Równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi kartkówka LiczBit

5.1 Równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Które z poniższych równań opisują tę samą prostą?

a) $12x - 9y = 21$
b) $y = 5x - 20$
c) $\dfrac{4}{3}x - \dfrac{1}{3}y - 2\dfrac{1}{3} = 0$
d) $1\dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{4}y = 5$
e) $y = 1\dfrac{1}{3}x - 2\dfrac{1}{3}$
f) $0{,}5x - 0{,}1y - 2 = 0$

Wskazówki:

Aby ustalić, które równania opisują tę samą prostą, najlepiej przekształcić każde z nich do postaci kierunkowej $y = ax + b$.
Dwa równania opisują tę samą prostą (proste pokrywają się), jeżeli ich współczynniki kierunkowe $a$ oraz wyrazy wolne $b$ są identyczne.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Przekształcamy równanie $12x - 9y = 21$ do postaci kierunkowej:
Przenosimy wyraz z niewiadomą $x$ na prawą stronę równania, a następnie dzielimy obie strony przez $-9$: $$ \begin{aligned} 12x - 9y &= 21 \\[8pt] -9y &= -12x + 21 \quad \big/ : (-9) \\[8pt] y &= \dfrac{-12}{-9}x + \dfrac{21}{-9} \\[8pt] y &= \dfrac{4}{3}x - \dfrac{7}{3} = 1\dfrac{1}{3}x - 2\dfrac{1}{3} \end{aligned} $$ Współczynniki prostej to: $a = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}$, $b = -\dfrac{7}{3} = -2\dfrac{1}{3}$.
Podpunkt b) Analizujemy równanie $y = 5x - 20$:
Równanie jest już podane w postaci kierunkowej: $$ y = 5x - 20 $$ Współczynniki prostej to: $a = 5$, $b = -20$.
Podpunkt c) Przekształcamy równanie $\dfrac{4}{3}x - \dfrac{1}{3}y - 2\dfrac{1}{3} = 0$ do postaci kierunkowej:
Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy $2\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$, mnożymy całe równanie przez $3$, a następnie wyznaczamy zmienną $y$: $$ \begin{aligned} \dfrac{4}{3}x - \dfrac{1}{3}y - \dfrac{7}{3} &= 0 \quad \big/ \cdot 3 \\[8pt] 4x - y - 7 &= 0 \\[8pt] -y &= -4x + 7 \quad \big/ \cdot (-1) \\[8pt] y &= 4x - 7 \end{aligned} $$ Współczynniki prostej to: $a = 4$, $b = -7$.
Podpunkt d) Przekształcamy równanie $1\dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{4}y = 5$ do postaci kierunkowej:
Zapisujemy liczbę mieszaną w postaci ułamka niewłaściwego $1\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}$, mnożymy obustronnie przez $4$ i wyznaczamy $y$: $$ \begin{aligned} \dfrac{5}{4}x - \dfrac{1}{4}y &= 5 \quad \big/ \cdot 4 \\[8pt] 5x - y &= 20 \\[8pt] -y &= -5x + 20 \quad \big/ \cdot (-1) \\[8pt] y &= 5x - 20 \end{aligned} $$ Współczynniki prostej to: $a = 5$, $b = -20$.
Podpunkt e) Analizujemy równanie $y = 1\dfrac{1}{3}x - 2\dfrac{1}{3}$:
Równanie jest już w postaci kierunkowej. Zapisując współczynniki w postaci ułamków niewłaściwych: $$ y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{7}{3} $$ Współczynniki prostej to: $a = 1\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}$, $b = -2\dfrac{1}{3} = -\dfrac{7}{3}$.
Podpunkt f) Przekształcamy równanie $0{,}5x - 0{,}1y - 2 = 0$ do postaci kierunkowej:
Mnożymy obie strony równania przez $10$, aby pozbyć się ułamków dziesiętnych, a następnie wyznaczamy $y$: $$ \begin{aligned} 0{,}5x - 0{,}1y - 2 &= 0 \quad \big/ \cdot 10 \\[8pt] 5x - y - 20 &= 0 \\[8pt] -y &= -5x + 20 \quad \big/ \cdot (-1) \\[8pt] y &= 5x - 20 \end{aligned} $$ Współczynniki prostej to: $a = 5$, $b = -20$.
Porównanie otrzymanych postaci kierunkowych:
Zestawiając współczynniki kierunkowe $a$ oraz wyrazy wolne $b$:
- Równania a) oraz e) mają postać $y = 1\dfrac{1}{3}x - 2\dfrac{1}{3}$, zatem opisują tę samą prostą.
- Równania b), d) oraz f) mają postać $y = 5x - 20$, zatem opisują tę samą prostą.
- Równanie c) ma postać $y = 4x - 7$, więc opisuje inną prostą niż pozostałe równania.

