Zbiory liczbowe. Liczby rzeczywiste sprawdzian 3 LiczBit

1 Zbiory liczbowe. Liczby rzeczywiste

Sprawdzian 3

Grupa A

Zadanie 1

Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci, wykonując odpowiednie skracanie ułamków:

a) $\dfrac{\sqrt{21} - \sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

b) $\dfrac{0,4\pi - 2,8}{-0,4}$

Wskazówki:

W podpunkcie a) skorzystaj z własności iloczynu pod pierwiastkiem $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, aby zauważyć wspólny czynnik w liczniku, lub rozbij wyrażenie na różnicę dwóch ułamków o tym samym mianowniku.
W podpunkcie b) wyłącz wspólny czynnik liczbowy przed nawias w liczniku lub podziel każdy składnik sumy przez mianownik, pamiętając o regułach znaków przy dzieleniu przez liczbę ujemną.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Upraszczanie wyrażenia $\dfrac{\sqrt{21} - \sqrt{7}}{\sqrt{7}}$:
Zauważmy, że liczbę podpierwiastkową $21$ możemy zapisać jako iloczyn $7 \cdot 3$, co daje: $$\sqrt{21} = \sqrt{7 \cdot 3} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{3}$$ Zadanie możemy rozwiązać na dwa równoważne sposoby.

Sposób I – Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias w liczniku:
W liczniku ułamka wyłączamy wspólny czynnik $\sqrt{7}$ przed nawias: $$\sqrt{21} - \sqrt{7} = \sqrt{7}\cdot\sqrt{3} - \sqrt{7} \cdot 1 = \sqrt{7}(\sqrt{3} - 1)$$ Podstawiamy przekształcony licznik do ułamka i skracamy przez $\sqrt{7}$: $$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{21} - \sqrt{7}}{\sqrt{7}} &= \dfrac{\sqrt{7}(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{7}} \\[8pt] &= \sqrt{3} - 1 \end{aligned}$$ Sposób II – Rozbicie na różnicę dwóch ułamków:
Korzystamy z reguły dzielenia sumy algebraicznej przez liczbę $\dfrac{a - b}{c} = \dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c}$: $$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{21} - \sqrt{7}}{\sqrt{7}} &= \dfrac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}} - \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \\[8pt] &= \sqrt{\dfrac{21}{7}} - 1 \\[8pt] &= \sqrt{3} - 1 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Upraszczanie wyrażenia $\dfrac{0,4\pi - 2,8}{-0,4}$:
Zauważmy, że liczba $2,8$ jest wielokrotnością liczby $0,4$, ponieważ $2,8 = 0,4 \cdot 7$.

Sposób I – Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias w liczniku:
Wyłączamy czynnik $0,4$ przed nawias w liczniku: $$0,4\pi - 2,8 = 0,4(\pi - 7)$$ Wstawiamy wyrażenie do ułamka, skracamy licznik i mianownik przez $0,4$, a następnie uwzględniamy minus w mianowniku: $$\begin{aligned} \dfrac{0,4\pi - 2,8}{-0,4} &= \dfrac{0,4(\pi - 7)}{-0,4} \\[8pt] &= \dfrac{\pi - 7}{-1} \\[8pt] &= -(\pi - 7) \\[8pt] &= -\pi + 7 = 7 - \pi \end{aligned}$$ Sposób II – Dzielenie każdego wyrazu przez mianownik:
Rozbijamy wyrażenie na dwa ułamki: $$\begin{aligned} \dfrac{0,4\pi - 2,8}{-0,4} &= \dfrac{0,4\pi}{-0,4} - \dfrac{2,8}{-0,4} \\[8pt] &= -\pi - (-7) \\[8pt] &= -\pi + 7 = 7 - \pi \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $\sqrt{3} - 1$

b) $7 - \pi$

Zadanie 2

Dane są trzy liczby: $$x = \text{NWD}(60, 84)$$ $$y = 2|2 - \sqrt{5}| - |2\sqrt{5} - 3| + |-4| \cdot |3|$$ $$z = \dfrac{1\frac{3}{10} + 2,4 : 3\frac{3}{7}}{0,(3)}$$ Wyznacz wartości liczb $x, y, z$, a następnie uporządkuj je malejąco (od największej do najmniejszej).

