Funkcja logarytmiczna - powtórzenie i uzupełnienie wiadomości kartkówka LiczBit

26.2 Funkcja logarytmiczna – powtórzenie i uzupełnienie wiadomości

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Sporządź wykres funkcji $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ określonej w zbiorze $x \in (0, +\infty)$. Wykorzystując sporządzony wykres:

a) odczytaj zbiór argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od $-2$,

b) zbadaj, czy punkt $P\left( (2\sqrt{3} - \sqrt{11})(2\sqrt{3} + \sqrt{11}),\, 0 \right)$ należy do wykresu funkcji $f$.

Wskazówki:

Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich: $D_f = (0, +\infty)$. Osią asymptotyczną wykresu jest pionowa prosta $x = 0$ (dodatnia półoś $OY$).
Podstawa logarytmu $a = \dfrac{1}{3}$ spełnia warunek $0 < a < 1$, co oznacza, że funkcja $f$ jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
W celu precyzyjnego naszkicowania krzywej wyznacz współrzędne kilku punktów kratowych dla charakterystycznych potęg liczby $3$ (np. dla $x \in \{\frac{1}{9}, \frac{1}{3}, 1, 3, 9\}$).
Aby odczytać z wykresu zbiór argumentów spełniających nierówność $f(x) > -2$, zlokalizuj część wykresu leżącą powyżej poziomej prostej $y = -2$ i wyznacz odpowiadający jej przedział na osi $OX$.
W podpunkcie b) uprość najpierw wyrażenie określające pierwszą współrzędną punktu $P$, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie punktów charakterystycznych funkcji $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$:
Obliczamy wartości funkcji dla wybranych argumentów będących całkowitymi potęgami podstawy: $$\begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{9}\right) &= \log_{\frac{1}{3}} \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = 2 \\[8pt] f\left(\dfrac{1}{3}\right) &= \log_{\frac{1}{3}} \left(\dfrac{1}{3}\right)^1 = 1 \\[8pt] f(1) &= \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0 \\[8pt] f(3) &= \log_{\frac{1}{3}} 3 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} = -1 \\[8pt] f(9) &= \log_{\frac{1}{3}} 9 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = -2 \end{aligned}$$ Krzywa przechodzi zatem przez punkty: $\left(\frac{1}{9}, 2\right)$, $\left(\frac{1}{3}, 1\right)$, $(1, 0)$, $(3, -1)$ oraz $(9, -2)$.
Sporządzenie wykresu funkcji $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$:
Zaznaczamy w układzie współrzędnych wyznaczone punkty i łączymy je gładką linią, pamiętając, że dla $x \to 0^+$ wykres zbliża się asymptotycznie do osi $OY$:
Podpunkt a) Odczytanie argumentów spełniających warunek $f(x) > -2$:
Nanosimy na wykres prostą poziomą $y = -2$. Punktem przecięcia wykresu funkcji z tą prostą jest punkt $(9, -2)$.
Wartości funkcji są ściśle większe od $-2$ dla punktów leżących powyżej tej prostej. Ponieważ dziedziną funkcji jest przedział $(0, +\infty)$, a funkcja jest malejąca, wykres znajduje się nad prostą $y = -2$ dla argumentów od zera do dziewięciu (z wyłączeniem krańców): $$x \in (0, 9)$$
Podpunkt b) Badanie przynależności punktu $P\left( (2\sqrt{3} - \sqrt{11})(2\sqrt{3} + \sqrt{11}),\, 0 \right)$ do wykresu:
Obliczamy wartość pierwszej współrzędnej $x_P$ punktu $P$, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$\begin{aligned} x_P &= (2\sqrt{3} - \sqrt{11})(2\sqrt{3} + \sqrt{11}) \\[8pt] &= (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{11})^2 \\[8pt] &= \left(2^2 \cdot (\sqrt{3})^2\right) - 11 \\[8pt] &= (4 \cdot 3) - 11 \\[8pt] &= 12 - 11 = 1 \end{aligned}$$ Punkt ma zatem współrzędne $P(1, 0)$.
Sprawdzamy, jaką wartość przyjmuje funkcja $f$ dla argumentu $x = 1$: $$f(1) = \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$$ Otrzymana wartość jest równa drugiej współrzędnej punktu ($y_P = 0$), zatem punkt $P$ należy do wykresu funkcji $f$.

