Wyrażenia algebraiczne sprawdzian 2 LiczBit

2 Wyrażenia algebraiczne

Sprawdzian 2

Grupa A

Zadanie 1

Wyznacz dokładną wartość liczbową każdego z poniższych wyrażeń:

a) $\dfrac{\sqrt[4]{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[4]{27}}{81 \cdot \sqrt{\dfrac{1}{9}} \cdot \sqrt[4]{9}}$

b) $\sqrt{7 - 3\sqrt{5}} \cdot \sqrt{7 + 3\sqrt{5}}$

c) $\left[ \left(\dfrac{16}{81}\right)^{-0,75} : \left(1\dfrac{1}{2}\right)^3 - (0,25)^{\frac{1}{2}} \right]^{-3}$

d) $\dfrac{\log_2 4\sqrt{2} + \log_2 \sqrt[3]{16}}{\log_2 2\sqrt{2}}$

Wskazówki:

Działania na potęgach i pierwiastkach: Wszelkie pierwiastki i potęgi o tej samej podstawie sprowadzaj do postaci wykładników wymiernych za pomocą tożsamości $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, a następnie stosuj reguły: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ oraz $\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$.
Iloczyn pierwiastków kwadratowych: Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia zapisuj pod jednym wspólnym pierwiastkiem: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Pozwala to zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Uwaga na typowy błąd w pierwiastkach: Kategorycznie nie wolno pierwiastkować sumy ani różnicy składnik po składniku, czyli $\sqrt{x \pm y} \neq \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$. Wyrażenie $\sqrt{7 - 3\sqrt{5}}$ nie jest równe $\sqrt{7} - \sqrt{3\sqrt{5}}$. Pierwiastkowanie nie jest operacją rozdzielną względem dodawania i odejmowania.
Ujemny wykładnik potęgi: Znak minus w wykładniku potęgi oznacza operację wyznaczenia odwrotności liczby: $a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n$. Nie oznacza on, że cała liczba staje się ujemna (np. $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$, a nie $-8$).
Uwaga na błąd w ilorazie logarytmów: Iloraz $\dfrac{\log_a x}{\log_a y}$ nie jest równy $\log_a(x - y)$ ani $\log_a\left(\frac{x}{y}\right)$. Kategorycznie nie wolno również "skracać" zapisu $\log_2$ z licznika i mianownika. Każdą wartość logarytmu należy obliczyć niezależnie z definicji: $\log_a b = c \iff a^c = b$.

Rozwiązanie krok po kroku:

a) Obliczamy wartość wyrażenia $\dfrac{\sqrt[4]{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[4]{27}}{81 \cdot \sqrt{\dfrac{1}{9}} \cdot \sqrt[4]{9}}$:
Wszystkie czynniki w liczniku i mianowniku przedstawiamy w postaci potęg liczby $3$: $$\begin{aligned} \sqrt[4]{3} &= 3^{\frac{1}{4}} \\[8pt] 9 &= 3^2 \\[8pt] \sqrt{27} &= \sqrt{3^3} = 3^{\frac{3}{2}} \\[8pt] \sqrt[4]{27} &= \sqrt[4]{3^3} = 3^{\frac{3}{4}} \end{aligned}$$ Upraszczamy licznik, dodając wykładniki potęg o wspólnej podstawie: $$\begin{aligned} L &= 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{4}} \\[8pt] &= 3^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 + \frac{3}{2}} \\[8pt] &= 3^{1 + 2 + \frac{3}{2}} \\[8pt] &= 3^{\frac{9}{2}} \end{aligned}$$ Przekształcamy czynniki mianownika: $$\begin{aligned} 81 &= 3^4 \\[8pt] \sqrt{\dfrac{1}{9}} &= \dfrac{1}{3} = 3^{-1} \\[8pt] \sqrt[4]{9} &= \sqrt[4]{3^2} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$$ Upraszczamy mianownik: $$\begin{aligned} M &= 3^4 \cdot 3^{-1} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= 3^{4 - 1 + \frac{1}{2}} \\[8pt] &= 3^{3 + \frac{1}{2}} \\[8pt] &= 3^{\frac{7}{2}} \end{aligned}$$ Dzielimy licznik przez mianownik, odejmując wykładnik mianownika od wykładnika licznika: $$\begin{aligned} \dfrac{L}{M} &= \dfrac{3^{\frac{9}{2}}}{3^{\frac{7}{2}}} \\[8pt] &= 3^{\frac{9}{2} - \frac{7}{2}} \\[8pt] &= 3^{\frac{2}{2}} = 3^1 = 3 \end{aligned}$$
b) Obliczamy wartość wyrażenia $\sqrt{7 - 3\sqrt{5}} \cdot \sqrt{7 + 3\sqrt{5}}$:
Zapisujemy iloczyn pierwiastków pod jednym wspólnym pierwiastkiem kwadratowym i stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$\begin{aligned} \sqrt{7 - 3\sqrt{5}} \cdot \sqrt{7 + 3\sqrt{5}} &= \sqrt{\left(7 - 3\sqrt{5}\right)\left(7 + 3\sqrt{5}\right)} \\[8pt] &= \sqrt{7^2 - \left(3\sqrt{5}\right)^2} \end{aligned}$$ Zwróćmy uwagę na poprawne podniesienie do kwadratu iloczynu $3\sqrt{5}$: potęgujemy każdy czynnik, czyli $\left(3\sqrt{5}\right)^2 = 3^2 \cdot \left(\sqrt{5}\right)^2 = 9 \cdot 5 = 45$. $$\begin{aligned} \sqrt{49 - 45} &= \sqrt{4} = 2 \end{aligned}$$
c) Obliczamy wartość wyrażenia $\left[ \left(\dfrac{16}{81}\right)^{-0,75} : \left(1\dfrac{1}{2}\right)^3 - (0,25)^{\frac{1}{2}} \right]^{-3}$:
Krok po kroku upraszczamy elementy wewnątrz nawiasu kwadratowego. Zaczynamy od pierwszego składnika, zamieniając $-0,75$ na ułamek zwykły $-\frac{3}{4}$: $$\begin{aligned} \left(\dfrac{16}{81}\right)^{-0,75} &= \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^4\right)^{-\frac{3}{4}} \\[8pt] &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^{4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)} \\[8pt] &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 \end{aligned}$$ Zauważmy, że dzielnik po zamianie na ułamek niewłaściwy to dokładnie ta sama wartość: $$\left(1\dfrac{1}{2}\right)^3 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^3$$ Dzielenie dwóch identycznych liczb różnych od zera daje $1$: $$\left(\dfrac{3}{2}\right)^3 : \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 = 1$$ Obliczamy odjemnik: $$(0,25)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,25} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$$ Wykonujemy odejmowanie w nawiasie kwadratowym: $$1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$$ Podnosimy wynik do końcowej potęgi $-3$, korzystając z własności wykładnika ujemnego: $$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3} = \left(\dfrac{2}{1}\right)^3 = 2^3 = 8$$
d) Obliczamy wartość wyrażenia $\dfrac{\log_2 4\sqrt{2} + \log_2 \sqrt[3]{16}}{\log_2 2\sqrt{2}}$:
Wyznaczamy wartości poszczególnych logarytmów przy podstawie $2$: $$\begin{aligned} 4\sqrt{2} &= 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}} \implies \log_2 4\sqrt{2} = \dfrac{5}{2} \\[8pt] \sqrt[3]{16} &= \sqrt[3]{2^4} = 2^{\frac{4}{3}} \implies \log_2 \sqrt[3]{16} = \dfrac{4}{3} \end{aligned}$$ Sumujemy wartości w liczniku, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika $6$: $$\dfrac{5}{2} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{15}{6} + \dfrac{8}{6} = \dfrac{23}{6}$$ Obliczamy wartość logarytmu w mianowniku: $$2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \implies \log_2 2\sqrt{2} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{6}$$ Wyznaczamy iloraz licznika i mianownika: $$\begin{aligned} \dfrac{\dfrac{23}{6}}{\dfrac{9}{6}} &= \dfrac{23}{6} \cdot \dfrac{6}{9} \\[8pt] &= \dfrac{23}{9} = 2\dfrac{5}{9} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $3$

