Opis ruchu prostoliniowego kartkówka LiczBit

2.2 Opis ruchu prostoliniowego

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Zawodnik trenuje na basenie sportowym o długości toru $50\text{ m}$. Wyznacz współrzędną przemieszczenia zawodnika i drogę pokonaną po przepłynięciu, jeśli startuje z punktu A:

a) $3$ długości basenu,
b) $2\frac{1}{2}$ długości basenu.

Przyjmij, że punkt zero osi $x$ układu współrzędnych znajduje się w połowie długości basenu, a oś jest zwrócona w prawo. A i B oznaczają ścianki basenu, których musi dotknąć zawodnik.

Wskazówki:

Droga $s$ jest wielkością skalarną równą całkowitej długości przebytego toru. Każde przepłynięcie basenu dodaje do drogi jego pełną długość $L = 50\text{ m}$.
Współrzędna przemieszczenia $\Delta x$ opisuje wektor łączący położenie początkowe $x_1$ z położeniem końcowym $x_2$: $\Delta x = x_2 - x_1$. Zależy wyłącznie od punktu startu i mety, a nie od przebytej trasy.
Ścianka A leży na współrzędnej $x = -25\text{ m}$, ścianka B na $x = 25\text{ m}$, a środek basenu odpowiada współrzędnej $x = 0\text{ m}$.

Dane i szukane:

Dane:
Długość basenu: $L = 50\text{ m}$
Położenie początkowe zawodnika: $x_1 = -25\text{ m}$ (ścianka A)
Położenie ścianki B: $x_B = 25\text{ m}$
Liczba długości basenu w podpunkcie a): $n_a = 3$
Liczba długości basenu w podpunkcie b): $n_b = 2\frac{1}{2} = 2{,}5$

Szukane:
Współrzędne przemieszczenia: $\Delta x_a = ?$, $\Delta x_b = ?$
Drogi: $s_a = ?$, $s_b = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
Basen ma długość $L = 50\text{ m}$. Punkt zerowy osi $x$ znajduje się w połowie basenu, a oś jest skierowana w prawo. Wobec tego ścianka A znajduje się w punkcie $x_1 = -25\text{ m}$, a ścianka B w punkcie $x = 25\text{ m}$. Zawodnik rozpoczyna pływanie przy ściance A: $$x_1 = -25\text{ m}$$ Poniższy rysunek pomocniczy ilustruje wyłącznie stan wyjściowy przed rozpoczęciem treningu.
Podpunkt a) Wyznaczenie współrzędnej przemieszczenia i drogi po przepłynięciu $3$ długości basenu:
Droga $s_a$ jest sumą długości wszystkich przepłyniętych odcinków: $$\begin{aligned} s_a &= 3 \cdot L \\[8pt] &= 3 \cdot 50\text{ m} \\[8pt] &= 150\text{ m} \end{aligned}$$ Śledzimy kolejne etapy ruchu zawodnika:
- 1. basen: płynie od ścianki A do ścianki B (od $x = -25\text{ m}$ do $x = 25\text{ m}$),
- 2. basen: zawraca i płynie od ścianki B do ścianki A (od $x = 25\text{ m}$ do $x = -25\text{ m}$),
- 3. basen: ponownie płynie od ścianki A do ścianki B (od $x = -25\text{ m}$ do $x = 25\text{ m}$).
Położenie końcowe zawodnika wynosi zatem: $$x_2 = 25\text{ m}$$ Współrzędną przemieszczenia $\Delta x_a$ obliczamy z różnicy położeń: $$\begin{aligned} \Delta x_a &= x_2 - x_1 \\[8pt] &= 25\text{ m} - (-25\text{ m}) \\[8pt] &= 25\text{ m} + 25\text{ m} \\[8pt] &= 50\text{ m} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie współrzędnej przemieszczenia i drogi po przepłynięciu $2\frac{1}{2}$ długości basenu:
Dla $2{,}5$ długości basenu droga $s_b$ wynosi: $$\begin{aligned} s_b &= 2{,}5 \cdot L \\[8pt] &= 2{,}5 \cdot 50\text{ m} \\[8pt] &= 125\text{ m} \end{aligned}$$ Kolejne etapy ruchu:
- 1. basen: z punktu A ($x = -25\text{ m}$) do B ($x = 25\text{ m}$),
- 2. basen: z punktu B ($x = 25\text{ m}$) do A ($x = -25\text{ m}$),
- połowa basenu ($0{,}5 \cdot 50\text{ m} = 25\text{ m}$): zawodnik płynie ze ścianki A w prawo o dystans $25\text{ m}$.
Położenie końcowe wynosi: $$x_2 = -25\text{ m} + 25\text{ m} = 0\text{ m}$$ Zawodnik zatrzymuje się dokładnie w połowie basenu. Współrzędna przemieszczenia $\Delta x_b$: $$\begin{aligned} \Delta x_b &= x_2 - x_1 \\[8pt] &= 0\text{ m} - (-25\text{ m}) \\[8pt] &= 25\text{ m} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) współrzędna przemieszczenia: $\Delta x = 50\text{ m}$, droga: $s = 150\text{ m}$

