Walec kartkówka LiczBit

30.1 Walec

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Dany jest prostokąt o bokach długości $3\text{ cm}$ oraz $5\text{ cm}$. Bryłę obrotową tworzymy poprzez pełny obrót tej figury wokół prostej zawierającej jeden z jej boków. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tak powstałego walca, jeżeli osią obrotu jest:

a) dłuższy bok tego prostokąta

b) krótszy bok tego prostokąta

Wskazówki:

Podczas pełnego obrotu prostokąta wokół prostej zawierającej jeden z boków, bok leżący na osi wyznacza wysokość walca $H$, natomiast bok do niego prostopadły staje się promieniem podstawy walca $r$.
Pole powierzchni całkowitej walca składa się z pól dwóch jednakowych kół (podstaw) oraz pola powierzchni bocznej: $P_c = 2P_p + P_b = 2\pi r^2 + 2\pi r H = 2\pi r(r + H)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zależności geometryczne i wzór na pole powierzchni walca:
W wyniku obrotu prostokąta o bokach $a$ i $b$ wokół boku $a$ powstaje walec o wysokości $H = a$ i promieniu podstawy $r = b$. Pole powierzchni całkowitej takiej bryły wyraża się wzorem: $$P_c = 2P_p + P_b = 2\pi r^2 + 2\pi r H = 2\pi r(r + H)$$
Podpunkt a) Obrót wokół dłuższego boku:
Osią obrotu jest bok o długości $5\text{ cm}$. Oznacza to, że wysokość walca wynosi $H = 5\text{ cm}$, a promień koła podstawy jest równy $r = 3\text{ cm}$.

Obliczamy pole podstawy: $$P_p = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi\text{ cm}^2$$ Obliczamy pole powierzchni bocznej: $$P_b = 2\pi r H = 2\pi \cdot 3 \cdot 5 = 30\pi\text{ cm}^2$$ Wyznaczamy pole powierzchni całkowitej: $$\begin{aligned} P_c &= 2P_p + P_b \\[8pt] &= 2 \cdot 9\pi + 30\pi \\[8pt] &= 18\pi + 30\pi = 48\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obrót wokół krótszego boku:
Osią obrotu jest bok o długości $3\text{ cm}$. W tej sytuacji wysokość walca to $H = 3\text{ cm}$, natomiast promień podstawy wynosi $r = 5\text{ cm}$.

Obliczamy pole podstawy: $$P_p = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\text{ cm}^2$$ Obliczamy pole powierzchni bocznej: $$P_b = 2\pi r H = 2\pi \cdot 5 \cdot 3 = 30\pi\text{ cm}^2$$ Wyznaczamy pole powierzchni całkowitej: $$\begin{aligned} P_c &= 2P_p + P_b \\[8pt] &= 2 \cdot 25\pi + 30\pi \\[8pt] &= 50\pi + 30\pi = 80\pi\text{ cm}^2 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $48\pi\text{ cm}^2$

b) $80\pi\text{ cm}^2$

Zadanie 2

Pole powierzchni bocznej walca jest trzykrotnie większe od sumy pól obu jego podstaw. Oblicz stosunek wysokości tego walca do długości promienia podstawy.

Wskazówki:

Wyraź pole powierzchni bocznej $P_b$ oraz pole pojedynczej podstawy $P_p$ za pomocą promienia podstawy $r$ i wysokości walca $h$.
Pamiętaj, że walec posiada dwie podstawy, dlatego suma ich pól jest równa $2P_p$.
Ułóż równanie wynikające z treści zadania i podziel obie strony przez wyrażenie $2\pi r$, aby wyznaczyć zależność między $h$ a $r$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i oznaczenia wymiarów walca:
Wprowadzamy oznaczenia wymiarów bryły: niech $r > 0$ oznacza promień kołowej podstawy walca, natomiast $h > 0$ oznacza jego wysokość.
Zapisanie wzorów na powierzchnie składowe:
Pole powierzchni bocznej walca wyraża się wzorem: $$P_b = 2\pi r h$$ Pole pojedynczej kołowej podstawy wynosi: $$P_p = \pi r^2$$ Łączne pole powierzchni obu podstaw walca to: $$2P_p = 2\pi r^2$$
Ułożenie równania na podstawie warunku zadania:
Zgodnie z treścią zadania pole powierzchni bocznej jest trzykrotnie większe od sumy pól obu podstaw: $$P_b = 3 \cdot (2P_p)$$ Podstawiamy odpowiednie wzory do powyższego równania: $$\begin{aligned} 2\pi r h &= 3 \cdot 2\pi r^2 \\[8pt] 2\pi r h &= 6\pi r^2 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $2\pi r$ (pamiętając, że $r > 0$): $$\begin{aligned} h &= \dfrac{6\pi r^2}{2\pi r} \\[8pt] h &= 3r \end{aligned}$$
Obliczenie stosunku wysokości do promienia podstawy:
Szukany stosunek wysokości walca do promienia jego podstawy wynosi: $$\begin{aligned} \dfrac{h}{r} &= \dfrac{3r}{r} \\[8pt] \dfrac{h}{r} &= 3 \end{aligned}$$ Otrzymany wynik można również zapisać w postaci proporcji $3 : 1$.

Odpowiedź:
Stosunek wysokości walca do promienia podstawy wynosi $3$ (czyli $3 : 1$).

Zadanie 3

Stosunek długości boków prostokątnego arkusza wynosi $1 : 3$. W wyniku pełnego obrotu tego prostokąta wokół każdej z jego dwóch osi symetrii powstają dwa różne walce. Wyznacz stosunek pól powierzchni całkowitych obu otrzymanych w ten sposób brył obrotowych.

Wskazówki:

Prostokąt ma dwie osie symetrii – każda z nich łączy środki pary przeciwległych boków i jest do nich prostopadła.
Gdy obracamy prostokąt wokół osi symetrii, bok prostopadły do osi obrotu zostaje podzielony na połowy – jedna z tych połówek wyznacza promień podstawy walca $r$, a bok równoległy do osi stanowi wysokość walca $h$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy prostokąta oraz identyfikacja jego osi symetrii:
Niech boki prostokąta mają długości $a$ oraz $b$. Ponieważ pozostają one w stosunku $1 : 3$, możemy wygodnie przyjąć oznaczenia bez ułamków: $$a = 2x, \quad b = 6x \quad (x > 0)$$ Każda z osi symetrii prostokąta przechodzi przez środki przeciwległych boków:
Wyznaczenie wymiarów i pola powierzchni całkowitej pierwszego walca ($W_1$):
Rozpatrzmy obrót wokół osi symetrii $k_1$ równoległej do dłuższego boku o długości $6x$.
Oś ta dzieli krótszy bok o długości $2x$ na dwie równe części, zatem promień podstawy wynosi: $$r_1 = \dfrac{a}{2} = \dfrac{2x}{2} = x$$ Wysokość walca jest równa długości dłuższego boku: $$h_1 = b = 6x$$ Pole powierzchni całkowitej walca o promieniu $r_1$ i wysokości $h_1$ wyraża się wzorem: $$\begin{aligned} P_{c1} &= 2\pi r_1 (r_1 + h_1) \\[8pt] &= 2\pi \cdot x \cdot (x + 6x) \\[8pt] &= 2\pi x \cdot 7x \\[8pt] &= 14\pi x^2 \end{aligned}$$
Wyznaczenie wymiarów i pola powierzchni całkowitej drugiego walca ($W_2$):
Rozpatrzmy obrót wokół osi symetrii $k_2$ równoległej do krótszego boku o długości $2x$.
Oś ta dzieli dłuższy bok o długości $6x$ na dwie równe części, zatem promień podstawy tego walca wynosi: $$r_2 = \dfrac{b}{2} = \dfrac{6x}{2} = 3x$$ Wysokość walca odpowiada długości krótszego boku: $$h_2 = a = 2x$$ Pole powierzchni całkowitej walca $W_2$ wynosi zatem: $$\begin{aligned} P_{c2} &= 2\pi r_2 (r_2 + h_2) \\[8pt] &= 2\pi \cdot 3x \cdot (3x + 2x) \\[8pt] &= 6\pi x \cdot 5x \\[8pt] &= 30\pi x^2 \end{aligned}$$
Obliczenie stosunku pól powierzchni całkowitych oraz zestawienie brył:
Iloraz pól powierzchni całkowitych obu walców wynosi: $$\begin{aligned} \dfrac{P_{c1}}{P_{c2}} &= \dfrac{14\pi x^2}{30\pi x^2} \\[8pt] &= \dfrac{14}{30} \\[8pt] &= \dfrac{7}{15} \end{aligned}$$ W relacji odwrotnej (stosunek pola walca większego do mniejszego): $$\dfrac{P_{c2}}{P_{c1}} = \dfrac{30\pi x^2}{14\pi x^2} = \dfrac{15}{7}$$