Odpowiedź:
Tę samą prostą opisują równania a) oraz e) (prosta $y = 1\dfrac{1}{3}x - 2\dfrac{1}{3}$).

Tę samą prostą opisują równania b), d) oraz f) (prosta $y = 5x - 20$).

Zadanie 2

Zapisz każdą z poniższych relacji w postaci równania algebraicznego $ax + by = c$, gdzie $a, b, c \in \mathbf{Z}$:

a) Suma podwojonej liczby $x$ oraz liczby $y$ wynosi $-5$.

b) Potrojona liczba $x$ jest $5$ razy większa od liczby $y$.

c) Suma podwojonej liczby $x$ i liczby $y$ jest o $5$ większa od różnicy liczb $x$ i $y$.

d) Suma potrojonej liczby $x$ oraz $25\%$ liczby $y$ jest równa $50\%$ sumy liczb $x$ i $y$.

Wskazówki:

Zwróć uwagę na operacje arytmetyczne opisywane słownie: „suma” oznacza dodawanie, „różnica” odejmowanie, „$k$ razy większa” mnożenie przez $k$, natomiast sformułowanie „o $k$ większa” dodanie liczby $k$.
W równaniach z procentami zamień najpierw procenty na ułamki zwykłe, a następnie pomnóż obie strony równania przez wspólny mianownik, aby współczynniki były liczbami całkowitymi.
Wszystkie wyrażenia z niewiadomymi $x$ i $y$ przenieś na lewą stronę znaku równości (z zachowaniem porządku alfabetycznego), a wyraz wolny pozostaw po prawej stronie, doprowadzając zapis do postaci $ax + by = c$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wypowiedź: „Suma podwojonej liczby $x$ oraz liczby $y$ wynosi $-5$”:
Podwojona liczba $x$ to wyrażenie $2x$. Suma tej wartości i liczby $y$ wynosi $2x + y$. Przyrównujemy otrzymaną sumę do podanej liczby $-5$: $$2x + y = -5$$ Równanie znajduje się w postaci $ax + by = c$, gdzie współczynniki wynoszą odpowiednio $a = 2$, $b = 1$ oraz $c = -5$ i wszystkie są liczbami całkowitymi.
Podpunkt b) Wypowiedź: „Potrojona liczba $x$ jest $5$ razy większa od liczby $y$”:
Potrojona liczba $x$ to $3x$. Być $5$ razy większą od liczby $y$ oznacza iloczyn $5 \cdot y = 5y$. Układamy równość: $$3x = 5y$$ Odejmujemy obustronnie $5y$, aby przenieść wszystkie zmienne na lewą stronę: $$3x - 5y = 0$$ Otrzymujemy równanie o współczynnikach całkowitych $a = 3$, $b = -5$, $c = 0$.
Podpunkt c) Wypowiedź: „Suma podwojonej liczby $x$ i liczby $y$ jest o $5$ większa od różnicy liczb $x$ i $y$”:
Zapisujemy lewą stronę jako $2x + y$, a różnicę liczb jako $x - y$. Z faktu, że suma ta przewyższa różnicę o $5$, zapisujemy równanie: $$2x + y = (x - y) + 5$$ Przenosimy składniki z niewiadomymi na lewą stronę i redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} 2x + y &= x - y + 5 \\[8pt] 2x - x + y + y &= 5 \\[8pt] x + 2y &= 5 \end{aligned}$$ Współczynniki równania to $a = 1$, $b = 2$ oraz $c = 5$, należące do liczb całkowitych.
Podpunkt d) Wypowiedź: „Suma potrojonej liczby $x$ oraz $25\%$ liczby $y$ jest równa $50\%$ sumy liczb $x$ i $y$”:
Zamieniamy wartości procentowe na ułamki zwykłe: $25\% = \dfrac{1}{4}$ oraz $50\% = \dfrac{1}{2}$. Układamy równanie odpowiadające treści polecenia: $$3x + \dfrac{1}{4}y = \dfrac{1}{2}(x + y)$$ Mnożymy obie strony równania przez $4$, pozbywając się mianowników: $$\begin{aligned} 4 \cdot \left(3x + \dfrac{1}{4}y\right) &= 4 \cdot \dfrac{1}{2}(x + y) \\[8pt] 12x + y &= 2(x + y) \\[8pt] 12x + y &= 2x + 2y \end{aligned}$$ Przenosimy wszystkie niewiadome na lewą stronę i redukujemy: $$\begin{aligned} 12x - 2x + y - 2y &= 0 \\[8pt] 10x - y &= 0 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy postać $ax + by = c$, gdzie $a = 10$, $b = -1$ oraz $c = 0$ ($a, b, c \in \mathbf{Z}$).

