Zbiór wartości funkcji liczbowej. Najmniejsza i największa wartość funkcji kartkówka LiczBit

3.4 Zbiór wartości funkcji liczbowej. Najmniejsza i największa wartość funkcji

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresy funkcji. Odczytaj z wykresu zbiór wartości każdej funkcji. Podaj najmniejszą oraz największą wartość funkcji, o ile istnieje, oraz argument (argumenty), dla którego (dla których) ta wartość jest przyjmowana.

Wskazówki:

Zbiór wartości funkcji $ZW$ odczytujemy z osi $OY$, rzutując na nią prostopadle wszystkie punkty należące do wykresu funkcji (od najniższego do najwyższego poziomu).
Kółko zamalowane (punkt domknięty) oznacza, że dany punkt należy do wykresu, więc jego rzędna wchodzi do zbioru wartości (nawias ostry $\langle$ lub $\rangle$). Kółko niezamalowane (punkt otwarty) oznacza brak tego punktu w dziedzinie (nawias okrągły $($ lub $)$).
Wartość najmniejsza $y_{\min}$ oraz największa $y_{\max}$ istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja rzeczywiście przyjmuje daną wartość liczbową w przynajmniej jednym punkcie swojej dziedziny. Jeśli brzeg przedziału jest otwarty lub funkcja ucieka do nieskończoności, to odpowiednia wartość ekstremalna nie istnieje.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Analiza rzutów wykresu na oś OY i odczytanie wartości:
Wykres składa się z połączonych odcinków o dziedzinie $D = \langle -4, 5)$.
Najniżej położone punkty wykresu znajdują się na poziomym odcinku o rzędnej $y = -2$, ciągnącym się od $x = 1$ do $x = 5$ (z otwartym końcem w punkcie $(5, -2)$). Ponieważ punkt $(1, -2)$ oraz punkty pośrednie są zamalowane, wartość $-2$ należy do zbioru wartości.
Najwyżej położonym punktem jest wierzchołek $(-2, 4)$ o rzędnej $y = 4$.
Rzutując cały wykres na oś $OY$, otrzymujemy ciągły przedział od $-2$ do $4$: $$ZW = \langle -2, 4 \rangle$$ Wartość najmniejsza funkcji to $y_{\min} = -2$, przyjmowana dla wszystkich argumentów z przedziału $x \in \langle 1, 5)$.
Wartość największa to $y_{\max} = 4$, przyjmowana dla argumentu $x = -2$.
Podpunkt b) Analiza płynnej krzywej i lokalizacja ekstremów globalnych:
Wykres jest ciągłą linią krzywą o dziedzinie $D = \langle -3, 4 \rangle$.
Szukamy punktu leżącego najniżej oraz najwyżej w całym układzie współrzędnych:
Najniższym punktem wykresu jest prawy koniec w punkcie $(4, -3)$, gdzie $y = -3$.
Najwyższym punktem wykresu jest lokalny szczyt w punkcie $(-1, 4)$, gdzie $y = 4$.
Ponieważ krzywa nie ma przerw ani skoków, rzut wykresu na oś $OY$ pokrywa pełny domknięty przedział: $$ZW = \langle -3, 4 \rangle$$ Wartość najmniejsza funkcji to $y_{\min} = -3$, przyjmowana dla argumentu $x = 4$.
Wartość największa funkcji to $y_{\max} = 4$, przyjmowana dla argumentu $x = -1$.
Podpunkt c) Analiza funkcji z nieskończonymi ramionami poziomymi:
Wykres rozciąga się w nieskończoność w lewo oraz w prawo bez punktów granicznych (dziedzina $D = \mathbb{R}$).
Dla $x \le -1$ funkcja przyjmuje stałą wartość $y = 3$.
Dla $x \in \langle -1, 2 \rangle$ wykres opada liniowo od $y = 3$ do $y = -1$, przyjmując wszystkie wartości pośrednie.
Dla $x \ge 2$ funkcja przyjmuje stałą wartość $y = -1$.
Rzut wykresu na oś pionową obejmuje więc dokładnie przedział: $$ZW = \langle -1, 3 \rangle$$ Wartość najmniejsza funkcji to $y_{\min} = -1$, przyjmowana dla każdego argumentu $x \in \langle 2, +\infty)$.
Wartość największa funkcji to $y_{\max} = 3$, przyjmowana dla każdego argumentu $x \in (-\infty, -1\rangle$.
Podpunkt d) Analiza wykresu z niezamalowanym punktem na szczycie:
Wykres składa się z łamanej o dziedzinie $D = \langle -4, 5)$.
Najniższe punkty na wykresie to $(-4, 1)$ oraz $(2, 1)$. W obu tych punktach funkcja osiąga wartość $y = 1$.
Wykres wznosi się w prawo aż do punktu $(5, 4)$, w którym znajduje się kółko otwarte. Oznacza to, że funkcja zbliża się dowolnie blisko do wartości $4$, ale nigdy jej dokładnie nie osiąga.
Zbiór wartości jest zatem przedziałem prawostronnie otwartym: $$ZW = \langle 1, 4)$$ Wartość najmniejsza funkcji to $y_{\min} = 1$, przyjmowana dla dwóch argumentów: $x = -4$ oraz $x = 2$ (czyli $x \in \{-4, 2\}$).
Wartość największa funkcji nie istnieje, ponieważ kres górny $4$ odpowiada punktowi otwartemu i nie należy do zbioru wartości.
Podpunkt e) Analiza wykresu z punktem izolowanym:
Dziedzina funkcji składa się z punktu izolowanego oraz przedziału: $D = \{-2\} \cup (-1, 5\rangle$.
Dla części ciągłej na przedziale $(-1, 5\rangle$:
Najniższym punktem jest wierzchołek $(1, -3)$, czyli wartość minimalna tej części to $-3$.
Część ta kończy się w punkcie domkniętym $(5, 2)$, przyjmując wartości od $-3$ do $2$ włącznie (kółko otwarte w punkcie $(-1, 1)$ ma rzędną $1$, która i tak jest osiągana na prawym ramieniu dla $x = 4$). Rzut tej części to $\langle -3, 2 \rangle$.
Dodatkowo punkt izolowany $(-2, 4)$ dodaje do zbioru wartości pojedynczą liczbę $4$.
Zbiór wartości jest sumą przedziału i zbioru jednoelementowego: $$ZW = \langle -3, 2 \rangle \cup \{4\}$$ Wartość najmniejsza to $y_{\min} = -3$, przyjmowana dla argumentu $x = 1$.
Wartość największa to $y_{\max} = 4$, przyjmowana w punkcie izolowanym dla argumentu $x = -2$.
Podpunkt f) Analiza wykresu złożonego z dwóch rozłącznych gałęzi:
Wykres składa się z dwóch niezależnych części:
Pierwsza część to łuk dla $x \in (-5, -2)$, którego oba końce są otwarte: od rzędnej $y = 2$ do $y = 4$. Wartości z tej części tworzą przedział otwarty $(2, 4)$.
Druga część to odcinek dla $x \in \langle 1, 3 \rangle$, o obu końcach domkniętych: od punktu $(1, -2)$ do $(3, 1)$. Wartości z tej części tworzą przedział domknięty $\langle -2, 1 \rangle$.
Zbiór wartości jest sumą tych dwóch rozłącznych zbiorów: $$ZW = \langle -2, 1 \rangle \cup (2, 4)$$ Wartość najmniejsza funkcji to $y_{\min} = -2$, przyjmowana dla argumentu $x = 1$.
Wartość największa nie istnieje, ponieważ w wyższym przedziale $(2, 4)$ kres górny $4$ jest otwarty (kółko niezamalowane w punkcie $(-2, 4)$), a w niższym przedziale wartości nie przekraczają $1$.

