Kula kartkówka LiczBit

30.3 Kula

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Dla kuli o promieniu długości $r$ wyznacz pole powierzchni sfery oraz objętość bryły, wiedząc że:

a) $r = 9\text{ cm}$

b) $r = 12\text{ cm}$

Wskazówki:

Pole powierzchni kuli (sfery) o promieniu $r$ obliczamy ze wzoru $P = 4\pi r^2$.
Objętość kuli o promieniu $r$ wyraża się wzorem $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.
Pamiętaj o podaniu właściwych jednostek: pole powierzchni w centymetrach kwadratowych ($\text{cm}^2$), a objętość w centymetrach sześciennych ($\text{cm}^3$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy oraz wzory na pole powierzchni i objętość kuli:
Kula jest bryłą obrotową powstałą przez obrót koła wokół osi symetrii (średnicy). Wszystkie punkty jej powierzchni (sfery) są oddalone od środka $O$ o stałą odległość równą promieniowi $r$.
Podpunkt a) Obliczenie pola powierzchni i objętości dla promienia $r = 9\text{ cm}$:
Podstawiamy wartość promienia $r = 9\text{ cm}$ do wzoru na pole powierzchni sfery: $$\begin{aligned} P &= 4\pi r^2 \\[8pt] &= 4\pi \cdot 9^2 \\[8pt] &= 4\pi \cdot 81 \\[8pt] &= 324\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$ Następnie obliczamy objętość kuli: $$\begin{aligned} V &= \dfrac{4}{3}\pi r^3 \\[8pt] &= \dfrac{4}{3}\pi \cdot 9^3 \\[8pt] &= \dfrac{4}{3}\pi \cdot 729 \\[8pt] &= 4\pi \cdot 243 \\[8pt] &= 972\pi\text{ cm}^3 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczenie pola powierzchni i objętości dla promienia $r = 12\text{ cm}$:
Podstawiamy wartość promienia $r = 12\text{ cm}$ do wzoru na pole powierzchni sfery: $$\begin{aligned} P &= 4\pi r^2 \\[8pt] &= 4\pi \cdot 12^2 \\[8pt] &= 4\pi \cdot 144 \\[8pt] &= 576\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$ Obliczamy objętość kuli: $$\begin{aligned} V &= \dfrac{4}{3}\pi r^3 \\[8pt] &= \dfrac{4}{3}\pi \cdot 12^3 \\[8pt] &= \dfrac{4}{3}\pi \cdot 1728 \\[8pt] &= 4\pi \cdot 576 \\[8pt] &= 2304\pi\text{ cm}^3 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $P = 324\pi\text{ cm}^2$, $\quad V = 972\pi\text{ cm}^3$

b) $P = 576\pi\text{ cm}^2$, $\quad V = 2304\pi\text{ cm}^3$

Zadanie 2

Płaska tarcza o kształcie półkola ma pole powierzchni równe $S$. W przestrzeni wprawiono tę figurę w pełny ruch obrotowy dookoła ustalonej prostej leżącej w jej płaszczyźnie. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tak utworzonej bryły geometrycznej (wyrażone w zależności od $S$), jeżeli oś obrotu stanowi:

a) prosta wyznaczona przez średnicę tego półkola

b) oś symetrii tego półkola

Wskazówki:

Zapisz wzór na pole półkola o promieniu $R$ i powiąż wartość wyrażenia $\pi R^2$ z danym polem $S$.
Zidentyfikuj bryłę powstającą w każdym przypadku obrotu: obrót wokół średnicy tworzy pełną kulę, natomiast obrót wokół osi symetrii tworzy półkulę.
Pamiętaj, że pole powierzchni całkowitej półkuli składa się z pola czaszy (połowy pola sfery) oraz pola płaskiej kołowej podstawy.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i uzależnienie promienia od pola $S$:
Niech $R$ oznacza promień danego półkola. Pole całego koła o takim promieniu wynosi $\pi R^2$, zatem pole półkola stanowi dokładnie połowę tej wartości:

Wychodzimy z równania na pole półkola: $$S = \dfrac{1}{2}\pi R^2$$ Mnożąc obie strony przez $2$, uzyskujemy kluczową zależność pomocniczą: $$\pi R^2 = 2S$$
Podpunkt a) Pełny obrót półkola wokół prostej zawierającej jego średnicę:
Obracając półkole o kąt $360^\circ$ wokół prostej wyznaczonej przez jego średnicę, otrzymujemy pełną kulę o promieniu $R$.

