Przekształcenia wykresów funkcji wykładniczych kartkówka LiczBit

25.3 Przekształcenia wykresów funkcji wykładniczych

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Krzywą będącą wykresem funkcji wykładniczej $f(x) = 2^x$, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych $x \in \mathbb{R}$, poddano przekształceniom geometrycznym na płaszczyźnie, uzyskując w ten sposób wykres nowej funkcji $g$. Podaj wzór funkcji $g$ w najprostszej postaci oraz scharakteryzuj krok po kroku ciąg przekształceń geometrycznych prowadzących od wykresu funkcji $f$ do wykresu funkcji $g$:

a) $g(x) = f(x - 3)$

b) $g(x) = 2 - f(-x)$

c) $g(x) = -f(x + 2) - 4$

d) $g(x) = f(3 - x) + 1$

Wskazówki:

Przekształcenie $y = f(x - p) + q$ oznacza przesunięcie równoległe wykresu o wektor $\vec{u} = [p, q]$ (o $p$ jednostek wzdłuż osi $OX$ oraz o $q$ jednostek wzdłuż osi $OY$).
Przekształcenie $y = -f(x)$ to symetria osiowa względem osi $OX$, natomiast $y = f(-x)$ to symetria osiowa względem osi $OY$. Złożenie obu tych symetrii daje symetrię środkową względem punktu $(0, 0)$, czyli $y = -f(-x)$.
Gdy zmienna w argumencie ma ujemny współczynnik połączony z przesunięciem, np. $f(a - x)$, zawsze wyłączamy znak minus przed nawias: $f(-(x - a))$, co pozwala jednoznacznie odczytać kolejność operacji: najpierw symetria względem osi $OY$, a następnie przesunięcie wzdłuż osi $OX$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie wzoru i opis przekształcenia dla $g(x) = f(x - 3)$:
Wychodzimy ze wzoru funkcji bazowej $f(x) = 2^x$. Zastępujemy zmienną $x$ wyrażeniem $(x - 3)$: $$g(x) = 2^{x - 3}$$ Ponieważ zmiana dotyczy wyłącznie argumentu w postaci $x - p$ dla $p = 3$, wykres funkcji $g$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego (translacji) wykresu funkcji $f$ wzdłuż osi $OX$ o $3$ jednostki w prawo, czyli o wektor: $$\vec{u} = [3, 0]$$
Podpunkt b) Wyznaczenie wzoru i opis przekształcenia dla $g(x) = 2 - f(-x)$:
Zapisujemy wyrażenie w standardowej kolejności, porządkując składniki: $$g(x) = -f(-x) + 2$$ Podstawiając $f(x) = 2^x$, otrzymujemy: $$\begin{aligned} g(x) &= -2^{-x} + 2 \\[8pt] &= 2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^x \end{aligned}$$ Opis przekształcenia możemy sformułować na dwa równoważne sposoby:

Sposób I (złożenie dwóch symetrii osiowych i przesunięcia):
1. Symetria osiowa względem osi $OY$: wykres $y = f(x)$ przechodzi w $y_1 = f(-x) = 2^{-x}$.
2. Symetria osiowa względem osi $OX$: wykres $y_1$ przechodzi w $y_2 = -f(-x) = -2^{-x}$.
3. Przesunięcie równoległe wzdłuż osi $OY$ o $2$ jednostki w górę (o wektor $\vec{u} = [0, 2]$), co daje $g(x) = -2^{-x} + 2$.

Sposób II (symetria środkowa i przesunięcie):
1. Jednoczesna zmiana znaku argumentu oraz wartości funkcji ($y = -f(-x)$) odpowiada symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych $S(0, 0)$.
2. Następnie wykonujemy przesunięcie o $2$ jednostki w górę (o wektor $\vec{u} = [0, 2]$), uzyskując ostateczny wykres funkcji $g$.
Podpunkt c) Wyznaczenie wzoru i opis przekształcenia dla $g(x) = -f(x + 2) - 4$:
Wstawiamy argument $(x + 2)$ do wzoru funkcji $f(x) = 2^x$, uwzględniając znak minus przed funkcją oraz odjęcie liczby $4$: $$g(x) = -2^{x + 2} - 4$$ Przekształcenie opisujemy wieloetapowo:

Sposób I:
1. Przesunięcie równoległe wykresu $f$ o $2$ jednostki w lewo wzdłuż osi $OX$ (o wektor $\vec{u}_1 = [-2, 0]$), co daje postać $y_1 = f(x + 2) = 2^{x + 2}$.
2. Symetria osiowa względem osi $OX$, dająca $y_2 = -f(x + 2) = -2^{x + 2}$.
3. Przesunięcie równoległe o $4$ jednostki w dół wzdłuż osi $OY$ (o wektor $\vec{u}_2 = [0, -4]$), co daje $g(x) = -2^{x + 2} - 4$.

