Nierówności wykładnicze kartkówka LiczBit

25.5 Nierówności wykładnicze

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających poniższe nierówności:

a) $\dfrac{1}{5^x} > 125$

b) $0{,}4^{3x} \geqslant 6\dfrac{1}{4}$

c) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x+1} > -\left(\dfrac{3}{2}\right)^0$

Wskazówki:

Sprowadź obie strony każdej nierówności do jednakowej podstawy potęgi, korzystając z definicji potęgi o wykładniku ujemnym oraz zamiany ułamków dziesiętnych na zwykłe.
Zwróć szczególną uwagę na wartość podstawy $a$: gdy podstawa spełnia warunek $0 < a < 1$, funkcja wykładnicza jest malejąca i przy opuszczaniu podstawy należy odwrócić zwrot nierówności na przeciwny.
Pamiętaj, że dla dowolnej liczby $a > 0$ wyrażenie $a^w$ przyjmuje wyłącznie wartości ściśle dodatnie, a dowolna niezerowa liczba podniesiona do potęgi zerowej wynosi $1$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $\dfrac{1}{5^x} > 125$:
Lewą stronę nierówności zapisujemy w postaci potęgi o podstawie $5$, stosując zależność $\dfrac{1}{a^x} = a^{-x}$: $$\dfrac{1}{5^x} = 5^{-x}$$ Prawą stronę również przedstawiamy jako potęgę liczby $5$: $$125 = 5^3$$ Wstawiamy obie postaci do nierówności: $$5^{-x} > 5^3$$ Podstawa potęgi wynosi $a = 5 > 1$, co oznacza, że funkcja wykładnicza jest rosnąca. Porównujemy wykładniki, zachowując ten sam zwrot nierówności: $$\begin{aligned} -x &> 3 \\[8pt] x &< -3 \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań jest przedział $x \in (-\infty, -3)$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $0{,}4^{3x} \geqslant 6\dfrac{1}{4}$:
Ułamek dziesiętny po lewej stronie zamieniamy na ułamek zwykły nieskracalny: $$0{,}4 = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$$ Stąd lewa strona przyjmuje postać: $$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{3x}$$ Prawą stronę zamieniamy na ułamek niewłaściwy, po czym doprowadzamy do potęgi o podstawie $\dfrac{2}{5}$: $$\begin{aligned} 6\dfrac{1}{4} &= \dfrac{25}{4} \\[8pt] &= \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 \\[8pt] &= \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2} \end{aligned}$$ Podstawiamy obie przekształcone strony do nierówności: $$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{3x} \geqslant \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2}$$ Zauważmy, że podstawa potęgi $a = \dfrac{2}{5}$ spełnia warunek $0 < a < 1$, co oznacza, że funkcja wykładnicza jest malejąca. Porównując wykładniki, odwracamy zwrot nierówności na przeciwny: $$\begin{aligned} 3x &\leqslant -2 \\[8pt] x &\leqslant -\dfrac{2}{3} \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest zbiór $x \in \left(-\infty, -\dfrac{2}{3}\right\rangle$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x+1} > -\left(\dfrac{3}{2}\right)^0$:
W pierwszej kolejności upraszczamy prawą stronę nierówności. Wiemy, że każda niezerowa liczba podniesiona do potęgi zerowej ma wartość $1$: $$\left(\dfrac{3}{2}\right)^0 = 1 \implies -\left(\dfrac{3}{2}\right)^0 = -1$$ Otrzymujemy zatem nierówność: $$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x+1} > -1$$ Z własności funkcji wykładniczej wynika, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość potęgi o podstawie dodatniej jest zawsze ściśle większa od zera: $$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x+1} > 0$$ Ponieważ dowolna liczba dodatnia jest zawsze większa od liczby ujemnej $-1$, powyższa nierówność jest tożsamościowa i zachodzi dla wszystkich argumentów rzeczywistych: $$x \in \mathbb{R}$$

