2}$:
- Posiada kształt litery „V” z wierzchołkiem w punkcie $(0; -1{,}5)$ i ramionami nachylonymi pod kątem $45^\circ$.
- Miejsca zerowe to $x = -1{,}5$ oraz $x = 1{,}5$.
Wspólne punkty wyznaczamy, przyrównując wzory obu funkcji przy podstawieniu $t = |x|$ (gdzie $t \ge 0$ i $t \neq 1$): $$ \begin{aligned} \dfrac{3}{t - 1} &= t - \dfrac{3}{2} \\[8pt] 3 &= (t - 1)\left(t - \dfrac{3}{2}\right) \\[8pt] 3 &= t^2 - \dfrac{5}{2}t + \dfrac{3}{2} \\[8pt] 2t^2 - 5t - 3 &= 0 \end{aligned} $$ Wyróżnik trójmianu wynosi: $$ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \implies \sqrt{\Delta} = 7 $$ $$ t_1 = \dfrac{5 - 7}{4} = -\dfrac{1}{2} < 0 \quad (\text{odrzucamy}), \quad t_2 = \dfrac{5 + 7}{4} = 3 $$ Otrzymujemy $|x| = 3 \iff x = -3$ lub $x = 3$. Wykresy przecinają się w dwóch punktach: $$ A = \left(-3; \dfrac{3}{2}\right) \quad \text{oraz} \quad B = \left(3; \dfrac{3}{2}\right) $$
Sporządzenie wykresów i graficzny odczyt zbioru rozwiązań:
Rysujemy wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych i zaznaczamy punkty przecięcia oraz asymptoty pionowe:

Odczytujemy z wykresu przedziały, w których niebieska krzywa $f(x)$ znajduje się ściśle nad czerwoną linią $g(x)$:
- Dla $x \in (-\infty, -3)$: wykres $f(x)$ leży poniżej $g(x)$.
- Dla $x \in (-3, -1)$: wykres $f(x)$ leży powyżej $g(x)$.
- Dla $x \in (-1, 1)$: wykres $f(x)$ leży poniżej $g(x)$ (wartości $f(x) \le -3$, podczas gdy $g(x) \ge -1{,}5$).
- Dla $x \in (1, 3)$: wykres $f(x)$ leży powyżej $g(x)$.
- Dla $x \in (3, +\infty)$: wykres $f(x)$ leży poniżej $g(x)$.
W punktach $x = -3$ oraz $x = 3$ zachodzi równość $f(x) = g(x)$ (nierówność jest ostra, więc je wykluczamy), a punkty $x = -1$ oraz $x = 1$ nie należą do dziedziny.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest suma przedziałów: $$ x \in (-3, -1) \cup (1, 3) $$

Odpowiedź:
a) $m = -\dfrac{3}{2}$

b) $x \in (-3, -1) \cup (1, 3)$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Na podstawie wykresu funkcji $ f(x) = (x - 3)^2 $, gdzie $ x \in (1, 5) $, naszkicuj wykres funkcji $ g(x) = f(2x) $. Następnie wyznacz: a) wzór i dziedzinę funkcji $ g $, b) przedział, w którym funkcja $ g $ jest malejąca.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Podaj wzór funkcji, której wykres otrzymasz z wykresu funkcji $ f(x) = x^2 $, stosując następujące przekształcenia: a) przesunięcie równoległe o wektor $ \overrightarrow{u} = [1, -5] $, następnie symetria osiowa otrzymanego wykresu względem osi $ OX $ b) symetria osiowa względem osi $ OX $, następnie przesunięcie równoległe otrzymanego wykresu o wektor $ \overrightarrow{u} = [1, -5] $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Funkcja $ f(x) = \frac{1}{x} + 2 $. a) Naszkicuj wykres funkcji $ h(x) = |f(x)| $. Następnie przesuń wykres funkcji $ h $ równolegle o wektor $ \overrightarrow{u} = [1, -1] $. Podaj wzór otrzymanej funkcji. b) Czy otrzymamy wykres tej samej funkcji, co w punkcie a), jeśli wykres funkcji $ y = \left|\frac{1}{x}\right| $ przesuniemy równolegle o wektor $ \overrightarrow{u} = [1, 1] $?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Rozwiąż graficznie nierówność: $|x - 4| > (x-2)^2$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Liczba $-4$ należy do zbioru rozwiązań równania z niewiadomą $x$ oraz parametrem rzeczywistym $m$: $$\frac{6}{|x|-1} = |x| + m$$ a) Oblicz wartość parametru $m$.

b) Na podstawie wykresów odpowiednich funkcji podaj zbiór rozwiązań nierówności: $$\frac{6}{|x|-1} > |x| + m$$