Odpowiedź:
a) $ZW = \langle -2, 4 \rangle$; wartość najmniejsza: $-2$ dla $x \in \langle 1, 5)$; wartość największa: $4$ dla $x = -2$

b) $ZW = \langle -3, 4 \rangle$; wartość najmniejsza: $-3$ dla $x = 4$; wartość największa: $4$ dla $x = -1$

c) $ZW = \langle -1, 3 \rangle$; wartość najmniejsza: $-1$ dla $x \in \langle 2, +\infty)$; wartość największa: $3$ dla $x \in (-\infty, -1\rangle$

d) $ZW = \langle 1, 4)$; wartość najmniejsza: $1$ dla $x \in \{-4, 2\}$; wartość największa: nie istnieje

e) $ZW = \langle -3, 2 \rangle \cup \{4\}$; wartość najmniejsza: $-3$ dla $x = 1$; wartość największa: $4$ dla $x = -2$

f) $ZW = \langle -2, 1 \rangle \cup (2, 4)$; wartość najmniejsza: $-2$ dla $x = 1$; wartość największa: nie istnieje

Zadanie 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$. Na podstawie wykresu odczytaj:
a) dziedzinę funkcji $f$
b) zbiór wartości funkcji $f$
c) wartość funkcji $f$ dla argumentu $(-4)$
d) argument, dla którego funkcja $f$ przyjmuje wartość równą $3$.

