Bryły obrotowe - zadania różne kartkówka LiczBit

30.4 Bryły obrotowe – zadania różne

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Model bryły obrotowej utworzono poprzez pełny obrót trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jego przeciwprostokątną. Długości boków przy kącie prostym tego trójkąta są równe $15\text{ cm}$ oraz $20\text{ cm}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tak otrzymanej bryły.

Wskazówki:

Obrót trójkąta prostokątnego wokół przeciwprostokątnej generuje bryłę złożoną z dwóch stożków złączonych wspólną podstawą. Tworzącymi tych stożków są przyprostokątne trójkąta ($l_1 = 15\text{ cm}$, $l_2 = 20\text{ cm}$).
Promieniem wspólnej podstawy obu stożków jest wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona na przeciwprostokątną ($r = h_c$). Można ją szybko wyznaczyć, porównując dwa wzory na pole trójkąta lub korzystając z funkcji trygonometrycznych.
Czego kategorycznie nie wolno robić: Nie wolno dodawać pola podstawy ($P_p = \pi r^2$) do pola powierzchni całkowitej bryły! Wspólna podstawa znajduje się wewnątrz złączonych stożków, więc nie stanowi powierzchni zewnętrznej. Pole powierzchni całkowitej to wyłącznie suma pól bocznych obu stożków: $P_c = P_{b1} + P_{b2}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza geometryczna sytuacji wyjściowej:
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wyznacza oś obrotu. Wierzchołek kąta prostego podczas obrotu o $360^\circ$ zakreśla okrąg o promieniu równym wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.
Wyznaczenie długości przeciwprostokątnej $c$:
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa dla wyjściowego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a = 15\text{ cm}$ oraz $b = 20\text{ cm}$: $$c^2 = a^2 + b^2$$ $$\begin{aligned} c^2 &= 15^2 + 20^2 \\[8pt] c^2 &= 225 + 400 \\[8pt] c^2 &= 625 \\[8pt] c &= \sqrt{625} = 25\text{ cm} \end{aligned}$$
Wyznaczenie promienia wspólnej podstawy $r$:
Promień $r$ wspólnej podstawy stożków jest równy wysokości $h_c$ opuszczonej na przeciwprostokątną trójkąta. Wielkość tę możemy wyznaczyć na dwa niezależne sposoby:

Sposób I – Porównanie pól trójkąta:
Pole trójkąta prostokątnego obliczamy ze wzoru z przyprostokątnymi: $$P = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150\text{ cm}^2$$ Pole to możemy również wyrazić przez przeciwprostokątną $c$ i opuszczoną na nią wysokość $r$: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot r \\[8pt] 150 &= \dfrac{1}{2} \cdot 25 \cdot r \\[8pt] 150 &= 12{,}5 \cdot r \\[8pt] r &= \dfrac{150}{12{,}5} = 12\text{ cm} \end{aligned}$$ Sposób II – Wykorzystanie trygonometrii:
Niech $\alpha$ oznacza kąt przy wierzchołku $B$ (naprzeciw przyprostokątnej $b = 20\text{ cm}$). W trójkącie wyjściowym: $$\sin\alpha = \dfrac{b}{c} = \dfrac{20}{25} = \dfrac{4}{5}$$ W mniejszym trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej równej $a = 15\text{ cm}$, wysokość $r$ leży naprzeciwko tego samego kąta $\alpha$: $$\begin{aligned} \sin\alpha &= \dfrac{r}{a} \\[8pt] \dfrac{4}{5} &= \dfrac{r}{15} \\[8pt] r &= 15 \cdot \dfrac{4}{5} = 12\text{ cm} \end{aligned}$$
Obliczenie pola powierzchni całkowitej bryły i interpretacja graficzna:
Powstała bryła składa się z dwóch stożków o promieniu podstawy $r = 12\text{ cm}$ oraz tworzących $l_1 = 20\text{ cm}$ i $l_2 = 15\text{ cm}$. Ponieważ ich wspólna podstawa znajduje się we wnętrzu bryły, jej pole nie wchodzi w skład powierzchni zewnętrznej: $$P_c = P_{b1} + P_{b2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r(l_1 + l_2)$$ $$\begin{aligned} P_c &= \pi \cdot 12 \cdot (20 + 15) \\[8pt] &= \pi \cdot 12 \cdot 35 \\[8pt] &= 420\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły wynosi $420\pi\text{ cm}^2$.

