Funkcje sprawdzian 2 LiczBit

Funkcje

Sprawdzian 2

Grupa A

Zadanie 1

Rozważ przyporządkowanie elementów ze zbioru $A = \{-2, 1, 3, 5\}$ elementom zbioru $B = \{0, 4, 7, 9\}$, którego początkowy schemat zilustrowano na poniższym grafie. Rozstrzygnij, czy możliwe jest dodanie kolejnych strzałek (bez wymazywania już naniesionych powiązań) w taki sposób, aby powstały graf reprezentował funkcję ze zbioru $A$ w zbiór $B$. Odpowiedź starannie uzasadnij.

Wskazówki:

Przypomnij sobie definicję funkcji: przyporządkowanie ze zbioru $A$ w zbiór $B$ jest funkcją, jeżeli każdemu elementowi ze zbioru $A$ odpowiada dokładnie jeden element ze zbioru $B$.
Zwróć uwagę na liczbę strzałek wychodzących z każdego elementu dziedziny na grafie oraz na fakt, że uzupełnianie grafu polega wyłącznie na dodawaniu nowych strzałek, a nie na usuwaniu już narysowanych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Przypomnienie definicji funkcji ze zbioru w zbiór:
Relacja (przyporządkowanie) ze zbioru $A$ w zbiór $B$ jest funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są łącznie dwa fundamentalne warunki:
1. Każdemu elementowi zbioru $A$ przypisany jest co najmniej jeden element ze zbioru $B$ (z każdego punktu zbioru $A$ musi wychodzić strzałka).
2. Każdemu elementowi zbioru $A$ przypisany jest co najwyżej jeden element ze zbioru $B$ (z żadnego punktu zbioru $A$ nie może wychodzić więcej niż jedna strzałka).

Krótko mówiąc: z każdego elementu zbioru $A$ na grafie musi wychodzić dokładnie jedna strzałka.
Analiza obecnego stanu grafu i identyfikacja sprzeczności:
Sprawdzamy liczbę strzałek wychodzących z poszczególnych elementów dziedziny $A$:
- Dla argumentu $-2$: wychodzi $1$ strzałka (do wartości $0$).
- Dla argumentu $1$: nie wychodzi żadna strzałka.
- Dla argumentu $3$: wychodzą $2$ strzałki — jedna prowadzi do liczby $7$, a druga do liczby $9$: $$3 \to 7 \quad \text{oraz} \quad 3 \to 9$$
- Dla argumentu $5$: nie wychodzi żadna strzałka.
Ocena możliwości uzupełnienia grafu i sformułowanie wniosku:
Polecenie pyta, czy graf można uzupełnić, co oznacza wyłącznie dopisanie (dorysowanie) nowych strzałek łączących elementy, które jeszcze nie mają przyporządkowania (czyli dla liczb $1$ i $5$).

Niezależnie od tego, ile nowych strzałek dorysujemy z pozostałych elementów, strzałki już narysowane muszą pozostać na grafie. Ponieważ elementowi $3$ przypisano już dwie różne wartości ($7$ oraz $9$), warunek jednoznaczności funkcji został trwale naruszony.

Zatem tego grafu nie można uzupełnić tak, aby przedstawiał funkcję.

Odpowiedź:
Nie, grafu nie można uzupełnić tak, aby przedstawiał funkcję. Z elementu $3 \in A$ wychodzą dwie strzałki (do $7$ i $9$), co oznacza, że jednemu argumentowi przyporządkowano dwie różne wartości, co jest sprzeczne z definicją funkcji. Dodanie kolejnych strzałek nie usunie tej sprzeczności.