Odpowiedź:
Stosunek pól powierzchni całkowitych powstałych walców wynosi $\dfrac{7}{15}$ (lub $\dfrac{15}{7}$).

Zadanie 4

Wysokość walca ma długość $12\text{ cm}$. Oblicz objętość tej bryły w sytuacji, gdy:

a) podstawa walca ma średnicę o długości $10\text{ cm}$,
b) długość przekątnej jego przekroju osiowego wynosi $20\text{ cm}$,
c) kąt między przekątną przekroju osiowego a płaszczyzną podstawy ma miarę $30^\circ$.

Wskazówki:

Wzór na objętość walca to $V = \pi r^2 H$, gdzie $r$ oznacza promień podstawy, a $H$ wysokość walca.
Średnica podstawy $d$ jest dwukrotnością promienia, zatem $r = \dfrac{d}{2}$.
Przekrój osiowy walca jest prostokątem o wymiarach $d \times H$. Przekątna tego przekroju $D$, średnica podstawy $d$ oraz wysokość $H$ tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $D$.
W trójkącie prostokątnym przekroju osiowego tangens kąta nachylenia przekątnej do podstawy wyraża się stosunkiem $\tan\alpha = \dfrac{H}{d}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza przekroju osiowego walca:
Przekrój osiowy walca to prostokąt przechodzący przez osie symetrii obu podstaw. Jego podstawą jest średnica podstawy walca $d = 2r$, a wysokością jest wysokość walca $H = 12\text{ cm}$. Przekątna przekroju osiowego $D$ łączy przeciwległe wierzchołki tego prostokąta, tworząc z podstawą kąt $\alpha$.
Podpunkt a) Obliczenie objętości przy danej średnicy podstawy $d = 10\text{ cm}$:
Mając daną średnicę podstawy $d = 10\text{ cm}$, wyznaczamy promień podstawy $r$: $$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\text{ cm}$$ Podstawiamy wyznaczony promień oraz wysokość $H = 12\text{ cm}$ do wzoru na objętość walca: $$\begin{aligned} V &= \pi r^2 H \\[8pt] &= \pi \cdot 5^2 \cdot 12 \\[8pt] &= \pi \cdot 25 \cdot 12 \\[8pt] &= 300\pi\text{ cm}^3 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczenie objętości przy przekątnej przekroju osiowego $D = 20\text{ cm}$:
W trójkącie prostokątnym utworzonym przez średnicę podstawy $d$, wysokość $H = 12\text{ cm}$ oraz przekątną $D = 20\text{ cm}$ stosujemy twierdzenie Pitagorasa: $$\begin{aligned} d^2 + H^2 &= D^2 \\[8pt] d^2 + 12^2 &= 20^2 \\[8pt] d^2 + 144 &= 400 \\[8pt] d^2 &= 400 - 144 \\[8pt] d^2 &= 256 \\[8pt] d &= \sqrt{256} = 16\text{ cm} \end{aligned}$$ Obliczamy promień podstawy: $$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{16}{2} = 8\text{ cm}$$ Obliczamy objętość walca: $$\begin{aligned} V &= \pi r^2 H \\[8pt] &= \pi \cdot 8^2 \cdot 12 \\[8pt] &= \pi \cdot 64 \cdot 12 \\[8pt] &= 768\pi\text{ cm}^3 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczenie objętości przy kącie nachylenia przekątnej $\alpha = 30^\circ$:
Z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym przekroju osiowego otrzymujemy: $$\tan 30^\circ = \dfrac{H}{d}$$ Wstawiamy wartość wysokości $H = 12\text{ cm}$ oraz $\tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$, po czym wyznaczamy średnicę $d$: $$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{3} &= \dfrac{12}{d} \\[8pt] d \cdot \sqrt{3} &= 12 \cdot 3 \\[8pt] d \cdot \sqrt{3} &= 36 \\[8pt] d &= \dfrac{36}{\sqrt{3}} = \dfrac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}\text{ cm} \end{aligned}$$ Wyznaczamy promień podstawy walca: $$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\text{ cm}$$ Obliczamy objętość bryły: $$\begin{aligned} V &= \pi r^2 H \\[8pt] &= \pi \cdot (6\sqrt{3})^2 \cdot 12 \\[8pt] &= \pi \cdot 36 \cdot 3 \cdot 12 \\[8pt] &= \pi \cdot 108 \cdot 12 \\[8pt] &= 1296\pi\text{ cm}^3 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $V = 300\pi\text{ cm}^3$

