Potęga o wykładniku rzeczywistym - powtórzenie kartkówka LiczBit

25.1 Potęga o wykładniku rzeczywistym – powtórzenie

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Oblicz wartości podanych wyrażeń:

a) $1{,}44^{\frac{1}{2}}$

b) $\left(\dfrac{32}{3125}\right)^{\frac{2}{5}}$

c) $\left(2\dfrac{1}{4}\right)^{-1{,}5}$

d) $\left(64^{-\frac{1}{3}} + 36^{-\frac{1}{2}}\right)^{-1}$

e) $\left[\left(\dfrac{64}{27}\right)^{\frac{2}{3}} - \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1}\right]^{-\frac{1}{2}}$

f) $\left[27^{\frac{2}{3}} - 0{,}04^{-\frac{1}{2}}\right]^{\frac{3}{2}}$

Wskazówki:

Wykorzystaj definicję potęgi o wykładniku wymiernym: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$.
Zastosuj regułę ujemnego wykładnika: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ oraz $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$.
Ułamki dziesiętne oraz liczby mieszane zamieniaj na ułamki zwykłe niewłaściwe przed przystąpieniem do potęgowania.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $1{,}44^{\frac{1}{2}}$:
Zamieniamy ułamek dziesiętny na ułamek zwykły, a następnie korzystamy z definicji potęgi o wykładniku $\frac{1}{2}$, która odpowiada pierwiastkowi kwadratowemu: $$\begin{aligned} 1{,}44^{\frac{1}{2}} &= \left(\dfrac{144}{100}\right)^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= \sqrt{\dfrac{144}{100}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}} \\[8pt] &= \dfrac{12}{10} = 1{,}2 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(\dfrac{32}{3125}\right)^{\frac{2}{5}}$:
Zapisujemy wykładnik $\frac{2}{5}$ jako pierwiastek piątego stopnia podniesiony do kwadratu: $$\begin{aligned} \left(\dfrac{32}{3125}\right)^{\frac{2}{5}} &= \left(\sqrt[5]{\dfrac{32}{3125}}\right)^2 \\[8pt] &= \left(\dfrac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{3125}}\right)^2 \\[8pt] &= \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{4}{25} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(2\dfrac{1}{4}\right)^{-1{,}5}$:
Liczbę mieszaną zamieniamy na ułamek niewłaściwy, a wykładnik $-1{,}5$ zapisujemy w postaci ułamka zwykłego $-\frac{3}{2}$. Minus w wykładniku odwraca ułamek bazowy: $$\begin{aligned} \left(2\dfrac{1}{4}\right)^{-1{,}5} &= \left(\dfrac{9}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} \\[8pt] &= \left(\dfrac{4}{9}\right)^{\frac{3}{2}} \\[8pt] &= \left(\sqrt{\dfrac{4}{9}}\right)^3 \\[8pt] &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27} \end{aligned}$$
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(64^{-\frac{1}{3}} + 36^{-\frac{1}{2}}\right)^{-1}$:
Najpierw wyznaczamy wartości poszczególnych składników wewnątrz nawiasu: $$\begin{aligned} 64^{-\frac{1}{3}} &= \dfrac{1}{64^{\frac{1}{3}}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{64}} = \dfrac{1}{4} \\[8pt] 36^{-\frac{1}{2}} &= \dfrac{1}{36^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{36}} = \dfrac{1}{6} \end{aligned}$$ Dodajemy ułamki, sprowadzając je do wspólnego mianownika równego $12$, a na końcu stosujemy zewnętrzny wykładnik $-1$: $$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}\right)^{-1} &= \left(\dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12}\right)^{-1} \\[8pt] &= \left(\dfrac{5}{12}\right)^{-1} = \dfrac{12}{5} = 2\dfrac{2}{5} \end{aligned}$$
Podpunkt e) Obliczamy wartość wyrażenia $\left[\left(\dfrac{64}{27}\right)^{\frac{2}{3}} - \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1}\right]^{-\frac{1}{2}}$:
Obliczamy wartość każdego elementu wewnątrz nawiasu kwadratowego: $$\begin{aligned} \left(\dfrac{64}{27}\right)^{\frac{2}{3}} &= \left(\sqrt[3]{\dfrac{64}{27}}\right)^2 = \left(\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{16}{9} \\[8pt] \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1} &= \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{9} \end{aligned}$$ Wykonujemy odejmowanie w nawiasie i podnosimy wynik do potęgi $-\frac{1}{2}$: $$\begin{aligned} \left[\dfrac{16}{9} - \dfrac{12}{9}\right]^{-\frac{1}{2}} &= \left(\dfrac{4}{9}\right)^{-\frac{1}{2}} \\[8pt] &= \left(\dfrac{9}{4}\right)^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$
Podpunkt f) Obliczamy wartość wyrażenia $\left[27^{\frac{2}{3}} - 0{,}04^{-\frac{1}{2}}\right]^{\frac{3}{2}}$:
Upraszczamy oba składniki różnicy: $$\begin{aligned} 27^{\frac{2}{3}} &= \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9 \\[8pt] 0{,}04^{-\frac{1}{2}} &= \left(\dfrac{4}{100}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\dfrac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5 \end{aligned}$$ Odejmujemy wartości w nawiasie i stosujemy zewnętrzny wykładnik $\frac{3}{2}$: $$\begin{aligned} \left[9 - 5\right]^{\frac{3}{2}} &= 4^{\frac{3}{2}} \\[8pt] &= (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $1{,}2$