Sposób II:
1. Odbicie symetryczne wykresu $f$ względem osi $OX$, dające $y_1 = -f(x) = -2^x$.
2. Przesunięcie równoległe powstałego wykresu o wektor $\vec{u} = [-2, -4]$ (czyli o $2$ jednostki w lewo i $4$ jednostki w dół), ponieważ w miejsce $x$ trafia $(x + 2)$, a od całości odejmujemy $4$.
Podpunkt d) Wyznaczenie wzoru i opis przekształcenia dla $g(x) = f(3 - x) + 1$:
W miejsce zmiennej $x$ wprowadzamy wyrażenie $(3 - x)$: $$\begin{aligned} g(x) &= 2^{3 - x} + 1 \\[8pt] &= 2^{-(x - 3)} + 1 \end{aligned}$$ Kluczem do poprawnej interpretacji geometrycznej jest zapisanie argumentu w postaci ze znakiem minus wyłączonym przed nawias: $3 - x = -(x - 3)$.

Sposób I (najpierw symetria względem osi OY, potem przesunięcie):
1. Symetria osiowa względem osi $OY$: zamiana $x$ na $-x$ tworzy funkcję $y_1 = f(-x) = 2^{-x}$.
2. Przesunięcie równoległe wzdłuż osi $OX$ o $3$ jednostki w prawo (o wektor $\vec{u}_1 = [3, 0]$): podstawienie $(x - 3)$ w miejsce zmiennej $x$ w funkcji $y_1$ daje $y_2 = f(-(x - 3)) = f(3 - x) = 2^{3 - x}$.
3. Przesunięcie równoległe wzdłuż osi $OY$ o $1$ jednostkę w górę (o wektor $\vec{u}_2 = [0, 1]$), co prowadzi do ostatecznego wykresu $g(x) = 2^{3 - x} + 1$.

Sposób II (najpierw przesunięcie w lewo, potem symetria względem osi OY):
1. Przesunięcie równoległe wykresu $f$ wzdłuż osi $OX$ o $3$ jednostki w lewo (o wektor $\vec{u}_1 = [-3, 0]$), co daje $y_1 = f(x + 3) = 2^{x + 3}$.
2. Symetria osiowa względem osi $OY$: zastąpienie zmiennej $x$ przez jej liczbę przeciwną $-x$ przekształca wyrażenie w $y_2 = f(-x + 3) = f(3 - x) = 2^{3 - x}$.
3. Przesunięcie wzdłuż osi $OY$ o $1$ jednostkę w górę (o wektor $\vec{u}_2 = [0, 1]$), dające $g(x) = 2^{3 - x} + 1$.

Odpowiedź:
a) $g(x) = 2^{x - 3}$ – przesunięcie równoległe o $3$ jednostki w prawo wzdłuż osi $OX$ (o wektor $\vec{u} = [3, 0]$).

b) $g(x) = -2^{-x} + 2$ – symetria środkowa względem punktu $(0, 0)$ (lub symetria względem osi $OY$, a potem względem osi $OX$) oraz przesunięcie o $2$ jednostki w górę wzdłuż osi $OY$ (o wektor $\vec{u} = [0, 2]$).

c) $g(x) = -2^{x + 2} - 4$ – przesunięcie o $2$ jednostki w lewo wzdłuż osi $OX$, symetria osiowa względem osi $OX$ oraz przesunięcie o $4$ jednostki w dół wzdłuż osi $OY$ (równoważnie: symetria względem osi $OX$, a następnie przesunięcie o wektor $\vec{u} = [-2, -4]$).

d) $g(x) = 2^{3 - x} + 1$ – symetria osiowa względem osi $OY$, przesunięcie o $3$ jednostki w prawo wzdłuż osi $OX$ oraz przesunięcie o $1$ jednostkę w górę wzdłuż osi $OY$.

Zadanie 2

Dla podanych funkcji wykładniczych określonych w zbiorze liczb rzeczywistych sporządź tabelę wartości i naszkicuj ich wykresy w kartezjańskim układzie współrzędnych, a następnie szczegółowo opisz ich własności (dziedzinę, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe, współrzędne punktu przecięcia z osią $OY$ oraz równanie asymptoty poziomej):

a) $f(x) = 2^{2-x} + 1$

b) $g(x) = 4 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-x+1}$

Wskazówki:

Przekształcenie wykładnika: wyrażenie z minusem przy zmiennej $x$ w potędze można zapisać za pomocą ułamka odwrotnego lub rozbić na iloczyn potęg: $a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x$. W szczególności: $$a^{k-x} = a^{-(x-k)} = \left(\frac{1}{a}\right)^{x-k}$$ Dla $a > 1$ funkcja $a^x$ rośnie, lecz po zmianie znaku wykładnika funkcja $a^{-x}$ staje się funkcją malejącą.
Przesunięcie o wektor: wykres funkcji $y = a^{x-p} + q$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu bazowego $y = a^x$ o wektor $\vec{v} = [p, q]$. Równanie poziomej asymptoty przyjmuje wówczas postać $y = q$, a zbiór wartości ulega przesunięciu do przedziału $(q, +\infty)$ (lub $(-\infty, q)$, jeśli przed potęgą występuje znak minus).
Miejsce zerowe wyznaczamy, przyrównując wzór funkcji do zera: $f(x) = 0$. Rozwiązujemy powstałe równanie wykładnicze, sprowadzając obie strony do wspólnej podstawy.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Przekształcenie wzoru, tabela wartości i wykres funkcji $f(x) = 2^{2-x} + 1$:
Zapisujemy funkcję bazową za pomocą potęgi o podstawie $2$ lub $\frac{1}{2}$: $$\begin{aligned} f(x) &= 2^{2-x} + 1 \\[8pt] &= 2^{-(x-2)} + 1 \\[8pt] &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-2} + 1 \end{aligned}$$ Krzywa powstaje przez symetrię wykresu $y = 2^x$ względem osi $OY$ (otrzymujemy $y = 2^{-x} = 0{,}5^x$), a następnie przesunięcie o wektor $\vec{v} = [2, 1]$. Obliczamy wartości dla wybranych argumentów całkowitych: $$\begin{aligned} f(-1) &= 2^{2-(-1)} + 1 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9 \\[8pt] f(0) &= 2^{2-0} + 1 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \\[8pt] f(1) &= 2^{2-1} + 1 = 2^1 + 1 = 2 + 1 = 3 \\[8pt] f(2) &= 2^{2-2} + 1 = 2^0 + 1 = 1 + 1 = 2 \\[8pt] f(3) &= 2^{2-3} + 1 = 2^{-1} + 1 = 0{,}5 + 1 = 1{,}5 \\[8pt] f(4) &= 2^{2-4} + 1 = 2^{-2} + 1 = 0{,}25 + 1 = 1{,}25 \end{aligned}$$ Tabela wartości: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline f(x) & 9 & 5 & 3 & 2 & 1{,}5 & 1{,}25 \\ \hline \end{array}$$ Wykres funkcji wraz z poziomą asymptotą $y = 1$:
Podpunkt a) Własności funkcji $f(x) = 2^{2-x} + 1$:
Wypisujemy cechy odczytane z analizy wzoru i wykresu:
- Dziedzina: $D = \mathbb{R}$.
- Zbiór wartości: Ponieważ $2^{2-x} > 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$, zachodzi: $$f(x) = 2^{2-x} + 1 > 0 + 1 = 1 \implies ZW = (1, +\infty)$$
- Monotoniczność: funkcja jest ściśle malejąca w całej dziedzinie (efekt ujemnego współczynnika przy $x$ w wykładniku, czyli podstawy $\frac{1}{2} < 1$).
- Miejsca zerowe: brak, ponieważ równanie $2^{2-x} + 1 = 0 \iff 2^{2-x} = -1$ nie posiada rozwiązań rzeczywistych.
- Punkt przecięcia z osią $OY$: podstawiamy $x = 0$: $$f(0) = 2^{2-0} + 1 = 5 \implies (0, 5)$$
- Asymptota pozioma: gdy $x \to +\infty$, wartość $2^{2-x} \to 0$, stąd prostą asymptotyczną jest $y = 1$.
Podpunkt b) Uproszczenie wzoru, tabela wartości i wykres funkcji $g(x) = 4 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-x+1}$:
Przekształcamy składnik potęgowy, stosując własność $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$: $$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-x+1} &= \left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}\right]^{x-1} \\[8pt] &= 2^{x-1} \end{aligned}$$ Podstawiamy uproszczoną potęgę do wzoru funkcji: $$g(x) = 4 - 2^{x-1} = -2^{x-1} + 4$$ Wykres powstaje przez odbicie symetryczne funkcji $y = 2^{x-1}$ względem osi $OX$ (znak minus przed potęgą) oraz przesunięcie o $4$ jednostki w górę. Obliczamy wartości w punktach węzłowych: $$\begin{aligned} g(-1) &= 4 - 2^{-1-1} = 4 - 2^{-2} = 4 - 0{,}25 = 3{,}75 \\[8pt] g(0) &= 4 - 2^{0-1} = 4 - 2^{-1} = 4 - 0{,}5 = 3{,}5 \\[8pt] g(1) &= 4 - 2^{1-1} = 4 - 2^0 = 4 - 1 = 3 \\[8pt] g(2) &= 4 - 2^{2-1} = 4 - 2^1 = 4 - 2 = 2 \\[8pt] g(3) &= 4 - 2^{3-1} = 4 - 2^2 = 4 - 4 = 0 \\[8pt] g(4) &= 4 - 2^{4-1} = 4 - 2^3 = 4 - 8 = -4 \end{aligned}$$ Tabela wartości: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline g(x) & 3{,}75 & 3{,}5 & 3 & 2 & 0 & -4 \\ \hline \end{array}$$ Wykres funkcji wraz z asymptotą $y = 4$ i zaznaczonym miejscem zerowym:
Podpunkt b) Własności funkcji $g(x) = 4 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-x+1}$:
Wypisujemy własności analityczne i geometryczne:
- Dziedzina: $D = \mathbb{R}$.
- Zbiór wartości: Ponieważ $2^{x-1} > 0$, mnożenie przez $-1$ odwraca nierówność: $-2^{x-1} < 0$. Dodając $4$, otrzymujemy: $$g(x) = 4 - 2^{x-1} < 4 \implies ZW = (-\infty, 4)$$
- Monotoniczność: funkcja jest ściśle malejąca (funkcja $2^{x-1}$ rośnie, zatem przeciwna do niej $-2^{x-1}$ maleje w całej dziedzinie).
- Miejsce zerowe: wyznaczamy z warunku $g(x) = 0$: $$\begin{aligned} 4 - 2^{x-1} &= 0 \\[8pt] 2^{x-1} &= 4 \\[8pt] 2^{x-1} &= 2^2 \\[8pt] x - 1 &= 2 \\[8pt] x &= 3 \end{aligned}$$ Miejscem zerowym jest liczba $x = 3$ (punkt $(3, 0)$).
- Punkt przecięcia z osią $OY$: dla $x = 0$: $$g(0) = 4 - 2^{-1} = 4 - 0{,}5 = 3{,}5 \implies (0; 3{,}5)$$
- Asymptota pozioma: dla $x \to -\infty$ składnik $2^{x-1} \to 0$, stąd asymptotą poziomą jest prosta $y = 4$.

