Ruch jednostajny prostoliniowy kartkówka LiczBit

2.4. Ruch jednostajny prostoliniowy

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Podczas prac wyburzeniowych w kamieniołomie wyznaczono strefę bezpiecznego schronienia w odległości $s = 45\text{ m}$ od miejsca założenia ładunku. Pirotechnik po zainicjowaniu zapłonu oddala się w kierunku schronu ruchem jednostajnym ze stałą prędkością $v_2 = 10{,}8\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$. Ładunek ma zostać zdetonowany za pomocą specjalnego lontu prochowego, który spala się powoli i jednostajnie z prędkością $v_1 = 2\text{ }\dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$. Oblicz, jaką co najmniej długość musi mieć ten lont, aby pracownik zdążył bezpiecznie dotrzeć do schronu przed nastąpieniem wybuchu.

Wskazówki:

Warunek bezpieczeństwa polega na tym, że czas spalania lontu $t_1$ musi być co najmniej równy czasowi biegu pirotechnika $t_2$ na bezpieczną odległość: $t_1 \ge t_2$.
Zarówno ruch pirotechnika, jak i proces spalania lontu odbywają się ze stałą prędkością (ruch jednostajny prostoliniowy, w którym droga wyraża się wzorem $s = v \cdot t$).
Przed wykonaniem obliczeń ujednolić jednostki wszystkich wielkości do układu SI: prędkość w $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ oraz prędkość w $\dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$ przelicz na $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

Dane i szukane:

Dane:
$s = 45\text{ m}$ (odległość do strefy bezpiecznej)
$v_2 = 10{,}8\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ (prędkość oddalania się pirotechnika)
$v_1 = 2\text{ }\dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$ (prędkość spalania lontu)

Szukane:
$l = ?$ (minimalna długość lontu)

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza warunków bezpieczeństwa:
W chwili zapalenia lontu pirotechnik rozpoczyna ruch z miejsca wybuchu ($x_1 = 0$) w stronę bezpiecznego schronu ($x_2 = 45\text{ m}$). Aby nie odniósł obrażeń, czas spalania lontu $t_1$ nie może być krótszy niż czas ewakuacji $t_2$. Graniczna (najmniejsza) długość lontu odpowiada sytuacji, w której oba czasy są sobie równe: $t_1 = t_2$.
Przeliczenie jednostek i wyznaczenie czasu ewakuacji pirotechnika:
Prędkość oddalania się pirotechnika wyrażona w kilometrach na godzinę przeliczamy na metry na sekundę, dzieląc przez $3{,}6$: $$ \begin{aligned} v_2 &= 10{,}8\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \\[8pt] &= \dfrac{10{,}8 \cdot 1000\text{ m}}{3600\text{ s}} = 3\text{ }\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{aligned} $$ Ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnym ($s = v_2 \cdot t_2$) wyznaczamy czas potrzebny na przebycie odległości $s = 45\text{ m}$: $$ \begin{aligned} t_2 &= \dfrac{s}{v_2} \\[8pt] &= \dfrac{45\text{ m}}{3\text{ }\dfrac{\text{m}}{\text{s}}} = 15\text{ s} \end{aligned} $$ Pirotechnik potrzebuje zatem co najmniej $15\text{ s}$ na bezpieczne opuszczenie strefy zagrożenia.
Wyznaczenie minimalnej długości lontu prochowego:
Czas palenia się lontu $t_1$ musi wynosić co najmniej tyle, ile czas ewakuacji pracownika ($t_1 = t_2 = 15\text{ s}$). Prędkość spalania lontu przeliczamy na metry na sekundę: $$ v_1 = 2\text{ }\dfrac{\text{cm}}{\text{s}} = 0{,}02\text{ }\dfrac{\text{m}}{\text{s}} $$ Długość lontu $l$, który spali się w czasie $t_1 = 15\text{ s}$, wynosi: $$ \begin{aligned} l &= v_1 \cdot t_1 \\[8pt] &= 0{,}02\text{ }\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 15\text{ s} = 0{,}3\text{ m} = 30\text{ cm} \end{aligned} $$ Obliczenia można również zapisać jednym wyrażeniem ogólnym: $$ \begin{aligned} l &= \dfrac{v_1 \cdot s}{v_2} \\[8pt] &= \dfrac{0{,}02\text{ }\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 45\text{ m}}{3\text{ }\dfrac{\text{m}}{\text{s}}} = 0{,}3\text{ m} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
$l = 30\text{ cm}$ (lub $l = 0{,}3\text{ m}$)