b) $\dfrac{4}{25}$

c) $\dfrac{8}{27}$

d) $2\dfrac{2}{5}$

e) $1\dfrac{1}{2}$

f) $8$

Zadanie 2

Wyznacz wartość liczbową każdego z poniższych wyrażeń, stosując odpowiednie prawa działań na potęgach i pierwiastkach:

a) $\dfrac{(5^3 \cdot 5^2)^5}{5^{30} : 5^7}$

b) $\dfrac{(27^{-2})^2}{9^{-5} \cdot 3^{-4}}$

c) $\dfrac{\sqrt[3]{16} \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{7}{6}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{8}}}$

d) $6 : 7^{\frac{1}{2}} \cdot 63^{0,5}$

e) $\sqrt{48} : 3^{1\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}}$

f) $\left(50^{-\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{4} : 125^{-\frac{1}{6}}\right)^{-1,2}$

Wskazówki:

Stosuj reguły działań na potęgach o jednakowych podstawach: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $a^m : a^n = a^{m-n}$ oraz $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Pamiętaj o zamianie pierwiastków na potęgi o wykładniku ułamkowym: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ oraz o definicji potęgi o wykładniku ujemnym: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Rozkładaj złożone podstawy potęg na iloczyny liczb pierwszych (np. $27 = 3^3$, $9 = 3^2$, $16 = 2^4$, $50 = 2 \cdot 5^2$, $125 = 5^3$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie wartości wyrażenia $\dfrac{(5^3 \cdot 5^2)^5}{5^{30} : 5^7}$:
W liczniku najpierw wykonujemy mnożenie potęg w nawiasie (dodając wykładniki), a następnie potęgujemy potęgę (mnożąc wykładniki). W mianowniku wykonujemy dzielenie potęg o tej samej podstawie (odejmując wykładniki): $$\begin{aligned} \dfrac{(5^3 \cdot 5^2)^5}{5^{30} : 5^7} &= \dfrac{(5^{3+2})^5}{5^{30-7}} \\[8pt] &= \dfrac{(5^5)^5}{5^{23}} \\[8pt] &= \dfrac{5^{5 \cdot 5}}{5^{23}} \\[8pt] &= \dfrac{5^{25}}{5^{23}} \\[8pt] &= 5^{25-23} = 5^2 = 25 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczenie wartości wyrażenia $\dfrac{(27^{-2})^2}{9^{-5} \cdot 3^{-4}}$:
Sprowadzamy wszystkie czynniki do potęg o wspólnej podstawie równej $3$, korzystając ze związków $27 = 3^3$ oraz $9 = 3^2$: $$\begin{aligned} \dfrac{(27^{-2})^2}{9^{-5} \cdot 3^{-4}} &= \dfrac{\left((3^3)^{-2}\right)^2}{(3^2)^{-5} \cdot 3^{-4}} \\[8pt] &= \dfrac{(3^{3 \cdot (-2)})^2}{3^{2 \cdot (-5)} \cdot 3^{-4}} \\[8pt] &= \dfrac{(3^{-6})^2}{3^{-10} \cdot 3^{-4}} \\[8pt] &= \dfrac{3^{-6 \cdot 2}}{3^{-10 + (-4)}} \\[8pt] &= \dfrac{3^{-12}}{3^{-14}} \\[8pt] &= 3^{-12 - (-14)} = 3^{-12 + 14} = 3^2 = 9 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczenie wartości wyrażenia $\dfrac{\sqrt[3]{16} \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{7}{6}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{8}}}$:
Zapisujemy każdy element jako potęgę o podstawie $2$, wiedząc, że $16 = 2^4$, $4 = 2^2$ oraz $\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = 2^{\frac{3}{2}}$: $$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt[3]{16} \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{7}{6}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{8}}} &= \dfrac{2^{\frac{4}{3}} \cdot (2^2)^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{7}{6}} \cdot 2^{-\frac{3}{2}}} \\[8pt] &= \dfrac{2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{2 \cdot \frac{2}{3}}}{2^{\frac{7}{6} - \frac{3}{2}}} \\[8pt] &= \dfrac{2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{7}{6} - \frac{9}{6}}} \\[8pt] &= \dfrac{2^{\frac{4}{3} + \frac{4}{3}}}{2^{-\frac{2}{6}}} \\[8pt] &= \dfrac{2^{\frac{8}{3}}}{2^{-\frac{1}{3}}} \\[8pt] &= 2^{\frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right)} = 2^{\frac{8}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{9}{3}} = 2^3 = 8 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Obliczenie wartości wyrażenia $6 : 7^{\frac{1}{2}} \cdot 63^{0,5}$:
Wykładniki ${\frac{1}{2}}$ oraz $0{,}5 = {\frac{1}{2}}$ oznaczają pierwiastki drugiego stopnia. Zgodnie z kolejnością działań wykonujemy dzielenie i mnożenie od lewej do prawej: $$\begin{aligned} 6 : 7^{\frac{1}{2}} \cdot 63^{0,5} &= 6 : \sqrt{7} \cdot \sqrt{63} \\[8pt] &= \dfrac{6}{\sqrt{7}} \cdot \sqrt{63} \\[8pt] &= 6 \cdot \dfrac{\sqrt{63}}{\sqrt{7}} \\[8pt] &= 6 \cdot \sqrt{\dfrac{63}{7}} \\[8pt] &= 6 \cdot \sqrt{9} \\[8pt] &= 6 \cdot 3 = 18 \end{aligned}$$
Podpunkt e) Obliczenie wartości wyrażenia $\sqrt{48} : 3^{1\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}}$:
Wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} = 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$. Zamieniamy liczbę mieszaną w wykładniku na ułamek niewłaściwy: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$, a następnie wykonujemy działania na wykładnikach potęgi o podstawie $3$: $$\begin{aligned} \sqrt{48} : 3^{1\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} &= 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} : 3^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} \\[8pt] &= 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} - \frac{4}{3} + \frac{5}{6}} \\[8pt] &= 4 \cdot 3^{\frac{3}{6} - \frac{8}{6} + \frac{5}{6}} \\[8pt] &= 4 \cdot 3^{\frac{3 - 8 + 5}{6}} \\[8pt] &= 4 \cdot 3^{\frac{0}{6}} = 4 \cdot 3^0 = 4 \cdot 1 = 4 \end{aligned}$$
Podpunkt f) Obliczenie wartości wyrażenia $\left(50^{-\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{4} : 125^{-\frac{1}{6}}\right)^{-1,2}$:
Rozkładamy liczby wewnątrz nawiasu na czynniki pierwsze: $50 = 2 \cdot 5^2$, $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$ oraz $125 = 5^3$: $$\begin{aligned} 50^{-\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{4} : 125^{-\frac{1}{6}} &= (2 \cdot 5^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} : (5^3)^{-\frac{1}{6}} \\[8pt] &= 2^{-\frac{2}{3}} \cdot 5^{2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)} \cdot 2^{\frac{2}{3}} : 5^{3 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)} \\[8pt] &= 2^{-\frac{2}{3}} \cdot 5^{-\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} : 5^{-\frac{3}{6}} \\[8pt] &= \left(2^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}\right) \cdot \left(5^{-\frac{4}{3}} : 5^{-\frac{1}{2}}\right) \\[8pt] &= 2^{-\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 5^{-\frac{4}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right)} \\[8pt] &= 2^0 \cdot 5^{-\frac{8}{6} + \frac{3}{6}} = 1 \cdot 5^{-\frac{5}{6}} = 5^{-\frac{5}{6}} \end{aligned}$$ Następnie zamieniamy wykładnik zewnętrzny na ułamek zwykły: $-1{,}2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}$ i potęgujemy otrzymany wynik: $$\begin{aligned} \left(5^{-\frac{5}{6}}\right)^{-1,2} &= \left(5^{-\frac{5}{6}}\right)^{-\frac{6}{5}} \\[8pt] &= 5^{\left(-\frac{5}{6}\right) \cdot \left(-\frac{6}{5}\right)} \\[8pt] &= 5^{\frac{30}{30}} = 5^1 = 5 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $25$

b) $9$

c) $8$

d) $18$

e) $4$

f) $5$

Zadanie 3

Wyznacz relacje procentowe dla poniższych par liczb:
a) Liczby $u$ oraz $w$ określone są wyrażeniami $u = \sqrt{333^2 + 444^2}$ oraz $w = \dfrac{\sqrt[3]{16} \cdot 225^{0,5} \cdot \sqrt[3]{4}}{5^{-1}}$. Zbadaj, o ile procent wartość liczby $u$ przewyższa liczbę $w$.

b) Dane są liczby $c = \left(\dfrac{27^{-5} + 81^{-4}}{9^{-6}}\right)^{-\frac{1}{2}}$ oraz $d = \dfrac{\sqrt[6]{120} \cdot \sqrt[3]{120} \cdot \sqrt{120}}{20}$. Ustal, o ile procent wartość liczby $c$ jest niższa od wartości liczby $d$.

