monotoniczność funkcji kartkówka LiczBit

3.7 Monotoniczność funkcji

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Wśród poniższych wykresów znajdują się wykresy funkcji malejących. Wskaż je.

a)

Wskazówki:

Funkcja $f$ jest malejąca w całej swojej dziedzinie $D$, jeżeli dla dowolnych dwóch argumentów $x_1, x_2 \in D$ spełniony jest warunek: $x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$.
Z geometrycznego punktu widzenia oznacza to, że przy poruszaniu się po osi $OX$ od lewej do prawej strony wykres funkcji stale pnie się w dół.
Obecność poziomego fragmentu wykresu wyklucza funkcję malejącą (funkcja jest wtedy co najwyżej nierosnąca).
W przypadku wykresów składających się z kilku gałęzi lub posiadających asymptoty pionowe należy sprawdzić relację wartości między różnymi gałęziami – funkcja może maleć w poszczególnych przedziałach, lecz nie być malejąca w całej dziedzinie.

Rozwiązanie krok po kroku:

Definicja funkcji malejącej i kryterium odczytu z wykresu:
Funkcja $f$ o dziedzinie $D$ jest malejąca, gdy dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in D$ zachodzi implikacja: $$x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$$ Aby wykazać, że funkcja nie jest malejąca, wystarczy wskazać choć jedną parę argumentów spełniającą $x_1 < x_2$, dla której $f(x_1) \le f(x_2)$.
Podpunkt a) Analiza wykresu z przerwą i przeskokiem wartości:
Wykres składa się z dwóch odcinków opadających w prawo. Sprawdzamy jednak relację wartości pomiędzy argumentem z pierwszej gałęzi a argumentem z drugiej gałęzi. Wybierzmy argumenty: $$x_1 = 0 \quad \text{oraz} \quad x_2 = 2$$ Z wykresu odczytujemy: $$\begin{aligned} f(0) &= 1 \\[8pt] f(2) &= 2 \end{aligned}$$ Mamy $x_1 < x_2$ (ponieważ $0 < 2$), ale jednocześnie zachodzi relacja: $$f(0) < f(2)$$ Wartość funkcji wzrosła, co bezpośrednio przeczy definicji funkcji malejącej w całej dziedzinie. Funkcja maleje w przedziałach $(-\infty, 0\rangle$ oraz $(1, \infty)$ z osobna, lecz nie jest malejąca w całej dziedzinie.
Podpunkt b) Analiza gładkiej krzywej ściśle opadającej:
Wykres przedstawia funkcję określoną i ciągłą w całym zbiorze liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$. Poruszając się od lewej strony ku prawej, linia wykresu w każdym punkcie opada. Dla dowolnej pary argumentów $x_1 < x_2$ wartość $f(x_1)$ leży ściśle powyżej wartości $f(x_2)$. Zatem funkcja z podpunktu b) jest funkcją malejącą.
Podpunkt c) Analiza wykresu z fragmentem stałym:
Wykres w przedziale argumentów $\langle -2, 2 \rangle$ ma postać poziomego odcinka leżącego na wysokości $y = 1$. Wybierając np. argumenty: $$x_1 = -1 \quad \text{oraz} \quad x_2 = 1$$ otrzymujemy: $$f(-1) = 1 = f(1)$$ Mimo że $-1 < 1$, to wartości funkcji są równe ($f(x_1) = f(x_2)$). Funkcja nie spełnia ostrej nierówności $f(x_1) > f(x_2)$, dlatego jest funkcją nierosnącą, ale nie jest funkcją malejącą.
Podpunkt d) Analiza wykresu z asymptotą pionową (dwie gałęzie hiperboliczne):
Funkcja jest określona dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Dla wszystkich argumentów ujemnych ($x < 0$) wykres leży w całości poniżej osi $OX$, zatem: $$f(x) < 0 \quad \text{dla} \quad x \in (-\infty, 0)$$ Dla wszystkich argumentów dodatnich ($x > 0$) wykres leży powyżej osi $OX$, zatem: $$f(x) > 0 \quad \text{dla} \quad x \in (0, \infty)$$ Wybierając np. $x_1 = -2$ oraz $x_2 = 2$, mamy: $$x_1 < x_2 \quad \text{lecz} \quad f(-2) < 0 < f(2)$$ Funkcja maleje w przedziale $(-\infty, 0)$ oraz maleje w przedziale $(0, \infty)$, ale w całej swojej dziedzinie nie jest funkcją malejącą.
Podpunkt e) Analiza ciągłej łamanej o ujemnym nachyleniu każdego odcinka:
Wykres składa się z trzech kolejnych odcinków o ujemnych współczynnikach kierunkowych połączonych w sposób ciągły w punktach o odciętych $x = -1$ oraz $x = 2$. Na każdym z odcinków funkcja ściśle maleje, a brak jakichkolwiek przeskoków w górę sprawia, że dla dowolnych $x_1 < x_2$ z całej dziedziny $\langle -5, 5 \rangle$ zachodzi: $$f(x_1) > f(x_2)$$ Zatem funkcja z podpunktu e) jest funkcją malejącą.
Podpunkt f) Analiza wykresu ze zmianą kierunku monotoniczności:
Krzywa posiada ekstrema lokalne. W przedziale od $x = -4$ do lokalnego maksimum w $x = -1.5$ wykres wyraźnie wznosi się w górę. Dla argumentów $x_1 = -4$ i $x_2 = -1.5$ mamy: $$\begin{aligned} f(-4) &= -2 \\[8pt] f(-1.5) &= 2.5 \end{aligned}$$ Ponieważ $f(-4) < f(-1.5)$, funkcja w tym fragmencie rośnie. Nie jest to funkcja malejąca.

