Prędkość w ruchu prostoliniowym kartkówka LiczBit

2.3. Prędkość w ruchu prostoliniowym

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

W hali logistycznej testowano autonomiczny wózek transportowy poruszający się wzdłuż wyznaczonej prostej linii. Cała procedura testowa trwała dokładnie $t_c = 1\text{ min}$. Pojedynczy cykl pracy urządzenia polegał na wykonaniu $3$ przesunięć do przodu, po czym natychmiast następowało $5$ przesunięć do tyłu. Maszyna powtórzyła ten pełny cykl $20$ razy. Przyjmij, że każde pojedyncze przesunięcie miało jednakową długość $l = 50\text{ cm}$. Jako początek osi liczbowej przyjmij miejsce startu wózka, a zwrot dodatni w kierunku ruchu do przodu.

a) Wyznacz współrzędną przemieszczenia wózka po zakończeniu całego testu.
b) Ustal współrzędną wektora prędkości średniej.
c) Oblicz średnią wartość prędkości (szybkość) poruszającego się wózka.
Wartości prędkości w podpunktach b) i c) podaj w $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Wskazówki:

Rozróżniaj przemieszczenie (wielkość wektorową określającą zmianę położenia ciała: $\Delta x = x_2 - x_1$) od drogi (wielkości skalarnej będącej sumą długości wszystkich przebytych odcinków niezależnie od kierunku).
Prędkość średnia wiąże się bezpośrednio z wektorem przemieszczenia ($v_{śr, x} = \dfrac{\Delta x}{t_c}$), natomiast szybkość średnia to stosunek całkowitej przebytej drogi do czasu ($v_{śr} = \dfrac{s}{t_c}$).
Aby przeliczyć prędkość z $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ na $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$, pomnóż otrzymaną wartość przez $3{,}6$.

Dane i szukane:

Dane:
$l = 50\text{ cm} = 0{,}5\text{ m}$ (długość jednego przesunięcia)
$n_1 = 3$ (liczba przesunięć do przodu w jednym cyklu)
$n_2 = 5$ (liczba przesunięć do tyłu w jednym cyklu)
$N = 20$ (liczba powtórzeń pełnego cyklu)
$t_c = 1\text{ min} = 60\text{ s}$ (całkowity czas testu)
$x_1 = 0\text{ m}$ (początkowe położenie wózka)

Szukane:
$\Delta x = ?$ (współrzędna wektora przemieszczenia)
$v_{śr, x} = ?$ (współrzędna wektora prędkości średniej w $\text{km/h}$)
$v_{śr} = ?$ (średnia wartość prędkości w $\text{km/h}$)

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza ruchu w pojedynczym cyklu:
Wybieramy oś jednowymiarowego układu współrzędnych $x$ z początkiem w miejscu startu ($x_1 = 0$). Ruch do przodu odbywa się zgodnie ze zwrotem osi (dodatnia zmiana położenia), a ruch do tyłu w stronę przeciwną (ujemna zmiana położenia). Pojedynczy cykl składa się z przesunięcia o $3$ kroki w przód ($+1{,}5\text{ m}$) oraz $5$ kroków w tył ($-2{,}5\text{ m}$).
Podpunkt a) Wyznaczenie współrzędnej przemieszczenia wózka po wykonaniu całego ćwiczenia:
W trakcie jednego cyklu wózek wykonuje $3$ kroki do przodu oraz $5$ kroków do tyłu. Zmiana położenia w jednym cyklu wynosi: $$ \begin{aligned} \Delta x_c &= (n_1 - n_2) \cdot l \\[8pt] &= (3 - 5) \cdot 0{,}5\text{ m} \\[8pt] &= -2 \cdot 0{,}5\text{ m} = -1\text{ m} \end{aligned} $$ Wózek powtarza ten cykl $N = 20$ razy, zatem całkowita zmiana położenia wynosi: $$ \begin{aligned} \Delta x &= N \cdot \Delta x_c \\[8pt] &= 20 \cdot (-1\text{ m}) = -20\text{ m} \end{aligned} $$ Końcowe położenie wózka wynosi zatem $x_2 = x_1 + \Delta x = 0\text{ m} + (-20\text{ m}) = -20\text{ m}$.
Interpretacja graficzna wyniku i wektora przemieszczenia końcowego:
Poniższy wykres przedstawia stan układu po zakończeniu całego testu. Zaznaczono położenie początkowe $x_1$, położenie końcowe $x_2$ oraz wypadkowy wektor przemieszczenia $\Delta x$.
Podpunkt b) Obliczenie współrzędnej wektora prędkości średniej:
Współrzędna wektora prędkości średniej jest zdefiniowana jako iloraz współrzędnej wektora przemieszczenia $\Delta x$ oraz czasu trwania ruchu $t_c$: $$ \begin{aligned} v_{śr, x} &= \dfrac{\Delta x}{t_c} \\[8pt] &= \dfrac{-20\text{ m}}{60\text{ s}} = -\dfrac{1}{3}\text{ }\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{aligned} $$ Przeliczamy otrzymaną wartość na kilometry na godzinę ($1\text{ }\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 3{,}6\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$): $$ \begin{aligned} v_{śr, x} &= -\dfrac{1}{3} \cdot 3{,}6\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \\[8pt] &= -1{,}2\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \end{aligned} $$ Ujemny znak oznacza, że wektor prędkości średniej jest zwrócony przeciwnie do przyjętego dodatniego zwrotu osi $x$.
Podpunkt c) Wyznaczenie średniej wartości prędkości (szybkości) wózka:
Szybkość średnia jest wielkością skalarną definiowaną jako stosunek całkowitej drogi $s$ do całkowitego czasu ruchu $t_c$. Droga jest sumą długości wszystkich wykonanych kroków bez względu na kierunek przemieszczania.
W jednym cyklu wózek pokonuje drogę: $$ \begin{aligned} s_c &= (n_1 + n_2) \cdot l \\[8pt] &= (3 + 5) \cdot 0{,}5\text{ m} \\[8pt] &= 8 \cdot 0{,}5\text{ m} = 4\text{ m} \end{aligned} $$ Dla $N = 20$ powtórzeń całkowita droga wynosi: $$ \begin{aligned} s &= N \cdot s_c \\[8pt] &= 20 \cdot 4\text{ m} = 80\text{ m} \end{aligned} $$ Obliczamy średnią wartość prędkości: $$ \begin{aligned} v_{śr} &= \dfrac{s}{t_c} \\[8pt] &= \dfrac{80\text{ m}}{60\text{ s}} = \dfrac{4}{3}\text{ }\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{aligned} $$ Przeliczamy wartość na kilometry na godzinę: $$ \begin{aligned} v_{śr} &= \dfrac{4}{3} \cdot 3{,}6\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \\[8pt] &= 4{,}8\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $\Delta x = -20\text{ m}$

