Miejsce zerowe funkcji kartkówka LiczBit

3.5 Miejsce zerowe funkcji

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Na podstawie wykresu funkcji $f$ podaj jej miejsca zerowe (o ile istnieją).

Wskazówki:

Miejscem zerowym funkcji $f$ nazywamy taki argument $x$, dla którego wartość funkcji wynosi zero, czyli $f(x) = 0$.
Geometrycznie miejsca zerowe to odcięte (współrzędne $x$) punktów przecięcia lub punktów wspólnych wykresu z osią $OX$.
Punkt zaznaczony kółkiem otwartym (niezamalowanym) nie należy do wykresu funkcji, dlatego punkt leżący na osi $OX$ z kółkiem otwartym nie może być miejscem zerowym.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Odczytanie punktów przecięcia wykresu z osią OX:
Szukamy punktów, w których niebieski wykres przecina oś $OX$ (poziom $y = 0$). Wykres styka się z osią w dwóch punktach: $(-2, 0)$ oraz $(1, 0)$.

Dla argumentów $x = -2$ oraz $x = 1$ mamy $f(x) = 0$.
Miejsca zerowe: $x = -2$ oraz $x = 1$.
Podpunkt b) Analiza wykresu i brak punktów wspólnych z osią OX:
Żadna z trzech części wykresu nie dotyka poziomu $y = 0$: odcinek lewy leży powyżej osi ($y \ge 1$), środkowy stale na poziomie ujemnym ($y = -2$), a prawy na poziomie dodatnim ($y = 2$).

Funkcja nigdy nie przyjmuje wartości $0$.
Odpowiedź: brak miejsc zerowych.
Podpunkt c) Odczytanie miejsc zerowych z krzywej oraz odcinka:
Krzywa przecina oś $OX$ w punkcie $(-1, 0)$, po czym rosnący odcinek przecina ją w punkcie $(3, 0)$. W obu tych punktach funkcja osiąga wartość $0$.

Zachodzi $f(-1) = 0$ oraz $f(3) = 0$.
Miejsca zerowe: $x = -1$ oraz $x = 3$.
Podpunkt d) Analiza punktów ciągłych, izolowanych oraz kółek otwartych:
Przyglądamy się miejscom zetknięcia wykresu z osią $OX$:
- $x = -4$: odcinek przecina oś ciągle $\rightarrow$ miejsce zerowe.
- $x = -2$: zamalowany pojedynczy punkt leży dokładnie na osi, więc $f(-2) = 0$ $\rightarrow$ miejsce zerowe.
- $x = 2$: kółko w punkcie $(2, 0)$ jest otwarte (puste w środku). Punkt nie należy do wykresu, więc $f(2) \neq 0$ (wartość dla $x=2$ to kółko wyżej w $y=4$, ale też otwarte) $\rightarrow$ to NIE jest miejsce zerowe.
- $x = 5$: prawy odcinek przecina oś ciągle $\rightarrow$ miejsce zerowe.
Miejsca zerowe: $x = -4$, $x = -2$ oraz $x = 5$.

Odpowiedź:
a) $x = -2$, $x = 1$

b) brak miejsc zerowych

c) $x = -1$, $x = 3$

d) $x \in \{-4, -2, 5\}$ (czyli $x = -4$, $x = -2$, $x = 5$)

Zadanie 2

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$, a następnie sprawdź, które z podanych liczb są miejscami zerowymi funkcji $f$, jeśli:

a) $f(x) = \dfrac{-x^2 + 9}{x + 4}; \quad -4, \; -3, \; 0, \; 3$

b) $f(x) = \dfrac{3x + 9}{x^2 - 9}; \quad -4, \; -3, \; 2, \; 3$

c) $f(x) = \sqrt{2x - 8}; \quad 3, \; 4, \; 5, \; 6$

d) $f(x) = (x - 2)(x + 4)(3x - 9); \quad -4, \; 0, \; 2, \; 5$

Wskazówki:

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens matematyczny (mianownik ułamka musi być różny od zera, a wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne).
Liczba $x_0$ jest miejscem zerowym funkcji $f$, jeśli należy do jej dziedziny ($x_0 \in D$) oraz wartość funkcji dla tego argumentu wynosi zero ($f(x_0) = 0$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Funkcja $f(x) = \dfrac{-x^2 + 9}{x + 4}$ oraz liczby $-4, -3, 0, 3$:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji. Mianownik nie może być równy zero: $$x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$$ Zatem dziedziną funkcji jest: $$D = \mathbb{R} \setminus \{-4\}$$ Sprawdzamy kolejno podane liczby:
- Dla $x = -4$: liczba nie należy do dziedziny ($-4 \notin D$), zatem nie może być miejscem zerowym funkcji.
- Dla $x = -3$: liczba należy do dziedziny ($-3 \in D$). Obliczamy wartość funkcji: $$f(-3) = \dfrac{-(-3)^2 + 9}{-3 + 4} = \dfrac{-9 + 9}{1} = \dfrac{0}{1} = 0$$ Liczba $-3$ jest miejscem zerowym.
- Dla $x = 0$: liczba należy do dziedziny ($0 \in D$). Obliczamy wartość funkcji: $$f(0) = \dfrac{-0^2 + 9}{0 + 4} = \dfrac{9}{4} \neq 0$$ Liczba $0$ nie jest miejscem zerowym.
- Dla $x = 3$: liczba należy do dziedziny ($3 \in D$). Obliczamy wartość funkcji: $$f(3) = \dfrac{-3^2 + 9}{3 + 4} = \dfrac{-9 + 9}{7} = \dfrac{0}{7} = 0$$ Liczba $3$ jest miejscem zerowym.
Podpunkt b) Funkcja $f(x) = \dfrac{3x + 9}{x^2 - 9}$ oraz liczby $-4, -3, 2, 3$:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji. Mianownik musi być różny od zera: $$x^2 - 9 \neq 0$$ $$(x - 3)(x + 3) \neq 0 \implies x \neq 3 \quad \text{oraz} \quad x \neq -3$$ Dziedziną funkcji jest: $$D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$$ Sprawdzamy kolejno podane liczby:
- Dla $x = -4$: liczba należy do dziedziny ($-4 \in D$). Obliczamy wartość funkcji: $$f(-4) = \dfrac{3 \cdot (-4) + 9}{(-4)^2 - 9} = \dfrac{-12 + 9}{16 - 9} = \dfrac{-3}{7} \neq 0$$ Liczba $-4$ nie jest miejscem zerowym.
- Dla $x = -3$: liczba nie należy do dziedziny ($-3 \notin D$), więc nie może być miejscem zerowym funkcji.
- Dla $x = 2$: liczba należy do dziedziny ($2 \in D$). Obliczamy wartość funkcji: $$f(2) = \dfrac{3 \cdot 2 + 9}{2^2 - 9} = \dfrac{6 + 9}{4 - 9} = \dfrac{15}{-5} = -3 \neq 0$$ Liczba $2$ nie jest miejscem zerowym.
- Dla $x = 3$: liczba nie należy do dziedziny ($3 \notin D$), więc nie może być miejscem zerowym funkcji.
Żadna z podanych liczb nie jest miejscem zerowym funkcji.
Podpunkt c) Funkcja $f(x) = \sqrt{2x - 8}$ oraz liczby $3, 4, 5, 6$:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji. Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne: $$\begin{aligned} 2x - 8 &\ge 0 \\[8pt] 2x &\ge 8 \\[8pt] x &\ge 4 \end{aligned}$$ Dziedziną funkcji jest przedział: $$D = \langle 4, +\infty)$$ Sprawdzamy kolejno podane liczby:
- Dla $x = 3$: liczba nie należy do dziedziny ($3 \notin D$), więc nie jest miejscem zerowym.
- Dla $x = 4$: liczba należy do dziedziny ($4 \in D$). Obliczamy wartość funkcji: $$f(4) = \sqrt{2 \cdot 4 - 8} = \sqrt{8 - 8} = \sqrt{0} = 0$$ Liczba $4$ jest miejscem zerowym.
- Dla $x = 5$: liczba należy do dziedziny ($5 \in D$). Obliczamy wartość funkcji: $$f(5) = \sqrt{2 \cdot 5 - 8} = \sqrt{10 - 8} = \sqrt{2} \neq 0$$ Liczba $5$ nie jest miejscem zerowym.
- Dla $x = 6$: liczba należy do dziedziny ($6 \in D$). Obliczamy wartość funkcji: $$f(6) = \sqrt{2 \cdot 6 - 8} = \sqrt{12 - 8} = \sqrt{4} = 2 \neq 0$$ Liczba $6$ nie jest miejscem zerowym.
Podpunkt d) Funkcja $f(x) = (x - 2)(x + 4)(3x - 9)$ oraz liczby $-4, 0, 2, 5$:
Wzór funkcji jest wielomianem, zatem dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: $$D = \mathbb{R}$$ Sprawdzamy kolejno podane liczby:
- Dla $x = -4$: liczba należy do dziedziny ($-4 \in D$). Obliczamy wartość funkcji: $$f(-4) = (-4 - 2)(-4 + 4)(3 \cdot (-4) - 9) = (-6) \cdot 0 \cdot (-21) = 0$$ Liczba $-4$ jest miejscem zerowym.
- Dla $x = 0$: liczba należy do dziedziny ($0 \in D$). Obliczamy wartość funkcji: $$f(0) = (0 - 2)(0 + 4)(3 \cdot 0 - 9) = (-2) \cdot 4 \cdot (-9) = 72 \neq 0$$ Liczba $0$ nie jest miejscem zerowym.
- Dla $x = 2$: liczba należy do dziedziny ($2 \in D$). Obliczamy wartość funkcji: $$f(2) = (2 - 2)(2 + 4)(3 \cdot 2 - 9) = 0 \cdot 6 \cdot (-3) = 0$$ Liczba $2$ jest miejscem zerowym.
- Dla $x = 5$: liczba należy do dziedziny ($5 \in D$). Obliczamy wartość funkcji: $$f(5) = (5 - 2)(5 + 4)(3 \cdot 5 - 9) = 3 \cdot 9 \cdot 6 = 162 \neq 0$$ Liczba $5$ nie jest miejscem zerowym.