Zadanie 2

W pewnym elemencie dekoracyjnym w kształcie równoległoboku kąt ostry ma miarę $30^\circ$. Dłuższy bok tej figury ma długość $10\text{ cm}$, a krótszy mierzy $6\text{ cm}$. Równoległobok ten obrócono w przestrzeni o kąt pełny wokół prostej zawierającej jego dłuższy bok. Wyznacz objętość $V$ oraz pole powierzchni całkowitej $P_c$ powstałej w ten sposób bryły obrotowej.

Wskazówki:

Zauważ, że obrót równoległoboku wokół dłuższego boku tworzy bryłę złożoną z części walcowej, z której z jednej strony zostało wycięte wgłębienie w kształcie stożka, a z drugiej strony doklejony został identyczny stożek.
Uwaga na typowy błąd przy objętości: Uczniowie często próbują skomplikowanych obliczeń całkowej sumy części. Zauważ, że objętość „doklejonego” stożka jest dokładnie taka sama jak objętość stożkowego wydrążenia. Zatem objętość całej bryły jest równa objętości walca o promieniu równym wysokości równoległoboku $r = h$ i wysokości równej dłuższemu bokowi $H = a$.
Uwaga na typowy błąd przy polu powierzchni: Kategorycznie nie wolno dodawać pól podstaw walca ($\pi r^2$). Powstała bryła nie posiada płaskich kół na końcach. Z jednej strony jest ograniczona wypukłą powierzchnią boczną stożka, a z drugiej strony wklęsłą powierzchnią boczną stożkowego wgłębienia. Pole powierzchni całkowitej to suma powierzchni bocznej walca oraz powierzchni bocznych dwóch stożków: $P_c = P_{b\_w} + 2 \cdot P_{b\_s}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie promienia obrotu (wysokości równoległoboku):
Promieniem obrotu $r$ bryły jest wysokość równoległoboku $h$ opuszczona na prostą zawierającą dłuższy bok $a = 10\text{ cm}$. Rozpatrujemy trójkąt prostokątny utworzony przez krótszy bok $b = 6\text{ cm}$, wysokość $h$ oraz kąt ostry $30^\circ$.

Z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym obliczamy wysokość $h$: $$\sin(30^\circ) = \dfrac{h}{b}$$ $$\begin{aligned} \dfrac{1}{2} &= \dfrac{h}{6} \\[8pt] h &= 6 \cdot \dfrac{1}{2} = 3\text{ cm} \end{aligned}$$ Zatem promień obrotu wynosi $r = 3\text{ cm}$. Tworząca powstałych stożków to krótszy bok równoległoboku $l = b = 6\text{ cm}$, a wysokość części walcowej to dłuższy bok $H = a = 10\text{ cm}$.
Analiza budowy przestrzennej powstałej bryły obrotowej:
W wyniku pełnego obrotu wokół boku $a$ powstaje walec o promieniu podstawy $r = 3\text{ cm}$ i wysokości $H = 10\text{ cm}$, którego jedna podstawa została wydrążona w stożek o tworzącej $l = 6\text{ cm}$, a do drugiej doklejono identyczny stożek o tych samych wymiarach.
Obliczenie objętości bryły obrotowej $V$:
Objętość całej bryły jest równa objętości walca pomniejszonej o objętość stożkowego wgłębienia i powiększonej o identyczną objętość stożka doklejonego: $$\begin{aligned} V &= V_{\text{walca}} - V_{\text{stożka}} + V_{\text{stożka}} \\[8pt] &= V_{\text{walca}} = \pi r^2 H \end{aligned}$$ Podstawiamy wyznaczone wartości $r = 3\text{ cm}$ oraz $H = 10\text{ cm}$: $$\begin{aligned} V &= \pi \cdot 3^2 \cdot 10 \\[8pt] &= \pi \cdot 9 \cdot 10 \\[8pt] &= 90\pi\text{ cm}^3 \end{aligned}$$
Obliczenie pola powierzchni całkowitej bryły $P_c$:
Powierzchnia całkowita bryły składa się z:
- powierzchni bocznej części walcowej: $P_{b\_w} = 2\pi r H$,
- powierzchni bocznej zewnętrznego stożka: $P_{b\_s} = \pi r l$,
- powierzchni bocznej wewnętrznego stożkowego wgłębienia: $P_{b\_s} = \pi r l$.
Obliczamy poszczególne składowe: $$\begin{aligned} P_{b\_w} &= 2\pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi\text{ cm}^2 \\[8pt] P_{b\_s} &= \pi \cdot 3 \cdot 6 = 18\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$ Sumujemy wszystkie części składowe: $$\begin{aligned} P_c &= P_{b\_w} + 2 \cdot P_{b\_s} \\[8pt] &= 60\pi + 2 \cdot 18\pi \\[8pt] &= 60\pi + 36\pi \\[8pt] &= 96\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Objętość bryły wynosi $V = 90\pi\text{ cm}^3$, a jej pole powierzchni całkowitej jest równe $P_c = 96\pi\text{ cm}^2$.

