Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Graficzne rozwiązywanie układów równań LiczBit

5.2 Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Graficzne rozwiązywanie układów równań

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Ustal, która z par liczb podanych obok danego układu równań spełnia ten układ:

a) $\begin{cases} 3x - y = 5 \\ y = 3x + 2 \end{cases}$
Pary liczb: $(1, -2)$, $(0, 2)$, $(3, 4)$

b) $\begin{cases} 0{,}3x + 0{,}5y = 4{,}5 \\ 4x - 3y = 2 \end{cases}$
Pary liczb: $\left(0, -\dfrac{2}{3}\right)$, $(-5, 12)$, $(5, 6)$

Wskazówki:

Para liczb $(x, y)$ spełnia układ równań wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia jednocześnie oba tworzące go równania.
Podstaw pierwszą współrzędną w miejsce $x$, a drugą w miejsce $y$ do każdego z równań i sprawdź, czy lewa strona jest równa prawej stronie ($L = P$).
Jeśli choć jedno z równań nie jest spełnione, cała para nie jest rozwiązaniem układu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy układ równań $\begin{cases} 3x - y = 5 \\ y = 3x + 2 \end{cases}$:
Sprawdzamy kolejno każdą z podanych par liczb:

• Dla pary $(1, -2)$:
Wstawiamy $x = 1$ oraz $y = -2$ do pierwszego równania: $$L = 3 \cdot 1 - (-2) = 3 + 2 = 5 = P$$ Pierwsze równanie jest spełnione. Sprawdzamy drugie równanie: $$\begin{aligned} L &= -2 \\[8pt] P &= 3 \cdot 1 + 2 = 5 \end{aligned}$$ Ponieważ $L \neq P$ ($-2 \neq 5$), para $(1, -2)$ nie spełnia drugiego równania, więc nie jest rozwiązaniem układu.

• Dla pary $(0, 2)$:
Wstawiamy $x = 0$ oraz $y = 2$ do pierwszego równania: $$L = 3 \cdot 0 - 2 = -2 \neq 5 = P$$ Pierwsze równanie nie jest spełnione, zatem para $(0, 2)$ nie spełnia układu.

• Dla pary $(3, 4)$:
Wstawiamy $x = 3$ oraz $y = 4$ do pierwszego równania: $$L = 3 \cdot 3 - 4 = 9 - 4 = 5 = P$$ Sprawdzamy drugie równanie: $$\begin{aligned} L &= 4 \\[8pt] P &= 3 \cdot 3 + 2 = 9 + 2 = 11 \end{aligned}$$ Widzimy, że $L \neq P$ ($4 \neq 11$), czyli drugie równanie nie jest spełnione.

Wniosek: Żadna z podanych par nie spełnia tego układu równań. Układ ten jest sprzeczny (po przekształceniu drugiego równania otrzymujemy $3x - y = -2$, co wyklucza się z pierwszym równaniem $3x - y = 5$).
Podpunkt b) Badamy układ równań $\begin{cases} 0{,}3x + 0{,}5y = 4{,}5 \\ 4x - 3y = 2 \end{cases}$:
Testujemy kolejno każdą z danych par liczb:

• Dla pary $\left(0, -\dfrac{2}{3}\right)$:
Wstawiamy $x = 0$ oraz $y = -\dfrac{2}{3}$ do pierwszego równania: $$L = 0{,}3 \cdot 0 + 0{,}5 \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -\dfrac{1}{3} \neq 4{,}5$$ Pierwsze równanie nie jest spełnione, para nie stanowi rozwiązania układu.

• Dla pary $(-5, 12)$:
Podstawiamy $x = -5$ oraz $y = 12$ do pierwszego równania: $$L = 0{,}3 \cdot (-5) + 0{,}5 \cdot 12 = -1{,}5 + 6 = 4{,}5 = P$$ Sprawdzamy drugie równanie: $$L = 4 \cdot (-5) - 3 \cdot 12 = -20 - 36 = -56 \neq 2 = P$$ Drugie równanie nie jest spełnione, więc para $(-5, 12)$ odpada.

