Średnia z próby kartkówka LiczBit

27.1 Średnia z próby

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Dany jest zestaw dziesięciu liczb: $4, 2, 5, 3, x, 1, 6, 2, 7, 4$. Wyznacz wartość niewiadomej $x$, jeżeli średnia arytmetyczna wszystkich liczb z tego zestawu jest równa $4$.

Wskazówki:

Średnia arytmetyczna zestawu danych to suma wszystkich jego elementów podzielona przez ich łączną liczbę: $\overline{x} = \dfrac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}$.
Zlicz dokładnie liczbę wszystkich liczb w podanym zestawie (pamiętając o uwzględnieniu niewiadomej $x$) i ułóż odpowiednie równanie.
Pomnóż obie strony równania przez mianownik ułamka, aby wyznaczyć sumę całkowitą, a następnie oblicz wartość $x$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zliczenie liczby elementów i ułożenie równania średniej arytmetycznej:
W podanym zestawie znajduje się $10$ liczb: $4, 2, 5, 3, x, 1, 6, 2, 7, 4$. Zgodnie z treścią zadania ich średnia arytmetyczna wynosi $4$. Zapisujemy wzór na średnią arytmetyczną dla tych danych: $$\dfrac{4 + 2 + 5 + 3 + x + 1 + 6 + 2 + 7 + 4}{10} = 4$$
Uproszczenie licznika i rozwiązanie równania liniowego:
Dodajemy do siebie wszystkie znane wartości liczbowe znajdujące się w liczniku: $$\begin{aligned} 4 + 2 + 5 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7 + 4 &= 34 \end{aligned}$$ Podstawiamy otrzymaną sumę do równania: $$\dfrac{34 + x}{10} = 4$$ Mnożymy obie strony równania przez $10$, aby pozbyć się ułamka: $$\begin{aligned} 34 + x &= 4 \cdot 10 \\[8pt] 34 + x &= 40 \\[8pt] x &= 40 - 34 \\[8pt] x &= 6 \end{aligned}$$
Sprawdzenie poprawności otrzymanego wyniku:
Weryfikujemy, czy po wstawieniu $x = 6$ średnia arytmetyczna całego zestawu wyniesie $4$: $$\begin{aligned} \overline{x} &= \dfrac{34 + 6}{10} \\[8pt] &= \dfrac{40}{10} \\[8pt] &= 4 \end{aligned}$$ Wynik jest w pełni zgodny z założeniem zadania.

Odpowiedź:
$x = 6$

Zadanie 2

Gdy do sześcioosobowego zespołu ratowników medycznych dołączył koordynator stacji, średnia arytmetyczna wieku wszystkich siedmiu pracowników wyniosła 32 lata. Oblicz, ile lat ma koordynator, jeśli przed jego dołączeniem przeciętny wiek samych ratowników był równy 29 lat.

Wskazówki:

Średnia arytmetyczna to iloraz sumy wszystkich wartości przez ich liczbę.
Znając średnią oraz liczebność grupy, możesz wyznaczyć łączną sumę lat jej członków, mnożąc średnią przez liczbę osób.
Różnica pomiędzy łączną sumą wieku 7 pracowników a sumą wieku początkowych 6 ratowników da bezpośrednio wiek koordynatora.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wprowadzenie oznaczeń i analiza sytuacji:
Niech $n = 6$ oznacza początkową liczbę ratowników, a $x$ wiek dołączającego koordynatora stacji. Po dołączeniu koordynatora liczebność zespołu wynosi: $$N = 6 + 1 = 7$$
Sposób I – Wyznaczenie sum wieku z definicji średniej arytmetycznej:
Średnia arytmetyczna wyraża się wzorem: $$\bar{x} = \dfrac{S}{n} \iff S = n \cdot \bar{x}$$ gdzie $S$ oznacza sumę wartości. Obliczamy łączną sumę lat sześciu ratowników $S_6$: $$\begin{aligned} S_6 &= 6 \cdot 29 \\[8pt] &= 174\text{ lata} \end{aligned}$$ Następnie obliczamy sumę lat całej siedmioosobowej grupy $S_7$, uwzględniającej koordynatora: $$\begin{aligned} S_7 &= 7 \cdot 32 \\[8pt] &= 224\text{ lata} \end{aligned}$$ Wiek koordynatora $x$ stanowi różnicę obu otrzymanych sum: $$\begin{aligned} x &= S_7 - S_6 \\[8pt] &= 224 - 174 \\[8pt] &= 50\text{ lat} \end{aligned}$$
Sposób II – Analiza bilansu odchyleń od nowej średniej:
Średnia wieku po przyjściu koordynatora wynosi 32 lata. Każdy z 6 ratowników miał przedtem średnio 29 lat, czyli o: $$32 - 29 = 3\text{ lata}$$ mniej niż wynosi nowa średnia grupy. Łączny ubytek wieku względem nowej średniej wynosi: $$6 \cdot 3 = 18\text{ lat}$$ Aby średnia całej grupy ukształtowała się na poziomie 32 lat, koordynator musi mieć tyle lat, ile wynosi nowa średnia, powiększona o brakujące lata ratowników: $$\begin{aligned} x &= 32 + 6 \cdot (32 - 29) \\[8pt] &= 32 + 18 \\[8pt] &= 50\text{ lat} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Koordynator stacji ma 50 lat.