Zadanie 2

Na prostoliniowym torze testowym o długości $d = 1200\text{ m}$ odbywały się próby czasowe dwóch pojazdów elektrycznych. Sędzia pomiarowy uruchomił stoper w chwili, gdy pierwszy pojazd mijał znacznik $720\text{ m}$ od linii startu, a drugi pojazd znajdował się na pozycji $480\text{ m}$. Oba pojazdy poruszały się ruchem jednostajnym prostoliniowym: prędkość pierwszego pojazdu wynosiła $v_1 = 21{,}6\text{ km/h}$, a prędkość drugiego wynosiła $v_2 = 28{,}8\text{ km/h}$. Chwilę włączenia stopera przyjmij jako $t_1 = 0$.

a) Ułóż równania ruchu $x(t)$ dla obu pojazdów.

b) W jednym układzie współrzędnych sporządź wykresy zależności współrzędnej położenia od czasu dla obu pojazdów.

c) Z otrzymanych wykresów odczytaj, który z pojazdów zwycięży w tej próbie i jaki przedział czasu będzie dzielić drugi pojazd od zwycięzcy.

Wskazówki:

Przelicz prędkości z kilometrów na godzinę ($\text{km/h}$) na metry na sekundę ($\text{m/s}$), dzieląc ich wartości przez $3{,}6$.
Ogólna postać równania ruchu jednostajnego prostoliniowego to $x(t) = x(0) + v \cdot t$, gdzie $x(0)$ to położenie początkowe w chwili $t_1 = 0$.
Wykres zależności $x(t)$ dla ruchu jednostajnego jest linią prostą. Do jej narysowania wystarczy wyznaczyć punkt początkowy oraz punkt osiągnięcia linii mety ($x = 1200\text{ m}$).
Zwycięzcą zostaje ten uczestnik, którego wykres osiągnie wartość $x = 1200\text{ m}$ przy mniejszej wartości czasu $t$.

Dane i szukane:

Dane:
$d = 1200\text{ m}$ (długość trasy od startu do mety)
$x_1(0) = 720\text{ m}$ (początkowe położenie pierwszego pojazdu)
$x_2(0) = 480\text{ m}$ (początkowe położenie drugiego pojazdu)
$v_1 = 21{,}6\text{ km/h}$ (prędkość pierwszego pojazdu)
$v_2 = 28{,}8\text{ km/h}$ (prędkość drugiego pojazdu)
$t_1 = 0\text{ s}$ (czas początkowy)
Szukane:
$x_1(t) = ?$, $x_2(t) = ?$ (równania ruchu)
wykresy $x_1(t)$ i $x_2(t)$
zwycięzca oraz przedział czasu $\Delta t = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Przeliczenie prędkości na jednostki SI i ułożenie równań ruchu obu pojazdów:
W pierwszym kroku zamieniamy jednostki prędkości z $\text{km/h}$ na $\text{m/s}$: $$\begin{aligned} v_1 &= 21{,}6\text{ km/h} = \dfrac{21{,}6}{3{,}6}\text{ m/s} = 6\text{ m/s} \\[8pt] v_2 &= 28{,}8\text{ km/h} = \dfrac{28{,}8}{3{,}6}\text{ m/s} = 8\text{ m/s} \end{aligned}$$ Ciała poruszają się ze stałymi prędkościami ruchem jednostajnym prostoliniowym, zatem funkcja położenia ma postać: $$x(t) = x(0) + v \cdot t$$ Podstawiamy dane wyjściowe dla pierwszego oraz drugiego pojazdu: $$\begin{aligned} x_1(t) &= 720 + 6t \\[8pt] x_2(t) &= 480 + 8t \end{aligned}$$ gdzie czas $t$ wyrażony jest w sekundach, a współrzędna położenia $x$ w metrach.
Podpunkt b) Wyznaczenie punktów charakterystycznych i sporządzenie wykresów $x(t)$:
Obliczamy moment osiągnięcia mety ($x = 1200\text{ m}$) przez każdy z pojazdów.
Dla pierwszego pojazdu: $$\begin{aligned} 1200 &= 720 + 6t_1 \\[8pt] 6t_1 &= 1200 - 720 \\[8pt] 6t_1 &= 480 \implies t_1 = 80\text{ s} \end{aligned}$$ Dla drugiego pojazdu: $$\begin{aligned} 1200 &= 480 + 8t_2 \\[8pt] 8t_2 &= 1200 - 480 \\[8pt] 8t_2 &= 720 \implies t_2 = 90\text{ s} \end{aligned}$$ Wykresy obu funkcji to proste łączące punkty: dla pojazdu pierwszego: $(0\text{ s}, 720\text{ m})$ oraz $(80\text{ s}, 1200\text{ m})$; dla pojazdu drugiego: $(0\text{ s}, 480\text{ m})$ oraz $(90\text{ s}, 1200\text{ m})$.
Podpunkt c) Odczytanie zwycięzcy i obliczenie różnicy czasu:
Z wykresu odczytujemy czasy przecięcia linii $x = 1200\text{ m}$: $$\begin{aligned} t_1 &= 80\text{ s} \\[8pt] t_2 &= 90\text{ s} \end{aligned}$$ Ponieważ $t_1 < t_2$, jako pierwszy linię mety przekracza pierwszy pojazd, zwyciężając w próbie czasowej.
Przedział czasu dzielący drugi pojazd od zwycięzcy wynosi: $$\begin{aligned} \Delta t &= t_2 - t_1 \\[8pt] &= 90\text{ s} - 80\text{ s} = 10\text{ s} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $x_1(t) = 720 + 6t$, $x_2(t) = 480 + 8t$ (przy $t$ wyrażonym w sekundach, a $x$ w metrach)