b) $2$

c) $8$

d) $\dfrac{23}{9} = 2\dfrac{5}{9}$

Zadanie 2

Dane jest równanie wiążące dodatnie wielkości $f$, $x$ oraz $y$: $$\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$$ Wyznacz zmienną $f$ z powyższego wzoru i zapisz wynik w postaci pojedynczego ułamka.

Wskazówki:

Aby wyznaczyć niewiadomą znajdującą się w mianowniku, należy najpierw doprowadzić sumę ułamków po prawej stronie do jednego wspólnego ułamka lub pomnożyć całe równanie przez wspólny mianownik wszystkich wyrażeń.
Uwaga na kardynalny błąd: Kategorycznie nie wolno odwracać ułamków składnik po składniku, czyli pisać $f = x + y$. Odwrotność sumy nie jest sumą odwrotności, to znaczy: $$\dfrac{1}{x + y} \neq \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$$ Gdyby tak było, to dla $x = 2$ i $y = 2$ mielibyśmy $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1 \implies f = 1$, podczas gdy błędna reguła dałaby $f = 2 + 2 = 4$, co prowadzi do sprzeczności.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Sprowadzenie prawej strony do wspólnego mianownika i odwrócenie stronami:
Wychodzimy od wyjściowej równości: $$\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$$ Wspólnym mianownikiem dla ułamków po prawej stronie jest iloczyn $xy$. Rozszerzamy pierwszy ułamek przez $y$, a drugi przez $x$: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{f} &= \dfrac{1 \cdot y}{x \cdot y} + \dfrac{1 \cdot x}{y \cdot x} \\[8pt] &= \dfrac{y}{xy} + \dfrac{x}{xy} \\[8pt] &= \dfrac{x + y}{xy} \end{aligned}$$ Po obu stronach znaku równości znajduje się pojedynczy ułamek. Możemy teraz obustronnie wyznaczyć odwrotność (zamienić licznik z mianownikiem): $$f = \dfrac{xy}{x + y}$$
Sposób II – Pomnożenie obu stron równania przez wspólny mianownik:
Zapisujemy równanie wyjściowe: $$\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$$ Mnożymy obie strony równania przez iloczyn wszystkich mianowników, czyli $f \cdot x \cdot y$: $$\dfrac{1}{f} \cdot fxy = \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) \cdot fxy$$ Wymnażamy każdy wyraz w nawiasie przez $fxy$ i redukujemy mianowniki: $$\begin{aligned} xy &= \dfrac{1}{x} \cdot fxy + \dfrac{1}{y} \cdot fxy \\[8pt] xy &= fy + fx \end{aligned}$$ Szukana zmienna $f$ występuje w obu składnikach po prawej stronie, dlatego wyłączamy ją przed nawias: $$xy = f(y + x)$$ Dzielimy obie strony równania przez sumę $(x + y)$: $$f = \dfrac{xy}{x + y}$$
Podsumowanie i warunki wykonalności:
Wszystkie przekształcenia były poprawne przy założeniu, że występujące zmienne są dodatnie (a zatem różne od zera), co gwarantuje, że mianownik $x + y \neq 0$.