Wskazówki:

W podpunkcie a) przy wyznaczaniu liczby $u$ nie podnoś dużych liczb bezpośrednio do kwadratu – zauważ wspólny dzielnik $111$ i wyłącz go przed nawias pod pierwiastkiem. W liczbie $w$ połącz iloczyn pierwiastków tego samego stopnia $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b}$ oraz zamień potęgę $225^{0,5}$ na pierwiastek kwadratowy.
W podpunkcie b) sprowadź potęgi występujące w liczbie $c$ do wspólnej podstawy równej $3$, a następnie w liczniku wyłącz przed nawias potęgę o najmniejszym wykładniku. W liczbie $d$ przedstaw pierwiastki w postaci potęg o wykładnikach ułamkowych i skorzystaj z prawa dodawania wykładników przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie.
Pamiętaj o ustaleniu właściwej wielkości odniesienia w mianowniku: badając, o ile procent liczba $A$ jest większa od liczby $B$, dzielimy różnicę przez $B$. Badając, o ile procent liczba $A$ jest mniejsza od liczby $B$, dzielimy różnicę przez $B$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie wartości liczb $u = \sqrt{333^2 + 444^2}$ oraz $w = \dfrac{\sqrt[3]{16} \cdot 225^{0,5} \cdot \sqrt[3]{4}}{5^{-1}}$:
Zauważamy, że liczby pod pierwiastkiem w wyrażeniu $u$ są wielokrotnościami liczby $111$, ponieważ $333 = 111 \cdot 3$ oraz $444 = 111 \cdot 4$. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias pod pierwiastkiem: $$\begin{aligned} u &= \sqrt{(111 \cdot 3)^2 + (111 \cdot 4)^2} \\[8pt] &= \sqrt{111^2 \cdot 3^2 + 111^2 \cdot 4^2} \\[8pt] &= \sqrt{111^2 \cdot (9 + 16)} \\[8pt] &= \sqrt{111^2 \cdot 25} \\[8pt] &= 111 \cdot \sqrt{25} = 111 \cdot 5 = 555 \end{aligned}$$ Następnie upraszczamy poszczególne elementy liczby $w$: $$\begin{aligned} \sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{4} &= \sqrt[3]{16 \cdot 4} = \sqrt[3]{64} = 4 \\[8pt] 225^{0,5} &= 225^{\frac{1}{2}} = \sqrt{225} = 15 \\[8pt] 5^{-1} &= \dfrac{1}{5} \end{aligned}$$ Podstawiamy otrzymane wartości do wzoru na liczbę $w$: $$\begin{aligned} w &= \dfrac{4 \cdot 15}{\dfrac{1}{5}} \\[8pt] &= \dfrac{60}{\dfrac{1}{5}} \\[8pt] &= 60 \cdot 5 = 300 \end{aligned}$$
Podpunkt a) Obliczenie, o ile procent wartość liczby $u$ przewyższa liczbę $w$:
Punktem odniesienia (wartością bazową stanowiącą $100\%$) jest liczba $w = 300$. Obliczamy różnicę względną: $$\begin{aligned} \dfrac{u - w}{w} \cdot 100\% &= \dfrac{555 - 300}{300} \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{255}{300} \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{255}{3}\% = 85\% \end{aligned}$$ Liczba $u$ przewyższa liczbę $w$ o $85\%$.
Podpunkt b) Wyznaczenie wartości liczb $c = \left(\dfrac{27^{-5} + 81^{-4}}{9^{-6}}\right)^{-\frac{1}{2}}$ oraz $d = \dfrac{\sqrt[6]{120} \cdot \sqrt[3]{120} \cdot \sqrt{120}}{20}$:
W liczbie $c$ sprowadzamy wszystkie potęgi do podstawy $3$: $$\begin{aligned} 27^{-5} &= (3^3)^{-5} = 3^{-15} \\[8pt] 81^{-4} &= (3^4)^{-4} = 3^{-16} \\[8pt] 9^{-6} &= (3^2)^{-6} = 3^{-12} \end{aligned}$$ Wyłączamy w liczniku przed nawias potęgę $3^{-16}$: $$\begin{aligned} 27^{-5} + 81^{-4} &= 3^{-15} + 3^{-16} \\[8pt] &= 3^{-16} \cdot (3^1 + 1) \\[8pt] &= 3^{-16} \cdot 4 \end{aligned}$$ Upraszczamy ułamek pod nawiasem: $$\begin{aligned} \dfrac{4 \cdot 3^{-16}}{3^{-12}} &= 4 \cdot 3^{-16 - (-12)} \\[8pt] &= 4 \cdot 3^{-4} \\[8pt] &= 4 \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{4}{81} \end{aligned}$$ Podnosimy wynik do potęgi $-\frac{1}{2}$: $$\begin{aligned} c &= \left(\dfrac{4}{81}\right)^{-\frac{1}{2}} \\[8pt] &= \left(\dfrac{81}{4}\right)^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}} = \dfrac{9}{2} = 4,5 \end{aligned}$$ Dla liczby $d$ zamieniamy pierwiastki na potęgi o wykładnikach wymiernych: $$\begin{aligned} \sqrt[6]{120} \cdot \sqrt[3]{120} \cdot \sqrt{120} &= 120^{\frac{1}{6}} \cdot 120^{\frac{1}{3}} \cdot 120^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= 120^{\frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6}} \\[8pt] &= 120^{\frac{6}{6}} = 120^1 = 120 \end{aligned}$$ Obliczamy ostateczną wartość liczby $d$: $$d = \dfrac{120}{20} = 6$$
Podpunkt b) Obliczenie, o ile procent liczba $c$ jest niższa od liczby $d$:
Wielkością odniesienia jest liczba $d = 6$. Wyznaczamy różnicę procentową: $$\begin{aligned} \dfrac{d - c}{d} \cdot 100\% &= \dfrac{6 - 4,5}{6} \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{1,5}{6} \cdot 100\% \\[8pt] &= \dfrac{1}{4} \cdot 100\% = 25\% \end{aligned}$$ Wartość liczby $c$ jest o $25\%$ niższa od wartości liczby $d$.