b) współrzędna przemieszczenia: $\Delta x = 25\text{ m}$, droga: $s = 125\text{ m}$

Zadanie 2

Pasażer pociągu jadącego po prostoliniowym torze notował co 10 minut liczby, które widział na mijanych słupkach kilometrowych. Liczby zapisał w przygotowanej tabeli:

Nr pomiaru	1	2	3	4	5	6	7	8
Nr słupka kilometrowego	45	60	75	90	90	102	114	126
Współrzędna położenia pociągu $x\text{ [km]}$
Czas jazdy pociągu $t\text{ [min]}$	0	10	20	30	40	50	60	70

Przyjmij, że w chwili pierwszego pomiaru współrzędna położenia pociągu to $x_1 = 0\text{ km}$, i uzupełnij drugi wiersz tabeli, wpisując położenia pociągu co kolejne 10 minut.
Narysuj wykres zależności położenia pociągu od czasu jazdy $x(t)$.
Wyznacz współrzędną przemieszczenia i drogę pociągu:
a) po pierwszych 30 min,
b) między 30 min a 40 min,
c) między 40 min a 70 min jazdy pociągu.

Wskazówki:

Współrzędna położenia $x$ ciała określa jego pozycję względem ustalonego punktu odniesienia $x = 0$. W tym zadaniu punkt odniesienia przyjęto na słupku kilometrowym nr 45, dlatego współrzędna położenia jest różnicą pomiędzy bieżącym numerem słupka a numerem słupka początkowego: $x = L - L_1$.
Współrzędna przemieszczenia na danym odcinku czasu to różnica współrzędnych końcowej i początkowej: $\Delta x = x_2 - x_1$. Może ona przyjmować wartości dodatnie, ujemne lub zero.
Droga $s$ jest miarą długości toru ruchu i jest wielkością skalarną nieujemną. W ruchu prostoliniowym w jednym kierunku (bez zawracania) droga jest równa modułowi współrzędnej przemieszczenia: $s = |\Delta x|$.

Dane i szukane:

Dane:
Numery słupków: $L_1 = 45\text{ km}$, $L_2 = 60\text{ km}$, $L_3 = 75\text{ km}$, $L_4 = 90\text{ km}$, $L_5 = 90\text{ km}$, $L_6 = 102\text{ km}$, $L_7 = 114\text{ km}$, $L_8 = 126\text{ km}$
Czasy pomiarów: $t_1 = 0\text{ min}$, $t_2 = 10\text{ min}$, $t_3 = 20\text{ min}$, $t_4 = 30\text{ min}$, $t_5 = 40\text{ min}$, $t_6 = 50\text{ min}$, $t_7 = 60\text{ min}$, $t_8 = 70\text{ min}$
Położenie początkowe: $x_1 = 0\text{ km}$
Szukane:
Współrzędne położenia pociągu $x_1, x_2, \dots, x_8 = ?$
Wykres $x(t) = ?$
$\Delta x_a = ?$, $s_a = ?$ (w przedziale $0\text{ min} - 30\text{ min}$)
$\Delta x_b = ?$, $s_b = ?$ (w przedziale $30\text{ min} - 40\text{ min}$)
$\Delta x_c = ?$, $s_c = ?$ (w przedziale $40\text{ min} - 70\text{ min}$)

