Zastosowanie własności funkcji wykładniczej w zadaniach kartkówka LiczBit

25.6 Zastosowanie własności funkcji wykładniczej w zadaniach

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Określ liczbę rozwiązań każdego z poniższych równań z niewiadomą $x$ w zależności od wartości parametru $m \in \mathbb{R}$:

a) $2^{|x|} = m + 1$

b) $\left|\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-1} - 1\right| = 4 - m^2$

c) $\dfrac{1}{2^{|x+1|}} = \dfrac{2}{m^2 + 1}$

Wskazówki:

Potraktuj każde równanie jako układ postaci $\begin{cases} y = f(x) \\ y = k \end{cases}$, gdzie $k$ jest wyrażeniem zależnym wyłącznie od parametru $m$. Liczba rozwiązań równania odpowiada liczbie punktów przecięcia wykresu funkcji $f(x)$ z poziomą prostą $y = k$.
Naszkicuj wykres lewej strony równania, wykorzystując przekształcenia wykresów funkcji: przesunięcie o wektor, odbicie symetryczne względem osi OY dla $f(|x|)$ oraz odbicie części leżącej poniżej osi OX dla $|f(x)|$.
Odczytaj z wykresu liczbę punktów wspólnych w zależności od wartości poziomu $k$, a następnie ułóż i rozwiąż odpowiednie równania oraz nierówności z parametrem $m$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy liczbę rozwiązań równania $2^{|x|} = m + 1$:
Wprowadzamy funkcję po lewej stronie $f(x) = 2^{|x|}$ oraz stałą poziomą $k = m + 1$.
Wykres funkcji $f(x) = 2^{|x|}$ powstaje poprzez narysowanie wykresu $y = 2^x$ dla $x \geqslant 0$ i odbicie go symetrycznie względem osi OY dla $x < 0$. Wartość najmniejsza funkcji to $f(0) = 2^0 = 1$, zatem zbiór wartości wynosi $W_f = [1, +\infty)$.

Analizując liczbę przecięć prostej $y = k$ z wykresem funkcji:
- Brak punktów wspólnych ($0$ rozwiązań), gdy: $$\begin{aligned} k &< 1 \\[8pt] m + 1 &< 1 \\[8pt] m &< 0 \implies m \in (-\infty, 0) \end{aligned}$$
- Dokładnie jeden punkt wspólny ($1$ rozwiązanie: $x = 0$), gdy: $$\begin{aligned} k &= 1 \\[8pt] m + 1 &= 1 \\[8pt] m &= 0 \end{aligned}$$
- Dwa punkty wspólne ($2$ rozwiązania), gdy: $$\begin{aligned} k &> 1 \\[8pt] m + 1 &> 1 \\[8pt] m &> 0 \implies m \in (0, +\infty) \end{aligned}$$
Podpunkt b) Badamy liczbę rozwiązań równania $\left|\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-1} - 1\right| = 4 - m^2$:
Niech $g(x) = \left|\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-1} - 1\right|$ oraz $k = 4 - m^2$.
Konstrukcja wykresu $g(x)$:
- Wychodzimy od funkcji wykładniczej $y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x$.
- Przesuwamy wykres o wektor $[1, -1]$, uzyskując $y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-1} - 1$. Wykres ten ma prostą $y = -1$ jako asymptotę poziomą oraz miejsce zerowe w punkcie $x = 1$, bo $\left(\dfrac{1}{3}\right)^0 - 1 = 0$.
- Nakładamy wartość bezwzględną, co odbija część wykresu leżącą pod osią OX do góry. W efekcie asymptota pozioma przemieszcza się na prostą $y = 1$, a funkcja osiąga wartość najmniejszą równą $0$ dla $x = 1$.
Odczytujemy liczbę rozwiązań w zależności od stałej $k = 4 - m^2$:
- $0$ rozwiązań, gdy prosta leży pod osią OX: $$\begin{aligned} k &< 0 \\[8pt] 4 - m^2 &< 0 \\[8pt] m^2 &> 4 \implies m \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \end{aligned}$$
- $1$ rozwiązanie, gdy prosta styka się z wierzchołkiem na osi OX ($k = 0$) lub leży na poziomie asymptoty bądź powyżej niej ($k \geqslant 1$, gdzie przecina tylko lewą gałąź): $$\begin{aligned} k = 0 &\iff 4 - m^2 = 0 \iff m \in \{-2, 2\} \\[8pt] k \geqslant 1 &\iff 4 - m^2 \geqslant 1 \iff m^2 \leqslant 3 \iff m \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}] \end{aligned}$$ Łącząc te warunki, otrzymujemy $1$ rozwiązanie dla $m \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}] \cup \{-2, 2\}$.
- $2$ rozwiązania, gdy prosta przecina obie gałęzie wykresu, czyli $0 < k < 1$: $$\begin{aligned} 0 < 4 - m^2 < 1 &\iff \begin{cases} 4 - m^2 > 0 \\ 4 - m^2 < 1 \end{cases} \\[8pt] &\iff \begin{cases} m^2 < 4 \\ m^2 > 3 \end{cases} \\[8pt] &\iff m \in (-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2) \end{aligned}$$
Podpunkt c) Badamy liczbę rozwiązań równania $\dfrac{1}{2^{|x+1|}} = \dfrac{2}{m^2 + 1}$:
Zapisujemy lewą stronę w postaci potęgi o wykładniku ujemnym: $$h(x) = 2^{-|x+1|}$$ Zauważmy, że dla każdego $x \in \mathbb{R}$ zachodzi $|x+1| \geqslant 0$, a więc $-|x+1| \leqslant 0$. W konsekwencji: $$0 < 2^{-|x+1|} \leqslant 2^0 = 1$$ Funkcja $h(x)$ przyjmuje wartość największą równą $1$ dla $x = -1$, jest symetryczna względem pionowej prostej $x = -1$ i jej wartości dążą asymptotycznie do $0$ przy $x \to \pm\infty$.