Odpowiedź:
a) $x \in (-\infty, -3)$

b) $x \in \left(-\infty, -\dfrac{2}{3}\right\rangle$

c) $x \in \mathbb{R}$

Zadanie 2

Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$ spełniających poniższe nierówności wykładnicze:

a) $0,75^{3x-2} \geqslant \left(1\dfrac{1}{3}\right)^{x+6}$

b) $\left(\sqrt[3]{\dfrac{4}{25}}\right)^{x-1} < \left(\dfrac{2}{5}\right)^{x+1}$

c) $\dfrac{1}{8} \cdot (\sqrt{2})^{6-2x} \leqslant 0,25^{x+1}$

Wskazówki:

Sprowadź obie strony nierówności do potęg o tej samej podstawie, zamieniając ułamki dziesiętne na nieskracalne ułamki zwykłe oraz liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.
Pamiętaj o kluczowej własności monotoniczności funkcji wykładniczej $f(t) = a^t$:
- Gdy podstawa $a > 1$, funkcja jest rosnąca — opuszczając podstawy, zachowujemy zwrot nierówności ($a^u \geqslant a^w \iff u \geqslant w$).
- Gdy podstawa $a \in (0, 1)$, funkcja jest malejąca — opuszczając podstawy, zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny ($a^u \geqslant a^w \iff u \leqslant w$).
Skorzystaj z praw działań na potęgach: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}$, $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$ oraz $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $0,75^{3x-2} \geqslant \left(1\dfrac{1}{3}\right)^{x+6}$:
Zapisujemy ułamek dziesiętny oraz liczbę mieszaną w postaci ułamków zwykłych: $$0,75 = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}, \qquad 1\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1}$$ Podstawiamy obie wielkości do nierówności, sprowadzając obie strony do wspólnej podstawy równej $\frac{3}{4}$: $$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3x-2} \geqslant \left[\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1}\right]^{x+6}$$ Wymnażamy wykładniki po prawej stronie: $$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3x-2} \geqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-x-6}$$ Ponieważ podstawa potęgi należy do przedziału $(0, 1)$ (czyli $0 < \frac{3}{4} < 1$), funkcja wykładnicza jest ściśle malejąca. Opuszczając podstawy, zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny: $$\begin{aligned} 3x - 2 &\leqslant -x - 6 \\[8pt] 3x + x &\leqslant -6 + 2 \\[8pt] 4x &\leqslant -4 \\[8pt] x &\leqslant -1 \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań jest przedział $x \in (-\infty, -1]$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $\left(\sqrt[3]{\dfrac{4}{25}}\right)^{x-1} < \left(\dfrac{2}{5}\right)^{x+1}$:
Zauważamy, że $\dfrac{4}{25} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^2$. Pierwiastek trzeciego stopnia zapisujemy jako potęgę o wykładniku ułamkowym $\frac{1}{3}$: $$\sqrt[3]{\dfrac{4}{25}} = \left[\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\right]^{\frac{1}{3}} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{\frac{2}{3}}$$ Wstawiamy otrzymane wyrażenie do lewej strony nierówności: $$\left[\left(\dfrac{2}{5}\right)^{\frac{2}{3}}\right]^{x-1} < \left(\dfrac{2}{5}\right)^{x+1}$$ Mnożymy wykładniki po lewej stronie: $$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{\frac{2}{3}(x-1)} < \left(\dfrac{2}{5}\right)^{x+1}$$ Podstawa potęg spełnia warunek $0 < \frac{2}{5} < 1$, zatem funkcja wykładnicza jest malejąca. Zmieniamy zwrot nierówności przy porównywaniu wykładników: $$\dfrac{2}{3}(x - 1) > x + 1$$ Mnożymy obie strony nierówności przez $3$: $$\begin{aligned} 2(x - 1) &> 3(x + 1) \\[8pt] 2x - 2 &> 3x + 3 \\[8pt] 2x - 3x &> 3 + 2 \\[8pt] -x &> 5 \\[8pt] x &< -5 \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań jest przedział $x \in (-\infty, -5)$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $\dfrac{1}{8} \cdot (\sqrt{2})^{6-2x} \leqslant 0,25^{x+1}$:
Sprowadzamy wszystkie występujące potęgi do wspólnej podstawy równej $2$. Wykorzystujemy podstawowe zależności: $$\dfrac{1}{8} = 2^{-3}, \qquad \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}, \qquad 0,25 = \dfrac{1}{4} = 2^{-2}$$ Przekształcamy lewą stronę nierówności: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{8} \cdot (\sqrt{2})^{6-2x} &= 2^{-3} \cdot \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{6-2x} \\[8pt] &= 2^{-3} \cdot 2^{\frac{1}{2}(6-2x)} \\[8pt] &= 2^{-3} \cdot 2^{3-x} \\[8pt] &= 2^{-3 + 3 - x} \\[8pt] &= 2^{-x} \end{aligned}$$ Przekształcamy prawą stronę nierówności: $$0,25^{x+1} = \left(2^{-2}\right)^{x+1} = 2^{-2(x+1)} = 2^{-2x-2}$$ Zapisujemy nierówność z potęgami o podstawie $2$: $$2^{-x} \leqslant 2^{-2x-2}$$ Podstawa potęgi wynosi $2 > 1$, co oznacza, że funkcja wykładnicza jest ściśle rosnąca. Przyrównując wykładniki, zachowujemy zwrot nierówności: $$\begin{aligned} -x &\leqslant -2x - 2 \\[8pt] -x + 2x &\leqslant -2 \\[8pt] x &\leqslant -2 \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań jest przedział $x \in (-\infty, -2]$.