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i ustalenie układu odniesienia:
Pociąg porusza się wzdłuż prostego toru kolejowego. Zgodnie z poleceniem punkt początkowy osi współrzędnych $x_1 = 0\text{ km}$ ustalamy w miejscu wykonania pierwszego pomiaru, czyli na słupku kilometrowym o numerze $L_1 = 45\text{ km}$. Oś $x$ jest skierowana w stronę rosnących numerów słupków.
Wyznaczenie współrzędnych położenia i uzupełnienie tabeli:
Współrzędną położenia dla każdego kolejnego pomiaru obliczamy ze wzoru: $$ x_i = L_i - L_1 = L_i - 45\text{ km} $$ Obliczamy kolejne wartości współrzędnej $x$: $$ \begin{aligned} x_1 &= 45 - 45 = 0\text{ km} \\[8pt] x_2 &= 60 - 45 = 15\text{ km} \\[8pt] x_3 &= 75 - 45 = 30\text{ km} \\[8pt] x_4 &= 90 - 45 = 45\text{ km} \\[8pt] x_5 &= 90 - 45 = 45\text{ km} \\[8pt] x_6 &= 102 - 45 = 57\text{ km} \\[8pt] x_7 &= 114 - 45 = 69\text{ km} \\[8pt] x_8 &= 126 - 45 = 81\text{ km} \end{aligned} $$ Uzupełniamy drugi wiersz tabeli otrzymanymi liczbami: $0$, $15$, $30$, $45$, $45$, $57$, $69$, $81$.
Sporządzenie wykresu zależności położenia od czasu $x(t)$:
Na osi poziomej odkładamy czas $t$ w minutach, a na osi pionowej współrzędną położenia $x$ w kilometrach. Zaznaczamy punkty pomiarowe z tabeli i łączymy je odcinkami:
- W przedziale od $0$ do $30\text{ min}$ współrzędna rośnie jednostajnie co $15\text{ km}$ na każde $10\text{ min}$ (pociąg jedzie ze stałą prędkością $90\text{ km/h}$).
- W przedziale od $30$ do $40\text{ min}$ współrzędna nie ulega zmianie ($x = 45\text{ km}$), co oznacza postój pociągu (np. na stacji kolejowej).
- W przedziale od $40$ do $70\text{ min}$ współrzędna ponownie jednostajnie rośnie, tym razem o $12\text{ km}$ na każde $10\text{ min}$ (pociąg jedzie ze stałą prędkością $72\text{ km/h}$).
Podpunkt a) Obliczenie przemieszczenia i drogi po pierwszych 30 minutach:
Po pierwszych $30\text{ min}$ pociąg znajduje się w położeniu $x_4 = 45\text{ km}$, a startował z położenia $x_1 = 0\text{ km}$. Współrzędną przemieszczenia obliczamy jako zmianę położenia: $$ \begin{aligned} \Delta x_a &= x_4 - x_1 \\[8pt] &= 45\text{ km} - 0\text{ km} \\[8pt] &= 45\text{ km} \end{aligned} $$ Pociąg poruszał się po linii prostej w jednym kierunku, więc przebyta droga jest równa wartości bezwzględnej przemieszczenia: $$ s_a = |\Delta x_a| = 45\text{ km} $$
Podpunkt b) Obliczenie przemieszczenia i drogi między 30. a 40. minutą:
W chwili $t = 30\text{ min}$ pociąg ma współrzędną $x_4 = 45\text{ km}$, a w chwili $t = 40\text{ min}$ współrzędną $x_5 = 45\text{ km}$. Współrzędna przemieszczenia wynosi: $$ \begin{aligned} \Delta x_b &= x_5 - x_4 \\[8pt] &= 45\text{ km} - 45\text{ km} \\[8pt] &= 0\text{ km} \end{aligned} $$ Ponieważ pociąg stał w miejscu, przebyta droga wynosi: $$ s_b = 0\text{ km} $$
Podpunkt c) Obliczenie przemieszczenia i drogi między 40. a 70. minutą:
W chwili $t = 40\text{ min}$ współrzędna położenia wynosi $x_5 = 45\text{ km}$, a w chwili $t = 70\text{ min}$ wynosi $x_8 = 81\text{ km}$. Współrzędną przemieszczenia obliczamy z różnicy: $$ \begin{aligned} \Delta x_c &= x_8 - x_5 \\[8pt] &= 81\text{ km} - 45\text{ km} \\[8pt] &= 36\text{ km} \end{aligned} $$ Ruch odbywał się w tym samym zwrocie osi bez cofania, zatem przebyta droga wynosi: $$ s_c = |\Delta x_c| = 36\text{ km} $$

Odpowiedź:
a) $\Delta x_a = 45\text{ km}$, $s_a = 45\text{ km}$

b) $\Delta x_b = 0\text{ km}$, $s_b = 0\text{ km}$

c) $\Delta x_c = 36\text{ km}$, $s_c = 36\text{ km}$

Zadanie 3

Na wykresie przedstawiono zależność położenia ciała od czasu $x(t)$.
a) Odczytaj z wykresu, ile wynosi współrzędna położenia ciała po $20\text{ s}$, $40\text{ s}$ i $60\text{ s}$, licząc od początku trwania ruchu.
b) Oblicz współrzędną przemieszczenia w kolejnych 20-sekundowych przedziałach czasu oraz określ, czy w danym przedziale czasu ciało poruszało się zgodnie ze zwrotem osi układu współrzędnych, przeciwnie do niego, czy spoczywało.
c) Oblicz wartość całkowitego przemieszczenia i całkowitą drogę przebytą przez ciało w ciągu $60\text{ s}$ ruchu.