Odpowiedź:
a) $2x + y = -5$

b) $3x - 5y = 0$

c) $x + 2y = 5$

d) $10x - y = 0$

Zadanie 3

Każda z prostych przedstawionych w poniższych układach współrzędnych jest interpretacją geometryczną pewnego równania liniowego z dwiema niewiadomymi $x$ oraz $y$. Odczytaj z rysunków odpowiednie punkty i wyznacz równanie każdej prostej, zapisując je w postaci ogólnej $ax + by = c$, przy czym współczynniki $a, b, c$ muszą być liczbami całkowitymi ($a, b, c \in \mathbb{Z}$).

Wskazówki:

Prosta pozioma (równoległa do osi $OX$) ma stałą rzędną $y = k$, co odpowiada równaniu $0x + y = k$.
Prosta pionowa (równoległa do osi $OY$) ma stałą odciętą $x = p$, co odpowiada równaniu $x + 0y = p$.
Dla prostych ukośnych odczytaj współrzędne dwóch punktów kratowych $A = (x_1, y_1)$ oraz $B = (x_2, y_2)$, wyznacz współczynnik kierunkowy $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, ułóż postać kierunkową $y = mx + k$, a następnie pomnóż obustronnie przez mianownik ułamka, aby otrzymać postać ogólną $ax + by = c$ o współczynnikach całkowitych $a, b, c \in \mathbb{Z}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie równania prostej poziomej z rysunku:
Analizujemy wykres w podpunkcie a). Prosta jest równoległa do osi $OX$ i przecina oś $OY$ w punkcie $(0, -2)$. Oznacza to, że dla każdego możliwego argumentu $x$ wartość rzędnej $y$ jest niezmienna i wynosi stale $-2$.

Równanie prostej przyjmuje postać: $$y = -2$$ Aby zapisać je zgodnie z poleceniem w postaci $ax + by = c$, uwzględniamy zmienną $x$ ze współczynnikiem $0$: $$0x + y = -2$$ Współczynniki to $a = 0$, $b = 1$, $c = -2$, czyli wszystkie są liczbami całkowitymi.
Podpunkt b) Wyznaczenie równania prostej pionowej z rysunku:
Analizujemy wykres w podpunkcie b). Prosta jest prostopadła do osi $OX$ (równoległa do osi $OY$) i przecina oś $OX$ w punkcie o odciętej $x = 3$. Dla dowolnej wartości zmiennej $y$ pierwsza współrzędna punktu na tej prostej wynosi zawsze $3$.