Oznaczmy prawą stronę równania jako $k = \dfrac{2}{m^2 + 1}$. Ponieważ $m^2 \geqslant 0$ dla każdego $m \in \mathbb{R}$, zachodzi: $$m^2 + 1 \geqslant 1 \implies 0 < \dfrac{2}{m^2 + 1} \leqslant 2$$ Wartość $k$ jest zawsze ściśle dodatnia, dlatego przypadek $k \leqslant 0$ nigdy nie zachodzi.
- $0$ rozwiązań występuje, gdy prosta leży powyżej wartości największej funkcji ($k > 1$): $$\begin{aligned} \dfrac{2}{m^2 + 1} &> 1 \\[8pt] 2 &> m^2 + 1 \\[8pt] m^2 &< 1 \implies m \in (-1, 1) \end{aligned}$$
- $1$ rozwiązanie pojawia się, gdy prosta przechodzi dokładnie przez wierzchołek ($k = 1$): $$\begin{aligned} \dfrac{2}{m^2 + 1} &= 1 \\[8pt] m^2 + 1 &= 2 \\[8pt] m^2 &= 1 \implies m \in \{-1, 1\} \end{aligned}$$
- $2$ rozwiązania występują, gdy prosta przecina oba ramiona wykresu ($0 < k < 1$): $$\begin{aligned} \dfrac{2}{m^2 + 1} &< 1 \\[8pt] m^2 + 1 &> 2 \\[8pt] m^2 &> 1 \implies m \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \end{aligned}$$

Odpowiedź:

a) $$\text{Liczba rozwiązań} = \begin{cases} 0 & \text{dla } m \in (-\infty, 0) \\[4pt] 1 & \text{dla } m = 0 \\[4pt] 2 & \text{dla } m \in (0, +\infty) \end{cases}$$
b) $$\text{Liczba rozwiązań} = \begin{cases} 0 & \text{dla } m \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \\[4pt] 1 & \text{dla } m \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}] \cup \{-2, 2\} \\[4pt] 2 & \text{dla } m \in (-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2) \end{cases}$$
c) $$\text{Liczba rozwiązań} = \begin{cases} 0 & \text{dla } m \in (-1, 1) \\[4pt] 1 & \text{dla } m \in \{-1, 1\} \\[4pt] 2 & \text{dla } m \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \end{cases}$$

Zadanie 2

Wyznacz wszystkie wartości parametru $k \in \mathbb{R}$, dla których podane równanie z niewiadomą $x$:

a) $|2^{x-1} - 4| - 1 = \dfrac{2k - 3}{2}$ posiada dwa rozwiązania dodatnie,

b) $2^{|x+2|} - 3 = 4^{k-1}$ posiada dwa rozwiązania różnych znaków.