Wskazówki:

Współrzędną położenia odczytujesz z osi pionowej $x$ dla danej chwili czasu zaznaczonej na osi poziomej $t$.
Przemieszczenie w przedziale czasu to różnica między położeniem końcowym a początkowym: $\Delta x = x_2 - x_1$. Znak przemieszczenia wskazuje zwrot ruchu względem osi.
Całkowite przemieszczenie zależy wyłącznie od położenia początkowego i końcowego, natomiast droga jest sumą długości wszystkich przebytych odcinków (zawsze $s \ge 0$).

Dane i szukane:

Dane:
Początkowe położenie ciała: $x_0 = 0\text{ m}$ w chwili $t_0 = 0\text{ s}$
Czas trwania ruchu: $t_c = 60\text{ s}$
Długość pojedynczego przedziału czasu: $\Delta t = 20\text{ s}$
Współrzędne odczytane z wykresu:
- dla $t_1 = 20\text{ s}$: $x_1 = 60\text{ m}$
- dla $t_2 = 40\text{ s}$: $x_2 = 60\text{ m}$
- dla $t_3 = 60\text{ s}$: $x_3 = -60\text{ m}$
Szukane:
Współrzędne położeń: $x_1 = ?$, $x_2 = ?$, $x_3 = ?$
Przemieszczenia cząstkowe: $\Delta x_1 = ?$, $\Delta x_2 = ?$, $\Delta x_3 = ?$
Wartość całkowitego przemieszczenia: $|\Delta x_c| = ?$
Całkowita droga: $s_c = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Odczytanie współrzędnych położenia ciała w danych chwilach czasu:
Aby odnaleźć położenie ciała w zadanej chwili czasu, znajdujemy odpowiednią wartość na osi czasu $t$, prowadzimy pionową linię do punktu na wykresie, a następnie rzutujemy poziomo na oś położenia $x$:
- Dla chwili $t_1 = 20\text{ s}$: punkt na wykresie odpowiada wartości $x_1 = 60\text{ m}$.
- Dla chwili $t_2 = 40\text{ s}$: punkt na wykresie odpowiada wartości $x_2 = 60\text{ m}$.
- Dla chwili $t_3 = 60\text{ s}$: punkt na wykresie odpowiada wartości $x_3 = -60\text{ m}$.
Podpunkt b) Obliczenie przemieszczeń cząstkowych i określenie zwrotu ruchu:
Współrzędną przemieszczenia $\Delta x$ obliczamy ze wzoru: $$\Delta x = x_{\text{końcowe}} - x_{\text{początkowe}}$$ Dla pierwszego przedziału czasu ($0 - 20\text{ s}$): $$\begin{aligned} \Delta x_1 &= x_1 - x_0 \\[8pt] &= 60\text{ m} - 0\text{ m} \\[8pt] &= 60\text{ m} \end{aligned}$$ Ponieważ $\Delta x_1 > 0$, ciało poruszało się zgodnie ze zwrotem osi układu współrzędnych.

Dla drugiego przedziału czasu ($20 - 40\text{ s}$): $$\begin{aligned} \Delta x_2 &= x_2 - x_1 \\[8pt] &= 60\text{ m} - 60\text{ m} \\[8pt] &= 0\text{ m} \end{aligned}$$ Przemieszczenie wynosi $0\text{ m}$, co oznacza, że ciało spoczywało (nie zmieniało swojego położenia).

