Zbiory liczbowe. Liczby rzeczywiste sprawdzian 4 LiczBit

1 Zbiory liczbowe. Liczby rzeczywiste

Sprawdzian 4

Grupa A

Zadanie 1

Liczba zapisana w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego $0,(27)$ jest równa:

A. $\dfrac{27}{100}$

B. $\dfrac{3}{11}$

C. $\dfrac{27}{101}$

D. niewymierną

Wskazówki:

Każda liczba o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym okresowym jest liczbą wymierną, co oznacza, że można ją zapisać w postaci ułamka zwykłego.
Zastosuj metodę algebraiczną: oznacz liczbę jako $x$, a następnie pomnóż obie strony równania przez $100$ (ponieważ okres składa się z dwóch powtarzających się cyfr), aby przesunąć przecinek o pełen okres.
Alternatywnie skorzystaj z reguły zamiany ułamka okresowego czystego: okres zapisujemy w liczniku, a w mianowniku wstawiamy tyle dziewiątek, ile cyfr ma okres.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyznaczenie wartości metodą algebraiczną:
Oznaczmy szukaną liczbę zmienną $x$: $$x = 0,(27) = 0,272727\dots$$ Okres składa się z dwóch cyfr ($2$ oraz $7$), dlatego mnożymy obie strony równania przez $100$, aby przesunąć przecinek dziesiętny o dokładnie jeden pełen okres w prawo: $$100x = 27,272727\dots = 27,(27)$$ Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego stronami, dzięki czemu część okresowa po przecinku całkowicie się redukuje: $$\begin{aligned} 100x - x &= 27,(27) - 0,(27) \\[8pt] 99x &= 27 \\[8pt] x &= \dfrac{27}{99} \end{aligned}$$ Doprowadzamy ułamek do najprostszej postaci, dzieląc licznik i mianownik przez ich największy wspólny dzielnik, czyli $9$: $$x = \dfrac{27 : 9}{99 : 9} = \dfrac{3}{11}$$
Sposób II – Zastosowanie reguły ułamka okresowego czystego:
Jeżeli okres rozpoczyna się bezpośrednio po przecinku dziesiętnym, ułamek można zamienić natychmiastowo: liczbę z nawiasu zapisujemy w liczniku, a w mianowniku tworzymy liczbę złożoną z tylu dziewiątek, ile cyfr znajduje się w okresie: $$\begin{aligned} 0,(27) &= \dfrac{27}{99} \\[8pt] &= \dfrac{3}{11} \end{aligned}$$
Analiza wariantów odpowiedzi:
Ułamek $\dfrac{27}{100} = 0,27$ jest ułamkiem dziesiętnym skończonym, co wyklucza odpowiedź A. Każdy ułamek okresowy jest liczbą wymierną, co wyklucza odpowiedź D. Prawidłowym wynikiem po skróceniu jest $\dfrac{3}{11}$.

Odpowiedź:
B. $\dfrac{3}{11}$

Zadanie 2

Dane są przedziały liczbowe $K = \langle 0, 8)$, $L = (2, 10\rangle$ oraz $M = (4, 11)$. Najmniejszą liczbą naturalną należącą do zbioru $L \setminus (K \cap M)$ jest liczba:

A. $2$

B. $3$

C. $4$

D. $5$

Wskazówki:

Wyznacz najpierw iloczyn (część wspólną) zbiorów $K \cap M$, wybierając liczby należące jednocześnie do obu tych przedziałów.
Różnica zbiorów $L \setminus (K \cap M)$ zawiera te elementy przedziału $L$, które nie należą do wyznaczonej części wspólnej. Zwróć szczególną uwagę na to, czy końce usuwanego przedziału pozostają w zbiorze wynikowym.
Spośród liczb naturalnych ($0, 1, 2, 3, \dots$) wchodzących w skład wyznaczonego zbioru wskaż wartość najmniejszą.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie części wspólnej przedziałów $K$ oraz $M$:
Mamy dane przedziały $K = \langle 0, 8)$ oraz $M = (4, 11)$. Część wspólna (iloczyn) to zbiór liczb leżących jednocześnie w obu przedziałach: $$K \cap M = \langle 0, 8) \cap (4, 11) = (4, 8)$$
Wyznaczenie różnicy zbiorów $L \setminus (K \cap M)$:
Od przedziału $L = (2, 10\rangle$ odejmujemy zbiór $(4, 8)$: $$L \setminus (K \cap M) = (2, 10\rangle \setminus (4, 8)$$ Ponieważ ze zbioru $L$ usuwamy wyłącznie liczby ostro większe od $4$ i ostro mniejsze od $8$:
- Liczba $4$ nie należy do odejmowanego zbioru $(4, 8)$, dlatego pozostaje w wyniku i domyka lewy przedział: $(2, 4\rangle$.
- Liczba $8$ również nie należy do odejmowanego zbioru $(4, 8)$, dlatego pozostaje w wyniku i domyka prawy przedział: $\langle 8, 10\rangle$.
Otrzymujemy sumę dwóch rozłącznych przedziałów: $$L \setminus (K \cap M) = (2, 4\rangle \cup \langle 8, 10\rangle$$
Wskazanie najmniejszej liczby naturalnej na osi liczbowej:
Wypiszmy liczby naturalne należące do wyznaczonego zbioru: $$\{3, 4, 8, 9, 10\}$$ Liczba $2$ nie należy do tego zbioru, ponieważ przedział przy dwójce jest otwarty ($2 \notin (2, 4\rangle$). Najmniejszą liczbą naturalną w tym zbiorze jest zatem $3$.