Wskazówki:

Dziedzinę funkcji $D_f$ wyznaczamy, rzutując wszystkie punkty wykresu prostopadle na oś $OX$ (od lewej do prawej krawędzi). Zwróć uwagę na kropki zamalowane (przedział domknięty) oraz niezamalowane (przedział otwarty).
Zbiór wartości $ZW_f$ odczytujemy, rzutując punkty wykresu prostopadle na oś $OY$ (od najniższego do najwyższego punktu).
Wartość funkcji dla zadanego argumentu to druga współrzędna $y$ punktu leżącego na wykresie dla danej pierwszej współrzędnej $x$.
Argument dla zadanej wartości to pierwsza współrzędna $x$ punktu przecięcia wykresu z poziomą prostą na wysokości $y$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie dziedziny funkcji $f$ poprzez rzutowanie na oś $OX$:
Analizujemy zakres zmiennej $x$, dla którego wykres istnieje:
• Lewa gałąź rozpoczyna się w punkcie domkniętym o współrzędnej $x = -6$ i biegnie do $x = 0$ (gdzie punkt $(0, -1)$ jest otwarty), co daje przedział $\langle -6, 0)$.
• Prawa gałąź rozpoczyna się w punkcie domkniętym $(0, 1)$, czyli dla argumentu $x = 0$ funkcja ma określoną wartość równą $1$, a kończy się w punkcie domkniętym $(4, 3)$, co odpowiada przedziałowi $\langle 0, 4 \rangle$.
Łącząc oba zbiory argumentów, otrzymujemy pełną dziedzinę: $$ \begin{aligned} D_f &= \langle -6, 0) \cup \langle 0, 4 \rangle \\[8pt] &= \langle -6, 4 \rangle \end{aligned} $$
Podpunkt b) Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$ poprzez rzutowanie na oś $OY$:
Rzutujemy wykres prostopadle na oś pionową:
• Wartości lewej gałęzi rozciągają się od najniższej równej $-4$ (punkt domknięty $(-6, -4)$) do wartości dążącej do $-1$ (punkt otwarty $(0, -1)$). Daje to przedział: $$\langle -4, -1)$$
• Wartości prawej gałęzi zaczynają się od $1$ (punkt domknięty $(0, 1)$) i rosną do $3$ (punkt domknięty $(4, 3)$). Daje to przedział: $$\langle 1, 3 \rangle$$
Pomiędzy wartościami $-1$ a $1$ wykres nie przyjmuje żadnych wartości. Zbiór wartości stanowi sumę obu rozłącznych przedziałów: $$ZW_f = \langle -4, -1) \cup \langle 1, 3 \rangle$$
Podpunkt c) Odczytanie wartości funkcji $f$ dla argumentu $(-4)$:
Na osi poziomej $OX$ odnajdujemy liczbę $x = -4$. Następnie przesuwamy się pionowo w dół, aby odnaleźć odpowiadający punkt na wykresie funkcji.
Wykres przechodzi dokładnie przez punkt kratowy o współrzędnych $(-4, -3)$. Oznacza to, że: $$f(-4) = -3$$
Podpunkt d) Wyznaczenie argumentu, dla którego wartość funkcji wynosi $3$:
Szukamy takiego argumentu $x$, dla którego zachodzi równanie: $$f(x) = 3$$ Na osi pionowej $OY$ odnajdujemy poziom $y = 3$ i prowadzimy poziomą linię w prawo ku wykresowi. Linia ta przecina wykres dokładnie w jednym punkcie — w punkcie końcowym prawej gałęzi o współrzędnych $(4, 3)$.
Odczytujemy pierwszą współrzędną tego punktu: $$x = 4$$

Odpowiedź:
a) $D_f = \langle -6, 4 \rangle$

b) $ZW_f = \langle -4, -1) \cup \langle 1, 3 \rangle$

c) $f(-4) = -3$

d) $x = 4$

Zadanie 3

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$. Na podstawie wykresu:
a) odczytaj dziedzinę funkcji $f$
b) podaj zbiór wartości funkcji $f$
c) oblicz wartość wyrażenia $f(1) \cdot [f(5) - f(-2)]$
d) podaj argument, dla którego wartość funkcji $f$ wynosi 3.

Wskazówki:

Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi $OX$, sprawdzając zasięg rzutów poszczególnych fragmentów wykresu oraz rodzaj punktów granicznych (kółko otwarte oznacza brak punktu, kółko zamalowane oznacza przynależność do dziedziny).
Zbiór wartości odczytujemy z osi $OY$, wyznaczając najmniejsze i największe wartości osiągane na poszczególnych częściach wykresu.
Wartość funkcji dla konkretnego argumentu to współrzędna $y$ punktu leżącego na wykresie dla danej współrzędnej $x$ (gdy występują dwa punkty nad sobą, bierzemy punkt zamalowany).
Aby znaleźć argument dla danej wartości, prowadzimy prostą poziomą $y = \text{const}$ i odczytujemy współrzędną $x$ punktu przecięcia z wykresem.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Odczytanie dziedziny funkcji $f$:
Rzutujemy poszczególne fragmenty wykresu na oś $OX$:
- Pierwszy odcinek rozciąga się od $x = -4$ (kółko otwarte) do $x = -2$ (kółko zamalowane): przedział $(-4, -2]$.
- Drugi odcinek obejmuje argumenty od $x = -2$ do $x = 1$ (na obu końcach kółka otwarte): przedział $(-2, 1)$. Zauważmy, że punkt $x = -2$ należy do dziedziny dzięki końcowi pierwszego odcinka.
- Trzeci odcinek obejmuje argumenty od $x = 1$ (kółko zamalowane) do $x = 5$ (kółko zamalowane): przedział $[1, 5]$. Punkt $x = 1$ należy do dziedziny dzięki początkowi trzeciego odcinka.
Łącząc powyższe przedziały, otrzymujemy jeden spójny przedział: $$D_f = (-4, -2] \cup (-2, 1) \cup [1, 5] = (-4, 5]$$
Podpunkt b) Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$:
Rzutujemy poszczególne fragmenty wykresu poziomo na oś $OY$:
- Dla pierwszego odcinka wartości zmieniają się od $y = 1$ (punkt zamalowany) do $y = 2$ (punkt otwarty): zbiór wartości tej części to $[1, 2)$.
- Dla drugiego odcinka wartości zmieniają się od $y = -3$ do $y = -1$ (oba punkty krańcowe są otwarte): zbiór wartości tej części to $(-3, -1)$.
- Dla trzeciego odcinka wartości zmieniają się od $y = 2$ do $y = 4$ (oba punkty krańcowe są zamalowane): zbiór wartości tej części to $[2, 4]$.
Zauważmy, że sumą przedziałów z części dodatnich jest: $$[1, 2) \cup [2, 4] = [1, 4]$$ Uwzględniając wartości ujemne z drugiego odcinka, ostateczny zbiór wartości wynosi: $$\text{ZW}_f = (-3, -1) \cup [1, 4]$$
Podpunkt c) Obliczenie wartości wyrażenia $f(1) \cdot [f(5) - f(-2)]$:
Odczytujemy wartości funkcji z wykresu dla podanych argumentów:
- Dla $x = 1$ mamy punkt otwarty $(1, -1)$ oraz punkt zamalowany $(1, 2)$. Wartością funkcji jest rzędna punktu zamalowanego, zatem: $$f(1) = 2$$
- Dla $x = 5$ prawy koniec trzeciego odcinka to punkt zamalowany $(5, 4)$, stąd: $$f(5) = 4$$
- Dla $x = -2$ punkt $(-2, -3)$ jest otwarty, a punkt $(-2, 1)$ jest zamalowany, stąd: $$f(-2) = 1$$
Podstawiamy odczytane wartości do wyrażenia i wykonujemy obliczenia: $$ \begin{aligned} f(1) \cdot [f(5) - f(-2)] &= 2 \cdot [4 - 1] \\[8pt] &= 2 \cdot 3 \\[8pt] &= 6 \end{aligned} $$
Podpunkt d) Wyznaczenie argumentu, dla którego wartość funkcji wynosi 3:
Szukamy argumentu $x$, dla którego zachodzi równość $f(x) = 3$. Graficznie oznacza to odszukanie punktu przecięcia wykresu funkcji z prostą poziomą $y = 3$:
- Na pierwszym odcinku funkcja przyjmuje wartości z przedziału $[1, 2)$, zatem prosta $y = 3$ go nie przecina.
- Na drugim odcinku wartości należą do $(-3, -1)$, więc tu również nie ma punktów wspólnych.
- Na trzecim odcinku funkcja rośnie liniowo od wartości $2$ do $4$. Prosta $y = 3$ przecina ten odcinek dokładnie w punkcie o współrzędnych $(3, 3)$.
Oznacza to, że jedynym argumentem dającym wartość 3 jest: $$x = 3$$

Odpowiedź:
a) $D_f = (-4, 5]$

b) $\text{ZW}_f = (-3, -1) \cup [1, 4]$

c) $6$

d) $x = 3$

Zadanie 4

Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$.