Zadanie 3

Kwadratową tarczę o boku długości $a$ wprawiono w ruch obrotowy wokół dwóch różnych osi symetrii leżących w jej płaszczyźnie. W pierwszym przypadku oś obrotu pokrywała się z przekątną kwadratu, co doprowadziło do wygenerowania bryły o objętości $V_1$. W drugim przypadku oś obrotu poprowadzono przez środki dwóch przeciwległych boków kwadratu, uzyskując bryłę o objętości $V_2$. Wykaż, że stosunek objętości bryły $V_1$ do objętości bryły $V_2$ jest równy $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.

Wskazówki:

Zauważ, że obrót kwadratu wokół przekątnej nie tworzy pojedynczego stożka, lecz bryłę złożoną z dwóch przystających stożków złączonych wspólną podstawą kołową. Promień tej podstawy oraz wysokość każdego ze stożków są równe połowie długości przekątnej kwadratu ($r_1 = h_1 = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$).
Obrót kwadratu wokół osi symetrii łączącej środki przeciwległych boków daje walec prosty, którego wysokość jest równa bokowi kwadratu ($h_2 = a$), a promień podstawy to odległość osi od brzegu figury, czyli połowa boku ($r_2 = \dfrac{a}{2}$).
Uwaga na typowy błąd: Najczęstszą pułapką jest przyjęcie boku kwadratu $a$ jako promienia podstawy stożka (promieniem jest połowa przekątnej, a nie bok kwadratu!) lub zapomnienie o pomnożeniu objętości stożka przez $2$. Kategorycznie nie wolno ograniczać się do wzoru $\frac{1}{3}\pi r^2 h$, ponieważ powstała bryła rozciąga się symetrycznie po obu stronach płaszczyzny podstawy, tworząc dwa złączone stożki.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza geometryczna osi obrotu:
Rozważmy kwadrat o wierzchołkach $A, B, C, D$ i boku długości $a$. Przekątna kwadratu ma długość $d = a\sqrt{2}$. W płaszczyźnie kwadratu zaznaczamy dwie badane osie symetrii: prostą zawierającą przekątną $AC$ (Oś I) oraz prostą łączącą środki boków $AB$ i $CD$ (Oś II).
Wyznaczenie objętości bryły $V_1$ (obrót wokół przekątnej):
W trakcie pełnego obrotu wokół przekątnej $AC$ wierzchołki $B$ i $D$ zakreślają okrąg o promieniu równym połowie drugiej przekątnej: $$r_1 = \dfrac{d}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$$ Okąg ten jest wspólną podstawą dwóch przystających stożków o wysokościach równych połowie przekątnej osiowej: $$h_1 = \dfrac{d}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$$ Objętość całej bryły $V_1$ jest sumą objętości obu tych stożków: $$\begin{aligned} V_1 &= 2 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\pi r_1^2 \cdot h_1\right) \\[8pt] &= \dfrac{2}{3}\pi \cdot \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\[8pt] &= \dfrac{2}{3}\pi \cdot \dfrac{2a^2}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\[8pt] &= \dfrac{2}{3}\pi \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{2}}{6}\pi a^3 \end{aligned}$$
Wyznaczenie objętości bryły $V_2$ (obrót wokół osi symetrii boków):
W trakcie obrotu kwadratu wokół osi łączącej środki przeciwległych boków powstaje walec prosty. Promień jego podstawy stanowi odległość krawędzi kwadratu od osi obrotu: $$r_2 = \dfrac{a}{2}$$ Wysokość walca odpowiada długości całego boku kwadratu: $$h_2 = a$$ Obliczamy objętość walca: $$\begin{aligned} V_2 &= \pi r_2^2 \cdot h_2 \\[8pt] &= \pi \cdot \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \cdot a \\[8pt] &= \pi \cdot \dfrac{a^2}{4} \cdot a \\[8pt] &= \dfrac{1}{4}\pi a^3 \end{aligned}$$
Obliczenie stosunku objętości brył $\dfrac{V_1}{V_2}$ i podsumowanie dowodu:
Tworzymy iloraz wyznaczonych objętości obu brył: $$\begin{aligned} \dfrac{V_1}{V_2} &= \dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{6}\pi a^3}{\dfrac{1}{4}\pi a^3} \\[8pt] &= \dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{6}}{\dfrac{1}{4}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{2}}{6} \cdot 4 \\[8pt] &= \dfrac{4\sqrt{2}}{6} \\[8pt] &= \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \end{aligned}$$ Otrzymany wynik jest zgodny z tezą. Stosunek objętości pierwszej bryły do drugiej wynosi $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$, co kończy dowód.