b) $V = 768\pi\text{ cm}^3$

c) $V = 1296\pi\text{ cm}^3$

Zadanie 5

Z prostokątnego arkusza sprężystego tworzywa o wymiarach $60\text{ cm}$ na $20\text{ cm}$ tworzy się powierzchnię boczną cylindrycznej tuby (bez nakładania brzegów na siebie). Zwinięcia można dokonać na dwa sposoby: w pierwszym przypadku wysokość tuby wynosi $60\text{ cm}$, natomiast w drugim przypadku wysokość ta wynosi $20\text{ cm}$. Oblicz stosunek objętości tak utworzonych tub cylindrycznych.

Wskazówki:

Gdy zwijamy prostokąt w powierzchnię boczną walca, jeden z jego boków staje się wysokością bryły $H$, a drugi bok tworzy obwód koła podstawy: $L = 2\pi r$.
Wyznacz promień podstawy $r$ dla każdego z dwóch wariantów zwinięcia, a następnie zapisz wzór na objętość walca: $V = \pi r^2 H$.
Zauważ, że pole powierzchni bocznej w obu przypadkach jest identyczne, lecz objętość walca zależy kwadratowo od promienia podstawy.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza geometryczna zwijania arkusza:
Niech prostokątny arkusz ma boki o długościach $a = 60\text{ cm}$ oraz $b = 20\text{ cm}$.