Odpowiedź:
Prawidłową odpowiedzią jest B (liczba $3$).

Zadanie 3

W sklepie ze sprzętem elektronicznym bezprzewodowe słuchawki nauszne są o $25\%$ droższe od słuchawek dousznych. Wynika stąd, że słuchawki douszne są tańsze od słuchawek nausznych o:

A. $15\%$

B. $20\%$

C. $25\%$

D. $30\%$

Wskazówki:

Zwróć uwagę na punkt odniesienia (bazę procentową) – w pierwszym zdaniu podstawą obliczeń jest cena słuchawek dousznych, natomiast w pytaniu bazą staje się cena słuchawek nausznych.
Zadanie można rozwiązać ogólnie za pomocą zmiennych algebraicznych lub przyjmując wygodną, konkretną wartość wyjściową, na przykład $100\text{ zł}$.
Różnicę cen zawsze dzielimy przez tę wartość, do której się odnosimy w pytaniu („tańszy od...”).

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyznaczenie zależności algebraicznej na zmiennych:
Oznaczmy cenę słuchawek dousznych literą $d$, a cenę słuchawek nausznych literą $n$. Z treści zadania wiemy, że słuchawki nauszne są droższe o $25\%$ od słuchawek dousznych: $$\begin{aligned} n &= d + 0{,}25 \cdot d \\[8pt] &= 1{,}25 \cdot d \end{aligned}$$ Różnica w cenie między oboma modelami wynosi: $$n - d = 1{,}25d - d = 0{,}25d$$ Pytanie dotyczy tego, o ile procent słuchawki douszne są tańsze od słuchawek nausznych. Bazą porównania (wielkością odniesienia w mianowniku) jest zatem cena słuchawek nausznych $n$: $$\begin{aligned} p &= \dfrac{n - d}{n} \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{0{,}25d}{1{,}25d} \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{0{,}25}{1{,}25} \cdot 100\% \end{aligned}$$ Skracając ułamek przez $0{,}25$: $$\begin{aligned} p &= \dfrac{1}{5} \cdot 100\% \\[8pt] &= 20\% \end{aligned}$$
Sposób II – Przyjęcie przykładowej ceny początkowej równej $100\text{ zł}$:
Załóżmy, że słuchawki douszne kosztują dokładnie: $$d = 100\text{ zł}$$ Słuchawki nauszne są o $25\%$ droższe, czyli ich koszt to: $$\begin{aligned} n &= 100\text{ zł} + 25\%\text{ ze } 100\text{ zł} \\[8pt] &= 100\text{ zł} + 25\text{ zł} = 125\text{ zł} \end{aligned}$$ Różnica kwotowa między oboma produktami wynosi: $$125\text{ zł} - 100\text{ zł} = 25\text{ zł}$$ Obliczamy, jaki procent ceny słuchawek nausznych ($125\text{ zł}$) stanowi ta różnica: $$\begin{aligned} p &= \dfrac{25\text{ zł}}{125\text{ zł}} \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{1}{5} \cdot 100\% \\[8pt] &= 20\% \end{aligned}$$

Odpowiedź:
B. $20\%$

Zadanie 4

Przedstaw na osi liczbowej dwa przedziały liczbowe: $$P = \left(-3,\, 4\dfrac{1}{2}\right\rangle \quad \text{oraz} \quad Q = \left\langle \dfrac{1}{2},\, 7\right\rangle$$ Następnie wyznacz lub podaj:

a) najmniejszą liczbę naturalną należącą do sumy przedziałów $P \cup Q$;

b) największą liczbę całkowitą należącą do różnicy zbiorów $Q \setminus P$;

c) przykład liczby niewymiernej wchodzącej w skład różnicy zbiorów $P \setminus Q$;

d) przykład liczby wymiernej należącej do iloczynu zbiorów $P \cap Q$, której odwrotność również należy do tego iloczynu.