b) Wykresy stanowią linie proste przechodzące odpowiednio przez punkty $(0, 720)$ i $(80, 1200)$ dla pierwszego pojazdu oraz $(0, 480)$ i $(90, 1200)$ dla drugiego pojazdu (szczegółowy rysunek w module odpowiedzi).

c) Zwycięży pierwszy pojazd, osiągając metę w czasie $t_1 = 80\text{ s}$. Drugi pojazd dotrze do mety po czasie $t_2 = 90\text{ s}$, czyli z opóźnieniem równym $\Delta t = 10\text{ s}$.

Zadanie 3

Podczas zawodów lekkoatletycznych wystrzał z pistoletu startowego rejestruje mikrofon stanowiskowy, a relacja jest transmitowana na żywo przez fale radiowe. Ustal, kto usłyszy ten huk wcześniej: kibic siedzący na koronie trybun w odległości $s_k = 68\text{ m}$ od startera, czy radiosłuchacz przebywający w domu oddalonym o $s_r = 600\text{ km}$ od stadionu. Przyjmij, że fala radiowa rozchodzi się z prędkością $v_r = 3 \cdot 10^5\text{ km/s}$, natomiast prędkość dźwięku w powietrzu wynosi $v_d = 340\text{ m/s}$. Wyznacz czasy dotarcia obu sygnałów oraz oblicz różnicę tych czasów (zaniedbaj czas przetwarzania sygnału przez urządzenia elektroniczne).

Wskazówki:

Zarówno fala akustyczna, jak i fala radiowa poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym, dla którego zależność między drogą, prędkością i czasem określa wzór $s = v \cdot t$.
Zwróć uwagę na ujednolicenie jednostek: przelicz odległość i prędkość fali radiowej na metry i metry na sekundę lub wykonaj dzielenie bezpośrednio w kilometrach i kilometrach na sekundę.
Fala radiowa jest falą elektromagnetyczną i porusza się z prędkością światła – niemal milion razy szybciej niż fala dźwiękowa w powietrzu.