Dla trzeciego przedziału czasu ($40 - 60\text{ s}$): $$\begin{aligned} \Delta x_3 &= x_3 - x_2 \\[8pt] &= -60\text{ m} - 60\text{ m} \\[8pt] &= -120\text{ m} \end{aligned}$$ Ponieważ $\Delta x_3 < 0$, ciało poruszało się przeciwnie do zwrotu osi układu współrzędnych.
Podpunkt c) Wyznaczenie całkowitego przemieszczenia oraz przebytej drogi:
Współrzędna całkowitego przemieszczenia w przedziale $0 - 60\text{ s}$ zależy jedynie od położenia końcowego i początkowego: $$\begin{aligned} \Delta x_c &= x_3 - x_0 \\[8pt] &= -60\text{ m} - 0\text{ m} \\[8pt] &= -60\text{ m} \end{aligned}$$ Wartość (długość wektora) całkowitego przemieszczenia wynosi zatem: $$|\Delta x_c| = |-60\text{ m}| = 60\text{ m}$$ Całkowita droga $s_c$ jest wielkością skalarną nieujemną, równą sumie długości dróg przebytych w poszczególnych etapach ruchu: $$\begin{aligned} s_c &= s_1 + s_2 + s_3 \\[8pt] &= |\Delta x_1| + |\Delta x_2| + |\Delta x_3| \\[8pt] &= 60\text{ m} + 0\text{ m} + |-120\text{ m}| \\[8pt] &= 60\text{ m} + 0\text{ m} + 120\text{ m} \\[8pt] &= 180\text{ m} \end{aligned}$$ Ilustracja przemieszczeń i przebytej drogi wzdłuż osi $Ox$:

Odpowiedź:
a) Po $20\text{ s}$: $x_1 = 60\text{ m}$, po $40\text{ s}$: $x_2 = 60\text{ m}$, po $60\text{ s}$: $x_3 = -60\text{ m}$

b) Przedział $0 - 20\text{ s}$: $\Delta x_1 = 60\text{ m}$ (ruch zgodnie ze zwrotem osi), przedział $20 - 40\text{ s}$: $\Delta x_2 = 0\text{ m}$ (ciało spoczywało), przedział $40 - 60\text{ s}$: $\Delta x_3 = -120\text{ m}$ (ruch przeciwnie do zwrotu osi)

c) Wartość całkowitego przemieszczenia: $|\Delta x_c| = 60\text{ m}$, całkowita droga: $s_c = 180\text{ m}$

Zadanie 4

Piłka uderzona przez tenisistę przebyła po korcie prostoliniową drogę $s_1 = 6\text{ m}$ do pionowej ściany treningowej i po odbiciu zatrzymała się $2\text{ m}$ przed zawodnikiem. Oblicz współrzędną położenia końcowego, współrzędną wektora przemieszczenia i całkowitą drogę piłki. Przyjmij, że piłka poruszała się prostoliniowo wzdłuż osi skierowanej od zawodnika do ściany, a punkt zero osi to miejsce uderzenia piłki przez tenisistę.

Wskazówki:

Położenie początkowe ciała w wybranym układzie odniesienia przyjmujemy jako początek osi: $x_1 = 0\text{ m}$.
Wektor przemieszczenia łączy punkt początkowy z punktem końcowym; jego współrzędna na osi wynosi $\Delta x = x_2 - x_1$.
Droga $s_c$ to wielkość skalarna równa sumie długości wszystkich przebytych odcinków (droga do ściany plus droga powrotna po odbiciu).

Dane i szukane:

Dane:
$s_1 = 6\text{ m}$ – odcinek drogi przebyty przez piłkę od zawodnika do ściany
$d = 2\text{ m}$ – odległość punktu zatrzymania piłki od zawodnika
$x_1 = 0\text{ m}$ – współrzędna położenia początkowego (pozycja zawodnika)
$x_s = 6\text{ m}$ – współrzędna położenia ściany treningowej na osi
Szukane:
$x_2 = ?$ – współrzędna położenia końcowego piłki
$\Delta x = ?$ (oraz $\Delta\vec{r} = ?$) – współrzędna wektora przemieszczenia
$s_c = ?$ – całkowita droga przebyta przez piłkę