Na podstawie wykresu:
a) podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji $f$
b) podaj współrzędne punktów, w których wykres funkcji przecina oś $OX$ oraz $OY$
c) odczytaj najmniejszą oraz największą wartość funkcji $f$, o ile istnieją, a także argumenty, dla których te wartości są przyjmowane
d) uzupełnij zapisy:
1) $f(x) = -3 \iff \dots$
2) $f(-1) \cdot \log_5 f(0) - f(-\pi - 3) = \dots$

Wskazówki:

Dziedzinę funkcji ($D$) odczytujemy jako rzut całego wykresu na oś $OX$, zwracając szczególną uwagę na punkty z kółkami otwartymi i domkniętymi oraz punkty izolowane.
Zbiór wartości ($Z_f$) odczytujemy jako rzut wykresu na oś $OY$ (od najniższego do najwyższego osiąganego punktu).
W punktach przecięcia z osią $OX$ wartość funkcji wynosi $y = 0$, a z osią $OY$ argument wynosi $x = 0$. Pamiętaj, że punkt z niezamalowanym kółkiem nie należy do wykresu.
Aby wyznaczyć rozwiązanie równania $f(x) = c$, prowadzimy prostą poziomą $y = c$ i sprawdzamy, dla jakich argumentów pokrywa się ona z wykresem lub go przecina.
Wartość liczby niewymiernej $-\pi - 3$ można oszacować przybliżeniem $\pi \approx 3{,}14$ i sprawdzić, w który przedział argumentów wpada ten punkt.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie dziedziny oraz zbioru wartości funkcji $f$ (podpunkt a):

1. Dziedzina funkcji (rzut na oś $OX$):
Rzutujemy wszystkie elementy wykresu pionowo na oś $OX$:
- Odcinek lewy daje przedział $\langle -9, -7)$ (punkt $-9$ domknięty, $-7$ otwarty).
- Odcinek poziomy zaczyna się domknięciem w $-7$ i kończy otwarciem w $-4$, dając $\langle -7, -4)$. Łącznie z pierwszym odcinkiem pokrywa to przedział $\langle -9, -4)$.
- Dla $x = -4$ mamy punkt zamalowany $(-4, 2)$, który dopełnia argument $-4$, tworząc przedział $\langle -9, -4\rangle$.
- Punkty izolowane dodają do dziedziny zbiór pojedynczych liczb: $\{-3, -2, -1\}$.
- Łuk paraboli zaczyna się w punkcie domkniętym dla $x = 0$ i kończy kółkiem otwartym w $x = 6$, dając $\langle 0, 6)$.
$$D = \langle -9, -4\rangle \cup \{-3, -2, -1\} \cup \langle 0, 6)$$
2. Zbiór wartości funkcji (rzut na oś $OY$):
Rzutujemy wszystkie punkty wykresu poziomo na oś $OY$:
- Najniżej położony punkt to wierzchołek paraboli $(3, -4)$, skąd otrzymujemy dolną granicę $-4$.
- Najwyżej położone punkty to $(-1, 5)$ oraz $(0, 5)$, oba domknięte, co daje górną granicę $5$.
- Łuk paraboli w sposób ciągły przyjmuje każdą wartość pośrednią z przedziału $\langle -4, 5\rangle$.
$$Z_f = \langle -4, 5\rangle$$
Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych (podpunkt b):
Szukamy punktów o rzędnej $y = 0$ (oś $OX$) oraz o odciętej $x = 0$ (oś $OY$):
- Punkt $(-7, 0)$ ma niezamalowane kółko, co oznacza, że funkcja nie przyjmuje w nim wartości – punkt ten nie należy do wykresu.
- Wykres przecina oś $OX$ w dwóch punktach leżących na ramionach paraboli: dla $x = 1$ oraz $x = 5$.
- Wykres przecina oś $OY$ w punkcie domkniętym na szczycie lewego ramienia paraboli dla $x = 0$: $(0, 5)$.
$$\begin{aligned} P_1 &= (1, 0) \\[8pt] P_2 &= (5, 0) \\[8pt] P_Y &= (0, 5) \end{aligned}$$
Odczytanie wartości najmniejszej i największej oraz odpowiadających im argumentów (podpunkt c):
Wartości te odczytujemy, analizując najniższy i najwyższy poziom osiągany przez punkty wykresu:
- Wartość najmniejsza: wykres osiąga dołek w wierzchołku paraboli na wysokości $y = -4$. Wartość $y_{\min} = -4$ przyjmowana jest dla argumentu $x = 3$.
- Wartość największa: na wysokości $y = 5$ leżą trzy punkty:
  - $(-1, 5)$ – punkt zamalowany $\implies$ wartość osiągana dla $x = -1$,
  - $(0, 5)$ – punkt zamalowany $\implies$ wartość osiągana dla $x = 0$,
  - $(6, 5)$ – kółko otwarte $\implies$ dla argumentu $6$ funkcja nie istnieje.
  Zatem $y_{\max} = 5$ jest przyjmowana dla $x \in \{-1, 0\}$.
Wartość najmniejsza: $y_{\min} = -4$ dla $x = 3$
Wartość największa: $y_{\max} = 5$ dla $x \in \{-1, 0\}$
Rozwiązanie równania $f(x) = -3$ oraz obliczenie wartości wyrażenia (podpunkt d):