Dane i szukane:

Dane: $s_k = 68\text{ m}$, $v_d = 340\text{ m/s}$, $s_r = 600\text{ km} = 6 \cdot 10^5\text{ m}$, $v_r = 3 \cdot 10^5\text{ km/s} = 3 \cdot 10^8\text{ m/s}$
Szukane: $t_k = ?$, $t_r = ?$, $\Delta t = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza dróg rozchodzenia się sygnałów:
W momencie wystrzału sygnał rozchodzi się dwiema różnymi drogami: bezpośrednio przez powietrze jako fala mechaniczna (dźwiękowa) do kibica na trybunach oraz jako fala elektromagnetyczna (radiowa) wysłana przez nadajnik do odległego odbiornika radiowego.
Obliczenie czasu rozchodzenia się fali dźwiękowej oraz fali radiowej:
Czas dotarcia fali dźwiękowej do kibica na trybunie stadionu wynosi: $$\begin{aligned} t_k &= \dfrac{s_k}{v_d} \\[8pt] &= \dfrac{68\text{ m}}{340\text{ m/s}} \\[8pt] &= \dfrac{1}{5}\text{ s} = 0{,}2\text{ s} = 200\text{ ms} \end{aligned}$$ Czas dotarcia fali radiowej do odległego odbiornika wyznaczamy w analogiczny sposób: $$\begin{aligned} t_r &= \dfrac{s_r}{v_r} \\[8pt] &= \dfrac{600\text{ km}}{3 \cdot 10^5\text{ km/s}} \\[8pt] &= \dfrac{6 \cdot 10^2}{3 \cdot 10^5}\text{ s} \\[8pt] &= 2 \cdot 10^{-3}\text{ s} = 0{,}002\text{ s} = 2\text{ ms} \end{aligned}$$
Porównanie uzyskanych czasów i wyznaczenie różnicy:
Porównujemy otrzymane wartości czasów: $$t_r = 0{,}002\text{ s} < 0{,}2\text{ s} = t_k$$ Radiosłuchacz usłyszy dźwięk znacznie wcześniej niż bezpośredni świadek na stadionie. Różnica czasu wynosi: $$\begin{aligned} \Delta t &= t_k - t_r \\[8pt] &= 0{,}2\text{ s} - 0{,}002\text{ s} \\[8pt] &= 0{,}198\text{ s} = 198\text{ ms} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Wcześniej głos usłyszy radiosłuchacz. Fala radiowa dotrze po czasie $t_r = 0{,}002\text{ s}$ ($2\text{ ms}$), a fala dźwiękowa po czasie $t_k = 0{,}2\text{ s}$ ($200\text{ ms}$). Dźwięk dotrze do radiosłuchacza o $\Delta t = 0{,}198\text{ s}$ ($198\text{ ms}$) wcześniej.

Zadanie 4

Rowerzysta porusza się wzdłuż prostego odcinka wydzielonej ścieżki rowerowej. Jego współrzędna położenia w funkcji czasu zmienia się zgodnie z zależnością: $$x(t) = -60 + 5t$$ przy czym wszystkie wielkości fizyczne wyrażone są w jednostkach układu SI.

a) Wyznacz współrzędną położenia początkowego rowerzysty (dla chwili $t_1 = 0\text{ s}$) oraz wartość jego prędkości.
b) Ustal, po jakim czasie od momentu rozpoczęcia pomiaru współrzędna położenia rowerzysty osiągnie wartość zero.
c) Oblicz współrzędną położenia rowerzysty po upływie czasu $t_2 = 20\text{ s}$ i wyznacz długość drogi, jaką pokonał on w tym czasie.

Wskazówki:

Ogólne równanie ruchu jednostajnego prostoliniowego ma postać $x(t) = x_1 + v \cdot t$, gdzie $x_1$ oznacza współrzędną położenia początkowego, a $v$ prędkość ciała.
Warunek zerowej współrzędnej położenia oznacza przyrównanie funkcji do zera: $x(t) = 0$.
Dla ruchu odbywającego się stale w jednym kierunku (bez zawracania) przebyta droga jest równa wartości bezwzględnej ze zmiany położenia: $s = |\Delta x| = |x_2 - x_1|$, bądź iloczynowi prędkości i czasu: $s = v \cdot t$.