Wskazówki:

Zaznacz oba przedziały na wspólnej osi liczbowej, stosując odmienne poziomy belek i kolory. Pamiętaj, że nierówność ostra (nawias okrągły) oznacza kółko otwarte (niezamalowane), a nierówność słaba (nawias trójkątny/ostrokątny) oznacza kółko domknięte (zamalowane).
Suma zbiorów $P \cup Q$ obejmuje wszystkie liczby należące do co najmniej jednego z tych przedziałów. W polskiej szkole średniej zbiór liczb naturalnych definiujemy jako $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$.
Różnica zbiorów $Q \setminus P$ to zbiór tych liczb, które leżą w przedziale $Q$, ale nie wchodzą w skład przedziału $P$. Zwróć szczególną uwagę na prawy koniec przedziału $P$ – skoro liczba $4\frac{1}{2}$ należy do $P$, to zostaje usunięta z różnicy, tworząc koniec otwarty.
Różnica $P \setminus Q$ to liczby należące do $P$ i nienależące do $Q$. Liczba niewymierna to liczba rzeczywista, której nie da się zapisać w postaci ułamka zwykłego dwóch liczb całkowitych (np. pierwiastki z liczb niebędących kwadratami).
Iloczyn $P \cap Q$ to część wspólna obu przedziałów. Liczba odwrotna do liczby $x \ne 0$ to $\dfrac{1}{x}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Graficzne przedstawienie przedziałów $P$ i $Q$ na osi liczbowej:
Na osi liczbowej obieramy stałą jednostkę (1 jednostka = 2 kratki siatki). Przedział $P = \left(-3,\, 4\frac{1}{2}\right\rangle$ rozpoczyna się w punkcie $-3$ kółkiem otwartym, a kończy w punkcie $4\frac{1}{2}$ kółkiem zamalowanym. Przedział $Q = \left\langle \frac{1}{2},\, 7\right\rangle$ rozpoczyna się w punkcie $\frac{1}{2}$ kółkiem zamalowanym i kończy w punkcie $7$ również kółkiem zamalowanym.
Podpunkt a) Wyznaczenie najmniejszej liczby naturalnej ze zbioru $P \cup Q$:
Suma przedziałów $P \cup Q$ łączy wszystkie punkty pokryte przez co najmniej jeden z przedziałów: $$P \cup Q = \left(-3,\, 4\dfrac{1}{2}\right\rangle \cup \left\langle \dfrac{1}{2},\, 7\right\rangle = (-3,\, 7\rangle$$ Liczby naturalne należące do tego przedziału to: $$\mathbb{N} \cap (P \cup Q) = \{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6,\, 7\}$$ Najmniejszą liczbą naturalną w tym zbiorze jest liczba $0$.
(Uwaga dydaktyczna: gdyby w danym podręczniku przyjęto definicję liczb naturalnych bez zera, czyli $\mathbb{N}_+ = \{1, 2, 3, \dots\}$, najmniejszą liczbą byłaby liczba $1$).
Podpunkt b) Wyznaczenie największej liczby całkowitej ze zbioru $Q \setminus P$:
Różnica zbiorów $Q \setminus P$ zawiera elementy należące do $Q$, które nie należą do $P$: $$Q \setminus P = \left\langle \dfrac{1}{2},\, 7\right\rangle \setminus \left(-3,\, 4\dfrac{1}{2}\right\rangle = \left(4\dfrac{1}{2},\, 7\right\rangle$$ Zwróć uwagę, że punkt $4\frac{1}{2}$ należy do przedziału $P$, dlatego po odjęciu zbioru $P$ lewy koniec różnicy staje się otwarty: $\left(4\frac{1}{2},\, 7\right\rangle$.
Liczby całkowite leżące w tym przedziale to: $$\mathbb{C} \cap (Q \setminus P) = \{5,\, 6,\, 7\}$$ Największą liczbą całkowitą z tego zbioru jest liczba $7$.
Podpunkt c) Podanie przykładu liczby niewymiernej ze zbioru $P \setminus Q$:
Różnica zbiorów $P \setminus Q$ składa się z liczb należących do $P$, z wyłączeniem liczb wchodzących w skład $Q$: $$P \setminus Q = \left(-3,\, 4\dfrac{1}{2}\right\rangle \setminus \left\langle \dfrac{1}{2},\, 7\right\rangle = \left(-3,\, \dfrac{1}{2}\right)$$ Punkt $\frac{1}{2}$ należy do przedziału $Q$, więc po jego odjęciu prawy koniec różnicy jest otwarty: $\left(-3,\, \frac{1}{2}\right)$.
Szukamy liczby niewymiernej leżącej w przedziale $\left(-3,\, 0{,}5\right)$. Wybieramy na przykład: $$x = -\sqrt{2} \approx -1{,}4142\dots$$ Ponieważ $-3 < -\sqrt{2} < 0{,}5$ oraz pierwiastek kwadratowy z liczby 2 jest liczbą niewymierną ($-\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$), liczba $-\sqrt{2}$ spełnia wszystkie warunki zadania.
Podpunkt d) Podanie liczby wymiernej z iloczynu $P \cap Q$, której odwrotność też należy do $P \cap Q$:
Część wspólna (iloczyn) obu przedziałów to zbiór punktów należących jednocześnie do $P$ i do $Q$: $$P \cap Q = \left(-3,\, 4\dfrac{1}{2}\right\rangle \cap \left\langle \dfrac{1}{2},\, 7\right\rangle = \left\langle \dfrac{1}{2},\, 4\dfrac{1}{2}\right\rangle = [0{,}5;\, 4{,}5]$$ Poszukujemy liczby wymiernej $x \in \mathbb{Q}$ takiej, że: $$x \in [0{,}5;\, 4{,}5] \quad \text{oraz} \quad \dfrac{1}{x} \in [0{,}5;\, 4{,}5]$$ Przetestujmy proste liczby wymierne: $$\begin{aligned} \text{Dla } x &= 1 \in [0{,}5;\, 4{,}5]: \quad \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{1} = 1 \in [0{,}5;\, 4{,}5] \\[8pt] \text{Dla } x &= 2 \in [0{,}5;\, 4{,}5]: \quad \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 \in [0{,}5;\, 4{,}5] \\[8pt] \text{Dla } x &= \dfrac{1}{2} \in [0{,}5;\, 4{,}5]: \quad \dfrac{1}{x} = 2 \in [0{,}5;\, 4{,}5] \end{aligned}$$ Prawidłową odpowiedzią jest zatem dowolna z tych liczb, na przykład liczba $1$ (lub $2$, bądź $\frac{1}{2}$).

