Wariancja i odchylenie standardowe kartkówka LiczBit

27.3 Wariancja i odchylenie standardowe

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Dla każdego z poniższych zestawów danych wyznacz wartość wariancji dwoma różnymi sposobami (korzystając bezpośrednio ze wzoru definicyjnego opartego na odchyleniach od średniej arytmetycznej oraz ze wzoru redukcyjnego wykorzystującego średnią kwadratów liczb):

a) $1, \quad 2, \quad 2, \quad 3, \quad 3, \quad 4, \quad 4, \quad 5$

b) $1\frac{4}{5}, \quad 2\frac{1}{10}, \quad 2\frac{1}{2}, \quad 2\frac{9}{10}, \quad 3\frac{1}{5}$

c) $2, \quad 4, \quad 8, \quad 16, \quad 70$

d) $-4, \quad -4, \quad -2, \quad 0, \quad 5, \quad 7, \quad 9, \quad 11, \quad 13, \quad 15$

Dwa wzory na wariancję (proste porównanie):

Średnia arytmetyczna ($\overline{x}$): dodajemy wszystkie liczby i dzielimy przez ich ilość: $$\overline{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$$
Sposób I (z definicji – odchylenia od średniej): od każdej liczby odejmujemy średnią, wynik podnosimy do kwadratu, a na koniec wyliczamy średnią z tych kwadratów: $$\sigma^2 = \dfrac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \dots + (x_n - \overline{x})^2}{n}$$
Sposób II (wzór uproszczony – średnia kwadratów minus kwadrat średniej): najpierw podnosimy każdą liczbę do kwadratu i liczymy ich zwykłą średnią, a na koniec odejmujemy od tego kwadrat średniej arytmetycznej: $$\sigma^2 = \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n} - (\overline{x})^2$$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Zestaw: $1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5$
Liczb jest $n = 8$. Zaczynamy od wyznaczenia średniej arytmetycznej: $$\overline{x} = \dfrac{1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$$
Sposób I (odchylenia od średniej):
Sprawdzamy, jak bardzo każda liczba różni się od średniej równej $3$ i podnosimy tę różnicę do kwadratu: $$\begin{aligned} (1 - 3)^2 &= (-2)^2 = 4 \\[6pt] (2 - 3)^2 &= (-1)^2 = 1 \quad \text{(mamy dwie dwójki, czyli } 2 \cdot 1 = 2\text{)} \\[6pt] (3 - 3)^2 &= 0^2 = 0 \quad \text{(mamy dwie trójki)} \\[6pt] (4 - 3)^2 &= 1^2 = 1 \quad \text{(mamy dwie czwórki, czyli } 2 \cdot 1 = 2\text{)} \\[6pt] (5 - 3)^2 &= 2^2 = 4 \end{aligned}$$ Dodajemy te kwadraty i dzielimy przez $8$: $$\sigma^2 = \dfrac{4 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 4}{8} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5$$
Sposób II (średnia kwadratów minus kwadrat średniej):
Podnosimy każdą z wyjściowych liczb do kwadratu i je sumujemy: $$1^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 + 4^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16 + 16 + 25 = 84$$ Liczymy średnią z tych kwadratów: $$\dfrac{84}{8} = 10{,}5$$ Odejmujemy kwadrat średniej ($3^2 = 9$): $$\sigma^2 = 10{,}5 - 9 = 1{,}5$$
Podpunkt b) Zestaw: $1\frac{4}{5}, 2\frac{1}{10}, 2\frac{1}{2}, 2\frac{9}{10}, 3\frac{1}{5}$
Mamy $n = 5$ liczb. Zamieniamy ułamki zwykłe na dziesiętne, aby ułatwić rachunki: $$1{,}8; \quad 2{,}1; \quad 2{,}5; \quad 2{,}9; \quad 3{,}2$$ Obliczamy średnią arytmetyczną: $$\overline{x} = \dfrac{1{,}8 + 2{,}1 + 2{,}5 + 2{,}9 + 3{,}2}{5} = \dfrac{12{,}5}{5} = 2{,}5$$