1. Rozwiązanie równania $f(x) = -3$:
Prowadzimy prostą poziomą $y = -3$ i szukamy części wspólnej z wykresem:
- Prosta ta pokrywa się z całym poziomym odcinkiem wykresu dla argumentów $x \in \langle -7, -4)$.
- Przecina łuk paraboli w dwóch punktach: dla $x = 2$ oraz dla $x = 4$.
$$f(x) = -3 \iff x \in \langle -7, -4) \cup \{2, 4\}$$
2. Obliczenie wartości wyrażenia $f(-1) \cdot \log_5 f(0) - f(-\pi - 3)$:
- Dla $x = -1$ z punktu odosobnionego odczytujemy: $f(-1) = 5$.
- Dla $x = 0$ z początku łuku paraboli odczytujemy: $f(0) = 5$, co daje: $$\log_5 f(0) = \log_5 5 = 1$$
- Szacujemy argument niewymierny: $$-\pi - 3 \approx -3{,}14 - 3 = -6{,}14$$ Liczba $-6{,}14$ leży w przedziale $\langle -7, -4)$, na którym funkcja jest stała i przyjmuje wartość $-3$ (zaznaczona niebieskim punktem na powyższym rysunku): $$f(-\pi - 3) = -3$$
Podstawiając do wyrażenia: $$\begin{aligned} f(-1) \cdot \log_5 f(0) - f(-\pi - 3) &= 5 \cdot 1 - (-3) \\[8pt] &= 5 + 3 \\[8pt] &= 8 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) Dziedzina: $D = \langle -9, -4\rangle \cup \{-3, -2, -1\} \cup \langle 0, 6)$
Zbiór wartości: $Z_f = \langle -4, 5\rangle$

b) Punkty przecięcia z osią $OX$: $(1, 0)$ oraz $(5, 0)$
Punkt przecięcia z osią $OY$: $(0, 5)$

c) Wartość najmniejsza: $y_{\min} = -4$ dla $x = 3$
Wartość największa: $y_{\max} = 5$ dla $x \in \{-1, 0\}$

d) 1) $x \in \langle -7, -4) \cup \{2, 4\}$

2) $8$

Zadanie 5

Która z liczb: $-1$, $\dfrac{2}{3}$, $7$ jest wartością funkcji $g(x) = 4 - |x|$, gdzie $x \in \mathbb{N}$? Odpowiedź uzasadnij.

Wskazówki:

Liczba $y$ jest wartością funkcji $g(x)$, jeśli istnieje taki argument $x \in \mathbb{N}$, dla którego zachodzi równość $g(x) = y$.
Przyrównaj kolejno każdą z podanych liczb do wzoru funkcji i wyznacz $|x|$, pamiętając, że wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych, a rozwiązanie $x$ musi należeć do zbioru liczb naturalnych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sprawdzenie liczby $-1$ poprzez przyrównanie jej do wzoru funkcji:
Rozwiązujemy równanie $g(x) = -1$: $$ \begin{aligned} 4 - |x| &= -1 \\[8pt] -|x| &= -1 - 4 \\[8pt] -|x| &= -5 \quad \big/ \cdot (-1) \\[8pt] |x| &= 5 \end{aligned} $$ Równanie to spełniają dwie liczby: $x = 5$ oraz $x = -5$. Ponieważ dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych ($x \in \mathbb{N}$), liczba $x = 5$ należy do dziedziny. Zatem liczba $-1$ jest wartością funkcji $g$ dla argumentu $x = 5$.
Sprawdzenie liczby $\dfrac{2}{3}$ poprzez przyrównanie jej do wzoru funkcji:
Rozwiązujemy równanie $g(x) = \dfrac{2}{3}$: $$ \begin{aligned} 4 - |x| &= \dfrac{2}{3} \\[8pt] -|x| &= \dfrac{2}{3} - 4 \\[8pt] -|x| &= \dfrac{2}{3} - \dfrac{12}{3} \\[8pt] -|x| &= -\dfrac{10}{3} \quad \big/ \cdot (-1) \\[8pt] |x| &= \dfrac{10}{3} = 3\dfrac{1}{3} \end{aligned} $$ Otrzymujemy $x = 3\dfrac{1}{3}$ lub $x = -3\dfrac{1}{3}$. Żadna z tych liczb nie jest liczbą naturalną ($3\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{N}$), więc liczba $\dfrac{2}{3}$ nie jest wartością tej funkcji.
Sprawdzenie liczby $7$ poprzez przyrównanie jej do wzoru funkcji:
Rozwiązujemy równanie $g(x) = 7$: $$ \begin{aligned} 4 - |x| &= 7 \\[8pt] -|x| &= 7 - 4 \\[8pt] -|x| &= 3 \quad \big/ \cdot (-1) \\[8pt] |x| &= -3 \end{aligned} $$ Wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemna ($|x| \ge 0$), dlatego równanie $|x| = -3$ jest sprzeczne (nie posiada rozwiązań). Liczba $7$ nie może być wartością funkcji.