• Dla pary $(5, 6)$:
Podstawiamy $x = 5$ oraz $y = 6$ do pierwszego równania: $$L = 0{,}3 \cdot 5 + 0{,}5 \cdot 6 = 1{,}5 + 3 = 4{,}5 = P$$ Podstawiamy do drugiego równania: $$L = 4 \cdot 5 - 3 \cdot 6 = 20 - 18 = 2 = P$$ Oba równania są spełnione jednocześnie ($L = P$).

Wniosek: Układ równań spełnia para liczb $(5, 6)$.

Odpowiedź:
a) Żadna z podanych par nie spełnia układu równań (układ jest sprzeczny).

b) Para $(5, 6)$.

Zadanie 2

Rozważ poniższe układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, z których każdy jest układem oznaczonym. Wyznacz parę liczb $(x, y)$ spełniającą dany układ metodą graficzną (rysując odpowiednie proste w układzie współrzędnych), a następnie potwierdź poprawność otrzymanego wyniku za pomocą rachunku algebraicznego.

a) $\begin{cases} x - 2y = 4 \\ x + y = 1 \end{cases}$

b) $\begin{cases} y = 2 \\ 3x + 2y = -2 \end{cases}$

c) $\begin{cases} 3x + 4y = 6 \\ 2x + y + 1 = 0 \end{cases}$

Wskazówki:

Aby rozwiązać układ graficznie, przekształć każde z równań do postaci kierunkowej $y = mx + k$, w której $m$ oznacza współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej), a $k$ punkt przecięcia z osią $OY$.
W przypadku prostej postaci $y = k$ (prosta pozioma) rzędna punktu jest stała dla każdego argumentu $x$.
Rozwiązaniem układu jest punkt przecięcia obu prostych $S = (x, y)$. Współrzędne tego punktu muszą spełniać jednocześnie oba równania wyjściowe.
Sprawdzenie algebraiczne polega na rozwiązaniu układu metodą podstawiania lub przeciwnych współczynników i porównaniu wyliczonych liczb z odczytem z wykresu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Graficzne i algebraiczne rozwiązanie układu $\begin{cases} x - 2y = 4 \\ x + y = 1 \end{cases}$:
Przekształcamy oba równania do postaci kierunkowej, aby wyznaczyć punkty ułatwiające narysowanie prostych:
Dla pierwszego równania: $$\begin{aligned} x - 2y &= 4 \\[8pt] -2y &= -x + 4 \quad \Big/ : (-2) \\[8pt] y &= \dfrac{1}{2}x - 2 \end{aligned}$$ Dla drugiego równania: $$\begin{aligned} x + y &= 1 \\[8pt] y &= -x + 1 \end{aligned}$$ Dobieramy punkty kratowe dla obu prostych:
- Dla prostej $l_1: y = \dfrac{1}{2}x - 2$: dla $x = 0 \implies y = -2$, dla $x = 4 \implies y = 0$, dla $x = 2 \implies y = -1$.
- Dla prostej $l_2: y = -x + 1$: dla $x = 0 \implies y = 1$, dla $x = 1 \implies y = 0$, dla $x = 2 \implies y = -1$.
Obie proste przecinają się w punkcie $S = (2, -1)$.