Pole powierzchni całkowitej kuli o promieniu $R$ wyraża się wzorem: $$P_c = 4\pi R^2$$ Podstawiamy wyznaczoną wcześniej zależność $\pi R^2 = 2S$: $$\begin{aligned} P_c &= 4 \cdot (\pi R^2) \\[8pt] &= 4 \cdot 2S = 8S \end{aligned}$$
Podpunkt b) Pełny obrót półkola wokół jego osi symetrii:
Oś symetrii półkola jest prostopadła do jego średnicy i przechodzi przez jej środek. Obrót figury o kąt $360^\circ$ wokół tej prostej tworzy bryłę ograniczoną czaszą kulistą oraz kołową podstawą, czyli półkulę o promieniu $R$.

Pole powierzchni całkowitej półkuli to suma pola powierzchni czaszy kulistej (będącej połową sfery) oraz pola koła stanowiącego jej podstawę: $$\begin{aligned} P_c &= P_{\text{czaszy}} + P_{\text{podstawy}} \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot 4\pi R^2 + \pi R^2 \\[8pt] &= 2\pi R^2 + \pi R^2 = 3\pi R^2 \end{aligned}$$ Podstawiamy relację $\pi R^2 = 2S$: $$\begin{aligned} P_c &= 3 \cdot (\pi R^2) \\[8pt] &= 3 \cdot 2S = 6S \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $8S$

b) $6S$

Zadanie 3

W pracowni odlewniczej przygotowano dwie metalowe kule. Objętość większej kuli $K_A$ jest $64$ razy większa od objętości mniejszej kuli $K_B$. Oblicz:

a) stosunek długości promienia większej kuli do promienia mniejszej kuli,
b) stosunek pola powierzchni kuli $K_A$ do pola powierzchni kuli $K_B$.

Wskazówki:

Wszystkie kule są bryłami do siebie podobnymi. Jeśli skala podobieństwa wynosi $k$, to stosunek promieni wynosi $k$, stosunek pól powierzchni wynosi $k^2$, a stosunek objętości wynosi $k^3$.
Zadanie można również rozwiązać klasycznie, podstawiając promienie $R_A$ oraz $R_B$ bezpośrednio do wzorów na objętość $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ oraz pole powierzchni $P = 4\pi R^2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i zestawienie relacji między bryłami:
Niech $R_A$ oraz $V_A$ oznaczają odpowiednio promień i objętość kuli $K_A$, natomiast $R_B$ oraz $V_B$ oznaczają promień i objętość kuli $K_B$. Z treści zadania wynika zależność: $$V_A = 64 \cdot V_B \iff \dfrac{V_A}{V_B} = 64$$
Sposób I – Wykorzystanie własności podobieństwa brył:
Każde dwie kule są bryłami podobnymi. Niech $k > 0$ oznacza skalę podobieństwa kuli $K_A$ do kuli $K_B$.

Stosunek objętości dwóch brył podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa: $$\begin{aligned} \dfrac{V_A}{V_B} &= k^3 \\[8pt] k^3 &= 64 \\[8pt] k &= \sqrt[3]{64} \\[8pt] k &= 4 \end{aligned}$$ Podpunkt a) Skala podobieństwa $k$ jest jednocześnie stosunkiem odpowiadających sobie wymiarów liniowych, czyli promieni obu kul: $$\dfrac{R_A}{R_B} = k = 4$$ Podpunkt b) Stosunek pól powierzchni brył podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa: $$\begin{aligned} \dfrac{P_A}{P_B} &= k^2 \\[8pt] &= 4^2 \\[8pt] &= 16 \end{aligned}$$
Sposób II – Wyznaczenie stosunków na podstawie wzorów stereometrycznych:
Przypomnijmy wzory na objętość i pole powierzchni kuli o promieniu $R$: $$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 \quad \text{oraz} \quad P = 4\pi R^2$$ Podpunkt a) Wykorzystujemy podaną w zadaniu relację objętości: $$\begin{aligned} V_A &= 64 \cdot V_B \\[8pt] \dfrac{4}{3}\pi R_A^3 &= 64 \cdot \dfrac{4}{3}\pi R_B^3 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $\dfrac{4}{3}\pi$: $$\begin{aligned} R_A^3 &= 64 R_B^3 \\[8pt] \dfrac{R_A^3}{R_B^3} &= 64 \\[8pt] \left(\dfrac{R_A}{R_B}\right)^3 &= 64 \\[8pt] \dfrac{R_A}{R_B} &= \sqrt[3]{64} = 4 \end{aligned}$$ Podpunkt b) Zapisujemy iloraz pól powierzchni całkowitych obu kul i redukujemy stały czynnik $4\pi$: $$\begin{aligned} \dfrac{P_A}{P_B} &= \dfrac{4\pi R_A^2}{4\pi R_B^2} \\[8pt] &= \left(\dfrac{R_A}{R_B}\right)^2 \\[8pt] &= 4^2 \\[8pt] &= 16 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) Stosunek promieni kul wynosi $4$ (czyli $4 : 1$).

b) Stosunek pól powierzchni tych kul wynosi $16$ (czyli $16 : 1$).