Zadanie 3

W ramach badania nawyków czytelniczych sprawdzono dzienny czas (w godzinach) poświęcany na czytanie książek i prasy przez grupę 30 czytelników biblioteki miejskiej. Uzyskane wyniki przedstawiono w poniższej tabeli:

1,5	0,5	2	1	0	2,5
1,5	3	0,5	1	4	1,5
2	0,5	1	2,5	1	5
1,5	0	2	1	0,5	3
1,5	2,5	1	2	1,5	0,5

a) Zilustruj zebrany materiał statystyczny za pomocą diagramu kolumnowego.

b) Oblicz średnią arytmetyczną dziennego czasu lektury w badanej grupie czytelników.

c) Ustal, jaki odsetek uczestników badania poświęca na czytanie w ciągu doby więcej czasu, niż wynosi wyliczona średnia. Otrzymany wynik procentowy podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.

d) Ile osób z tej grupy czyta codziennie przez czas przekraczający dwukrotność wyznaczonej średniej?

Wskazówki:

Zamiast liczyć wszystko w pamięci, przejrzyj tabelę z zadania i policz, ile razy pojawia się każdy czas czytania. Zapisz to w małej tabelce pomocniczej.
Aby szybko obliczyć średnią, nie musisz dodawać każdego z 30 wyników osobno. Pomnóż każdy czas czytania przez liczbę osób, która go podała, zsumuj otrzymane wyniki i podziel całość przez łączną liczbę badanych osób ($30$).
W podpunkcie c) policz wszystkie osoby, które czytają dłużej niż wyliczona średnia. Następnie podziel tę liczbę przez $30$ i pomnóż przez $100\%$.
W podpunkcie d) pomnóż wyznaczoną średnią przez $2$ i sprawdź w tabeli, ile osób czyta dłużej niż otrzymany wynik.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) – Tworzymy tabelę zliczeń i diagram kolumnowy:
Przeglądamy dane z tabeli i zliczamy, ile osób poświęca dany czas na czytanie (od najmniejszego do największego):

Czas czytania [h]	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	4	5
Liczba osób	2	5	6	6	4	3	2	1	1

Sprawdzamy sumę osób: $2 + 5 + 6 + 6 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1 = 30$ (wszyscy zostali uwzględnieni).

Na podstawie tych danych rysujemy diagram kolumnowy:

Podpunkt b) – Obliczamy średni czas czytania:
Liczymy łączny czas czytania wszystkich 30 osób. Mnożymy każdy czas przez liczbę osób, które go zgłosiły, i dodajemy te wartości: $$0 \cdot 2 + 0{,}5 \cdot 5 + 1 \cdot 6 + 1{,}5 \cdot 6 + 2 \cdot 4 + 2{,}5 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1$$ $$= 0 + 2{,}5 + 6 + 9 + 8 + 7{,}5 + 6 + 4 + 5 = 48\text{ godz.}$$
Otrzymaną sumę godzin dzielimy przez liczbę wszystkich badanych osób ($30$): $$\text{średnia} = \dfrac{48}{30} = 1{,}6\text{ godz.}$$ Zamieniając część dziesiętną na minuty ($0{,}6 \cdot 60\text{ min} = 36\text{ min}$), otrzymujemy $1\text{ godz. } 36\text{ min}$.
Podpunkt c) – Obliczamy odsetek osób czytających dłużej niż średnia:
Szukamy osób, które czytają dłużej niż wyznaczona średnia, czyli **więcej niż $1{,}6\text{ godz.}$** W naszej tabeli są to czytelnicy z czasami: $2\text{ h}$, $2{,}5\text{ h}$, $3\text{ h}$, $4\text{ h}$ oraz $5\text{ h}$.