Sprawdzenie algebraiczne:
Odejmujemy drugie równanie od pierwszego stronami: $$\begin{aligned} (x - 2y) - (x + y) &= 4 - 1 \\[8pt] -3y &= 3 \quad \Big/ : (-3) \\[8pt] y &= -1 \end{aligned}$$ Podstawiamy wyznaczone $y = -1$ do równania $x + y = 1$: $$\begin{aligned} x + (-1) &= 1 \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest para liczb $\begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases}$, co w pełni pokrywa się z odczytem graficznym.
Podpunkt b) Graficzne i algebraiczne rozwiązanie układu $\begin{cases} y = 2 \\ 3x + 2y = -2 \end{cases}$:
Pierwsze równanie $y = 2$ opisuje prostą poziomą, na której każdy punkt ma rzędną równą $2$.
Drugie równanie przekształcamy do postaci kierunkowej: $$\begin{aligned} 3x + 2y &= -2 \\[8pt] 2y &= -3x - 2 \quad \Big/ : 2 \\[8pt] y &= -\dfrac{3}{2}x - 1 \end{aligned}$$ Dobieramy punkty dla prostej $l_2: y = -\dfrac{3}{2}x - 1$:
- Dla $x = 0 \implies y = -1$
- Dla $x = -2 \implies y = -\dfrac{3}{2}(-2) - 1 = 3 - 1 = 2$
- Dla $x = 2 \implies y = -\dfrac{3}{2}(2) - 1 = -3 - 1 = -4$
Punktem przecięcia prostej poziomej $y = 2$ oraz prostej ukośnej jest punkt $S = (-2, 2)$.

Sprawdzenie algebraiczne:
Wstawiamy bezpośrednio wartość $y = 2$ z pierwszego równania do drugiego: $$\begin{aligned} 3x + 2 \cdot 2 &= -2 \\[8pt] 3x + 4 &= -2 \\[8pt] 3x &= -6 \quad \Big/ : 3 \\[8pt] x &= -2 \end{aligned}$$ Otrzymujemy parę liczb $\begin{cases} x = -2 \\ y = 2 \end{cases}$, co potwierdza poprawność rozwiązania graficznego.
Podpunkt c) Graficzne i algebraiczne rozwiązanie układu $\begin{cases} 3x + 4y = 6 \\ 2x + y + 1 = 0 \end{cases}$:
Sprowadzamy oba równania do postaci kierunkowej:
Dla pierwszego równania: $$\begin{aligned} 3x + 4y &= 6 \\[8pt] 4y &= -3x + 6 \quad \Big/ : 4 \\[8pt] y &= -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{3}{2} \end{aligned}$$ Dla drugiego równania: $$\begin{aligned} 2x + y + 1 &= 0 \\[8pt] y &= -2x - 1 \end{aligned}$$ Wyznaczamy punkty o współrzędnych całkowitych:
- Dla prostej $l_1: y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{3}{2}$: dla $x = 2 \implies y = 0$, dla $x = -2 \implies y = -\dfrac{3}{4}(-2) + \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = 3$.
- Dla prostej $l_2: y = -2x - 1$: dla $x = 0 \implies y = -1$, dla $x = -1 \implies y = 1$, dla $x = -2 \implies y = -2(-2) - 1 = 3$.
Wspólnym punktem obu prostych jest $S = (-2, 3)$.

Sprawdzenie algebraiczne:
Z drugiego równania wyznaczamy zmienną $y$: $$y = -2x - 1$$ Wstawiamy to wyrażenie do pierwszego równania: $$\begin{aligned} 3x + 4(-2x - 1) &= 6 \\[8pt] 3x - 8x - 4 &= 6 \\[8pt] -5x &= 10 \quad \Big/ : (-5) \\[8pt] x &= -2 \end{aligned}$$ Obliczamy wartość $y$: $$\begin{aligned} y &= -2(-2) - 1 \\[8pt] y &= 4 - 1 = 3 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest para liczb $\begin{cases} x = -2 \\ y = 3 \end{cases}$, co w pełni zgadza się z odczytem z układu współrzędnych.