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
Wybieramy jednowymiarowy układ współrzędnych wzdłuż prostoliniowego toru ruchu piłki. Początek osi $x_1 = 0\text{ m}$ znajduje się w miejscu, w którym tenisista uderza piłkę. Oś $x$ jest zorientowana w prawo (w stronę ściany). Współrzędna ściany wynosi zatem $x_s = 6\text{ m}$.
Wyznaczenie współrzędnej położenia końcowego $x_2$:
Po odbiciu od ściany piłka poruszała się w kierunku powrotnym i zatrzymała się w odległości $d = 2\text{ m}$ przed tenisistą. Ponieważ tenisista stoi w początku osi ($x_1 = 0\text{ m}$), a odcinek między tenisistą a ścianą leży po dodatniej stronie osi $x$, współrzędna położenia końcowego wynosi bezpośrednio: $$\begin{aligned} x_2 &= x_1 + d \\[8pt] &= 0\text{ m} + 2\text{ m} \\[8pt] &= 2\text{ m} \end{aligned}$$
Obliczenie współrzędnej wektora przemieszczenia $\Delta x$:
Wektor przemieszczenia $\Delta\vec{r}$ określa zmianę położenia ciała i łączy położenie początkowe z końcowym. Współrzędną przemieszczenia na osi $x$ obliczamy z definicji: $$\begin{aligned} \Delta x &= x_2 - x_1 \\[8pt] &= 2\text{ m} - 0\text{ m} \\[8pt] &= 2\text{ m} \end{aligned}$$ W jednowymiarowym układzie współrzędnych wektor przemieszczenia zapisujemy jako $\Delta\vec{r} = [2\text{ m}]$. Jego wartość wynosi $2\text{ m}$, a zwrot jest zgodny ze zwrotem osi $x$.
Obliczenie całkowitej drogi $s_c$ oraz rysunek wynikowy:
Całkowita droga $s_c$ jest sumą długości poszczególnych etapów ruchu piłki: $$\begin{aligned} s_c = s_1 + s_2 \end{aligned}$$ gdzie $s_1 = 6\text{ m}$ to droga przebyta w stronę ściany, a $s_2$ to droga powrotna od ściany o współrzędnej $x_s = 6\text{ m}$ do punktu zatrzymania $x_2 = 2\text{ m}$: $$\begin{aligned} s_2 &= x_s - x_2 \\[8pt] &= 6\text{ m} - 2\text{ m} \\[8pt] &= 4\text{ m} \end{aligned}$$ Obliczamy całkowitą drogę: $$\begin{aligned} s_c &= s_1 + s_2 \\[8pt] &= 6\text{ m} + 4\text{ m} \\[8pt] &= 10\text{ m} \end{aligned}$$ Poniższy rysunek wynikowy przedstawia oba etapy ruchu oraz wyznaczony wektor przemieszczenia:

Odpowiedź:
Współrzędna położenia końcowego: $x_2 = 2\text{ m}$

Współrzędna wektora przemieszczenia: $\Delta x = 2\text{ m}$ (wektor przemieszczenia $\Delta\vec{r} = [2\text{ m}]$)

Całkowita droga: $s_c = 10\text{ m}$

Zadanie 5

Rolkarz porusza się po prostoliniowej alejce parkowej. Na rysunku zaznaczono jego położenie w chwili $t_1 = 5\text{ s}$.
a) Narysuj kolejne fragmenty wykresu zależności położenia od czasu $x(t)$, jeśli wiadomo, że w kolejnych następujących po sobie przedziałach czasu: $\Delta t_1 = 10\text{ s}$, $\Delta t_2 = 10\text{ s}$, $\Delta t_3 = 5\text{ s}$, $\Delta t_4 = 10\text{ s}$, współrzędne wektorów przemieszczenia wynoszą odpowiednio: $\Delta x_1 = 100\text{ m}$, $\Delta x_2 = 60\text{ m}$, $\Delta x_3 = 0\text{ m}$, $\Delta x_4 = -80\text{ m}$. Przyjmij, że w poszczególnych przedziałach czasu położenie rolkarza jest zależnością liniową czasu.
b) Wykaż, że przemieszczenie całkowite jest sumą przemieszczeń cząstkowych: $\Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 + \Delta x_4$.

Wskazówki:

Przemieszczenie na danym odcinku to różnica między współrzędną końcową a początkową danego przedziału: $\Delta x_i = x_{i+1} - x_i$.
Przekształcając wzór, nowe położenie wyznaczamy jako: $x_{i+1} = x_i + \Delta x_i$, a nową chwilę czasu jako: $t_{i+1} = t_i + \Delta t_i$.
Liniowa zależność położenia od czasu oznacza, że wewnątrz każdego przedziału czasu prędkość jest stała, a wykresem na danym przedziale jest odcinek linii prostej łączący punkty skrajne.
Dowód w podpunkcie b) polega na rozpisaniu przemieszczenia całkowitego z definicji oraz wykazaniu, że wyrazy pośrednie wzajemnie się redukują.