Odpowiedź:
a) $0$ (przyjmując standard szkolny $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$; w przypadku przyjęcia $\mathbb{N}_+$ jest to liczba $1$)

b) $7$

c) np. $-\sqrt{2}$ (lub $-\sqrt{3}$, $-1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$)

d) np. $1$ (ponieważ $\dfrac{1}{1} = 1$) lub $2$ (ponieważ $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$)

Zadanie 5

Uroczysty jubileusz 80-lecia działalności miejskiego ogrodu dendrologicznego zorganizowano w piątek, 20 września 2019 roku. Ustal, jakim dniem tygodnia był dzień oficjalnej inauguracji tego ogrodu, która odbyła się 20 września 1939 roku.

Wskazówki:

Wyznacz dokładną liczbę lat, jaka upłynęła między 20 września 1939 roku a 20 września 2019 roku.
Ustal, ile w tym okresie wystąpiło lat przestępnych (pamiętając, że rok 2000 dzieli się przez 400, więc był rokiem przestępnym, a dodatkowy dzień 29 lutego musi przypadać wewnątrz analizowanego przedziału).
Zauważ, że rok zwykły ($365\text{ dni}$) przesuwa dzień tygodnia o $1$ dzień do przodu ($365 = 52 \cdot 7 + 1$), natomiast rok przestępny ($366\text{ dni}$) przesuwa go o $2$ dni do przodu ($366 = 52 \cdot 7 + 2$).
Wyznacz całkowite przesunięcie dni, oblicz resztę z dzielenia tej liczby przez $7$, a następnie cofnij się o wyznaczoną liczbę dni od piątku.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie liczby lat oraz identyfikacja lat przestępnych:
Pomiędzy 20 września 1939 roku a 20 września 2019 roku upłynęło dokładnie: $$ 2019 - 1939 = 80\text{ lat} $$ W kalendarzu gregoriańskim rok jest przestępny, gdy dzieli się przez 4, z wyjątkiem lat zakończonych dwoma zerami, chyba że dzielą się przez 400. Jedynym rokiem wiekowym w tym przedziale jest rok $2000$, który jako podzielny przez 400 był rokiem przestępnym.