Odpowiedź:
Wykazano, że stosunek objętości brył wynosi $\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.

Zadanie 4

W przezroczystej kuli o promieniu $R$ umieszczono dekoracyjny element w kształcie stożka. Wierzchołek stożka styka się z powierzchnią kuli w jej biegunie, natomiast krawędź jego kołowej podstawy pokrywa się z obwodem koła wielkiego kuli, jak zilustrowano na poniższym schemacie. Oblicz stosunek objętości wpisanego stożka do objętości całej kuli.

Wskazówki:

Zauważ relację między wymiarami kuli a stożka: skoro podstawa stożka jest kołem wielkim kuli, jej promień $r$ jest dokładnie równy promieniowi kuli $R$. Wierzchołek leży w biegunie kuli, a więc jego odległość od środka podstawy (środka kuli) to wysokość stożka $H = R$.
Czego kategorycznie nie wolno robić: Nie przyjmuj bezrefleksyjnie, że wysokość wpisanego stożka wynosi $2R$. Podstawa stożka nie leży na przeciwległym biegunie kuli, lecz na płaszczyźnie koła wielkiego przechodzącej przez środek kuli, dlatego $H = R$, a nie $2R$. Błędne założenie $H = 2R$ podwoiłoby objętość stożka i dało fałszywy stosunek $\dfrac{1}{2}$.
Zwróć uwagę na kolejność dzielenia w ułamku piętrowym: zadanie pyta o stosunek objętości stożka do objętości kuli ($\dfrac{V_s}{V_k}$), a nie kuli do stożka ($\dfrac{V_k}{V_s}$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza zależności geometrycznych i rysunek pomocniczy:
Niech $R$ oznacza promień kuli, $r$ promień podstawy stożka, a $H$ jego wysokość. Z warunków zadania wynika, że podstawa stożka jest kołem wielkim kuli. Oznacza to, że środek podstawy stożka pokrywa się ze środkiem kuli $S$, skąd otrzymujemy: $$r = R$$ Wierzchołek stożka $W$ znajduje się w biegunie kuli na prostej prostopadłej do płaszczyzny podstawy i przechodzącej przez punkt $S$. Odcinek $SW$ łączy środek kuli z punktem leżącym na jej powierzchni, zatem jego długość jest równa promieniowi kuli: $$H = R$$
Wyznaczenie objętości kuli oraz objętości stożka:
Wzór na objętość kuli o promieniu $R$ ma postać: $$V_k = \dfrac{4}{3}\pi R^3$$ Objętość stożka obliczamy ze standardowego wzoru na objętość bryły o polu podstawy $P_p = \pi r^2$ i wysokości $H$. Podstawiając $r = R$ oraz $H = R$, otrzymujemy: $$\begin{aligned} V_s &= \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot H \\[8pt] &= \dfrac{1}{3}\pi R^2 \cdot R \\[8pt] &= \dfrac{1}{3}\pi R^3 \end{aligned}$$
Obliczenie stosunku objętości stożka do objętości kuli:
Tworzymy iloraz objętości obu brył, a następnie upraszczamy powstały ułamek piętrowy poprzez skracanie wspólnego czynnika $\pi R^3$: $$\begin{aligned} \dfrac{V_s}{V_k} &= \dfrac{\dfrac{1}{3}\pi R^3}{\dfrac{4}{3}\pi R^3} \\[8pt] &= \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{4}{3}} \\[8pt] &= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \\[8pt] &= \dfrac{1}{4} \end{aligned}$$
Rysunek wynikowy i interpretacja geometryczna:
Przekrój osiowy całego układu ukazuje stożek jako trójkąt wpisany w koło wielkie kuli. Ponieważ $\dfrac{1}{3} : \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{4}$, objętość wpisanego stożka stanowi dokładnie $25\%$ objętości kuli.