Odpowiedź:
Wartością funkcji jest liczba $-1$ (dla argumentu $x = 5$).

Grupa B

Zadanie 1

Wskazówki:

Zbiór wartości funkcji $ZW$ odczytujemy z osi $OY$, rzutując na nią prostopadle wszystkie punkty należące do wykresu funkcji (od najniższego do najwyższego poziomu).
Kółko zamalowane (punkt domknięty) oznacza, że dany punkt należy do wykresu, więc jego rzędna wchodzi do zbioru wartości (nawias ostry $\langle$ lub $\rangle$). Kółko niezamalowane (punkt otwarty) oznacza brak tego punktu w dziedzinie (nawias okrągły $($ lub $)$).
Wartość najmniejsza $y_{\min}$ oraz największa $y_{\max}$ istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja rzeczywiście przyjmuje daną wartość liczbową w przynajmniej jednym punkcie swojej dziedziny. Jeśli brzeg przedziału jest otwarty lub funkcja ucieka do nieskończoności, to odpowiednia wartość ekstremalna nie istnieje.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Analiza rzutów wykresu na oś OY i odczytanie wartości:
Wykres składa się z połączonych odcinków o dziedzinie $D = \langle -4, 5)$.
Najniżej położone punkty wykresu znajdują się na poziomym odcinku o rzędnej $y = -2$, ciągnącym się od $x = 1$ do $x = 5$ (z otwartym końcem w punkcie $(5, -2)$). Ponieważ punkt $(1, -2)$ oraz punkty pośrednie są zamalowane, wartość $-2$ należy do zbioru wartości.
Najwyżej położonym punktem jest wierzchołek $(-2, 4)$ o rzędnej $y = 4$.
Rzutując cały wykres na oś $OY$, otrzymujemy ciągły przedział od $-2$ do $4$: $$ZW = \langle -2, 4 \rangle$$ Wartość najmniejsza funkcji to $y_{\min} = -2$, przyjmowana dla wszystkich argumentów z przedziału $x \in \langle 1, 5)$.
Wartość największa to $y_{\max} = 4$, przyjmowana dla argumentu $x = -2$.
Podpunkt b) Analiza płynnej krzywej i lokalizacja ekstremów globalnych:
Wykres jest ciągłą linią krzywą o dziedzinie $D = \langle -3, 4 \rangle$.
Szukamy punktu leżącego najniżej oraz najwyżej w całym układzie współrzędnych:
Najniższym punktem wykresu jest prawy koniec w punkcie $(4, -3)$, gdzie $y = -3$.
Najwyższym punktem wykresu jest lokalny szczyt w punkcie $(-1, 4)$, gdzie $y = 4$.
Ponieważ krzywa nie ma przerw ani skoków, rzut wykresu na oś $OY$ pokrywa pełny domknięty przedział: $$ZW = \langle -3, 4 \rangle$$ Wartość najmniejsza funkcji to $y_{\min} = -3$, przyjmowana dla argumentu $x = 4$.
Wartość największa funkcji to $y_{\max} = 4$, przyjmowana dla argumentu $x = -1$.
Podpunkt c) Analiza funkcji z nieskończonymi ramionami poziomymi:
Wykres rozciąga się w nieskończoność w lewo oraz w prawo bez punktów granicznych (dziedzina $D = \mathbb{R}$).
Dla $x \le -1$ funkcja przyjmuje stałą wartość $y = 3$.
Dla $x \in \langle -1, 2 \rangle$ wykres opada liniowo od $y = 3$ do $y = -1$, przyjmując wszystkie wartości pośrednie.
Dla $x \ge 2$ funkcja przyjmuje stałą wartość $y = -1$.
Rzut wykresu na oś pionową obejmuje więc dokładnie przedział: $$ZW = \langle -1, 3 \rangle$$ Wartość najmniejsza funkcji to $y_{\min} = -1$, przyjmowana dla każdego argumentu $x \in \langle 2, +\infty)$.
Wartość największa funkcji to $y_{\max} = 3$, przyjmowana dla każdego argumentu $x \in (-\infty, -1\rangle$.
Podpunkt d) Analiza wykresu z niezamalowanym punktem na szczycie:
Wykres składa się z łamanej o dziedzinie $D = \langle -4, 5)$.
Najniższe punkty na wykresie to $(-4, 1)$ oraz $(2, 1)$. W obu tych punktach funkcja osiąga wartość $y = 1$.
Wykres wznosi się w prawo aż do punktu $(5, 4)$, w którym znajduje się kółko otwarte. Oznacza to, że funkcja zbliża się dowolnie blisko do wartości $4$, ale nigdy jej dokładnie nie osiąga.
Zbiór wartości jest zatem przedziałem prawostronnie otwartym: $$ZW = \langle 1, 4)$$ Wartość najmniejsza funkcji to $y_{\min} = 1$, przyjmowana dla dwóch argumentów: $x = -4$ oraz $x = 2$ (czyli $x \in \{-4, 2\}$).
Wartość największa funkcji nie istnieje, ponieważ kres górny $4$ odpowiada punktowi otwartemu i nie należy do zbioru wartości.
Podpunkt e) Analiza wykresu z punktem izolowanym:
Dziedzina funkcji składa się z punktu izolowanego oraz przedziału: $D = \{-2\} \cup (-1, 5\rangle$.
Dla części ciągłej na przedziale $(-1, 5\rangle$:
Najniższym punktem jest wierzchołek $(1, -3)$, czyli wartość minimalna tej części to $-3$.
Część ta kończy się w punkcie domkniętym $(5, 2)$, przyjmując wartości od $-3$ do $2$ włącznie (kółko otwarte w punkcie $(-1, 1)$ ma rzędną $1$, która i tak jest osiągana na prawym ramieniu dla $x = 4$). Rzut tej części to $\langle -3, 2 \rangle$.
Dodatkowo punkt izolowany $(-2, 4)$ dodaje do zbioru wartości pojedynczą liczbę $4$.
Zbiór wartości jest sumą przedziału i zbioru jednoelementowego: $$ZW = \langle -3, 2 \rangle \cup \{4\}$$ Wartość najmniejsza to $y_{\min} = -3$, przyjmowana dla argumentu $x = 1$.
Wartość największa to $y_{\max} = 4$, przyjmowana w punkcie izolowanym dla argumentu $x = -2$.
Podpunkt f) Analiza wykresu złożonego z dwóch rozłącznych gałęzi:
Wykres składa się z dwóch niezależnych części:
Pierwsza część to łuk dla $x \in (-5, -2)$, którego oba końce są otwarte: od rzędnej $y = 2$ do $y = 4$. Wartości z tej części tworzą przedział otwarty $(2, 4)$.
Druga część to odcinek dla $x \in \langle 1, 3 \rangle$, o obu końcach domkniętych: od punktu $(1, -2)$ do $(3, 1)$. Wartości z tej części tworzą przedział domknięty $\langle -2, 1 \rangle$.
Zbiór wartości jest sumą tych dwóch rozłącznych zbiorów: $$ZW = \langle -2, 1 \rangle \cup (2, 4)$$ Wartość najmniejsza funkcji to $y_{\min} = -2$, przyjmowana dla argumentu $x = 1$.
Wartość największa nie istnieje, ponieważ w wyższym przedziale $(2, 4)$ kres górny $4$ jest otwarty (kółko niezamalowane w punkcie $(-2, 4)$), a w niższym przedziale wartości nie przekraczają $1$.