Wskazówki:

Aby wyznaczyć największy wspólny dzielnik, rozłóż obie liczby na czynniki pierwsze za pomocą pionowej kreski i wymnóż ich wspólne czynniki pierwsze.
Przed opuszczeniem wartości bezwzględnej oszacuj znak wyrażenia wewnątrz modułu – jeśli wartość jest ujemna, zmieniamy znak każdego wyrazu na przeciwny.
Ułamek okresowy $0,(3)$ zamień na ułamek zwykły, a w liczniku pamiętaj o kolejności wykonywania działań (najpierw dzielenie, potem dodawanie).

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie wartości liczby $x = \text{NWD}(60, 84)$:
Rozkładamy liczby $60$ oraz $84$ na czynniki pierwsze za pomocą tradycyjnego zapisu z pionową kreską: $$\begin{array}{r|l} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r|l} 84 & 2 \\ 42 & 2 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}$$ Wypisujemy rozkłady w postaci iloczynów: $$\begin{aligned} 60 &= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \\[8pt] 84 &= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \end{aligned}$$ Wspólnymi czynnikami pierwszymi obu liczb są dwie dwójki oraz jedna trójka. Największy wspólny dzielnik wynosi: $$x = \text{NWD}(60, 84) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$$
Wyznaczenie wartości liczby $y = 2|2 - \sqrt{5}| - |2\sqrt{5} - 3| + |-4| \cdot |3|$:
Szacujemy znak wyrażeń pod poszczególnymi wartościami bezwzględnymi:
- Dla $|2 - \sqrt{5}|$: ponieważ $2 = \sqrt{4}$ oraz $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, wartość pod modułem jest ujemna ($2 - \sqrt{5} < 0$). Zgodnie z definicji opuszczamy moduł ze zmianą znaków: $$|2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2$$
- Dla $|2\sqrt{5} - 3|$: włączamy współczynnik pod pierwiastek $2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$. Ponieważ $3 = \sqrt{9}$ oraz $\sqrt{20} > \sqrt{9}$, wartość pod modułem jest dodatnia ($2\sqrt{5} - 3 > 0$). Moduł opuszczamy bez zmiany znaków: $$|2\sqrt{5} - 3| = 2\sqrt{5} - 3$$
- Dla iloczynu liczb całkowitych: $|-4| = 4$ oraz $|3| = 3$, stąd: $$|-4| \cdot |3| = 4 \cdot 3 = 12$$
Wstawiamy otrzymane wyrażenia i redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} y &= 2(\sqrt{5} - 2) - (2\sqrt{5} - 3) + 12 \\[8pt] &= 2\sqrt{5} - 4 - 2\sqrt{5} + 3 + 12 \\[8pt] &= 11 \end{aligned}$$
Wyznaczenie wartości liczby $z = \dfrac{1\frac{3}{10} + 2,4 : 3\frac{3}{7}}{0,(3)}$:
Zamieniamy ułamek okresowy $0,(3)$ na ułamek zwykły: $$0,(3) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$$ Obliczamy wartość dzielenia w liczniku, zamieniając ułamek dziesiętny i liczbę mieszaną na ułamki niewłaściwe: $$\begin{aligned} 2,4 : 3\frac{3}{7} &= \dfrac{24}{10} : \dfrac{24}{7} \\[8pt] &= \dfrac{12}{5} \cdot \dfrac{7}{24} \\[8pt] &= \dfrac{1 \cdot 7}{5 \cdot 2} = \dfrac{7}{10} \end{aligned}$$ Dodajemy składniki w liczniku: $$1\frac{3}{10} + \dfrac{7}{10} = \dfrac{13}{10} + \dfrac{7}{10} = \dfrac{20}{10} = 2$$ Dzielimy otrzymany licznik przez mianownik: $$z = \dfrac{2}{\frac{1}{3}} = 2 \cdot \dfrac{3}{1} = 6$$
Porównanie liczb i uporządkowanie malejące:
Zestawiamy wyznaczone wartości liczbowe: $$x = 12, \quad y = 11, \quad z = 6$$ Porównując ich wielkości: $$12 > 11 > 6 \implies x > y > z$$ Graficzna ilustracja położenia liczb na osi liczbowej:

Odpowiedź:
Liczby uporządkowane malejąco: $x > y > z$ (czyli $12 > 11 > 6$).