Odpowiedź:
$$f = \dfrac{xy}{x + y}$$

Zadanie 3

Zbadaj relację między wartościami liczb $a$ i $b$, wykonując odpowiednie operacje na potęgach i zapisując otrzymane przekształcenia jako formalne uzasadnienie wyniku: $$a = (3\sqrt{3})^{24}, \quad b = \left(\dfrac{\sqrt{27}}{243}\right)^{-8}$$

Wskazówki:

Sprowadź obie liczby do potęgi o tej samej podstawie równej $3$, zastępując pierwiastki potęgami o wykładnikach ułamkowych: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ oraz $\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{\frac{3}{2}}$.
Uwaga na typowy błąd: Przy potęgowaniu potęgi wykładniki należy bezwzględnie pomnożyć: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Kategorycznie nie wolno ich dodawać – błędem byłoby uznanie, że $(3^{\frac{3}{2}})^{24} = 3^{\frac{3}{2} + 24}$. Pamiętaj również, że ujemny wykładnik potęgi oznacza odwrotność podstawy, a nie zmianę znaku liczby na minus ($x^{-k} = \dfrac{1}{x^k} \neq -x^k$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Przekształcenie liczby $a = (3\sqrt{3})^{24}$ do potęgi o podstawie $3$:
Zapisujemy wyrażenie wewnątrz nawiasu jako jedną potęgę liczby $3$. Ponieważ $3 = 3^1$ oraz $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$, korzystamy z reguły mnożenia potęg o identycznych podstawach (dodajemy wykładniki): $$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$$ Teraz stosujemy prawo potęgowania potęgi, mnożąc wykładniki: $$\begin{aligned} a &= \left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{24} \\[8pt] &= 3^{\frac{3}{2} \cdot 24} \\[8pt] &= 3^{\frac{72}{2}} \\[8pt] &= 3^{36} \end{aligned}$$
Przekształcenie liczby $b = \left(\dfrac{\sqrt{27}}{243}\right)^{-8}$ do potęgi o podstawie $3$:
Przedstawiamy licznik oraz mianownik ułamka w nawiasie za pomocą potęg trójki. Wiemy, że $27 = 3^3$, zatem: $$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = (3^3)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$$ Mianownik ułamka to: $$243 = 3^5$$ Dzieląc potęgi o jednakowych podstawach, odejmujemy wykładnik mianownika od wykładnika licznika: $$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{27}}{243} &= \dfrac{3^{\frac{3}{2}}}{3^5} \\[8pt] &= 3^{\frac{3}{2} - 5} \\[8pt] &= 3^{\frac{3}{2} - \frac{10}{2}} \\[8pt] &= 3^{-\frac{7}{2}} \end{aligned}$$ Podnosimy otrzymane wyrażenie do zewnętrznego wykładnika $-8$. Mnożenie dwóch wartości ujemnych daje w wykładniku liczbę dodatnią: $$\begin{aligned} b &= \left(3^{-\frac{7}{2}}\right)^{-8} \\[8pt] &= 3^{\left(-\frac{7}{2}\right) \cdot (-8)} \\[8pt] &= 3^{\frac{56}{2}} \\[8pt] &= 3^{28} \end{aligned}$$
Porównanie otrzymanych potęg i sformułowanie wniosku:
Zestawiamy wyznaczone postaci obu liczb: $$a = 3^{36}, \quad b = 3^{28}$$ Podstawa potęg wynosi $3$, czyli jest większa od jedności ($3 > 1$). Funkcja wykładnicza o podstawie większej od $1$ jest ściśle rosnąca, co oznacza, że większemu wykładnikowi odpowiada większa wartość potęgi: $$36 > 28 \implies 3^{36} > 3^{28} \implies a > b$$

Odpowiedź:
$a > b$ (ponieważ $a = 3^{36}$ oraz $b = 3^{28}$)

Zadanie 4

Wyznacz zbiór liczb rzeczywistych spełniających nierówność oraz znajdź rozwiązanie równania:

a) $(x - 2)^2 - \dfrac{x^2 - 16}{3} - 4 < \dfrac{(x - 4)(x + 4)}{6} + \dfrac{1}{2}x^2$

b) $(\sqrt{2}x + 1)^2 = (\sqrt{2}x - 1)^2 - \sqrt{2}x + 10$

Wskazówki:

Zastosuj wzory skróconego mnożenia: kwadrat różnicy $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, kwadrat sumy $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ oraz różnicę kwadratów $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
W nierówności ułamkowej najwygodniej pomnożyć obie strony przez wspólny mianownik (tutaj $6$), aby uprościć zapis.
Pułapka – minus przed ułamkiem: Kreska ułamkowa działa jak nawias. Znak minus przed ułamkiem $-\dfrac{x^2 - 16}{3}$ po pomnożeniu przez $6$ daje $-2(x^2 - 16) = -2x^2 + 32$. Kategorycznie nie wolno zapomnieć o zmianie znaku drugiego wyrazu (częsty błąd to błędny zapis $-2x^2 - 16$ lub $-2x^2 - 32$).
Pułapka – dzielenie przez liczbę ujemną: Dzieląc lub mnożąc nierówność przez liczbę ujemną, bezwzględnie zmieniamy zwrot znaku nierówności (z $<$ na $>$).
Pułapka – kwadrat wyrażenia z pierwiastkiem: Pamiętaj, że $(\sqrt{2}x)^2 = (\sqrt{2})^2 \cdot x^2 = 2x^2$, a podwojony iloczyn to $2 \cdot \sqrt{2}x \cdot 1 = 2\sqrt{2}x$. Nie wolno gubić środkowego wyrazu (błędne $(a+b)^2 = a^2 + b^2$).

Rozwiązanie krok po kroku:

a) Rozwiązujemy nierówność $(x - 2)^2 - \dfrac{x^2 - 16}{3} - 4 < \dfrac{(x - 4)(x + 4)}{6} + \dfrac{1}{2}x^2$:
Rozpisujemy iloczyn w liczniku po prawej stronie ze wzoru na różnicę kwadratów: $$(x - 4)(x + 4) = x^2 - 16$$ Wstawiamy to do nierówności: $$(x - 2)^2 - \dfrac{x^2 - 16}{3} - 4 < \dfrac{x^2 - 16}{6} + \dfrac{1}{2}x^2$$ Aby pozbyć się ułamków, mnożymy obie strony nierówności przez wspólny mianownik $6$: $$6 \cdot (x - 2)^2 - 6 \cdot \dfrac{x^2 - 16}{3} - 6 \cdot 4 < 6 \cdot \dfrac{x^2 - 16}{6} + 6 \cdot \dfrac{1}{2}x^2$$ Skracamy mianowniki i rozpisujemy kwadrat różnicy $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$: $$6(x^2 - 4x + 4) - 2(x^2 - 16) - 24 < (x^2 - 16) + 3x^2$$ Wymnażamy nawiasy, pamiętając o zmianie znaków przy mnożeniu przez $-2$: $$6x^2 - 24x + 24 - 2x^2 + 32 - 24 < 4x^2 - 16$$ Redukujemy wyrazy podobne po lewej stronie ($6x^2 - 2x^2 = 4x^2$ oraz $24 + 32 - 24 = 32$): $$4x^2 - 24x + 32 < 4x^2 - 16$$ Odejmujemy $4x^2$ od obu stron nierówności (składniki kwadratowe redukują się do zera): $$\begin{aligned} -24x + 32 &< -16 \\[8pt] -24x &< -16 - 32 \\[8pt] -24x &< -48 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony przez $-24$. Ponieważ dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny: $$\begin{aligned} x &> \dfrac{-48}{-24} \\[8pt] x &> 2 \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań jest przedział $x \in (2, +\infty)$. Ilustrujemy rozwiązanie na osi liczbowej (kółko otwarte w punkcie $2$):
b) Rozwiązujemy równanie $(\sqrt{2}x + 1)^2 = (\sqrt{2}x - 1)^2 - \sqrt{2}x + 10$:
Rozwijamy kwadraty sumy i różnicy po obu stronach: $$\begin{aligned} (\sqrt{2}x + 1)^2 &= (\sqrt{2}x)^2 + 2 \cdot \sqrt{2}x \cdot 1 + 1^2 = 2x^2 + 2\sqrt{2}x + 1 \\[8pt] (\sqrt{2}x - 1)^2 &= (\sqrt{2}x)^2 - 2 \cdot \sqrt{2}x \cdot 1 + 1^2 = 2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 \end{aligned}$$ Podstawiamy otrzymane wyrażenia do równania: $$2x^2 + 2\sqrt{2}x + 1 = 2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 - \sqrt{2}x + 10$$ Odejmujemy obustronnie $2x^2$ oraz $1$: $$2\sqrt{2}x = -2\sqrt{2}x - \sqrt{2}x + 10$$ Redukujemy wyrazy z niewiadomą po prawej stronie ($-2\sqrt{2}x - \sqrt{2}x = -3\sqrt{2}x$): $$2\sqrt{2}x = -3\sqrt{2}x + 10$$ Przenosimy wyrażenie $-3\sqrt{2}x$ na lewą stronę, dodając je obustronnie: $$\begin{aligned} 2\sqrt{2}x + 3\sqrt{2}x &= 10 \\[8pt] 5\sqrt{2}x &= 10 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony przez $5\sqrt{2}$: $$x = \dfrac{10}{5\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{2}$: $$x = \dfrac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$

