Przekształcenia wykresów funkcji logarytmicznych kartkówka LiczBit

26.3 Przekształcenia wykresów funkcji logarytmicznych

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

W przedziale $(3, +\infty)$ zdefiniowano funkcję logarytmiczną daną wzorem $f(x) = \log_2(x - 3)$.

a) Naszkicuj wykres funkcji $f$ w prostokątnym układzie współrzędnych.

b) Wyznacz argument $x$, dla którego spełniony jest warunek $f(x) = 2$.

c) Ustal wartość przyjmowaną przez funkcję $f$ dla argumentu równego $3\frac{1}{4}$.

Wskazówki:

Wykres funkcji $f(x) = \log_2(x - 3)$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu bazowego $y = \log_2 x$ o $3$ jednostki w prawo wzdłuż osi $OX$. Asymptota pionowa przesuwa się z prostej $x = 0$ do prostej $x = 3$.
Aby wyznaczyć argument dla zadanej wartości funkcji, ułóż równanie $f(x) = 2$ i zastosuj definicję logarytmu: $\log_a b = c \iff a^c = b$.
Wartość funkcji dla konkretnego argumentu obliczysz, wstawiając daną liczbę w miejsce zmiennej $x$ i zapisując otrzymany ułamek w postaci potęgi liczby $2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Naszkicowanie wykresu funkcji $f(x) = \log_2(x - 3)$:
Wykres funkcji logarytmicznej $f(x) = \log_2(x - 3)$ konstruujemy, przesuwając wykres funkcji bazowej $y = \log_2 x$ o wektor $\vec{u} = [3, 0]$, czyli o $3$ jednostki w prawo.
Dla funkcji wyjściowej $y = \log_2 x$ wybieramy charakterystyczne punkty: $$\left(\frac{1}{2}, -1\right), \quad (1, 0), \quad (2, 1), \quad (4, 2)$$ Przesuwając każdy z nich o $3$ jednostki w prawo (dodając $3$ do współrzędnej $x$), otrzymujemy punkty należące do wykresu funkcji $f$: $$\begin{aligned} \left(\frac{1}{2} + 3, -1\right) &= \left(3\frac{1}{2}, -1\right) \\[8pt] (1 + 3, 0) &= (4, 0) \\[8pt] (2 + 3, 1) &= (5, 1) \\[8pt] (4 + 3, 2) &= (7, 2) \end{aligned}$$ Asymptota pionowa wykresu ulega takiemu samemu przesunięciu: z osi $OY$ (prosta $x = 0$) przechodzi w prostą o równaniu $x = 3$.
Podpunkt b) Wyznaczenie argumentu $x$, dla którego zachodzi równość $f(x) = 2$:
Zgodnie z poleceniem przyrównujemy wzór funkcji do liczby $2$: $$\log_2(x - 3) = 2$$ Uwzględniamy założenie o dziedzinie: $x > 3$. Korzystając z definicji logarytmu $\log_a b = c \iff a^c = b$, zamieniamy postać logarytmiczną na potęgową: $$\begin{aligned} x - 3 &= 2^2 \\[8pt] x - 3 &= 4 \\[8pt] x &= 4 + 3 \\[8pt] x &= 7 \end{aligned}$$ Otrzymana wartość $x = 7$ należy do dziedziny funkcji ($7 > 3$).
Podpunkt c) Obliczenie wartości funkcji $f$ dla argumentu $x = 3\frac{1}{4}$:
Wstawiamy argument $x = 3\frac{1}{4}$ do wzoru funkcji: $$f\!\left(3\frac{1}{4}\right) = \log_2\!\left(3\frac{1}{4} - 3\right)$$ Obliczamy wartość wyrażenia w nawiasie: $$3\frac{1}{4} - 3 = \frac{1}{4}$$ Podstawiamy wynik pod znak logarytmu: $$\log_2\!\left(\frac{1}{4}\right)$$ Zapisujemy liczbę $\frac{1}{4}$ jako potęgę o podstawie $2$: $$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$$ Stąd otrzymujemy: $$\begin{aligned} f\!\left(3\frac{1}{4}\right) &= \log_2\!\left(2^{-2}\right) \\[8pt] &= -2 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) Wykres funkcji $f(x) = \log_2(x - 3)$ o asymptocie pionowej $x = 3$