b) $v_{śr, x} = -1{,}2\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

c) $v_{śr} = 4{,}8\text{ }\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Zadanie 2

Sternik motorówki przeprowadzał próby manewrowe na prostoliniowym torze wodnym kanału żeglugowego o długości $l = 1{,}2\text{ km}$. Czas pojedynczego przepłynięcia toru z prądem wody wynosił $t_1 = 2\text{ min}$, natomiast pokonanie tego samego odcinka pod prąd zajmowało $t_2 = 4\text{ min}$. Podczas całego testu motorówka pokonała ten dystans łącznie $4$ razy z prądem oraz $3$ razy pod prąd. Pierwszy odcinek łódź przepłynęła zgodnie z kierunkiem prądu wody. Przyjmij oś współrzędnych o zwrocie zgodnym z ruchem wody oraz początek układu współrzędnych ($x_1 = 0$) w miejscu rozpoczęcia manewru. Wyznacz:

a) współrzędną wektora przemieszczenia motorówki po zakończeniu wszystkich prób,

b) współrzędną wektora prędkości średniej oraz średnią wartość prędkości (szybkość średnią) motorówki w trakcie całego manewru.

Wskazówki:

Przemieszczenie ($\Delta x$) zależy wyłącznie od położenia początkowego oraz końcowego ciała ($\Delta x = x_2 - x_1$), a nie od łącznej długości przebytej trasy.
Zwróć uwagę na cykliczność ruchu: każde kolejne przepłynięcie toru w tę i z powrotem sprowadza motorówkę do punktu startowego. Przeanalizuj parzystość liczby pokonanych odcinków.
Współrzędna wektora prędkości średniej to iloraz przemieszczenia i całkowitego czasu ruchu ($v_{śr, x} = \dfrac{\Delta x}{t_c}$), natomiast szybkość średnia to iloraz całkowitej przebytej drogi i tego samego czasu ($v_{śr} = \dfrac{s_c}{t_c}$).
Pamiętaj o ujednoliceniu jednostek: minuty przelicz na sekundy, a kilometry na metry.