Odpowiedź:
a) $f(x) = 2^{2-x} + 1$: $D = \mathbb{R}$, $ZW = (1, +\infty)$, funkcja malejąca, brak miejsc zerowych, punkt przecięcia z osią $OY$: $(0, 5)$, asymptota pozioma: $y = 1$.

b) $g(x) = 4 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-x+1}$: $D = \mathbb{R}$, $ZW = (-\infty, 4)$, funkcja malejąca, miejsce zerowe: $x = 3$, punkt przecięcia z osią $OY$: $(0; 3{,}5)$, asymptota pozioma: $y = 4$.

Zadanie 3

Wykres funkcji wykładniczej $f(x) = 3^x$ poddano najpierw przesunięciu równoległemu o wektor $\vec{v} = [-2, -1]$, a następnie tak otrzymaną krzywą przekształcono przez symetrię osiową względem osi rzędnych ($OY$), uzyskując ostatecznie wykres pewnej funkcji $g$.

a) Wyznacz wzór analityczny funkcji $g$ i sporządź jej staranny wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych.

b) Oblicz współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji $g$ z osią $OY$.

c) Rozstrzygnij, czy punkt $P = \left(-58,\, 27^{20} - 5^0\right)$ należy do wykresu funkcji $g$.

Wskazówki:

Przesunięcie równoległe wykresu funkcji $y = f(x)$ o wektor $\vec{v} = [p, q]$ daje wykres funkcji określonej wzorem $y = f(x - p) + q$. W przypadku współrzędnych $p = -2$ i $q = -1$ argument funkcji zostaje zastąpiony przez $x - (-2) = x + 2$, a od całej wartości odejmujemy $1$.
Symetria osiowa względem osi rzędnych ($OY$), oznaczana jako $S_{OY}$, przekształca funkcję $y = f_1(x)$ w funkcję $y = f_1(-x)$ – zmieniamy znak wyłącznie przy argumencie $x$.
Punkt wspólny dowolnego wykresu z osią $OY$ ma zawsze odciętą równą $x = 0$. Wystarczy obliczyć wartość $g(0)$.
Punkt o danych współrzędnych należy do wykresu funkcji, gdy po podstawieniu jego pierwszej współrzędnej do wzoru funkcji otrzymamy dokładnie wartość drugiej współrzędnej. Skorzystaj z praw działań na potęgach: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ oraz $a^0 = 1$ dla $a \neq 0$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie wzoru analitycznego funkcji $g$ oraz jej szkic:
Wychodzimy z wyjściowego wzoru funkcji wykładniczej: $$f(x) = 3^x$$
Etap 1: Przesunięcie równoległe o wektor $\vec{v} = [-2, -1]$:
Zgodnie z regułą translacji wykresu o wektor $\vec{v} = [p, q]$, współrzędna pozioma $p = -2$ powoduje przesunięcie o $2$ jednostki w lewo (podstawiamy $x - (-2) = x + 2$), a współrzędna pionowa $q = -1$ powoduje przesunięcie o $1$ jednostkę w dół: $$f_1(x) = f(x + 2) - 1 = 3^{x+2} - 1$$
Etap 2: Przekształcenie przez symetrię osiową względem osi $OY$:
W symetrii osiowej względem osi rzędnych zmieniamy znak argumentu na przeciwny ($x \mapsto -x$): $$\begin{aligned} g(x) &= f_1(-x) \\[8pt] &= 3^{-x+2} - 1 \end{aligned}$$ Wzór ten można równoważnie zapisać, wyłączając minus w wykładniku przed nawias: $$g(x) = 3^{-(x-2)} - 1 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2} - 1$$
Szkicowanie wykresu:
Wyznaczamy współrzędne kilku kluczowych punktów należących do wykresu funkcji $g$: $$\begin{aligned} g(2) &= 3^{-2+2} - 1 = 3^0 - 1 = 1 - 1 = 0 \implies (2, 0) \\[8pt] g(1) &= 3^{-1+2} - 1 = 3^1 - 1 = 3 - 1 = 2 \implies (1, 2) \\[8pt] g(0) &= 3^{-0+2} - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \implies (0, 8) \\[8pt] g(3) &= 3^{-3+2} - 1 = 3^{-1} - 1 = \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{2}{3} \implies \left(3, -\dfrac{2}{3}\right) \end{aligned}$$ Dla bardzo dużych wartości argumentu $x$ wyrażenie $3^{-x+2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-2}$ dąży do zera, dlatego wykres zbliża się od góry do prostej będącej poziomą asymptotą: $$y = -1$$ Poniższy rysunek pomocniczy ilustruje poszczególne etapy transformacji krzywej:
Podpunkt b) Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia wykresu funkcji $g$ z osią $OY$:
Punkt przecięcia z pionową osią układu współrzędnych ma odciętą równą $x = 0$. Wstawiamy tę wartość do wyznaczonego wzoru funkcji: $$\begin{aligned} g(0) &= 3^{-0+2} - 1 \\[8pt] &= 3^2 - 1 \\[8pt] &= 9 - 1 \\[8pt] &= 8 \end{aligned}$$ Punktem wspólnym wykresu funkcji $g$ oraz osi $OY$ jest zatem: $$(0, 8)$$
Podpunkt c) Badanie przynależności punktu $P = \left(-58,\, 27^{20} - 5^0\right)$ do wykresu funkcji $g$:
Punkt $P(x_P, y_P)$ leży na wykresie funkcji $g$, gdy spełniona jest równość: $$g(x_P) = y_P$$ Obliczamy najpierw wartość funkcji dla argumentu $x_P = -58$: $$\begin{aligned} g(-58) &= 3^{-(-58)+2} - 1 \\[8pt] &= 3^{58+2} - 1 \\[8pt] &= 3^{60} - 1 \end{aligned}$$ W kolejnym kroku przekształcamy drugą współrzędną punktu $P$, sprowadzając podstawę potęgi $27$ do potęgi liczby $3$ oraz korzystając z tożsamości $5^0 = 1$: $$\begin{aligned} y_P &= 27^{20} - 5^0 \\[8pt] &= \left(3^3\right)^{20} - 1 \\[8pt] &= 3^{3 \cdot 20} - 1 \\[8pt] &= 3^{60} - 1 \end{aligned}$$ Ponieważ zachodzi równość: $$g(-58) = 3^{60} - 1 = y_P$$ Punkt $P$ należy do wykresu funkcji $g$.

Odpowiedź:
a) $g(x) = 3^{-x+2} - 1$

b) $(0, 8)$

c) Tak, punkt $P$ należy do wykresu funkcji $g$.

Zadanie 4

Dla wszystkich liczb rzeczywistych $x \in \mathbb{R}$ zdefiniowano funkcję $f(x) = \dfrac{1}{2^x}$.

a) Naszkicuj w kartezjańskim układzie współrzędnych wykres funkcji $g(x) = f(x + 2) - 3$.
b) Oblicz wartość liczbową wyrażenia $[g(-3) \cdot g(-2)]^2$.
c) Na podstawie sporządzonego wykresu funkcji $g$ rozwiąż nierówność $g(x) > -1$.