b) $x = 7$

c) $f\!\left(3\frac{1}{4}\right) = -2$

Zadanie 2

Dana jest funkcja określona wzorem $g(x) = -\log_3 (x + 2)$ w dziedzinie $D = (-2, +\infty)$. Sporządź jej wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych, a następnie wykonaj poniższe polecenia:

a) Zweryfikuj na drodze algebraicznej, czy liczba $-1$ stanowi miejsce zerowe funkcji $g$.

b) Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $g$ osiąga wartości dodatnie.

c) Ustal, dla jakich argumentów spełniona jest nierówność $g(x) < -1$.

Wskazówki:

Dziedzina logarytmu wymaga dodatniego wyrażenia logarytmowanego: $x + 2 > 0 \iff x > -2$. Prosta $x = -2$ jest asymptotą pionową lewostronną.
Wykres funkcji $g(x) = -\log_3(x + 2)$ powstaje poprzez przesunięcie wykresu $y = \log_3 x$ o wektor $[-2, 0]$, a następnie odbicie symetryczne względem osi $OX$ (lub odwrotnie).
Liczba $x_0$ jest miejscem zerowym, jeżeli wartość funkcji dla tego argumentu wynosi dokładnie zero: $g(x_0) = 0$.
Rozwiązując nierówności logarytmiczne pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny oraz o zmianie zwrotu nierówności przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sporządzenie wykresu pomocniczego i analiza przekształceń funkcji:
Wychodzimy od bazowej funkcji logarytmicznej $y_1 = \log_3 x$. Przekształcamy ją kolejno:
1. Przesunięcie o $2$ jednostki w lewo wzdłuż osi $OX$ (o wektor $[-2, 0]$): $y_2 = \log_3(x + 2)$. W wyniku tego przesunięcia asymptota pionowa przesuwa się z prostej $x = 0$ na prostą $x = -2$.
2. Symetria osiowa względem osi $OX$: $g(x) = -y_2 = -\log_3(x + 2)$.
Wyznaczamy współrzędne kilku kluczowych punktów tabeli:
- Dla $x = -\frac{5}{3}$: $g\left(-\frac{5}{3}\right) = -\log_3\left(\frac{1}{3}\right) = -(-1) = 1$
- Dla $x = -1$: $g(-1) = -\log_3(1) = 0$
- Dla $x = 1$: $g(1) = -\log_3(3) = -1$
- Dla $x = 7$: $g(7) = -\log_3(9) = -2$
Podpunkt a) Rachunkowe sprawdzenie, czy liczba $-1$ jest miejscem zerowym:
Sprawdzamy, czy dla argumentu $x = -1$ wartość funkcji wynosi $0$: $$ \begin{aligned} g(-1) &= -\log_3(-1 + 2) \\[8pt] &= -\log_3(1) \\[8pt] &= -(0) = 0 \end{aligned} $$ Otrzymana wartość wynosi $0$, co oznacza, że liczba $-1$ jest miejscem zerowym funkcji $g$.
Podpunkt b) Wyznaczenie argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:
Wartości dodatnie oznaczają rozwiązanie nierówności $g(x) > 0$ przy warunku dziedziny $x \in (-2, +\infty)$:

Sposób I – Algebraiczny: $$ \begin{aligned} -\log_3(x + 2) &> 0 \quad \Big/ \cdot (-1) \\[8pt] \log_3(x + 2) &< 0 \\[8pt] \log_3(x + 2) &< \log_3(1) \end{aligned} $$ Ponieważ podstawa logarytmu $3 > 1$, funkcja logarytmiczna jest rosnąca, więc nie zmieniamy zwrotu nierówności: $$ \begin{aligned} x + 2 &< 1 \\[8pt] x &< -1 \end{aligned} $$ Uwzględniając dziedzinę $x \in (-2, +\infty)$, otrzymujemy część wspólną: $$x \in (-2, -1)$$ Sposób II – Odczyt z wykresu:
Wykres funkcji $g$ znajduje się powyżej osi $OX$ (dla wartości $y > 0$) na prawo od asymptoty pionowej $x = -2$ aż do miejsca zerowego $x = -1$. Odczytujemy przedział $x \in (-2, -1)$.
Podpunkt c) Rozwiązanie nierówności $g(x) < -1$:
Szukamy argumentów z dziedziny $D = (-2, +\infty)$, dla których zachodzi relacja $g(x) < -1$:

Sposób I – Algebraiczny: $$ \begin{aligned} -\log_3(x + 2) &< -1 \quad \Big/ \cdot (-1) \\[8pt] \log_3(x + 2) &> 1 \\[8pt] \log_3(x + 2) &> \log_3(3) \end{aligned} $$ Korzystając z monotoniczności funkcji logarytmicznej o podstawie większej od jedności ($3 > 1$): $$ \begin{aligned} x + 2 &> 3 \\[8pt] x &> 1 \end{aligned} $$ Biorąc pod uwagę dziedzinę $x > -2$, ostatecznym zbiorem rozwiązań jest przedział: $$x \in (1, +\infty)$$ Sposób II – Odczyt z wykresu:
Rysując poziomą prostą pomocniczą $y = -1$, przecina ona wykres funkcji $g$ w punkcie o odciętej $x = 1$. Wykres przebiega ściśle poniżej poziomu $y = -1$ dla wszystkich argumentów położonych na prawo od tego punktu, czyli dla $x \in (1, +\infty)$.

Odpowiedź:
a) Tak, liczba $-1$ jest miejscem zerowym funkcji $g$.

b) $x \in (-2, -1)$

c) $x \in (1, +\infty)$

Zadanie 3

Dana jest funkcja określona wzorem $f(x) = \log_2(-x) - 1$. Wyznacz jej dziedzinę oraz sporządź wykres.
a) Wyznacz ze sporządzonego wykresu zbiór wszystkich argumentów spełniających warunek $f(x) \leqslant 1$.
b) Rozstrzygnij na drodze rachunkowej, czy punkt $P\left(-7^{\log_7 8}, 2\right)$ leży na wykresie funkcji $f$.

Wskazówki:

Liczba logarytmiczna musi być ściśle dodatnia: warunek istnienia logarytmu wyznacza dziedzinę funkcji.
Wykres funkcji postaci $y = \log_a(-x)$ powstaje przez symetrię osiową wykresu $y = \log_a(x)$ względem osi $OY$, po czym przesuwamy go pionowo o wektor wzdłuż osi $OY$.
Zależność $a^{\log_a b} = b$ dla odpowiednich założeń pozwala szybko uprościć skomplikowanie wyglądające współrzędne punktu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie dziedziny funkcji $f(x) = \log_2(-x) - 1$:
Wyrażenie stojące pod znakiem logarytmu musi przyjmować wartości dodatnie. Zapisujemy odpowiednią nierówność: $$-x > 0$$ Mnożąc obie strony przez liczbę ujemną $-1$, zmieniamy zwrot znaku nierówności na przeciwny: $$x < 0$$ Zatem dziedziną funkcji jest przedział: $$D = (-\infty, 0)$$
Konstrukcja wykresu funkcji i wyznaczenie punktów bazowych:
Wykres funkcji $f(x)$ tworzymy, przekształcając podstawową funkcję $y = \log_2(x)$:
- Najpierw stosujemy symetrię osiową względem osi $OY$, uzyskując wykres $y = \log_2(-x)$ określony dla $x < 0$.
- Następnie przesuwamy cały wykres o $1$ jednostkę w dół (wektor $[0, -1]$), otrzymując $f(x) = \log_2(-x) - 1$.
Wyznaczmy współrzędne charakterystycznych punktów należących do wykresu funkcji $f$: $$\begin{aligned} f(-1) &= \log_2(1) - 1 = 0 - 1 = -1 \implies (-1, -1) \\[8pt] f(-2) &= \log_2(2) - 1 = 1 - 1 = 0 \implies (-2, 0) \\[8pt] f(-4) &= \log_2(4) - 1 = 2 - 1 = 1 \implies (-4, 1) \\[8pt] f(-8) &= \log_2(8) - 1 = 3 - 1 = 2 \implies (-8, 2) \end{aligned}$$ Asymptotą pionową wykresu jest prosta o równaniu $x = 0$ (oś $OY$).
Podpunkt a) Odczytanie ze sporządzonego wykresu zbioru rozwiązań nierówności $f(x) \leqslant 1$:
Wykres funkcji $f(x)$ przecina poziomą prostą $y = 1$ w punkcie o odciętej: $$x = -4$$ Wartości funkcji są mniejsze bądź równe $1$ dla tych punktów wykresu, które leżą na wysokości prostej $y = 1$ lub poniżej niej. Pamiętając o dziedzinie funkcji, w której argumenty dążą od lewej strony do asymptoty $x = 0$, odczytujemy z wykresu przedział argumentów: $$x \in [-4, 0)$$
Podpunkt b) Rachunkowe sprawdzenie przynależności punktu $P\left(-7^{\log_7 8}, 2\right)$:
W pierwszym kroku upraszczamy współrzędną $x$ punktu $P$, wykorzystując tożsamość logarytmiczną $a^{\log_a b} = b$ dla $a > 0$, $a \neq 1$ oraz $b > 0$: $$-7^{\log_7 8} = -(8) = -8$$ Wobec tego badany punkt ma współrzędne: $$P(-8, 2)$$ Współrzędna $x = -8$ należy do dziedziny funkcji ($-8 \in (-\infty, 0)$). Obliczamy teraz wartość funkcji $f$ dla argumentu $x = -8$: $$\begin{aligned} f(-8) &= \log_2(-(-8)) - 1 \\ &= \log_2(8) - 1 \end{aligned}$$ Ponieważ $2^3 = 8$, to $\log_2(8) = 3$: $$f(-8) = 3 - 1 = 2$$ Otrzymana wartość jest równa drugiej współrzędnej punktu $P$ ($y = 2$). Oznacza to, że punkt $P$ leży na wykresie funkcji $f$.

Odpowiedź:
Dziedzina: $D = (-\infty, 0)$

a) $x \in [-4, 0)$

b) Tak, punkt $P$ należy do wykresu funkcji $f$, ponieważ $f(-8) = 2$.

Zadanie 4

Wykres funkcji logarytmicznej danej wzorem $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ przesunięto wzdłuż osi $OY$ o wektor $\vec{u} = [0, -1]$, a powstałą krzywą poddano symetrii osiowej względem osi $OX$. W ten sposób otrzymano wykres nowej funkcji $y = g(x)$.

a) Wyznacz wzór funkcji $g$ w najprostszej postaci oraz sporządź jej staranny wykres w prostokątnym układzie współrzędnych.

b) Wyznacz metodą graficzną zbiór rozwiązań nierówności $g(x) \leqslant \dfrac{x + 1}{2}$.

Wskazówki:

Przesunięcie równoległe wykresu dowolnej funkcji $y = f(x)$ o wektor $\vec{u} = [0, q]$ daje wykres funkcji o wzorze $h(x) = f(x) + q$.
Symetria osiowa względem osi $OX$ zmienia znak wartości funkcji na przeciwny: $g(x) = -h(x)$.
Do uproszczenia wzoru wykorzystaj zależność dla potęgi podstawy logarytmu: $\log_{a^{-1}} x = -\log_a x$.
Rozwiązanie graficzne nierówności $g(x) \leqslant h(x)$ polega na narysowaniu obu wykresów w tym samym układzie współrzędnych, wyznaczeniu ich punktów przecięcia oraz odczytaniu przedziału argumentów $x$, dla których wykres funkcji $g$ leży poniżej wykresu $h$ lub się z nim pokrywa.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie wzoru przekształconej funkcji $g(x)$:
Wychodzimy od funkcji logarytmicznej o dziedzinie rzeczywistej $D_f = (0, +\infty)$: $$f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$$ Krok po kroku wykonujemy przekształcenia geometryczne zadane w treści: Przesunięcie o wektor $\vec{u} = [0, -1]$ powoduje obniżenie wykresu o $1$ jednostkę w dół: $$h(x) = f(x) - 1 = \log_{\frac{1}{3}} x - 1$$ Następnie wykonujemy symetrię osiową względem osi $OX$, w wyniku której funkcja przyjmuje postać: $$g(x) = -h(x) = -\left(\log_{\frac{1}{3}} x - 1\right) = -\log_{\frac{1}{3}} x + 1$$ Zapisujemy podstawę logarytmu w postaci potęgi liczby $3$: $\dfrac{1}{3} = 3^{-1}$, skąd: $$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = -\log_3 x$$ Podstawiając to uproszczenie, otrzymujemy wzór funkcji $g$ w najprostszej postaci: $$\begin{aligned} g(x) &= -(-\log_3 x) + 1 \\[8pt] &= \log_3 x + 1 \end{aligned}$$ Dziedziną funkcji pozostaje zbiór argumentów dodatnich: $D_g = (0, +\infty)$.
Sporządzenie tabeli wartości i wykresu funkcji $g(x)$:
Wyznaczamy współrzędne kilku punktów kratowych i charakterystycznych należących do wykresu:
- dla $x = \dfrac{1}{3}$: $g\left(\dfrac{1}{3}\right) = \log_3\left(\dfrac{1}{3}\right) + 1 = -1 + 1 = 0 \implies \left(\dfrac{1}{3}, 0\right)$
- dla $x = 1$: $g(1) = \log_3 1 + 1 = 0 + 1 = 1 \implies (1, 1)$
- dla $x = 3$: $g(3) = \log_3 3 + 1 = 1 + 1 = 2 \implies (3, 2)$
- dla $x = 9$: $g(9) = \log_3 9 + 1 = 2 + 1 = 3 \implies (9, 3)$
Prosta $x = 0$ (oś $OY$) stanowi asymptotę pionową lewostronną.
Podpunkt b) Graficzne rozwiązanie nierówności $g(x) \leqslant \dfrac{x + 1}{2}$:
Wprowadzamy funkcję liniową odpowiadającą prawej stronie nierówności: $$p(x) = \dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$$ Wyznaczamy punkty do narysowania prostej:
- dla $x = -1$: $p(-1) = 0 \implies (-1, 0)$
- dla $x = 1$: $p(1) = 1 \implies (1, 1)$
- dla $x = 3$: $p(3) = 2 \implies (3, 2)$
- dla $x = 5$: $p(5) = 3 \implies (5, 3)$
Krzywa logarytmiczna $y = g(x)$ oraz prosta $y = p(x)$ przecinają się dokładnie w dwóch punktach: $$A = (1, 1) \quad \text{oraz} \quad B = (3, 2)$$ Ponieważ rozpatrujemy nierówność $g(x) \leqslant p(x)$ w dziedzinie $D_g = (0, +\infty)$, poszukujemy przedziałów, w których wykres funkcji $g(x)$ znajduje się poniżej prostej lub na niej. Odczytujemy z wykresu:
- Dla $x \in (0, 1]$ wykres logarytmiczny leży pod prostą.
- Dla $x \in (1, 3)$ wykres logarytmiczny przebiega powyżej prostej.
- Dla $x \in [3, +\infty)$ wykres logarytmiczny ponownie leży poniżej prostej.