Odpowiedź:
a) $x \in (2, +\infty)$

b) $x = \sqrt{2}$

Zadanie 5

Uzasadnij, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$, wartość sumy algebraicznej $2^{n+5} + 2^{n+4} - 2^{n+3} - 2^{n+2} + 2^{n+1}$ jest wielokrotnością liczby 19.

Wskazówki:

Zastosuj regułę iloczynu potęg o tej samej podstawie $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$, aby w każdym składniku wyodrębnić najmniejszą wspólną potęgę $2^{n+1}$, a następnie wyłączyć ją przed nawias.
Czego kategorycznie nie wolno robić: Nie wolno dodawać do siebie wykładników przy sumowaniu potęg (np. zapis $2^{n+5} + 2^{n+4} = 2^{2n+9}$ jest kardynalnym błędem). Wykładniki dodaje się wyłącznie przy mnożeniu potęg o jednakowych podstawach. Pamiętaj również, że wyłączenie $2^{n+1}$ z ostatniego wyrazu $2^{n+1}$ daje w nawiasie $1$, a nie $0$ ($2^{n+1} : 2^{n+1} = 1$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozbicie poszczególnych potęg za pomocą własności działań na potęgach:
Wszystkie potęgi w zadanym wyrażeniu opierają się na podstawie równej 2. Najmniejszym wykładnikiem jest $n+1$. Korzystając ze wzoru $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$, każdy składnik zapisujemy tak, aby wyodrębnić czynnik $2^{n+1}$: $$\begin{aligned} 2^{n+5} &= 2^{(n+1)+4} = 2^{n+1} \cdot 2^4 = 2^{n+1} \cdot 16 \\[8pt] 2^{n+4} &= 2^{(n+1)+3} = 2^{n+1} \cdot 2^3 = 2^{n+1} \cdot 8 \\[8pt] 2^{n+3} &= 2^{(n+1)+2} = 2^{n+1} \cdot 2^2 = 2^{n+1} \cdot 4 \\[8pt] 2^{n+2} &= 2^{(n+1)+1} = 2^{n+1} \cdot 2^1 = 2^{n+1} \cdot 2 \\[8pt] 2^{n+1} &= 2^{n+1} \cdot 1 \end{aligned}$$ Uwaga na typowy błąd: Dzielenie liczby przez samą siebie daje zawsze 1 ($2^{n+1} : 2^{n+1} = 1$). Wpisanie w tym miejscu zera jest częstą pomyłką, która całkowicie wypacza wynik końcowy.
Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias i obliczenie wartości liczbowej:
Wstawiamy rozpisane składniki do wyjściowej sumy i wyłączamy wspólny czynnik $2^{n+1}$ przed nawias: $$\begin{aligned} W &= 2^{n+5} + 2^{n+4} - 2^{n+3} - 2^{n+2} + 2^{n+1} \\[8pt] &= 2^{n+1} \cdot (2^4 + 2^3 - 2^2 - 2^1 + 1) \\[8pt] &= 2^{n+1} \cdot (16 + 8 - 4 - 2 + 1) \end{aligned}$$ Obliczamy wartość sumy składników w nawiasie: $$\begin{aligned} 16 + 8 - 4 - 2 + 1 &= 24 - 4 - 2 + 1 \\[8pt] &= 20 - 2 + 1 \\[8pt] &= 19 \end{aligned}$$ Wyrażenie doprowadziliśmy zatem do zwartej postaci iloczynowej: $$W = 2^{n+1} \cdot 19 = 19 \cdot 2^{n+1}$$
Sformułowanie uzasadnienia podzielności przez 19:
Z treści zadania wynika, że $n$ jest liczbą naturalną ($n \in \mathbb{N}$). Wobec tego wykładnik $n+1 \ge 1$, co oznacza, że czynnik $2^{n+1}$ jest dodatnią liczbą całkowitą. Wyrażenie $W$ przedstawiliśmy w postaci: $$W = 19 \cdot k, \quad \text{gdzie } k = 2^{n+1} \in \mathbb{C}$$ Iloczyn liczby 19 i liczby całkowitej $k$ jest podzielny przez 19 bez reszty dla każdego $n \in \mathbb{N}$, co oznacza, że badana suma algebraiczna jest wielokrotnością liczby 19. To kończy dowód.

