Funkcje różnowartościowe kartkówka LiczBit

3.8 Funkcje różnowartościowe

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Na rysunku przedstawiono wykresy sześciu funkcji. Zbadaj, które z nich są różnowartościowe, a które nie są różnowartościowe. Odpowiedź uzasadnij.

Wskazówki:

Funkcja $f\colon D \to \mathbb{R}$ jest różnowartościowa, gdy różnym argumentom z dziedziny odpowiadają różne wartości, tzn. dla dowolnych $x_1, x_2 \in D$: $$x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$$
Równoważny warunek orzeka, że jeśli wartości są równe, to argumenty również muszą być równe: $$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$$
Test prostej poziomej (kryterium graficzne): Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy każda prosta pozioma o równaniu $y = m$ (równoległa do osi $OX$) przecina wykres funkcji w co najwyżej jednym punkcie (w jednym punkcie lub wcale).
Jeśli istnieje choć jedna prosta pozioma przecinająca wykres w co najmniej dwóch różnych punktach, funkcja nie jest różnowartościowa.

Rozwiązanie krok po kroku:

Definicja różnowartościowości i kryterium graficzne:
Aby funkcja była różnowartościowa, każda wartość z jej zbioru wartości musi być przyjmowana dla dokładnie jednego argumentu. Graficznie weryfikujemy to, prowadząc proste poziome równoległe do osi $OX$:
- Jeśli jakakolwiek prosta pozioma przetnie wykres w 2 lub więcej punktach – funkcja nie jest różnowartościowa.
- Jeśli każda prosta pozioma przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie – funkcja jest różnowartościowa.
Podpunkt a) Analiza paraboli:
Wykres przedstawia parabolę skierowaną ramionami do góry. Poprowadźmy prostą poziomą leżącą powyżej wierzchołka paraboli, np. prostą $y = 1$. Prosta ta przecina wykres w dwóch różnych punktach o odciętych $x_1 < 0$ oraz $x_2 > 0$. Oznacza to, że: $$\begin{aligned} x_1 &\neq x_2 \\[6pt] f(x_1) &= f(x_2) = 1 \end{aligned}$$ Dla dwóch różnych argumentów funkcja przyjmuje tę samą wartość. Funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt b) Analiza gładkiej krzywej ściśle rosnącej:
Wykres jest ciągłą krzywą ściśle rosnącą w całej swojej dziedzinie $\mathbb{R}$. Przesuwając się wzdłuż osi $OY$ z dołu do góry, każda prosta pozioma $y = m$ przecina krzywą w dokładnie jednym punkcie. Nie istnieją dwa różne argumenty dające tę samą wartość. Funkcja jest różnowartościowa.
Podpunkt c) Analiza wykresu z odcinkiem poziomym:
Wykres posiada poziomy fragment dla pewnego przedziału argumentów $[x_A, x_B]$, na którym wartość funkcji jest stała i wynosi $y = 1$. Oznacza to, że dla nieskończenie wielu różnych argumentów z tego przedziału wartość funkcji wynosi dokładnie $1$: $$f(x) = 1 \quad \text{dla każdego } x \in [x_A, x_B]$$ Prosta pozioma $y = 1$ pokrywa się z całym odcinkiem wykresu, mając z nim nieskończenie wiele punktów wspólnych. Funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt d) Analiza hiperboli:
Wykres przedstawia hiperbolę o dwóch rozłącznych gałęziach (w I oraz III ćwiartce układu współrzędnych). Zauważmy, że:
- Dla argumentów $x > 0$ (I ćwiartka) funkcja przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie: $f(x) > 0$. Na tym przedziale każda wartość dodatnia przyjmowana jest dokładnie raz.
- Dla argumentów $x < 0$ (III ćwiartka) funkcja przyjmuje wyłącznie wartości ujemne: $f(x) < 0$. Na tym przedziale każda wartość ujemna przyjmowana jest dokładnie raz.
Zbiory wartości obu gałęzi są całkowicie rozłączne. Dowolna prosta pozioma $y = m$ (dla $m \neq 0$) przecina dokładnie jedną gałąź w jednym punkcie, a prosta $y = 0$ (asymptota pozioma) nie przecina wykresu wcale. Każda prosta pozioma ma zatem co najwyżej jeden punkt wspólny z wykresem. Funkcja jest różnowartościowa.
Podpunkt e) Analiza łamanej ściśle malejącej:
Wykres jest ciągłą linią łamaną, której każdy segment ma ujemny współczynnik kierunkowy. Funkcja jest ściśle malejąca na całej dziedzinie. W konsekwencji dla dowolnych $x_1 < x_2$ zachodzi $f(x_1) > f(x_2)$, więc wartości dla różnych argumentów nigdy nie mogą być równe. Każda prosta pozioma przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie. Funkcja jest różnowartościowa.
Podpunkt f) Analiza wykresu falistego z lokalnymi ekstremami:
Krzywa wielomianowa posiada lokalne minima i maksima, przez co zmienia kierunek monotoniczności (opada, wznosi się i ponownie opada). Prowadząc prostą poziomą przechodzącą pomiędzy poziomem minimum a maksimum, przetnie ona wykres w trzech różnych punktach $x_1, x_2, x_3$. Mamy: $$x_1 \neq x_2 \neq x_3 \quad \text{oraz} \quad f(x_1) = f(x_2) = f(x_3)$$ Funkcja nie jest różnowartościowa.