Odpowiedź:
a) Wzór funkcji: $g(x) = \log_3 x + 1$

b) Rozwiązaniem nierówności jest zbiór: $x \in (0, 1] \cup [3, +\infty)$

Zadanie 5

Wyznacz pierwiastki poniższych równań, stosując metodę graficzną:

a) $\log_2 (x - 1) = 4 - x$

b) $\log_2 (1 - x) = 2 - |x|$

c) $\log_2 (-x) = \dfrac{2}{9}(x + 1)^2$

d) $\log_3 x = \dfrac{3}{x}$

Wskazówki:

Zawsze zaczynaj od określenia dziedziny równania – wyrażenie pod znakiem logarytmu musi być ściśle dodatnie.
Rozbij równanie na układ dwóch funkcji: $f(x)$ (lewa strona) oraz $g(x)$ (prawa strona).
Wyznacz punkty kluczowe (węzłowe) o współrzędnych całkowitych dla obu funkcji i narysuj je w jednym układzie współrzędnych.
Odczytaj odcięte $x$ punktów przecięcia wykresów i sprawdź algebraicznie zgodność obu stron równania.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy graficznie równanie $\log_2 (x - 1) = 4 - x$:
Dziedzina równania: $$x - 1 > 0 \implies x \in (1, +\infty)$$ Wprowadzamy dwie funkcje dla $x > 1$: $$\begin{aligned} f(x) &= \log_2 (x - 1) \\[6pt] g(x) &= 4 - x \end{aligned}$$ Wykres funkcji $f(x)$ posiada pionową asymptotę $x = 1$ i przechodzi przez punkty charakterystyczne: $$(2, 0), \quad (3, 1), \quad (5, 2)$$ Wykres funkcji liniowej $g(x)$ przechodzi przez punkty: $$(1, 3), \quad (2, 2), \quad (3, 1), \quad (4, 0)$$ Obie funkcje przyjmują dla argumentu $x = 3$ taką samą wartość: $$\begin{aligned} f(3) &= \log_2(3 - 1) = \log_2 2 = 1 \\[6pt] g(3) &= 4 - 3 = 1 \end{aligned}$$ Ponieważ funkcja $f(x)$ jest ściśle rosnąca w całej dziedzinie, a funkcja $g(x)$ jest ściśle malejąca, istnieje dokładnie jeden punkt przecięcia o współrzędnych $(3, 1)$. Zatem jedynym rozwiązaniem jest $x = 3$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy graficznie równanie $\log_2 (1 - x) = 2 - |x|$:
Dziedzina równania: $$1 - x > 0 \implies x \in (-\infty, 1)$$ Wprowadzamy funkcje w przedziale $(-\infty, 1)$: $$\begin{aligned} f(x) &= \log_2 (1 - x) \\[6pt] g(x) &= 2 - |x| \end{aligned}$$ Rozpatrujemy dwa przedziały ze względu na moduł:
- Dla $x \le 0$: mamy $g(x) = 2 + x$. Sprawdzamy dla $x = -1$: $$\begin{aligned} f(-1) &= \log_2(1 - (-1)) = \log_2 2 = 1 \\[6pt] g(-1) &= 2 + (-1) = 1 \end{aligned}$$ Zatem $\mathbf{x = -1}$ jest rozwiązaniem.
- Dla $x \in (0, 1)$: mamy $g(x) = 2 - x$. W tym przedziale lewa strona $f(x) = \log_2(1 - x)$ przyjmuje wartości ujemne (gdyż $1 - x \in (0, 1)$), podczas gdy prawa strona przyjmuje wartości dodatnie ($2 - x \in (1, 2)$). Brak rozwiązań w tym przedziale.
Jedynym rozwiązaniem równania jest $x = -1$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy graficznie równanie $\log_2 (-x) = \dfrac{2}{9}(x + 1)^2$:
Dziedzina równania: $$-x > 0 \implies x \in (-\infty, 0)$$ Wprowadzamy funkcje: $$\begin{aligned} f(x) &= \log_2 (-x) \\[6pt] g(x) &= \dfrac{2}{9}(x + 1)^2 \end{aligned}$$ Wykres paraboli $g(x)$ posiada wierzchołek w punkcie $(-1, 0)$ i jest skierowany ramionami w górę. Sprawdzamy wybrane wartości: $$\begin{aligned} g(-1) &= 0, \quad f(-1) = \log_2(-(-1)) = \log_2 1 = 0 \implies \mathbf{x = -1} \\[6pt] g(-4) &= \dfrac{2}{9}(-4 + 1)^2 = \dfrac{2}{9} \cdot 9 = 2, \quad f(-4) = \log_2(-(-4)) = \log_2 4 = 2 \implies \mathbf{x = -4} \end{aligned}$$ Zatem wykresy przecinają się w punktach $(-4, 2)$ oraz $(-1, 0)$.
Podpunkt d) Rozwiązujemy graficznie równanie $\log_3 x = \dfrac{3}{x}$:
Dziedzina równania: $$x \in (0, +\infty)$$ Wprowadzamy funkcje dla $x > 0$: $$\begin{aligned} f(x) &= \log_3 x \\[6pt] g(x) &= \dfrac{3}{x} \end{aligned}$$ Podstawiamy wartość $x = 3$: $$\begin{aligned} f(3) &= \log_3 3 = 1 \\[6pt] g(3) &= \dfrac{3}{3} = 1 \end{aligned}$$ Ponieważ funkcja $f(x)$ jest ściśle rosnąca, a funkcja $g(x)$ jest ściśle malejąca, istnieje dokładnie jeden punkt przecięcia o współrzędnych $(3, 1)$. Jedynym pierwiastkiem równania jest zatem $x = 3$.