Odpowiedź:
Stosunek objętości stożka do objętości kuli wynosi $\dfrac{1}{4}$ (co odpowiada proporcji $1 : 4$).

Zadanie 5

W szklanej kuli o objętości równej $2304\pi\text{ cm}^3$ osadzono bryłę w kształcie stożka w taki sposób, że jego wierzchołek oraz okrąg podstawy leżą bezpośrednio na powierzchni kuli. Wiedząc, że kąt rozwarcia tego stożka wynosi $60^\circ$, wyznacz jego objętość.

Wskazówki:

Wykorzystaj wzór na objętość kuli $V_k = \dfrac{4}{3}\pi R^3$, aby w pierwszej kolejności obliczyć jej promień $R$.
Rozważ przekrój osiowy całego układu: przekrojem stożka jest trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku $60^\circ$, co oznacza, że jest to trójkąt równoboczny wpisany w koło wielkie kuli o promieniu $R$.
Uwaga na typowy błąd: Kategorycznie nie wolno zakładać, że środek kuli pokrywa się ze środkiem podstawy stożka (czyli że $H = R$ lub $r = R$). W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego dzieli wysokość w stosunku $2:1$, zatem wysokość stożka to $H = \dfrac{3}{2}R$, a podstawa stożka znajduje się w odległości $\dfrac{1}{2}R$ od środka kuli.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza geometryczna układu i sporządzenie rysunku pomocniczego:
Przekrój osiowy stożka wpisanego w kulę tworzy trójkąt równoramienny $ABC$ wpisany w okrąg wielki kuli o środku $O$ i promieniu $R$. Punkt $C$ to wierzchołek stożka, a odcinek $AB$ to średnica jego podstawy o długości $2r$. Ponieważ kąt rozwarcia wynosi $\spherical角 ACB = 60^\circ$, kąty przy podstawie mają miary: $$\alpha = \dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$$ Wszystkie kąty wewnętrzne tego przekroju są równe $60^\circ$, zatem przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku równym tworzącej $l = 2r$.
Wyznaczenie promienia kuli $R$ ze wzoru na jej objętość:
Wstawiamy daną objętość kuli $V_k = 2304\pi\text{ cm}^3$ do wzoru ogólnego: $$\begin{aligned} V_k &= \dfrac{4}{3}\pi R^3 \\[8pt] \dfrac{4}{3}\pi R^3 &= 2304\pi \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $\pi$ oraz mnożymy przez $\dfrac{3}{4}$: $$\begin{aligned} R^3 &= 2304 \cdot \dfrac{3}{4} \\[8pt] R^3 &= 576 \cdot 3 \\[8pt] R^3 &= 1728 \end{aligned}$$ Pierwiastkujemy obustronnie stopniem trzecim: $$R = \sqrt[3]{1728} = 12\text{ cm}$$
Obliczenie wysokości $H$ oraz promienia podstawy $r$ stożka:
Sposób I – Wykorzystanie własności trójkąta równobocznego i okręgu opisanego:
Okrąg wielki kuli jest okręgiem opisanym na trójkącie równobocznym przekroju osiowego. W trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego stanowi dokładnie $\dfrac{2}{3}$ jego wysokości: $$\begin{aligned} R &= \dfrac{2}{3}H \\[8pt] H &= \dfrac{3}{2}R \\[8pt] H &= \dfrac{3}{2} \cdot 12 = 18\text{ cm} \end{aligned}$$ Znając wysokość trójkąta równobocznego $H = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}$, wyznaczamy długość boku $l = 2r$: $$\begin{aligned} 18 &= \dfrac{2r \cdot \sqrt{3}}{2} \\[8pt] r\sqrt{3} &= 18 \\[8pt] r &= \dfrac{18}{\sqrt{3}} = \dfrac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\text{ cm} \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $O S_p B$:
Wysokość stożka wynosi $H = |CS_p|$. Środek kuli $O$ leży na wysokości stożka, przy czym odległość od wierzchołka $C$ do środka $O$ to promień kuli $|CO| = R = 12\text{ cm}$. Odległość środka kuli od płaszczyzny podstawy wynosi: $$d = |OS_p| = H - R = 18 - 12 = 6\text{ cm}$$ W trójkącie prostokątnym $O S_p B$ przeciwprostokątną jest promień kuli $R$, a przyprostokątnymi są odcinek $d$ oraz promień podstawy $r$: $$\begin{aligned} r^2 + d^2 &= R^2 \\[8pt] r^2 + 6^2 &= 12^2 \\[8pt] r^2 + 36 &= 144 \\[8pt] r^2 &= 108 \\[8pt] r &= \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\text{ cm} \end{aligned}$$
Wyznaczenie objętości stożka i zestawienie wymiarów na rysunku wynikowym:
Mając promień podstawy $r = 6\sqrt{3}\text{ cm}$ (skąd $r^2 = 108\text{ cm}^2$) oraz wysokość $H = 18\text{ cm}$, obliczamy objętość bryły: $$\begin{aligned} V &= \dfrac{1}{3}\pi r^2 H \\[8pt] V &= \dfrac{1}{3}\pi \cdot 108 \cdot 18 \\[8pt] V &= 108 \cdot 6\pi \\[8pt] V &= 648\pi\text{ cm}^3 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Objętość stożka wynosi $648\pi\text{ cm}^3$.