Odpowiedź:
a) $\begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x = -2 \\ y = 2 \end{cases}$

c) $\begin{cases} x = -2 \\ y = 3 \end{cases}$

Zadanie 3

Rozwiąż metodą graficzną poniższe układy równań na płaszczyźnie kartezjańskiej. Określ typ każdego układu (oznaczony czy nieoznaczony) oraz podaj jego zbiór rozwiązań:

a) $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 3 \end{cases}$

b) $\begin{cases} 0,5x - y = 1 \\ x = 2y + 2 \end{cases}$

c) $\begin{cases} 4y - 5 = y + 4 \\ 3(y - 2x) = 9 - 6x \end{cases}$

Wskazówki:

Każde z równań liniowych sprowadź do postaci kierunkowej $y = ax + b$, aby łatwo wyznaczyć punkty i naszkicować odpowiednie proste w układzie współrzędnych.
Jeśli proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie, układ jest oznaczony, a współrzędne tego punktu stanowią jedyne rozwiązanie.
Jeśli oba równania po przekształceniu opisują tę samą prostą (proste pokrywają się), układ jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań należących do tej prostej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy graficznie układ równań $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 3 \end{cases}$:
Sprowadzamy oba równania do postaci kierunkowej prostej $y = ax + b$:
- Pierwsze równanie: $$\begin{aligned} 2x - y &= 3 \\[8pt] -y &= -2x + 3 \\[8pt] y &= 2x - 3 \quad (\text{prosta } k) \end{aligned}$$ Wyznaczamy dwa punkty należące do prostej $k$: dla $x = 0$ mamy $y = -3$, a dla $x = 2$ mamy $y = 1$, czyli punkty $(0, -3)$ oraz $(2, 1)$.
- Drugie równanie: $$\begin{aligned} x + y &= 3 \\[8pt] y &= -x + 3 \quad (\text{prosta } l) \end{aligned}$$ Wyznaczamy dwa punkty należące do prostej $l$: dla $x = 0$ mamy $y = 3$, a dla $x = 3$ mamy $y = 0$, czyli punkty $(0, 3)$ oraz $(3, 0)$.
Rysujemy obie proste w kartezjańskim układzie współrzędnych:

Proste przecinają się dokładnie w punkcie $P(2, 1)$. Układ jest oznaczony, a zbiór jego rozwiązań to: $$\{(2, 1)\}$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy graficznie układ równań $\begin{cases} 0,5x - y = 1 \\ x = 2y + 2 \end{cases}$:
Przekształcamy oba równania do postaci kierunkowej:
- Pierwsze równanie: $$\begin{aligned} 0,5x - y &= 1 \\[8pt] -y &= -0,5x + 1 \\[8pt] y &= 0,5x - 1 \end{aligned}$$
- Drugie równanie: $$\begin{aligned} x &= 2y + 2 \\[8pt] 2y &= x - 2 \\[8pt] y &= 0,5x - 1 \end{aligned}$$
Oba równania sprowadzają się do identycznego wzoru funkcji liniowej $y = 0,5x - 1$. Oznacza to, że proste te pokrywają się. Wyznaczamy przykładowe punkty leżące na tej prostej: dla $x = 0$ mamy $y = -1$, dla $x = 2$ mamy $y = 0$, dla $x = 4$ mamy $y = 1$.

Ponieważ obie proste pokrywają się, układ jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zbiór rozwiązań zapisujemy jako: $$\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \colon y = 0,5x - 1\} \quad \text{lub} \quad \{(x, 0,5x - 1) \colon x \in \mathbb{R}\}$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy graficznie układ równań $\begin{cases} 4y - 5 = y + 4 \\ 3(y - 2x) = 9 - 6x \end{cases}$:
Upraszczamy oba równania:
- Pierwsze równanie: $$\begin{aligned} 4y - 5 &= y + 4 \\[8pt] 4y - y &= 4 + 5 \\[8pt] 3y &= 9 \\[8pt] y &= 3 \end{aligned}$$
- Drugie równanie (rozwiązujemy nawias): $$\begin{aligned} 3(y - 2x) &= 9 - 6x \\[8pt] 3y - 6x &= 9 - 6x \\[8pt] 3y &= 9 \\[8pt] y &= 3 \end{aligned}$$
Oba równania redukują się do równania $y = 3$, które przedstawia poziomą prostą równoległą do osi $OX$ i przecinającą oś $OY$ na wysokości $y = 3$.