Dane i szukane:

Dane:
$l = 1{,}2\text{ km} = 1200\text{ m}$ (długość jednego odcinka toru)
$t_1 = 2\text{ min} = 120\text{ s}$ (czas pokonania odcinka z prądem)
$t_2 = 4\text{ min} = 240\text{ s}$ (czas pokonania odcinka pod prąd)
$n_1 = 4$ (liczba odcinków przebytych z prądem)
$n_2 = 3$ (liczba odcinków przebytych pod prąd)
$x_1 = 0\text{ m}$ (położenie początkowe łodzi na osi $x$)
Szukane:
$\Delta x = ?$ (współrzędna wektora przemieszczenia)
$v_{śr, x} = ?$ (współrzędna wektora prędkości średniej)
$v_{śr} = ?$ (średnia wartość prędkości / szybkość średnia)

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
Wybieramy jednowymiarowy układ współrzędnych (oś $x$), której początek $x_1 = 0$ znajduje się w miejscu startu łodzi, a zwrot jest zgodny z kierunkiem prądu wody. Drugi koniec toru znajduje się w punkcie o współrzędnej $x = l = 1200\text{ m}$.
Podpunkt a) Wyznaczenie położenia końcowego i współrzędnej przemieszczenia:
Motorówka pokonuje tor na przemian: $$\begin{aligned} \text{1. odcinek (z prądem):} \quad & x_1 = 0 \longrightarrow x = +1200\text{ m} \\[8pt] \text{2. odcinek (pod prąd):} \quad & x = +1200\text{ m} \longrightarrow x = 0 \\[8pt] \text{3. odcinek (z prądem):} \quad & x = 0 \longrightarrow x = +1200\text{ m} \\[8pt] \text{4. odcinek (pod prąd):} \quad & x = +1200\text{ m} \longrightarrow x = 0 \\[8pt] \text{5. odcinek (z prądem):} \quad & x = 0 \longrightarrow x = +1200\text{ m} \\[8pt] \text{6. odcinek (pod prąd):} \quad & x = +1200\text{ m} \longrightarrow x = 0 \\[8pt] \text{7. odcinek (z prądem):} \quad & x = 0 \longrightarrow x_2 = +1200\text{ m} \end{aligned}$$ Po wykonaniu $4$ rejsów z prądem oraz $3$ pod prąd, końcowe położenie motorówki wynosi: $$x_2 = 1200\text{ m}$$ Współrzędną wektora przemieszczenia obliczamy z definicji zmiany położenia: $$\begin{aligned} \Delta x &= x_2 - x_1 \\[8pt] &= 1200\text{ m} - 0\text{ m} \\[8pt] &= 1200\text{ m} = 1{,}2\text{ km} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczenie całkowitego czasu, prędkości średniej oraz szybkości średniej:
Całkowity czas trwania ruchu $t_c$ to suma czasów wszystkich pokonanych odcinków: $$\begin{aligned} t_c &= n_1 \cdot t_1 + n_2 \cdot t_2 \\[8pt] &= 4 \cdot 120\text{ s} + 3 \cdot 240\text{ s} \\[8pt] &= 480\text{ s} + 720\text{ s} \\[8pt] &= 1200\text{ s} \end{aligned}$$ Współrzędna wektora prędkości średniej jest równa ilorazowi przemieszczenia i czasu: $$\begin{aligned} v_{śr, x} &= \dfrac{\Delta x}{t_c} \\[8pt] &= \dfrac{1200\text{ m}}{1200\text{ s}} = 1\text{ m/s} = 3{,}6\text{ km/h} \end{aligned}$$ Całkowita droga $s_c$ to rzeczywista długość przebytego toru: $$\begin{aligned} s_c &= n_1 \cdot l + n_2 \cdot l \\[8pt] &= 4 \cdot 1200\text{ m} + 3 \cdot 1200\text{ m} \\[8pt] &= 4800\text{ m} + 3600\text{ m} \\[8pt] &= 8400\text{ m} = 8{,}4\text{ km} \end{aligned}$$ Średnia wartość prędkości (szybkość średnia) to stosunek całkowitej drogi do czasu: $$\begin{aligned} v_{śr} &= \dfrac{s_c}{t_c} \\[8pt] &= \dfrac{8400\text{ m}}{1200\text{ s}} = 7\text{ m/s} = 25{,}2\text{ km/h} \end{aligned}$$
Interpretacja graficzna przemieszczenia i faz ruchu:
Poniższy schemat ilustruje wszystkie etapy manewru oraz końcowy wektor przemieszczenia $\Delta \vec{x}$:

Odpowiedź:
a) Współrzędna przemieszczenia: $\Delta x = 1200\text{ m} = 1{,}2\text{ km}$

b) Współrzędna wektora prędkości średniej: $v_{śr, x} = 1\text{ m/s} = 3{,}6\text{ km/h}$, natomiast średnia wartość prędkości (szybkość): $v_{śr} = 7\text{ m/s} = 25{,}2\text{ km/h}$.

Zadanie 3

Tomasz trenuje jazdę na rolkach po długiej, prostoliniowej alejce parkowej. Cała sesja trwała 30 minut i została podzielona na trzy 10-minutowe serie. Po upływie każdych 10 minut zawodnik natychmiast zawracał i jechał w przeciwną stronę. Zegarek sportowy zarejestrował, że podczas szybkiej jazdy Tomasz poruszał się ze stałą prędkością $v_s = 5\text{ m/s}$, a podczas wolniejszej jazdy regeneracyjnej ze stałą prędkością $v_w = 2{,}5\text{ m/s}$.