W zależności od wybranego kierunku zwijania:
- Przypadek I: Wysokością walca jest dłuższy bok $H_1 = a = 60\text{ cm}$. Krótszy bok staje się obwodem podstawy: $L_1 = b = 20\text{ cm}$.
- Przypadek II: Wysokością walca jest krótszy bok $H_2 = b = 20\text{ cm}$. Dłuższy bok staje się obwodem podstawy: $L_2 = a = 60\text{ cm}$.
Sposób I – Wyznaczenie promieni podstaw i obliczenie objętości obu walców:
Obliczamy promień podstawy $r_1$ oraz objętość $V_1$ dla pierwszej tuby: $$\begin{aligned} L_1 &= 2\pi r_1 \\[8pt] 20 &= 2\pi r_1 \implies r_1 = \dfrac{20}{2\pi} = \dfrac{10}{\pi}\text{ cm} \end{aligned}$$ Podstawiamy promień $r_1$ oraz wysokość $H_1 = 60\text{ cm}$ do wzoru na objętość walca: $$\begin{aligned} V_1 &= \pi r_1^2 \cdot H_1 \\[8pt] &= \pi \cdot \left(\dfrac{10}{\pi}\right)^2 \cdot 60 \\[8pt] &= \pi \cdot \dfrac{100}{\pi^2} \cdot 60 \\[8pt] &= \dfrac{6000}{\pi}\text{ cm}^3 \end{aligned}$$
Analogicznie obliczamy promień podstawy $r_2$ oraz objętość $V_2$ dla drugiej tuby: $$\begin{aligned} L_2 &= 2\pi r_2 \\[8pt] 60 &= 2\pi r_2 \implies r_2 = \dfrac{60}{2\pi} = \dfrac{30}{\pi}\text{ cm} \end{aligned}$$ Podstawiamy promień $r_2$ oraz wysokość $H_2 = 20\text{ cm}$: $$\begin{aligned} V_2 &= \pi r_2^2 \cdot H_2 \\[8pt] &= \pi \cdot \left(\dfrac{30}{\pi}\right)^2 \cdot 20 \\[8pt] &= \pi \cdot \dfrac{900}{\pi^2} \cdot 20 \\[8pt] &= \dfrac{18000}{\pi}\text{ cm}^3 \end{aligned}$$
Obliczamy stosunek objętości obu tub: $$\begin{aligned} \dfrac{V_1}{V_2} &= \dfrac{\dfrac{6000}{\pi}}{\dfrac{18000}{\pi}} \\[8pt] &= \dfrac{6000}{18000} \\[8pt] &= \dfrac{1}{3} \end{aligned}$$ Gdybyśmy porównywali objętość szerszej tuby do węższej, otrzymalibyśmy: $$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{18000}{6000} = 3$$
Sposób II – Wyznaczenie stosunku objętości na wzorach ogólnych oraz rysunek wynikowy:
Zauważmy ogólną własność dla dowolnego prostokąta o bokach $a$ i $b$: $$\begin{aligned} V_1 &= \pi \cdot \left(\dfrac{b}{2\pi}\right)^2 \cdot a = \dfrac{a \cdot b^2}{4\pi} \\[8pt] V_2 &= \pi \cdot \left(\dfrac{a}{2\pi}\right)^2 \cdot b = \dfrac{a^2 \cdot b}{4\pi} \end{aligned}$$ Dzieląc te objętości stronami, czynniki $4\pi$ oraz iloczyn $a \cdot b$ ulegają natychmiastowemu skróceniu: $$\begin{aligned} \dfrac{V_1}{V_2} &= \dfrac{\dfrac{a \cdot b^2}{4\pi}}{\dfrac{a^2 \cdot b}{4\pi}} \\[8pt] &= \dfrac{b}{a} \\[8pt] &= \dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$$ Stosunek objętości powstałych walców jest równy stosunkowi długości boków prostokątnego arkusza.

Odpowiedź:
Stosunek objętości powstałych tub wynosi $1 : 3$ (czyli $\dfrac{1}{3}$), a w odwrotnej kolejności $3 : 1$ (czyli $3$).

Grupa B

Zadanie 1

Arkusz kartonu w kształcie prostokąta ma wymiary $2\text{ cm}\times 6\text{ cm}$. Przez obrót tego prostokąta o kąt $360^\circ$ dookoła prostej zawierającej jeden z jego boków powstaje bryła obrotowa. Oblicz pole powierzchni całkowitej utworzonego walca w sytuacji, gdy osią obrotu jest:

a) bok o większej długości

b) bok o mniejszej długości

Zadanie 2

Pole powierzchni bocznej walca jest czterokrotnie większe od sumy pól obu jego podstaw. Wyznacz stosunek wysokości tej bryły do promienia jej podstawy.

Zadanie 3

Stosunek długości sąsiednich krawędzi prostokątnej płytki wynosi $1 : 4$. Dokonując obrotu tej płytki o pełny kąt wokół każdej z jej dwóch osi symetrii, wygenerowano dwa różne walce. Wyznacz stosunek pól powierzchni całkowitych obu powstałych brył obrotowych.

Zadanie 4

Wysokość walca jest równa $24\text{ cm}$. Wyznacz objętość tego walca, wiedząc że:

a) średnica podstawy tej bryły wynosi $16\text{ cm}$,
b) przekrój osiowy walca ma przekątną o długości $26\text{ cm}$,
c) nachylenie przekątnej przekroju osiowego względem płaszczyzny podstawy wynosi $60^\circ$.

Zadanie 5

Z prostokątnego arkusza blachy miedzianej o wymiarach $80\text{ cm}$ na $40\text{ cm}$ zwinięto bez nakładania brzegów pobocznicę cylindrycznego naczynia. Zwijania można dokonać na dwa różne sposoby: tak, że wysokość cylindra wynosi $80\text{ cm}$, albo tak, że wysokość wynosi $40\text{ cm}$. Wyznacz stosunek objętości węższego naczynia do objętości szerszego naczynia.

30.1 Walec

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