Równanie prostej pionowej to: $$x = 3$$ W postaci ogólnej $ax + by = c$ zapisujemy wyraz ze zmienną $y$ ze współczynnikiem równym $0$: $$x + 0y = 3$$ Współczynniki wynoszą odpowiednio $a = 1$, $b = 0$, $c = 3$, gdzie $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
Podpunkt c) Wyznaczenie równania prostej skośnej rosnącej z rysunku:
Odczytujemy z wykresu współrzędne dwóch punktów kratowych leżących na prostej: $$A = (0, -1), \quad B = (3, 1)$$ Wyznaczamy współczynnik kierunkowy $m$ prostej: $$\begin{aligned} m &= \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \\[8pt] &= \dfrac{1 - (-1)}{3 - 0} \\[8pt] &= \dfrac{2}{3} \end{aligned}$$ Punkt przecięcia z osią $OY$ to $A = (0, -1)$, zatem wyraz wolny wynosi $k = -1$. Równanie prostej w postaci kierunkowej to: $$y = \dfrac{2}{3}x - 1$$ Przekształcamy równanie do postaci ogólnej $ax + by = c$. Mnożymy obie strony przez $3$, aby wyeliminować mianownik: $$\begin{aligned} 3y &= 2x - 3 \\[8pt] -2x + 3y &= -3 \quad \Big/ \cdot (-1) \\[8pt] 2x - 3y &= 3 \end{aligned}$$ Współczynniki to $a = 2$, $b = -3$, $c = 3$ i spełniają one warunek całkowitości ($a, b, c \in \mathbb{Z}$).
Podpunkt d) Wyznaczenie równania prostej skośnej malejącej z rysunku:
Z rysunku odczytujemy dwa punkty o współrzędnych całkowitych będące punktami przecięcia z osiami układu: $$A = (0, 2), \quad B = (3, 0)$$ Obliczamy współczynnik kierunkowy $m$: $$\begin{aligned} m &= \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \\[8pt] &= \dfrac{0 - 2}{3 - 0} \\[8pt] &= -\dfrac{2}{3} \end{aligned}$$ Punkt przecięcia z osią $OY$ to $A = (0, 2)$, stąd $k = 2$. Zapisujemy postać kierunkową prostej: $$y = -\dfrac{2}{3}x + 2$$ Mnożymy obustronnie przez $3$, aby przekształcić równanie do postaci ogólnej: $$\begin{aligned} 3y &= -2x + 6 \\[8pt] 2x + 3y &= 6 \end{aligned}$$ Otrzymujemy równanie o współczynnikach całkowitych $a = 2$, $b = 3$, $c = 6$.

Odpowiedź:
a) $y = -2$ (lub $0x + y = -2$)

b) $x = 3$ (lub $x + 0y = 3$)

c) $2x - 3y = 3$

d) $2x + 3y = 6$

Zadanie 4

Wyznacz równania prostych $k$, $l$ oraz $m$, w których zawierają się boki trójkąta $ABC$ przedstawionego w kartezjańskim układzie współrzędnych na poniższych rysunkach:

Wskazówki:

Odczytaj współrzędne wierzchołków $A$, $B$ oraz $C$ trójkąta bezpośrednio z węzłów siatki prostokątnego układu współrzędnych.
Zauważ, że boki równoległe do osi układu mają proste równania: prosta pionowa ma stałą współrzędną $x$ ($x = c$), a prosta pozioma stałą współrzędną $y$ ($y = d$).
Równanie prostej skośnej wyznacz ze wzoru na postać kierunkową $y = ax + b$, obliczając najpierw współczynnik kierunkowy $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, a następnie wyraz wolny $b$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Odczytanie wierzchołków oraz równań prostych $l$ i $m$:
Z rysunku w podpunkcie a) odczytujemy współrzędne wierzchołków trójkąta: $$A = (4, -4), \quad B = (4, 3), \quad C = (-3, 3)$$ Zauważamy, że:
- Odcinek $AB$ leży na pionowej prostej $l$. Wszystkie punkty tej prostej mają taką samą odciętą $x = 4$, więc równanie prostej $l$ to: $$l\colon x = 4$$
- Odcinek $BC$ leży na poziomej prostej $m$. Wszystkie punkty tej prostej mają taką samą rzędną $y = 3$, więc równanie prostej $m$ to: $$m\colon y = 3$$
Podpunkt a) Wyznaczenie równania skośnej prostej $k$:
Prosta $k$ zawiera bok $AC$, czyli przechodzi przez punkty $C(-3, 3)$ oraz $A(4, -4)$. Wyznaczamy współczynnik kierunkowy $a$: $$a = \dfrac{y_A - y_C}{x_A - x_C} = \dfrac{-4 - 3}{4 - (-3)} = \dfrac{-7}{7} = -1$$ Równanie prostej ma postać $y = -x + b$. Podstawiamy współrzędne punktu $A(4, -4)$, aby obliczyć wyraz wolny $b$: $$\begin{aligned} -4 &= -1 \cdot 4 + b \\[8pt] -4 &= -4 + b \\[8pt] b &= 0 \end{aligned}$$ Otrzymujemy równanie prostej $k$: $$k\colon y = -x$$
Podpunkt b) Odczytanie współrzędnych wierzchołków:
Z rysunku w podpunkcie b) odczytujemy położenie wierzchołków trójkąta: $$A = (1, -2), \quad B = (4, 1), \quad C = (-5, 4)$$ Wszystkie trzy proste $k$, $l$ i $m$ są prostymi skośnymi o równaniach kierunkowych w postaci ogólnej $y = ax + b$.
Podpunkt b) Wyznaczenie równań prostych $k$, $l$ oraz $m$:
- Prosta $k$ przechodzi przez punkty $C(-5, 4)$ oraz $A(1, -2)$: $$a_k = \dfrac{y_A - y_C}{x_A - x_C} = \dfrac{-2 - 4}{1 - (-5)} = \dfrac{-6}{6} = -1$$ Podstawiamy punkt $A(1, -2)$: $$\begin{aligned} -2 &= -1 \cdot 1 + b_k \\[8pt] -2 &= -1 + b_k \implies b_k = -1 \end{aligned}$$ Równanie prostej $k$: $$k\colon y = -x - 1$$
- Prosta $l$ przechodzi przez punkty $A(1, -2)$ oraz $B(4, 1)$: $$a_l = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{1 - (-2)}{4 - 1} = \dfrac{3}{3} = 1$$ Podstawiamy punkt $B(4, 1)$: $$\begin{aligned} 1 &= 1 \cdot 4 + b_l \\[8pt] 1 &= 4 + b_l \implies b_l = -3 \end{aligned}$$ Równanie prostej $l$: $$l\colon y = x - 3$$
- Prosta $m$ przechodzi przez punkty $C(-5, 4)$ oraz $B(4, 1)$: $$a_m = \dfrac{y_B - y_C}{x_B - x_C} = \dfrac{1 - 4}{4 - (-5)} = \dfrac{-3}{9} = -\dfrac{1}{3}$$ Podstawiamy punkt $B(4, 1)$: $$\begin{aligned} 1 &= -\dfrac{1}{3} \cdot 4 + b_m \\[8pt] 1 &= -\dfrac{4}{3} + b_m \\[8pt] b_m &= 1 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{7}{3} \end{aligned}$$ Równanie prostej $m$: $$m\colon y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}$$

Odpowiedź:
a) $k\colon y = -x$, $l\colon x = 4$, $m\colon y = 3$

b) $k\colon y = -x - 1$, $l\colon y = x - 3$, $m\colon y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}$