Wskazówki:

W podpunkcie a) zastosuj interpretację graficzną: zdefiniuj funkcję $f(x) = |2^{x-1} - 4| - 1$ oraz prostą poziomą $y = m$, gdzie $m = \frac{2k-3}{2}$. Zbadaj przebieg zmienności funkcji $f(x)$, wyznaczając jej minimum, asymptotę poziomą dla $x \to -\infty$ oraz wartość na granicy dodatniości, czyli w punkcie $x = 0$.
Warunek posiadania dwóch rozwiązań dodatnich oznacza, że prosta pozioma $y = m$ musi przecinać wykres funkcji $f(x)$ w dwóch punktach o odciętych $x_1 > 0$ oraz $x_2 > 0$.
W podpunkcie b) wyznacz wyrażenie $2^{|x+2|}$ w zależności od parametru $k$. Następnie skorzystaj z definicji logarytmu, aby jawnie wyznaczyć oba pierwiastki $x_1$ oraz $x_2$.
Rozwiązania mają różne znaki, gdy jedno z nich jest ujemne, a drugie dodatnie: $x_1 < 0 < x_2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $|2^{x-1} - 4| - 1 = \dfrac{2k - 3}{2}$:
Wprowadzamy parametr pomocniczy $m = \dfrac{2k - 3}{2}$ oraz funkcję lewej strony równania: $$f(x) = |2^{x-1} - 4| - 1$$ Równanie przyjmuje postać $f(x) = m$. Wyznaczamy postać analityczną funkcji $f(x)$, rozbijając wartość bezwzględną względem jej miejsca zerowego: $$2^{x-1} - 4 = 0 \iff 2^{x-1} = 2^2 \iff x - 1 = 2 \iff x = 3$$ Dla $x \geqslant 3$ mamy $2^{x-1} - 4 \geqslant 0$, więc opuszczamy moduł bez zmiany znaków: $$f(x) = 2^{x-1} - 4 - 1 = 2^{x-1} - 5$$ Funkcja na tym przedziale jest ściśle rosnąca od wartości minimalnej równej: $$f(3) = 2^{3-1} - 5 = 4 - 5 = -1$$ Dla $x < 3$ wyrażenie pod modułem jest ujemne, zatem zmieniamy znaki przy opuszczaniu modułu: $$f(x) = -(2^{x-1} - 4) - 1 = 4 - 2^{x-1} - 1 = 3 - 2^{x-1}$$ Gdy $x \to -\infty$, składnik $2^{x-1} \to 0$, co oznacza, że funkcja posiada lewostronną asymptotę poziomą o równaniu $y = 3$. Na przedziale $(-\infty, 3\rangle$ funkcja jest ściśle malejąca.

Obliczamy wartość funkcji w punkcie granicznym $x = 0$: $$f(0) = 3 - 2^{0-1} = 3 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$$ Przeanalizujmy liczbę i znaki rozwiązań równania $f(x) = m$ na podstawie wykresu:

Z wykresu odczytujemy:
- Dla $x \leqslant 0$ funkcja przyjmuje wartości ze zbioru $\left[\dfrac{5}{2}, 3\right)$. Zatem żadne rozwiązanie niedodatnie nie powstanie, dopóki $m < \dfrac{5}{2}$.
- Dla $x \in (0, 3)$ funkcja maleje od $\dfrac{5}{2}$ do $-1$, więc dla każdego $m \in \left(-1, \dfrac{5}{2}\right)$ istnieje dokładnie jedno rozwiązanie dodatnie $x_1 \in (0, 3)$.
- Dla $x \in (3, \infty)$ funkcja rośnie od $-1$ do $\infty$, więc dla każdego $m > -1$ istnieje dokładnie jedno rozwiązanie dodatnie $x_2 \in (3, \infty)$.
Stąd równanie posiada dokładnie dwa rozwiązania dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy: $$-1 < m < \dfrac{5}{2}$$ Podstawiamy wyrażenie z parametrem $m = \dfrac{2k - 3}{2}$: $$-1 < \dfrac{2k - 3}{2} < \dfrac{5}{2}$$ Mnożymy obustronnie przez $2$: $$-2 < 2k - 3 < 5$$ Dodajemy $3$ do wszystkich stron: $$1 < 2k < 8$$ Dzielimy przez $2$: $$\dfrac{1}{2} < k < 4 \iff k \in \left(\dfrac{1}{2}, 4\right)$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $2^{|x+2|} - 3 = 4^{k-1}$:
Przenosimy liczbę $3$ na prawą stronę równania: $$2^{|x+2|} = 4^{k-1} + 3$$ Ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, czyli $4^{k-1} > 0$ dla każdego $k \in \mathbb{R}$, prawa strona równania spełnia nierówność: $$4^{k-1} + 3 > 3 > 1 = 2^0$$ Z nierówności $2^{|x+2|} > 1$ wynika bezpośrednio, że $|x+2| > 0$, zatem równanie ma zawsze dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste dla dowolnego $k \in \mathbb{R}$.