Dane i szukane:

Dane:
Równanie ruchu: $x(t) = -60 + 5t$ (w jednostkach SI)
$t_1 = 0\text{ s}$ (początek pomiaru czasu)
$t_2 = 20\text{ s}$ (czas końcowy w podpunkcie c)
Szukane:
$x_1 = ?$ (współrzędna położenia początkowego)
$v_r = ?$ (prędkość rowerzysty)
$t = ?$ (czas, po którym $x = 0\text{ m}$)
$x_2 = ?$ (współrzędna położenia po czasie $t_2$)
$s = ?$ (droga przebyta w czasie $t_2$)

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego na osi położenia:
W chwili początkowej $t_1 = 0\text{ s}$ rowerzysta znajduje się w punkcie o współrzędnej ujemnej na osi $OX$. Dodatni znak przy współczynniku prędkości informuje, że wektor prędkości rowerzysty $\vec{v}_r$ jest zwrócony zgodnie ze zwrotem osi $OX$ (w prawo).
Podpunkt a) Odczytanie położenia początkowego oraz prędkości rowerzysty:
Ogólne równanie ruchu jednostajnego prostoliniowego ma postać: $$x(t) = x_1 + v_r \cdot t$$ Porównując je bezpośrednio z równaniem podanym w treści zadania: $$x(t) = -60 + 5t$$ odczytujemy poszczególne parametry ruchu w jednostkach układu SI:
• Wyraz wolny odpowiada położeniu początkowemu w chwili $t_1 = 0\text{ s}$: $$x_1 = -60\text{ m}$$ • Współczynnik stojący przy czasie $t$ odpowiada prędkości ruchu: $$v_r = 5\text{ m/s}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie czasu, po którym współrzędna położenia wyniesie zero:
Podstawiamy warunek $x(t) = 0$ do wyjściowego równania ruchu: $$0 = -60 + 5t$$ Przenosimy wyraz wolny na lewą stronę równania ze zmianą znaku: $$5t = 60$$ Dzielimy obie strony równania przez współczynnik $5$: $$\begin{aligned} t &= \dfrac{60}{5} \\[8pt] &= 12\text{ s} \end{aligned}$$ Po upływie $12\text{ s}$ od rozpoczęcia pomiaru rowerzysta mija punkt odniesienia $x = 0\text{ m}$.
Podpunkt c) Obliczenie współrzędnej po czasie $t_2 = 20\text{ s}$ oraz przebytej drogi:
1. Współrzędną położenia po czasie $t_2 = 20\text{ s}$ wyznaczamy, wstawiając wartość czasu do równania ruchu: $$\begin{aligned} x_2 &= x(20) \\[8pt] &= -60 + 5 \cdot 20 \\[8pt] &= -60 + 100 = 40\text{ m} \end{aligned}$$ 2. Przebyty dystans wyznaczamy dwoma równoważnymi sposobami:

Sposób I – Z definicji drogi w ruchu jednostajnym prostoliniowym:
Ponieważ prędkość ma stałą wartość i zwrot, pokonana droga wynosi: $$\begin{aligned} s &= v_r \cdot t_2 \\[8pt] &= 5\text{ m/s} \cdot 20\text{ s} = 100\text{ m} \end{aligned}$$ Sposób II – Ze zmiany współrzędnej położenia ciała:
Rowerzysta poruszał się bez zmiany zwrotu od punktu $x_1 = -60\text{ m}$ do punktu $x_2 = 40\text{ m}$: $$\begin{aligned} s &= |x_2 - x_1| \\[8pt] &= |40\text{ m} - (-60\text{ m})| \\[8pt] &= |40\text{ m} + 60\text{ m}| = 100\text{ m} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $x_1 = -60\text{ m}$, $v_r = 5\text{ m/s}$

b) $t = 12\text{ s}$

c) $x_2 = 40\text{ m}$, $s = 100\text{ m}$

Zadanie 5

Wzdłuż prostego kanału wodnego płyną w tym samym kierunku dwaj kajakarze: Kamil i Wojtek. W chwili początkowej płynący z tyłu Kamil mija boję nawigacyjną z oznaczeniem $3\text{ km}$, natomiast znajdujący się przed nim Wojtek mija w tym samym momencie boję z napisem $7\text{ km}$. Od tego momentu obaj poruszają się ze stałymi prędkościami: Wojtek $v_1 = 6\text{ km/h}$, a Kamil $v_2 = 14\text{ km/h}$.

