Definicja. Twierdzenie. Dowód twierdzenia kartkówka LiczBit

2.12 Definicja. Twierdzenie. Dowód twierdzenia

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste $x, y, z$ spełniają warunek $(x + y + z)^2 = 3(xy + yz + zx)$, to $x = y = z$.

Wskazówki:

Rozwiń lewą stronę równania $(x + y + z)^2$, traktując dwa pierwsze składniki jako całość: $((x + y) + z)^2$.
Przenieś wszystkie wyrażenia na lewą stronę i zredukuj wyrazy podobne.
Pomnóż obie strony równania przez $2$, aby uzyskać podwojone iloczyny $-2xy, -2yz, -2zx$, niezbędne do wzorów na kwadrat różnicy.
Rozbij podwojone kwadraty $2x^2 = x^2 + x^2$, $2y^2 = y^2 + y^2$, $2z^2 = z^2 + z^2$ i pogrupuj składniki w sumę trzech kwadratów różnic.
Wykorzystaj fakt, że suma kwadratów liczb rzeczywistych wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy każdy składnik z osobna jest równy zero.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozwinięcie lewej strony równania – wyprowadzenie wzoru na kwadrat sumy trzech składników:
Wychodzimy od równania z treści zadania: $$(x + y + z)^2 = 3(xy + yz + zx)$$ Aby dokładnie sprawdzić, skąd bierze się lewa strona, grupujemy wyrażenie jako $((x + y) + z)^2$ i stosujemy podstawowy wzór skróconego mnożenia $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$\begin{aligned} (x + y + z)^2 &= \left((x + y) + z\right)^2 \\[6pt] &= (x + y)^2 + 2(x + y)z + z^2 \\[6pt] &= (x^2 + 2xy + y^2) + (2xz + 2yz) + z^2 \\[6pt] &= x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx \\[6pt] &= x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \end{aligned}$$ Wstawiamy rozpisane wyrażenie z powrotem do wyjściowego równania: $$x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 3(xy + yz + zx)$$
Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę:
Odejmujemy obustronnie wyrażenie $3(xy + yz + zx)$ i redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) - 3(xy + yz + zx) &= 0 \\[6pt] x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx) &= 0 \\[6pt] x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx &= 0 \end{aligned}$$
Mnożenie obu stron równania przez 2:
Chcemy przekształcić lewą stronę do sumy wzorów skróconego mnożenia postaci $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. W równaniu mamy jednak pojedyncze iloczyny ($-xy, -yz, -zx$), dlatego mnożymy obie strony przez $2$: $$\begin{aligned} 2 \cdot (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) &= 2 \cdot 0 \\[6pt] 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx &= 0 \end{aligned}$$
Rozbicie kwadratów i zwinięcie do sumy trzech kwadratów różnic:
Każdy podwojony kwadrat możemy zapisać jako sumę dwóch takich samych kwadratów: $$2x^2 = x^2 + x^2, \quad 2y^2 = y^2 + y^2, \quad 2z^2 = z^2 + z^2$$ Podstawiamy to do równania: $$x^2 + x^2 + y^2 + y^2 + z^2 + z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0$$ Teraz grupujemy wyrazy w trzy niezależne pary ze składnikami iloczynowymi: $$(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) = 0$$ W każdym nawiasie rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: $$(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0$$
Wnioskowanie z nieujemności kwadratów liczb rzeczywistych:
Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y, z \in \mathbb{R}$ kwadrat dowolnej liczby jest zawsze nieujemny: $$(x - y)^2 \ge 0, \quad (y - z)^2 \ge 0, \quad (z - x)^2 \ge 0$$ Suma trzech liczb nieujemnych jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy każda z nich z osobna jest równa zero: $$\begin{cases} (x - y)^2 = 0 \\[4pt] (y - z)^2 = 0 \\[4pt] (z - x)^2 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = 0 \\[4pt] y - z = 0 \\[4pt] z - x = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = y \\[4pt] y = z \\[4pt] z = x \end{cases}$$ Otrzymujemy zatem bezpośrednio: $$x = y = z$$ co kończy dowód.