Grupa B

Zadanie 1

Trójkątną płytkę o ramionach prostopadłych długości $9\text{ cm}$ oraz $12\text{ cm}$ wprawiono w pełny ruch obrotowy wokół jej najdłuższego boku. Ustal pole powierzchni całkowitej bryły zakreślonej w trakcie tego obrotu.

Zadanie 2

Płaska tarcza w kształcie równoległoboku o bokach długości $8\text{ cm}$ oraz $12\text{ cm}$ posiada kąt ostry o mierze $60^\circ$. Oblicz miarę objętości $V$ oraz pole powierzchni całkowitej $P_c$ bryły geometrycznej wygenerowanej przez pełny obrót tej tarczy wokół jej dłuższego boku.

Zadanie 3

Cienką blaszkę w kształcie rombu o boku długości $a$ i kącie ostrym o mierze $60^\circ$ obracano w przestrzeni wokół jej prostych symetrii leżących w płaszczyźnie figury. Obrót wokół prostej zawierającej dłuższą przekątną rombu utworzył bryłę o objętości $V_1$, natomiast obrót wokół prostej zawierającej krótszą przekątną rombu wygenerował bryłę o objętości $V_2$. Oblicz stosunek objętości $\dfrac{V_1}{V_2}$.

Zadanie 4

W kulistym zbiorniku przemysłowym umieszczono lejek o stożkowym kształcie. Kołowy wlot lejka leży w płaszczyźnie koła wielkiego zbiornika i pokrywa się z nim, a dolny wierzchołek sięga najniższego punktu kuli, jak zilustrowano na schemacie obok. Wyznacz stosunek objętości kuli do objętości tego stożka.

Zadanie 5

W kulisty pojemnik o objętości równej $\dfrac{256}{3}\pi\text{ cm}^3$ wpisano bryłę stożka w taki sposób, że wierzchołek stożka oraz obwód jego podstawy stykają się ze ściankami kuli. Kąt między tworzącymi w przekroju osiowym tego stożka wynosi $60^\circ$. Oblicz objętość wpisanego stożka.

30.4 Bryły obrotowe – zadania różne

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