Odpowiedź:
a) O $85\%$

b) O $25\%$

Zadanie 4

Uzasadnij, że wartość każdego z poniższych wyrażeń arytmetycznych jest liczbą całkowitą:

a) $\left[(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}} + (\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{2}}\right]^2 \cdot (4 - 4\sqrt{2})$

b) $(11 - 4\sqrt{7})^{\frac{1}{2}} - (8 - 2\sqrt{7})^{\frac{1}{2}}$

c) $(3 - 2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} \cdot (17 + 12\sqrt{2})^{\frac{1}{4}}$

d) $\left(7 - 48^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot \left(2 + 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Wskazówki:

W podpunkcie a) zastosuj wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, pamiętając, że iloczyn pierwiastków o tym samym stopniu jest pierwiastkiem z iloczynu wyrażeń podpierwiastkowych.
W podpunktach b), c) i d) przedstaw wyrażenia pod pierwiastkami w postaci kwadratu sumy lub różnicy $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, a następnie skorzystaj z tożsamości $\sqrt{w^2} = |w|$ oraz prawa potęgowania potęgi $(w^p)^q = w^{p \cdot q}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $\left[(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}} + (\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{2}}\right]^2 \cdot (4 - 4\sqrt{2})$:
W pierwszym kroku podnosimy wyrażenie w nawiasie kwadratowym do kwadratu za pomocą wzoru $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, przyjmując $x = (\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}}$ oraz $y = (\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{2}}$: $$ \begin{aligned} x^2 &= \left[(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}}\right]^2 = \sqrt{2} - 1 \\[8pt] y^2 &= \left[(\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{2}}\right]^2 = \sqrt{2} + 1 \\[8pt] 2xy &= 2 \cdot (\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}} \cdot (\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= 2 \cdot \left[(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)\right]^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= 2 \cdot \left[(\sqrt{2})^2 - 1^2\right]^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot (2 - 1)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 1 = 2 \end{aligned} $$ Sumujemy wyznaczone składniki: $$ \begin{aligned} \left[(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}} + (\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{2}}\right]^2 &= (\sqrt{2}-1) + 2 + (\sqrt{2}+1) \\[8pt] &= 2\sqrt{2} + 2 \end{aligned} $$ Następnie mnożymy uzyskany wynik przez drugi czynnik $(4 - 4\sqrt{2})$: $$ \begin{aligned} (2\sqrt{2} + 2)(4 - 4\sqrt{2}) &= 2(\sqrt{2} + 1) \cdot (-4)(\sqrt{2} - 1) \\[8pt] &= -8 \cdot (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) \\[8pt] &= -8 \cdot \left[(\sqrt{2})^2 - 1^2\right] \\[8pt] &= -8 \cdot (2 - 1) = -8 \end{aligned} $$ Wartość $-8$ jest liczbą całkowitą ($-8 \in \mathbb{Z}$), co dowodzi tezy dla podpunktu a).
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $(11 - 4\sqrt{7})^{\frac{1}{2}} - (8 - 2\sqrt{7})^{\frac{1}{2}}$:
Wykładnik $\frac{1}{2}$ odpowiada pierwiastkowi kwadratowemu. Przedstawiamy oba wyrażenia podpierwiastkowe jako kwadraty różnic postaci $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Dla pierwszego składnika dobieramy liczby $a = \sqrt{7}$ oraz $b = 2$: $$ (\sqrt{7} - 2)^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7 - 4\sqrt{7} + 4 = 11 - 4\sqrt{7} $$ Ponieważ $\sqrt{7} \approx 2{,}65 > 2$, zachodzi $\sqrt{7} - 2 > 0$, zatem: $$ (11 - 4\sqrt{7})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{(\sqrt{7}-2)^2} = |\sqrt{7}-2| = \sqrt{7} - 2 $$ Dla drugiego składnika dobieramy liczby $a = \sqrt{7}$ oraz $b = 1$: $$ (\sqrt{7} - 1)^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2 = 7 - 2\sqrt{7} + 1 = 8 - 2\sqrt{7} $$ Ponieważ $\sqrt{7} > 1$, mamy: $$ (8 - 2\sqrt{7})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{(\sqrt{7}-1)^2} = |\sqrt{7}-1| = \sqrt{7} - 1 $$ Odejmujemy otrzymane wyniki: $$ \begin{aligned} (11 - 4\sqrt{7})^{\frac{1}{2}} - (8 - 2\sqrt{7})^{\frac{1}{2}} &= (\sqrt{7} - 2) - (\sqrt{7} - 1) \\[8pt] &= \sqrt{7} - 2 - \sqrt{7} + 1 = -1 \end{aligned} $$ Liczba $-1$ jest liczbą całkowitą ($-1 \in \mathbb{Z}$), co kończy uzasadnienie dla podpunktu b).
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $(3 - 2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} \cdot (17 + 12\sqrt{2})^{\frac{1}{4}}$:
Zajmujemy się drugim czynnikiem $(17 + 12\sqrt{2})^{\frac{1}{4}}$. Zapisujemy podstawę jako kwadrat sumy $(a + b)^2$: $$ (3 + 2\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2} $$ Stosujemy regułę mnożenia wykładników przy potęgowaniu potęgi $(w^p)^q = w^{p \cdot q}$: $$ \begin{aligned} (17 + 12\sqrt{2})^{\frac{1}{4}} &= \left[(3 + 2\sqrt{2})^2\right]^{\frac{1}{4}} \\[8pt] &= (3 + 2\sqrt{2})^{2 \cdot \frac{1}{4}} = (3 + 2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} \end{aligned} $$ Mnożymy oba czynniki mające identyczny wykładnik $\frac{1}{2}$ i stosujemy wzór na różnicę kwadratów: $$ \begin{aligned} (3 - 2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} \cdot (3 + 2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} &= \left[(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})\right]^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= \left[3^2 - (2\sqrt{2})^2\right]^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= (9 - 8)^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = 1 \end{aligned} $$ Liczba $1$ jest liczbą całkowitą ($1 \in \mathbb{Z}$), co potwierdza tezę dla podpunktu c).
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(7 - 48^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot \left(2 + 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$:
W pierwszej kolejności upraszczamy pierwiastki zapisane w postaci potęg ułamkowych: $$ 48^{\frac{1}{2}} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $$ oraz $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