Przebieg treningu zilustrowano na poniższym wykresie zależności położenia $x$ od czasu $t$. Punkt zerowy osi położenia przyjęto w miejscu startu rolkarza w chwili $t_1 = 0$. Bardziej strome odcinki odpowiadają szybkiej jeździe, a łagodniejsze – jeździe regeneracyjnej.

a) Odczytaj z wykresu, ile minut trwała szybka jazda, a ile jazda regeneracyjna podczas pierwszych 10 minut treningu.
b) Oblicz całkowite przemieszczenie rolkarza oraz wartość jego prędkości średniej po upływie całego 30-minutowego treningu.
c) Wyznacz całkowitą drogę pokonaną przez Tomasza oraz oblicz średnią wartość jego prędkości (szybkość średnią).

Wskazówki:

Zauważ, że nachylenie odcinka na wykresie $x(t)$ odpowiada wartości prędkości: stromy odcinek oznacza większą prędkość ($v_s = 5\text{ m/s}$), a łagodny – mniejszą ($v_w = 2{,}5\text{ m/s}$).
Przemieszczenie jest wielkością wektorową zależącą wyłącznie od punktu początkowego i końcowego: $\Delta x = x_2 - x_1$.
Droga $s$ jest wielkością skalarną równą sumie długości wszystkich przebytych odcinków toru, niezależnie od kierunku zwrotu.
Pamiętaj o przeliczeniu jednostek czasu z minut na sekundy: $1\text{ min} = 60\text{ s}$.

Dane i szukane:

Dane: $t_c = 30\text{ min} = 1800\text{ s}$, $v_s = 5\text{ m/s}$, $v_w = 2{,}5\text{ m/s}$, $x_1 = 0\text{ m}$ (dla $t_1 = 0$), $x_2 = 2400\text{ m}$ (dla $t_2 = 30\text{ min}$)
Szukane: $t_s = ?$, $t_w = ?$, $\Delta x = ?$, $v_{śr} = ?$, $s = ?$, $v_{śr, s} = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Odczytanie czasu trwania obu faz ruchu w pierwszych 10 minutach:
Analizujemy wykres w przedziale czasu od $t = 0$ do $t = 10\text{ min}$:
- Od chwili $t = 0$ do chwili $t = 6\text{ min}$ wykres jest stromy – odpowiada to szybkiej jeździe. Czas jej trwania wynosi zatem: $$t_s = 6\text{ min} - 0 = 6\text{ min} = 360\text{ s}$$
- Od chwili $t = 6\text{ min}$ do chwili $t = 10\text{ min}$ wykres ma łagodniejsze nachylenie – odpowiada to jeździe regeneracyjnej. Czas jej trwania wynosi: $$t_w = 10\text{ min} - 6\text{ min} = 4\text{ min} = 240\text{ s}$$
Sprawdzenie przebytej drogi w tym etapie: $$\begin{aligned} x(10) &= v_s \cdot t_s + v_w \cdot t_w \\[8pt] &= 5\text{ m/s} \cdot 360\text{ s} + 2{,}5\text{ m/s} \cdot 240\text{ s} \\[8pt] &= 1800\text{ m} + 600\text{ m} = 2400\text{ m} \end{aligned}$$ Wartość ta idealnie pokrywa się z rzędną punktu na wykresie dla $t = 10\text{ min}$.
Podpunkt b) Obliczenie całkowitego przemieszczenia i wartości prędkości średniej:
Przemieszczenie $\Delta x$ zależy wyłącznie od położenia początkowego $x_1$ oraz położenia końcowego $x_2$:
- W chwili początkowej $t_1 = 0$ położenie wynosi $x_1 = 0\text{ m}$.
- W chwili końcowej $t_2 = 30\text{ min}$ położenie rolkarza odczytane z wykresu to $x_2 = 2400\text{ m}$.
Całkowite przemieszczenie wynosi: $$\Delta x = x_2 - x_1 = 2400\text{ m} - 0\text{ m} = 2400\text{ m}$$ Wartość wektora prędkości średniej $v_{śr}$ definiujemy jako iloraz wartości przemieszczenia i całkowitego czasu ruchu $t_c = 30\text{ min} = 1800\text{ s}$: $$\begin{aligned} v_{śr} &= \dfrac{|\Delta x|}{t_c} \\[8pt] &= \dfrac{2400\text{ m}}{1800\text{ s}} \\[8pt] &= \dfrac{4}{3}\text{ m/s} \approx 1{,}33\text{ m/s} \end{aligned}$$ Przeliczając na kilometry na godzinę: $$v_{śr} = \dfrac{4}{3} \cdot 3{,}6\text{ km/h} = 4{,}8\text{ km/h}$$
Podpunkt c) Obliczenie całkowitej drogi i średniej wartości prędkości:
Droga jest sumą długości wszystkich przebytych odcinków w każdym z trzech etapów:
- W pierwszym etapie ($t \in \langle 0; 10\rangle\text{ min}$) rolkarz oddala się od punktu startowego: $$s_1 = |2400\text{ m} - 0\text{ m}| = 2400\text{ m}$$
- W drugim etapie ($t \in \langle 10; 20\rangle\text{ min}$) rolkarz zawraca i powraca do punktu startu: $$s_2 = |0\text{ m} - 2400\text{ m}| = 2400\text{ m}$$
- W trzecim etapie ($t \in \langle 20; 30\rangle\text{ min}$) rolkarz ponownie jedzie w kierunku dodatnim osi: $$s_3 = |2400\text{ m} - 0\text{ m}| = 2400\text{ m}$$
Całkowita przebyta droga wynosi: $$\begin{aligned} s &= s_1 + s_2 + s_3 \\[8pt] &= 2400\text{ m} + 2400\text{ m} + 2400\text{ m} \\[8pt] &= 7200\text{ m} = 7{,}2\text{ km} \end{aligned}$$ Średnią wartość prędkości (szybkość średnią) obliczamy dzieląc całkowitą drogę przez łączny czas trwania ruchu: $$\begin{aligned} v_{śr, s} &= \dfrac{s}{t_c} \\[8pt] &= \dfrac{7200\text{ m}}{1800\text{ s}} \\[8pt] &= 4\text{ m/s} \end{aligned}$$ W przeliczeniu na kilometry na godzinę: $$v_{śr, s} = 4 \cdot 3{,}6\text{ km/h} = 14{,}4\text{ km/h}$$