Zadanie 3

W przestrzeni liczb rzeczywistych zdefiniowano dwa zbiory $P$ oraz $Q$ jako sumy przedziałów liczbowych: $$P = (-\infty;\; 3\rangle \cup \langle 8;\; +\infty)$$ $$Q = (-\infty;\; 0\rangle \cup \langle 12;\; +\infty)$$ Wyznacz zbiór $Q' \setminus P$ (gdzie $Q'$ oznacza dopełnienie zbioru $Q$ w zbiorze liczb rzeczywistych) oraz przedstaw uzyskany wynik graficznie na osi liczbowej.

Wskazówki:

Dopełnienie zbioru $Q$ w przestrzeni liczb rzeczywistych, oznaczane jako $Q'$, to zbiór wszystkich elementów należących do $\mathbb{R}$, które nie należą do $Q$ ($Q' = \mathbb{R} \setminus Q$).
Różnica zbiorów $Q' \setminus P$ składa się z tych liczb, które wchodzą w skład zbioru $Q'$, lecz nie należą do zbioru $P$.
Jeśli punkt brzegowy należy do odejmowanego zbioru $P$ (przedział jest przy nim domknięty), to zostaje usunięty – w zbiorze wynikowym powstaje przy tym punkcie brzeg otwarty.
Zadanie można rozwiązać dwoma równoważnymi sposobami: bezpośrednio odejmując przedziały na osi liczbowej lub stosując tożsamość rachunku zbiorów $Q' \setminus P = Q' \cap P'$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza zbiorów wyjściowych $P$ oraz $Q$:
Zbiory wyjściowe są określone na osi liczb rzeczywistych za pomocą sum przedziałów nieskończonych: $$P = (-\infty;\; 3\rangle \cup \langle 8;\; +\infty)$$ $$Q = (-\infty;\; 0\rangle \cup \langle 12;\; +\infty)$$ W obu zbiorach krańce przedziałów są domknięte, co oznacza, że punkty $3$ i $8$ należą do zbioru $P$, a punkty $0$ i $12$ należą do zbioru $Q$.
Wyznaczenie dopełnienia $Q'$ oraz wyznaczenie różnicy $Q' \setminus P$:
W pierwszym kroku wyznaczamy zbiór $Q'$, będący dopełnieniem zbioru $Q$ do całej osi liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$: $$\begin{aligned} Q' &= \mathbb{R} \setminus Q \\[8pt] &= \mathbb{R} \setminus ((-\infty;\; 0\rangle \cup \langle 12;\; +\infty)) \\[8pt] &= (0;\; 12) \end{aligned}$$ Punkty brzegowe $0$ oraz $12$ należały do zbioru $Q$ (nawiasy ostre $\langle$, $\rangle$), więc nie wchodzą w skład dopełnienia – przedział $Q'$ jest obustronnie otwarty.