Wyrażenie $7 - 4\sqrt{3}$ zapisujemy jako kwadrat różnicy $(2 - \sqrt{3})^2$: $$ (2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3} $$ Ponieważ $2 = \sqrt{4} > \sqrt{3}$, różnica $2 - \sqrt{3}$ jest liczbą dodatnią. Podstawiamy do potęgi o wykładniku $\frac{1}{4}$: $$ \begin{aligned} \left(7 - 48^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}} &= \left[(2 - \sqrt{3})^2\right]^{\frac{1}{4}} \\[8pt] &= (2 - \sqrt{3})^{2 \cdot \frac{1}{4}} = (2 - \sqrt{3})^{\frac{1}{2}} \end{aligned} $$ Wykonujemy iloczyn obu czynników: $$ \begin{aligned} (2 - \sqrt{3})^{\frac{1}{2}} \cdot (2 + \sqrt{3})^{\frac{1}{2}} &= \left[(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})\right]^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= \left[2^2 - (\sqrt{3})^2\right]^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= (4 - 3)^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = 1 \end{aligned} $$ Wartość $1$ jest liczbą całkowitą ($1 \in \mathbb{Z}$), co kończy całe zadanie.

Odpowiedź:
a) $-8$

b) $-1$

c) $1$

d) $1$

Zadanie 5

Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$ spełniających każdą z poniższych nierówności:

a) $(4\sqrt{2} - x)(\sqrt{2} + 1) > 7 + 2\sqrt{2}$

b) $(2x + 1)^2 \ge \dfrac{(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1)(\sqrt[3]{9} - 1)}{2}$

c) $(1 + \sqrt{3})x < \dfrac{x^2 + (0{,}25)^{-1}\cdot x + 4^{\frac{3}{2}}}{1 - \sqrt{3}}$

d) $\dfrac{x^2 + 8}{\sqrt{2} + 1} > (8 - 4\sqrt{2})\cdot x$

Wskazówki:

W podpunkcie a) wymnóż wyrazy po lewej stronie, uporządkuj nierówność liniową i pamiętaj o zmianie zwrotu przy dzieleniu przez liczbę ujemną.
W podpunkcie b) w liczniku ułamka zastosuj wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
W podpunkcie c) zamień potęgi o wykładnikach wymiernych i ujemnych na liczby całkowite, a następnie zwróć uwagę na znak mianownika przed pomnożeniem przez niego obu stron nierówności.
W podpunkcie d) pomnóż obie strony przez dodatni mianownik, wymnóż współczynnik liniowy i zwiń powstały trójmian za pomocą wzoru na kwadrat różnicy.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność liniową $(4\sqrt{2} - x)(\sqrt{2} + 1) > 7 + 2\sqrt{2}$:
Wymnażamy wyrażenie po lewej stronie nierówności: $$\begin{aligned} (4\sqrt{2} - x)(\sqrt{2} + 1) &= 4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\cdot 1 - x(\sqrt{2} + 1) \\[8pt] &= 4\cdot 2 + 4\sqrt{2} - (\sqrt{2} + 1)x \\[8pt] &= 8 + 4\sqrt{2} - (\sqrt{2} + 1)x \end{aligned}$$ Podstawiamy otrzymane wyrażenie do nierówności: $$8 + 4\sqrt{2} - (\sqrt{2} + 1)x > 7 + 2\sqrt{2}$$ Przenosimy wyrazy wolne na prawą stronę: $$-(\sqrt{2} + 1)x > 7 + 2\sqrt{2} - (8 + 4\sqrt{2})$$ $$-(\sqrt{2} + 1)x > -1 - 2\sqrt{2}$$ Dzielimy obie strony przez liczbę ujemną $-(\sqrt{2} + 1)$, co powoduje zmianę zwrotu nierówności na przeciwny: $$x < \dfrac{-1 - 2\sqrt{2}}{-(\sqrt{2} + 1)} = \dfrac{2\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $(\sqrt{2} - 1)$: $$\begin{aligned} x &< \dfrac{(2\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} \\[8pt] &= \dfrac{2\cdot 2 - 2\sqrt{2} + \sqrt{2} - 1}{2 - 1} \\[8pt] &= \dfrac{4 - \sqrt{2} - 1}{1} = 3 - \sqrt{2} \end{aligned}$$ Rozwiązaniem jest przedział: $$x \in (-\infty, 3 - \sqrt{2})$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $(2x + 1)^2 \ge \dfrac{(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1)(\sqrt[3]{9} - 1)}{2}$:
Upraszczamy licznik prawej strony, korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów: $$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$$ Przyjmując $a = \sqrt[3]{9}$ oraz $b = 1$, zauważamy, że $a^2 = (\sqrt[3]{9})^2 = \sqrt[3]{81}$. Otrzymujemy: $$(\sqrt[3]{9} - 1)(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1) = (\sqrt[3]{9})^3 - 1^3 = 9 - 1 = 8$$ Wartość prawej strony nierówności wynosi zatem: $$\dfrac{8}{2} = 4$$ Nierówność przyjmuje prostą postać: $$(2x + 1)^2 \ge 4$$ Pierwiastkujemy obie strony i stosujemy definicję wartości bezwzględnej $\sqrt{A^2} = |A|$: $$|2x + 1| \ge 2$$ Rozbijamy nierówność z wartością bezwzględną na alternatywę dwóch warunków: $$2x + 1 \ge 2 \quad \text{lub} \quad 2x + 1 \le -2$$ Rozwiązujemy obie nierówności liniowe: $$\begin{aligned} 2x &\ge 1 \implies x \ge \dfrac{1}{2} \\[8pt] 2x &\le -3 \implies x \le -\dfrac{3}{2} \end{aligned}$$ Zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów: $$x \in \left(-\infty, -\dfrac{3}{2}\right\rangle \cup \left\langle \dfrac{1}{2}, \infty\right)$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $(1 + \sqrt{3})x < \dfrac{x^2 + (0{,}25)^{-1}\cdot x + 4^{\frac{3}{2}}}{1 - \sqrt{3}}$:
Obliczamy wartości potęg występujących w liczniku prawej strony: $$(0{,}25)^{-1} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1} = 4$$ $$4^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8$$ Licznik jest więc równy $x^2 + 4x + 8$.
Zauważmy, że mianownik jest liczbą ujemną, ponieważ $\sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1$, czyli $1 - \sqrt{3} < 0$. Mnożąc obie strony przez mianownik $(1 - \sqrt{3})$, zmieniamy zwrot nierówności z $<$ na $>$: $$(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})x > x^2 + 4x + 8$$ Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów po lewej stronie: $$\left(1^2 - (\sqrt{3})^2\right)x > x^2 + 4x + 8$$ $$(1 - 3)x > x^2 + 4x + 8$$ $$-2x > x^2 + 4x + 8$$ Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę: $$0 > x^2 + 6x + 8 \iff x^2 + 6x + 8 < 0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego: $$\Delta = 6^2 - 4\cdot 1\cdot 8 = 36 - 32 = 4$$ $$\sqrt{\Delta} = 2$$ $$x_1 = \dfrac{-6 - 2}{2} = -4, \quad x_2 = \dfrac{-6 + 2}{2} = -2$$ Parabola ma ramiona skierowane w górę ($a = 1 > 0$), zatem trójmian przyjmuje wartości ujemne w przedziale otwartym pomiędzy miejscami zerowymi: $$x \in (-4, -2)$$
Podpunkt d) Rozwiązujemy nierówność $\dfrac{x^2 + 8}{\sqrt{2} + 1} > (8 - 4\sqrt{2})\cdot x$:
Mianownik lewej strony jest dodatni: $\sqrt{2} + 1 > 0$. Mnożymy obie strony nierówności przez $(\sqrt{2} + 1)$, zachowując zwrot nierówności: $$x^2 + 8 > (8 - 4\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)\cdot x$$ Wymnażamy współczynnik stojący przy $x$: $$\begin{aligned} (8 - 4\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1) &= 8\sqrt{2} + 8 - 4(\sqrt{2})^2 - 4\sqrt{2} \\[8pt] &= 8\sqrt{2} + 8 - 8 - 4\sqrt{2} \\[8pt] &= 4\sqrt{2} \end{aligned}$$ Podstawiamy otrzymany współczynnik: $$x^2 + 8 > 4\sqrt{2}x$$ Przenosimy wszystkie składniki na lewą stronę: $$x^2 - 4\sqrt{2}x + 8 > 0$$ Zwijamy lewą stronę, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$(x - 2\sqrt{2})^2 > 0$$ Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny $(x - 2\sqrt{2})^2 \ge 0$, a wartość zero przyjmuje wyłącznie dla $x = 2\sqrt{2}$. Nierówność ostra jest zatem spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste z wyłączeniem wartości zerującej: $$x \in \mathbb{R} \setminus \{2\sqrt{2}\}$$