Odpowiedź:
Wykazano, że z równości $(x + y + z)^2 = 3(xy + yz + zx)$ wynika równość $x = y = z$.

Zadanie 2

Wykaż, że jeśli $n \in \mathbb{N}$ i $n \ge 1$, to liczba $5^{n+2} - 5^n$ jest podzielna przez $120$.

Wskazówki:

Skorzystaj z prawa działań na potęgach o jednakowych podstawach: $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$.
Wyłącz przed nawias wspólny czynnik o najniższej potędze, czyli $5^n$, a następnie oblicz wartość wyrażenia w nawiasie.
Zauważ, że $120 = 24 \cdot 5$. Ponieważ $n \ge 1$, możesz rozbić potęgę $5^n$ na iloczyn $5^{n-1} \cdot 5$, co pozwoli wydzielić czynnik $120$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias (metoda algebraiczna):
Rozpisujemy potęgę $5^{n+2}$ ze wzoru na iloczyn potęg o tej samej podstawie, czyli $5^{n+2} = 5^n \cdot 5^2$. Wyłączamy wspólny czynnik $5^n$ przed nawias: $$ \begin{aligned} 5^{n+2} - 5^n &= 5^n \cdot 5^2 - 5^n \\[8pt] &= 5^n (5^2 - 1) \\[8pt] &= 5^n (25 - 1) \\[8pt] &= 5^n \cdot 24 \end{aligned} $$ Zauważmy, że dzielnik $120$ można przedstawić w postaci $24 \cdot 5$. Z treści zadania wiemy, że $n \ge 1$, zatem $n - 1 \ge 0$. Rozpisujemy czynnik $5^n$ jako iloczyn $5^{n-1} \cdot 5^1$: $$ \begin{aligned} 5^n \cdot 24 &= 5^{n-1} \cdot 5 \cdot 24 \\[8pt] &= 5^{n-1} \cdot 120 \\[8pt] &= 120 \cdot 5^{n-1} \end{aligned} $$ Dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ wykładnik $n - 1$ jest liczbą całkowitą nieujemną, co oznacza, że liczba $5^{n-1}$ jest liczbą całkowitą. Wyjściowe wyrażenie jest zatem iloczynem liczby $120$ oraz liczby całkowitej $k = 5^{n-1}$, co kończy dowód podzielności.
Sposób II – Dowód z zastosowaniem zasady indukcji matematycznej:
Niech $T(n)$ oznacza twierdzenie: „Liczba $5^{n+2} - 5^n$ jest podzielna przez $120$ dla $n \ge 1$”.

1. Baza indukcji (sprawdzenie dla $n = 1$): $$ \begin{aligned} 5^{1+2} - 5^1 &= 5^3 - 5 \\[8pt] &= 125 - 5 \\[8pt] &= 120 \end{aligned} $$ Liczba $120$ dzieli się przez $120$ bez reszty ($120 = 1 \cdot 120$), zatem baza indukcji jest spełniona.

2. Krok indukcyjny: Zakładamy, że dla pewnej liczby naturalnej $k \ge 1$ wyrażenie jest podzielne przez $120$, czyli istnieje taka liczba całkowita $m$, że: $$5^{k+2} - 5^k = 120m$$ Pokażemy, że z tego założenia wynika podzielność przez $120$ dla liczby $k + 1$, czyli badamy wyrażenie $5^{(k+1)+2} - 5^{k+1}$: $$ \begin{aligned} 5^{k+3} - 5^{k+1} &= 5 \cdot 5^{k+2} - 5 \cdot 5^k \\[8pt] &= 5 \cdot (5^{k+2} - 5^k) \\[8pt] &= 5 \cdot 120m \\[8pt] &= 120 \cdot (5m) \end{aligned} $$ Ponieważ $m$ jest liczbą całkowitą, to iloczyn $5m$ również jest liczbą całkowitą. Zatem liczba $5^{k+3} - 5^{k+1}$ jest podzielna przez $120$.