Odpowiedź:
a) Funkcja nie jest różnowartościowa.

b) Funkcja jest różnowartościowa.

c) Funkcja nie jest różnowartościowa.

d) Funkcja jest różnowartościowa.

e) Funkcja jest różnowartościowa.

f) Funkcja nie jest różnowartościowa.

Wykresy funkcji różnowartościowych to: b), d) oraz e). Wykresy funkcji, które nie są różnowartościowe, to: a), c) oraz f).

Zadanie 2

Sprawdź, które z poniższych funkcji są różnowartościowe.

a) $f(x) = |x + 1| - 2$, gdzie $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}$

b) $f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 2}$, gdzie $x \in \{-4, -3, -1, 0, 1\}$

c) $f(x) = x^3 - 4x$, gdzie $x \in \{-3, -2, 0, 1, 2, 3\}$

d) $f(x) = 3x^2 - 5$, gdzie $x \in \{-2, -1, 0, 1, 3\}$

e) $f(x) = \begin{cases} (x + 2)^2 - 3, & \text{jeśli } x \in \{-4, -3, -2, -1\} \\ 2x, & \text{jeśli } x \in (0, +\infty) \end{cases}$

f) $f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{jeśli } x \in (-\infty, 0) \\ x^2, & \text{jeśli } x \in \langle 0, +\infty) \end{cases}$

Wskazówki:

Funkcja $f$ o dziedzinie $D$ jest różnowartościowa, jeśli dla dowolnych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości: $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$.
Aby wykazać, że funkcja NIE jest różnowartościowa, wystarczy wskazać choć jedną parę różnych argumentów dających tę samą wartość: $x_1 \neq x_2$ oraz $f(x_1) = f(x_2)$.
Dla funkcji na zbiorach skończonych najprostszą metodą jest bezpośrednie policzenie wartości lub sprawdzenie argumentów leżących symetrycznie względem osi symetrii wykresu.
Dla funkcji klamrowych (przedziałowych) sprawdzamy różnowartościowość na każdym przedziale z osobna oraz upewniamy się, czy zbiory wartości z poszczególnych części są rozłączne.

Rozwiązanie krok po kroku:

Definicja funkcji różnowartościowej i kryterium sprawdzania:
Funkcja $f$ jest różnowartościowa w dziedzinie $D$, jeżeli spełniony jest warunek: $$\forall_{x_1, x_2 \in D} \quad x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$$ Równoważnie: jeśli $f(x_1) = f(x_2)$, to musi zachodzić $x_1 = x_2$.
Podpunkt a) Badamy funkcję $f(x) = |x + 1| - 2$ dla $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}$:
Wykres funkcji z wartością bezwzględną jest symetryczny względem prostej $x = -1$. Wybierzmy argumenty leżące w równej odległości od punktu podziału, np. $x_1 = -2$ oraz $x_2 = 0$: $$\begin{aligned} f(-2) &= |-2 + 1| - 2 = |-1| - 2 = 1 - 2 = -1 \\[8pt] f(0) &= |0 + 1| - 2 = |1| - 2 = 1 - 2 = -1 \end{aligned}$$ Ponieważ $-2 \neq 0$, a zachodzi równość wartości $f(-2) = f(0) = -1$, funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt b) Badamy funkcję $f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 2}$ dla $x \in \{-4, -3, -1, 0, 1\}$:
Obliczamy wartości funkcji dla wszystkich kolejnych argumentów z dziedziny: $$\begin{aligned} f(-4) &= \dfrac{-4 - 1}{-4 + 2} = \dfrac{-5}{-2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5 \\[8pt] f(-3) &= \dfrac{-3 - 1}{-3 + 2} = \dfrac{-4}{-1} = 4 \\[8pt] f(-1) &= \dfrac{-1 - 1}{-1 + 2} = \dfrac{-2}{1} = -2 \\[8pt] f(0) &= \dfrac{0 - 1}{0 + 2} = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5 \\[8pt] f(1) &= \dfrac{1 - 1}{1 + 2} = \dfrac{0}{3} = 0 \end{aligned}$$ Wszystkie otrzymane wartości są parami różne: $$W_f = \{-2;\ -0{,}5;\ 0;\ 2{,}5;\ 4\}$$ Każdemu argumentowi odpowiada inna wartość, zatem funkcja jest różnowartościowa.
Podpunkt c) Badamy funkcję $f(x) = x^3 - 4x$ dla $x \in \{-3, -2, 0, 1, 2, 3\}$:
Rozłóżmy wzór funkcji na czynniki, aby sprawdzić jej miejsca zerowe: $$f(x) = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$$ Zauważamy, że do dziedziny należą liczby $-2$, $0$ oraz $2$. Obliczamy dla nich wartości: $$\begin{aligned} f(-2) &= (-2)^3 - 4 \cdot (-2) = -8 + 8 = 0 \\[8pt] f(0) &= 0^3 - 4 \cdot 0 = 0 \\[8pt] f(2) &= 2^3 - 4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0 \end{aligned}$$ Trzy różne argumenty dają tę samą wartość $f(-2) = f(0) = f(2) = 0$. Funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt d) Badamy funkcję $f(x) = 3x^2 - 5$ dla $x \in \{-2, -1, 0, 1, 3\}$:
Funkcja zawiera wyłącznie parzystą potęgę zmiennej $x$, co oznacza, że dla argumentów przeciwnych przyjmuje jednakowe wartości. W dziedzinie znajdują się argumenty $x_1 = -1$ oraz $x_2 = 1$: $$\begin{aligned} f(-1) &= 3 \cdot (-1)^2 - 5 = 3 \cdot 1 - 5 = -2 \\[8pt] f(1) &= 3 \cdot 1^2 - 5 = 3 \cdot 1 - 5 = -2 \end{aligned}$$ Mamy $f(-1) = f(1) = -2$ przy $-1 \neq 1$. Funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt e) Badamy funkcję zdefiniowaną dwiema gałęziami:
Wzór funkcji ma postać: $$f(x) = \begin{cases} (x + 2)^2 - 3, & \text{jeśli } x \in \{-4, -3, -2, -1\} \\[8pt] 2x, & \text{jeśli } x \in (0, +\infty) \end{cases}$$ Wyznaczamy wartości dla gałęzi dyskretnej: $$\begin{aligned} f(-4) &= (-4 + 2)^2 - 3 = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1 \\[8pt] f(-3) &= (-3 + 2)^2 - 3 = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2 \\[8pt] f(-2) &= (-2 + 2)^2 - 3 = 0^2 - 3 = -3 \\[8pt] f(-1) &= (-1 + 2)^2 - 3 = 1^2 - 3 = 1 - 3 = -2 \end{aligned}$$ Widzimy, że $f(-3) = f(-1) = -2$ dla różnych argumentów $-3 \neq -1$. Dodatkowo wartość $1$ z pierwszej gałęzi ($f(-4) = 1$) powtarza się w drugiej gałęzi dla argumentu $x = 0{,}5 \in (0, +\infty)$, gdzie $f(0{,}5) = 2 \cdot 0{,}5 = 1$. Funkcja nie jest różnowartościowa.
Podpunkt f) Badamy funkcję określoną na całej prostej rzeczywistej przedziałami:
Funkcja dana jest wzorem: $$f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{jeśli } x \in (-\infty, 0) \\[8pt] x^2, & \text{jeśli } x \in \langle 0, +\infty) \end{cases}$$ Analizujemy obie gałęzie: Dla $x \in (-\infty, 0)$: funkcja liniowa $f_1(x) = 2x$ jest ściśle rosnąca, więc jest różnowartościowa w tym przedziale. Jej zbiór wartości wynosi: $$W_{f_1} = (-\infty, 0)$$ Dla $x \in \langle 0, +\infty)$: funkcja kwadratowa $f_2(x) = x^2$ jest ściśle rosnąca dla argumentów nieujemnych, więc również jest różnowartościowa. Jej zbiór wartości to: $$W_{f_2} = \langle 0, +\infty)$$ Porównujemy zbiory wartości obu gałęzi: $$W_{f_1} \cap W_{f_2} = (-\infty, 0) \cap \langle 0, +\infty) = \emptyset$$ Zbiory wartości są rozłączne, co oznacza, że żadna wartość z pierwszej gałęzi nie występuje w drugiej. Funkcja jest różnowartościowa w całej swojej dziedzinie.