Wskazówki:

Wzór bazowy $f(x) = \dfrac{1}{2^x}$ można zapisać w postaci potęgi o podstawie mniejszej od jeden: $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$. Wykres tej funkcji jest ściśle malejący, a osią asymptotyczną jest oś $OX$ ($y = 0$).
Przekształcenie wykresu funkcji $y = f(x)$ do postaci $y = f(x - p) + q$ odpowiada przesunięciu równoległemu o wektor $\vec{v} = [p, q]$. Zatem dla $g(x) = f(x + 2) - 3$ wektor przesunięcia wynosi $\vec{v} = [-2, -3]$ (2 jednostki w lewo oraz 3 jednostki w dół).
Wraz z punktami wykresu przesunięciu ulega również asymptota pozioma: z prostej $y = 0$ przechodzi w prostą $y = -3$.
Rozwiązanie nierówności $g(x) > -1$ na podstawie wykresu polega na wyznaczeniu tych argumentów $x$, dla których krzywa funkcji $g$ znajduje się ściśle powyżej poziomej prostej $y = -1$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza geometryczna przesunięcia wykresu:
Wyjściową funkcją jest funkcja wykładnicza $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$. Jej wykres przechodzi przez punkty $(0, 1)$, $(-1, 2)$ oraz $(-2, 4)$, a jego asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$.
Wzór funkcji $g(x)$ powstaje poprzez podstawienie $x + 2$ w miejsce argumentu oraz odjęcie liczby $3$: $$g(x) = f(x + 2) - 3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+2} - 3$$ Oznacza to przesunięcie każdego punktu wykresu funkcji $f$ o wektor $\vec{v} = [-2, -3]$:
Podpunkt a) Wyznaczenie punktów charakterystycznych i sporządzenie wykresu funkcji $g$:
Asymptota pozioma funkcji bazowej $y = 0$ po przesunięciu o $3$ jednostki w dół przyjmuje postać prostej: $$y = -3$$ Obliczamy współrzędne kilku punktów leżących na wykresie funkcji $g(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+2} - 3$: $$\begin{aligned} x = -4 &\implies g(-4) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} - 3 = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1 \\[8pt] x = -3 &\implies g(-3) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} - 3 = 2^1 - 3 = 2 - 3 = -1 \\[8pt] x = -2 &\implies g(-2) = \left(\frac{1}{2}\right)^0 - 3 = 1 - 3 = -2 \\[8pt] x = -1 &\implies g(-1) = \left(\frac{1}{2}\right)^1 - 3 = \frac{1}{2} - 3 = -2{,}5 \end{aligned}$$ Łącząc punkty gładką linią zbliżającą się od góry do asymptoty $y = -3$, uzyskujemy docelowy szkic wykresu:
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $[g(-3) \cdot g(-2)]^2$:
Wartości funkcji dla wskazanych argumentów wynoszą: $$\begin{aligned} g(-3) &= \left(\frac{1}{2}\right)^{-3+2} - 3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} - 3 = 2 - 3 = -1 \\[8pt] g(-2) &= \left(\frac{1}{2}\right)^{-2+2} - 3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{0} - 3 = 1 - 3 = -2 \end{aligned}$$ Podstawiamy otrzymane wyniki do wyrażenia głównego: $$\begin{aligned} [g(-3) \cdot g(-2)]^2 &= [(-1) \cdot (-2)]^2 \\[8pt] &= 2^2 \\[8pt] &= 4 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Rozwiązanie nierówności $g(x) > -1$:
Sposób I – Odczytanie z wykresu funkcji (metoda wymagana w poleceniu):
Rysujemy pomocniczą prostą poziomą o równaniu $y = -1$. Wykres funkcji $g$ przecina tę prostą w punkcie $(-3, -1)$.
Szukamy tych argumentów $x$, dla których wykres funkcji $g$ leży powyżej prostej $y = -1$. Ponieważ funkcja $g$ jest ściśle malejąca, jej wartości są większe od $-1$ dla wszystkich argumentów leżących na lewo od punktu przecięcia, czyli dla $x < -3$. Ponieważ nierówność jest ostra ($>$), punkt $x = -3$ nie należy do rozwiązań: $$x \in (-\infty, -3)$$

Sposób II – Rozwiązanie algebraiczne (sprawdzenie analityczne):
Podstawiamy postać analityczną funkcji do nierówności: $$\begin{aligned} \left(\frac{1}{2}\right)^{x+2} - 3 &> -1 \\[8pt] \left(\frac{1}{2}\right)^{x+2} &> 2 \end{aligned}$$ Przedstawiamy prawą stronę jako potęgę o podstawie $\dfrac{1}{2}$: $$2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$$ Otrzymujemy nierówność wykładniczą: $$\left(\frac{1}{2}\right)^{x+2} > \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$$ Ponieważ podstawa potęgi $a = \dfrac{1}{2}$ spełnia warunek $0 < a < 1$, funkcja wykładnicza jest malejąca. Przy opuszczaniu podstawy zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny: $$\begin{aligned} x + 2 &< -1 \\[8pt] x &< -3 \end{aligned}$$ Zatem zbiór rozwiązań to: $$x \in (-\infty, -3)$$

Odpowiedź:
a) Wykres funkcji $g(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+2} - 3$ przedstawiono w kroku 2 (asymptota pozioma $y = -3$).