Na mocy zasady indukcji matematycznej liczba $5^{n+2} - 5^n$ jest podzielna przez $120$ dla każdego $n \in \mathbb{N}$ takiego, że $n \ge 1$.

Odpowiedź:
Wykazano, że liczba $5^{n+2} - 5^n = 120 \cdot 5^{n-1}$ jest podzielna przez $120$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Zadanie 3

Wykaż, że suma czterech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 8.

Wskazówki:

Zapisz ogólną postać liczby nieparzystej przy użyciu zmiennej całkowitej $k \in \mathbb{C}$.
Kolejne liczby nieparzyste różnią się od siebie o 2. Wyznacz cztery takie liczby i zapisz ich sumę.
Uprość wyrażenie algebraiczne i wyłącz czynnik 8 przed nawias.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Zapisanie kolejnych liczb nieparzystych od najmniejszej:
Każdą liczbę nieparzystą możemy zapisać w postaci $2k + 1$, gdzie $k \in \mathbb{C}$ oznacza dowolną liczbę całkowitą. Kolejne liczby nieparzyste tworzą ciąg liczb różniących się o $2$: $$2k + 1, \quad 2k + 3, \quad 2k + 5, \quad 2k + 7$$
Wyznaczenie sumy i wyłączenie wspólnego czynnika:
Dodajemy do siebie wszystkie cztery liczby, a następnie redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} S &= (2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5) + (2k + 7) \\[8pt] &= 2k + 2k + 2k + 2k + 1 + 3 + 5 + 7 \\[8pt] &= 8k + 16 \\[8pt] &= 8(k + 2) \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie zapisu symetrycznego względem środka:
Cztery kolejne liczby nieparzyste możemy także zapisać symetrycznie względem pewnej parzystej liczby $2n$ (gdzie $n \in \mathbb{C}$): $$2n - 3, \quad 2n - 1, \quad 2n + 1, \quad 2n + 3$$ Obliczamy ich sumę: $$\begin{aligned} S &= (2n - 3) + (2n - 1) + (2n + 1) + (2n + 3) \\[8pt] &= 2n + 2n + 2n + 2n - 3 - 1 + 1 + 3 \\[8pt] &= 8n \end{aligned}$$
Wnioskowanie i sformułowanie konkluzji dowodu:
W obu przypadkach otrzymaliśmy wyrażenie będące iloczynem liczby $8$ i liczby całkowitej: $$S = 8m, \quad \text{gdzie } m \in \mathbb{C}$$ Iloczyn liczby $8$ oraz dowolnej liczby całkowitej $m$ jest liczbą podzielną przez $8$, co dowodzi, że suma czterech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 8.

Odpowiedź:
Suma czterech kolejnych liczb nieparzystych wynosi $S = 8(k + 2)$, gdzie $k \in \mathbb{C}$. Ponieważ $k + 2$ jest liczbą całkowitą, suma jest wielokrotnością liczby 8, a więc jest przez nią podzielna.

Zadanie 4

Wykaż, że iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 6.

Wskazówki:

Zapisz trzy kolejne liczby całkowite za pomocą jednej zmiennej całkowitej $n$, na przykład jako $n$, $n + 1$, $n + 2$.
Liczba całkowita jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się jednocześnie przez 2 oraz przez 3, ponieważ $\operatorname{NWD}(2, 3) = 1$.
Zbadaj parzystość oraz podzielność przez 3 kolejnych liczb w zbiorze liczb całkowitych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapis algebraiczny iloczynu trzech kolejnych liczb całkowitych:
Niech $n \in \mathbb{C}$ oznacza dowolną liczbę całkowitą. Trzy kolejne liczby całkowite możemy zapisać jako: $$n, \quad n + 1, \quad n + 2$$ Iloczyn tych liczb oznaczmy symbolem $I$: $$I = n(n + 1)(n + 2)$$ Aby dowieść, że liczba $I$ dzieli się przez 6, wystarczy wykazać, że jest ona podzielna przez 2 oraz przez 3, gdyż 2 i 3 są liczbami względnie pierwszymi ($\operatorname{NWD}(2, 3) = 1$).
Sposób I – Analiza własności reszt z dzielenia kolejnych liczb całkowitych:
Dowód przeprowadzamy na podstawie regularności występowania wielokrotności liczb 2 i 3 w ciągu kolejnych liczb całkowitych:
- Podzielność przez 2: Wśród dowolnych dwóch kolejnych liczb całkowitych (a więc tym bardziej wśród trzech) dokładnie jedna lub dwie liczby są parzyste (czyli podzielne przez 2). Oznacza to, że iloczyn $I$ zawiera co najmniej jeden czynnik parzysty, a zatem: $$2 \mid I$$
- Podzielność przez 3: Każda liczba całkowita przy dzieleniu przez 3 daje jedną z reszt: 0, 1 lub 2. Wśród dowolnych trzech kolejnych liczb całkowitych reszty te muszą pojawić się po kolei, co gwarantuje, że dokładnie jedna z tych trzech liczb daje resztę 0 (jest podzielna przez 3). Zatem iloczyn $I$ zawiera czynnik podzielny przez 3: $$3 \mid I$$
Ponieważ liczba $I$ dzieli się jednocześnie przez 2 i przez 3 oraz liczby te nie mają wspólnych dzielników większych od 1: $$6 \mid I$$ co należało wykazać.
Sposób II – Dowód algebraiczny przez rozpatrzenie przypadków (modulo 2 i modulo 3):
Rozpatrujemy szczegółowo możliwe postacie liczby $n$:

1. Podzielność przez 2:
Każdą liczbę całkowitą $n$ można zapisać jako $n = 2k$ (liczba parzysta) lub $n = 2k + 1$ (liczba nieparzysta), gdzie $k \in \mathbb{C}$:
- Jeśli $n = 2k$: $$\begin{aligned} I &= 2k(2k + 1)(2k + 2) \\[8pt] &= 2 \cdot [k(2k + 1)(2k + 2)] \end{aligned}$$ Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest iloczynem liczb całkowitych, więc iloczyn $I$ jest podzielny przez 2.
- Jeśli $n = 2k + 1$: $$\begin{aligned} n + 1 &= (2k + 1) + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1) \\[8pt] I &= (2k + 1) \cdot 2(k + 1) \cdot (2k + 3) \\[8pt] &= 2 \cdot [(2k + 1)(k + 1)(2k + 3)] \end{aligned}$$ Iloczyn $I$ jest podzielny przez 2.
2. Podzielność przez 3:
Każdą liczbę całkowitą $n$ można przedstawić w jednej z trzech postaci dla $m \in \mathbb{C}$: $n = 3m$, $n = 3m + 1$ lub $n = 3m + 2$:
- Dla $n = 3m$: czynnik $n$ jest podzielny przez 3, więc $I = 3 \cdot [m(3m + 1)(3m + 2)]$.
- Dla $n = 3m + 1$: czynnik $n + 2 = (3m + 1) + 2 = 3m + 3 = 3(m + 1)$, więc $I = 3 \cdot [(3m + 1)(3m + 2)(m + 1)]$.
- Dla $n = 3m + 2$: czynnik $n + 1 = (3m + 2) + 1 = 3m + 3 = 3(m + 1)$, więc $I = 3 \cdot [(3m + 2)(m + 1)(3m + 4)]$.
W każdym przypadku iloczyn $I$ dzieli się przez 3 oraz dzieli się przez 2. Zatem $I$ jest podzielny przez $2 \cdot 3 = 6$, co kończy dowód.

Odpowiedź:
Wykazano, że iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 2 oraz przez 3. Ponieważ liczby 2 i 3 są względnie pierwsze, iloczyn ten jest podzielny przez $2 \cdot 3 = 6$.