Zadanie 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$. Na podstawie wykresu odczytaj:
a) dziedzinę funkcji $f$
b) zbiór wartości funkcji $f$
c) wartość funkcji $f$ dla argumentu $(-3)$
d) argument, dla którego funkcja $f$ przyjmuje wartość równą $2$.

Zadanie 3

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$. Na podstawie wykresu:
a) odczytaj dziedzinę funkcji $f$
b) podaj zbiór wartości funkcji $f$
c) oblicz wartość wyrażenia $f(1) \cdot [f(5) - f(-3)]$
d) podaj argument, dla którego wartość funkcji $f$ wynosi 4.

Zadanie 4

Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$.

Na podstawie wykresu:

podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji $f$
podaj współrzędne punktów, w których wykres funkcji przecina oś $OX$ oraz oś $OY$
odczytaj najmniejszą oraz największą wartość funkcji $f$, o ile istnieją, a także argumenty, dla których te wartości są przyjmowane
uzupełnij zapisy:
1. $f(x) = -3 \iff \dots$
2. $f(-1) \cdot \log_2 f(0) - f(-\pi - 3) = \dots$

Zadanie 5

Która z liczb: $-3$, $\dfrac{1}{2}$, $8$ jest wartością funkcji $f(x) = 2 - |x|$, gdzie $x \in \mathbb{N}$? Odpowiedź uzasadnij.

3.4 Zbiór wartości funkcji liczbowej. Najmniejsza i największa wartość funkcji

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