Wykresy obu równań to ta sama prosta pozioma, zatem układ jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań dla dowolnego $x \in \mathbb{R}$. Zbiór rozwiązań to: $$\{(x, 3) \colon x \in \mathbb{R}\}$$

Odpowiedź:
a) Układ oznaczony, jedno rozwiązanie: $(x, y) = (2, 1)$, zbiór rozwiązań: $\{(2, 1)\}$

b) Układ nieoznaczony, nieskończenie wiele rozwiązań postaci $(x, 0,5x - 1)$, gdzie $x \in \mathbb{R}$; zbiór rozwiązań: $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \colon y = 0,5x - 1\}$

c) Układ nieoznaczony, nieskończenie wiele rozwiązań postaci $(x, 3)$, gdzie $x \in \mathbb{R}$; zbiór rozwiązań: $\{(x, 3) \colon x \in \mathbb{R}\}$

Zadanie 4

Na podstawie poniższych rysunków wyznacz układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi $x$ i $y$, którego geometryczną interpretacją są przedstawione proste. Określ liczbę rozwiązań każdego z układów i podaj jego rozwiązanie, o ile ono istnieje.

a)

Wskazówki:

Aby wyznaczyć równanie prostej w postaci kierunkowej $y = ax + b$, odczytaj z siatki współrzędne dwóch zaznaczonych punktów $(x_1, y_1)$ oraz $(x_2, y_2)$. Współczynnik kierunkowy wynosi $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, a wyraz wolny $b$ to rzędna punktu przecięcia z osią $OY$.
Prosta pozioma równoległa do osi $OX$ ma równanie $y = c$, natomiast prosta pionowa równoległa do osi $OY$ ma równanie $x = c$.
Punkt przecięcia się dwóch prostych wyznacza parę liczb $(x, y)$ będącą jedynym rozwiązaniem układu (układ oznaczony). Pokrywające się proste oznaczają nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony), a proste równoległe rozłączne – brak rozwiązań (układ sprzeczny).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie równań prostych oraz punktu przecięcia:
Na rysunku przedstawiono dwie proste przecinające się w jednym punkcie:
• Prosta pozioma przechodzi przez punkt $(0, 2)$, zatem dla każdego argumentu przyjmuje stałą wartość: $$ y = 2 $$ • Druga prosta przechodzi przez punkty $(0, -1)$ oraz $(6, 2)$. Jej współczynniki wynoszą: $$ b = -1, \quad a = \dfrac{2 - (-1)}{6 - 0} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $$ Równanie tej prostej to $y = \dfrac{1}{2}x - 1$. Układ równań ma postać: $$ \begin{cases} y = 2 \\[8pt] y = \dfrac{1}{2}x - 1 \end{cases} $$ Współrzędne punktu przecięcia odczytane bezpośrednio z wykresu to $(6, 2)$. Układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony): $$ \begin{cases} x = 6 \\ y = 2 \end{cases} $$
Podpunkt b) Wyznaczenie prostej pionowej i ukośnej:
Na rysunku znajdują się dwie proste przecinające się:
• Prosta pionowa przechodzi przez punkty o odciętej równej $-2$ (np. $(-2, 0)$, $(-2, -3)$), zatem jej równanie to: $$ x = -2 $$ • Prosta ukośna przechodzi przez punkty $(0, -2)$ oraz $(4, 0)$. Jej współczynniki wynoszą: $$ b = -2, \quad a = \dfrac{0 - (-2)}{4 - 0} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \implies y = \dfrac{1}{2}x - 2 $$ Układ równań przyjmuje postać: $$ \begin{cases} x = -2 \\[8pt] y = \dfrac{1}{2}x - 2 \end{cases} $$ Podstawiając $x = -2$ do drugiego równania: $$ y = \dfrac{1}{2} \cdot (-2) - 2 = -1 - 2 = -3 $$ Układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony): $$ \begin{cases} x = -2 \\ y = -3 \end{cases} $$