Odpowiedź:
a) $x \in (-\infty, 3 - \sqrt{2})$

b) $x \in \left(-\infty, -\dfrac{3}{2}\right\rangle \cup \left\langle \dfrac{1}{2}, \infty\right)$

c) $x \in (-4, -2)$

d) $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\sqrt{2}\}$

Grupa B

Zadanie 1

Wyznacz wartości liczbowe poniższych wyrażeń:

a) $2{,}25^{\frac{1}{2}}$

b) $\left(\dfrac{81}{256}\right)^{\frac{3}{4}}$

c) $\left(1\dfrac{9}{16}\right)^{-1{,}5}$

d) $\left(16^{-\frac{1}{2}} + 8^{-\frac{1}{3}}\right)^{-1}$

e) $\left[\left(\dfrac{125}{8}\right)^{\frac{2}{3}} - 0{,}25^{-1}\right]^{-\frac{1}{2}}$

f) $\left[64^{\frac{2}{3}} - 0{,}25^{-\frac{3}{2}}\right]^{\frac{2}{3}}$

Zadanie 2

Stosując prawa działań na potęgach i pierwiastkach, doprowadź poniższe wyrażenia do najprostszej postaci i oblicz ich wartości:

a) $\dfrac{(2^4 \cdot 2^3)^4}{2^{35} : 2^9}$

b) $\dfrac{(8^{-2})^3}{4^{-8} \cdot 2^{-5}}$

c) $\dfrac{\sqrt[3]{243} \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{5}{6}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{27}}}$

d) $7 : 5^{\frac{1}{2}} \cdot 45^{0,5}$

e) $\sqrt{72} : 2^{1\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{6}}$

f) $\left(20^{-\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{25} : 8^{-\frac{1}{6}}\right)^{-1,2}$

Zadanie 3

Rozpatrz pary liczb rzeczywistych i dokonaj porównania procentowego:
a) Weź pod uwagę liczbę $q = \dfrac{\sqrt[4]{8} \cdot 625^{0,5} \cdot \sqrt[4]{2}}{10^{-1}}$ oraz liczbę $p = \sqrt{360^2 + 480^2}$. O ile procent wielkość $p$ przewyższa wielkość $q$?

b) Porównaj ze sobą dwie wielkości: $k = \left(\dfrac{27^{-13} + 81^{-10}}{9^{-19}}\right)^{-\frac{1}{2}}$ oraz $m = \dfrac{\sqrt[6]{30} \cdot \sqrt[3]{30} \cdot \sqrt{30}}{15}$. Ile procent brakuje liczbie $k$ do wartości liczby $m$?

Zadanie 4

Wykaż, że każde z poniższych wyrażeń przyjmuje wartość ze zbioru liczb całkowitych:

a) $\left[(\sqrt{10}-3)^{\frac{1}{2}} + (\sqrt{10}+3)^{\frac{1}{2}}\right]^2 \cdot (1 - \sqrt{10})$

b) $(19 - 6\sqrt{10})^{\frac{1}{2}} - (14 - 4\sqrt{10})^{\frac{1}{2}}$

c) $(4 - \sqrt{15})^{\frac{1}{2}} \cdot (31 + 8\sqrt{15})^{\frac{1}{4}}$

d) $\left(49 - 2400^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot \left(5 + 24^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Zadanie 5

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej rzeczywistej $x$, które czynią prawdziwymi podane nierówności:

a) $(3\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + 1) > 8$

b) $(2x + 1)^2 \ge \dfrac{(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{5} + 1)(\sqrt[3]{5} + 1)}{6}$

c) $(2 + \sqrt{5})x < \dfrac{x^2 + (0{,}5)^{-1}\cdot x + 8^{\frac{1}{3}}}{2 - \sqrt{5}}$

d) $\dfrac{x^2 + 27}{\sqrt{3} + 1} > (9 - 3\sqrt{3})\cdot x$

25.1 Potęga o wykładniku rzeczywistym – powtórzenie

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