Odpowiedź:
a) funkcja nie jest malejąca

b) funkcja malejąca

c) funkcja nie jest malejąca

d) funkcja nie jest malejąca

e) funkcja malejąca

f) funkcja nie jest malejąca

Wykresami funkcji malejących są wykresy z podpunktów b) oraz e).

Zadanie 2

Poniżej przedstawiono wykresy pewnych funkcji. Podaj maksymalne przedziały liczbowe, w których dana funkcja jest rosnąca.

a)

Wskazówki:

Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, gdy przy poruszaniu się wzdłuż osi $OX$ od lewej do prawej strony wykres funkcji pnie się w górę.
Przedziały monotoniczności odczytujemy zawsze z osi argumentów $OX$, a nie z osi wartości $OY$.
Punkt graniczny włączamy do przedziału (domykamy nawias), jeśli funkcja jest w nim określona (kółko zamalowane lub punkt ciągłości). Kółko otwarte oznacza przedział otwarty.
Poszczególnych przedziałów monotoniczności nie łączymy symbolem sumy zbiorów $\cup$ – wymieniamy je oddzielnie jako osobne przedziały.

Rozwiązanie krok po kroku:

Definicja funkcji rosnącej i zasada odczytu z wykresu:
Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $I$, jeżeli dla dowolnych dwóch argumentów $x_1, x_2 \in I$ spełniony jest warunek: $$x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$$ Na wykresie oznacza to fragmenty linii, które wznoszą się od strony lewej do prawej. Odczytujemy odpowiadający im zbiór argumentów na osi $OX$.
Podpunkt a) Wyznaczenie maksymalnego przedziału, w którym funkcja jest rosnąca:
Analizujemy kolejne odcinki wykresu od lewej krawędzi dziedziny: Od punktu $(-5, 2)$ do $(-2, -2)$ wykres opada (funkcja jest malejąca). Od punktu $(-2, -2)$ do punktu $(2, 3)$ wykres jednostajnie pnie się w górę. Rzutując ten odcinek na oś $OX$, otrzymujemy przedział: $$x \in \langle -2, 2 \rangle$$ Od punktu $(2, 3)$ do punktu $(5, -1)$ wykres ponownie opada. Zatem funkcja jest rosnąca w przedziale $\langle -2, 2 \rangle$.
Podpunkt b) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności z uwzględnieniem punktu nieciągłości:
Analizujemy wykres składający się z dwóch oddzielnych gałęzi: Pierwsza gałąź zaczyna się w otwartym punkcie $(-5, -2)$ i wznosi się aż do domkniętego punktu $(-1, 3)$. Wyznacza to pierwszy przedział rosnący: $$x \in (-5, -1\rangle$$ Dla argumentu $x = -1$ następuje przeskok wartości do punktu $(-1, 1)$ (kółko otwarte). Od tego miejsca wykres opada do $(2, -1)$, a następnie od punktu $(2, -1)$ pnie się w górę do punktu $(5, 2)$ (kółko zamalowane). Daje to drugi przedział rosnący: $$x \in \langle 2, 5 \rangle$$ Funkcja jest rosnąca w przedziałach: $(-5, -1\rangle$ oraz $\langle 2, 5 \rangle$.
Podpunkt c) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności krzywej:
Śledzimy przebieg gładkiej krzywej na całym obszarze określoności: Od punktu początkowego $(-5, -3)$ do pierwszego lokalnego maksimum w punkcie $(-2, 0)$ krzywa wznosi się w górę: $$x \in \langle -5, -2 \rangle$$ Od $(-2, 0)$ do $(1, -2)$ funkcja maleje. Od lokalnego minimum w punkcie $(1, -2)$ do drugiego maksimum w punkcie $(4, 4)$ funkcja ponownie pnie się w górę: $$x \in \langle 1, 4 \rangle$$ Od punktu $(4, 4)$ do końca wykresu w $(6, 1)$ funkcja opada. Zatem funkcja jest rosnąca w przedziałach: $\langle -5, -2 \rangle$ oraz $\langle 1, 4 \rangle$.
Podpunkt d) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności łamanej wieloodcinkowej:
Weryfikujemy monotoniczność poszczególnych segmentów łamanej: Odcinek 1: od $(-6, 2)$ do $(-3, -3)$ maleje. Odcinek 2: od $(-3, -3)$ do $(0, 2)$ rośnie, co wyznacza przedział argumentów: $$x \in \langle -3, 0 \rangle$$ Odcinek 3: od $(0, 2)$ do $(2, 1)$ maleje. Odcinek 4: od $(2, 1)$ do $(4, 3)$ rośnie, co odpowiada przedziałowi: $$x \in \langle 2, 4 \rangle$$ Odcinek 5: od $(4, 3)$ do $(5, -4)$ maleje. Zatem funkcja jest rosnąca w przedziałach: $\langle -3, 0 \rangle$ oraz $\langle 2, 4 \rangle$.

Odpowiedź:
a) $\langle -2, 2 \rangle$

b) $(-5, -1\rangle$ oraz $\langle 2, 5 \rangle$

c) $\langle -5, -2 \rangle$ oraz $\langle 1, 4 \rangle$

d) $\langle -3, 0 \rangle$ oraz $\langle 2, 4 \rangle$

Zadanie 3

Wykaż na podstawie definicji, że funkcja:
a) $f(x) = 5x$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$
b) $f(x) = 3 - \sqrt{7}$ jest stała w zbiorze $\mathbb{R}$
c) $f(x) = 7 - 4x$ jest malejąca w zbiorze $\mathbb{R}$
d) $f(x) = 2 + \sqrt{3}x$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$

Wskazówki:

Funkcja $f$ jest rosnąca w zbiorze $D$, gdy dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in D$ takich, że $x_1 < x_2$ (czyli $x_2 - x_1 > 0$), zachodzi nierówność $f(x_1) < f(x_2)$, co jest równoważne warunkowi $f(x_2) - f(x_1) > 0$.
Funkcja $f$ jest malejąca w zbiorze $D$, gdy dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in D$ takich, że $x_1 < x_2$ (czyli $x_2 - x_1 > 0$), zachodzi nierówność $f(x_1) > f(x_2)$, co jest równoważne warunkowi $f(x_2) - f(x_1) < 0$.
Funkcja $f$ jest stała w zbiorze $D$, gdy dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in D$ zachodzi równość $f(x_1) = f(x_2)$, co oznacza $f(x_2) - f(x_1) = 0$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy monotoniczność funkcji $f(x) = 5x$:
Wybieramy dowolne liczby rzeczywiste $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ spełniające warunek: $$x_1 < x_2 \iff x_2 - x_1 > 0$$ Badamy znak różnicy wartości funkcji dla tych argumentów: $$ \begin{aligned} f(x_2) - f(x_1) &= 5x_2 - 5x_1 \\[8pt] &= 5(x_2 - x_1) \end{aligned} $$ Liczba $5$ jest dodatnia, a z założenia $x_2 - x_1 > 0$. Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią: $$5(x_2 - x_1) > 0 \implies f(x_2) - f(x_1) > 0 \implies f(x_1) < f(x_2)$$ Zatem z definicji funkcja $f(x) = 5x$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$.
Podpunkt b) Badamy monotoniczność funkcji $f(x) = 3 - \sqrt{7}$:
Wybieramy dowolne liczby rzeczywiste $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$. Funkcja ta każdemu argumentowi przyporządkowuje tę samą wartość liczbową. Obliczamy różnicę wartości funkcji: $$ \begin{aligned} f(x_2) - f(x_1) &= (3 - \sqrt{7}) - (3 - \sqrt{7}) \\[8pt] &= 0 \end{aligned} $$ Ponieważ $f(x_2) - f(x_1) = 0$, otrzymujemy $f(x_1) = f(x_2)$ dla każdych dwóch argumentów ze zbioru liczb rzeczywistych. Oznacza to, że funkcja $f(x) = 3 - \sqrt{7}$ jest stała w zbiorze $\mathbb{R}$.
Podpunkt c) Badamy monotoniczność funkcji $f(x) = 7 - 4x$:
Wybieramy dowolne liczby rzeczywiste $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ spełniające warunek: $$x_1 < x_2 \iff x_2 - x_1 > 0$$ Badamy znak różnicy wartości funkcji: $$ \begin{aligned} f(x_2) - f(x_1) &= (7 - 4x_2) - (7 - 4x_1) \\[8pt] &= 7 - 4x_2 - 7 + 4x_1 \\[8pt] &= -4x_2 + 4x_1 \\[8pt] &= -4(x_2 - x_1) \end{aligned} $$ Ponieważ czynnik $-4$ jest ujemny, a z założenia $x_2 - x_1 > 0$, iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny: $$-4(x_2 - x_1) < 0 \implies f(x_2) - f(x_1) < 0 \implies f(x_1) > f(x_2)$$ Dla dowolnych $x_1 < x_2$ zachodzi $f(x_1) > f(x_2)$, co dowodzi, że funkcja $f(x) = 7 - 4x$ jest malejąca w zbiorze $\mathbb{R}$.
Podpunkt d) Badamy monotoniczność funkcji $f(x) = 2 + \sqrt{3}x$:
Wybieramy dowolne liczby rzeczywiste $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ spełniające warunek: $$x_1 < x_2 \iff x_2 - x_1 > 0$$ Badamy znak różnicy wartości funkcji: $$ \begin{aligned} f(x_2) - f(x_1) &= (2 + \sqrt{3}x_2) - (2 + \sqrt{3}x_1) \\[8pt] &= 2 + \sqrt{3}x_2 - 2 - \sqrt{3}x_1 \\[8pt] &= \sqrt{3}(x_2 - x_1) \end{aligned} $$ Czynnik $\sqrt{3}$ jest dodatni, a różnica $x_2 - x_1 > 0$. Zatem ich iloczyn jest dodatni: $$\sqrt{3}(x_2 - x_1) > 0 \implies f(x_2) - f(x_1) > 0 \implies f(x_1) < f(x_2)$$ Wykazaliśmy, że dla dowolnych $x_1 < x_2$ zachodzi $f(x_1) < f(x_2)$, co oznacza, że funkcja $f(x) = 2 + \sqrt{3}x$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$.

Odpowiedź:
a) Wykazano: funkcja $f(x) = 5x$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$.

b) Wykazano: funkcja $f(x) = 3 - \sqrt{7}$ jest stała w zbiorze $\mathbb{R}$.

c) Wykazano: funkcja $f(x) = 7 - 4x$ jest malejąca w zbiorze $\mathbb{R}$.

d) Wykazano: funkcja $f(x) = 2 + \sqrt{3}x$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$.