Dane i szukane:

Dane:
Położenie początkowe w chwili $t_1 = 5\text{ s}$: $x_1 = -60\text{ m}$
Przedziały czasu: $\Delta t_1 = 10\text{ s}$, $\Delta t_2 = 10\text{ s}$, $\Delta t_3 = 5\text{ s}$, $\Delta t_4 = 10\text{ s}$
Przemieszczenia cząstkowe: $\Delta x_1 = 100\text{ m}$, $\Delta x_2 = 60\text{ m}$, $\Delta x_3 = 0\text{ m}$, $\Delta x_4 = -80\text{ m}$
Szukane:
Położenia w kolejnych chwilach: $x_2, x_3, x_4, x_5 = ?$
Przemieszczenie całkowite: $\Delta x = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
Odczytujemy z osi współrzędnych stan wyjściowy rolkarza w chwili $t_1 = 5\text{ s}$. Odpowiada mu współrzędna położenia $x_1 = -60\text{ m}$. Poniższy schemat pomocniczy przedstawia wyłącznie punkt startowy ruchu wynikający bezpośrednio z treści zadania.
Podpunkt a) Obliczenie współrzędnych położenia i chwil czasu dla poszczególnych etapów:
Wychodząc z punktu początkowego $(t_1 = 5\text{ s}, x_1 = -60\text{ m})$, dodajemy wartości przedziałów czasu i wektorów przemieszczeń dla kolejnych etapów:

Dla etapu 1 ($\Delta t_1 = 10\text{ s}$, $\Delta x_1 = 100\text{ m}$): $$ \begin{aligned} t_2 &= t_1 + \Delta t_1 = 5\text{ s} + 10\text{ s} = 15\text{ s} \\[8pt] x_2 &= x_1 + \Delta x_1 = -60\text{ m} + 100\text{ m} = 40\text{ m} \end{aligned} $$ Dla etapu 2 ($\Delta t_2 = 10\text{ s}$, $\Delta x_2 = 60\text{ m}$): $$ \begin{aligned} t_3 &= t_2 + \Delta t_2 = 15\text{ s} + 10\text{ s} = 25\text{ s} \\[8pt] x_3 &= x_2 + \Delta x_2 = 40\text{ m} + 60\text{ m} = 100\text{ m} \end{aligned} $$ Dla etapu 3 ($\Delta t_3 = 5\text{ s}$, $\Delta x_3 = 0\text{ m}$): $$ \begin{aligned} t_4 &= t_3 + \Delta t_3 = 25\text{ s} + 5\text{ s} = 30\text{ s} \\[8pt] x_4 &= x_3 + \Delta x_3 = 100\text{ m} + 0\text{ m} = 100\text{ m} \end{aligned} $$ Dla etapu 4 ($\Delta t_4 = 10\text{ s}$, $\Delta x_4 = -80\text{ m}$): $$ \begin{aligned} t_5 &= t_4 + \Delta t_4 = 30\text{ s} + 10\text{ s} = 40\text{ s} \\[8pt] x_5 &= x_4 + \Delta x_4 = 100\text{ m} + (-80\text{ m}) = 20\text{ m} \end{aligned} $$
Rysunek wynikowy – sporządzenie pełnego wykresu $x(t)$:
Zgodnie z poleceniem zależność położenia od czasu w każdym przedziale jest liniowa, co oznacza, że wyliczone punkty łączymy prostymi odcinkami.
Podpunkt b) Wykazanie tożsamości przemieszczenia całkowitego:
Z definicji przemieszczenie całkowite $\Delta x$ ciała pomiędzy chwilą początkową $t_1$ a chwilą końcową $t_5$ wyraża się wzorem: $$ \Delta x = x_5 - x_1 $$ Wprowadzamy do tego wyrażenia współrzędne w kolejnych punktach pośrednich poprzez dodanie i odjęcie tych samych wielkości: $$ \begin{aligned} \Delta x &= x_5 - x_1 \\[8pt] &= (x_2 - x_1) + (x_3 - x_2) + (x_4 - x_3) + (x_5 - x_4) \end{aligned} $$ Zgodnie z definicją przemieszczeń na poszczególnych etapach mamy: $$ \begin{aligned} \Delta x_1 &= x_2 - x_1 \\[8pt] \Delta x_2 &= x_3 - x_2 \\[8pt] \Delta x_3 &= x_4 - x_3 \\[8pt] \Delta x_4 &= x_5 - x_4 \end{aligned} $$ Zastępując nawiasy odpowiednimi przemieszczeniami cząstkowymi, otrzymujemy bezpośrednio tezę: $$ \Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 + \Delta x_4 $$ Sprawdzamy rachunek liczbowy:
Wartość z definicji całkowitej: $$ \Delta x = 20\text{ m} - (-60\text{ m}) = 80\text{ m} $$ Suma przemieszczeń cząstkowych: $$ \Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 + \Delta x_4 = 100\text{ m} + 60\text{ m} + 0\text{ m} + (-80\text{ m}) = 80\text{ m} $$ Obie wielkości są równe, co kończy dowód.