Odpowiedź:
a) $x \in (0, 9)$

b) Tak, punkt $P$ należy do wykresu funkcji $f$.

Zadanie 2

Punkt $K(9, 2)$ należy do wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem $f(x) = \log_a x$, gdzie $a \in \mathbb{R}_+ \setminus \{1\}$ oraz $x \in (0, +\infty)$. Wyznacz wartość podstawy $a$, a następnie na podstawie wykresu tej funkcji ustal:

a) zbiór wszystkich argumentów $x$, dla których funkcja $f$ osiąga wartości większe od $1$,

b) przedział argumentów, dla których spełniony jest warunek $0 \le f(x) \le 2$.

Wskazówki:

Współrzędne punktu należącego do wykresu spełniają równanie funkcji: podstaw $x = 9$ oraz $f(x) = 2$ do wzoru $f(x) = \log_a x$.
Skorzystaj z definicji logarytmu: $\log_a b = c \iff a^c = b$ (pamiętając o założeniu $a > 0$ i $a \neq 1$).
Sporządź szkic wykresu wyznaczonej funkcji logarytmicznej, wyznaczając kilka charakterystycznych punktów, a następnie odczytaj przedziały argumentów, rzutując odpowiednie fragmenty krzywej na oś $OX$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie podstawy logarytmu $a$:
Wychodzimy ze wzoru funkcji $f(x) = \log_a x$. Skoro punkt $K(9, 2)$ leży na jej wykresie, jego współrzędne muszą spełniać równanie: $$\log_a 9 = 2$$ Zgodnie z definicją logarytmu zapisujemy to w postaci potęgowej: $$a^2 = 9$$ Uwzględniając warunki określoności podstawy logarytmu ($a > 0$ oraz $a \neq 1$), odrzucamy rozwiązanie ujemne: $$a = 3$$ Wzór badanej funkcji ma postać: $$f(x) = \log_3 x$$
Sporządzenie wykresu funkcji $f(x) = \log_3 x$:
Obliczamy wartości funkcji dla wybranych, dogodnych argumentów: $$\begin{aligned} f\left(\frac{1}{3}\right) &= \log_3 \frac{1}{3} = -1 \implies \left(\frac{1}{3}, -1\right) \\[8pt] f(1) &= \log_3 1 = 0 \implies (1, 0) \\[8pt] f(3) &= \log_3 3 = 1 \implies (3, 1) \\[8pt] f(9) &= \log_3 9 = 2 \implies (9, 2) \end{aligned}$$ Podstawa $a = 3 > 1$, zatem funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie $D = (0, +\infty)$, a dodatnia część osi $OY$ wraz z ujemną stanowi pionową asymptotę wykresu:
Podpunkt a) Wyznaczenie argumentów spełniających warunek $f(x) > 1$:
Badamy nierówność: $$f(x) > 1$$ Z wykresu odczytujemy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą $1$: $$f(3) = 1$$ Krzywa logarytmiczna leży ściśle powyżej poziomu $y = 1$ dla wszystkich argumentów położonych na prawo od punktu $x = 3$. Zatem: $$x \in (3, +\infty)$$
Podpunkt b) Wyznaczenie argumentów spełniających warunek $0 \le f(x) \le 2$:
Rozpatrujemy podwójną nierówność: $$0 \le f(x) \le 2$$ Odpowiada to fragmentowi wykresu ograniczonemu w pionie przez prostą $y = 0$ (oś $OX$) oraz poziomą prostą $y = 2$. Z wykresu odczytujemy argumenty krańcowe: $$\begin{aligned} f(x) &= 0 \iff x = 1 \\[8pt] f(x) &= 2 \iff x = 9 \end{aligned}$$ Krzywa przyjmuje wartości z przedziału $\langle 0, 2 \rangle$ dla wszystkich argumentów leżących w domkniętym przedziale od $1$ do $9$: $$x \in \langle 1, 9 \rangle$$