Dodajemy te osoby do siebie: $$4 + 3 + 2 + 1 + 1 = 11\text{ osób}$$
Sprawdzamy, jaki procent całej grupy ($30$ osób) stanowi te $11$ osób: $$\dfrac{11}{30} \cdot 100\% = \dfrac{1100}{30}\% = \dfrac{110}{3}\% \approx 36{,}666\ldots\% \approx 36{,}7\%$$ Około $36{,}7\%$ badanych czyta dłużej, niż wynosi średnia.
Podpunkt d) – Liczymy osoby czytające dłużej niż dwukrotność średniej:
Mnożymy średnią przez $2$: $$2 \cdot 1{,}6\text{ godz.} = 3{,}2\text{ godz.}$$ Szukamy osób, których czas czytania jest **większy niż $3{,}2\text{ godz.}$** Z tabeli odczytujemy, że są to tylko osoby czytające:
- $4\text{ godz.}$ – $1\text{ osoba}$
- $5\text{ godz.}$ – $1\text{ osoba}$
Razem: $$1 + 1 = 2\text{ osoby}$$ Dokładnie $2$ osoby czytają codziennie przez czas przekraczający dwukrotność średniej.

Odpowiedź:
a) Diagram kolumnowy przedstawiający rozkład liczebności (zamieszczony w rozwiązaniu)

b) $1{,}6\text{ godz.}$ (czyli $1\text{ godz. } 36\text{ min}$)

c) $36{,}7\%$

d) $2\text{ osoby}$

Zadanie 4

W dziale logistycznym przedsiębiorstwa przeprowadzono badanie dotyczące dziennego czasu dojazdu pracowników do siedziby firmy (w minutach). Wyniki zestawiono na poniższym diagramie kołowym.

a) Oblicz średni czas dojazdu pracownika do pracy.

b) Przedstaw zebrane dane na diagramie częstości względnych.

c) Wiedząc dodatkowo, że w badaniu wzięło udział 60 pracowników, sporządź tabelę liczebności.

d) Ilu pracowników badanej firmy dojeżdża do pracy dłużej, niż wynosi średni czas dojazdu?

Wskazówki:

W podpunkcie a) skorzystaj ze wzoru na średnią arytmetyczną ważoną: przemnóż każdą wartość cechy przez odpowiadający jej procent (zapisany w postaci ułamka dziesiętnego) i zsumuj otrzymane iloczyny.
Częstość względna $w_i$ danej wartości to udział procentowy zamieniony na ułamek dziesiętny: $w_i = \dfrac{p_i}{100\%}$. Na diagramie częstości względnych na osi poziomej zaznaczamy wartości cechy (czas w minutach), a na osi pionowej odpowiadające im częstości względne.
Liczebność $n_i$ dla danej wartości cechy obliczamy ze wzoru: $n_i = N \cdot w_i$, gdzie $N = 60$ to całkowita liczebność próby.
W podpunkcie d) wybierz te grupy czasu dojazdu, które są ściśle większe od wyliczonej w podpunkcie a) średniej, a następnie zsumuj liczby pracowników z tych grup.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie średniego czasu dojazdu do pracy:
Z diagramu kołowego odczytujemy poszczególne czasy dojazdu wraz z odpowiadającymi im udziałami procentowymi w badanej próbie: $$\begin{aligned} x_1 &= 15\text{ min} \quad \text{–} \quad p_1 = 30\% = 0{,}30 \\[8pt] x_2 &= 25\text{ min} \quad \text{–} \quad p_2 = 40\% = 0{,}40 \\[8pt] x_3 &= 35\text{ min} \quad \text{–} \quad p_3 = 15\% = 0{,}15 \\[8pt] x_4 &= 45\text{ min} \quad \text{–} \quad p_4 = 10\% = 0{,}10 \\[8pt] x_5 &= 65\text{ min} \quad \text{–} \quad p_5 = 5\% = 0{,}05 \end{aligned}$$ Obliczamy średnią ważoną czasu dojazdu: $$\begin{aligned} \bar{x} &= x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + x_3 \cdot p_3 + x_4 \cdot p_4 + x_5 \cdot p_5 \\[8pt] &= 15 \cdot 0{,}30 + 25 \cdot 0{,}40 + 35 \cdot 0{,}15 + 45 \cdot 0{,}10 + 65 \cdot 0{,}05 \\[8pt] &= 4{,}5 + 10 + 5{,}25 + 4{,}5 + 3{,}25 \\[8pt] &= 27{,}5\text{ min} \end{aligned}$$ Średni czas dojazdu pracownika wynosi $27{,}5\text{ min}$, co odpowiada $27\text{ minutom i } 30\text{ sekundom}$.
Podpunkt b) Sporządzenie diagramu częstości względnych:
Częstość względna $w_i$ wyraża stosunek liczby obserwacji danej cechy do liczności całej grupy. Wyznaczamy wartości częstości względnych dla każdego z czasów dojazdu: $$\begin{aligned} w(15) &= 0{,}30 \\[8pt] w(25) &= 0{,}40 \\[8pt] w(35) &= 0{,}15 \\[8pt] w(45) &= 0{,}10 \\[8pt] w(65) &= 0{,}05 \end{aligned}$$ Suma częstości względnych jest równa $1$: $$0{,}30 + 0{,}40 + 0{,}15 + 0{,}10 + 0{,}05 = 1{,}00$$ Ilustrujemy wyznaczone częstości względne na diagramie słupkowym:

Podpunkt c) Sporządzenie tabeli liczebności dla $N = 60$ pracowników:
Mnożymy całkowitą liczbę badanych osób przez częstość względną (lub udział procentowy) dla poszczególnych czasów: $$\begin{aligned} n_1 &= 60 \cdot 0{,}30 = 18 \\[8pt] n_2 &= 60 \cdot 0{,}40 = 24 \\[8pt] n_3 &= 60 \cdot 0{,}15 = 9 \\[8pt] n_4 &= 60 \cdot 0{,}10 = 6 \\[8pt] n_5 &= 60 \cdot 0{,}05 = 3 \end{aligned}$$ Sprawdzamy poprawność sumy liczebności: $$18 + 24 + 9 + 6 + 3 = 60$$ Zestawiamy wyznaczone dane w tabeli liczebności:

Czas dojazdu [min]	15	25	35	45	65	Razem
Liczba pracowników	18	24	9	6	3	60

Podpunkt d) Wyznaczenie liczby pracowników dojeżdżających dłużej niż wynosi średnia:
Wyliczona w podpunkcie a) średnia wynosi $\bar{x} = 27{,}5\text{ min}$. Szukamy pracowników, dla których czas dojazdu $x > 27{,}5\text{ min}$.
Warunek ten spełniają przedziały czasu: $$35\text{ min}, \quad 45\text{ min}, \quad 65\text{ min}$$ Sumujemy liczebności odpowiadające tym wartościom z tabeli: $$n(x > 27{,}5) = n_3 + n_4 + n_5 = 9 + 6 + 3 = 18$$ Czas dojazdu przekraczający średnią ma $18$ pracowników badanej firmy (co stanowi $30\%$ zespołu).

Odpowiedź:
a) Średni czas dojazdu wynosi $27{,}5\text{ min}$.

b) Wykres słupkowy częstości względnych z wartościami: $w(15) = 0{,}30$, $w(25) = 0{,}40$, $w(35) = 0{,}15$, $w(45) = 0{,}10$, $w(65) = 0{,}05$.

c) Liczebności odpowiednio: $15\text{ min} \to 18$, $25\text{ min} \to 24$, $35\text{ min} \to 9$, $45\text{ min} \to 6$, $65\text{ min} \to 3$ (razem $60$).

d) $18$ pracowników.

Zadanie 5

W dziale wsparcia technicznego pewnej firmy informatycznej sprawdzono liczbę zgłoszeń serwisowych zrealizowanych w ciągu jednego dnia przez ankietowaną grupę 100 konsultantów. Zebrane informacje stablicowano następująco:

Liczba rozwiązanych zgłoszeń	0	1	2	3	4	5
Liczba konsultantów	4	14	40	20	14	8

a) Wyznacz średnią arytmetyczną liczbę zrealizowanych zgłoszeń przypadającą na jednego konsultanta.

b) Jaki procent konsultantów zamknął w ciągu tego dnia większą liczbę spraw, niż wynosi obliczona średnia?

Wskazówki:

Średnią z danych przedstawionych w tabeli częstości (szereg rozdzielczy punktowy) obliczamy jako średnią ważoną: sumę iloczynów wartości cechy i odpowiadających im liczebności dzielimy przez łączną liczbę osób.
W podpunkcie b) wskaż wartości cechy, które są ściśle większe od wyznaczonej średniej arytmetycznej, zsumuj liczbę pracowników odpowiadających tym wartościom, a następnie odnieś tę sumę do łącznej liczebności próby i wyraź w procentach.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie łącznej liczby zrealizowanych zgłoszeń oraz średniej arytmetycznej:
Najpierw weryfikujemy łączną liczbę badanych konsultantów $N$: $$N = 4 + 14 + 40 + 20 + 14 + 8 = 100$$ Następnie obliczamy całkowitą sumę wszystkich zgłoszeń zrealizowanych przez wszystkich konsultantów ($S$), mnożąc liczbę zadań przez liczbę pracowników: $$\begin{aligned} S &= 0 \cdot 4 + 1 \cdot 14 + 2 \cdot 40 + 3 \cdot 20 + 4 \cdot 14 + 5 \cdot 8 \\[8pt] &= 0 + 14 + 80 + 60 + 56 + 40 \\[8pt] &= 250 \end{aligned}$$ Obliczamy średnią arytmetyczną liczbę zgłoszeń przypadającą na jednego konsultanta ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \dfrac{S}{N} = \dfrac{250}{100} = 2{,}5$$
Podpunkt b) Wyznaczenie odsetka konsultantów o wyniku wyższym niż średnia:
Obliczona średnia wynosi $\bar{x} = 2{,}5$. Szukamy konsultantów, którzy zrealizowali więcej niż $2{,}5$ zgłoszenia, co oznacza zamknięcie $3$, $4$ lub $5$ zgłoszeń.

Zliczamy pracowników spełniających ten warunek na podstawie danych z tabeli: $$k = 20 + 14 + 8 = 42$$ Wyznaczamy, jaki procent całej badanej grupy ($N = 100$) stanowią ci pracownicy: $$p = \dfrac{k}{N} \cdot 100\% = \dfrac{42}{100} \cdot 100\% = 42\%$$

Odpowiedź:
a) $2{,}5$

b) $42\%$

Grupa B

Zadanie 1

Wartość średniej arytmetycznej zestawu dziesięciu liczb: $5, 2, 8, 3, x, 6, 1, 7, 4, 2$ wynosi $4$. Wyznacz brakującą liczbę $x$.

Zadanie 2

W pięcioosobowej sekcji analityków finansowych średnia arytmetyczna wieku wynosi dokładnie 27 lat. Gdy do zespołu włączono głównego menedżera, przeciętny wiek wszystkich sześciu osób wzrósł do 31 lat. Wyznacz wiek menedżera.

Zadanie 3

Instruktor fitnessu zarejestrował dzienną liczbę godzin przeznaczaną na spacery oraz rekreacyjną aktywność na świeżym powietrzu wśród 30 uczestników programu prozdrowotnego. Zebrane dane zawiera poniższa tabela:

1	0,5	2	1,5	0	3
0,5	1	2,5	1	0,5	4
1	2	0,5	1,5	0	3
1	2,5	0,5	1,5	5	2
0,5	1	3	1,5	0	1

a) Sporządź diagram słupkowy (kolumnowy) obrazujący rozkład zebranych danych.

b) Wyznacz średni dobowy czas poświęcany na rekreację w tej grupie.

c) Jaki procent ankietowanych osób przeznacza na aktywność fizyczną w ciągu dnia więcej czasu, niż wynosi średnia dla całej próby? Wynik zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.

d) Określ, ilu badanych uczestników przeznacza każdego dnia na aktywność więcej czasu niż dwukrotność wyznaczonej średniej.

Zadanie 4

Obsługa portu lotniczego przeanalizowała rozkład masy bagażu podręcznego (w kilogramach) pasażerów pewnego rejsu czarterowego. Rezultaty pomiarów zilustrowano na poniższym diagramie kołowym.

a) Wyznacz średnią masę bagażu podręcznego pasażera tego lotu.

b) Przedstaw zebrane dane na diagramie częstości względnych.

c) Wiedząc dodatkowo, że zważono bagaże należące do 80 pasażerów, sporządź tabelę liczebności.

d) Ilu pasażerów z badanej grupy przewoziło bagaż o masie większej niż wyznaczona średnia?

Masa bagażu [kg]	3	4	5	6	8	Razem
Liczba pasażerów	12	28	24	12	4	80

Zadanie 5

W miejskiej mediatece przeprowadzono analizę aktywności grupy 50 zarejestrowanych słuchaczy pod kątem liczby audiobooków wypożyczonych w minionym kwartale. Rozkład liczby wypożyczeń przedstawia poniższe zestawienie:

Liczba odsłuchanych audiobooków	0	1	2	3	4	5
Liczba słuchaczy	5	9	18	10	5	3

a) Oblicz średnią liczbę audiobooków przypadających na jednego słuchacza w badanej grupie.

b) Jaki procent ankietowanych osób wypożyczył w tym kwartale więcej audiobooków, niż wskazuje wartość średniej arytmetycznej?

27.1 Średnia z próby

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