Zadanie 4

Wykaż na podstawie definicji, że funkcja:
a) $f(x) = 2x^2$ jest rosnąca w przedziale $\langle 0, +\infty)$
b) $f(x) = 5 - x^2$ jest malejąca w przedziale $\langle 0, +\infty)$
c) $f(x) = 2 - 3x^2$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, 0\rangle$
d) $f(x) = 4x^2 + 1$ jest malejąca w przedziale $(-\infty, 0\rangle$

Wskazówki:

Aby wykazać monotoniczność funkcji w danym przedziale z definicji, wybieramy dwa dowolne argumenty $x_1, x_2$ należące do tego przedziału takie, że $x_1 < x_2$ (czyli $x_2 - x_1 > 0$), a następnie badamy znak różnicy wartości funkcji $f(x_2) - f(x_1)$.
Funkcja jest rosnąca, gdy $f(x_2) - f(x_1) > 0$, a malejąca, gdy $f(x_2) - f(x_1) < 0$.
Do zbadania znaku różnicy wartości funkcji warto zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wykazanie, że funkcja $f(x) = 2x^2$ jest rosnąca w przedziale $\langle 0, +\infty)$:
Wybieramy dowolne argumenty $x_1, x_2 \in \langle 0, +\infty)$ takie, że $x_1 < x_2$. Z tego założenia bezpośrednio wynika, że: $$x_2 - x_1 > 0$$ Ponieważ $x_1 \ge 0$ oraz $x_2 > 0$ (gdyż $x_2 > x_1 \ge 0$), suma tych argumentów jest ściśle dodatnia: $$x_2 + x_1 > 0$$ Badamy znak różnicy wartości funkcji $f(x_2) - f(x_1)$: $$ \begin{aligned} f(x_2) - f(x_1) &= 2x_2^2 - 2x_1^2 \\[8pt] &= 2(x_2^2 - x_1^2) \\[8pt] &= 2(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) \end{aligned} $$ Każdy z czynników w iloczynie jest dodatni ($2 > 0$, $x_2 - x_1 > 0$ oraz $x_2 + x_1 > 0$), zatem: $$f(x_2) - f(x_1) > 0 \iff f(x_2) > f(x_1)$$ Zgodnie z definicją funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\langle 0, +\infty)$.
Podpunkt b) Wykazanie, że funkcja $f(x) = 5 - x^2$ jest malejąca w przedziale $\langle 0, +\infty)$:
Niech $x_1, x_2 \in \langle 0, +\infty)$ będą dowolnymi argumentami spełniającymi warunek $x_1 < x_2$. Wówczas mamy: $$x_2 - x_1 > 0 \quad \text{oraz} \quad x_2 + x_1 > 0$$ Wyznaczamy różnicę wartości funkcji $f(x_2) - f(x_1)$: $$ \begin{aligned} f(x_2) - f(x_1) &= (5 - x_2^2) - (5 - x_1^2) \\[8pt] &= 5 - x_2^2 - 5 + x_1^2 \\[8pt] &= -(x_2^2 - x_1^2) \\[8pt] &= -(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) \end{aligned} $$ Ponieważ czynniki $(x_2 - x_1)$ oraz $(x_2 + x_1)$ są dodatnie, cały iloczyn poprzedzony znakiem minus jest ujemny: $$f(x_2) - f(x_1) < 0 \iff f(x_2) < f(x_1)$$ Co dowodzi, że funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\langle 0, +\infty)$.
Podpunkt c) Wykazanie, że funkcja $f(x) = 2 - 3x^2$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, 0\rangle$:
Wybieramy dowolne liczby $x_1, x_2 \in (-\infty, 0\rangle$ spełniające warunek $x_1 < x_2$. Wtedy: $$x_2 - x_1 > 0$$ Ponieważ oba argumenty należą do przedziału liczb niedodatnich oraz $x_1 < x_2 \le 0$, to w szczególności $x_1 < 0$, stąd ich suma jest ściśle ujemna: $$x_2 + x_1 < 0$$ Obliczamy różnicę wartości funkcji $f(x_2) - f(x_1)$: $$ \begin{aligned} f(x_2) - f(x_1) &= (2 - 3x_2^2) - (2 - 3x_1^2) \\[8pt] &= 2 - 3x_2^2 - 2 + 3x_1^2 \\[8pt] &= -3(x_2^2 - x_1^2) \\[8pt] &= -3(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) \end{aligned} $$ Iloczyn liczby ujemnej $-3$, liczby dodatniej $(x_2 - x_1)$ oraz liczby ujemnej $(x_2 + x_1)$ jest liczbą dodatnią: $$f(x_2) - f(x_1) > 0 \iff f(x_2) > f(x_1)$$ Zatem z definicji funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, 0\rangle$.
Podpunkt d) Wykazanie, że funkcja $f(x) = 4x^2 + 1$ jest malejąca w przedziale $(-\infty, 0\rangle$:
Niech $x_1, x_2 \in (-\infty, 0\rangle$ będą dowolnymi argumentami takimi, że $x_1 < x_2$. Otrzymujemy: $$x_2 - x_1 > 0 \quad \text{oraz} \quad x_2 + x_1 < 0$$ Badamy znak różnicy wartości funkcji $f(x_2) - f(x_1)$: $$ \begin{aligned} f(x_2) - f(x_1) &= (4x_2^2 + 1) - (4x_1^2 + 1) \\[8pt] &= 4x_2^2 + 1 - 4x_1^2 - 1 \\[8pt] &= 4(x_2^2 - x_1^2) \\[8pt] &= 4(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) \end{aligned} $$ Iloczyn liczby dodatniej $4$, liczby dodatniej $(x_2 - x_1)$ oraz liczby ujemnej $(x_2 + x_1)$ daje wartość ujemną: $$f(x_2) - f(x_1) < 0 \iff f(x_2) < f(x_1)$$ Zgodnie z definicją funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $(-\infty, 0\rangle$.