Zadanie 5

Długości boków trójkątów przedstawionych na poniższych rysunkach wyrażono za pomocą wyrażeń algebraicznych zawierających zmienne $x$ oraz $y$. Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych $(x, y)$, dla których taki trójkąt istnieje, a następnie oblicz długości jego boków, wiedząc, że obwód figury wynosi:

a) $20$

b) $28$

Wskazówki:

Obwód trójkąta to suma długości jego trzech boków. Zsumuj wyrażenia algebraiczne opisujące boki i przyrównaj je do podanej wartości obwodu, aby wyznaczyć prostą zależność między zmiennymi $x$ i $y$.
Pamiętaj o dwóch kluczowych warunkach geometrycznych: każdy bok musi mieć długość ściśle dodatnią, a długości boków muszą spełniać warunek nierówności trójkąta (suma długości dwóch krótszych boków musi być większa od długości boku najdłuższego).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie relacji między zmiennymi $x$ oraz $y$ na podstawie obwodu:
Boki trójkąta mają długości: $a = 3y - x$, $b = 4x + y$ oraz $c = 2x + y$. Znamy obwód trójkąta równy $20$, więc zapisujemy równanie: $$ (3y - x) + (4x + y) + (2x + y) = 20 $$ Redukujemy wyrazy podobne: $$ \begin{aligned} (-x + 4x + 2x) + (3y + y + y) &= 20 \\[8pt] 5x + 5y &= 20 \\[8pt] 5(x + y) &= 20 \\[8pt] x + y &= 4 \end{aligned} $$ Stąd otrzymujemy zależność: $$ x = 4 - y $$
Podpunkt a) Weryfikacja warunków istnienia trójkąta i dobór par naturalnych:
Długość każdego z boków musi być większa od zera. W szczególności dla boku $a = 3y - x$: $$ 3y - x > 0 \iff 3y > x $$ Podstawiając wyznaczone $x = 4 - y$: $$ 3y > 4 - y \iff 4y > 4 \iff y > 1 $$ Ponieważ $x$ oraz $y$ są liczbami naturalnymi ($x \ge 1$), z równania $x = 4 - y$ wynika, że $4 - y \ge 1$, czyli $y \le 3$. Zatem jedyne możliwe wartości to $y = 2$ lub $y = 3$:

• Dla $y = 2$ otrzymujemy $x = 4 - 2 = 2$. Wyliczamy długości boków: $$ a = 3(2) - 2 = 4, \quad b = 4(2) + 2 = 10, \quad c = 2(2) + 2 = 6 $$ Sprawdzamy warunek nierówności trójkąta: najdłuższy bok ma długość $10$, a suma dwóch pozostałych to $4 + 6 = 10$. Ponieważ $10 \not> 10$, punkty leżałyby na jednej prostej – trójkąt o takich bokach nie istnieje.

• Dla $y = 3$ otrzymujemy $x = 4 - 3 = 1$. Wyliczamy długości boków: $$ a = 3(3) - 1 = 8, \quad b = 4(1) + 3 = 7, \quad c = 2(1) + 3 = 5 $$ Sprawdzamy warunek nierówności trójkąta dla boków o długościach $5, 7, 8$: $$ 5 + 7 = 12 > 8 $$ Warunek trójkąta jest spełniony, zatem trójkąt istnieje.
Podpunkt b) Wyznaczenie relacji między zmiennymi dla obwodu równego $28$:
Boki trójkąta są równe: $a = 14 - (x + 2y)$, $b = x + 2y + 6$ oraz $c = 2x + y + 3$. Zapisujemy równanie obwodu: $$ [14 - (x + 2y)] + (x + 2y + 6) + (2x + y + 3) = 28 $$ Zauważmy, że wyrażenia $-(x + 2y)$ oraz $+(x + 2y)$ redukują się: $$ \begin{aligned} 14 + 6 + 3 + 2x + y &= 28 \\[8pt] 23 + 2x + y &= 28 \\[8pt] 2x + y &= 5 \end{aligned} $$ Wyznaczamy zmienną $y$: $$ y = 5 - 2x $$
Podpunkt b) Sprawdzenie nierówności trójkąta dla wyznaczonych par:
Z warunku $y \ge 1$ otrzymujemy: $$ 5 - 2x \ge 1 \iff 2x \le 4 \iff x \le 2 $$ Ponieważ $x \in \mathbb{N}$, rozpatrujemy dwie możliwości: $x = 1$ oraz $x = 2$:

• Dla $x = 1$ mamy $y = 5 - 2(1) = 3$. Para $(1, 3)$ daje długości boków: $$ a = 14 - (1 + 6) = 7, \quad b = 1 + 6 + 6 = 13, \quad c = 2(1) + 3 + 3 = 8 $$ Najdłuższy bok to $13$. Sprawdzamy nierówność trójkąta: $$ 7 + 8 = 15 > 13 $$ Warunek jest spełniony – trójkąt istnieje.

• Dla $x = 2$ mamy $y = 5 - 2(2) = 1$. Para $(2, 1)$ daje długości boków: $$ a = 14 - (2 + 2) = 10, \quad b = 2 + 2 + 6 = 10, \quad c = 2(2) + 1 + 3 = 8 $$ Jest to trójkąt równoramienny o bokach $10, 10, 8$. Sprawdzamy nierówność trójkąta: $$ 8 + 10 = 18 > 10 $$ Warunek jest spełniony – trójkąt istnieje.

Odpowiedź:
a) $(x, y) = (1, 3)$, boki: $5$, $7$, $8$

b) $(x, y) = (1, 3)$, boki: $7$, $8$, $13$ oraz $(x, y) = (2, 1)$, boki: $8$, $10$, $10$

Grupa B

Zadanie 1

Ustal, które spośród poniższych równań określają tę samą prostą w układzie współrzędnych:

a) $10x - 6y = 20$
b) $y = 2x - 8$
c) $\dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}y - 4 = 0$
d) $1\dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{4}y = 6$
e) $y = 1\dfrac{2}{3}x - 3\dfrac{1}{3}$
f) $0{,}6x - 0{,}3y - 2{,}4 = 0$

Zadanie 2

Przedstaw każdą z poniższych wypowiedzi w formie równania postaci $ax + by = c$, gdzie $a, b, c \in \mathbf{Z}$:

a) Różnica liczby $x$ i potrojonej liczby $y$ wynosi $-4$.

b) Czterokrotność liczby $x$ jest $3$ razy większa od liczby $y$.

c) Suma liczby $x$ i podwojonej liczby $y$ jest o $6$ większa od różnicy liczb $y$ i $x$.

d) Różnica podwojonej liczby $x$ oraz $20\%$ liczby $y$ jest równa $40\%$ sumy tych liczb.

Zadanie 3

Rysunki poniżej przedstawiają zbiory punktów w kartezjańskim układzie współrzędnych tworzące proste, które odpowiadają równaniom stopnia pierwszego ze zmiennymi $x$ i $y$. Dla każdego z podpunktów sformułuj odpowiednie równanie w postaci $ax + by = c$, dobierając współczynniki tak, aby $a, b, c \in \mathbb{Z}$.

Zadanie 4

Dany jest trójkąt $ABC$ narysowany na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych. Na podstawie dołączonych rysunków napisz równania prostych $k$, $l$ i $m$, w których zawierają się boki tego trójkąta:

Zadanie 5

Dla każdego z trójkątów przedstawionych na poniższych szkicach podano długości boków w postaci wyrażeń algebraicznych ze zmiennymi $x$ i $y$. Ustal wszystkie pary liczb naturalnych $(x, y)$, dla których taki trójkąt można geometrycznie skonstruować, a następnie wskaż długości jego boków, jeśli obwód wynosi odpowiednio:

a) $24$

b) $33$

5.1 Równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