Odpowiedź:
a) funkcja nie jest różnowartościowa

b) funkcja różnowartościowa

c) funkcja nie jest różnowartościowa

d) funkcja nie jest różnowartościowa

e) funkcja nie jest różnowartościowa

f) funkcja różnowartościowa

Wykazano, że funkcjami różnowartościowymi są funkcje z podpunktów b) oraz f).

Zadanie 3

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej różnej od zera przyporządkowuje liczbę o $3$ większą od odwrotności tej liczby. Czy funkcja ta jest różnowartościowa? Odpowiedź uzasadnij.

Wskazówki:

Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem zera: $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Zapisz wzór funkcji w postaci algebraicznej: $f(x) = \dfrac{1}{x} + 3$.
Funkcja $f$ jest różnowartościowa w dziedzinie $D$, jeżeli dla dowolnych dwóch argumentów $x_1, x_2 \in D$ spełniony jest warunek: $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$ (lub równoważnie: $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie wzoru funkcji i określenie dziedziny:
Zgodnie z poleceniem argumentami funkcji są liczby rzeczywiste różne od zera: $$D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ Każdemu argumentowi $x \in D$ przyporządkowujemy odwrotność powiększoną o $3$, co daje wzór: $$f(x) = \dfrac{1}{x} + 3$$
Sposób I – Wykazanie różnowartościowości przez badanie różnicy wartości:
Wybieramy dowolne argumenty $x_1, x_2 \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ takie, że $x_1 \neq x_2$, czyli $x_1 - x_2 \neq 0$. Badamy różnicę wartości funkcji dla tych argumentów: $$ \begin{aligned} f(x_1) - f(x_2) &= \left(\dfrac{1}{x_1} + 3\right) - \left(\dfrac{1}{x_2} + 3\right) \\[8pt] &= \dfrac{1}{x_1} + 3 - \dfrac{1}{x_2} - 3 \\[8pt] &= \dfrac{1}{x_1} - \dfrac{1}{x_2} \\[8pt] &= \dfrac{x_2 - x_1}{x_1 \cdot x_2} \end{aligned} $$ Ponieważ $x_1 \neq x_2$, licznik ułamka jest różny od zera ($x_2 - x_1 \neq 0$). Z faktu, że $x_1, x_2 \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, wynika, że iloczyn w mianowniku również jest różny od zera ($x_1 \cdot x_2 \neq 0$).
Iloraz dwóch liczb różnych od zera jest zawsze różny od zera: $$\dfrac{x_2 - x_1}{x_1 \cdot x_2} \neq 0 \implies f(x_1) - f(x_2) \neq 0 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$$ Wykazaliśmy, że różnym argumentom odpowiadają różne wartości funkcji, co oznacza, że funkcja $f$ jest różnowartościowa.
Sposób II – Wykazanie z warunku implikacji $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$:
Zakładamy, że dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ wartości funkcji są równe: $$f(x_1) = f(x_2)$$ Podstawiamy wzór funkcji do równania: $$ \begin{aligned} \dfrac{1}{x_1} + 3 &= \dfrac{1}{x_2} + 3 \quad \Big| - 3 \\[8pt] \dfrac{1}{x_1} &= \dfrac{1}{x_2} \\[8pt] x_1 &= x_2 \end{aligned} $$ Z równości wartości funkcji bezpośrednio wynika równość argumentów, co dowodzi, że funkcja $f$ jest różnowartościowa.

Odpowiedź:
Tak, funkcja $f$ jest różnowartościowa.