Odpowiedź:
a) $D = \mathbb{R} \setminus \{-4\}$, miejsca zerowe: $-3, \; 3$

b) $D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$, brak miejsc zerowych wśród podanych liczb

c) $D = \langle 4, +\infty)$, miejsce zerowe: $4$

d) $D = \mathbb{R}$, miejsca zerowe: $-4, \; 2$

Zadanie 3

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$ oraz miejsca zerowe tej funkcji (o ile istnieją):

a) $f(x) = \dfrac{\sqrt{15 - 3x}}{2}$

b) $f(x) = \dfrac{6}{x - 4}$

c) $f(x) = \dfrac{3x^2 - 75}{x}$

d) $f(x) = \dfrac{(2x - 12)(x + 3)}{x^2 - 16}$

e) $f(x) = \dfrac{x(3x + 1)(x - 4)}{6x + 2}$

f) $f(x) = \dfrac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x}$

Wskazówki:

Dziedzina funkcji wymiernej: mianownik ułamka musi być różny od zera ($\text{mianownik} \neq 0$).
Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne ($\text{wyrażenie} \ge 0$).
Miejsca zerowe wyznaczamy, przyrównując wzór funkcji do zera ($f(x) = 0$). Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik wynosi zero przy jednoczesnym spełnieniu warunków dziedziny.
Każde rozwiązanie otrzymane z przyrównania licznika do zera należy bezwzględnie skonfrontować z wyznaczoną dziedziną – wartości nienależące do dziedziny odrzucamy.
Warto wypatrywać wzorów skróconego mnożenia, np. kwadratu sumy: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie dziedziny i miejsc zerowych dla funkcji $f(x) = \dfrac{\sqrt{15 - 3x}}{2}$:
Wyznaczamy dziedzinę – wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne: $$\begin{aligned} 15 - 3x &\ge 0 \\[8pt] -3x &\ge -15 \quad / :(-3) \\[8pt] x &\le 5 \end{aligned}$$ Mianownik jest stałą równą $2 \neq 0$, zatem dziedziną funkcji jest przedział: $$D = (-\infty, 5\rangle$$ Wyznaczamy miejsca zerowe, przyrównując funkcję do zera: $$\dfrac{\sqrt{15 - 3x}}{2} = 0 \iff \sqrt{15 - 3x} = 0 \iff 15 - 3x = 0 \iff x = 5$$ Sprawdzamy przynależność do dziedziny: $5 \in (-\infty, 5\rangle$. Rozwiązanie należy do dziedziny, więc funkcja ma jedno miejsce zerowe: $x = 5$.
Podpunkt b) Wyznaczenie dziedziny i miejsc zerowych dla funkcji $f(x) = \dfrac{6}{x - 4}$:
Wyznaczamy dziedzinę – mianownik nie może być równy zero: $$x - 4 \ne 0 \iff x \ne 4$$ Stąd dziedzina to zbiór: $$D = \mathbb{R} \setminus \{4\}$$ Szukamy miejsc zerowych, rozwiązując równanie: $$\dfrac{6}{x - 4} = 0$$ Ułamek jest równy zero tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero. W tym przypadku licznik wynosi $6$ i nigdy nie jest równy zero ($6 \neq 0$). Równanie jest sprzeczne, co oznacza, że funkcja nie posiada miejsc zerowych.
Podpunkt c) Wyznaczenie dziedziny i miejsc zerowych dla funkcji $f(x) = \dfrac{3x^2 - 75}{x}$:
Wyznaczamy dziedzinę – mianownik musi być różny od zera: $$x \ne 0 \implies D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ Wyznaczamy miejsca zerowe, przyrównując licznik do zera: $$\begin{aligned} 3x^2 - 75 &= 0 \quad / :3 \\[8pt] x^2 - 25 &= 0 \\[8pt] x^2 &= 25 \\[8pt] x = -5 \quad &\lor \quad x = 5 \end{aligned}$$ Sprawdzamy przynależność obu liczb do dziedziny $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$: $$-5 \in D \quad \text{oraz} \quad 5 \in D$$ Oba rozwiązania są poprawne, zatem funkcja posiada dwa miejsca zerowe: $x = -5$ oraz $x = 5$.
Podpunkt d) Wyznaczenie dziedziny i miejsc zerowych dla funkcji $f(x) = \dfrac{(2x - 12)(x + 3)}{x^2 - 16}$:
Wyznaczamy dziedzinę – mianownik ułamka musi być różny od zera: $$x^2 - 16 \ne 0 \iff (x - 4)(x + 4) \ne 0 \iff x \ne 4 \quad \land \quad x \ne -4$$ Zatem dziedziną jest: $$D = \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}$$ Szukamy miejsc zerowych poprzez przyrównanie licznika do zera: $$\begin{aligned} (2x - 12)(x + 3) &= 0 \\[8pt] 2x - 12 = 0 \quad &\lor \quad x + 3 = 0 \\[8pt] 2x = 12 \quad &\lor \quad x = -3 \\[8pt] x = 6 \quad &\lor \quad x = -3 \end{aligned}$$ Weryfikujemy przynależność obu wyników do dziedziny $D = \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}$: $$-3 \in D \quad \text{oraz} \quad 6 \in D$$ Obie liczby należą do dziedziny, zatem funkcja posiada dwa miejsca zerowe: $x = -3$ oraz $x = 6$.
Podpunkt e) Wyznaczenie dziedziny i miejsc zerowych dla funkcji $f(x) = \dfrac{x(3x + 1)(x - 4)}{6x + 2}$:
Wyznaczamy dziedzinę – mianownik musi być różny od zera: $$\begin{aligned} 6x + 2 &\ne 0 \\[8pt] 6x &\ne -2 \\[8pt] x &\ne -\dfrac{2}{6} \iff x \ne -\dfrac{1}{3} \end{aligned}$$ Zatem dziedzina to: $$D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{3}\right\}$$ Przyrównujemy licznik do zera: $$\begin{aligned} x(3x + 1)(x - 4) &= 0 \\[8pt] x = 0 \quad \lor \quad 3x + 1 &= 0 \quad \lor \quad x - 4 = 0 \\[8pt] x = 0 \quad \lor \quad x &= -\dfrac{1}{3} \quad \lor \quad x = 4 \end{aligned}$$ Sprawdzamy wyznaczone wartości z dziedziną $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{3}\right\}$: $$\begin{aligned} 0 &\in D \\[8pt] -\dfrac{1}{3} &\notin D \quad \text{(wartość odrzucona – nie należy do dziedziny)} \\[8pt] 4 &\in D \end{aligned}$$ Zatem funkcja posiada dwa miejsca zerowe: $x = 0$ oraz $x = 4$.
Podpunkt f) Wyznaczenie dziedziny i miejsc zerowych dla funkcji $f(x) = \dfrac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x}$:
Wyznaczamy dziedzinę – mianownik nie może być zerem: $$x^2 + 3x \ne 0 \iff x(x + 3) \ne 0 \iff x \ne 0 \quad \land \quad x \ne -3$$ Dziedziną jest zbiór: $$D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 0\}$$ Wyznaczamy miejsca zerowe, przyrównując licznik do zera: $$x^2 + 6x + 9 = 0$$ Zwijamy lewą stronę równania za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$: $$(x + 3)^2 = 0 \iff x + 3 = 0 \iff x = -3$$ Sprawdzamy przynależność otrzymanego wyniku do dziedziny $D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 0\}$: $$-3 \notin D$$ Liczba $-3$ jest wykluczona z dziedziny, zatem funkcja nie posiada miejsc zerowych.