Odpowiedź:
Wyrażenie przekształca się do postaci $19 \cdot 2^{n+1}$. Czynnik $2^{n+1}$ jest liczbą całkowitą dla każdej liczby naturalnej $n$, co dowodzi, że wyjściowa suma jest wielokrotnością liczby 19.

Grupa B

Zadanie 1

Doprowadź poniższe wyrażenia do najprostszej postaci liczbowej i podaj ich wartości:

a) $\dfrac{\sqrt[4]{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt[4]{8}}{16 \cdot \sqrt{\dfrac{1}{4}} \cdot \sqrt[4]{4}}$

b) $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}$

c) $\left[ \left(\dfrac{16}{625}\right)^{-0,75} : \left(2\dfrac{1}{2}\right)^3 - (0,512)^{\frac{1}{3}} \right]^{-2}$

d) $\dfrac{\log_3 9\sqrt{3} + \log_3 \sqrt[3]{81}}{\log_3 3\sqrt{3}}$

Zadanie 2

Zależność łącząca trzy dodatnie wielkości $C$, $C_1$ oraz $C_2$ opisana jest równaniem: $$\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}$$ Przekształć powyższy wzór tak, aby wyznaczyć wielkość $C$. Wynik zapisz w postaci pojedynczego ułamka.

Zadanie 3

Ustal relację między wartościami liczb $k$ oraz $m$, wykonując odpowiednie działania na potęgach i podając je jako uzasadnienie: $$k = \left(\dfrac{\sqrt{32}}{128}\right)^{-8}, \quad m = (4\sqrt{2})^{14}$$

Zadanie 4

Rozwiąż poniższą nierówność, zapisując zbiór rozwiązań w postaci przedziału, a następnie wyznacz liczbę spełniającą podane równanie:

a) $(x - 1)^2 - \dfrac{x^2 - 10}{2} - 1 \ge \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{4} + \dfrac{1}{4}x^2$

b) $(\sqrt{3}x + 2)^2 = (\sqrt{3}x - 2)^2 - \sqrt{3}x + 27$

Zadanie 5

Wykaż, że jeśli $n$ jest dowolną liczbą naturalną, to wartość sumy algebraicznej $2^{n+5} - 2^{n+4} + 2^{n+3} + 2^{n+2} - 2^{n+1}$ dzieli się przez 13 bez reszty.

2 Wyrażenia algebraiczne

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