b) $[g(-3) \cdot g(-2)]^2 = 4$

c) Zbiorem rozwiązań nierówności jest $x \in (-\infty, -3)$

Zadanie 5

Wyznacz zbiory rozwiązań podanych nierówności, posługując się interpretacją geometryczną i sporządzając wykresy odpowiednich funkcji:

a) $2^{x-1} \leqslant 7 - x$

b) $\dfrac{-3}{x} < 3^{-x}$

c) $\left(\dfrac{3}{2}\right)^x \geqslant -x^2 + 1\frac{1}{2}x + 1$

Wskazówki:

Każdą nierówność interpretujemy geometrycznie, rozbijając ją na dwie funkcje: $f(x)$ reprezentującą lewą stronę oraz $g(x)$ reprezentującą prawą stronę.
Wyznaczamy punkty wspólne obu wykresów poprzez odgadnięcie i sprawdzenie całkowitych wartości argumentów $x$.
Wykorzystując monotoniczność funkcji (funkcja rosnąca vs funkcja malejąca), własności ramion paraboli lub obecność asymptot, ustalamy przedziały, w których wykres funkcji po lewej stronie nierówności znajduje się poniżej (dla znaku $\leqslant$ lub $<$) lub powyżej (dla znaku $\geqslant$) wykresu po prawej stronie.
W zadaniach z wyrażeniem wymiernym pamiętamy o bezwzględnym wykluczeniu zera z dziedziny ($x \neq 0$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $2^{x-1} \leqslant 7 - x$:
Wprowadzamy dwie funkcje o dziedzinie $\mathbb{R}$: $$f(x) = 2^{x-1}, \quad g(x) = 7 - x$$ Funkcja $f(x) = 2^{x-1}$ jest funkcją wykładniczą o podstawie $2 > 1$, zatem jest ściśle rosnąca.
Funkcja $g(x) = 7 - x$ jest funkcją liniową o ujemnym współczynniku kierunkowym $a = -1$, zatem jest ściśle malejąca.
Dwie funkcje o przeciwnych monotonicznościach mogą przeciąć się w co najwyżej jednym punkcie. Sprawdzamy wartość dla $x = 3$: $$\begin{aligned} f(3) &= 2^{3-1} = 2^2 = 4 \\[8pt] g(3) &= 7 - 3 = 4 \end{aligned}$$ Krzywe przecinają się dokładnie w punkcie $A = (3, 4)$.
Poszukujemy argumentów, dla których zachodzi relacja $f(x) \leqslant g(x)$, czyli wykres funkcji wykładniczej znajduje się poniżej prostej bądź styka się z nią.
Ponieważ dla $x < 3$ wartości funkcji rosnącej są mniejsze od $4$, a funkcji malejącej większe od $4$, warunek nierówności jest spełniony dla każdego $x \leqslant 3$.
Zbiorem rozwiązań jest przedział: $$x \in (-\infty, 3]$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $\dfrac{-3}{x} < 3^{-x}$:
Określamy dziedzinę nierówności ze względu na mianownik: $$x \neq 0 \implies D = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$$ Definiujemy funkcję homograficzną $f(x) = -\dfrac{3}{x}$ oraz funkcję wykładniczą $g(x) = 3^{-x} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x$.
Rozpatrujemy dwa rozłączne przedziały dziedziny:
• Dla $x \in (0, \infty)$:
Wyrażenie $f(x) = -\dfrac{3}{x}$ przyjmuje wyłącznie wartości ujemne ($f(x) < 0$), podczas gdy funkcja wykładnicza przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie ($g(x) > 0$). Relacja $f(x) < g(x)$ zachodzi więc dla każdego argumentu $x > 0$.
• Dla $x \in (-\infty, 0)$:
Obie funkcje przyjmują wartości ściśle dodatnie. Sprawdzamy punkt wspólny dla $x = -1$: $$\begin{aligned} f(-1) &= -\dfrac{3}{-1} = 3 \\[8pt] g(-1) &= 3^{-(-1)} = 3^1 = 3 \end{aligned}$$ Krzywe przecinają się w punkcie $P = (-1, 3)$.
W przedziale $(-\infty, 0)$ funkcja $f(x) = -\dfrac{3}{x}$ jest ściśle rosnąca, natomiast funkcja $g(x) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ jest ściśle malejąca.
W konsekwencji dla $x < -1$ zachodzi $f(x) < 3 < g(x)$ (nierówność jest spełniona), a dla $x \in (-1, 0)$ zachodzi $f(x) > 3 > g(x)$.
Łącząc oba zbiory, otrzymujemy: $$x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $\left(\dfrac{3}{2}\right)^x \geqslant -x^2 + 1\frac{1}{2}x + 1$:
Wprowadzamy funkcję wykładniczą $f(x) = \left(\dfrac{3}{2}\right)^x$ oraz funkcję kwadratową: $$g(x) = -x^2 + \dfrac{3}{2}x + 1$$ Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli $W = (p, q)$: $$\begin{aligned} p &= -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{\frac{3}{2}}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{3}{4} \\[8pt] q &= g\left(\dfrac{3}{4}\right) = -\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{4} + 1 = -\dfrac{9}{16} + \dfrac{18}{16} + \dfrac{16}{16} = \dfrac{25}{16} = 1\dfrac{9}{16} \end{aligned}$$ Ramiona paraboli są skierowane w dół ($a = -1 < 0$), a jej największa wartość to $\frac{25}{16} = 1{,}5625$.
Szukamy punktów przecięcia wykresów obu funkcji:
Dla $x = 0$: $$\begin{aligned} f(0) &= \left(\dfrac{3}{2}\right)^0 = 1 \\[8pt] g(0) &= -0^2 + \dfrac{3}{2} \cdot 0 + 1 = 1 \end{aligned}$$ Dla $x = 1$: $$\begin{aligned} f(1) &= \left(\dfrac{3}{2}\right)^1 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 \\[8pt] g(1) &= -(1)^2 + \dfrac{3}{2} \cdot 1 + 1 = -1 + 1{,}5 + 1 = 1{,}5 \end{aligned}$$ Krzywe przecinają się w punktach $(0, 1)$ oraz $(1; 1{,}5)$.
W przedziale $(0, 1)$ parabola wznosi się do wierzchołka $q = 1{,}5625$, podczas gdy funkcja wykładnicza przyjmuje mniejsze wartości (np. dla $x = 0{,}75$ zachodzi $f(0{,}75) \approx 1{,}355 < 1{,}5625$), co oznacza, że $f(x) < g(x)$.
Dla $x \leqslant 0$ oraz $x \geqslant 1$ wykres funkcji wykładniczej znajduje się powyżej wykresu paraboli lub przecina go w punktach brzegowych.
Zbiorem rozwiązań nierówności jest suma domkniętych przedziałów: $$x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$$