Odpowiedź:
a) Dziedzina: $D = (-\infty, 5\rangle$, miejsca zerowe: $x = 5$

b) Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{4\}$, miejsca zerowe: brak

c) Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, miejsca zerowe: $x = -5$, $x = 5$

d) Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\}$, miejsca zerowe: $x = -3$, $x = 6$

e) Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{3}\right\}$, miejsca zerowe: $x = 0$, $x = 4$

f) Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 0\}$, miejsca zerowe: brak

Zadanie 4

Dany jest wykres funkcji $y = f(x)$. Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie oraz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne.

Wskazówki:

Wartości dodatnie funkcji ($f(x) > 0$) to zbiór argumentów $x$, dla których wykres leży ściśle powyżej osi $OX$ (oznaczono kolorem zielonym).
Wartości ujemne funkcji ($f(x) < 0$) to zbiór argumentów $x$, dla których wykres leży ściśle poniżej osi $OX$ (oznaczono kolorem czerwonym).
Miejsca zerowe (punkty na osi $OX$, gdzie $f(x) = 0$) oraz kółka otwarte wyznaczają granice przedziałów z nawiasami okrągłymi.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Analiza wykresu łamanej:
Wykres przecina oś $OX$ w punktach $x = -3$ oraz $x = 3$. Wykres leży nad osią na krańcach, a pod osią w części środkowej:

- Wartości dodatnie: $f(x) > 0 \iff x \in (-4, -3) \cup (3, 5]$
- Wartości ujemne: $f(x) < 0 \iff x \in (-3, 3)$
Podpunkt b) Analiza wykresu z dwoma rozłącznymi odcinkami:
Każdy z dwóch odcinków przecina oś $OX$ (odpowiednio w $x = -4$ i $x = 3$). Kółka otwarte w punktach $(-2, 1)$ oraz $(1, 2)$ nie należą do dziedziny:

- Wartości dodatnie: $f(x) > 0 \iff x \in (-4, -2] \cup (3, 4]$
- Wartości ujemne: $f(x) < 0 \iff x \in [-6, -4) \cup [1, 3)$
Podpunkt c) Analiza wykresu łamanej z wierzchołkiem i poziomym odcinkiem:
Miejscami zerowymi są punkty $x = -3$ oraz $x = 1$. Pomiędzy nimi wykres wznosi się do wierzchołka $(-1, 4)$ nad osią $OX$:

- Wartości dodatnie: $f(x) > 0 \iff x \in (-3, 1)$
- Wartości ujemne: $f(x) < 0 \iff x \in [-5, -3) \cup (1, 5]$
Podpunkt d) Analiza wykresu falistej krzywej:
Krzywa przecina oś $OX$ trzykrotnie: w punktach $x = -3$, $x = 0$ oraz $x = 4$:

- Wartości dodatnie: $f(x) > 0 \iff x \in (-3, 0) \cup (4, 5]$
- Wartości ujemne: $f(x) < 0 \iff x \in [-5, -3) \cup (0, 4)$
Podpunkt e) Analiza wykresu złożonego z trzech części:
Przecięcia z osią zachodzą dla $x = -1$ oraz $x = 4$. Środkowy fragment $[0, 2)$ leży w całości poniżej osi na poziomie $y = -1$:

- Wartości dodatnie: $f(x) > 0 \iff x \in [-4, -1) \cup [2, 4)$
- Wartości ujemne: $f(x) < 0 \iff x \in (-1, 2) \cup (4, 6]$
Podpunkt f) Analiza wykresu z punktami izolowanymi, odcinkiem i łukiem:
Wartości dodatnie dają punkty izolowane dla $x \in \{-5, -4\}$ oraz wnętrze łuku paraboli dla $x \in (1, 5)$. Odcinek pod osią daje wartości ujemne dla $x \in (-3, 1)$:

- Wartości dodatnie: $f(x) > 0 \iff x \in \{-5, -4\} \cup (1, 5)$
- Wartości ujemne: $f(x) < 0 \iff x \in (-3, 1)$

Odpowiedź:
a) Wartości dodatnie: $f(x) > 0$ dla $x \in (-4, -3) \cup (3, 5]$
Wartości ujemne: $f(x) < 0$ dla $x \in (-3, 3)$

b) Wartości dodatnie: $f(x) > 0$ dla $x \in (-4, -2] \cup (3, 4]$
Wartości ujemne: $f(x) < 0$ dla $x \in [-6, -4) \cup [1, 3)$

c) Wartości dodatnie: $f(x) > 0$ dla $x \in (-3, 1)$
Wartości ujemne: $f(x) < 0$ dla $x \in [-5, -3) \cup (1, 5]$

d) Wartości dodatnie: $f(x) > 0$ dla $x \in (-3, 0) \cup (4, 5]$
Wartości ujemne: $f(x) < 0$ dla $x \in [-5, -3) \cup (0, 4)$

e) Wartości dodatnie: $f(x) > 0$ dla $x \in [-4, -1) \cup [2, 4)$
Wartości ujemne: $f(x) < 0$ dla $x \in (-1, 2) \cup (4, 6]$

f) Wartości dodatnie: $f(x) > 0$ dla $x \in \{-5, -4\} \cup (1, 5)$
Wartości ujemne: $f(x) < 0$ dla $x \in (-3, 1)$

Zadanie 5

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f$ określonej wzorem:

a) $f(x) = \begin{cases} 4x^2 + 12x + 9, & \text{jeśli } x \in (-\infty, 2) \\[6pt] \dfrac{x - 4}{x + 3}, & \text{jeśli } x \in \langle 2, +\infty) \end{cases}$

b) $f(x) = \begin{cases} x(x^2 - 4x + 4), & \text{jeśli } x \in (-\infty, 2) \\[6pt] 3 - \sqrt{x + 2}, & \text{jeśli } x \in \langle 2, +\infty) \end{cases}$

Wskazówki:

Miejsce zerowe to taki argument $x$, dla którego wartość funkcji wynosi zero: $f(x) = 0$.
Gdy funkcja jest zdefiniowana klamrą na osobnych przedziałach, rozwiązujemy równanie $f(x) = 0$ dla każdego wzoru z osobna, a następnie sprawdzamy, czy wyliczona wartość należy do dziedziny danego przedziału.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie miejsc zerowych pierwszej gałęzi $f(x) = 4x^2 + 12x + 9$ dla $x \in (-\infty, 2)$:
Przyrównujemy wyrażenie do zera: $$4x^2 + 12x + 9 = 0$$ Zauważamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(2x + 3)^2 = 0$$ Kwadrat wyrażenia jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy samo wyrażenie wynosi zero: $$\begin{aligned} 2x + 3 &= 0 \\[8pt] 2x &= -3 \\[8pt] x &= -\dfrac{3}{2} \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek przedziału: $$-\dfrac{3}{2} \in (-\infty, 2)$$ Warunek jest spełniony, zatem $x = -\dfrac{3}{2}$ jest miejscem zerowym funkcji.
Podpunkt a) Wyznaczenie miejsc zerowych drugiej gałęzi $f(x) = \dfrac{x - 4}{x + 3}$ dla $x \in \langle 2, +\infty)$:
Wyznaczamy dziedzinę wyrażenia wymiernego – mianownik nie może być zerem: $$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$$ Dla każdego $x \in \langle 2, +\infty)$ mianownik jest różny od zera. Przyrównujemy ułamek do zera: $$\dfrac{x - 4}{x + 3} = 0$$ Ułamek ma wartość zero, gdy jego licznik jest równy zero: $$\begin{aligned} x - 4 &= 0 \\[8pt] x &= 4 \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek przedziału: $$4 \in \langle 2, +\infty)$$ Warunek jest spełniony, więc $x = 4$ jest kolejnym miejscem zerowym funkcji w podpunkcie a).
Podpunkt b) Wyznaczenie miejsc zerowych pierwszej gałęzi $f(x) = x(x^2 - 4x + 4)$ dla $x \in (-\infty, 2)$:
Przyrównujemy wyrażenie do zera: $$x(x^2 - 4x + 4) = 0$$ Zwijamy nawias za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: $$x(x - 2)^2 = 0$$ Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem: $$\begin{aligned} x = 0 \quad &\text{lub} \quad (x - 2)^2 = 0 \\[8pt] x = 0 \quad &\text{lub} \quad x = 2 \end{aligned}$$ Weryfikujemy przynależność do przedziału określoności $x \in (-\infty, 2)$: - Dla $x = 0$: $0 \in (-\infty, 2)$, zatem jest to miejsce zerowe.
- Dla $x = 2$: przedział jest otwarty z prawej strony, co oznacza, że $2 \notin (-\infty, 2)$. Tę wartość odrzucamy.
Podpunkt b) Wyznaczenie miejsc zerowych drugiej gałęzi $f(x) = 3 - \sqrt{x + 2}$ dla $x \in \langle 2, +\infty)$:
Sprawdzamy dziedzinę pierwiastka: wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne: $$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$$ Dla $x \in \langle 2, +\infty)$ warunek jest zawsze spełniony. Przyrównujemy wyrażenie do zera: $$3 - \sqrt{x + 2} = 0$$ Przenosimy pierwiastek na drugą stronę równania: $$\sqrt{x + 2} = 3$$ Obie strony są nieujemne, więc podnosimy je obustronnie do kwadratu: $$\begin{aligned} x + 2 &= 3^2 \\[8pt] x + 2 &= 9 \\[8pt] x &= 7 \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek przedziału: $$7 \in \langle 2, +\infty)$$ Warunek jest spełniony, zatem $x = 7$ jest miejscem zerowym funkcji w podpunkcie b).

Odpowiedź:
a) $x = -\dfrac{3}{2}$, $x = 4$

b) $x = 0$, $x = 7$

Grupa B

Zadanie 1

Na podstawie wykresu funkcji $f$ podaj jej miejsca zerowe (o ile istnieją).

Zadanie 2

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$, a następnie sprawdź, które z podanych liczb są miejscami zerowymi funkcji $f$, jeśli:

a) $f(x) = \dfrac{-x^2 + 16}{x + 5}; \quad -5, \; -4, \; 0, \; 4$

b) $f(x) = \dfrac{2x - 6}{x^2 - 9}; \quad -3, \; 0, \; 3, \; 4$

c) $f(x) = \sqrt{4x - 12}; \quad 1, \; 3, \; 4, \; 7$

d) $f(x) = (x - 3)(x + 2)(4x - 8); \quad -2, \; 1, \; 2, \; 3$

Zadanie 3

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$ oraz miejsca zerowe tej funkcji (o ile istnieją):

a) $f(x) = \dfrac{\sqrt{14 - 2x}}{3}$

b) $f(x) = \dfrac{8}{x - 5}$

c) $f(x) = \dfrac{4x^2 - 64}{x}$

d) $f(x) = \dfrac{(3x - 15)(x + 1)}{x^2 - 16}$

e) $f(x) = \dfrac{x(5x + 1)(x - 2)}{10x + 2}$

f) $f(x) = \dfrac{x^2 + 10x + 25}{x^2 + 5x}$

Zadanie 4

Zadanie 5

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f$ określonej wzorem:

$$f(x) = \begin{cases} 25x^2 - 10x + 1, & \text{jeśli } x \in (-\infty, 1) \\[8pt] \dfrac{x - 3}{x + 2}, & \text{jeśli } x \in \langle 1, +\infty) \end{cases}$$

$$f(x) = \begin{cases} x(x^2 - 6x + 9), & \text{jeśli } x \in (-\infty, 3) \\[8pt] 5 - \sqrt{x + 16}, & \text{jeśli } x \in \langle 3, +\infty) \end{cases}$$

3.5 Miejsce zerowe funkcji

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