Sposób I (odchylenia od średniej):
Odejmujemy średnią $2{,}5$ od każdej liczby i potęgujemy: $$\begin{aligned} (1{,}8 - 2{,}5)^2 &= (-0{,}7)^2 = 0{,}49 \\[6pt] (2{,}1 - 2{,}5)^2 &= (-0{,}4)^2 = 0{,}16 \\[6pt] (2{,}5 - 2{,}5)^2 &= 0^2 = 0 \\[6pt] (2{,}9 - 2{,}5)^2 &= 0{,}4^2 = 0{,}16 \\[6pt] (3{,}2 - 2{,}5)^2 &= 0{,}7^2 = 0{,}49 \end{aligned}$$ Liczymy średnią z tych odchyleń: $$\sigma^2 = \dfrac{0{,}49 + 0{,}16 + 0 + 0{,}16 + 0{,}49}{5} = \dfrac{1{,}30}{5} = 0{,}26$$
Sposób II (średnia kwadratów minus kwadrat średniej):
Podnosimy liczby do kwadratu i je sumujemy: $$1{,}8^2 + 2{,}1^2 + 2{,}5^2 + 2{,}9^2 + 3{,}2^2 = 3{,}24 + 4{,}41 + 6{,}25 + 8{,}41 + 10{,}24 = 32{,}55$$ Dzielimy sumę przez $5$ i odejmujemy kwadrat średniej ($2{,}5^2 = 6{,}25$): $$\sigma^2 = \dfrac{32{,}55}{5} - 2{,}5^2 = 6{,}51 - 6{,}25 = 0{,}26$$
Podpunkt c) Zestaw: $2, 4, 8, 16, 70$
Liczb jest $n = 5$. Obliczamy średnią arytmetyczną: $$\overline{x} = \dfrac{2 + 4 + 8 + 16 + 70}{5} = \dfrac{100}{5} = 20$$
Sposób I (odchylenia od średniej):
Odejmujemy średnią $20$ od każdej liczby i podnosimy wynik do kwadratu: $$\begin{aligned} (2 - 20)^2 &= (-18)^2 = 324 \\[6pt] (4 - 20)^2 &= (-16)^2 = 256 \\[6pt] (8 - 20)^2 &= (-12)^2 = 144 \\[6pt] (16 - 20)^2 &= (-4)^2 = 16 \\[6pt] (70 - 20)^2 &= 50^2 = 2500 \end{aligned}$$ Wyznaczamy wariancję: $$\sigma^2 = \dfrac{324 + 256 + 144 + 16 + 2500}{5} = \dfrac{3240}{5} = 648$$
Sposób II (średnia kwadratów minus kwadrat średniej):
Podnosimy wyjściowe liczby do kwadratu i dodajemy: $$2^2 + 4^2 + 8^2 + 16^2 + 70^2 = 4 + 16 + 64 + 256 + 4900 = 5240$$ Liczymy średnią kwadratów i odejmujemy kwadrat średniej ($20^2 = 400$): $$\sigma^2 = \dfrac{5240}{5} - 20^2 = 1048 - 400 = 648$$
Podpunkt d) Zestaw: $-4, -4, -2, 0, 5, 7, 9, 11, 13, 15$
Mamy $n = 10$ liczb. Wyznaczamy średnią arytmetyczną: $$\overline{x} = \dfrac{(-4) + (-4) + (-2) + 0 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15}{10} = \dfrac{50}{10} = 5$$
Sposób I (odchylenia od średniej):
Obliczamy kwadraty odchyleń od średniej równej $5$: $$\begin{aligned} (-4 - 5)^2 &= (-9)^2 = 81 \quad \text{(dwie takie liczby, czyli } 2 \cdot 81 = 162\text{)} \\[6pt] (-2 - 5)^2 &= (-7)^2 = 49 \\[6pt] (0 - 5)^2 &= (-5)^2 = 25 \\[6pt] (5 - 5)^2 &= 0^2 = 0 \\[6pt] (7 - 5)^2 &= 2^2 = 4 \\[6pt] (9 - 5)^2 &= 4^2 = 16 \\[6pt] (11 - 5)^2 &= 6^2 = 36 \\[6pt] (13 - 5)^2 &= 8^2 = 64 \\[6pt] (15 - 5)^2 &= 10^2 = 100 \end{aligned}$$ Dodajemy wyniki i dzielimy przez $10$: $$\sigma^2 = \dfrac{81 + 81 + 49 + 25 + 0 + 4 + 16 + 36 + 64 + 100}{10} = \dfrac{456}{10} = 45{,}6$$
Sposób II (średnia kwadratów minus kwadrat średniej):
Pamiętamy, że kwadrat liczby ujemnej jest dodatni (np. $(-4)^2 = 16$). Sumujemy kwadraty liczb: $$(-4)^2 + (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 + 11^2 + 13^2 + 15^2$$ $$= 16 + 16 + 4 + 0 + 25 + 49 + 81 + 121 + 169 + 225 = 706$$ Obliczamy wariancję, odejmując kwadrat średniej ($5^2 = 25$): $$\sigma^2 = \dfrac{706}{10} - 5^2 = 70{,}6 - 25 = 45{,}6$$