Odpowiedź:
a) $x \in (-\infty, 3]$

b) $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$

c) $x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$

Grupa B

Zadanie 1

Dany jest wykres funkcji wykładniczej $f(x) = 4^x$ określonej na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych $x \in \mathbb{R}$. W układzie współrzędnych wykonano serię przekształceń geometrycznych tego wykresu, uzyskując wykres funkcji $g$. Wyznacz wzór funkcji $g$ oraz podaj dokładny opis geometryczny zastosowanych przekształceń:

a) $g(x) = f(x + 4)$

b) $g(x) = 3 - f(-x)$

c) $g(x) = -f(x - 1) - 5$

d) $g(x) = f(2 - x) + 6$

Zadanie 2

W kartezjańskim układzie współrzędnych wyznacz punkty charakterystyczne i naszkicuj wykresy podanych funkcji wykładniczych, a następnie opisz ich własności (dziedzinę, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe, punkt przecięcia z osią $OY$ oraz równanie asymptoty poziomej):

a) $h(x) = 2^{1-x} + 1$

b) $p(x) = 3 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-x+1}$

Zadanie 3

Wykres funkcji wykładniczej $h(x) = 2^x$ poddano translacji o wektor $\vec{u} = [-3, -4]$. W kolejnym kroku otrzymaną w ten sposób krzywą przekształcono przez symetrię osiową względem pionowej osi $OY$, tworząc wykres nowej funkcji $g$.

a) Podaj postać analityczną wzoru funkcji $g$ oraz sporządź jej wykres w prostokątnym układzie współrzędnych.

b) Wyznacz współrzędne punktu, w którym wykres funkcji $g$ przecina oś $OY$.

c) Rozstrzygnij, czy punkt $Q = \left(-47,\, 32^{10} - 2^2\right)$ leży na wykresie funkcji $g$.

Zadanie 4

Wykres funkcji wykładniczej $h(x) = \dfrac{1}{2^x}$ określonej dla $x \in \mathbb{R}$ przekształcono geometrycznie, uzyskując funkcję $g(x) = h(x - 1) - 4$.

a) Naszkicuj wykres funkcji $g$ w układzie współrzędnych.
b) Oblicz wartość liczbową wyrażenia $[g(0) \cdot g(1)]^2$.
c) Na podstawie wykresu funkcji $g$ podaj zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $g(x) > -2$.

Zadanie 5

Rozwiąż poniższe nierówności, posługując się metodą graficzną oraz własnościami i wykresami odpowiednio dobranych funkcji:

a) $2^{x-2} \leqslant 7 - 3x$

b) $\dfrac{-8}{x} < 2^{-x}$

c) $\left(\dfrac{4}{3}\right)^x \geqslant -x^2 + 1\frac{1}{3}x + 1$

25.3 Przekształcenia wykresów funkcji wykładniczych

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