Odpowiedź:
a) $x = 3$

b) $x = -1$

c) $x = -4$ oraz $x = -1$

d) $x = 3$

Grupa B

Zadanie 1

Rozważmy funkcję określoną w zbiorze $D = (1, +\infty)$ wzorem $f(x) = \log_3(x - 1)$.

a) Sporządź wykres tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych.

b) Podaj liczbę $x$, dla której zachodzi równość $f(x) = 2$.

c) Oblicz wartość wyrażenia $f\!\left(1\frac{1}{9}\right)$.

Zadanie 2

W kartezjańskim układzie współrzędnych naszkicuj wykres funkcji $h(x) = -\log_2(x + 3)$ określonej dla każdego $x \in (-3, +\infty)$, a następnie rozwiąż poniższe zagadnienia:

a) Sprawdź metodą rachunkową, czy liczba $-2$ jest miejscem zerowym funkcji $h$.

b) Dla jakich wartości argumentu $x$ funkcja $h$ osiąga wartości dodatnie?

c) Wyznacz przedział argumentów spełniających nierówność $h(x) < -2$.

Zadanie 3

Rozważmy funkcję określoną wzorem $g(x) = \log_4(-x) - 1$. Ustal jej dziedzinę i narysuj jej wykres.
a) Odczytaj z wykresu zbiór rozwiązań nierówności $g(x) \geqslant 0$.
b) Zbadaj za pomocą obliczeń, czy punkt $B\left(-3^{\log_3 16}, 1\right)$ należy do wykresu tej funkcji.

Zadanie 4

Daną funkcję $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ przesunięto wzdłuż pionowej osi układu o wektor $\vec{w} = [0, -3]$, a otrzymaną w ten sposób krzywą poddano symetrii względem osi $OX$, uzyskując wykres funkcji $y = g(x)$.

a) Wyznacz wzór funkcji $g$ i naszkicuj jej wykres.

b) Korzystając z metody graficznej, wyznacz zbiór rozwiązań nierówności $g(x) \leqslant \dfrac{x + 7}{3}$.

Zadanie 5

Korzystając ze szkicu odpowiednich wykresów funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych, wyznacz zbiór rozwiązań równań:

a) $\log_2 (x - 1) = 4 - x$

b) $\log_2 x = 5 - 2x$

c) $\log_2 (-x) = -x - 1$

d) $\log_2 x = \dfrac{8}{x}$

26.3 Przekształcenia wykresów funkcji logarytmicznych

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