Odpowiedź:
a) Wykazano na podstawie definicji, że funkcja $f(x) = 2x^2$ jest rosnąca w przedziale $\langle 0, +\infty)$.

b) Wykazano na podstawie definicji, że funkcja $f(x) = 5 - x^2$ jest malejąca w przedziale $\langle 0, +\infty)$.

c) Wykazano na podstawie definicji, że funkcja $f(x) = 2 - 3x^2$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, 0\rangle$.

d) Wykazano na podstawie definicji, że funkcja $f(x) = 4x^2 + 1$ jest malejąca w przedziale $(-\infty, 0\rangle$.

Zadanie 5

Zbadaj monotoniczność funkcji:
a) $f(x) = x^2 - 4x + 4$ w przedziale $\langle 2, +\infty)$
b) $f(x) = \dfrac{3 - x}{2x}$ w przedziale $(0, +\infty)$
c) $f(x) = \sqrt{6 - 3x}$ w przedziale $(-\infty, 2\rangle$
d) $f(x) = |3x|$ w przedziale $(-\infty, 0\rangle$

Wskazówki:

Aby zbadać monotoniczność funkcji $f$ w zadanym przedziale z definicji, wybieramy dwa dowolne argumenty $x_1, x_2$ z tego przedziału takie, że $x_1 < x_2$ (czyli $x_2 - x_1 > 0$), a następnie badamy znak różnicy wartości $f(x_2) - f(x_1)$.
Jeśli $f(x_2) - f(x_1) > 0$, funkcja jest rosnąca. Jeśli $f(x_2) - f(x_1) < 0$, funkcja jest malejąca.
Przy badaniu funkcji z pierwiastkiem warto wykorzystać mnożenie przez sprzężenie sumy pierwiastków lub równoważne przekształcenia nierówności, natomiast przy wartości bezwzględnej korzystamy z jej definicji dla argumentów niedodatnich.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy monotoniczność funkcji $f(x) = x^2 - 4x + 4$ w przedziale $\langle 2, +\infty)$:
Wybieramy dowolne argumenty $x_1, x_2 \in \langle 2, +\infty)$ takie, że $x_1 < x_2$. Z tego założenia mamy: $$x_2 - x_1 > 0 \quad \text{oraz} \quad x_1 \ge 2, \; x_2 > 2$$ Tworzymy różnicę wartości funkcji $f(x_2) - f(x_1)$ i rozkładamy ją na czynniki: $$ \begin{aligned} f(x_2) - f(x_1) &= (x_2^2 - 4x_2 + 4) - (x_1^2 - 4x_1 + 4) \\[8pt] &= x_2^2 - x_1^2 - 4x_2 + 4x_1 \\[8pt] &= (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 4(x_2 - x_1) \\[8pt] &= (x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 4) \end{aligned} $$ Analizujemy znaki poszczególnych czynników:
• Czynnik $(x_2 - x_1) > 0$, ponieważ przyjęliśmy $x_1 < x_2$.
• Skoro $x_1 \ge 2$ oraz $x_2 > 2$, to ich suma spełnia warunek $x_1 + x_2 > 4$, a zatem $(x_1 + x_2 - 4) > 0$.