Odpowiedź:
a) $\sigma^2 = 1{,}5$

b) $\sigma^2 = 0{,}26$ (lub $\frac{13}{50}$)

c) $\sigma^2 = 648$

d) $\sigma^2 = 45{,}6$

Zadanie 2

Dla podanych zestawów liczb oblicz odchylenie standardowe. Otrzymany wynik zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku:

a) $-6,\ -2,\ 1,\ 4,\ 6,\ 8,\ 13,\ 16$

b) $1{,}2;\ 1{,}4;\ 1{,}7;\ 2{,}3;\ 3{,}4$

Plan działania w 3 krokach:

Krok 1: Obliczamy zwykłą średnią arytmetyczną $\overline{x}$ (dodajemy wszystkie liczby i dzielimy przez ich ilość $n$).
Krok 2: Liczymy wariancję $\sigma^2$: sprawdzamy, jak bardzo każda liczba różni się od średniej, podnosimy te różnice do kwadratu i wyliczamy ich średnią: $$\sigma^2 = \dfrac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \dots + (x_n - \overline{x})^2}{n}$$
Krok 3: Odchylenie standardowe $\sigma$ to po prostu pierwiastek kwadratowy z wyliczonej wariancji: $$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Zestaw liczb: $-6,\ -2,\ 1,\ 4,\ 6,\ 8,\ 13,\ 16$
W zestawie jest $n = 8$ liczb.

1. Średnia arytmetyczna:
$$\overline{x} = \dfrac{-6 + (-2) + 1 + 4 + 6 + 8 + 13 + 16}{8} = \dfrac{40}{8} = 5$$
2. Kwadraty odchyleń od średniej równej $5$:
$$\begin{aligned} (-6 - 5)^2 &= (-11)^2 = 121 \\[6pt] (-2 - 5)^2 &= (-7)^2 = 49 \\[6pt] (1 - 5)^2 &= (-4)^2 = 16 \\[6pt] (4 - 5)^2 &= (-1)^2 = 1 \\[6pt] (6 - 5)^2 &= 1^2 = 1 \\[6pt] (8 - 5)^2 &= 3^2 = 9 \\[6pt] (13 - 5)^2 &= 8^2 = 64 \\[6pt] (16 - 5)^2 &= 11^2 = 121 \end{aligned}$$
3. Wariancja (średnia z tych kwadratów):
$$\sigma^2 = \dfrac{121 + 49 + 16 + 1 + 1 + 9 + 64 + 121}{8} = \dfrac{382}{8} = 47{,}75$$
4. Odchylenie standardowe:
$$\sigma = \sqrt{47{,}75} \approx 6{,}9101... \approx 6{,}91$$
Podpunkt b) Zestaw liczb: $1{,}2;\ 1{,}4;\ 1{,}7;\ 2{,}3;\ 3{,}4$
W zestawie jest $n = 5$ liczb.

1. Średnia arytmetyczna:
$$\overline{x} = \dfrac{1{,}2 + 1{,}4 + 1{,}7 + 2{,}3 + 3{,}4}{5} = \dfrac{10{,}0}{5} = 2$$
2. Kwadraty odchyleń od średniej równej $2$:
$$\begin{aligned} (1{,}2 - 2)^2 &= (-0{,}8)^2 = 0{,}64 \\[6pt] (1{,}4 - 2)^2 &= (-0{,}6)^2 = 0{,}36 \\[6pt] (1{,}7 - 2)^2 &= (-0{,}3)^2 = 0{,}09 \\[6pt] (2{,}3 - 2)^2 &= 0{,}3^2 = 0{,}09 \\[6pt] (3{,}4 - 2)^2 &= 1{,}4^2 = 1{,}96 \end{aligned}$$
3. Wariancja (średnia z tych kwadratów):
$$\sigma^2 = \dfrac{0{,}64 + 0{,}36 + 0{,}09 + 0{,}09 + 1{,}96}{5} = \dfrac{3{,}14}{5} = 0{,}628$$
4. Odchylenie standardowe:
$$\sigma = \sqrt{0{,}628} \approx 0{,}7924... \approx 0{,}79$$

Odpowiedź:
a) $\sigma \approx 6{,}91$

b) $\sigma \approx 0{,}79$

Zadanie 3

Wariancja zestawu trzech liczb $a$, $b$ oraz $c$ jest równa $5\dfrac{1}{3}$. Wiadomo ponadto, że ich średnia arytmetyczna wynosi $6$. Wyznacz wartość sumy kwadratów tych trzech liczb, czyli $a^2 + b^2 + c^2$.