Odpowiedź:
$a = 3$

a) $x \in (3, +\infty)$

b) $x \in \langle 1, 9 \rangle$

Zadanie 3

Rozstrzygnij, czy wartość każdego z poniższych wyrażeń jest liczbą dodatnią, ujemną czy równą zero:

a) $\dfrac{\log_3 11}{\log_{\frac{1}{5}} 4 + \log_{\frac{1}{2}} 7}$

b) $\dfrac{\log_{\frac{1}{4}} 4 + \log_7 7}{\log_{\frac{1}{3}} 10}$

Wskazówki:

Znak wartości logarytmu $\log_a b$ zależy od relacji podstawy $a$ oraz liczby logarytmowanej $b$ względem liczby $1$: gdy obie są większe od $1$ lub obie należą do przedziału $(0, 1)$, logarytm jest dodatni; gdy jedna jest większa od $1$, a druga należy do $(0, 1)$, logarytm jest ujemny.
Suma liczb ujemnych jest liczbą ujemną.
Iloraz liczby dodatniej przez liczbę ujemną daje wynik ujemny.
Wartość logarytmu, w którym podstawa i liczba logarytmowana są wzajemnymi odwrotnościami, wynosi $-1$, a gdy są sobie równe, wynosi $1$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy znak wyrażenia $\dfrac{\log_3 11}{\log_{\frac{1}{5}} 4 + \log_{\frac{1}{2}} 7}$:
Analizujemy najpierw znak licznika. W logarytmie $\log_3 11$ podstawa $3 > 1$ oraz liczba logarytmowana $11 > 1$. Funkcja logarytmiczna o podstawie większej od $1$ jest rosnąca i dla argumentów większych od $1$ przyjmuje wartości dodatnie: $$\log_3 11 > 0$$ Następnie wyznaczamy znaki składników mianownika. W logarytmie $\log_{\frac{1}{5}} 4$ podstawa spełnia warunek $\frac{1}{5} \in (0, 1)$, natomiast liczba logarytmowana $4 > 1$. Funkcja o podstawie z przedziału $(0, 1)$ jest malejąca, co oznacza, że: $$\log_{\frac{1}{5}} 4 < 0$$ W drugim składniku mianownika podstawa wynosi $\frac{1}{2} \in (0, 1)$, a liczba logarytmowana $7 > 1$, skąd również wynika, że: $$\log_{\frac{1}{2}} 7 < 0$$ Mianownik jest sumą dwóch wartości ujemnych, zatem sam jest ujemny: $$\log_{\frac{1}{5}} 4 + \log_{\frac{1}{2}} 7 < 0$$ Iloraz liczby dodatniej (licznik) i liczby ujemnej (mianownik) jest ujemny: $$\frac{\log_3 11}{\log_{\frac{1}{5}} 4 + \log_{\frac{1}{2}} 7} < 0$$ Zatem podana liczba jest ujemna.
Podpunkt b) Badamy znak wyrażenia $\dfrac{\log_{\frac{1}{4}} 4 + \log_7 7}{\log_{\frac{1}{3}} 10}$:
Obliczamy wartości poszczególnych logarytmów występujących w liczniku, korzystając z definicji logarytmu oraz własności $\log_a a = 1$: $$\log_{\frac{1}{4}} 4 = \log_{4^{-1}} 4 = -1$$ $$\log_7 7 = 1$$ Obliczamy wartość całego licznika: $$\log_{\frac{1}{4}} 4 + \log_7 7 = -1 + 1 = 0$$ Sprawdzamy mianownik. Ponieważ podstawa wynosi $\frac{1}{3} \in (0, 1)$, a liczba logarytmowana $10 > 1$, mianownik jest różny od zera (dokładniej $\log_{\frac{1}{3}} 10 < 0$). Wyrażenie ma zatem sens liczbowy i wynosi: $$\frac{0}{\log_{\frac{1}{3}} 10} = 0$$ Podana liczba jest równa zero.

Odpowiedź:
a) Liczba ujemna

b) Liczba równa zero

Zadanie 4

Dana jest funkcja $f(x) = \log x - c$ określona dla każdej liczby rzeczywistej $x > 0$. Punkt $W\left(\dfrac{1}{100}, 1\right)$ leży na wykresie tej funkcji.

a) Wyznacz wartość parametru $c$.

b) Uzasadnij, że $f\left(\dfrac{2}{5}\right) - f\left(\dfrac{6}{5}\right) + \log 3 = 0$.