Rozpatrz ruch kajakarzy w dwóch różnych układach odniesienia:
• Układ I – o początku w początkowym położeniu Kamila (przy boi $3\text{ km}$),
• Układ II – o początku w początkowym położeniu Wojtka (przy boi $7\text{ km}$).

a) Zapisz równania ruchu obu kajakarzy w obu przyjętych układach odniesienia.

b) Oblicz czas, po jakim Kamil dogoni Wojtka, oraz wyznacz współrzędną miejsca spotkania w każdym z układów odniesienia (podaj także, przy której boi kilometrowej na kanale nastąpi spotkanie).

c) Naszkicuj wykresy zależności położenia od czasu $x(t)$ dla obu kajakarzy w obu układach odniesienia.

d) Porównaj wartości czasu i współrzędnych położenia wyznaczone dla obu układów odniesienia i sformułuj wnioski dotyczące względności ruchu.

Wskazówki:

W ruchu jednostajnym prostoliniowym ogólne równanie ruchu ma postać $x(t) = x_0 + v \cdot t$, gdzie $x_0$ oznacza położenie początkowe ciała w chwili $t = 0$.
Wybór początku osi układu odniesienia ($x = 0$) decyduje o wartościach położeń początkowych $x_0$, ale nie zmienia fizycznej odległości między ciałami ani ich prędkości względnej.
Warunkiem dogonienia jednego ciała przez drugie jest zrównanie się ich współrzędnych położenia w tej samej chwili czasu: $x_K(t) = x_W(t)$.

Dane i szukane:

Dane:
Położenie początkowe boi Kamila na kanale: $x_{bK} = 3\text{ km}$
Położenie początkowe boi Wojtka na kanale: $x_{bW} = 7\text{ km}$
Prędkość Wojtka: $v_1 = 6\text{ km/h}$
Prędkość Kamila: $v_2 = 14\text{ km/h}$
Początkowa odległość między kajakarzami: $d = x_{bW} - x_{bK} = 7\text{ km} - 3\text{ km} = 4\text{ km}$
Szukane:
Równania ruchu w obu układach: $x_K^{(I)}(t) = ?$, $x_W^{(I)}(t) = ?$, $x_K^{(II)}(t) = ?$, $x_W^{(II)}(t) = ?$
Czas do spotkania: $t = ?$
Współrzędne miejsca spotkania: $x_s^{(I)} = ?$, $x_s^{(II)} = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza sytuacji początkowej:
Przedstawiamy prostoliniowy tor ruchu z zaznaczonymi bojami kilometrowymi oraz wektorami prędkości obu kajakarzy. Kamil znajduje się przy boi $3\text{ km}$, a Wojtek przy boi $7\text{ km}$. Odległość początkowa wynosi $4\text{ km}$.
Podpunkt a) Wyznaczenie równań ruchu w obu układach odniesienia:
W ruchu jednostajnym prostoliniowym położenie opisuje zależność: $$ x(t) = x_0 + v \cdot t $$ Układ I (początek osi w początkowym położeniu Kamila, $x = 0$ przy boi $3\text{ km}$):
Dla Kamila położenie początkowe wynosi $x_{0K}^{(I)} = 0$, zatem: $$ x_K^{(I)}(t) = 14t $$ Wojtek w chwili $t = 0$ znajduje się $4\text{ km}$ przed Kamilem ($x_{0W}^{(I)} = 4\text{ km}$), stąd: $$ x_W^{(I)}(t) = 4 + 6t $$
Układ II (początek osi w początkowym położeniu Wojtka, $x = 0$ przy boi $7\text{ km}$):
Dla Wojtka położenie początkowe wynosi $x_{0W}^{(II)} = 0$, zatem: $$ x_W^{(II)}(t) = 6t $$ Kamil w chwili $t = 0$ znajduje się $4\text{ km}$ za Wojtkiem (po przeciwnej stronie zwrotu osi, czyli $x_{0K}^{(II)} = -4\text{ km}$), stąd: $$ x_K^{(II)}(t) = -4 + 14t $$
Podpunkt b) Wyznaczenie czasu i miejsca spotkania w obu układach odniesienia:
W chwili dogonienia Wojtka przez Kamila ich współrzędne położenia muszą być równe.