Podpunkt c) Analiza dwóch prostych przecinających się:
Wyznaczamy równania prostych z zaznaczonych na siatce punktów kratowych:
• Pierwsza prosta przechodzi przez punkty $(0, 1)$ oraz $(1, 0)$: $$ b_1 = 1, \quad a_1 = \dfrac{0 - 1}{1 - 0} = -1 \implies y = -x + 1 $$ • Druga prosta przechodzi przez punkty $(0, -2)$ oraz punkt przecięcia $(2, -1)$: $$ b_2 = -2, \quad a_2 = \dfrac{-1 - (-2)}{2 - 0} = \dfrac{1}{2} \implies y = \dfrac{1}{2}x - 2 $$ Układ równań ma postać: $$ \begin{cases} y = -x + 1 \\[8pt] y = \dfrac{1}{2}x - 2 \end{cases} $$ Punkt przecięcia wynosi $(2, -1)$, zatem układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony): $$ \begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases} $$
Podpunkt d) Analiza prostych pokrywających się:
Rysunek przedstawia jedną wspólną prostą (pokrywające się wykresy obu równań), przechodzącą przez punkty $(-2, 0)$ oraz $(0, 1)$: $$ b = 1, \quad a = \dfrac{1 - 0}{0 - (-2)} = \dfrac{1}{2} \implies y = \dfrac{1}{2}x + 1 $$ Mnożąc obustronnie przez $2$ i przekształcając do postaci ogólnej: $$ 2y = x + 2 \iff x - 2y = -2 $$ Przykładowy układ równań wyznaczający te pokrywające się proste to: $$ \begin{cases} y = \dfrac{1}{2}x + 1 \\[8pt] x - 2y = -2 \end{cases} $$ Układ ten jest nieoznaczony i posiada nieskończenie wiele rozwiązań postaci: $$ \left(x, \; \dfrac{1}{2}x + 1\right), \quad \text{gdzie } x \in \mathbb{R} $$
Podpunkt e) Analiza prostych równoległych rozłącznych:
Na rysunku widoczne są dwie różne proste o jednakowym nachyleniu:
• Pierwsza prosta przechodzi przez punkty $(0, 2)$ oraz $(1, 0)$: $$ b_1 = 2, \quad a_1 = \dfrac{0 - 2}{1 - 0} = -2 \implies y = -2x + 2 $$ • Druga prosta przechodzi przez punkty $(-1, 0)$ oraz $(0, -2)$: $$ b_2 = -2, \quad a_2 = \dfrac{-2 - 0}{0 - (-1)} = -2 \implies y = -2x - 2 $$ Układ równań ma postać: $$ \begin{cases} y = -2x + 2 \\ y = -2x - 2 \end{cases} $$ Ponieważ współczynniki kierunkowe są identyczne ($a_1 = a_2 = -2$), a wyrazy wolne różne ($b_1 \neq b_2$), proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych. Układ jest sprzeczny – brak rozwiązań (0 rozwiązań).

Odpowiedź:
a) $\begin{cases} y = 2 \\ y = \dfrac{1}{2}x - 1 \end{cases}$; 1 rozwiązanie: $\begin{cases} x = 6 \\ y = 2 \end{cases}$ (układ oznaczony)

b) $\begin{cases} x = -2 \\ y = \dfrac{1}{2}x - 2 \end{cases}$; 1 rozwiązanie: $\begin{cases} x = -2 \\ y = -3 \end{cases}$ (układ oznaczony)

c) $\begin{cases} y = -x + 1 \\ y = \dfrac{1}{2}x - 2 \end{cases}$; 1 rozwiązanie: $\begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases}$ (układ oznaczony)

d) $\begin{cases} y = -4x + 12 \\ y = x - 8 \end{cases}$; 1 rozwiązanie: $\begin{cases} x = 4 \\ y = -4 \end{cases}$ (układ oznaczony)

d) $\begin{cases} y = \dfrac{1}{2}x + 1 \\ x - 2y = -2 \end{cases}$; nieskończenie wiele rozwiązań postaci $\left(x, \dfrac{1}{2}x + 1\right)$, $x \in \mathbb{R}$ (układ nieoznaczony)

e) $\begin{cases} y = -2x + 2 \\ y = -2x - 2 \end{cases}$; brak rozwiązań (układ sprzeczny)