Zadanie 4

W modelu sferycznym pewnej planety przyjęto, że jej promień wynosi w przybliżeniu $6400\text{ km}$. Wyznacz długość (obwód) równoleżnika odpowiadającego szerokości geograficznej:

a) $60^\circ$,
b) $45^\circ$.

Otrzymany wynik zaokrąglij do pełnych setek kilometrów (z dokładnością do $100\text{ km}$).

Wskazówki:

Równoleżnik jest okręgiem powstałym z przekroju kuli płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu (osi biegunowej).
Promień tego okręgu $r$ zależy od promienia planety $R$ oraz szerokości geograficznej $\varphi$ i wyraża się wzorem $r = R \cos\varphi$.
Długość okręgu równoleżnika obliczamy ze standardowego wzoru na obwód koła: $L = 2\pi r = 2\pi R \cos\varphi$.
Do obliczeń numerycznych przyjmujemy przybliżenia $\pi \approx 3{,}1416$ oraz $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$, a końcowy rezultat zaokrąglamy do najbliższej wielokrotności $100\text{ km}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyprowadzenie wzoru na promień równoleżnika:
Rozważmy przekrój osiowy kuli płaszczyzną przechodzącą przez środek planety $O$ oraz oś biegunową. Płaszczyzna równika jest prostopadła do osi biegunowej, a promień równika to promień planety $R = 6400\text{ km}$. Wybieramy punkt $P$ leżący na powierzchni kuli na szerokości geograficznej $\varphi$. Kąt między odcinkiem $OP$ a płaszczyzną równika wynosi $\varphi$. Rzutując punkt $P$ prostopadle na oś biegunową, otrzymujemy środek okręgu równoleżnika $O_1$. W trójkącie prostokątnym $OO_1P$ o przeciwprostokątnej $|OP| = R$ promień równoleżnika $r = |O_1P|$ leży naprzeciw kąta o mierze $90^\circ - \varphi$, zatem: $$\cos\varphi = \dfrac{r}{R} \implies r = R \cos\varphi$$

Długość okręgu równoleżnika $L$ wynosi zatem: $$L = 2\pi r = 2\pi R \cos\varphi$$
Podpunkt a) Obliczenie długości równoleżnika dla szerokości geograficznej $60^\circ$:
Dla kąta $\varphi = 60^\circ$ oraz promienia planety $R = 6400\text{ km}$ obliczamy promień równoleżnika $r$: $$\begin{aligned} r &= R \cos 60^\circ \\[8pt] &= 6400 \cdot \dfrac{1}{2} \\[8pt] &= 3200\text{ km} \end{aligned}$$ Obliczamy długość równoleżnika: $$\begin{aligned} L &= 2\pi r \\[8pt] &= 2 \cdot \pi \cdot 3200 \\[8pt] &= 6400\pi\text{ km} \end{aligned}$$ Przyjmując $\pi \approx 3{,}14159$, wyznaczamy wartość liczbową: $$L \approx 6400 \cdot 3{,}14159 \approx 20106{,}19\text{ km}$$ Zaokrąglając otrzymany wynik do pełnych setek kilometrów (cyfra dziesiątek to $0$), otrzymujemy: $$L \approx 20100\text{ km}$$
Podpunkt b) Obliczenie długości równoleżnika dla szerokości geograficznej $45^\circ$:
Dla kąta $\varphi = 45^\circ$ oraz promienia planety $R = 6400\text{ km}$ obliczamy promień równoleżnika: $$\begin{aligned} r &= R \cos 45^\circ \\[8pt] &= 6400 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\[8pt] &= 3200\sqrt{2}\text{ km} \end{aligned}$$ Obliczamy długość równoleżnika: $$\begin{aligned} L &= 2\pi r \\[8pt] &= 2 \cdot \pi \cdot 3200\sqrt{2} \\[8pt] &= 6400\sqrt{2}\pi\text{ km} \end{aligned}$$ Podstawiamy przybliżenia $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$ oraz $\pi \approx 3{,}14159$: $$\begin{aligned} L &\approx 6400 \cdot 1{,}41421 \cdot 3{,}14159 \\[8pt] &\approx 6400 \cdot 4{,}44287 \\[8pt] &\approx 28434{,}37\text{ km} \end{aligned}$$ Zaokrąglając wynik do pełnych setek kilometrów (cyfra dziesiątek to $3$), otrzymujemy: $$L \approx 28400\text{ km}$$

Odpowiedź:
a) $L \approx 20100\text{ km}$

b) $L \approx 28400\text{ km}$

Zadanie 5

Płaszczyzna tnąca dzieli kulistą bryłę o promieniu $25\text{ cm}$ na dwie części. Odległość środka tej kuli od płaszczyzny cięcia jest równa $15\text{ cm}$. Wyznacz pole powierzchni koła będącego przekrojem bryły tą płaszczyzną.