Zadanie 4

Dany jest wzór funkcji $f$, określonej w zbiorze $\mathbb{R}$. Wykaż, że funkcja $f$ jest różnowartościowa.
a) $f(x) = \dfrac{1}{4}x$
b) $f(x) = -6x$
c) $f(x) = \sqrt{3}x + 2$
d) $f(x) = -3x + 5$
e) $f(x) = \dfrac{5 - x}{3}$
f) $f(x) = \dfrac{3x + 7}{4}$

Wskazówki:

Funkcja $f$ jest różnowartościowa w dziedzinie $\mathbb{R}$, jeżeli dla dowolnych dwóch różnych argumentów $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ spełniony jest warunek: jeśli $x_1 \neq x_2$ (czyli $x_1 - x_2 \neq 0$), to $f(x_1) \neq f(x_2)$.
Równoważnie można badać różnicę wartości funkcji: $f(x_1) - f(x_2)$. Jeśli z założenia $x_1 - x_2 \neq 0$ wynika bezpośrednio, że $f(x_1) - f(x_2) \neq 0$, funkcja jest różnowartościowa.
W przypadku funkcji liniowej postaci $f(x) = ax + b$ różnica wartości wynosi zawsze $a(x_1 - x_2)$. Gdy współczynnik kierunkowy $a \neq 0$, iloczyn ten jest zawsze różny od zera dla $x_1 \neq x_2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wykazujemy różnowartościowość funkcji $f(x) = \dfrac{1}{4}x$:
Wybieramy dowolne argumenty $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ takie, że $x_1 \neq x_2$. Wynika stąd, że: $$x_1 - x_2 \neq 0$$ Badamy różnicę wartości funkcji dla tych argumentów: $$ \begin{aligned} f(x_1) - f(x_2) &= \dfrac{1}{4}x_1 - \dfrac{1}{4}x_2 \\[8pt] &= \dfrac{1}{4}(x_1 - x_2) \end{aligned} $$ Ponieważ $\dfrac{1}{4} \neq 0$ oraz $x_1 - x_2 \neq 0$, iloczyn ten jest liczbą różną od zera: $$f(x_1) - f(x_2) \neq 0 \iff f(x_1) \neq f(x_2)$$ Dowodzi to, że funkcja $f$ jest różnowartościowa w zbiorze $\mathbb{R}$.
Podpunkt b) Wykazujemy różnowartościowość funkcji $f(x) = -6x$:
Niech $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ będą dowolnymi argumentami spełniającymi warunek $x_1 \neq x_2$, czyli: $$x_1 - x_2 \neq 0$$ Wyznaczamy różnicę wartości funkcji: $$ \begin{aligned} f(x_1) - f(x_2) &= -6x_1 - (-6x_2) \\[8pt] &= -6x_1 + 6x_2 \\[8pt] &= -6(x_1 - x_2) \end{aligned} $$ Iloczyn liczby $-6 \neq 0$ i wyrażenia $x_1 - x_2 \neq 0$ jest różny od zera: $$f(x_1) - f(x_2) \neq 0 \iff f(x_1) \neq f(x_2)$$ Zatem funkcja $f$ jest różnowartościowa w zbiorze $\mathbb{R}$.
Podpunkt c) Wykazujemy różnowartościowość funkcji $f(x) = \sqrt{3}x + 2$:
Zakładamy, że $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ oraz $x_1 \neq x_2$, co oznacza: $$x_1 - x_2 \neq 0$$ Obliczamy różnicę wartości funkcji: $$ \begin{aligned} f(x_1) - f(x_2) &= (\sqrt{3}x_1 + 2) - (\sqrt{3}x_2 + 2) \\[8pt] &= \sqrt{3}x_1 + 2 - \sqrt{3}x_2 - 2 \\[8pt] &= \sqrt{3}(x_1 - x_2) \end{aligned} $$ Ponieważ $\sqrt{3} \neq 0$ oraz $x_1 - x_2 \neq 0$, otrzymujemy: $$f(x_1) - f(x_2) \neq 0 \iff f(x_1) \neq f(x_2)$$ Wykazaliśmy, że funkcja $f$ jest różnowartościowa w zbiorze $\mathbb{R}$.
Podpunkt d) Wykazujemy różnowartościowość funkcji $f(x) = -3x + 5$:
Wybieramy dowolne liczby $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ spełniające warunek $x_1 \neq x_2$, czyli: $$x_1 - x_2 \neq 0$$ Badamy różnicę wartości funkcji: $$ \begin{aligned} f(x_1) - f(x_2) &= (-3x_1 + 5) - (-3x_2 + 5) \\[8pt] &= -3x_1 + 5 + 3x_2 - 5 \\[8pt] &= -3(x_1 - x_2) \end{aligned} $$ Iloczyn liczby ujemnej $-3$ i niezerowej różnicy $x_1 - x_2$ nie może być równy zero: $$f(x_1) - f(x_2) \neq 0 \iff f(x_1) \neq f(x_2)$$ Stąd funkcja $f$ jest różnowartościowa w zbiorze $\mathbb{R}$.
Podpunkt e) Wykazujemy różnowartościowość funkcji $f(x) = \dfrac{5 - x}{3}$:
Rozpatrujemy dowolne argumenty $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ takie, że $x_1 \neq x_2$ ($x_1 - x_2 \neq 0$).
Zapisujemy różnicę wartości funkcji: $$ \begin{aligned} f(x_1) - f(x_2) &= \dfrac{5 - x_1}{3} - \dfrac{5 - x_2}{3} \\[8pt] &= \dfrac{(5 - x_1) - (5 - x_2)}{3} \\[8pt] &= \dfrac{5 - x_1 - 5 + x_2}{3} \\[8pt] &= \dfrac{-(x_1 - x_2)}{3} \\[8pt] &= -\dfrac{1}{3}(x_1 - x_2) \end{aligned} $$ Ponieważ $-\dfrac{1}{3} \neq 0$ oraz $x_1 - x_2 \neq 0$, zachodzi: $$f(x_1) - f(x_2) \neq 0 \iff f(x_1) \neq f(x_2)$$ Funkcja $f$ jest zatem różnowartościowa w zbiorze $\mathbb{R}$.
Podpunkt f) Wykazujemy różnowartościowość funkcji $f(x) = \dfrac{3x + 7}{4}$:
Niech $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ będą dowolnymi argumentami spełniającymi warunek $x_1 \neq x_2$, stąd: $$x_1 - x_2 \neq 0$$ Wyznaczamy różnicę wartości funkcji: $$ \begin{aligned} f(x_1) - f(x_2) &= \dfrac{3x_1 + 7}{4} - \dfrac{3x_2 + 7}{4} \\[8pt] &= \dfrac{(3x_1 + 7) - (3x_2 + 7)}{4} \\[8pt] &= \dfrac{3x_1 + 7 - 3x_2 - 7}{4} \\[8pt] &= \dfrac{3(x_1 - x_2)}{4} \\[8pt] &= \dfrac{3}{4}(x_1 - x_2) \end{aligned} $$ Ponieważ $\dfrac{3}{4} \neq 0$ oraz $x_1 - x_2 \neq 0$, iloczyn ten jest różny od zera: $$f(x_1) - f(x_2) \neq 0 \iff f(x_1) \neq f(x_2)$$ Zgodnie z definicją funkcja $f$ jest różnowartościowa w zbiorze $\mathbb{R}$.