Odpowiedź:
a) $x \in (-\infty, -1]$

b) $x \in (-\infty, -5)$

c) $x \in (-\infty, -2]$

Zadanie 3

Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$ spełniających każdą z poniższych nierówności:

a) $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-2} \le 1{,}25^{|x-3|}$

b) $(3\sqrt{3})^{|x+2|} < 27$

c) $\left(1\dfrac{7}{9}\right)^{|1-x|} - \left(\dfrac{4}{3}\right)^{3|x-1|} \ge 0$

d) $8 \cdot (\sqrt{2})^{|x+1|} \ge (2\sqrt{2})^{|-x-1|}$

Wskazówki:

Sprowadź obie strony każdej nierówności do potęg o identycznej podstawie $a$.
Jeżeli podstawa potęgi jest większa od jedności ($a > 1$), funkcja wykładnicza $f(t) = a^t$ jest rosnąca – przy opuszczaniu podstaw zachowujemy zwrot nierówności między wykładnikami: $a^u \le a^w \iff u \le w$.
Skorzystaj z własności wartości bezwzględnej: $|-w| = |w|$, w szczególności $|a - x| = |x - a|$, oraz pamiętaj, że dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi $|w| \ge 0$.
Dla $c > 0$ nierówność $|w| \le c$ jest równoważna podwójnej nierówności $-c \le w \le c$, natomiast $|w| \ge c$ oznacza alternatywę: $w \ge c$ lub $w \le -c$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-2} \le 1{,}25^{|x-3|}$:
Przekształcamy lewą stronę nierówności, korzystając z definicji potęgi o wykładniku ujemnym oraz zamieniając ułamek zwykły na ułamek dziesiętny: $$ \begin{aligned} \left(\dfrac{4}{5}\right)^{-2} &= \left(\dfrac{5}{4}\right)^2 \\[8pt] &= (1{,}25)^2 \end{aligned} $$ Wstawiamy otrzymane wyrażenie do nierówności: $$(1{,}25)^2 \le 1{,}25^{|x-3|}$$ Podstawa potęgi wynosi $a = 1{,}25$. Ponieważ $1{,}25 > 1$, funkcja wykładnicza jest ściśle rosnąca, co pozwala porównać wykładniki z zachowaniem kierunku nierówności: $$2 \le |x-3| \iff |x-3| \ge 2$$ Rozpisujemy nierówność z wartością bezwzględną na alternatywę dwóch przypadków: $$ \begin{aligned} x - 3 \ge 2 \quad &\implies \quad x \ge 5 \\[8pt] x - 3 \le -2 \quad &\implies \quad x \le 1 \end{aligned} $$ Zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów: $$x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty)$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $(3\sqrt{3})^{|x+2|} < 27$:
Zapisujemy podstawę lewej strony oraz prawą stronę nierówności jako potęgi liczby $3$: $$ \begin{aligned} 3\sqrt{3} &= 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} \\[8pt] 27 &= 3^3 \end{aligned} $$ Upraszczamy lewą stronę, mnożąc wykładniki: $$(3\sqrt{3})^{|x+2|} = \left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{|x+2|} = 3^{\frac{3}{2}|x+2|}$$ Zapisujemy nierówność o jednakowych podstawach: $$3^{\frac{3}{2}|x+2|} < 3^3$$ Podstawa potęgi $a = 3$ jest większa od $1$, więc porównujemy wykładniki bez zmiany zwrotu: $$\dfrac{3}{2}|x+2| < 3$$ Mnożymy obie strony przez $\dfrac{2}{3}$: $$|x+2| < 2$$ Odległość liczby $x$ od $-2$ na osi liczbowej jest mniejsza od $2$, co zapisujemy jako nierówność podwójną: $$-2 < x + 2 < 2$$ Odejmujemy $2$ od każdej ze stron: $$-4 < x < 0$$ Zbiorem rozwiązań jest przedział: $$x \in (-4, 0)$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $\left(1\dfrac{7}{9}\right)^{|1-x|} - \left(\dfrac{4}{3}\right)^{3|x-1|} \ge 0$:
Przenosimy drugi składnik na prawą stronę: $$\left(1\dfrac{7}{9}\right)^{|1-x|} \ge \left(\dfrac{4}{3}\right)^{3|x-1|}$$ Zauważamy, że z własności wartości bezwzględnej zachodzi tożsamość: $$|1-x| = |-(x-1)| = |x-1|$$ Przekształcamy liczbę mieszaną $1\dfrac{7}{9}$ na ułamek niewłaściwy i zapisujemy go jako potęgę o podstawie $\dfrac{4}{3}$: $$1\dfrac{7}{9} = \dfrac{16}{9} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^2$$ Lewa strona przyjmuje postać: $$\left(1\dfrac{7}{9}\right)^{|1-x|} = \left(\left(\dfrac{4}{3}\right)^2\right)^{|x-1|} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^{2|x-1|}$$ Wracamy do nierówności: $$\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2|x-1|} \ge \left(\dfrac{4}{3}\right)^{3|x-1|}$$ Ponieważ podstawa $\dfrac{4}{3} > 1$, porównujemy wykładniki: $$2|x-1| \ge 3|x-1|$$ Odejmujemy $2|x-1|$ od obu stron: $$0 \ge |x-1| \iff |x-1| \le 0$$ Z definicji wartości bezwzględnej dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $|x-1| \ge 0$. Wobec tego nierówność $|x-1| \le 0$ jest spełniona wyłącznie w przypadku równości z zerem: $$|x-1| = 0 \iff x = 1$$ Jedynym rozwiązaniem jest liczba $x = 1$ (zapis zbioru: $x \in \{1\}$).
Podpunkt d) Rozwiązujemy nierówność $8 \cdot (\sqrt{2})^{|x+1|} \ge (2\sqrt{2})^{|-x-1|}$:
Z własności wartości bezwzględnej mamy: $$|-x-1| = |-(x+1)| = |x+1|$$ Sprowadzamy obie strony nierówności do potęg o podstawie $2$. Przekształcamy lewą stronę: $$ \begin{aligned} 8 \cdot (\sqrt{2})^{|x+1|} &= 2^3 \cdot \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{|x+1|} \\[8pt] &= 2^3 \cdot 2^{\frac{1}{2}|x+1|} \\[8pt] &= 2^{3 + \frac{1}{2}|x+1|} \end{aligned} $$ Przekształcamy prawą stronę nierówności: $$ \begin{aligned} 2\sqrt{2} &= 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \\[8pt] (2\sqrt{2})^{|-x-1|} &= \left(2^{\frac{3}{2}}\right)^{|x+1|} = 2^{\frac{3}{2}|x+1|} \end{aligned} $$ Zapisujemy nierówność o wspólnej podstawie: $$2^{3 + \frac{1}{2}|x+1|} \ge 2^{\frac{3}{2}|x+1|}$$ Podstawa $2 > 1$, zatem funkcja wykładnicza jest rosnąca i porównujemy wykładniki: $$3 + \dfrac{1}{2}|x+1| \ge \dfrac{3}{2}|x+1|$$ Odejmujemy $\dfrac{1}{2}|x+1|$ od obu stron: $$ \begin{aligned} 3 &\ge \dfrac{3}{2}|x+1| - \dfrac{1}{2}|x+1| \\[8pt] 3 &\ge |x+1| \iff |x+1| \le 3 \end{aligned} $$ Rozpisujemy nierówność podwójną: $$-3 \le x + 1 \le 3$$ Odejmujemy $1$ od wszystkich stron: $$-4 \le x \le 2$$ Zbiorem rozwiązań jest przedział: $$x \in [-4, 2]$$