Zadanie 2

Wyznacz współrzędne wszystkich punktów o obu współrzędnych całkowitych, które należą do wykresu funkcji $f$ danej wzorem: $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{3}x + 1 & \text{dla } x \in \langle -6; 0) \\[8pt] -2 & \text{dla } x \in \langle 1; 4) \\[8pt] 5 - x & \text{dla } x \in (4; 5) \end{cases}$$

Wskazówki:

Punkt $(x, y)$ ma obie współrzędne całkowite wtedy i tylko wtedy, gdy argument $x$ jest liczbą całkowitą oraz odpowiadająca mu wartość funkcji $y = f(x)$ również jest liczbą całkowitą ($x \in \mathbb{Z}$ i $y \in \mathbb{Z}$).
Rozpatruj każdy z trzech przedziałów określoności osobno. Wypisz najpierw wszystkie argumenty całkowite należące do danego przedziału, zwracając baczną uwagę na nawiasy domknięte $\langle \dots \rangle$ oraz otwarte $(\dots)$.
Dla każdego całkowitego argumentu oblicz wartość funkcji i sprawdź, czy wynik jest liczbą całkowitą. Jeśli przedział nie zawiera żadnych liczb całkowitych, oznacza to brak szukanych punktów w tej części wykresu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie punktów dla pierwszej części wykresu, gdy $x \in \langle -6; 0)$:
Wypisujemy wszystkie liczby całkowite należące do przedziału $\langle -6; 0)$: $$x \in \{-6, -5, -4, -3, -2, -1\}$$ Warto zauważyć, że liczba $0$ nie należy do tego przedziału z uwagi na nawias okrągły.
Wzór funkcji dla tych argumentów to: $$f(x) = \dfrac{1}{3}x + 1$$ Aby wartość $f(x)$ była całkowita, składnik $\dfrac{1}{3}x$ musi być liczbą całkowitą, co oznacza, że argument $x$ musi być podzielny przez $3$. Obliczamy wartości dla poszczególnych argumentów: $$\begin{aligned} x = -6: \quad f(-6) &= \dfrac{1}{3} \cdot (-6) + 1 = -2 + 1 = -1 \in \mathbb{Z} \implies (-6, -1) \\[8pt] x = -5: \quad f(-5) &= \dfrac{1}{3} \cdot (-5) + 1 = -\dfrac{5}{3} + 1 = -\dfrac{2}{3} \notin \mathbb{Z} \\[8pt] x = -4: \quad f(-4) &= \dfrac{1}{3} \cdot (-4) + 1 = -\dfrac{4}{3} + 1 = -\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{Z} \\[8pt] x = -3: \quad f(-3) &= \dfrac{1}{3} \cdot (-3) + 1 = -1 + 1 = 0 \in \mathbb{Z} \implies (-3, 0) \\[8pt] x = -2: \quad f(-2) &= \dfrac{1}{3} \cdot (-2) + 1 = -\dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{1}{3} \notin \mathbb{Z} \\[8pt] x = -1: \quad f(-1) &= \dfrac{1}{3} \cdot (-1) + 1 = -\dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{2}{3} \notin \mathbb{Z} \end{aligned}$$ Z pierwszej gałęzi funkcji otrzymujemy dwa punkty o obu współrzędnych całkowitych: $(-6, -1)$ oraz $(-3, 0)$.
Wyznaczenie punktów dla drugiej oraz trzeciej części wykresu:
Dla drugiego przedziału $x \in \langle 1; 4)$ funkcja jest funkcją stałą: $$f(x) = -2$$ Liczby całkowite należące do przedziału $\langle 1; 4)$ to: $$x \in \{1, 2, 3\}$$ Liczba $4$ nie należy do przedziału. Ponieważ dla każdego z tych argumentów wartość $f(x) = -2$ jest całkowita, każdy z nich daje punkt o obu współrzędnych całkowitych: $$(1, -2), \quad (2, -2), \quad (3, -2)$$ Dla trzeciego przedziału $x \in (4; 5)$ funkcja ma wzór $f(x) = 5 - x$. Sprawdzamy obecność liczb całkowitych w tym przedziale: $$(4; 5) \cap \mathbb{Z} = \emptyset$$ Przedział $(4; 5)$ jest obustronnie otwarty i zawarty pomiędzy dwoma kolejnymi liczbami całkowitymi, więc nie zawiera żadnej liczby całkowitej. Z tej części funkcji nie otrzymujemy żadnego punktu.
Zestawienie wyznaczonych punktów oraz interpretacja graficzna:
Wykres funkcji składa się z trzech rozłącznych odcinków. Wszystkie punkty kratowe (o współrzędnych całkowitych) należące do wykresu zostały wyróżnione kolorem czerwonym:

Odpowiedź:
Wszystkie punkty o obu współrzędnych całkowitych należące do wykresu tej funkcji to: $$(-6, -1), \quad (-3, 0), \quad (1, -2), \quad (2, -2), \quad (3, -2)$$

Zadanie 3

Dla funkcji $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ zdefiniowanej wzorem $$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{dla } x \in (-\infty; 0) \\[8pt] -x + 3 & \text{dla } x \in \langle 0; 2) \\[8pt] 1 & \text{dla } x \in \langle 2; \infty) \end{cases} \end{aligned}$$ wyznacz wartości $f(-2\sqrt{3})$ oraz $f(\sqrt{5}-1)$, a następnie sporządź jej wykres w prostokątnym układzie współrzędnych.

Wskazówki:

Zwróć uwagę, do którego z trzech przedziałów określoności należy badany argument, a następnie podstaw go do odpowiedniego wzoru cząstkowego.
Szacuj wartości pierwiastków niewymiernych (np. $\sqrt{12} \approx 3{,}46$, $\sqrt{5} \approx 2{,}24$), aby bezbłędnie zlokalizować właściwy przedział dziedziny.
Przy sporządzaniu wykresu wyznacz punkty brzegowe poszczególnych przedziałów i połącz je odpowiednimi odcinkami lub półprostą.

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenie wartości funkcji dla argumentu $x = -2\sqrt{3}$:
Wartość badanego argumentu to $x = -2\sqrt{3} = -\sqrt{12}$. Ponieważ zachodzi nierówność $3 < \sqrt{12} < 4$, po pomnożeniu przez $-1$ otrzymujemy: $$-4 < -2\sqrt{3} < -3$$ Oznacza to, że argument spełnia warunek $x < 0$, czyli należy do pierwszego przedziału dziedziny $x \in (-\infty; 0)$. Korzystamy ze wzoru $f(x) = x + 3$: $$\begin{aligned} f(-2\sqrt{3}) &= -2\sqrt{3} + 3 \\[8pt] &= 3 - 2\sqrt{3} \end{aligned}$$
Obliczenie wartości funkcji dla argumentu $x = \sqrt{5} - 1$:
Szacujemy położenie argumentu $x = \sqrt{5} - 1$. Wiemy, że $2 < \sqrt{5} < 3$. Odejmując $1$ od każdej strony nierówności, uzyskujemy: $$1 < \sqrt{5} - 1 < 2$$ Wobec tego argument spełnia warunek $0 \le x < 2$, czyli należy do środkowego przedziału dziedziny $\langle 0; 2)$. Wstawiamy go do wzoru $f(x) = -x + 3$: $$\begin{aligned} f(\sqrt{5} - 1) &= -(\sqrt{5} - 1) + 3 \\[8pt] &= -\sqrt{5} + 1 + 3 \\[8pt] &= 4 - \sqrt{5} \end{aligned}$$
Wyznaczenie punktów charakterystycznych i sporządzenie wykresu funkcji:
Analizujemy przebieg funkcji w poszczególnych przedziałach:
- Dla $x \in (-\infty; 0)$ wykresem jest fragment prostej $y = x + 3$. Przechodzi przez punkt przecięcia z osią $OX$: $(-3, 0)$ oraz zmierza do punktu $(0, 3)$.
- Dla $x \in \langle 0; 2)$ wykresem jest odcinek prostej $y = -x + 3$ łączący punkt $(0, 3)$ z punktem $(2, 1)$. Zauważmy, że dla $x = 0$ obie gałęzie łączą się w punkcie $(0, 3)$.
- Dla $x \in \langle 2; \infty)$ funkcja przyjmuje stałą wartość $y = 1$, co daje poziomą półprostą zaczynającą się w punkcie $(2, 1)$ i skierowaną w prawo.

Odpowiedź:
$f(-2\sqrt{3}) = 3 - 2\sqrt{3}$

$f(\sqrt{5}-1) = 4 - \sqrt{5}$

Zadanie 4

Wykres funkcji liczbowej $f$, której dziedziną jest zbiór $\langle -6; 4 \rangle$, przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych na poniższym rysunku. Korzystając z zamieszczonego wykresu, wyznacz:
a) wszystkie miejsca zerowe funkcji $f$,
b) maksymalne przedziały, w których funkcja $f$ jest rosnąca, oraz przedziały, w których jest malejąca,
c) zbiór wszystkich argumentów $x$, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne.