Odpowiedź:
a) Wykazano, że funkcja $f(x) = \dfrac{1}{4}x$ jest różnowartościowa w zbiorze $\mathbb{R}$.

b) Wykazano, że funkcja $f(x) = -6x$ jest różnowartościowa w zbiorze $\mathbb{R}$.

c) Wykazano, że funkcja $f(x) = \sqrt{3}x + 2$ jest różnowartościowa w zbiorze $\mathbb{R}$.

d) Wykazano, że funkcja $f(x) = -3x + 5$ jest różnowartościowa w zbiorze $\mathbb{R}$.

e) Wykazano, że funkcja $f(x) = \dfrac{5 - x}{3}$ jest różnowartościowa w zbiorze $\mathbb{R}$.

f) Wykazano, że funkcja $f(x) = \dfrac{3x + 7}{4}$ jest różnowartościowa w zbiorze $\mathbb{R}$.

Zadanie 5

Dany jest wzór funkcji $f$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Następnie wykaż, że funkcja $f$ nie jest różnowartościowa.
a) $f(x) = 6$
b) $f(x) = 4x^2$
c) $f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 3$
d) $f(x) = 3|x| + 2$
e) $f(x) = |x - 5|$
f) $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 9}$

Wskazówki:

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór ma sens liczbowy. Ograniczenia wynikają m.in. z dzielenia przez zero.
Funkcja $f$ jest różnowartościowa w dziedzinie $D_f$, jeśli dla każdych dwóch różnych argumentów $x_1, x_2 \in D_f$ zachodzi $f(x_1) \ne f(x_2)$.
Aby wykazać, że funkcja nie jest różnowartościowa, wystarczy podać kontrprzykład, czyli wskazać dwa różne argumenty $x_1, x_2 \in D_f$ ($x_1 \ne x_2$), dla których funkcja przyjmuje tę samą wartość: $f(x_1) = f(x_2)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy funkcję stałą $f(x) = 6$:
Wzór funkcji nie nakłada żadnych ograniczeń rachunkowych, zatem dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych: $$D_f = \mathbb{R}$$ Wybieramy dwa dowolne różne argumenty, na przykład $x_1 = 1$ oraz $x_2 = 2$. Obliczamy wartości funkcji: $$f(1) = 6$$ $$f(2) = 6$$ Ponieważ $x_1 \ne x_2$ oraz $f(1) = f(2)$, funkcja $f$ nie jest różnowartościowa.
Podpunkt b) Badamy funkcję kwadratową $f(x) = 4x^2$:
Operacja potęgowania jest wykonalna dla każdej liczby rzeczywistej, stąd: $$D_f = \mathbb{R}$$ Wybieramy dwa argumenty o przeciwnych znakach, na przykład $x_1 = -1$ oraz $x_2 = 1$. Obliczamy wartości: $$ \begin{aligned} f(-1) &= 4 \cdot (-1)^2 = 4 \cdot 1 = 4 \\[8pt] f(1) &= 4 \cdot 1^2 = 4 \cdot 1 = 4 \end{aligned} $$ Ponieważ $-1 \ne 1$ oraz $f(-1) = f(1)$, funkcja $f$ nie jest różnowartościowa.
Podpunkt c) Badamy funkcję kwadratową $f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 3$:
Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych: $$D_f = \mathbb{R}$$ Wybieramy argumenty przeciwne, na przykład $x_1 = -2$ oraz $x_2 = 2$. Obliczamy wartości: $$ \begin{aligned} f(-2) &= -\dfrac{1}{2} \cdot (-2)^2 + 3 = -\dfrac{1}{2} \cdot 4 + 3 = -2 + 3 = 1 \\[8pt] f(2) &= -\dfrac{1}{2} \cdot 2^2 + 3 = -\dfrac{1}{2} \cdot 4 + 3 = -2 + 3 = 1 \end{aligned} $$ Ponieważ $-2 \ne 2$ oraz $f(-2) = f(2)$, funkcja $f$ nie jest różnowartościowa.
Podpunkt d) Badamy funkcję z wartością bezwzględną $f(x) = 3|x| + 2$:
Wartość bezwzględną można wyznaczyć dla dowolnej liczby rzeczywistej, zatem: $$D_f = \mathbb{R}$$ Wybieramy argumenty przeciwne, na przykład $x_1 = -1$ oraz $x_2 = 1$. Obliczamy wartości: $$ \begin{aligned} f(-1) &= 3|-1| + 2 = 3 \cdot 1 + 2 = 5 \\[8pt] f(1) &= 3|1| + 2 = 3 \cdot 1 + 2 = 5 \end{aligned} $$ Ponieważ $-1 \ne 1$ oraz $f(-1) = f(1)$, funkcja $f$ nie jest różnowartościowa.
Podpunkt e) Badamy funkcję $f(x) = |x - 5|$:
Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych: $$D_f = \mathbb{R}$$ Szukamy dwóch różnych liczb oddalonych o tę samą odległość od liczby $5$ na osi liczbowej, na przykład o $1$: $$x_1 = 5 - 1 = 4, \quad x_2 = 5 + 1 = 6$$ Obliczamy wartości funkcji dla tych argumentów: $$ \begin{aligned} f(4) &= |4 - 5| = |-1| = 1 \\[8pt] f(6) &= |6 - 5| = |1| = 1 \end{aligned} $$ Ponieważ $4 \ne 6$ oraz $f(4) = f(6)$, funkcja $f$ nie jest różnowartościowa.
Podpunkt f) Badamy funkcję wymierną $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 9}$:
Mianownik ułamka musi być różny od zera: $$x^2 - 9 \ne 0 \iff (x - 3)(x + 3) \ne 0 \iff x \ne 3 \quad \text{i} \quad x \ne -3$$ Dziedziną funkcji jest zatem zbiór: $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$$ Wybieramy dwa różne argumenty należące do dziedziny, na przykład $x_1 = -1$ oraz $x_2 = 1$. Obliczamy wartości: $$ \begin{aligned} f(-1) &= \dfrac{(-1)^2}{(-1)^2 - 9} = \dfrac{1}{1 - 9} = -\dfrac{1}{8} \\[8pt] f(1) &= \dfrac{1^2}{1^2 - 9} = \dfrac{1}{1 - 9} = -\dfrac{1}{8} \end{aligned} $$ Ponieważ $-1 \ne 1$ oraz $f(-1) = f(1)$, funkcja $f$ nie jest różnowartościowa.

