Jak opisać położenie ciała kartkówka LiczBit

2.1 Jak opisać położenie ciała

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Dane są wektory $\vec{a}$ i $\vec{b}$ (patrz rysunek poniżej), których długości wynoszą odpowiednio $|\vec{a}| = 3\text{ cm}$ i $|\vec{b}| = 5\text{ cm}$.

Znajdź graficznie wektory:
a) $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$
b) $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$
c) $\vec{e} = \vec{b} - \vec{a}$

Podaj współrzędne i długości otrzymanych wektorów: $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$.

Wskazówki:

Wektory leżące na jednej prostej (osi $x$) dodajemy graficznie metodą „koniec do początku”, czyli w punkcie końcowym pierwszego wektora umieszczamy początek drugiego.
Odejmowanie wektorów sprowadzamy do dodawania wektora przeciwnego: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Wektor przeciwny $-\vec{b}$ ma tę samą długość co wektor $\vec{b}$, lecz przeciwny zwrot (w lewo).
Współrzędna wektora na osi $x$ jest dodatnia, gdy wektor jest zwrócony zgodnie ze zwrotem osi (w prawo), a ujemna, gdy przeciwnie (w lewo). Długość wektora jest zawsze nieujemna: $|\vec{v}| = |v_x|$.

Dane i szukane:

Dane: $a_x = 3\text{ cm}$, $|\vec{a}| = 3\text{ cm}$, $b_x = 5\text{ cm}$, $|\vec{b}| = 5\text{ cm}$
Szukane: $c_x = ?$, $|\vec{c}| = ?$, $d_x = ?$, $|\vec{d}| = ?$, $e_x = ?$, $|\vec{e}| = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
Oba wyjściowe wektory $\vec{a}$ oraz $\vec{b}$ są równoległe do osi $x$ i skierowane w prawo (zgodnie z dodatnim zwrotem osi). Ich współrzędne na osi są równe ich długościom: $$a_x = 3\text{ cm}, \quad b_x = 5\text{ cm}$$ Poniższy rysunek pomocniczy ilustruje wyłącznie stan wyjściowy przed wykonaniem operacji dodawania i odejmowania wektorów.
Podpunkt a) Graficzne wyznaczenie wektora sumy $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$:
Aby wyznaczyć wektor sumy metodą geometryczną, zaczynamy od punktu $x = 0$ i odkładamy wektor $\vec{a}$ o długości $3\text{ cm}$ w prawo (kończy się on w punkcie $x = 3$). Następnie w punkcie końcowym wektora $\vec{a}$ umieszczamy początek wektora $\vec{b}$ i odkładamy go w prawo o $5\text{ cm}$, co daje punkt końcowy $x = 3 + 5 = 8$.

Wektor wypadkowy $\vec{c}$ łączy początek wektora $\vec{a}$ ($x = 0$) z końcem wektora $\vec{b}$ ($x = 8$): $$\begin{aligned} c_x &= a_x + b_x \\[8pt] &= 3\text{ cm} + 5\text{ cm} \\[8pt] &= 8\text{ cm} \end{aligned}$$ Długość wektora $\vec{c}$: $$|\vec{c}| = |c_x| = 8\text{ cm}$$
Podpunkt b) Graficzne wyznaczenie wektora różnicy $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$:
Różnicę wektorów zapisujemy jako sumę wektora $\vec{a}$ oraz wektora przeciwnego do $\vec{b}$: $$\vec{d} = \vec{a} + (-\vec{b})$$ Wektor $-\vec{b}$ ma długość $5\text{ cm}$, lecz jest skierowany w lewo (przeciwnie do osi $x$).

Konstrukcja: od punktu $x = 0$ odkładamy wektor $\vec{a}$ w prawo do punktu $x = 3$. Z końca tego wektora odkładamy wektor $-\vec{b}$ w lewo o $5\text{ cm}$, co doprowadza nas do punktu $x = 3 - 5 = -2$.

Wektor $\vec{d}$ łączy punkt $x = 0$ z punktem $x = -2$, jest więc zwrócony w lewo: $$\begin{aligned} d_x &= a_x - b_x \\[8pt] &= 3\text{ cm} - 5\text{ cm} \\[8pt] &= -2\text{ cm} \end{aligned}$$ Długość wektora $\vec{d}$: $$|\vec{d}| = |d_x| = |-2\text{ cm}| = 2\text{ cm}$$
Podpunkt c) Graficzne wyznaczenie wektora różnicy $\vec{e} = \vec{b} - \vec{a}$:
Różnicę zapisujemy jako sumę wektora $\vec{b}$ oraz wektora przeciwnego $-\vec{a}$: $$\vec{e} = \vec{b} + (-\vec{a})$$ Wektor $-\vec{a}$ ma długość $3\text{ cm}$ i jest skierowany w lewo.