Sposób I – Rozwiązanie w Układzie I:
Przyrównujemy równania ruchu dla pierwszego układu odniesienia: $$ \begin{aligned} x_K^{(I)}(t) &= x_W^{(I)}(t) \\[8pt] 14t &= 4 + 6t \\[8pt] 14t - 6t &= 4 \\[8pt] 8t &= 4 \\[8pt] t &= \dfrac{4}{8} = 0{,}5\text{ h} = 30\text{ min} \end{aligned} $$ Wstawiamy obliczony czas do dowolnego z równań tego układu: $$ \begin{aligned} x_s^{(I)} &= x_K^{(I)}(0{,}5) \\[8pt] &= 14 \cdot 0{,}5 = 7\text{ km} \end{aligned} $$
Sposób II – Rozwiązanie w Układzie II:
Przyrównujemy równania ruchu dla drugiego układu odniesienia: $$ \begin{aligned} x_K^{(II)}(t) &= x_W^{(II)}(t) \\[8pt] -4 + 14t &= 6t \\[8pt] 14t - 6t &= 4 \\[8pt] 8t &= 4 \\[8pt] t &= \dfrac{4}{8} = 0{,}5\text{ h} = 30\text{ min} \end{aligned} $$ Wyznaczamy współrzędną w drugim układzie: $$ \begin{aligned} x_s^{(II)} &= x_W^{(II)}(0{,}5) \\[8pt] &= 6 \cdot 0{,}5 = 3\text{ km} \end{aligned} $$
Fizyczne położenie na kanale:
Początek Układu I znajdował się przy boi $3\text{ km}$, więc spotkanie następuje przy boi: $$ 3\text{ km} + 7\text{ km} = 10\text{ km} $$ W Układzie II początek był przy boi $7\text{ km}$, co daje dokładnie ten sam wynik: $$ 7\text{ km} + 3\text{ km} = 10\text{ km} $$
Podpunkt c) Konstrukcja i interpretacja wykresów $x(t)$:
Wykresami zależności położenia od czasu są proste. Punkt przecięcia prostych odpowiada momentowi i miejscu spotkania.
Podpunkt d) Porównanie wyników i sformułowanie wniosków:
• Czas trwania zjawiska: Obliczony czas spotkania ($t = 0{,}5\text{ h}$) jest w obu układach identyczny. Czas w fizyce klasycznej jest wielkością absolutną (niezmiennikiem przekształceń układów odniesienia).
• Współrzędne położenia: Wartości liczbowe współrzędnych różnią się dokładnie o odległość początkową dzielącą początki obu układów odniesienia: $$ x_s^{(I)} - x_s^{(II)} = 7\text{ km} - 3\text{ km} = 4\text{ km} $$ Położenie ciała jest wielkością względną i zależy od wyboru punktu odniesienia. Mimo różnych liczb przypisanych do osi, fizyczne miejsce na powierzchni Ziemi (boja $10\text{ km}$) pozostaje dokładnie to samo.

Odpowiedź:
a) Układ I: $x_K(t) = 14t$, $x_W(t) = 4 + 6t$; Układ II: $x_K(t) = -4 + 14t$, $x_W(t) = 6t$ (gdzie $x$ w km, $t$ w h)

b) $t = 0{,}5\text{ h} = 30\text{ min}$; w Układzie I: $x_s^{(I)} = 7\text{ km}$; w Układzie II: $x_s^{(II)} = 3\text{ km}$ (boja $10\text{ km}$)

c) Wykresy $x(t)$ przedstawiono w module odpowiedzi oraz w treści rozwiązania

d) Czas trwania ruchu jest niezmiennikiem i nie zależy od wyboru układu odniesienia, natomiast współrzędne położenia są wielkościami względnymi i różnią się o przesunięcie początków układów ($4\text{ km}$)

Grupa B

Zadanie 1

Podczas poligonowych ćwiczeń strażak odpala na otwartej przestrzeni świecę dymną przy użyciu wolnopalnego lontu. Po zainicjowaniu zapłonu ratownik natychmiast wycofuje się truchtem na wyznaczoną bezpieczną odległość $s = 40\text{ m}$, poruszając się ze stałą prędkością $v_2 = 14{,}4\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$. Płomień lontu przemieszcza się ruchem jednostajnym z prędkością $v_1 = 2{,}5\text{ }\dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$. Ustal, jaką minimalną długość powinien mieć ten lont, aby strażak zdołał dotrzeć na wymaganą odległość przed rozpoczęciem dymienia świecy.