Wskazówki:

Punkt należy do wykresu funkcji, gdy jego współrzędne spełniają jej równanie: $f(x_W) = y_W$.
Pamiętaj, że zapis $\log x$ oznacza logarytm dziesiętny, czyli logarytm o podstawie $10$: $\log x = \log_{10} x$.
Różnicę logarytmów o tej samej podstawie można zapisać jako logarytm ilorazu: $\log a - \log b = \log\left(\dfrac{a}{b}\right)$.
Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu: $\log a + \log b = \log(a \cdot b)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie wartości parametru $c$ na podstawie współrzędnych punktu:
Wychodzimy ze wzoru funkcji $f(x) = \log x - c$. Skoro punkt $W\left(\dfrac{1}{100}, 1\right)$ należy do jej wykresu, podstawiamy argument $x = \dfrac{1}{100}$ oraz wartość funkcji $f(x) = 1$: $$1 = \log\left(\dfrac{1}{100}\right) - c$$ Obliczamy wartość logarytmu dziesiętnego z liczby $\dfrac{1}{100}$, korzystając z faktu, że $\dfrac{1}{100} = 10^{-2}$: $$\log\left(\dfrac{1}{100}\right) = \log(10^{-2}) = -2$$ Podstawiamy otrzymaną wartość do równania i wyznaczamy $c$: $$\begin{aligned} 1 &= -2 - c \\[8pt] c &= -2 - 1 \\[8pt] c &= -3 \end{aligned}$$ Pełny wzór funkcji przyjmuje zatem postać: $$f(x) = \log x - (-3) = \log x + 3$$
Podpunkt b) Sposób I – Wykorzystanie wyznaczonego wzoru funkcji i własności działań na logarytmach:
Rozpatrujemy wyrażenie z lewej strony równości: $$L = f\left(\dfrac{2}{5}\right) - f\left(\dfrac{6}{5}\right) + \log 3$$ Obliczamy wartości funkcji dla podanych argumentów, stosując wzór $f(x) = \log x + 3$: $$\begin{aligned} f\left(\dfrac{2}{5}\right) &= \log\left(\dfrac{2}{5}\right) + 3 \\[8pt] f\left(\dfrac{6}{5}\right) &= \log\left(\dfrac{6}{5}\right) + 3 \end{aligned}$$ Wstawiamy wyznaczone wartości do lewej strony równości: $$\begin{aligned} L &= \left[\log\left(\dfrac{2}{5}\right) + 3\right] - \left[\log\left(\dfrac{6}{5}\right) + 3\right] + \log 3 \\[8pt] &= \log\left(\dfrac{2}{5}\right) + 3 - \log\left(\dfrac{6}{5}\right) - 3 + \log 3 \\[8pt] &= \log\left(\dfrac{2}{5}\right) - \log\left(\dfrac{6}{5}\right) + \log 3 \end{aligned}$$ Stosujemy wzór na logarytm ilorazu $\log a - \log b = \log\left(\dfrac{a}{b}\right)$: $$\log\left(\dfrac{2}{5}\right) - \log\left(\dfrac{6}{5}\right) = \log\left(\dfrac{\frac{2}{5}}{\frac{6}{5}}\right) = \log\left(\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{5}{6}\right) = \log\left(\dfrac{2}{6}\right) = \log\left(\dfrac{1}{3}\right)$$ Wracamy do obliczenia wartości wyrażenia $L$, korzystając ze wzoru na logarytm iloczynu: $$\begin{aligned} L &= \log\left(\dfrac{1}{3}\right) + \log 3 \\[8pt] &= \log\left(\dfrac{1}{3} \cdot 3\right) \\[8pt] &= \log 1 \\[8pt] &= 0 \end{aligned}$$ Ponieważ prawa strona równości wynosi $P = 0$, otrzymaliśmy $L = P$, co kończy dowód.
Podpunkt b) Sposób II – Przekształcenie ogólne bez konieczności podstawiania wartości parametru:
Warto zauważyć, że wartość wyrażenia $f(x_1) - f(x_2)$ nie zależy od wyznaczonej stałej $c$. Korzystając bezpośrednio ze wzoru ogólnego $f(x) = \log x - c$, otrzymujemy: $$\begin{aligned} f\left(\dfrac{2}{5}\right) - f\left(\dfrac{6}{5}\right) &= \left[\log\left(\dfrac{2}{5}\right) - c\right] - \left[\log\left(\dfrac{6}{5}\right) - c\right] \\[8pt] &= \log\left(\dfrac{2}{5}\right) - c - \log\left(\dfrac{6}{5}\right) + c \\[8pt] &= \log\left(\dfrac{2}{5}\right) - \log\left(\dfrac{6}{5}\right) \end{aligned}$$ Następnie zamieniamy logarytm ułamka $\dfrac{1}{3}$ na postać potęgową: $$\log\left(\dfrac{1}{3}\right) = \log(3^{-1}) = -\log 3$$ Podstawiając ten wynik do wyjściowej lewej strony tożsamości: $$L = -\log 3 + \log 3 = 0 = P$$ Tożsamość jest prawdziwa niezależnie od wartości parametru $c$.