Wskazówki:

Wykorzystaj zależność wiążącą wariancję ze średnią arytmetyczną oraz sumą kwadratów elementów: $\sigma^2 = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{n} - (\bar{a})^2$.
Alternatywnie możesz rozpisać klasyczną postać wariancji $\sigma^2 = \dfrac{(a - \bar{a})^2 + (b - \bar{a})^2 + (c - \bar{a})^2}{3}$ za pomocą wzorów skróconego mnożenia, pamiętając, że $a + b + c = 3\bar{a}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie informacji wstępnych z treści zadania:
Rozważamy zestaw $n = 3$ liczb $a, b, c$. Średnia arytmetyczna tych danych wynosi: $$\bar{a} = 6$$ Wariancję podaną w postaci liczby mieszanej zamieniamy na ułamek niewłaściwy: $$\sigma^2 = 5\dfrac{1}{3} = \dfrac{16}{3}$$ Szukaną wartością jest suma kwadratów: $a^2 + b^2 + c^2$.
Sposób I – Wykorzystanie wzoru na wariancję ze średniej kwadratów:
W szkole średniej powszechnie stosuje się postać rozwiniętą wariancji (średnia kwadratów pomniejszona o kwadrat średniej arytmetycznej): $$\sigma^2 = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{n} - (\bar{a})^2$$ Podstawiamy znane wielkości ($n = 3$, $\bar{a} = 6$, $\sigma^2 = \dfrac{16}{3}$): $$\begin{aligned} \dfrac{16}{3} &= \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3} - 6^2 \\[8pt] \dfrac{16}{3} &= \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3} - 36 \end{aligned}$$ Dodajemy $36$ do obu stron równania: $$\begin{aligned} \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3} &= 36 + \dfrac{16}{3} \\[8pt] \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3} &= \dfrac{108}{3} + \dfrac{16}{3} \\[8pt] \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3} &= \dfrac{124}{3} \end{aligned}$$ Mnożymy obie strony przez $3$: $$a^2 + b^2 + c^2 = 124$$
Sposób II – Wyprowadzenie z definicji sumy kwadratów odchyleń:
Zgodnie z definicją wariancji liczymy średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń od średniej: $$\sigma^2 = \dfrac{(a - 6)^2 + (b - 6)^2 + (c - 6)^2}{3}$$ Podstawiamy wartość wariancji: $$\dfrac{(a - 6)^2 + (b - 6)^2 + (c - 6)^2}{3} = \dfrac{16}{3}$$ Mnożymy obustronnie przez $3$: $$(a - 6)^2 + (b - 6)^2 + (c - 6)^2 = 16$$ Rozwijamy każdy nawias wzorem skróconego mnożenia $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $$\begin{aligned} (a^2 - 12a + 36) + (b^2 - 12b + 36) + (c^2 - 12c + 36) &= 16 \\[8pt] (a^2 + b^2 + c^2) - 12(a + b + c) + 108 &= 16 \end{aligned}$$ Skoro średnia trzech liczb wynosi $6$, ich suma to: $$\dfrac{a + b + c}{3} = 6 \implies a + b + c = 18$$ Wstawiamy sumę $a + b + c = 18$ do równania: $$\begin{aligned} (a^2 + b^2 + c^2) - 12 \cdot 18 + 108 &= 16 \\[8pt] (a^2 + b^2 + c^2) - 216 + 108 &= 16 \\[8pt] (a^2 + b^2 + c^2) - 108 &= 16 \\[8pt] a^2 + b^2 + c^2 &= 16 + 108 \\[8pt] a^2 + b^2 + c^2 &= 124 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Suma kwadratów tych liczb wynosi $124$.

Zadanie 4

Wariancja zestawu trzech liczb rzeczywistych $a$, $b$ oraz $c$ wynosi $14$. Wiedząc, że suma tych liczb jest równa $12$, udowodnij, że suma ich kwadratów $a^2 + b^2 + c^2$ wynosi $90$.