Zadanie 2

Dwaj rolkarze rywalizowali na prostoliniowej alei sportowej o długości $d = 800\text{ m}$. W momencie włączenia pomiaru czasu ($t_1 = 0$) pierwszy rolkarz znajdował się w odległości $440\text{ m}$ od linii startu, poruszając się ze stałą prędkością $v_1 = 14{,}4\text{ km/h}$. Drugi rolkarz minął w tym samym momencie punkt położony w odległości $320\text{ m}$ od startu, jadąc ze stałą prędkością $v_2 = 21{,}6\text{ km/h}$.

a) Ułóż równania ruchu obu rolkarzy.

b) W jednym układzie współrzędnych sporządź wykresy zależności współrzędnej położenia od czasu dla obu zawodników.

c) Z otrzymanych wykresów odczytaj, który z rolkarzy zwycięży w tej rywalizacji i z jaką przewagą czasową w stosunku do drugiego zawodnika przekroczy linię mety.

Zadanie 3

W trakcie plenerowego festiwalu muzycznego dźwięk uderzenia w talerz perkusyjny jest jednocześnie transmitowany na żywo przez stację radiową. Ustal, kto zarejestruje ten dźwięk wcześniej: widz znajdujący się na końcu widowni amfiteatru w odległości $s_w = 85\text{ m}$ od estrady, czy odbiorca transmisji radiowej mieszkający w odległości $s_s = 450\text{ km}$ od sceny. Przyjmij prędkość rozchodzenia się fal radiowych równą $v_r = 3 \cdot 10^5\text{ km/s}$, a prędkość dźwięku w powietrzu $v_d = 340\text{ m/s}$ (pomiń opóźnienia aparatury nadawczo-odbiorczej). Wyznacz czasy dotarcia obu sygnałów i określ, o ile sekund wcześniej usłyszy go jedna z tych osób.

Zadanie 4

Wózek laboratoryjny przemieszcza się po prostej poziomej prowadnicy. Zmianę położenia wózka w czasie opisano zależnością: $$x(t) = -30 + 6t$$ w której czas oraz współrzędna położenia podane są w jednostkach układu SI.

a) Podaj współrzędną położenia początkowego wózka (w chwili $t_1 = 0\text{ s}$) oraz określ prędkość jego ruchu.
b) Oblicz, po jakim czasie od włączenia stopera wózek znajdzie się w początku układu współrzędnych ($x = 0\text{ m}$).
c) Wyznacz współrzędną położenia wózka po upływie $t_2 = 15\text{ s}$ i oblicz drogę pokonaną przez wózek w tym czasie.

Zadanie 5

Dwaj motocykliści, Damian i Robert, poruszają się w tym samym kierunku prostym odcinkiem szosy ze stałymi prędkościami. W chwili przyjętej jako początkowa ($t = 0$) jadący z tyłu Damian mija pikietaż drogowy z tablicą $9\text{ km}$, poruszając się z prędkością $v_2 = 80\text{ km/h}$. W tym samym momencie jadący przed nim Robert, którego prędkość wynosi $v_1 = 50\text{ km/h}$, mija tablicę z oznaczeniem $15\text{ km}$.

Przyjmij dwa odrębne układy odniesienia:
• Układ I – o początku w początkowym położeniu Damiana (przy słupku $9\text{ km}$),
• Układ II – o początku w początkowym położeniu Roberta (przy słupku $15\text{ km}$).

a) Zapisz równania ruchu obu motocyklistów w obu przyjętych układach odniesienia.

b) Wyznacz czas, po którym Damian zrówna się z Robertem, oraz podaj współrzędną miejsca spotkania w każdym z układów odniesienia (wskaż także, przy którym słupku kilometrowym szosy nastąpi spotkanie).

c) Sporządź wykresy zależności położenia od czasu $x(t)$ dla obu pojazdów w obu układach odniesienia.

d) Zestaw ze sobą wartości czasu i położeń otrzymane w obu układach odniesienia i sformułuj wnioski dotyczące względności ruchu.

2.4. Ruch jednostajny prostoliniowy

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