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni: $$f(x_2) - f(x_1) > 0 \implies f(x_2) > f(x_1)$$ Zatem funkcja $f(x)$ jest rosnąca w przedziale $\langle 2, +\infty)$.
Podpunkt b) Badamy monotoniczność funkcji $f(x) = \dfrac{3 - x}{2x}$ w przedziale $(0, +\infty)$:
Wybieramy dowolne argumenty $x_1, x_2 \in (0, +\infty)$ takie, że $x_1 < x_2$. Wówczas: $$x_2 - x_1 > 0 \quad \text{oraz} \quad x_1 > 0, \; x_2 > 0$$ Tworzymy różnicę wartości i sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika: $$ \begin{aligned} f(x_2) - f(x_1) &= \dfrac{3 - x_2}{2x_2} - \dfrac{3 - x_1}{2x_1} \\[8pt] &= \dfrac{x_1(3 - x_2) - x_2(3 - x_1)}{2x_1 x_2} \\[8pt] &= \dfrac{3x_1 - x_1 x_2 - 3x_2 + x_1 x_2}{2x_1 x_2} \\[8pt] &= \dfrac{3(x_1 - x_2)}{2x_1 x_2} \\[8pt] &= -\dfrac{3(x_2 - x_1)}{2x_1 x_2} \end{aligned} $$ Określamy znak ilorazu:
• Licznik: Ponieważ $x_2 - x_1 > 0$, to $-3(x_2 - x_1) < 0$.
• Mianownik: Ponieważ $x_1 > 0$ i $x_2 > 0$, to $2x_1 x_2 > 0$.