Wskazówki:

Wyznacz najpierw średnią arytmetyczną liczb korzystając ze wzoru $\bar{x} = \dfrac{a + b + c}{3}$.
Wariancję $\sigma^2$ można powiązać z sumą kwadratów liczb za pomocą drugiego (rozwiniętego) wzoru na wariancję: $\sigma^2 = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3} - (\bar{x})^2$ lub przekształcając definicyjny wzór na sumę kwadratów odchyleń.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie średniej arytmetycznej zestawu liczb:
Mamy $n = 3$ liczby, których suma wynosi $a + b + c = 12$. Średnia arytmetyczna $\bar{x}$ wynosi: $$ \bar{x} = \dfrac{a + b + c}{3} = \dfrac{12}{3} = 4 $$
Sposób I – Zastosowanie wzoru na wariancję ze średnią kwadratów:
Wariancję $\sigma^2$ zestawu trzech liczb możemy zapisać jako różnicę średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb oraz kwadratu ich średniej: $$ \sigma^2 = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3} - (\bar{x})^2 $$ Podstawiamy wartość wariancji $\sigma^2 = 14$ oraz obliczoną średnią $\bar{x} = 4$: $$ \begin{aligned} 14 &= \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3} - 4^2 \\[8pt] 14 &= \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3} - 16 \\[8pt] 14 + 16 &= \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \\[8pt] 30 &= \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \\[8pt] a^2 + b^2 + c^2 &= 30 \cdot 3 \\[8pt] a^2 + b^2 + c^2 &= 90 \end{aligned} $$ Otrzymana wartość jest zgodna z tezą polecenia.
Sposób II – Wykorzystanie klasycznego wzoru definicyjnego na wariancję:
Wariancja to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości od średniej: $$ \sigma^2 = \dfrac{(a - \bar{x})^2 + (b - \bar{x})^2 + (c - \bar{x})^2}{3} $$ Wstawiamy $\sigma^2 = 14$ oraz $\bar{x} = 4$: $$ 14 = \dfrac{(a - 4)^2 + (b - 4)^2 + (c - 4)^2}{3} $$ Mnożymy obie strony równania przez $3$: $$ 42 = (a - 4)^2 + (b - 4)^2 + (c - 4)^2 $$ Rozwijamy kwadraty różnic ze wzoru $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $$ \begin{aligned} 42 &= (a^2 - 8a + 16) + (b^2 - 8b + 16) + (c^2 - 8c + 16) \\[8pt] 42 &= a^2 + b^2 + c^2 - 8(a + b + c) + 48 \end{aligned} $$ Podstawiamy znaną sumę $a + b + c = 12$: $$ \begin{aligned} 42 &= a^2 + b^2 + c^2 - 8 \cdot 12 + 48 \\[8pt] 42 &= a^2 + b^2 + c^2 - 96 + 48 \\[8pt] 42 &= a^2 + b^2 + c^2 - 48 \\[8pt] a^2 + b^2 + c^2 &= 42 + 48 \\[8pt] a^2 + b^2 + c^2 &= 90 \end{aligned} $$ W obu metodach uzyskujemy ten sam rezultat.

Odpowiedź:
Wykazano, że suma kwadratów liczb wynosi $a^2 + b^2 + c^2 = 90$.

Zadanie 5

Suma kwadratów czterech liczb rzeczywistych $x_1, x_2, x_3, x_4$ wynosi 210, a ich średnia arytmetyczna jest równa 7. Po pomnożeniu każdego z tych elementów przez niezerową stałą $m$ utworzono nowy zestaw liczb $m x_1, m x_2, m x_3, m x_4$, którego wariancja jest równa 56. Wyznacz wszystkie możliwe wartości współczynnika $m$.

Wskazówki i przydatne fakty:

Wzór redukcyjny na wariancję: wariancja to średnia kwadratów liczb minus kwadrat ich średniej arytmetycznej: $$\sigma^2 = \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n} - (\overline{x})^2$$
Mnożenie liczb przez stałą: gdy każdą liczbę w zestawie pomnożymy przez liczbę $m$, to nowa wariancja rośnie $m^2$-krotnie: $$\sigma_{\text{nowa}}^2 = m^2 \cdot \sigma^2$$
Równanie typu $m^2 = 16$ ma dwa rozwiązania: liczbę dodatnią oraz ujemną ($m = 4$ lub $m = -4$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Krok 1: Obliczenie wariancji początkowego zestawu liczb
Mamy $n = 4$ liczby. Znamy sumę ich kwadratów ($x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 210$) oraz ich średnią ($\overline{x} = 7$).
Wstawiamy te dane do wzoru na wariancję: $$ \begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2}{4} - (\overline{x})^2 \\[6pt] &= \dfrac{210}{4} - 7^2 \\[6pt] &= 52{,}5 - 49 = 3{,}5 \end{aligned} $$ Wariancja początkowych liczb wynosi więc $3{,}5$.
Krok 2: Wyznaczenie wartości $m$ (dwa sposoby do wyboru)