Zadanie 5

Wykaż, że jeśli $a > 4$ i $b > 3$, to $\dfrac{3a + 4b}{8} > 3$.

Wskazówki:

Dodawanie nierówności stronami: Nierówności o tym samym zwrocie można dodawać stronami.
Mnożenie przez liczbę dodatnią: Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę dodatnią, zachowujemy ten sam zwrot nierówności.
Metoda badania różnicy stron: Tezę $\dfrac{3a + 4b}{8} > 3$ można również wykazać, pokazując, że różnica lewej i prawej strony jest większa od zera: $L - P > 0$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wykorzystanie operacji na nierównościach i dodawanie stronami:
Wychodzimy od założeń danych w treści zadania: $$a > 4 \quad \text{oraz} \quad b > 3$$ Mnożymy obie strony pierwszej nierówności przez dodatnią liczbę $3$: $$a > 4 \quad \Big/ \cdot 3 \implies 3a > 12$$ Mnożymy obie strony drugiej nierówności przez dodatnią liczbę $4$: $$b > 3 \quad \Big/ \cdot 4 \implies 4b > 12$$ Ponieważ obie nierówności mają ten sam zwrot, możemy dodać je stronami: $$\begin{aligned} 3a + 4b &> 12 + 12 \\[8pt] 3a + 4b &> 24 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony otrzymanej nierówności przez liczbę dodatnią $8$: $$\begin{aligned} \dfrac{3a + 4b}{8} &> \dfrac{24}{8} \\[8pt] \dfrac{3a + 4b}{8} &> 3 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy żądaną nierówność, co kończy dowód.
Sposób II – Badanie znaku różnicy lewej i prawej strony tezy:
Oznaczmy lewą stronę tezy jako $L = \dfrac{3a + 4b}{8}$, a prawą stronę jako $P = 3$. Badamy znak różnicy $L - P$: $$\begin{aligned} L - P &= \dfrac{3a + 4b}{8} - 3 \\[8pt] &= \dfrac{3a + 4b - 24}{8} \end{aligned}$$ Rozbijamy liczbę $-24$ na sumę $-12 - 12$ i grupujemy wyrazy w liczniku: $$\begin{aligned} \dfrac{3a + 4b - 24}{8} &= \dfrac{(3a - 12) + (4b - 12)}{8} \\[8pt] &= \dfrac{3(a - 4) + 4(b - 3)}{8} \end{aligned}$$ Z założeń wiemy, że $a > 4$, czyli $a - 4 > 0$, oraz $b > 3$, czyli $b - 3 > 0$. Iloczyny $3(a - 4)$ oraz $4(b - 3)$ są zatem liczbami dodatnimi jako iloczyny liczb dodatnich.

Suma dwóch liczb dodatnich jest dodatnia, a iloraz liczby dodatniej przez $8$ jest liczbą dodatnią: $$\dfrac{3(a - 4) + 4(b - 3)}{8} > 0 \implies L - P > 0 \implies L > P$$ Zatem $\dfrac{3a + 4b}{8} > 3$, co należało wykazać.

Odpowiedź:
Przeprowadzono dowód (uzasadnienie powyżej).

Grupa B

Zadanie 1

Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste $a, b, c$ spełniają warunek $a^2 + b^2 + c^2 + 3 = 2(a + b + c)$, to $a = b = c = 1$.

Zadanie 2

Wykaż, że jeśli $n \in \mathbb{N}$ i $n \ge 1$, to liczba $2^{n+4} - 2^n$ jest podzielna przez $30$.

Zadanie 3

Wykaż, że suma pięciu kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 10.

Zadanie 4

Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8.

Zadanie 5

Wykaż, że jeśli $a > 4$ i $b > 6$, to $\dfrac{5a + 2b}{8} > 4$.

2.12 Definicja. Twierdzenie. Dowód twierdzenia

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