Konstrukcja: od punktu $x = 0$ odkładamy wektor $\vec{b}$ w prawo do punktu $x = 5$. Z końca wektora $\vec{b}$ odkładamy wektor $-\vec{a}$ w lewo o $3\text{ cm}$, co doprowadza nas do punktu $x = 5 - 3 = 2$.

Wektor wypadkowy $\vec{e}$ łączy punkt $x = 0$ z punktem $x = 2$ i jest skierowany w prawo: $$\begin{aligned} e_x &= b_x - a_x \\[8pt] &= 5\text{ cm} - 3\text{ cm} \\[8pt] &= 2\text{ cm} \end{aligned}$$ Długość wektora $\vec{e}$: $$|\vec{e}| = |e_x| = 2\text{ cm}$$

Odpowiedź:
a) $c_x = 8\text{ cm}$, $|\vec{c}| = 8\text{ cm}$

b) $d_x = -2\text{ cm}$, $|\vec{d}| = 2\text{ cm}$

c) $e_x = 2\text{ cm}$, $|\vec{e}| = 2\text{ cm}$

Zadanie 2

Zawodnik podrzucił pionowo w górę piłkę do siatkówki z wysokości $h_1 = 1{,}5\text{ m}$ nad podłożem. Piłka wzniosła się na maksymalną wysokość $h_2 = 3{,}5\text{ m}$ nad podłoże, spadła i po odbiciu od podłoża wzniosła się na wysokość $h_3 = 2{,}0\text{ m}$. Narysuj wektor położenia piłki i oblicz współrzędną położenia piłki w przyjętym układzie współrzędnych:
a) gdy znajduje się ona w maksymalnym górnym położeniu,
b) w chwili uderzenia o podłoże,
c) gdy znajduje się ona na wysokości $h_3$.
Wprowadź jednowymiarowy układ współrzędnych tak, aby punkt zero na osi znajdował się w miejscu wyrzucenia piłki, a oś $y$ była skierowana pionowo do góry.

Wskazówki:

Wektor położenia $\vec{r}$ ma swój początek zawsze w początku przyjętego układu współrzędnych (tutaj w punkcie $y = 0$), a koniec w punkcie, w którym znajduje się ciało.
Jeżeli punkt zerowy $y = 0$ przyjęto w miejscu wyrzucenia (na wysokości $h_1 = 1{,}5\text{ m}$ nad podłożem), to podłoże znajduje się poniżej zera i ma współrzędną ujemną $y = -h_1$.
Współrzędną dowolnego punktu znajdującego się na bezwzględnej wysokości $h$ nad ziemią wyznaczamy z relacji $y = h - h_1$. Znak współrzędnej określa zwrot wektora położenia (dodatnia: zwrot w górę, ujemna: zwrot w dół).

Dane i szukane:

Dane:
$h_1 = 1{,}5\text{ m}$ (wysokość początkowa nad podłożem / miejsce wyrzucenia)
$h_2 = 3{,}5\text{ m}$ (maksymalna wysokość nad podłożem)
$h_3 = 2{,}0\text{ m}$ (wysokość po odbiciu nad podłożem)
$y_1 = 0\text{ m}$ (początek osi współrzędnych w punkcie wyrzucenia)
Szukane:
$y_a = ?$, $\vec{r}_a = ?$ (współrzędna i wektor położenia w najwyższym punkcie)
$y_b = ?$, $\vec{r}_b = ?$ (współrzędna i wektor położenia na podłożu)
$y_c = ?$, $\vec{r}_c = ?$ (współrzędna i wektor położenia na wysokości $h_3$)