Odpowiedź:
a) $x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty)$

b) $x \in (-4, 0)$

c) $x = 1$

d) $x \in [-4, 2]$

Zadanie 4

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające poniższe nierówności wykładnicze:

a) $9^{x^2 + 3x} < \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 9}$

b) $0,4^{x^2} < \dfrac{125}{8} \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^{4x}$

c) $9^{x^2} \cdot \left(\dfrac{1}{27}\right)^x < 81^{x+1}$

Wskazówki:

Sprowadź obie strony każdej nierówności do potęg o identycznej podstawie, korzystając z podstawowych praw działań na potęgach: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ oraz $\left(\dfrac{1}{a}\right)^n = a^{-n}$.
Zwróć szczególną uwagę na podstawę potęgi $a$:
- Gdy $a > 1$, funkcja wykładnicza jest rosnąca, więc przy porównywaniu wykładników zwrot nierówności pozostaje bez zmian.
- Gdy $0 < a < 1$, funkcja wykładnicza jest malejąca, więc przy opuszczaniu podstawy należy bezwzględnie zmienić zwrot nierówności na przeciwny.
Rozwiąż otrzymane nierówności kwadratowe: wyznacz miejsca zerowe wyróżnikiem $\Delta$, naszkicuj parabolę i odczytaj odpowiedni przedział liczbowy.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $9^{x^2 + 3x} < \left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 - 9}$:
Wszystkie wykładniki są wielomianami, dlatego dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych $D = \mathbb{R}$.

Sprowadzamy obie strony nierówności do wspólnej podstawy równej $3$. Ponieważ $9 = 3^2$ oraz $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, otrzymujemy: $$\begin{aligned} (3^2)^{x^2 + 3x} &< (3^{-1})^{x^2 - 9} \\[8pt] 3^{2(x^2 + 3x)} &< 3^{-(x^2 - 9)} \\[8pt] 3^{2x^2 + 6x} &< 3^{-x^2 + 9} \end{aligned}$$ Podstawa potęgi wynosi $3$ i jest większa od $1$ ($a > 1$), co oznacza, że funkcja wykładnicza jest ściśle rosnąca. Porównujemy wykładniki bez zmiany zwrotu nierówności: $$\begin{aligned} 2x^2 + 6x &< -x^2 + 9 \\[8pt] 3x^2 + 6x - 9 &< 0 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony nierówności przez $3$: $$x^2 + 2x - 3 < 0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego: $$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$\sqrt{\Delta} = 4$$ $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-2 - 4}{2 \cdot 1} = \dfrac{-6}{2} = -3 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-2 + 4}{2 \cdot 1} = \dfrac{2}{2} = 1 \end{aligned}$$ Współczynnik przy $x^2$ wynosi $1 > 0$, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości ujemne trójmian przyjmuje dla argumentów leżących pomiędzy miejscami zerowymi:

Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest: $$x \in (-3, 1)$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $0,4^{x^2} < \frac{125}{8} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{4x}$:
Dziedziną nierówności jest zbiór $D = \mathbb{R}$.