Logarytmujemy obie strony przy podstawie $2$: $$|x+2| = \log_2\left(4^{k-1} + 3\right)$$ Rozpisujemy równanie modułowe na dwa przypadki: $$\begin{aligned} x + 2 = -\log_2\left(4^{k-1} + 3\right) \quad &\text{lub} \quad x + 2 = \log_2\left(4^{k-1} + 3\right) \\[8pt] x_1 = -2 - \log_2\left(4^{k-1} + 3\right) \quad &\text{lub} \quad x_2 = -2 + \log_2\left(4^{k-1} + 3\right) \end{aligned}$$ Zauważmy, że skoro $4^{k-1} + 3 > 3$, to: $$\log_2\left(4^{k-1} + 3\right) > \log_2 3 > 1 > 0$$ Wobec tego pierwsze rozwiązanie jest zawsze ujemne: $$x_1 = -2 - \log_2\left(4^{k-1} + 3\right) < -2 < 0$$ Aby równanie posiadało dwa rozwiązania o różnych znakach, drugie rozwiązanie musi być ściśle dodatnie: $$x_2 > 0$$ $$-2 + \log_2\left(4^{k-1} + 3\right) > 0$$ $$\log_2\left(4^{k-1} + 3\right) > 2$$ Ponieważ podstawa logarytmu $2 > 1$, funkcja logarytmiczna jest rosnąca: $$4^{k-1} + 3 > 2^2$$ $$4^{k-1} + 3 > 4$$ $$4^{k-1} > 1$$ Zapisujemy liczbę $1$ jako potęgę o podstawie $4$: $$4^{k-1} > 4^0$$ Opuszczamy podstawy, zachowując zwrot nierówności: $$\begin{aligned} k - 1 &> 0 \\[8pt] k &> 1 \end{aligned}$$ Zatem zbiorem wartości parametru jest przedział $k \in (1, \infty)$.

Odpowiedź:
a) $k \in \left(\dfrac{1}{2}, 4\right)$

b) $k \in (1, \infty)$

Zadanie 3

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m \in \mathbb{R}$, dla których:

a) równanie $2x^2 - 2(3^m - 5)x + 11 - 9^m = 0$ ma co najmniej jedno rozwiązanie,

b) równanie $x^2 - (2^m - 4)x - 2 \cdot (4^{m-1} - 2^{m+1}) = 0$ ma dwa rozwiązania o różnych znakach.

Wskazówki:

Równanie kwadratowe $ax^2 + bx + c = 0$ (przy $a \neq 0$) posiada co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest nieujemny: $\Delta \ge 0$.
Warunek posiadania dwóch rozwiązań różnych znaków wymaga spełnienia koniunkcji: $\Delta > 0$ oraz ze wzorów Viète'a $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} < 0$. Zauważ, że gdy $\dfrac{c}{a} < 0$, warunek $\Delta > 0$ jest spełniony automatycznie, ponieważ iloczyn $a \cdot c < 0$, skąd $-4ac > 0$.
W równaniach z potęgami wprowadź pomocniczą zmienną (np. $t = 3^m$ lub $t = 2^m$), pamiętając o koniecznym założeniu dodatniości: $t > 0$.
Po wyznaczeniu przedziału dla zmiennej $t$ wróć do podstawienia i rozwiąż elementarne nierówności wykładnicze, korzystając z monotoniczności funkcji wykładniczej o podstawie większej od $1$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie parametru $m$, dla którego równanie $2x^2 - 2(3^m - 5)x + 11 - 9^m = 0$ ma co najmniej jedno rozwiązanie:
Współczynniki równania wynoszą: $$a = 2, \quad b = -2(3^m - 5), \quad c = 11 - 9^m$$ Ponieważ współczynnik kierunkowy $a = 2 \neq 0$, równanie jest zawsze kwadratowe. Warunek posiadania co najmniej jednego rozwiązania to: $$\Delta \ge 0$$ Wyznaczamy wyróżnik $\Delta$: $$ \begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= [-2(3^m - 5)]^2 - 4 \cdot 2 \cdot (11 - 9^m) \\[8pt] &= 4(3^m - 5)^2 - 8(11 - 9^m) \end{aligned} $$ Dzielimy obie strony nierówności $\Delta \ge 0$ przez $4$: $$\dfrac{\Delta}{4} = (3^m - 5)^2 - 2(11 - 9^m) \ge 0$$ Rozwijamy kwadrat różnicy oraz zauważamy, że $9^m = (3^2)^m = (3^m)^2$: $$ \begin{aligned} (3^m)^2 - 10 \cdot 3^m + 25 - 22 + 2 \cdot (3^m)^2 &\ge 0 \\[8pt] 3 \cdot (3^m)^2 - 10 \cdot 3^m + 3 &\ge 0 \end{aligned} $$ Wprowadzamy zmienną pomocniczą $t = 3^m$, gdzie z własności funkcji wykładniczej $t > 0$: $$3t^2 - 10t + 3 \ge 0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego: $$ \begin{aligned} \Delta_t &= (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 \\[8pt] &= 100 - 36 = 64 \\[8pt] \sqrt{\Delta_t} &= \sqrt{64} = 8 \end{aligned} $$ Obliczamy pierwiastki: $$ \begin{aligned} t_1 &= \dfrac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \\[8pt] t_2 &= \dfrac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \dfrac{18}{6} = 3 \end{aligned} $$ Wykres trójmianu to parabola skierowana ramionami w górę, co ilustruje poniższy szkic:

Rozwiązaniem nierówności dla zmiennej $t$ przy warunku $t > 0$ jest suma przedziałów: $$t \in \left(0, \dfrac{1}{3}\right] \cup [3, \infty)$$ Wracamy do podstawienia $t = 3^m$: $$ \begin{aligned} 3^m &\le \dfrac{1}{3} = 3^{-1} \implies m \le -1 \\[8pt] 3^m &\ge 3 = 3^1 \implies m \ge 1 \end{aligned} $$ Zatem zbiór wartości parametru $m$ dla podpunktu a to: $$m \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$$
Podpunkt b) Wyznaczenie parametru $m$, dla którego równanie $x^2 - (2^m - 4)x - 2 \cdot (4^{m-1} - 2^{m+1}) = 0$ ma dwa rozwiązania o różnych znakach:
Współczynniki równania to: $$a = 1, \quad b = -(2^m - 4), \quad c = -2(4^{m-1} - 2^{m+1})$$ Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania o różnych znakach wtedy i tylko wtedy, gdy: $$\begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ x_1 x_2 < 0 \end{cases}$$ Współczynnik $a = 1 \neq 0$ spełnia pierwszy warunek tożsamościowo.

Rozpatrujemy warunek iloczynu pierwiastków na podstawie wzoru Viète'a: $$x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-2(4^{m-1} - 2^{m+1})}{1} < 0$$ Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę ujemną $-2$, zmieniając zwrot nierówności na przeciwny: $$4^{m-1} - 2^{m+1} > 0$$ Przenosimy składnik na prawą stronę: $$4^{m-1} > 2^{m+1}$$ Sprowadzamy obie potęgi do wspólnej podstawy równej $2$: $$ \begin{aligned} (2^2)^{m-1} &> 2^{m+1} \\[8pt] 2^{2(m-1)} &> 2^{m+1} \\[8pt] 2^{2m-2} &> 2^{m+1} \end{aligned} $$ Podstawa potęgi $2 > 1$, więc funkcja wykładnicza jest rosnąca. Porównujemy wykładniki bez zmiany zwrotu: $$ \begin{aligned} 2m - 2 &> m + 1 \\[8pt] 2m - m &> 1 + 2 \\[8pt] m &> 3 \end{aligned} $$ Sprawdzamy warunek $\Delta > 0$: $$ \begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= [-(2^m - 4)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot [-2(4^{m-1} - 2^{m+1})] \\[8pt] &= (2^m - 4)^2 + 8(4^{m-1} - 2^{m+1}) \end{aligned} $$ Zauważmy, że dla każdego $m > 3$ wyrażenie w nawiasie jest dodatnie: $4^{m-1} - 2^{m+1} > 0$, a składnik kwadratowy spełnia $(2^m - 4)^2 \ge 0$. W rezultacie $\Delta$ jest sumą liczby nieujemnej oraz liczby ściśle dodatniej, więc: $$\Delta > 0 \quad \text{dla każdego } m > 3$$ Oznacza to, że warunek $\Delta > 0$ jest w pełni spełniony w całym wyznaczonym przedziale.