Ponieważ analizę rozpoczynamy 20 września 1939 roku, pierwszym rokiem przestępnym, którego dzień 29 lutego mieści się w badanym okresie, jest rok $1940$. Ostatnim rokiem przestępnym przed 20 września 2019 roku jest rok $2016$. Wszystkie lata przestępne w tym okresie tworzą ciąg: $$ 1940, 1944, 1948, \dots, 2016 $$ Liczbę lat przestępnych $l_p$ obliczamy ze wzoru: $$ \begin{aligned} l_p &= \dfrac{2016 - 1940}{4} + 1 \\[8pt] &= \dfrac{76}{4} + 1 \\[8pt] &= 19 + 1 = 20\text{ lat przestępnych} \end{aligned} $$ Liczba pozostałych lat zwykłych $l_z$ wynosi zatem: $$ l_z = 80 - 20 = 60\text{ lat zwykłych} $$
Obliczenie całkowitego przesunięcia dni tygodnia:
Sposób I (Rozbicie na dni wnoszone przez lata zwykłe i przestępne):
Każdy rok zwykły ma $365$ dni, co daje $52$ pełne tygodnie oraz $1$ dzień naddatku: $$ 365 = 52 \cdot 7 + 1 $$ Każdy rok przestępny ma $366$ dni, co daje $52$ pełne tygodnie oraz $2$ dni naddatku: $$ 366 = 52 \cdot 7 + 2 $$ Łączna liczba dni przesunięcia wynosi: $$ \begin{aligned} D &= 60 \cdot 1 + 20 \cdot 2 \\[8pt] &= 60 + 40 \\[8pt] &= 100\text{ dni} \end{aligned} $$
Sposób II (Przesunięcie bazowe plus korekta na lata przestępne):
Możemy przyjąć, że każdy z 80 lat przesuwa dzień tygodnia o co najmniej 1 dzień. Następnie dodajemy po jednym dodatkowym dniu za każdy rok przestępny (dodatkowy 29 lutego): $$ \begin{aligned} D &= 80 \cdot 1 + 20 \\[8pt] &= 100\text{ dni} \end{aligned} $$
Analiza modularna i cofnięcie daty w kalendarzu:
Dzielimy całkowite przesunięcie $100\text{ dni}$ przez liczbę dni w tygodniu ($7$), aby wyznaczyć liczbę pełnych cykli tygodniowych oraz resztę: $$ \begin{aligned} 100 : 7 &= 14\text{ r. } 2 \\[8pt] 100 &= 14 \cdot 7 + 2 \end{aligned} $$ Oznacza to, że po upływie 80 lat dzień tygodnia przesunął się o 14 pełnych tygodni i dodatkowo o $2$ dni do przodu.

Skoro dzień 20 września 2019 roku był piątkiem, to aby wyznaczyć dzień tygodnia 80 lat wcześniej (20 września 1939 roku), musimy cofnąć się o $2$ dni od piątku: $$ \begin{aligned} \text{piątek} - 1\text{ dzień} &= \text{czwartek} \\[8pt] \text{piątek} - 2\text{ dni} &= \text{środa} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
Dzień 20 września 1939 roku był środą.

Zadanie 6

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste spełniające poniższe równania:

a) $3x^2 = 48$

b) $(x - 3)(3x + 15) = 0$

c) $x^2 = 7x$

d) $3(2 - 4x) = 8 - 12x$

e) $(x - 7)^2 = 0$

f) $(2x - 5) \cdot 3 = \dfrac{12x + 8}{2} - 19$

g) $\dfrac{3x - 2}{x + 2} = 5$

h) $\sqrt{x^2 + 25} = 13$

i) $5\sqrt{x + 7} = 0$

Wskazówki:

Postać iloczynowa: Gdy iloczyn wyrażeń jest równy zero, przyrównujemy każdy z czynników oddzielnie do zera ($A \cdot B = 0 \iff A = 0$ lub $B = 0$). Nie ma wówczas potrzeby wymnażania nawiasów ani liczenia wyróżnika $\Delta$.
Uwaga na utratę rozwiązań: W równaniach typu $x^2 = 7x$ kategorycznie nie wolno dzielić obu stron przez niewiadomą $x$. Zamiast tego przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i wyłączamy $x$ przed nawias, aby nie pominąć rozwiązania $x = 0$.
Dziedzina ułamków i pierwiastków: W równaniach wymiernych zawsze zastrzegamy, że mianownik nie może być zerem. Z kolei pod pierwiastkiem stopnia parzystego wyrażenie musi być nieujemne ($\ge 0$).
Uwaga na fałszywe uproszczenia pierwiastków: Wyrażenie pod pierwiastkiem będące sumą (np. $\sqrt{x^2 + 25}$) nie podlega pierwiastkowaniu składnik po składniku! Pamiętaj, że $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

a) Rozwiązujemy równanie $3x^2 = 48$:
Dzielimy obie strony równania przez $3$: $$x^2 = 16$$ Szukamy liczb rzeczywistych, których kwadrat daje $16$. Pamiętamy, że równanie kwadratowe w tej postaci posiada dwa rozwiązania o przeciwnych znakach: $$x = 4 \quad \text{lub} \quad x = -4$$
Uwaga na typowy błąd: Częstym błędem jest podanie tylko rozwiązania dodatniego $x = 4$. Zawsze należy pamiętać o rozwiązaniu ujemnym, ponieważ $(-4)^2 = 16$.
b) Rozwiązujemy równanie $(x - 3)(3x + 15) = 0$:
Równanie znajduje się w postaci iloczynowej. Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem: $$x - 3 = 0 \quad \text{lub} \quad 3x + 15 = 0$$ Rozwiązujemy oba powstałe równania liniowe: $$\begin{aligned} x - 3 &= 0 \\[8pt] x &= 3 \end{aligned}$$ oraz: $$\begin{aligned} 3x + 15 &= 0 \\[8pt] 3x &= -15 \\[8pt] x &= -5 \end{aligned}$$ Otrzymujemy dwa rozwiązania: $x = 3$ oraz $x = -5$.