Wskazówki:

Przekrój kuli dowolną płaszczyzną zawsze tworzy koło.
Odległość od środka kuli do płaszczyzny przekroju wyznacza odcinek prostopadły do niej, łączący środek kuli ze środkiem koła przekroju.
Rozważ trójkąt prostokątny utworzony przez: odległość środka kuli od płaszczyzny $d$, promień koła przekroju $r$ oraz promień kuli $R$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza relacji geometrycznych:
Niech punkt $O$ oznacza środek kuli o promieniu $R = 25\text{ cm}$. Płaszczyzna cięcia oddalona jest od środka kuli o $d = 15\text{ cm}$.

Punkt $O_1$ będący rzutem prostokątnym punktu $O$ na płaszczyznę przekroju stanowi środek koła przekroju. Odcinek $OO_1$ jest prostopadły do płaszczyzny cięcia, a więc także do każdego promienia koła przekroju wychodzącego z punktu $O_1$.

Wybierając dowolny punkt $A$ leżący na brzegu koła przekroju (należący jednocześnie do powierzchni kuli), otrzymujemy trójkąt prostokątny $OO_1A$, w którym:
- przyprostokątna $|OO_1| = d = 15\text{ cm}$ (odległość środka kuli od płaszczyzny),
- przyprostokątna $|O_1A| = r$ (szukany promień przekroju),
- przeciwprostokątna $|OA| = R = 25\text{ cm}$ (promień kuli).
Wyznaczenie promienia przekroju $r$ z twierdzenia Pitagorasa:
W trójkącie prostokątnym $OO_1A$ stosujemy twierdzenie Pitagorasa: $$\begin{aligned} r^2 + d^2 &= R^2 \\[8pt] r^2 + 15^2 &= 25^2 \\[8pt] r^2 + 225 &= 625 \\[8pt] r^2 &= 625 - 225 \\[8pt] r^2 &= 400 \end{aligned}$$ Obliczamy długość promienia przekroju: $$r = \sqrt{400} = 20\text{ cm}$$
Obliczenie pola powierzchni przekroju oraz rysunek wynikowy:
Przekrój kuli jest kołem o promieniu $r = 20\text{ cm}$. Korzystamy ze wzoru na pole koła: $$\begin{aligned} P &= \pi r^2 \\[8pt] &= \pi \cdot 20^2 \\[8pt] &= 400\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Pole powierzchni przekroju wynosi $400\pi\text{ cm}^2$.

Grupa B

Zadanie 1

Wytwórnia ozdób wykonuje szklane bombki w kształcie kuli. Wyznacz pole powierzchni zewnętrznej oraz pojemność (objętość) takiej kuli przy założeniu, że jej promień $r$ wynosi:

a) $r = 3\text{ cm}$

b) $r = 18\text{ cm}$

Zadanie 2

Szklany element dekoracyjny ma kształt półkola o polu równym $A$. Poprzez obrót tej figury o kąt $360^\circ$ dookoła prostej leżącej w jej płaszczyźnie utworzono bryłę obrotową. Oblicz pole powierzchni całkowitej powstałej bryły w zależności od wielkości $A$, jeżeli osią obrotu jest:

a) brzeg prostoliniowy (średnica) tego elementu

b) oś symetrii tego elementu

Zadanie 3

Do celów badawczych wykonano dwa sferyczne balony pomiarowe oznaczane jako $S_1$ oraz $S_2$. Objętość większego balonu $S_1$ przewyższa objętość mniejszego balonu $S_2$ dokładnie $8$ razy. Wyznacz:

a) stosunek promienia balonu $S_1$ do promienia balonu $S_2$,
b) stosunek pól powierzchni powłok obu tych sferycznych balonów.

Zadanie 4

Przyjmując, że promień pewnej kulistej planety wynosi w przybliżeniu $6000\text{ km}$, wyznacz długość równoleżnika dla punktów o szerokości geograficznej równej:

a) $30^\circ$,
b) $60^\circ$.

Wynik podaj po zaokrągleniu z dokładnością do $100\text{ km}$.

Zadanie 5

W odległości $8\text{ cm}$ od środka kuli poprowadzono płaszczyznę przekroju. Wiedząc, że promień kuli ma długość $17\text{ cm}$, ustal pole powierzchni powstałego koła przekroju.

30.3 Kula

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