Odpowiedź:
a) Współrzędne punktów wykresu $x(t)$: $(5\text{ s}, -60\text{ m})$, $(15\text{ s}, 40\text{ m})$, $(25\text{ s}, 100\text{ m})$, $(30\text{ s}, 100\text{ m})$, $(40\text{ s}, 20\text{ m})$. Odpowiedni wykres przedstawiono na rysunku.

b) Przemieszczenie całkowite $\Delta x = x_5 - x_1 = 80\text{ m}$ jest tożsamościowo równe sumie przemieszczeń cząstkowych $\sum \Delta x_i = 80\text{ m}$.

Grupa B

Zadanie 1

Zawodnik trenuje na basenie sportowym o długości toru $50\text{ m}$. Wyznacz współrzędną przemieszczenia zawodnika i drogę pokonaną po przepłynięciu, jeśli startuje z punktu B:

a) $2$ długości basenu,
b) $1\frac{1}{2}$ długości basenu.

Przyjmij, że punkt zero osi $x$ układu współrzędnych znajduje się w połowie długości basenu, a oś jest zwrócona w prawo. A i B oznaczają ścianki basenu, których musi dotknąć zawodnik.

Zadanie 2

Kierowca samochodu ciężarowego jadącego po prostoliniowym odcinku autostrady notował co 10 minut liczby widoczne na mijanych słupkach pikietażu drogowego. Zapisane przez niego wartości przedstawiono w tabeli:

Nr pomiaru	1	2	3	4	5	6	7	8
Nr słupka kilometrowego	110	122	134	146	146	161	176	191
Współrzędna położenia samochodu $x\text{ [km]}$
Czas jazdy samochodu $t\text{ [min]}$	0	10	20	30	40	50	60	70

Przyjmij, że w chwili pierwszego pomiaru współrzędna położenia samochodu to $x_1 = 0\text{ km}$, i uzupełnij drugi wiersz tabeli, wpisując położenia pojazdu co kolejne 10 minut.
Narysuj wykres zależności położenia samochodu od czasu jazdy $x(t)$.
Wyznacz współrzędną przemieszczenia i drogę przebytą przez samochód:
a) po pierwszych 30 min,
b) między 30 min a 40 min,
c) między 40 min a 70 min jazdy samochodu.

Zadanie 3

Na wykresie przedstawiono zależność położenia ciała od czasu $x(t)$.
a) Odczytaj z wykresu, ile wynosi współrzędna położenia ciała po $30\text{ s}$, $60\text{ s}$ i $90\text{ s}$, licząc od początku trwania ruchu.
b) Oblicz współrzędną przemieszczenia w kolejnych 30-sekundowych przedziałach czasu oraz określ, czy w danym przedziale czasu ciało poruszało się zgodnie ze zwrotem osi układu współrzędnych, przeciwnie do niego, czy spoczywało.
c) Oblicz wartość całkowitego przemieszczenia i całkowitą drogę przebytą przez ciało w ciągu $90\text{ s}$ ruchu.

Zadanie 4

Krążek do unihokeja uderzony przez zawodnika przebył po parkiecie drogę $s_1 = 10\text{ m}$ i po odbiciu od bandy zatrzymał się $4\text{ m}$ przed zawodnikiem. Oblicz współrzędną położenia końcowego, współrzędną wektora przemieszczenia i całkowitą drogę krążka. Przyjmij, że krążek poruszał się prostoliniowo wzdłuż osi skierowanej od zawodnika do bandy, a punkt zero osi to miejsce, w którym stał zawodnik.

Zadanie 5

Pieszy porusza się wzdłuż prostoliniowej ścieżki rekreacyjnej. Na rysunku zaznaczono jego położenie w chwili $t_1 = 10\text{ s}$.
a) Narysuj kolejne fragmenty wykresu zależności położenia od czasu $x(t)$, jeśli wiadomo, że w kolejnych następujących po sobie przedziałach czasu: $\Delta t_1 = 10\text{ s}$, $\Delta t_2 = 10\text{ s}$, $\Delta t_3 = 5\text{ s}$, $\Delta t_4 = 15\text{ s}$, współrzędne wektorów przemieszczenia wynoszą odpowiednio: $\Delta x_1 = 80\text{ m}$, $\Delta x_2 = 40\text{ m}$, $\Delta x_3 = 0\text{ m}$, $\Delta x_4 = -80\text{ m}$. Przyjmij, że w poszczególnych przedziałach czasu położenie pieszego jest liniową funkcją czasu.
b) Wykaż, że przemieszczenie całkowite jest sumą przemieszczeń cząstkowych: $\Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 + \Delta x_4$.

2.2 Opis ruchu prostoliniowego

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