Odpowiedź:
a) Szybka jazda trwała $6\text{ minut}$, a jazda regeneracyjna $4\text{ minuty}$.

b) Całkowite przemieszczenie wynosi $\Delta x = 2400\text{ m}$, a wartość prędkości średniej wynosi $v_{śr} = \dfrac{4}{3}\text{ m/s} \approx 1{,}33\text{ m/s}$ ($4{,}8\text{ km/h}$).

c) Całkowita pokonana droga wynosi $s = 7200\text{ m}$ ($7{,}2\text{ km}$), a średnia wartość prędkości wynosi $v_{śr, s} = 4\text{ m/s}$ ($14{,}4\text{ km/h}$).

Zadanie 4

Rolkarz na torze nadrzecznym zrealizował trening interwałowy składający się z $4$ jednakowych cykli wysiłkowych. W obrębie każdego cyklu zawodnik przez czas $7\text{ min}$ utrzymywał stałą prędkość szybkiej jazdy wynoszącą $18\text{ km/h}$, po czym przez kolejne $3\text{ min}$ toczył się wolno w tempie regeneracyjnym z prędkością $6\text{ km/h}$. Wyznacz średnią wartość prędkości rolkarza na przestrzeni całego zrealizowanego treningu. Wynik podaj w $\text{km/h}$ oraz w $\text{m/s}$.

Wskazówki:

Średnia wartość prędkości to iloraz całkowitej przebytej drogi przez całkowity czas trwania ruchu: $v_{\text{śr}} = \dfrac{s_c}{t_c}$. Nie wolno liczyć jej jako zwykłej średniej arytmetycznej prędkości, ponieważ czasy trwania poszczególnych etapów są różne!
Przed przystąpieniem do obliczeń uzgodnij jednostki – minuty zamień na godziny lub sekundy, a prędkości z $\text{km/h}$ na $\text{m/s}$ (dzieląc przez $3{,}6$).
Ponieważ każdy cykl jest identyczny, średnia prędkość całego treningu jest dokładnie równa średniej prędkości w pojedynczym cyklu – liczba powtórzeń cyklu upraszcza się w ułamku.

Dane i szukane:

Dane:
$N = 4$ (liczba powtórzonych cykli treningowych)
$t_1 = 7\text{ min} = \dfrac{7}{60}\text{ h} = 420\text{ s}$ (czas szybkiej jazdy w jednym cyklu)
$v_1 = 18\text{ km/h} = \dfrac{18}{3{,}6}\text{ m/s} = 5\text{ m/s}$ (prędkość szybkiej jazdy)
$t_2 = 3\text{ min} = \dfrac{3}{60}\text{ h} = 180\text{ s}$ (czas jazdy regeneracyjnej w jednym cyklu)
$v_2 = 6\text{ km/h} = \dfrac{6}{3{,}6}\text{ m/s} = \dfrac{5}{3}\text{ m/s}$ (prędkość regeneracyjna)
Szukane:
$v_{\text{śr}} = ?$ (średnia wartość prędkości na całym dystansie)