Następnie wyznaczamy różnicę $Q' \setminus P$. Możemy to zrobić na dwa sposoby:

Sposób I – Bezpośrednie odejmowanie zbiorów na osi liczbowej:
Bierzemy przedział $Q' = (0;\; 12)$ i usuwamy z niego wszystkie liczby, które należą do zbioru $P = (-\infty;\; 3\rangle \cup \langle 8;\; +\infty)$: - Z lewej strony usuwamy liczby mniejsze bądź równe $3$, czyli przedział $(0;\; 3\rangle$. Ponieważ liczba $3$ należy do zbioru $P$, zostaje odrzucona, co daje lewy kraniec otwarty: $x > 3$. - Z prawej strony usuwamy liczby większe bądź równe $8$, czyli przedział $\langle 8;\; 12)$. Ponieważ liczba $8$ należy do zbioru $P$, zostaje odrzucona, co daje prawy kraniec otwarty: $x < 8$. W rezultacie otrzymujemy zbiór liczb leżących ściśle pomiędzy $3$ a $8$: $$Q' \setminus P = (3;\; 8)$$
Sposób II – Zastosowanie praw rachunku zbiorów i tożsamości iloczynu:
Różnicę dowolnych dwóch zbiorów $A \setminus B$ można zapisać jako iloczyn pierwszego zbioru z dopełnieniem drugiego: $A \setminus B = A \cap B'$. Zatem: $$Q' \setminus P = Q' \cap P'$$ Wyznaczamy dopełnienie zbioru $P$: $$\begin{aligned} P' &= \mathbb{R} \setminus P \\[8pt] &= \mathbb{R} \setminus ((-\infty;\; 3\rangle \cup \langle 8;\; +\infty)) \\[8pt] &= (3;\; 8) \end{aligned}$$ Podstawiamy wyznaczone zbiory do iloczynu: $$\begin{aligned} Q' \cap P' &= (0;\; 12) \cap (3;\; 8) \\[8pt] &= (3;\; 8) \end{aligned}$$ Ponieważ przedział $(3;\; 8)$ zawiera się całkowicie wewnątrz przedziału $(0;\; 12)$, ich część wspólna to dokładnie przedział $(3;\; 8)$.
Rysunek wynikowy – zaznaczenie wyznaczonego zbioru na osi liczbowej:
Zbiór $Q' \setminus P = (3;\; 8)$ jest przedziałem obustronnie otwartym. Na osi liczbowej zaznaczamy go pogrubioną linią pomiędzy liczbami $3$ i $8$, a na obu jego krańcach rysujemy kółka niezamalowane (otwarte), co wskazuje, że liczby $3$ i $8$ nie należą do tego zbioru.

Odpowiedź:
$Q' \setminus P = (3;\; 8)$

Zadanie 4

Sprawdź, czy liczba będąca rozwiązaniem równania liniowego $$3(2x - 1) - (x + 7) = 2(x + 4) - (x - 2)$$ spełnia nierówność $$\dfrac{2x + 1}{3} - \dfrac{x - 2}{4} \le \dfrac{x + 2}{6} + 1$$

Wskazówki:

Rozpocznij od wyznaczenia pierwiastka równania liniowego: wymnóż nawiasy, zredukuj wyrazy podobne i przenieś niewiadome na jedną stronę.
Rozwiązując nierówność z ułamkami, pomnóż obie jej strony przez najmniejszy wspólny mianownik (dla liczb 3, 4 i 6 jest to 12), aby pozbyć się kresek ułamkowych.
Zwróć szczególną uwagę na znak minus przed drugim ułamkiem – zmienia on znaki wszystkich wyrazów w liczniku po opuszczeniu kreski ułamkowej.
Zilustruj zbiór rozwiązań nierówności na osi liczbowej i zweryfikuj położenie wyznaczonej liczby względem otrzymanego przedziału.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozwiązanie równania liniowego z nawiasami:
Zapisujemy równanie z treści zadania: $$3(2x - 1) - (x + 7) = 2(x + 4) - (x - 2)$$ Wymnażamy czynniki stojące przed nawiasami po obu stronach równania: $$\begin{aligned} 6x - 3 - x - 7 &= 2x + 8 - x + 2 \\[8pt] 5x - 10 &= x + 10 \end{aligned}$$ Przenosimy wyrażenia z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a wyrazy wolne na prawą stronę: $$\begin{aligned} 5x - x &= 10 + 10 \\[8pt] 4x &= 20 \\[8pt] x &= 5 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem równania jest liczba $x = 5$.
Rozwiązanie nierówności liniowej z ułamkami:
Zapisujemy nierówność: $$\dfrac{2x + 1}{3} - \dfrac{x - 2}{4} \le \dfrac{x + 2}{6} + 1$$ Najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników 3, 4 i 6 jest liczba 12. Mnożymy obie strony nierówności przez 12: $$12 \cdot \left(\dfrac{2x + 1}{3}\right) - 12 \cdot \left(\dfrac{x - 2}{4}\right) \le 12 \cdot \left(\dfrac{x + 2}{6}\right) + 12 \cdot 1$$ Skracamy liczby z mianownikami: $$4(2x + 1) - 3(x - 2) \le 2(x + 2) + 12$$ Opuszczamy nawiasy, pamiętając, że $-3 \cdot (-2) = +6$: $$\begin{aligned} 8x + 4 - 3x + 6 &\le 2x + 4 + 12 \\[8pt] 5x + 10 &\le 2x + 16 \end{aligned}$$ Odejmujemy $2x$ oraz 10 od obu stron: $$\begin{aligned} 5x - 2x &\le 16 - 10 \\[8pt] 3x &\le 6 \\[8pt] x &\le 2 \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział domknięty prawostronnie: $$x \in (-\infty, 2]$$
Interpretacja graficzna na osi liczbowej i weryfikacja przynależności:
Sprawdzamy, czy wyliczona liczba $x = 5$ należy do przedziału $(-\infty, 2]$. Ponieważ $5 > 2$, liczba ta nie spełnia warunku $x \le 2$.

Odpowiedź:
Nie, rozwiązanie równania ($x = 5$) nie należy do zbioru rozwiązań nierówności ($x \in (-\infty, 2]$).

Zadanie 5

W spichlerzu gospodarstwa rolnego po zakończeniu dwóch etapów dystrybucji pozostały dokładnie $152\text{ tony}$ ziarna pszenicy. Wcześniej, w ramach pierwszej dostawy, ze spichlerza wywieziono $8\text{ ton}$ zboża, a podczas drugiej dostawy ubyło jeszcze $5\%$ aktualnie pozostałego w nim zapasu. Ustal, ile ton ziarna pszenicy znajdowało się w spichlerzu przed rozpoczęciem wywozu.

Wskazówki:

Zdefiniuj niewiadomą $x$ oznaczającą początkową masę ziarna w spichlerzu i zapisz wyrażenie opisujące masę po pierwszym etapie wywozu.
Pamiętaj, że ubytek $5\%$ odnosi się do zapasu pozostałego po pierwszym wywozie — oznacza to, że w magazynie zostało wtedy $95\%$ tej pośredniej ilości.
Zadanie można rozwiązać, układając równanie liniowe z jedną niewiadomą lub analizując proces od końca (metodą operacji odwrotnych).

Rozwiązanie krok po kroku:

Zdefiniowanie niewiadomej i ułożenie równania (Sposób I – metoda algebraiczna):
Niech $x$ oznacza początkową masę ziarna pszenicy w spichlerzu wyrażoną w tonach ($x > 8$).
W pierwszym etapie wywieziono $8\text{ t}$, zatem ilość ziarna, która pozostała, wynosiła: $$ x - 8 $$ W drugim etapie ubyło $5\%$ tej pozostałości. Obliczamy, jaki procent stanowiła masa końcowa: $$ 100\% - 5\% = 95\% = 0{,}95 $$ Masa ziarna po obu etapach wywozu wynosi zatem: $$ 0{,}95 \cdot (x - 8) $$ Z treści zadania wynika, że ostatecznie w spichlerzu pozostały $152\text{ tony}$. Otrzymujemy równanie: $$ 0{,}95 \cdot (x - 8) = 152 $$
Rozwiązanie równania liniowego z jedną niewiadomą:
Dzielimy obie strony równania przez $0{,}95$ (zapisując dzielnik jako ułamek $\dfrac{95}{100}$): $$ \begin{aligned} x - 8 &= \dfrac{152}{0{,}95} \\[8pt] x - 8 &= \dfrac{152 \cdot 100}{95} \\[8pt] x - 8 &= \dfrac{15200}{95} \\[8pt] x - 8 &= 160 \end{aligned} $$ Dodajemy $8$ do obu stron równania, aby wyznaczyć początkową masę $x$: $$ \begin{aligned} x &= 160 + 8 \\[8pt] x &= 168\text{ t} \end{aligned} $$
Rozwiązanie drogą analizy wstecznej (Sposób II – metoda od końca):
Możemy przeanalizować zmianę wielkości od stanu końcowego do początkowego: Po drugim wywozie w spichlerzu pozostały $152\text{ tony}$. Ponieważ w tym kroku ubyło $5\%$ ówczesnego stanu magazynowego, pozostałe $152\text{ t}$ odpowiadało dokładnie $95\%$ ilości ziarna przed drugą dostawą. Wyznaczamy tę ilość ($100\%$): $$ \begin{aligned} 95\% &\longrightarrow 152\text{ t} \\[8pt] 1\% &\longrightarrow \dfrac{152}{95} = 1{,}6\text{ t} \\[8pt] 100\% &\longrightarrow 1{,}6 \cdot 100 = 160\text{ t} \end{aligned} $$ Ilość ta ($160\text{ t}$) to masa ziarna po odjęciu pierwszych $8\text{ ton}$. Aby poznać stan początkowy, dodajemy z powrotem masę pierwszej dostawy: $$ 160\text{ t} + 8\text{ t} = 168\text{ t} $$

Odpowiedź:
Przed rozpoczęciem wywozu w spichlerzu znajdowało się $168\text{ ton}$ ziarna pszenicy.

Zadanie 6

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze, które dają się zapisać w postaci wyrażenia $\dfrac{k^2 + 42}{k}$, przy założeniu, że parametr $k$ jest pewną liczbą pierwszą.

Wskazówki:

Rozdziel wyrażenie wymierne na sumę dwóch składników poprzez dzielenie każdego wyrazu licznika przez mianownik.
Zauważ, że aby wartość wyrażenia była liczbą całkowitą, mianownik $k$ musi być naturalnym dzielnikiem liczby $42$.
Skorzystaj z faktu, że $k$ musi być liczbą pierwszą — ogranicza to poszukiwania wyłącznie do pierwszych dzielników liczby $42$.
Dla każdego dopuszczalnego $k$ oblicz wartość wyrażenia i zweryfikuj, czy otrzymany wynik jest liczbą pierwszą.

Rozwiązanie krok po kroku:

Przekształcenie algebraiczne ułamka do postaci sumy (Sposób I):
Rozpisujemy dany ułamek wymierny, dzieląc poszczególne składniki licznika przez mianownik $k$: $$ \begin{aligned} \dfrac{k^2 + 42}{k} &= \dfrac{k^2}{k} + \dfrac{42}{k} \\[8pt] &= k + \dfrac{42}{k} \end{aligned} $$ Ponieważ szukana wartość ma być liczbą pierwszą (a każda liczba pierwsza jest liczbą naturalną większą od $1$), całe wyrażenie musi przyjmować wartość całkowitą dodatnią. Skoro $k$ jest liczbą naturalną (pierwszą), to składnik $\dfrac{42}{k}$ również musi być liczbą całkowitą. Oznacza to, że $k$ musi być dzielnikiem liczby $42$.
Rozkład liczby $42$ na czynniki pierwsze:
Z treści zadania wynika, że liczba $k$ jest liczbą pierwszą. Wyznaczamy wszystkie dzielniki pierwsze liczby $42$, dokonując jej standardowego rozkładu na czynniki pierwsze: $$ \begin{array}{r|l} 42 & 2 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array} $$ Rozkład ten wynosi: $$ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 $$ Jedynymi liczbami pierwszymi będącymi dzielnikami liczby $42$ są zatem: $$ k \in \{2, 3, 7\} $$
Obliczenie i weryfikacja wartości wyrażenia dla poszczególnych dzielników pierwszych:
Sprawdzamy kolejno wartości wyrażenia dla każdego dopuszczalnego $k$:

Dla $k = 2$: $$ \begin{aligned} k + \dfrac{42}{k} &= 2 + \dfrac{42}{2} \\[8pt] &= 2 + 21 = 23 \end{aligned} $$ Liczba $23$ jest liczbą pierwszą (jej jedynymi dzielnikami naturalnymi są $1$ oraz $23$).