Wskazówki:

Miejsca zerowe funkcji to punkty przecięcia lub zetknięcia wykresu z osią $OX$ (argumenty $x$, dla których $f(x) = 0$).
Przedziały monotoniczności odczytujemy wzdłuż osi $OX$ od lewej do prawej: sprawdzamy, gdzie wraz ze wzrostem argumentów wartości rosną (wykres pnie się w górę), a gdzie maleją (wykres opada). Poszczególne przedziały wymieniamy rozłącznie (nie łączymy ich symbolem sumy $\cup$).
Wartości ujemne oznaczają nierówność $f(x) < 0$ – szukamy argumentów $x$, dla których wykres znajduje się ściśle poniżej osi $OX$. W miejscach zerowych wartość wynosi $0$, zatem same punkty zerowe nie należą do rozwiązań ostrej nierówności.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Odczytanie miejsc zerowych funkcji z wykresu:
Miejscem zerowym funkcji jest każdy taki argument $x$, dla którego wartość funkcji wynosi zero ($f(x) = 0$), czyli punkt wykresu leży bezpośrednio na osi poziomej $OX$.

Analizując punkty wspólne wykresu z osią $OX$, odczytujemy: $$x = -4, \quad x = -1, \quad x = 3$$ Zatem zbiorem miejsc zerowych jest: $$\{-4, -1, 3\}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie maksymalnych przedziałów monotoniczności:
Analizujemy kierunek przebiegu wykresu wzdłuż osi $OX$ od skrajnego lewego końca dziedziny $x = -6$ do skrajnego prawego końca $x = 4$:

1. Funkcja rosnąca: Wartości rosną na odcinkach, gdzie wykres wznosi się w prawo: $$\begin{aligned} x &\in \langle -6; -2 \rangle \\[8pt] x &\in \langle -1; 2 \rangle \end{aligned}$$ 2. Funkcja malejąca: Wartości maleją na odcinkach, gdzie wykres opada w prawo: $$\begin{aligned} x &\in \langle -2; -1 \rangle \\[8pt] x &\in \langle 2; 4 \rangle \end{aligned}$$ Zgodnie z wymaganiami szkolnymi przedziały monotoniczności zapisujemy jako osobne zbiory (rozdzielone spójnikiem „oraz”), a nie w postaci ich sumy mnogowskazowej.
Podpunkt c) Wyznaczenie argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne:
Warunek $f(x) < 0$ spełniają te argumenty $x$, dla których odpowiadające im punkty wykresu znajdują się ściśle pod osią $OX$ (w IV lub III ćwiartce układu).

Wykres leży poniżej osi poziomej w dwóch odrębnych fragmentach:
• Od lewego końca dziedziny $x = -6$ (włącznie, gdyż $f(-6) = -4 < 0$) do pierwszego miejsca zerowego $x = -4$ (z wyłączeniem $-4$, bo $f(-4) = 0 \nless 0$): $$x \in \langle -6; -4)$$ • Od prawego miejsca zerowego $x = 3$ (z wyłączeniem $3$, bo $f(3) = 0$) do prawego końca dziedziny $x = 4$ (włącznie, gdyż $f(4) = -3 < 0$): $$x \in (3; 4\rangle$$
Ważna uwaga: W punkcie $x = -1$ funkcja ma wartość równą zero ($f(-1) = 0$), więc nie jest ona ujemna. Punkt ten nie należy do rozwiązania.