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza podziału ruchu w pojedynczym cyklu:
Ruch na każdym etapie jest ruchem jednostajnym prostoliniowym. W pojedynczym cyklu rolkarz pokonuje odcinek szybkiej jazdy $s_1$ oraz odcinek regeneracyjny $s_2$. Cały trening składa się z $4$ takich sekwencji następujących bezpośrednio po sobie.
Sposób I – Wyznaczenie drogi całkowitej oraz całkowitego czasu ruchu:
W ruchu jednostajnym drogę obliczamy ze wzoru $s = v \cdot t$.

1. Obliczamy drogę przebytą podczas szybkiej jazdy w jednym cyklu: $$\begin{aligned} s_1 &= v_1 \cdot t_1 \\[8pt] &= 18\text{ km/h} \cdot \dfrac{7}{60}\text{ h} \\[8pt] &= \dfrac{126}{60}\text{ km} = 2{,}1\text{ km} \quad (= 2100\text{ m}) \end{aligned}$$ 2. Obliczamy drogę przebytą podczas jazdy wolnej w jednym cyklu: $$\begin{aligned} s_2 &= v_2 \cdot t_2 \\[8pt] &= 6\text{ km/h} \cdot \dfrac{3}{60}\text{ h} \\[8pt] &= \dfrac{18}{60}\text{ km} = 0{,}3\text{ km} \quad (= 300\text{ m}) \end{aligned}$$ 3. Całkowita droga pokonana w jednym pełnym cyklu wynosi: $$s_{\text{cyklu}} = s_1 + s_2 = 2{,}1\text{ km} + 0{,}3\text{ km} = 2{,}4\text{ km} \quad (= 2400\text{ m})$$ 4. Ponieważ trening składał się z $N = 4$ takich cykli, całkowita przebyta droga wynosi: $$s_c = N \cdot s_{\text{cyklu}} = 4 \cdot 2{,}4\text{ km} = 9{,}6\text{ km} \quad (= 9600\text{ m})$$ 5. Całkowity czas trwania treningu to: $$\begin{aligned} t_{\text{cyklu}} &= t_1 + t_2 = 7\text{ min} + 3\text{ min} = 10\text{ min} = \dfrac{10}{60}\text{ h} = \dfrac{1}{6}\text{ h} \\[8pt] t_c &= N \cdot t_{\text{cyklu}} = 4 \cdot 10\text{ min} = 40\text{ min} = \dfrac{40}{60}\text{ h} = \dfrac{2}{3}\text{ h} \quad (= 2400\text{ s}) \end{aligned}$$ 6. Wyznaczamy średnią wartość prędkości: $$\begin{aligned} v_{\text{śr}} &= \dfrac{s_c}{t_c} \\[8pt] &= \dfrac{9{,}6\text{ km}}{\dfrac{2}{3}\text{ h}} = 9{,}6 \cdot \dfrac{3}{2}\text{ km/h} = 14{,}4\text{ km/h} \end{aligned}$$ Przeliczamy otrzymaną wartość na jednostki układu SI ($\text{m/s}$): $$v_{\text{śr}} = \dfrac{14{,}4}{3{,}6}\text{ m/s} = 4\text{ m/s}$$
Sposób II – Wykorzystanie niezależności prędkości średniej od liczby powtórzonych cykli:
Zapiszmy ogólny wzór na prędkość średnią z uwzględnieniem liczby cykli $N$: $$v_{\text{śr}} = \dfrac{s_c}{t_c} = \dfrac{N \cdot (s_1 + s_2)}{N \cdot (t_1 + t_2)} = \dfrac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2} = \dfrac{v_1 \cdot t_1 + v_2 \cdot t_2}{t_1 + t_2}$$ Zauważmy, że liczba powtórzeń $N$ ulega skróceniu. Średnia prędkość w $4$ identycznych cyklach jest dokładnie taka sama jak w pojedynczym cyklu.