Odpowiedź:
a) $c = -3$

b) Uzasadniono, że $f\left(\dfrac{2}{5}\right) - f\left(\dfrac{6}{5}\right) + \log 3 = 0$.

Zadanie 5

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$ określonej podanym wzorem:

a) $f(x) = \log_{x+2}(9 - x^2)$

b) $f(x) = \log_{|2x-5|}(7 - x)$

Wskazówki:

Wyrażenie logarytmiczne postaci $\log_a b$ ma sens liczbowy wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są jednocześnie trzy warunki: liczba logarytmowana jest dodatnia ($b > 0$), podstawa jest dodatnia ($a > 0$) oraz podstawa jest różna od jedynki ($a \neq 1$).
Dla nierówności kwadratowej $9 - x^2 > 0$ rozłóż lewą stronę na czynniki za pomocą wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i wyznacz przedział, w którym parabola leży powyżej osi liczbowa.
Pamiętaj, że wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna ($|t| \ge 0$), a warunek $|t| > 0$ jest spełniony dla każdej liczby rzeczywistej z wyłączeniem wartości zerującej wyrażenie pod modułem ($t \neq 0$).
Ostateczną dziedziną funkcji jest część wspólna (przekrój) wszystkich otrzymanych warunków.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie dziedziny funkcji $f(x) = \log_{x+2}(9 - x^2)$:
Wychodzimy od wzoru funkcji: $$f(x) = \log_{x+2}(9 - x^2)$$ Zgodnie z definicją logarytmu zapisujemy układ trzech warunków: $$\begin{cases} 9 - x^2 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ x + 2 \neq 1 \end{cases}$$ Rozwiązujemy każdy warunek z osobna:

1. Warunek liczby logarytmowanej: $$\begin{aligned} 9 - x^2 &> 0 \\[8pt] (3 - x)(3 + x) &> 0 \end{aligned}$$ Miejscami zerowymi są liczby $x_1 = -3$ oraz $x_2 = 3$. Wykres trójmianu to parabola skierowana ramionami w dół, więc wartości dodatnie funkcja przyjmuje w przedziale: $$x \in (-3, 3)$$ 2. Warunek dodatniości podstawy logarytmu: $$\begin{aligned} x + 2 &> 0 \\[8pt] x &> -2 \iff x \in (-2, +\infty) \end{aligned}$$ 3. Warunek różności podstawy od jedynki: $$\begin{aligned} x + 2 &\neq 1 \\[8pt] x &\neq -1 \end{aligned}$$ Wyznaczamy część wspólną wszystkich powyższych warunków: $$\begin{aligned} D_f &= (-3, 3) \cap (-2, +\infty) \setminus \{-1\} \\[8pt] &= (-2, 3) \setminus \{-1\} \\[8pt] &= (-2, -1) \cup (-1, 3) \end{aligned}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie dziedziny funkcji $f(x) = \log_{|2x-5|}(7 - x)$:
Wychodzimy od wzoru funkcji: $$f(x) = \log_{|2x-5|}(7 - x)$$ Zapisujemy koniunkcję warunków istnienia logarytmu: $$\begin{cases} 7 - x > 0 \\ |2x - 5| > 0 \\ |2x - 5| \neq 1 \end{cases}$$ Rozwiązujemy poszczególne relacje:

1. Warunek liczby logarytmowanej: $$\begin{aligned} 7 - x &> 0 \\[8pt] -x &> -7 \\[8pt] x &< 7 \iff x \in (-\infty, 7) \end{aligned}$$ 2. Warunek dodatniości podstawy logarytmu: Wartość bezwzględna przyjmuje wartości nieujemne dla dowolnej liczby rzeczywistej. Nierówność $|2x - 5| > 0$ wyklucza wyłącznie przypadek, gdy wyrażenie w module jest równe $0$: $$\begin{aligned} 2x - 5 &\neq 0 \\[8pt] 2x &\neq 5 \\[8pt] x &\neq \dfrac{5}{2} \quad (x \neq 2{,}5) \end{aligned}$$ 3. Warunek różności podstawy od jedynki: Równość $|2x - 5| = 1$ zachodzi wtedy, gdy $2x - 5 = 1$ lub $2x - 5 = -1$. Wykluczamy oba te przypadki: $$\begin{aligned} 2x - 5 \neq 1 \quad &\implies \quad 2x \neq 6 \quad \implies \quad x \neq 3 \\[8pt] 2x - 5 \neq -1 \quad &\implies \quad 2x \neq 4 \quad \implies \quad x \neq 2 \end{aligned}$$ Wyznaczamy część wspólną wszystkich warunków: Z pierwszego warunku otrzymujemy zbiór $(-\infty, 7)$. Wszystkie wykluczone liczby: $x = 2$, $x = \dfrac{5}{2}$ oraz $x = 3$ należą do tego przedziału. Ostateczna dziedzina ma postać: $$D_f = (-\infty, 7) \setminus \left\{2, \dfrac{5}{2}, 3\right\}$$ co po rozbiciu na sumę przedziałów otwartych można równoważnie zapisać jako: $$D_f = (-\infty, 2) \cup (2; 2{,}5) \cup (2{,}5; 3) \cup (3, 7)$$

Odpowiedź:
a) $D_f = (-2, -1) \cup (-1, 3)$

b) $D_f = (-\infty, 7) \setminus \left\{2, \dfrac{5}{2}, 3\right\}$

Grupa B

Zadanie 1

W kartezjańskim układzie współrzędnych sporządź wykres funkcji logarytmicznej $h(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ określonej dla $x \in (0, +\infty)$. Następnie:

a) odczytaj ze sporządzonego wykresu zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości większe od $-2$,

b) rozstrzygnij, czy punkt o współrzędnych $W\left( (\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2}),\, -2 \right)$ leży na wykresie funkcji $h$.

Zadanie 2

Wykres funkcji określonej wzorem $f(x) = \log_a x$ dla $x > 0$ (gdzie $a \in \mathbb{R}_+ \setminus \{1\}$) przechodzi przez punkt $W(16, 4)$. Wyznacz liczbę $a$, a następnie posługując się wykresem funkcji $f$, podaj:

a) zbiór wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji przewyższają liczbę $2$,

b) zbiór argumentów spełniających podwójną nierówność $1 \le f(x) \le 4$.

Zadanie 3

Ustal, czy każda z podanych liczb jest dodatnia, ujemna czy równa zero:

a) $\dfrac{\log_5 14}{\log_{\frac{1}{2}} 5 + \log_{\frac{3}{5}} 8}$

b) $\dfrac{\log_{\frac{1}{6}} 6 + \log_2 2}{\log_{\frac{1}{4}} 11}$

Zadanie 4

Wykres funkcji określonej wzorem $h(x) = \log x - a$ dla argumentów $x > 0$ przechodzi przez punkt $P\left(\dfrac{1}{1000}, -1\right)$.

a) Oblicz wartość współczynnika $a$.

b) Wykaż, że zachodzi równość $h\left(\dfrac{3}{4}\right) - h\left(\dfrac{15}{4}\right) + \log 5 = 0$.

Zadanie 5

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$ określonej podanym wzorem:

a) $f(x) = \log_{x+3}(16 - x^2)$

b) $f(x) = \log_{|2x-1|}(6 - x)$

26.2 Funkcja logarytmiczna – powtórzenie i uzupełnienie wiadomości

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