Czego nie robić i dlaczego: Kategorycznie nie należy wymnażać nawiasów do postaci ogólnej $3x^2 + 6x - 45 = 0$ i liczyć wyróżnika $\Delta$. Jest to niepotrzebna strata czasu, która dodatkowo stwarza ryzyko błędów rachunkowych.
c) Rozwiązujemy równanie $x^2 = 7x$:
Przenosimy wyraz $7x$ na lewą stronę, aby po prawej stronie uzyskać zero: $$x^2 - 7x = 0$$ Wyłączamy wspólny czynnik $x$ przed nawias: $$x(x - 7) = 0$$ Korzystamy z własności iloczynu zerowego: $$x = 0 \quad \text{lub} \quad x - 7 = 0 \implies x = 7$$ Rozwiązaniami są liczby: $x = 0$ oraz $x = 7$.

Czego KATEGORYCZNIE NIE WOLNO robić i dlaczego: Nie wolno dzielić obu stron wyjściowego równania przez $x$ w celu otrzymania $x = 7$. Dzielenie przez niewiadomą, która może przyjmować wartość $0$, jest niedozwolone i prowadzi do bezpowrotnej utraty pierwiastka $x = 0$.
d) Rozwiązujemy równanie $3(2 - 4x) = 8 - 12x$:
Wymnażamy liczbę stojącą przed nawiasem przez każdy składnik wewnątrz nawiasu: $$6 - 12x = 8 - 12x$$ Dodajemy $12x$ do obu stron równania: $$\begin{aligned} 6 - 12x + 12x &= 8 - 12x + 12x \\[8pt] 6 &= 8 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy równość liczbową sprzeczną ($6 \neq 8$). Równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych: $$x \in \emptyset$$
Uwaga na typowy błąd: Sprzeczność liczbowa oznacza brak rozwiązań. Nie należy mylić jej z tożsamością ($0 = 0$).
e) Rozwiązujemy równanie $(x - 7)^2 = 0$:
Kwadrat dowolnego wyrażenia rzeczywistego jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy samo to wyrażenie jest równe zero: $$\begin{aligned} x - 7 &= 0 \\[8pt] x &= 7 \end{aligned}$$ Równanie posiada jedno rozwiązanie podwójne: $x = 7$.

Czego nie robić i dlaczego: Nie ma potrzeby rozpisywania wyrażenia wzorem skróconego mnożenia na $x^2 - 14x + 49 = 0$. Rozpoznanie, że $a^2 = 0 \iff a = 0$, pozwala rozwiązać równanie bezpośrednio.
f) Rozwiązujemy równanie $(2x - 5) \cdot 3 = \dfrac{12x + 8}{2} - 19$:
Wymnażamy lewą stronę oraz dzielimy każdy składnik licznika prawej strony przez mianownik: $$\begin{aligned} (2x - 5) \cdot 3 &= 6x - 15 \\[8pt] \dfrac{12x + 8}{2} - 19 &= (6x + 4) - 19 \\[8pt] &= 6x - 15 \end{aligned}$$ Zestawiamy obie strony równania: $$6x - 15 = 6x - 15$$ Odejmując $6x$ i dodając $15$ do obu stron, otrzymujemy: $$0 = 0$$ Otrzymana równość tożsamościowa oznacza, że równanie jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą: $$x \in \mathbb{R}$$
Czego nie robić i dlaczego: Przy dzieleniu ułamka $\dfrac{12x + 8}{2}$ kategorycznie nie wolno skracać liczby $2$ tylko z wyrazem $12x$. Dzielnik $2$ dotyczy całej sumy w liczniku. Ponadto wynik $0 = 0$ nie oznacza, że $x = 0$, lecz że każda liczba rzeczywista spełnia to równanie.
g) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{3x - 2}{x + 2} = 5$:
Ustalamy dziedzinę równania – mianownik nie może być równy zero: $$\begin{aligned} x + 2 &\neq 0 \\[8pt] x &\neq -2 \end{aligned}$$ Zatem dziedzina to $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

Mnożymy obie strony równania przez mianownik $(x + 2)$: $$3x - 2 = 5(x + 2)$$ Wymnażamy nawias po prawej stronie: $$3x - 2 = 5x + 10$$ Przenosimy wyrażenia z niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} 3x - 5x &= 10 + 2 \\[8pt] -2x &= 12 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony przez $-2$: $$x = -6$$ Sprawdzamy z dziedziną: $-6 \neq -2$, więc $x = -6 \in D$. Rozwiązaniem jest $x = -6$.