Podstawiamy dane w jednostkach SI ($v$ w $\text{m/s}$, $t$ w $\text{s}$): $$\begin{aligned} v_{\text{śr}} &= \dfrac{5\text{ m/s} \cdot 420\text{ s} + \dfrac{5}{3}\text{ m/s} \cdot 180\text{ s}}{420\text{ s} + 180\text{ s}} \\[8pt] &= \dfrac{2100\text{ m} + 300\text{ m}}{600\text{ s}} \\[8pt] &= \dfrac{2400\text{ m}}{600\text{ s}} = 4\text{ m/s} \end{aligned}$$ Przeliczając na kilometry na godzinę: $$v_{\text{śr}} = 4 \cdot 3{,}6\text{ km/h} = 14{,}4\text{ km/h}$$

Odpowiedź:
Średnia wartość prędkości rolkarza wynosi: $v_{\text{śr}} = 14{,}4\text{ km/h} = 4\text{ m/s}$

Zadanie 5

Rolkarz odbywający trening na prostej alei parkowej przez pewien czas poruszał się ze stałą prędkością $v_2 = 6\text{ m/s}$, a faza ta trwała $t_2 = 25\text{ min}$. Poprzedzający ten odcinek fragment trasy zajął mu również $t_1 = 25\text{ min}$, lecz wtedy jego prędkość wynosiła $v_1 = 4\text{ m/s}$. Wyznacz średnią prędkość rolkarza na całej przebytej trasie.

Wskazówki:

Prędkość średnia w ruchu prostoliniowym to iloraz całkowitej drogi przez całkowity czas trwania ruchu: $v_{\text{śr}} = \dfrac{s_c}{t_c}$. Nie jest ona równa średniej arytmetycznej prędkości w każdym przypadku – staje się nią wyłącznie wtedy, gdy czasy trwania poszczególnych etapów są sobie równe.
Przed rozpoczęciem obliczeń rachunkowych należy ujednolicić jednostki, przeliczając czas podany w minutach na sekundy ($1\text{ min} = 60\text{ s}$).

Dane i szukane:

Dane:
$t_1 = 25\text{ min} = 25 \cdot 60\text{ s} = 1500\text{ s}$
$v_1 = 4\text{ m/s}$
$t_2 = 25\text{ min} = 25 \cdot 60\text{ s} = 1500\text{ s}$
$v_2 = 6\text{ m/s}$
Szukane:
$v_{\text{śr}} = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza etapów ruchu rolkarza:
Ruch rolkarza odbywa się po prostej i składa się z dwóch faz o identycznym czasie trwania. Na pierwszym odcinku rolkarz porusza się z mniejszą prędkością $v_1$, a na drugim z większą prędkością $v_2$.
Sposób I – Obliczenie z podstawowej definicji prędkości średniej:
Wychodzimy z definicji prędkości średniej jako stosunku całkowitej drogi $s_c$ do całkowitego czasu ruchu $t_c$: $$ v_{\text{śr}} = \dfrac{s_c}{t_c} = \dfrac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2} $$ Wyznaczamy drogi przebyte w poszczególnych etapach, korzystając ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnym prostoliniowym $s = v \cdot t$: $$ \begin{aligned} s_1 &= v_1 \cdot t_1 \\[8pt] &= 4\text{ m/s} \cdot 1500\text{ s} = 6000\text{ m} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} s_2 &= v_2 \cdot t_2 \\[8pt] &= 6\text{ m/s} \cdot 1500\text{ s} = 9000\text{ m} \end{aligned} $$ Obliczamy całkowitą drogę oraz całkowity czas trwania ruchu: $$ \begin{aligned} s_c &= s_1 + s_2 \\[8pt] &= 6000\text{ m} + 9000\text{ m} = 15000\text{ m} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} t_c &= t_1 + t_2 \\[8pt] &= 1500\text{ s} + 1500\text{ s} = 3000\text{ s} \end{aligned} $$ Wstawiamy otrzymane wielkości do wzoru na prędkość średnią: $$ \begin{aligned} v_{\text{śr}} &= \dfrac{15000\text{ m}}{3000\text{ s}} \\[8pt] &= 5\text{ m/s} \end{aligned} $$ Przeliczając na kilometry na godzinę ($1\text{ m/s} = 3{,}6\text{ km/h}$): $$ 5\text{ m/s} = 5 \cdot 3{,}6\text{ km/h} = 18\text{ km/h} $$
Sposób II – Wykorzystanie tożsamości dla równych przedziałów czasu oraz interpretacja na wykresie $v(t)$:
Jeżeli czasy trwania obu odcinków są identyczne ($t_1 = t_2 = t$), wzór na prędkość średnią upraszcza się do średniej arytmetycznej prędkości cząstkowych: $$ \begin{aligned} v_{\text{śr}} &= \dfrac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2} \\[8pt] &= \dfrac{v_1 \cdot t + v_2 \cdot t}{t + t} \\[8pt] &= \dfrac{t \cdot (v_1 + v_2)}{2t} \\[8pt] &= \dfrac{v_1 + v_2}{2} \end{aligned} $$ Podstawiamy dane liczbowe: $$ \begin{aligned} v_{\text{śr}} &= \dfrac{4\text{ m/s} + 6\text{ m/s}}{2} \\[8pt] &= \dfrac{10\text{ m/s}}{2} = 5\text{ m/s} \end{aligned} $$ Na wykresie zależności prędkości od czasu pole pod wykresem reprezentuje przebytą drogę, a linia przerywana wyznacza stałą prędkość średnią dającą dokładnie takie samo pole całkowite.