Dla $k = 3$: $$ \begin{aligned} k + \dfrac{42}{k} &= 3 + \dfrac{42}{3} \\[8pt] &= 3 + 14 = 17 \end{aligned} $$ Liczba $17$ jest liczbą pierwszą.

Dla $k = 7$: $$ \begin{aligned} k + \dfrac{42}{k} &= 7 + \dfrac{42}{7} \\[8pt] &= 7 + 6 = 13 \end{aligned} $$ Liczba $13$ jest liczbą pierwszą.
Alternatywne podejście przez iloczyn czynników (Sposób II):
Niech $P$ oznacza szukaną liczbę pierwszą. Zapisujemy równanie: $$ \dfrac{k^2 + 42}{k} = P $$ Mnożymy obie strony równania przez $k$ (gdzie $k > 0$): $$ k^2 + 42 = P \cdot k $$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą $k$ na jedną stronę: $$ \begin{aligned} P \cdot k - k^2 &= 42 \\[8pt] k(P - k) &= 42 \end{aligned} $$ Liczba $42$ została przedstawiona jako iloczyn dwóch liczb całkowitych: liczby pierwszej $k$ oraz czynnika $(P - k)$. Skoro $k$ jest liczbą pierwszą dzielącą $42$, to bezpośrednio otrzymujemy $k \in \{2, 3, 7\}$, co po wyznaczeniu $P = k + \dfrac{42}{k}$ daje ten sam zbiór rozwiązań.

Odpowiedź:
Szukanymi liczbami pierwszymi są $13$, $17$ oraz $23$.

Zadanie 7

Błąd procentowy popełniony przy wyznaczaniu przybliżenia z niedomiarem pewnej liczby wynosi $20\%$. Ustal dokładną wartość tej liczby, jeżeli jej podane przybliżenie jest równe $24$.

Wskazówki:

Błąd względny to iloraz błędu bezwzględnego oraz dokładnej (rzeczywistej) wartości szacowanej liczby, natomiast błąd procentowy jest błędem względnym wyrażonym w procentach.
W przypadku przybliżenia z niedomiarem wartość przybliżona $a$ jest mniejsza od wartości dokładnej $x$ ($a < x$), co oznacza, że błąd bezwzględny przyjmuje postać $|x - a| = x - a$.
Zadanie możesz rozwiązać klasycznie przez ułożenie równania liniowego z niewiadomą $x$ lub logicznie – wyznaczając procentowy udział przybliżenia w wartości dokładnej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie definicji błędu bezwzględnego i procentowego:
Oznaczmy przez $x$ dokładną wartość poszukiwanej liczby, a przez $a = 24$ jej przybliżenie z niedomiarem.
Ponieważ $a$ jest przybliżeniem z niedomiarem, zachodzi relacja $x > a$, czyli $x > 24$. Błąd bezwzględny $\Delta$ jest równy: $$\Delta = |x - a| = x - 24$$ Błąd procentowy $\delta_{\%}$ określa, jaki procent wartości dokładnej $x$ stanowi błąd bezwzględny: $$\delta_{\%} = \dfrac{|x - a|}{x} \cdot 100\% = \dfrac{x - 24}{x} \cdot 100\%$$
Sposób I – Wyznaczenie liczby z równania liniowego:
Wstawiamy znaną z treści zadania wartość błędu procentowego ($\delta_{\%} = 20\%$): $$\dfrac{x - 24}{x} \cdot 100\% = 20\%$$ Dzielimy obustronnie przez $100\%$: $$\dfrac{x - 24}{x} = 0{,}2$$ Mnożymy obie strony równania przez $x$ (przy założeniu $x \ne 0$): $$x - 24 = 0{,}2x$$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą $x$ na lewą stronę, a liczbę 24 na stronę prawą: $$\begin{aligned} x - 0{,}2x &= 24 \\[8pt] 0{,}8x &= 24 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $0{,}8$: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{24}{0{,}8} \\[8pt] &= \dfrac{240}{8} = 30 \end{aligned}$$
Sposób II – Wyznaczenie liczby poprzez dopełnienie procentowe:
Wzór na błąd procentowy możemy zapisać w postaci: $$\delta_{\%} = \dfrac{x - a}{x} \cdot 100\% = \left(1 - \dfrac{a}{x}\right) \cdot 100\%$$ Jeżeli błąd popełniony przy zaokrągleniu w dół stanowi $20\%$ wielkości dokładnej, to podane przybliżenie $a = 24$ stanowi pozostałe $80\%$ wartości dokładnej $x$: $$100\% - 20\% = 80\%$$ Zapisujemy zależność: $$0{,}8 \cdot x = 24$$ Stąd bezpośrednio otrzymujemy: $$x = \dfrac{24}{0{,}8} = 30$$