Ostatecznie zbiór wszystkich argumentów spełniających warunek $f(x) < 0$ zapisujemy w postaci sumy przedziałów: $$x \in \langle -6; -4) \cup (3; 4\rangle$$

Odpowiedź:
a) Miejsca zerowe: $x \in \{-4, -1, 3\}$

b) Przedziały monotoniczności:
– rosnąca w: $\langle -6; -2 \rangle$ oraz $\langle -1; 2 \rangle$
– malejąca w: $\langle -2; -1 \rangle$ oraz $\langle 2; 4 \rangle$

c) Wartości ujemne ($f(x) < 0$): $x \in \langle -6; -4) \cup (3; 4\rangle$

Zadanie 5

W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono wykres funkcji $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, składający się z odcinków oraz dwóch nieskończonych półprostych. Na podstawie tej funkcji zdefiniowano funkcję $g$ wzorem $g(x) = |f(-x)|$. Naszkicuj wykres funkcji $g$, a następnie wyznacz:

a) zbiór wszystkich rozwiązań równania $g(x) = 2$,

b) zbiór argumentów spełniających nierówność $g(x) > 3$,

c) zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność $f(x) \leqslant 0$.

Wskazówki:

Przekształcenie $x \mapsto -x$ w argumencie funkcji (czyli $y = f(-x)$) jest symetrią osiową wykresu względem pionowej osi $OY$.
Złożenie z wartością bezwzględną $g(x) = |f(-x)|$ oznacza, że części wykresu leżące powyżej osi $OX$ lub na niej pozostają bez zmian, natomiast wszystkie fragmenty leżące pod osią $OX$ odbijamy symetrycznie do góry względem osi $OX$.
Rozwiązania równania $g(x) = 2$ to odcięte $x$ punktów przecięcia wykresu funkcji $g$ z poziomą prostą $y = 2$.
Nierówność $g(x) > 3$ wyznacza przedziały, na których wykres $g$ przebiega ściśle powyżej prostej $y = 3$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza punktów węzłowych funkcji $f$:
Odczytujemy z siatki współrzędne charakterystycznych punktów załamań oraz miejsc zerowych wyjściowej funkcji $f$: $$(-4, 2),\quad (-3, 0),\quad (-2, -2),\quad (-1, 0),\quad (0, 2),\quad (2, 4),\quad (3, 4),\quad (4, 2),\quad (5, 0)$$ Funkcja składa się z lewej półprostej o nachyleniu $-1$ (przechodzącej przez $(-4, 2)$), odcinków łączących powyższe punkty oraz prawej półprostej o nachyleniu $-1$ wychodzącej z punktu $(5, 0)$.
Konstrukcja funkcji pomocniczej $h(x) = f(-x)$ oraz docelowej $g(x) = |h(x)|$:
W pierwszym kroku przekształcamy punkty wykresu poprzez symetrię względem osi $OY$ ($x \mapsto -x$): $$\begin{aligned} (x, y) &\longrightarrow (-x, y) \\[8pt] (-4, 2) &\longrightarrow (4, 2) \\[8pt] (-2, -2) &\longrightarrow (2, -2) \\[8pt] (0, 2) &\longrightarrow (0, 2) \\[8pt] (2, 4) &\longrightarrow (-2, 4) \\[8pt] (3, 4) &\longrightarrow (-3, 4) \\[8pt] (5, 0) &\longrightarrow (-5, 0) \end{aligned}$$ Następnie nakładamy wartość bezwzględną $g(x) = |h(x)|$. Punkt $(2, -2)$, który leżał poniżej osi $OX$, przechodzi na punkt $(2, 2)$, a fragment na przedziale $x \in [1, 3]$ tworzy charakterystyczne załamanie skierowane ku górze z wierzchołkiem w $(2, 2)$. Lewa półprosta funkcji $h$ dla $x \leqslant -5$ miała ujemne wartości i po odbiciu staje się półprostą o równaniu $y = -x - 5$.
Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $g(x) = 2$:
Szukamy punktów przecięcia wykresu funkcji $g$ z poziomą prostą $y = 2$. Analizując kolejne fragmenty wykresu funkcji $g$:
• dla $x \leqslant -5$: $-x - 5 = 2 \implies x = -7$,
• dla $x \in [-5, -3]$: odcinek od $(-5, 0)$ do $(-3, 4)$ ma równanie $y = 2x + 10$; podstawiając $y = 2$ otrzymujemy $2x + 10 = 2 \implies x = -4$,
• dla $x = 0$: $g(0) = 2$,
• dla $x \in [1, 3]$: załamanie osiąga wartość maksymalną równą $2$ dokładnie w punkcie $x = 2$, czyli $g(2) = 2$,
• dla $x = 4$: $g(4) = 2$ (odcinek od $(3, 0)$ do $(4, 2)$ oraz początek prawej półprostej $y = x - 2$).