Uwaga na typowy błąd: W równaniach wymiernych zawsze sprawdzaj zgodność otrzymanego wyniku z dziedziną. Gdyby wynikiem było $-2$, musielibyśmy je odrzucić.
h) Rozwiązujemy równanie $\sqrt{x^2 + 25} = 13$:
Ustalamy dziedzinę: ponieważ $x^2 \ge 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$, to $x^2 + 25 \ge 25 > 0$. Wyrażenie podpierwiastkowe jest zawsze dodatnie, więc $D = \mathbb{R}$.

Ponieważ obie strony równania są nieujemne, podnosimy je obustronnie do kwadratu: $$\begin{aligned} \left(\sqrt{x^2 + 25}\right)^2 &= 13^2 \\[8pt] x^2 + 25 &= 169 \end{aligned}$$ Odejmujemy $25$ od obu stron równania: $$\begin{aligned} x^2 &= 169 - 25 \\[8pt] x^2 &= 144 \end{aligned}$$ Wyznaczamy liczby, których kwadrat wynosi $144$: $$x = 12 \quad \text{lub} \quad x = -12$$ Oba rozwiązania spełniają równanie.

Czego KATEGORYCZNIE NIE WOLNO robić i dlaczego: Kategorycznym błędem jest zapisanie $\sqrt{x^2 + 25} = x + 5$. Pierwiastek sumy nie jest równy sumie pierwiastków ($\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$). Taki błędny krok prowadziłby do $x + 5 = 13 \implies x = 8$, co po podstawieniu daje $\sqrt{8^2 + 25} = \sqrt{89} \neq 13$.
i) Rozwiązujemy równanie $5\sqrt{x + 7} = 0$:
Ustalamy dziedzinę równania – wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne: $$\begin{aligned} x + 7 &\ge 0 \\[8pt] x &\ge -7 \end{aligned}$$ Zatem dziedzina to $D = [-7, +\infty)$.

Dzielimy obie strony równania przez $5$: $$\sqrt{x + 7} = 0$$ Pierwiastek kwadratowy jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy liczba pod nim wynosi zero: $$\begin{aligned} x + 7 &= 0 \\[8pt] x &= -7 \end{aligned}$$ Sprawdzamy z dziedziną: $-7 \ge -7$, zatem liczba $-7 \in D$. Rozwiązaniem jest $x = -7$.

Odpowiedź:
a) $x = -4$ lub $x = 4$

b) $x = -5$ lub $x = 3$

c) $x = 0$ lub $x = 7$

d) Równanie sprzeczne – brak rozwiązań ($x \in \emptyset$)

e) $x = 7$

f) Równanie tożsamościowe – nieskończenie wiele rozwiązań ($x \in \mathbb{R}$)

g) $x = -6$

h) $x = -12$ lub $x = 12$

i) $x = -7$

Zadanie 7

Kwadrat mniejszej z dwóch kolejnych dodatnich liczb parzystych okazuje się o $156$ mniejszy od iloczynu tych dwóch liczb. Wyznacz obie te liczby.

Wskazówki:

Każde dwie kolejne liczby parzyste różnią się od siebie dokładnie o $2$. Oznaczając mniejszą liczbę przez $n$, kolejną liczbę parzystą zapiszesz jako $n + 2$.
Zapisz iloczyn obu liczb w postaci wyrażenia algebraicznego z nawiasem i ułóż równanie, porównując ten iloczyn z kwadratem mniejszej liczby powiększonym o podaną w zadaniu różnicę.
Po rozwinięciu nawiasów składniki kwadratowe ulegną redukcji, co sprowadzi zadanie do prostego równania liniowego z jedną niewiadomą.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie zależności i rozwiązanie za pomocą zmiennej $n$ (Sposób I):
Niech $n$ oznacza mniejszą z poszukiwanych dodatnich liczb parzystych ($n \in \mathbb{N}$). Wówczas kolejna liczba parzysta jest równa $n + 2$.
Iloczyn tych dwóch liczb wynosi: $$ n(n + 2) $$ Zgodnie z treścią zadania iloczyn ten jest o $156$ większy od kwadratu liczby mniejszej ($n^2$), co zapisujemy w postaci równania: $$ n(n + 2) - n^2 = 156 $$ Wymnażamy wyrażenie w nawiasie: $$ \begin{aligned} n^2 + 2n - n^2 &= 156 \\[8pt] 2n &= 156 \end{aligned} $$ Dzielimy obie strony równania przez współczynnik $2$: $$ \begin{aligned} n &= \dfrac{156}{2} \\[8pt] n &= 78 \end{aligned} $$ Obliczamy drugą, większą liczbę parzystą: $$ n + 2 = 78 + 2 = 80 $$
Zapis z wykorzystaniem ogólnej postaci liczb parzystych (Sposób II):
Każdą dodatnią liczbę naturalną parzystą można zapisać jako $2k$, gdzie $k \in \mathbb{N}^+$. Następna po niej liczba parzysta ma postać $2k + 2$.
Zapisujemy równanie wynikające z treści zadania: $$ 2k(2k + 2) = (2k)^2 + 156 $$ Wykonujemy potęgowanie oraz mnożenie: $$ \begin{aligned} 4k^2 + 4k &= 4k^2 + 156 \\[8pt] 4k &= 156 \\[8pt] k &= \dfrac{156}{4} \\[8pt] k &= 39 \end{aligned} $$ Podstawiamy wartość $k = 39$ do wyjściowych wzorów na liczby parzyste: $$ \begin{aligned} \text{mniejsza liczba: } & 2k = 2 \cdot 39 = 78 \\[8pt] \text{większa liczba: } & 2k + 2 = 78 + 2 = 80 \end{aligned} $$
Weryfikacja poprawności rozwiązania:
Sprawdzamy, czy wyznaczone liczby $78$ i $80$ spełniają warunki zadania: $$ \begin{aligned} 78^2 &= 6084 \\[8pt] 78 \cdot 80 &= 6240 \\[8pt] 6240 - 6084 &= 156 \end{aligned} $$ Otrzymana różnica jest zgodna z treścią zadania.

Odpowiedź:
Poszukiwanymi liczbami są $78$ oraz $80$.

Grupa B

Zadanie 1

Nieskończone rozwinięcie dziesiętne $0,(45)$ przedstawia liczbę:

A. $\dfrac{5}{11}$

B. $\dfrac{9}{20}$

C. $\dfrac{45}{101}$

D. niewymierną

Zadanie 2

Rozważmy przedziały liczbowe $A = \langle -3, 5)$, $B = (1, 8\rangle$ oraz $C = (2, 7\rangle$. Najmniejszą liczbą naturalną należącą do zbioru $B \setminus (A \cap C)$ jest liczba:

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $5$

Zadanie 3

W palarni kawy kilogram ziaren Arabiki jest o $20\%$ droższy od kilograma ziaren Robusty. Oznacza to, że kilogram Robusty jest tańszy od kilograma Arabiki o:

A. $16\dfrac{2}{3}\%$

B. $20\%$

C. $25\%$

D. $80\%$

Zadanie 4

Zaznacz na osi liczbowej przedziały: $$K = \left(-5,\, 2\dfrac{1}{2}\right\rangle \quad \text{oraz} \quad L = \left\langle \dfrac{1}{2},\, 6\right\rangle$$ Następnie wyznacz:

a) najmniejszą liczbę ze zbioru liczb naturalnych należącą do sumy $K \cup L$;

b) największą liczbę całkowitą wchodzącą w skład różnicy zbiorów $L \setminus K$;

c) dowolną liczbę niewymierną będącą elementem różnicy zbiorów $K \setminus L$;

d) przykładową liczbę wymierną należącą do iloczynu $K \cap L$, której odwrotność również zawiera się w iloczynie $K \cap L$.

Zadanie 5

W sobotę, 1 czerwca 2024 roku, zorganizowano uroczystość diamentowego jubileuszu 60-lecia oddania do użytku miejskiej hydroelektrowni. Jakim dniem tygodnia był dzień 1 czerwca 1964 roku, w którym elektrownia rozpoczęła wytwarzanie energii?

Zadanie 6

Znajdź zbiór rozwiązań każdego z poniższych równań w zbiorze liczb rzeczywistych:

a) $5x^2 = 45$

b) $(x + 4)(3x - 9) = 0$

c) $x^2 = 8x$

d) $4(2 - 5x) = 11 - 20x$

e) $(12 - x)^2 = 0$

f) $(4x - 3) \cdot 2 = \dfrac{16x + 10}{2} - 11$

g) $\dfrac{4x - 5}{x + 3} = 3$

h) $\sqrt{x^2 + 144} = 15$

i) $4\sqrt{x - 3} = 0$

Zadanie 7

Gdy od iloczynu dwóch kolejnych liczb naturalnych parzystych odejmiemy kwadrat mniejszej z nich, otrzymamy wynik równy $96$. Jakie to liczby?

1 Zbiory liczbowe. Liczby rzeczywiste

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Zadanie 7

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Zadanie 7

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