Odpowiedź:
Szukana liczba jest równa $30$.

Grupa B

Zadanie 1

Przedstaw poniższe wyrażenia w najprostszej postaci, wykonując odpowiednie skracanie ułamków:

a) $\dfrac{\sqrt{35} - \sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

b) $\dfrac{0,3\pi - 2,7}{-0,3}$

Zadanie 2

Dane są liczby $p, q, r$ określone następującymi wyrażeniami: $$p = \dfrac{2\frac{1}{2} + 3,5 : 2\frac{1}{3}}{0,(3)}$$ $$q = \text{NWD}(45, 75)$$ $$r = 2|1 - \sqrt{2}| - |2\sqrt{2} - 1| + |-2| \cdot |5|$$ Oblicz wartości liczb $p, q, r$ i uszereguj je w porządku malejącym (od wartości największej do najmniejszej).

Zadanie 3

Rozważmy dwa podzbiory liczb rzeczywistych $K$ oraz $L$ zdefiniowane za pomocą sum przedziałów: $$K = (-\infty;\; -2\rangle \cup \langle 5;\; +\infty)$$ $$L = (-\infty;\; -6\rangle \cup \langle 8;\; +\infty)$$ Wyznacz zbiór $L' \setminus K$ i zaznacz go na osi liczbowej.

Zadanie 4

Zbadaj, czy liczba spełniająca równanie $$4(x + 3) - 2(3x - 1) = 3(x + 8) - (2x + 4)$$ należy do zbioru rozwiązań nierówności $$\dfrac{3x - 1}{2} - \dfrac{2x + 3}{5} \ge \dfrac{x - 1}{10} - 4$$

Zadanie 5

W ekologicznym gospodarstwie sadowniczym zautomatyzowany system nawadniania pobrał ze zbiornika retencyjnego $10\text{ m}^3$ wody w pierwszym cyklu podlewania. W kolejnym cyklu zużycie wyniosło jeszcze $5\%$ aktualnego stanu rezerwy, po czym czujniki zarejestrowały, że w zbiorniku pozostało dokładnie $190\text{ m}^3$ cieczy. Oblicz początkową objętość wody znajdującej się w zbiorniku retencyjnym przed uruchomieniem nawadniania.

Zadanie 6

Ustal wszystkie wartości będące liczbami pierwszymi, które można przedstawić w postaci ułamka $\dfrac{m^2 + 70}{m}$, wiedząc, że liczba $m$ jest liczbą pierwszą.

Zadanie 7

Oszacowano wartość pewnej liczby z niedomiarem, uzyskując wynik równy $36$. Oblicz dokładną wartość tej liczby, wiedząc, że błąd procentowy tego przybliżenia wynosi $10\%$.

1 Zbiory liczbowe. Liczby rzeczywiste

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Zadanie 7

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Zadanie 7

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