Odpowiedź:
a) $D_f = \mathbb{R}$; funkcja nie jest różnowartościowa, ponieważ np. dla $x_1 = 1$ oraz $x_2 = 2$ zachodzi $x_1 \ne x_2$ oraz $f(1) = f(2) = 6$.

b) $D_f = \mathbb{R}$; funkcja nie jest różnowartościowa, ponieważ np. dla $x_1 = -1$ oraz $x_2 = 1$ zachodzi $x_1 \ne x_2$ oraz $f(-1) = f(1) = 4$.

c) $D_f = \mathbb{R}$; funkcja nie jest różnowartościowa, ponieważ np. dla $x_1 = -2$ oraz $x_2 = 2$ zachodzi $x_1 \ne x_2$ oraz $f(-2) = f(2) = 1$.

d) $D_f = \mathbb{R}$; funkcja nie jest różnowartościowa, ponieważ np. dla $x_1 = -1$ oraz $x_2 = 1$ zachodzi $x_1 \ne x_2$ oraz $f(-1) = f(1) = 5$.

e) $D_f = \mathbb{R}$; funkcja nie jest różnowartościowa, ponieważ np. dla $x_1 = 4$ oraz $x_2 = 6$ zachodzi $x_1 \ne x_2$ oraz $f(4) = f(6) = 1$.

f) $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$; funkcja nie jest różnowartościowa, ponieważ np. dla $x_1 = -1$ oraz $x_2 = 1$ zachodzi $x_1 \ne x_2$ oraz $f(-1) = f(1) = -\dfrac{1}{8}$.

Grupa B

Zadanie 1

Na rysunku przedstawiono wykresy sześciu funkcji. Rozstrzygnij, które z nich są funkcjami różnowartościowymi, a które nie. Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 2

Sprawdź, które z poniższych funkcji są różnowartościowe.

a) $f(x) = |x - 2| + 1$, gdzie $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$

b) $f(x) = \dfrac{x + 3}{x - 1}$, gdzie $x \in \{-3, -1, 0, 2, 3\}$

c) $f(x) = x^3 - 9x$, gdzie $x \in \{-3, -1, 0, 1, 3, 4\}$

d) $f(x) = -x^2 + 2$, gdzie $x \in \{-3, -2, -1, 0, 2\}$

e) $f(x) = \begin{cases} (x + 1)^2 - 4, & \text{jeśli } x \in \{-3, -2, -1, 0\} \\ 3x, & \text{jeśli } x \in (0, +\infty) \end{cases}$

f) $f(x) = \begin{cases} x^3, & \text{jeśli } x \in (-\infty, 0) \\ \sqrt{2x}, & \text{jeśli } x \in \langle 0, +\infty) \end{cases}$

Zadanie 3

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej różnej od zera przyporządkowuje iloraz liczby $-5$ przez tę liczbę. Czy funkcja ta jest różnowartościowa? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 4

Dany jest wzór funkcji $f$, określonej w zbiorze $\mathbb{R}$. Wykaż, że funkcja $f$ jest różnowartościowa.
a) $f(x) = \dfrac{1}{5}x$
b) $f(x) = -7x$
c) $f(x) = \sqrt{5}x + 3$
d) $f(x) = -2x + 9$
e) $f(x) = \dfrac{4 - x}{5}$
f) $f(x) = \dfrac{4x + 9}{3}$

Zadanie 5

Dany jest wzór funkcji $f$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Następnie wykaż, że funkcja $f$ nie jest różnowartościowa.
a) $f(x) = 7$
b) $f(x) = 5x^2$
c) $f(x) = -\dfrac{1}{4}x^2 + 6$
d) $f(x) = 4|x| + 1$
e) $f(x) = |x - 3|$
f) $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 16}$

3.8 Funkcje różnowartościowe

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