Iloraz liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny: $$f(x_2) - f(x_1) < 0 \implies f(x_2) < f(x_1)$$ Zatem funkcja $f(x)$ jest malejąca w przedziale $(0, +\infty)$.
Podpunkt c) Badamy monotoniczność funkcji $f(x) = \sqrt{6 - 3x}$ w przedziale $(-\infty, 2\rangle$:
Sposób I – Wyznaczenie znaku różnicy wartości:
Niech $x_1, x_2 \in (-\infty, 2\rangle$ będą dowolnymi liczbami takimi, że $x_1 < x_2$. Badamy różnicę wartości i mnożymy licznik oraz mianownik przez sprzężenie sumy pierwiastków: $$ \begin{aligned} f(x_2) - f(x_1) &= \sqrt{6 - 3x_2} - \sqrt{6 - 3x_1} \\[8pt] &= \dfrac{(\sqrt{6 - 3x_2} - \sqrt{6 - 3x_1})(\sqrt{6 - 3x_2} + \sqrt{6 - 3x_1})}{\sqrt{6 - 3x_2} + \sqrt{6 - 3x_1}} \\[8pt] &= \dfrac{(6 - 3x_2) - (6 - 3x_1)}{\sqrt{6 - 3x_2} + \sqrt{6 - 3x_1}} \\[8pt] &= \dfrac{-3(x_2 - x_1)}{\sqrt{6 - 3x_2} + \sqrt{6 - 3x_1}} \end{aligned} $$ Licznik jest ujemny, ponieważ $x_2 - x_1 > 0$. Mianownik jest dodatni jako suma nieujemnych pierwiastków arytmetycznych (dla $x_1 < x_2 \le 2$ przynajmniej $6 - 3x_1 > 0$). Cały ułamek jest więc ujemny: $$f(x_2) - f(x_1) < 0 \implies f(x_2) < f(x_1)$$
Sposób II – Przekształcanie nierówności:
Wychodzimy z założenia $x_1 < x_2 \le 2$ i stosujemy elementarne własności nierówności: $$ \begin{aligned} x_1 &< x_2 \\[8pt] -3x_1 &> -3x_2 \\[8pt] 6 - 3x_1 &> 6 - 3x_2 \ge 0 \\[8pt] \sqrt{6 - 3x_1} &> \sqrt{6 - 3x_2} \\[8pt] f(x_1) &> f(x_2) \end{aligned} $$ Dla $x_1 < x_2$ otrzymaliśmy $f(x_1) > f(x_2)$, co dowodzi, że funkcja $f(x)$ jest malejąca w przedziale $(-\infty, 2\rangle$.
Podpunkt d) Badamy monotoniczność funkcji $f(x) = |3x|$ w przedziale $(-\infty, 0\rangle$:
Dla każdego $x \in (-\infty, 0\rangle$ zachodzi nierówność $x \le 0$, więc również $3x \le 0$. Z definicji modułu liczby niedodatniej ($|a| = -a$ dla $a \le 0$) wzór funkcji upraszcza się do postaci: $$f(x) = -3x$$ Niech $x_1, x_2 \in (-\infty, 0\rangle$ spełniają warunek $x_1 < x_2$, czyli $x_2 - x_1 > 0$. Badamy różnicę wartości: $$ \begin{aligned} f(x_2) - f(x_1) &= (-3x_2) - (-3x_1) \\[8pt] &= -3x_2 + 3x_1 \\[8pt] &= -3(x_2 - x_1) \end{aligned} $$ Ponieważ $x_2 - x_1 > 0$, to $-3(x_2 - x_1) < 0$, skąd: $$f(x_2) - f(x_1) < 0 \implies f(x_2) < f(x_1)$$ Zatem funkcja $f(x)$ jest malejąca w przedziale $(-\infty, 0\rangle$.

Odpowiedź:
a) Funkcja jest rosnąca w przedziale $\langle 2, +\infty)$.

b) Funkcja jest malejąca w przedziale $(0, +\infty)$.

c) Funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, 2\rangle$.

d) Funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, 0\rangle$.

Grupa B

Zadanie 1

Wśród poniższych wykresów znajdują się wykresy funkcji malejących. Wskaż je.

a)

Zadanie 2

Poniżej przedstawiono wykresy pewnych funkcji. Podaj maksymalne przedziały liczbowe, w których dana funkcja jest rosnąca.

a)

Zadanie 3

Wykaż na podstawie definicji, że funkcja:
a) $f(x) = 4x$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$
b) $f(x) = \sqrt{3} - 2$ jest stała w zbiorze $\mathbb{R}$
c) $f(x) = 5 - 3x$ jest malejąca w zbiorze $\mathbb{R}$
d) $f(x) = -3 + \sqrt{5}x$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$

Zadanie 4

Wykaż na podstawie definicji, że funkcja:
a) $f(x) = 3x^2$ jest rosnąca w przedziale $\langle 0, +\infty)$
b) $f(x) = 6 - 2x^2$ jest malejąca w przedziale $\langle 0, +\infty)$
c) $f(x) = 1 - 4x^2$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, 0\rangle$
d) $f(x) = 0{,}5x^2 + 3$ jest malejąca w przedziale $(-\infty, 0\rangle$

Zadanie 5

Zbadaj monotoniczność funkcji:
a) $f(x) = x^2 + 4x + 4$ w przedziale $\langle -2, +\infty)$
b) $f(x) = \dfrac{4 - x}{5x}$ w przedziale $(0, +\infty)$
c) $f(x) = \sqrt{10 - 2x}$ w przedziale $(-\infty, 5\rangle$
d) $f(x) = |5x|$ w przedziale $(-\infty, 0\rangle$

3.7 Monotoniczność funkcji

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