Zatem równanie ma 5 rozwiązań: $$x \in \{-7, -4, 0, 2, 4\}$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $g(x) > 3$:
Wyznaczamy argumenty, dla których wykres funkcji $g$ znajduje się ściśle nad prostą $y = 3$:
• na lewej półprostej: $-x - 5 > 3 \iff -x > 8 \iff x < -8$,
• wokół wierzchołka: na odcinku rosnącym $2x + 10 = 3 \implies x = -\dfrac{7}{2} = -3{,}5$, poziomy odcinek ma wartość $4 > 3$ na przedziale $[-3, -2]$, a na odcinku opadającym prosta $y = 2 - x$ osiąga wartość $3$ dla $x = -1$. Daje to przedział $\left(-\dfrac{7}{2}, -1\right)$,
• na prawej półprostej: prosta $y = x - 2$ osiąga wartość $3$ dla $x = 5$, zatem $g(x) > 3$ dla $x > 5$.

Zbiór rozwiązań nierówności to: $$x \in (-\infty, -8) \cup \left(-\dfrac{7}{2}, -1\right) \cup (5, \infty)$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $f(x) \leqslant 0$:
Wracamy do wyjściowego wykresu funkcji $f$ i odczytujemy argumenty, dla których wykres znajduje się na osi $OX$ lub poniżej niej:
• fragment leżący poniżej osi $OX$ pomiędzy miejscami zerowymi $x = -3$ oraz $x = -1$ z minimum w punkcie $(-2, -2)$, co daje przedział domknięty $[-3, -1]$,
• prawa półprosta zaczynająca się w miejscu zerowym $x = 5$ i zmierzająca ku dołowi, co daje przedział $[5, \infty)$.

Rozwiązaniem nierówności $f(x) \leqslant 0$ jest suma przedziałów: $$x \in [-3, -1] \cup [5, \infty)$$

Odpowiedź:
a) $x \in \{-7, -4, 0, 2, 4\}$

b) $x \in (-\infty, -8) \cup \left(-\dfrac{7}{2}, -1\right) \cup (5, \infty)$

c) $x \in [-3, -1] \cup [5, \infty)$

Zadanie 6

W kartezjańskim układzie współrzędnych naszkicowano wykresy funkcji $f$ oraz $g$, których wspólną dziedziną jest przedział $\langle -4, 5 \rangle$. Prawdziwa dla każdego argumentu $x \in \langle -4, 5 \rangle$ jest równość:

A. $g(x) = -f(x)$

B. $g(x) = f(-x)$

C. $g(-x) = f(x)$

D. $g(-x) = -f(x)$

Wskazówki:

Wybierz kilka charakterystycznych punktów leżących na siatce kratek dla tych samych argumentów $x$ (np. dla $x = 0$, $x = 1$ czy $x = -4$) i porównaj wartości obu funkcji.
Zwróć uwagę na położenie wykresów względem osi układu współrzędnych – zmiana znaku całej funkcji $y = -f(x)$ odpowiada symetrii względem osi $OX$, natomiast zmiana znaku argumentu $y = f(-x)$ odpowiada symetrii względem osi $OY$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i odczytanie wartości funkcji dla wybranych argumentów:
Wybieramy kilka charakterystycznych argumentów należących do dziedziny $\langle -4, 5 \rangle$ i odczytujemy z siatki współrzędne punktów należących do wykresów obu funkcji:
- dla $x = 0$: $f(0) = 2$ oraz $g(0) = -2$,
- dla $x = 1$: $f(1) = 1$ oraz $g(1) = -1$,
- dla $x = -4$: $f(-4) = -2$ oraz $g(-4) = 2$,
- dla $x = 5$: $f(5) = -2$ oraz $g(5) = 2$,
- dla miejsca zerowego $x = -2$: $f(-2) = 0$ oraz $g(-2) = 0$.
Zestawienie algebraiczne i wyznaczenie wzoru zależności:
Zestawiając pary wartości dla każdego zbadanego argumentu: $$\begin{aligned} g(0) &= -2 = -(2) = -f(0) \\[8pt] g(1) &= -1 = -(1) = -f(1) \\[8pt] g(-4) &= 2 = -(-2) = -f(-4) \\[8pt] g(5) &= 2 = -(-2) = -f(5) \end{aligned}$$ Widzimy, że dla każdego punktu zachodzi zależność: $$g(x) = -f(x)$$ Odrzucamy pozostałe warianty:
- $g(x) = f(-x)$ oznaczałoby odbicie lustrzane względem pionowej osi $OY$. Wówczas dla $x = 0$ mielibyśmy $g(0) = f(0) = 2$, co stoi w sprzeczności z $g(0) = -2$.
- $g(-x) = f(x)$ jest tożsame z $g(x) = f(-x)$.
- $g(-x) = -f(x)$ oznaczałoby symetrię środkową względem początku układu współrzędnych $(0,0)$.
Interpretacja geometryczna przekształcenia wykresu:
Wykres funkcji $g$ powstaje w wyniku symetrii osiowej wykresu funkcji $f$ względem poziomej osi $OX$ układu współrzędnych ($S_{OX}$): $$(x, y) \xrightarrow{S_{OX}} (x, -y)$$ Zatem rzędne wszystkich punktów zmieniają znak na przeciwny przy zachowaniu tej samej odciętej $x$, co bezpośrednio daje równość $g(x) = -f(x)$.