Zadanie 5

Rozwiąż graficznie poniższe układy równań:

a) $\begin{cases} (x+2)(x-3) + y = (x-2)^2 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$

b) $\begin{cases} 7 - (2x-1)(2x+1) = 4y - (2x-2)^2 \\ x + y = 1 \end{cases}$

Wskazówki:

Wykonaj mnożenie nawiasów oraz zastosuj wzory skróconego mnożenia: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ oraz $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Wyrazy z $x^2$ zredukują się po obu stronach – przekształć każde z równań do postaci kierunkowej prostej: $y = ax + b$.
Wyznacz współrzędne co najmniej dwóch punktów dla każdej prostej, narysuj je w jednym prostokątnym układzie współrzędnych i odczytaj punkt ich przecięcia.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozwiązanie układu równań z podpunktu a):
Układ wyjściowy ma postać: $$ \begin{cases} (x+2)(x-3) + y = (x-2)^2 \\ 2x - y = 5 \end{cases} $$ Przekształcamy pierwsze równanie, wymnażając nawiasy po lewej stronie oraz stosując wzór skróconego mnożenia po prawej stronie: $$ \begin{aligned} x^2 - 3x + 2x - 6 + y &= x^2 - 4x + 4 \\[8pt] x^2 - x - 6 + y &= x^2 - 4x + 4 \end{aligned} $$ Odejmujemy $x^2$ od obu stron równania i wyznaczamy $y$: $$ \begin{aligned} -x - 6 + y &= -4x + 4 \\[8pt] y &= -4x + x + 4 + 6 \\[8pt] y &= -3x + 10 \end{aligned} $$ Drugie równanie układu również przekształcamy do postaci kierunkowej: $$ \begin{aligned} 2x - y &= 5 \\[8pt] -y &= -2x + 5 \\[8pt] y &= 2x - 5 \end{aligned} $$ Otrzymujemy układ dwóch prostych: $$ \begin{cases} y = -3x + 10 \quad (\text{prosta } k) \\ y = 2x - 5 \quad (\text{prosta } l) \end{cases} $$ Wyznaczamy punkty do narysowania prostych:
• Dla prostej $k: y = -3x + 10$:
gdy $x = 2 \implies y = -3 \cdot 2 + 10 = 4 \implies (2, 4)$
gdy $x = 3 \implies y = -3 \cdot 3 + 10 = 1 \implies (3, 1)$
gdy $x = 4 \implies y = -3 \cdot 4 + 10 = -2 \implies (4, -2)$

• Dla prostej $l: y = 2x - 5$:
gdy $x = 1 \implies y = 2 \cdot 1 - 5 = -3 \implies (1, -3)$
gdy $x = 3 \implies y = 2 \cdot 3 - 5 = 1 \implies (3, 1)$
gdy $x = 4 \implies y = 2 \cdot 4 - 5 = 3 \implies (4, 3)$

Rysujemy obie proste w układzie współrzędnych:

Wykresy przecinają się dokładnie w punkcie $P(3, 1)$.
Rozwiązanie układu równań z podpunktu b):
Układ wyjściowy ma postać: $$ \begin{cases} 7 - (2x-1)(2x+1) = 4y - (2x-2)^2 \\ x + y = 1 \end{cases} $$ Przekształcamy pierwsze równanie, stosując wzory skróconego mnożenia: $$ (2x-1)(2x+1) = 4x^2 - 1 $$ $$ (2x-2)^2 = 4x^2 - 8x + 4 $$ Wstawiamy wyrażenia do równania: $$ \begin{aligned} 7 - (4x^2 - 1) &= 4y - (4x^2 - 8x + 4) \\[8pt] 7 - 4x^2 + 1 &= 4y - 4x^2 + 8x - 4 \\[8pt] 8 - 4x^2 &= 4y - 4x^2 + 8x - 4 \end{aligned} $$ Dodajemy $4x^2$ do obu stron równania: $$ \begin{aligned} 8 &= 4y + 8x - 4 \\[8pt] 4y &= -8x + 12 \\[8pt] y &= -2x + 3 \end{aligned} $$ Przekształcamy drugie równanie układu do postaci kierunkowej: $$ \begin{aligned} x + y &= 1 \\[8pt] y &= -x + 1 \end{aligned} $$ Otrzymujemy układ dwóch prostych: $$ \begin{cases} y = -2x + 3 \quad (\text{prosta } k) \\ y = -x + 1 \quad (\text{prosta } l) \end{cases} $$ Wyznaczamy punkty do narysowania prostych:
• Dla prostej $k: y = -2x + 3$:
gdy $x = 0 \implies y = 3 \implies (0, 3)$
gdy $x = 2 \implies y = -2 \cdot 2 + 3 = -1 \implies (2, -1)$
gdy $x = 3 \implies y = -2 \cdot 3 + 3 = -3 \implies (3, -3)$

• Dla prostej $l: y = -x + 1$:
gdy $x = 0 \implies y = 1 \implies (0, 1)$
gdy $x = 2 \implies y = -2 + 1 = -1 \implies (2, -1)$
gdy $x = 4 \implies y = -4 + 1 = -3 \implies (4, -3)$

Rysujemy obie proste w układzie współrzędnych:

Wykresy przecinają się dokładnie w punkcie $P(2, -1)$.

Odpowiedź:
a) $\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases}$

Grupa B

Zadanie 1

Zbadaj, która para liczb spośród podanych obok układu równań jest jego rozwiązaniem:

b) $\begin{cases} 4x - y = 7 \\ y = 4x - 3 \end{cases}$
Pary liczb: $(2, 1)$, $(1, 1)$, $(0, -7)$

d) $\begin{cases} 0{,}6x + 0{,}2y = 4{,}4 \\ -5x + 8y = 2 \end{cases}$
Pary liczb: $\left(0, \dfrac{1}{4}\right)$, $(4, 10)$, $(6, 4)$

Zadanie 2

Dla każdego z poniższych oznaczonych układów równań wyznacz parę liczb $(x, y)$ spełniającą dany układ metodą graficzną (rysując proste w kartezjańskim układzie współrzędnych), a poprawność odczytanych współrzędnych punktu przecięcia zweryfikuj za pomocą obliczeń algebraicznych.

a) $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ x - y = -3 \end{cases}$

b) $\begin{cases} y = -2 \\ 2x + 3y = -2 \end{cases}$

c) $\begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ 3x + y - 8 = 0 \end{cases}$

Zadanie 3

Wyznacz metodą graficzną zbiory rozwiązań danych układów równań na płaszczyźnie z układem współrzędnych. Wskaż, które z nich są układami oznaczonymi, a które nieoznaczonymi:

a) $\begin{cases} x + y = 4 \\ 3x - y = 0 \end{cases}$

b) $\begin{cases} 0,2x - y = -1 \\ x = 5y - 5 \end{cases}$

c) $\begin{cases} 5y + 7 = 2y + 1 \\ 4(y + 3x) = 12x - 8 \end{cases}$

Zadanie 4

Dla każdego z poniższych rysunków wyznacz układ dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi $x$ i $y$, którego ilustrację geometryczną stanowią narysowane proste. Określ liczbę rozwiązań danego układu i wyznacz to rozwiązanie, jeśli istnieje.

a)

Zadanie 5

Rozwiąż układy równań metodą graficzną:

a) $\begin{cases} (x+1)(x-2) + y = (x-1)^2 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$

b) $\begin{cases} 10 - (3x-2)(3x+2) = 3y - (3x-1)^2 \\ 2x - y = -1 \end{cases}$

5.2 Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Graficzne rozwiązywanie układów równań

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