Odpowiedź:
$v_{\text{śr}} = 5\text{ m/s}$ (czyli $18\text{ km/h}$)

Grupa B

Zadanie 1

Tancerz ćwiczący na parkiecie poruszał się wzdłuż prostej linii scenicznej. Cały układ trwał $t_c = 0{,}9\text{ min}$. Pojedyncza sekwencja choreograficzna polegała na wykonaniu $2$ kroków do przodu oraz $5$ kroków do tyłu. Tancerz powtórzył tę sekwencję dokładnie $15$ razy. Długość każdego kroku wynosiła $l = 60\text{ cm}$. Przyjmij początek osi liczbowej w miejscu rozpoczęcia układu, a zwrot dodatni w kierunku kroków do przodu.

a) Wyznacz współrzędną przemieszczenia tancerza po wykonaniu całego układu.
b) Ustal współrzędną wektora jego prędkości średniej.
c) Oblicz średnią wartość prędkości (szybkość) tancerza w trakcie tego ćwiczenia.
Wartości prędkości w podpunktach b) i c) podaj w $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Zadanie 2

Kolarz trenował interwały na prostoliniowym odcinku szosy o długości $l = 0{,}9\text{ km}$ przy silnym, jednostajnym wietrze wiejącym równolegle do jezdni. Pojedynczy przejazd z wiatrem zajmował mu czas $t_1 = 2\text{ min}$, natomiast pokonanie tego samego dystansu w kierunku przeciwnym (pod wiatr) trwało $t_2 = 4{,}5\text{ min}$. Zawodnik rozpoczął trening od przejazdu z wiatrem i pokonał trasę łącznie $3$ razy z wiatrem oraz $2$ razy pod wiatr. Przyjmij oś współrzędnych ze zwrotem w kierunku wiania wiatru oraz początek układu ($x_1 = 0$) w miejscu startu treningu. Oblicz:

a) współrzędną wektora przemieszczenia kolarza po zakończeniu całej serii przejazdów,

b) współrzędną wektora prędkości średniej oraz średnią wartość prędkości (szybkość średnią) kolarza podczas całego treningu.

Zadanie 3

Paulina realizuje trening interwałowy na rowerze wzdłuż prostej ścieżki nadrzecznej. Łączny czas treningu wynosił 30 minut i składał się z trzech równych części po 10 minut każda. Po każdych 10 minutach rowerzystka natychmiast zawracała i jechała w przeciwnym kierunku. Komputer rowerowy wskazywał stałą prędkość intensywnej jazdy $v_s = 4\text{ m/s}$ oraz stałą prędkość spokojnej jazdy regeneracyjnej $v_w = 2\text{ m/s}$.

Zależność położenia rowerzystki $x$ od czasu $t$ przedstawiono na wykresie. Początek osi położenia $x_1 = 0$ odpowiada miejscu startu w chwili $t_1 = 0$. Strome fragmenty wykresu oznaczają intensywną jazdę, a łagodne – jazdę regeneracyjną.

a) Odczytaj z wykresu, ile minut trwała intensywna jazda, a ile jazda regeneracyjna w trakcie pierwszych 10 minut treningu.
b) Oblicz całkowite przemieszczenie rowerzystki oraz wartość jej prędkości średniej po upływie 30 minut treningu.
c) Oblicz całkowitą drogę przebytą przez Paulinę oraz wyznacz średnią wartość jej prędkości (szybkość średnią).

Zadanie 4

Kajakarz trenujący na torze regatowym zrealizował jednostkę treningową złożoną z $5$ powtórzeń jednakowego cyklu wysiłkowego. W każdym pojedynczym cyklu przez czas $6\text{ min}$ płynął tempem wyścigowym z prędkością $24\text{ km/h}$, a następnie przez $4\text{ min}$ wiosłował spokojnie w tempie rozjazdu z prędkością $9\text{ km/h}$. Wyznacz średnią prędkość kajakarza podczas całego zrealizowanego treningu. Odpowiedź podaj w $\text{km/h}$ oraz w $\text{m/s}$.

Zadanie 5

Kierujący hulajnogą elektryczną pokonał prostoliniowy odcinek drogi w dwóch fazach czasowych. Podczas końcowego etapu trwającego $t_2 = 15\text{ min}$ jechał ze stałą prędkością $v_2 = 5{,}5\text{ m/s}$, natomiast w początkowej fazie trwającej $t_1 = 15\text{ min}$ prędkość pojazdu wynosiła $v_1 = 3{,}5\text{ m/s}$. Z jaką średnią prędkością poruszała się hulajnoga na całym dystansie?

2.3. Prędkość w ruchu prostoliniowym

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