Zauważamy, że ułamek dziesiętny po skróceniu wynosi $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Przekształcamy czynnik liczbowy z prawej strony, zapisując go jako potęgę ułamka $\frac{2}{5}$: $$\dfrac{125}{8} = \left(\dfrac{5}{2}\right)^3 = \left(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1}\right)^3 = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3}$$ Podstawiamy przekształcone wyrażenia do wyjściowej nierówności: $$\begin{aligned} \left(\dfrac{2}{5}\right)^{x^2} &< \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3} \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^{4x} \\[8pt] \left(\dfrac{2}{5}\right)^{x^2} &< \left(\dfrac{2}{5}\right)^{4x - 3} \end{aligned}$$ Podstawa potęgi należy do przedziału $(0, 1)$, ponieważ $a = \frac{2}{5} = 0,4$. Wobec tego funkcja wykładnicza jest ściśle malejąca – opuszczając podstawę, zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny: $$\begin{aligned} x^2 &> 4x - 3 \\[8pt] x^2 - 4x + 3 &> 0 \end{aligned}$$ Obliczamy wyróżnik i wyznaczamy miejsca zerowe: $$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$ $$\sqrt{\Delta} = 2$$ $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-(-4) - 2}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 - 2}{2} = 1 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-(-4) + 2}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 + 2}{2} = 3 \end{aligned}$$ Ramiona paraboli są skierowane w górę. Szukamy przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości ściśle dodatnie ($> 0$):

Zatem zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów: $$x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $9^{x^2} \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^x < 81^{x+1}$:
Wykładniki nie zawierają zmiennej w mianowniku, więc $D = \mathbb{R}$.

Sprowadzamy wszystkie występujące potęgi do podstawy $3$: $$\begin{aligned} 9^{x^2} &= (3^2)^{x^2} = 3^{2x^2} \\[8pt] \left(\dfrac{1}{27}\right)^x &= (3^{-3})^x = 3^{-3x} \\[8pt] 81^{x+1} &= (3^4)^{x+1} = 3^{4(x+1)} = 3^{4x + 4} \end{aligned}$$ Mnożąc potęgi o tej samej podstawie po lewej stronie, dodajemy ich wykładniki: $$\begin{aligned} 3^{2x^2} \cdot 3^{-3x} &< 3^{4x + 4} \\[8pt] 3^{2x^2 - 3x} &< 3^{4x + 4} \end{aligned}$$ Ponieważ podstawa $3 > 1$, funkcja wykładnicza jest rosnąca i zachowujemy zwrot nierówności przy porównaniu wykładników: $$\begin{aligned} 2x^2 - 3x &< 4x + 4 \\[8pt] 2x^2 - 7x - 4 &< 0 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy nierówność kwadratową za pomocą wyróżnika: $$\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$$ $$\sqrt{\Delta} = 9$$ Wyznaczamy pierwiastki trójmianu: $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-(-7) - 9}{2 \cdot 2} = \dfrac{7 - 9}{4} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2} \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-(-7) + 9}{2 \cdot 2} = \dfrac{7 + 9}{4} = \dfrac{16}{4} = 4 \end{aligned}$$ Współczynnik przy $x^2$ wynosi $2 > 0$, więc ramiona paraboli skierowane są do góry. Interesują nas wartości ujemne:

Otrzymujemy zbiór rozwiązań: $$x \in \left(-\dfrac{1}{2}, 4\right)$$

Odpowiedź:
a) $x \in (-3, 1)$

b) $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$

c) $x \in \left(-\dfrac{1}{2}, 4\right)$

Zadanie 5

Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$ spełniających podane nierówności wykładnicze:

a) $\left(\dfrac{1}{32}\right)^{x-1} \cdot 4^{2x-1} < 0{,}5^{3x+5}$

b) $\dfrac{5^{3x-2}}{25^{x+2}} < 0{,}2^{x^2}$

c) $\dfrac{16^x}{2^{x^2}} \leqslant \dfrac{0{,}5^x}{4^{x-3}}$

Wskazówki:

Sprowadź wszystkie potęgi do wspólnej podstawy, korzystając z praw działań na potęgach: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ oraz $\dfrac{1}{a^n} = a^{-n}$.
Zwróć uwagę na monotoniczność funkcji wykładniczej: gdy podstawa $a > 1$, funkcja jest ściśle rosnąca i zachowujemy zwrot nierówności ($a^{f(x)} < a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$).
W nierównościach kwadratowych wyznacz miejsca zerowe trójmianu i odczytaj rozwiązanie na podstawie szkicu paraboli.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $\left(\dfrac{1}{32}\right)^{x-1} \cdot 4^{2x-1} < 0{,}5^{3x+5}$:
Wszystkie wyrażenia zapisujemy jako potęgi o podstawie $2$: $$\dfrac{1}{32} = 2^{-5}, \quad 4 = 2^2, \quad 0{,}5 = \dfrac{1}{2} = 2^{-1}$$ Przekształcamy lewą stronę nierówności: $$\begin{aligned} L &= (2^{-5})^{x-1} \cdot (2^2)^{2x-1} \\[8pt] &= 2^{-5(x-1)} \cdot 2^{2(2x-1)} \\[8pt] &= 2^{-5x + 5} \cdot 2^{4x - 2} \\[8pt] &= 2^{(-5x + 5) + (4x - 2)} \\[8pt] &= 2^{-x + 3} \end{aligned}$$ Przekształcamy prawą stronę nierówności: $$\begin{aligned} P &= (2^{-1})^{3x+5} \\[8pt] &= 2^{-1 \cdot (3x+5)} \\[8pt] &= 2^{-3x - 5} \end{aligned}$$ Otrzymujemy nierówność o jednakowych podstawach: $$2^{-x + 3} < 2^{-3x - 5}$$ Ponieważ podstawa potęgi $2 > 1$, funkcja wykładnicza jest ściśle rosnąca. Porównujemy wykładniki, zachowując ten sam zwrot nierówności: $$\begin{aligned} -x + 3 &< -3x - 5 \\[8pt] -x + 3x &< -5 - 3 \\[8pt] 2x &< -8 \\[8pt] x &< -4 \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań jest przedział $x \in (-\infty, -4)$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $\dfrac{5^{3x-2}}{25^{x+2}} < 0{,}2^{x^2}$:
Wszystkie potęgi sprowadzamy do podstawy $5$: $$25 = 5^2, \quad 0{,}2 = \dfrac{1}{5} = 5^{-1}$$ Upraszczamy lewą stronę nierówności: $$\begin{aligned} L &= \dfrac{5^{3x-2}}{(5^2)^{x+2}} \\[8pt] &= \dfrac{5^{3x-2}}{5^{2(x+2)}} \\[8pt] &= \dfrac{5^{3x-2}}{5^{2x+4}} \\[8pt] &= 5^{(3x-2) - (2x+4)} \\[8pt] &= 5^{x - 6} \end{aligned}$$ Upraszczamy prawą stronę nierówności: $$\begin{aligned} P &= (5^{-1})^{x^2} \\[8pt] &= 5^{-x^2} \end{aligned}$$ Zestawiamy obie strony: $$5^{x - 6} < 5^{-x^2}$$ Podstawa potęgi wynosi $5 > 1$, więc funkcja wykładnicza rośnie: $$x - 6 < -x^2$$ Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, uzyskując nierówność kwadratową: $$x^2 + x - 6 < 0$$ Wyznaczamy wyróżnik $\Delta$ oraz pierwiastki trójmianu: $$\begin{aligned} \Delta &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) \\[8pt] &= 1 + 24 \\[8pt] &= 25 \end{aligned}$$ $$\sqrt{\Delta} = 5$$ $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-1 - 5}{2 \cdot 1} = \dfrac{-6}{2} = -3 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-1 + 5}{2 \cdot 1} = \dfrac{4}{2} = 2 \end{aligned}$$ Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a = 1 > 0$), ramiona paraboli skierowane są ku górze. Wartości ujemne trójmian przyjmuje pomiędzy miejscami zerowymi:

Rozwiązaniem nierówności jest przedział otwarty $x \in (-3, 2)$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $\dfrac{16^x}{2^{x^2}} \leqslant \dfrac{0{,}5^x}{4^{x-3}}$:
Wszystkie liczby zapisujemy w postaci potęg o podstawie $2$: $$16 = 2^4, \quad 0{,}5 = 2^{-1}, \quad 4 = 2^2$$ Upraszczamy lewą stronę nierówności: $$\begin{aligned} L &= \dfrac{(2^4)^x}{2^{x^2}} \\[8pt] &= \dfrac{2^{4x}}{2^{x^2}} \\[8pt] &= 2^{4x - x^2} \end{aligned}$$ Upraszczamy prawą stronę nierówności: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{(2^{-1})^x}{(2^2)^{x-3}} \\[8pt] &= \dfrac{2^{-x}}{2^{2(x-3)}} \\[8pt] &= \dfrac{2^{-x}}{2^{2x - 6}} \\[8pt] &= 2^{-x - (2x - 6)} \\[8pt] &= 2^{-3x + 6} \end{aligned}$$ Porównujemy potęgi o tej samej podstawie: $$2^{4x - x^2} \leqslant 2^{-3x + 6}$$ Podstawa potęgi $2 > 1$, zatem opuszczamy podstawy bez zmiany znaku nierówności: $$\begin{aligned} 4x - x^2 &\leqslant -3x + 6 \\[8pt] -x^2 + 4x + 3x - 6 &\leqslant 0 \\[8pt] -x^2 + 7x - 6 &\leqslant 0 \end{aligned}$$ Mnożymy obustronnie przez $-1$, zmieniając zwrot nierówności na przeciwny: $$x^2 - 7x + 6 \geqslant 0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego: $$\begin{aligned} \Delta &= (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \\[8pt] &= 49 - 24 \\[8pt] &= 25 \end{aligned}$$ $$\sqrt{\Delta} = 5$$ $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-(-7) - 5}{2 \cdot 1} = \dfrac{7 - 5}{2} = 1 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-(-7) + 5}{2 \cdot 1} = \dfrac{7 + 5}{2} = 6 \end{aligned}$$ Ramiona paraboli są skierowane do góry ($a = 1 > 0$). Interesują nas wartości większe bądź równe zero ($\geqslant 0$):

Zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów $x \in (-\infty, 1\rangle \cup \langle 6, +\infty)$.

Odpowiedź:
a) $x \in (-\infty, -4)$

b) $x \in (-3, 2)$

c) $x \in (-\infty, 1\rangle \cup \langle 6, +\infty)$

Grupa B

Zadanie 1

Ustal zbiory rozwiązań dla każdej z podanych nierówności wykładniczych:

a) $\dfrac{1}{2^x} \geqslant 32$

b) $0{,}75^{2x} \leqslant 1\dfrac{7}{9}$

c) $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{3x-1} > -\left(\dfrac{5}{4}\right)^0$

Zadanie 2

Rozwiąż podane nierówności wykładnicze i zapisz zbiory ich rozwiązań w postaci przedziałów:

a) $0,4^{2x-5} \geqslant 2,5^{x-1}$

b) $\left(\sqrt[3]{\dfrac{9}{16}}\right)^{x-2} < \left(\dfrac{3}{4}\right)^{x+1}$

c) $\dfrac{1}{5} \cdot (\sqrt{5})^{4-2x} \leqslant 0,04^{x-1}$

Zadanie 3

Rozwiąż w zbiorze liczb rzeczywistych następujące nierówności:

a) $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2} \le 2{,}5^{|x-1|}$

b) $(2\sqrt{2})^{|x+3|} < 8$

c) $\left(2\dfrac{1}{4}\right)^{|3-x|} - \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3|x-3|} \ge 0$

d) $27 \cdot (\sqrt{3})^{|x-2|} \ge (3\sqrt{3})^{|2-x|}$

Zadanie 4

Określ zbiór rozwiązań każdej z poniższych nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych:

a) $4^{x^2 + 2x} < \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 4}$

b) $0,2^{x^2} < 25 \cdot \left(\dfrac{1}{5}\right)^{3x}$

c) $4^{x^2} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x} < 16^{x+2}$

Zadanie 5

Określ zbiór wszystkich rozwiązań rzeczywistych dla poniższych nierówności:

a) $\left(\dfrac{1}{8}\right)^{x-3} \cdot 16^{x-2} < 0{,}25^{x-5}$

b) $\dfrac{5^{5x-2}}{25^{x+1}} < 0{,}2^{x^2}$

c) $\dfrac{16^x}{2^{x^2}} \leqslant \dfrac{0{,}5^x}{4^{x-5}}$

25.5 Nierówności wykładnicze

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