Ostatecznie zbiorem wartości parametru $m$ dla podpunktu b jest: $$m \in (3, \infty)$$

Odpowiedź:
a) $m \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$

b) $m \in (3, \infty)$

Zadanie 4

Uzasadnij, że suma wszystkich rozwiązań rzeczywistych równania $x^2 \cdot 2^x + 32 = 8x^2 + 2^{x+2}$ jest równa $3$.

Wskazówki:

Przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę równania, tak aby po prawej stronie otrzymać zero.
Rozpisz potęgę o sumie wykładników $2^{x+2}$ jako iloczyn potęg o tej samej podstawie: $2^x \cdot 2^2$.
Zastosuj metodę grupowania wyrazów, wyłączając wspólne czynniki przed nawiasy, aby zapisać lewą stronę w postaci iloczynowej.
Skorzystaj z faktu, że iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Pamiętaj o różnowartościowości funkcji wykładniczej przy rozwiązywaniu równania wykładniczego.
Zsumuj wyznaczone pierwiastki rzeczywiste i porównaj wynik z tezą zadania.

Rozwiązanie krok po kroku:

Przekształcenie równania wyjściowego i rozbicie potęgi o złożonym wykładniku:
Wyjściowe równanie ma postać: $$x^2 \cdot 2^x + 32 = 8x^2 + 2^{x+2}$$ Dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych $D = \mathbb{R}$. Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę: $$x^2 \cdot 2^x + 32 - 8x^2 - 2^{x+2} = 0$$ Korzystamy z prawa działań na potęgach $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, przekształcając składnik wykładniczy: $$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$$ Wstawiamy otrzymaną postać do równania: $$x^2 \cdot 2^x - 4 \cdot 2^x - 8x^2 + 32 = 0$$
Grupowanie wyrazów i doprowadzenie równania do postaci iloczynowej:
Grupujemy ze sobą pierwsze dwa wyrazy oraz kolejne dwa wyrazy: $$\begin{aligned} (x^2 \cdot 2^x - 4 \cdot 2^x) - (8x^2 - 32) &= 0 \\[8pt] 2^x(x^2 - 4) - 8(x^2 - 4) &= 0 \end{aligned}$$ Zauważamy wspólny czynnik $(x^2 - 4)$ w obu składnikach i wyłączamy go przed nawias: $$(x^2 - 4)(2^x - 8) = 0$$
Wyznaczenie wszystkich rozwiązań rzeczywistych i obliczenie ich sumy:
Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z nawiasów przyjmuje wartość zero: $$x^2 - 4 = 0 \quad \text{lub} \quad 2^x - 8 = 0$$ Rozwiązujemy pierwsze równanie, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $$\begin{aligned} (x - 2)(x + 2) &= 0 \\[8pt] x = 2 \quad &\text{lub} \quad x = -2 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy drugie równanie wykładnicze, sprowadzając obie strony do potęgi o podstawie $2$: $$\begin{aligned} 2^x &= 8 \\[8pt] 2^x &= 2^3 \end{aligned}$$ Z różnowartościowości funkcji wykładniczej otrzymujemy: $$x = 3$$ Równanie posiada zatem dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste: $$x_1 = -2, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 3$$ Obliczamy sumę wyznaczonych rozwiązań: $$S = (-2) + 2 + 3 = 3$$ Suma pierwiastków równania jest równa $3$, co należało wykazać.

Odpowiedź:
Rozwiązaniami równania są liczby $-2$, $2$ oraz $3$. Ich suma wynosi $(-2) + 2 + 3 = 3$, co dowodzi prawdziwości tezy.

Zadanie 5

Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań podanych równań w określonych przedziałach:

a) $3^{1 + \cos 2x} + 9^{\sin^2 x} = 10$ w przedziale $\langle -\pi, \pi \rangle$,

b) $4^{\mathrm{tg}^2 x} = 8 - 2^{\frac{1}{\cos^2 x}}$ w zbiorze $\left(-\dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right)$.