Odpowiedź:
A. $g(x) = -f(x)$

Grupa B

Zadanie 1

Na poniższym schemacie przedstawiono częściowy graf relacji przyporządkowującej elementom zbioru $X = \{-3, 0, 2, 6\}$ elementy zbioru $Y = \{1, 4, 5, 8\}$. Ustal, czy dorysowując wyłącznie brakujące powiązania (bez usuwania istniejących), można uzupełnić ten graf tak, aby określał funkcję ze zbioru $X$ w zbiór $Y$. Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 2

Ustal wszystkie punkty o obu współrzędnych będących liczbami całkowitymi, które leżą na wykresie funkcji $g$ określonej wzorem: $$g(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}x + 2 & \text{dla } x \in (-2; 4\rangle \\[8pt] 4 & \text{dla } x \in (5; 7\rangle \\[8pt] x - 3 & \text{dla } x \in (7; 8) \end{cases}$$

Zadanie 3

Funkcja $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ jest zadana za pomocą wzoru klamrowego: $$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} x + 5 & \text{dla } x \in (-\infty; 0) \\[8pt] -x + 5 & \text{dla } x \in \langle 0; 3) \\[8pt] 2 & \text{dla } x \in \langle 3; \infty) \end{cases} \end{aligned}$$ Ustal wartości $f(-3\sqrt{2})$ oraz $f(\sqrt{7}-1)$, a także naszkicuj jej wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Zadanie 4

W kartezjańskim układzie współrzędnych sporządzono wykres funkcji $g\colon \langle -5; 5 \rangle \to \mathbb{R}$, który zilustrowano na poniższym rysunku. Odczytaj z wykresu:
a) wszystkie argumenty $x$, dla których funkcja $g$ przyjmuje wartości ujemne,
b) zbiór wszystkich miejsc zerowych funkcji $g$,
c) maksymalne przedziały, w których funkcja $g$ jest rosnąca, oraz przedziały, w których jest malejąca.

Zadanie 5

Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji kawałkami liniowej $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, określonej na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Wyznaczając przekształcenie $g(x) = |f(-x)|$, sporządź staranny szkic wykresu nowo powstałej funkcji $g$ i odczytaj:

a) zbiór wszystkich rozwiązań równania $g(x) = 2$,

b) zbiór liczb spełniających nierówność $g(x) > 3$,

c) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości niedodatnie: $f(x) \leqslant 0$.

Zadanie 6

W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono wykresy dwóch funkcji $f$ oraz $g$, których zbiorem określoności jest przedział $\langle -5, 4 \rangle$. Dla dowolnej liczby $x \in \langle -5, 4 \rangle$ zachodzi równość:

A. $g(x) = f(-x)$

B. $g(x) = -f(x)$

C. $g(-x) = -f(x)$

D. $g(x) = f(x) - 2$

Funkcje

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