Sposób I – z własności wariancji:
Jeżeli wszystkie liczby pomnożymy przez $m$, to wariancja zwiększa się $m^2$ razy: $$\sigma_{\text{nowa}}^2 = m^2 \cdot \sigma^2$$ Wiemy, że nowa wariancja ma wynosić $56$, a początkowa to $3{,}5$: $$ \begin{aligned} m^2 \cdot 3{,}5 &= 56 \\[6pt] m^2 &= \dfrac{56}{3{,}5} \\[6pt] m^2 &= 16 \end{aligned} $$ Rozwiązujemy równanie: $$m = 4 \quad \text{lub} \quad m = -4$$
Sposób II – obliczenie "na piechotę" z nowego zestawu:
Nowe liczby to: $m x_1, m x_2, m x_3, m x_4$.
Nowa średnia to: $$\overline{y} = \dfrac{m x_1 + m x_2 + m x_3 + m x_4}{4} = m \cdot \dfrac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} = m \cdot 7 = 7m$$ Suma kwadratów nowych liczb to: $$(m x_1)^2 + (m x_2)^2 + (m x_3)^2 + (m x_4)^2 = m^2 (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2) = m^2 \cdot 210 = 210m^2$$ Wstawiamy to do wzoru na wariancję nowego zestawu: $$ \begin{aligned} \sigma_{\text{nowa}}^2 &= \dfrac{210m^2}{4} - (7m)^2 \\[6pt] 56 &= 52{,}5m^2 - 49m^2 \\[6pt] 56 &= 3{,}5m^2 \\[6pt] m^2 &= 16 \implies m = 4 \quad \text{lub} \quad m = -4 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
Wszystkie możliwe wartości współczynnika to $m = 4$ lub $m = -4$.

Grupa B

Zadanie 1

Oblicz na dwa sposoby wariancję każdego z poniższych zestawów danych (wykorzystując średnią kwadratów odchyleń od średniej oraz zależność wiążącą wariancję ze średnią kwadratów wartości):

a) $2, \quad 2, \quad 3, \quad 3, \quad 4, \quad 5, \quad 5, \quad 8$

b) $2\frac{3}{10}, \quad 2\frac{4}{5}, \quad 3\frac{1}{2}, \quad 4\frac{1}{5}, \quad 4\frac{7}{10}$

c) $4, \quad 6, \quad 10, \quad 15, \quad 90$

d) $-5, \quad -5, \quad -2, \quad 0, \quad 4, \quad 6, \quad 8, \quad 10, \quad 11, \quad 13$

Zadanie 2

Oblicz wartość odchylenia standardowego dla każdego z poniższych ciągów danych liczbowych. Otrzymany wynik podaj w przybliżeniu do części setnych:

a) $-7,\ -3,\ 0,\ 2,\ 5,\ 6,\ 9,\ 12$

b) $0{,}6;\ 1{,}1;\ 1{,}7;\ 2{,}4;\ 3{,}2$

Zadanie 3

W trzech kolejnych próbach pomiarowych otrzymano wyniki $u$, $v$ oraz $w$. Wariancja otrzymanych wyników jest równa $3\dfrac{1}{3}$, natomiast ich średnia arytmetyczna wynosi $5$. Oblicz sumę kwadratów uzyskanych wyników pomiarów, czyli wartość wyrażenia $u^2 + v^2 + w^2$.

Zadanie 4

Wariancja pewnych trzech liczb rzeczywistych $p$, $q$ oraz $r$ jest równa $11$. Wyznacz wartość sumy kwadratów tych liczb $p^2 + q^2 + r^2$, jeżeli wiadomo, że suma $p + q + r$ wynosi $15$.

Zadanie 5

Wariancja zestawu danych składającego się z liczb $p, q, r, s$ po przemnożeniu każdego z elementów przez stałą $c$ wynosi 54 dla nowego zestawu $cp, cq, cr, cs$. Wiadomo, że suma kwadratów liczb wyjściowych $p^2 + q^2 + r^2 + s^2$ jest równa 124, a ich średnia arytmetyczna wynosi 5. Oblicz wszystkie możliwe wartości liczby $c$.

27.3 Wariancja i odchylenie standardowe

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