Wskazówki:

W podpunkcie a) zastosuj tożsamości trygonometryczne dla podwojonego kąta oraz jedynki trygonometrycznej: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ oraz $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, aby sprowadzić wykładniki do jednej wspólnej funkcji $\cos^2 x$.
Wprowadź zmienną pomocniczą $t = 3^{2\cos^2 x}$ i rozwiąż powstałe równanie kwadratowe.
W podpunkcie b) wykorzystaj tożsamość wiążącą tangens i cosinus: $1 + \mathrm{tg}^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$, rozpisując potęgę $2^{\frac{1}{\cos^2 x}} = 2 \cdot 2^{\mathrm{tg}^2 x}$.
Wprowadź zmienną pomocniczą $u = 2^{\mathrm{tg}^2 x}$ ($u \geqslant 1$) i odczytaj rozwiązania podstawowych równań trygonometrycznych w zadanych przedziałach.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $3^{1 + \cos 2x} + 9^{\sin^2 x} = 10$ w zbiorze $\langle -\pi, \pi \rangle$:
Przekształcamy wykładniki potęg, wyrażając je za pomocą $\cos^2 x$: $$1 + \cos 2x = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$$ $$9^{\sin^2 x} = (3^2)^{\sin^2 x} = 3^{2\sin^2 x} = 3^{2(1 - \cos^2 x)} = 3^{2 - 2\cos^2 x} = \dfrac{3^2}{3^{2\cos^2 x}} = \dfrac{9}{3^{2\cos^2 x}}$$ Równanie przyjmuje postać: $$3^{2\cos^2 x} + \dfrac{9}{3^{2\cos^2 x}} = 10$$ Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą $t = 3^{2\cos^2 x}$. Ponieważ $\cos^2 x \in \langle 0, 1 \rangle$, to $2\cos^2 x \in \langle 0, 2 \rangle$, co oznacza, że $t \in \langle 3^0, 3^2 \rangle = \langle 1, 9 \rangle$: $$\begin{aligned} t + \dfrac{9}{t} &= 10 \quad \Big/ \cdot t \\[8pt] t^2 + 9 &= 10t \\[8pt] t^2 - 10t + 9 &= 0 \end{aligned}$$ Wyznaczamy wyróżnik $\Delta$ oraz pierwiastki równania: $$\begin{aligned} \Delta &= (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= 8 \\[8pt] t_1 &= \dfrac{10 - 8}{2} = 1 \in \langle 1, 9 \rangle \\[8pt] t_2 &= \dfrac{10 + 8}{2} = 9 \in \langle 1, 9 \rangle \end{aligned}$$ Wracamy do podstawienia:
1. Gdy $t = 1$: $$3^{2\cos^2 x} = 1 = 3^0 \implies 2\cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0$$ W przedziale $\langle -\pi, \pi \rangle$ wartością $\cos x = 0$ odpowiadają argumenty: $$x = -\dfrac{\pi}{2} \quad \text{lub} \quad x = \dfrac{\pi}{2}$$

2. Gdy $t = 9$: $$3^{2\cos^2 x} = 9 = 3^2 \implies 2\cos^2 x = 2 \implies \cos^2 x = 1 \implies \cos x = 1 \quad \text{lub} \quad \cos x = -1$$ W przedziale $\langle -\pi, \pi \rangle$: $$\cos x = 1 \implies x = 0$$ $$\cos x = -1 \implies x = -\pi \quad \text{lub} \quad x = \pi$$
Zaznaczamy wyznaczone rozwiązania na wykresie funkcji $y = \cos x$ w przedziale $\langle -\pi, \pi \rangle$:

Ostatecznie dla podpunktu a) zbiór rozwiązań tworzą liczby $x \in \left\{-\pi, -\dfrac{\pi}{2}, 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi\right\}$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $4^{\mathrm{tg}^2 x} = 8 - 2^{\frac{1}{\cos^2 x}}$ w zbiorze $\left(-\dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right)$:
Przypomnijmy podstawowy związek między funkcjami tangens i cosinus: $$1 + \mathrm{tg}^2 x = 1 + \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x}$$ Podstawiamy tę zależność do prawej strony równania: $$2^{\frac{1}{\cos^2 x}} = 2^{1 + \mathrm{tg}^2 x} = 2^1 \cdot 2^{\mathrm{tg}^2 x} = 2 \cdot 2^{\mathrm{tg}^2 x}$$ Jednocześnie lewą stronę możemy zapisać jako: $$4^{\mathrm{tg}^2 x} = (2^2)^{\mathrm{tg}^2 x} = (2^{\mathrm{tg}^2 x})^2$$ Otrzymujemy równanie o podstawie $2$: $$(2^{\mathrm{tg}^2 x})^2 = 8 - 2 \cdot 2^{\mathrm{tg}^2 x}$$ Wprowadzamy zmienną pomocniczą $u = 2^{\mathrm{tg}^2 x}$. Ponieważ $\mathrm{tg}^2 x \geqslant 0$, mamy $u \geqslant 2^0 = 1$: $$\begin{aligned} u^2 &= 8 - 2u \\[8pt] u^2 + 2u - 8 &= 0 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy równanie kwadratowe: $$\begin{aligned} \Delta &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= 6 \\[8pt] u_1 &= \dfrac{-2 - 6}{2} = -4 < 1 \quad \text{(odrzucamy)} \\[8pt] u_2 &= \dfrac{-2 + 6}{2} = 2 \geqslant 1 \quad \text{(spełnia założenie)} \end{aligned}$$ Wracamy do podstawienia dla $u = 2$: $$2^{\mathrm{tg}^2 x} = 2^1 \implies \mathrm{tg}^2 x = 1 \implies \mathrm{tg}\, x = 1 \quad \text{lub} \quad \mathrm{tg}\, x = -1$$ Wyznaczamy pierwiastki w każdym z trzech przedziałów określoności:
1. W przedziale $\left(-\dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2}\right)$: $$\mathrm{tg}\, x = -1 \implies x = -\dfrac{5\pi}{4}, \qquad \mathrm{tg}\, x = 1 \implies x = -\dfrac{3\pi}{4}$$

2. W przedziale $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$: $$\mathrm{tg}\, x = -1 \implies x = -\dfrac{\pi}{4}, \qquad \mathrm{tg}\, x = 1 \implies x = \dfrac{\pi}{4}$$

3. W przedziale $\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right)$: $$\mathrm{tg}\, x = -1 \implies x = \dfrac{3\pi}{4}, \qquad \mathrm{tg}\, x = 1 \implies x = \dfrac{5\pi}{4}$$
Ilustrujemy wyznaczone punkty na wykresie funkcji tangens w podanej dziedzinie:

Rozwiązaniem podpunktu b) jest zbiór $x \in \left\{-\dfrac{5\pi}{4}, -\dfrac{3\pi}{4}, -\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}\right\}$.

Odpowiedź:

a) $x \in \left\{-\pi, -\dfrac{\pi}{2}, 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi\right\}$

b) $x \in \left\{-\dfrac{5\pi}{4}, -\dfrac{3\pi}{4}, -\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}\right\}$

Grupa B

Zadanie 1

Wyznacz liczbę rozwiązań podanych równań w zależności od wartości parametru $m \in \mathbb{R}$:

a) $4^{|x|} = m - 2$

b) $\left|\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+1} - 1\right| = 2 - m^2$

c) $\dfrac{1}{3^{|x-4|}} = \dfrac{5}{m^2 + 1}$

Zadanie 2

Ustal wszystkie wartości parametru $k \in \mathbb{R}$, dla których dane równanie z niewiadomą $x$:

a) $|2^{x-2} - 2| - 1 = \dfrac{2k - 1}{4}$ ma dwa rozwiązania dodatnie,

b) $3^{|x+2|} - 6 = 27^{k-1}$ ma dwa rozwiązania różnych znaków.

Zadanie 3

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m \in \mathbb{R}$, dla których:

a) równanie $x^2 - 2(2^m - 1)x + 7 \cdot 2^m - 3 \cdot 4^m - 1 = 0$ ma co najmniej jedno rozwiązanie,

b) równanie $x^2 - (3^m + 2)x - 2 \cdot (9^{m-1} - 3^m) = 0$ ma dwa rozwiązania różnych znaków.

Zadanie 4

Wykaż, że suma wszystkich pierwiastków rzeczywistych równania $x^2 \cdot 3^x + 27 = 3x^2 + 3^{x+2}$ wynosi $1$.

Zadanie 5

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające poniższe równania:

a) $2^{3 - 2\cos 2x} + 16^{\cos^2 x} = 12$ w przedziale $\langle -\pi, \pi \rangle$,

b) $9^{\mathrm{tg}^2 x} = 18 - 3^{\frac{1}{\cos^2 x}}$ w zbiorze $\left(-\dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right)$.

25.6 Zastosowanie własności funkcji wykładniczej w zadaniach

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