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i ustalenie układu współrzędnych:
Wprowadzamy pionową oś $y$ o zwrocie w górę. Zgodnie z poleceniem punkt zerowy $y = 0$ ustalamy w miejscu wyrzucenia piłki. Ponieważ miejsce wyrzucenia znajduje się na wysokości $h_1 = 1{,}5\text{ m}$ nad ziemią, poziom gruntu odpowiada współrzędnej $y = -1{,}5\text{ m}$. Szkicujemy układ odniesienia z naniesionymi poziomami wysokości wynikającymi z treści zadania.
Podpunkt a) Obliczenie współrzędnej położenia w maksymalnym górnym punkcie:
W najwyższym punkcie toru piłka znajduje się na wysokości $h_2 = 3{,}5\text{ m}$ nad podłożem. Jej współrzędna $y_a$ to odległość od punktu wyrzucenia $y = 0$ mierzona wzdłuż osi $y$: $$ \begin{aligned} y_a &= h_2 - h_1 \\[8pt] &= 3{,}5\text{ m} - 1{,}5\text{ m} \\[8pt] &= 2{,}0\text{ m} \end{aligned} $$ Wektor położenia $\vec{r}_a$ zaczyna się w punkcie $y = 0$, a kończy w punkcie $y = 2{,}0\text{ m}$. Ponieważ współrzędna jest dodatnia, wektor ten ma zwrot w górę (zgodny ze zwrotem osi $y$), a jego długość wynosi $2{,}0\text{ m}$.
Podpunkt b) Obliczenie współrzędnej położenia w chwili uderzenia o podłoże:
W chwili uderzenia piłka znajduje się na poziomie podłoża (wysokość $0\text{ m}$ nad ziemią). Odejmując wysokość punktu odniesienia od poziomu podłoża, otrzymujemy współrzędną: $$ \begin{aligned} y_b &= 0\text{ m} - h_1 \\[8pt] &= -1{,}5\text{ m} \end{aligned} $$ Wektor położenia $\vec{r}_b$ zaczyna się w punkcie $y = 0$, a kończy w punkcie $y = -1{,}5\text{ m}$. Znak minus oznacza, że wektor ma zwrot w dół (przeciwny do zwrotu osi $y$), a jego długość wynosi $1{,}5\text{ m}$.
Podpunkt c) Obliczenie współrzędnej położenia na wysokości $h_3$ oraz rysunek wynikowy:
Po odbiciu piłka wznosi się na wysokość $h_3 = 2{,}0\text{ m}$ nad podłoże. Obliczamy jej współrzędną $y_c$: $$ \begin{aligned} y_c &= h_3 - h_1 \\[8pt] &= 2{,}0\text{ m} - 1{,}5\text{ m} \\[8pt] &= 0{,}5\text{ m} \end{aligned} $$ Wektor położenia $\vec{r}_c$ zaczyna się w punkcie $y = 0$, a kończy w punkcie $y = 0{,}5\text{ m}$. Ma zwrot w górę i długość $0{,}5\text{ m}$. Poniższy rysunek wynikowy przedstawia naniesione wszystkie trzy wektory położenia.

Odpowiedź:
a) $y_a = 2{,}0\text{ m}$

b) $y_b = -1{,}5\text{ m}$

c) $y_c = 0{,}5\text{ m}$

Zadanie 3

Na prostej łodydze rośliny o długości $l = 10\text{ cm}$ znajdują się 3 biedronki. Skorzystaj ze skali podanej na rysunku i wyznacz współrzędne położenia środka każdej z biedronek. Przyjmij początek układu współrzędnych z lewej strony łodygi ($x = 0\text{ cm}$), a oś zwróconą w prawo.

Wskazówki:

Wyznacz długość odcinka odpowiadającego jednostce $1\text{ cm}$ i porównaj go z całkowitą długością łodygi.
Ustal oś liczbową $Ox$ wzdłuż łodygi tak, aby jej początek $x = 0$ znajdował się na lewym krańcu rośliny.
Odczytaj odległość środka każdej z biedronek od lewego końca, zliczając wielokrotności odcinka jednostkowego.

Dane i szukane:

Dane:
Długość całej łodygi: $l = 10\text{ cm}$
Współrzędna początku układu (lewy brzeg łodygi): $x_0 = 0\text{ cm}$
Wzorcowy odcinek skali: $d_{\text{wz}} = 1\text{ cm}$
Szukane:
Współrzędna środka pierwszej biedronki: $x_1 = ?$
Współrzędna środka drugiej biedronki: $x_2 = ?$
Współrzędna środka trzeciej biedronki: $x_3 = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wprowadzenie osi współrzędnych $Ox$:
Zgodnie z treścią zadania oś liczbową prowadzimy wzdłuż łodygi, przyjmując jej początek $x = 0$ na lewym krańcu oraz zwrot w prawą stronę. Odcinek jednostkowy $1\text{ cm}$ odpowiada dokładnie jednej dziesiątej całkowitej długości łodygi.
Wyznaczenie współrzędnych położeń $x_1$, $x_2$ oraz $x_3$:
Mierząc odległość środka każdej biedronki od lewego brzegu ($x = 0\text{ cm}$) w jednostkach skali, otrzymujemy:

Dla pierwszej biedronki środek znajduje się w odległości dwóch odcinków jednostkowych: $$x_1 = 2 \cdot 1\text{ cm} = 2\text{ cm}$$ Dla drugiej biedronki środek znajduje się w odległości sześciu odcinków jednostkowych: $$x_2 = 6 \cdot 1\text{ cm} = 6\text{ cm}$$ Dla trzeciej biedronki środek znajduje się w odległości dziewięciu odcinków jednostkowych: $$x_3 = 9 \cdot 1\text{ cm} = 9\text{ cm}$$
Rysunek wynikowy z naniesionymi współrzędnymi położeń:
Rzutując pionowo środki ciał biedronek na oś $Ox$, zaznaczamy uzyskane punkty pomiarowe:

Odpowiedź:
Pierwsza biedronka: $x_1 = 2\text{ cm}$

Druga biedronka: $x_2 = 6\text{ cm}$

Trzecia biedronka: $x_3 = 9\text{ cm}$

Zadanie 4

Autobus miejski o długości $l_a = 12\text{ m}$ pokonał prostoliniowy odcinek drogi $l_d = 60\text{ m}$ między dwoma kolejnymi przystankami. Przyjmij jednowymiarowy układ współrzędnych, którego początek znajduje się w miejscu, z którego ruszył autobus (przód autobusu w chwili początkowej). Oś współrzędnych jest skierowana w kierunku ruchu autobusu.

a) Wyznacz wektory położenia przodu, środka oraz tyłu autobusu w chwili, gdy jego przód dotarł do drugiego przystanku.
b) Podaj przykłady sytuacji, w których autobus można traktować jak punkt materialny. Zinterpretuj wyniki otrzymane w punkcie a), odnosząc się do pojęcia punktu materialnego.

Wskazówki:

W jednowymiarowym układzie współrzędnych wektor położenia $\vec{r}$ danego punktu o współrzędnej $x$ zapisujemy jako $\vec{r} = [x]$. Znak współrzędnej określa zwrot wektora względem osi.
Początek osi $x = 0$ wyznacza położenie przodu autobusu w chwili ruszenia. Całe nadwozie autobusu rozciąga się w stronę przeciwną do zwrotu osi (w lewo).
Punkt materialny to ciało, którego rozmiary i kształt można pominąć w opisie danego zjawiska. Zastanów się, jaką część pokonanej drogi stanowi długość autobusu.

Dane i szukane:

Dane:
$l_a = 12\text{ m}$ – długość autobusu
$l_d = 60\text{ m}$ – długość prostoliniowego odcinka drogi między przystankami
$x_{p1} = 0\text{ m}$ – położenie początkowe przodu autobusu w chwili $t_1$
Szukane:
$\vec{r}_{p2} = ?$ – wektor położenia przodu autobusu w chwili końcowej $t_2$
$\vec{r}_{s2} = ?$ – wektor położenia środka autobusu w chwili końcowej $t_2$
$\vec{r}_{t2} = ?$ – wektor położenia tyłu autobusu w chwili końcowej $t_2$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego w chwili $t_1$:
Wybieramy jednowymiarowy układ współrzędnych wzdłuż prostoliniowego toru ruchu. Oś $x$ jest zorientowana poziomo w prawo (zgodnie z kierunkiem jazdy). W chwili początkowej $t_1$ przód autobusu znajduje się w początku układu współrzędnych ($x_{p1} = 0\text{ m}$). Skoro autobus ma długość $l_a = 12\text{ m}$, jego tył spoczywa na współrzędnej $x_{t1} = -12\text{ m}$, a środek w punkcie $x_{s1} = -6\text{ m}$. Drugi przystanek znajduje się na współrzędnej $x = 60\text{ m}$.
Podpunkt a) Wyznaczenie wektorów położenia przodu, środka oraz tyłu w chwili $t_2$:
W chwili $t_2$, gdy przód autobusu dojeżdża do drugiego przystanku, jego współrzędna na osi wynosi dokładnie: $$x_{p2} = l_d = 60\text{ m}$$ W jednowymiarowym układzie współrzędnych wektor położenia przodu autobusu wynosi: $$\vec{r}_{p2} = [60\text{ m}]$$ Środek autobusu znajduje się w odległości równej połowie jego długości ($\dfrac{l_a}{2} = 6\text{ m}$) za przodem: $$\begin{aligned} x_{s2} &= x_{p2} - \dfrac{l_a}{2} \\[8pt] &= 60\text{ m} - \dfrac{12\text{ m}}{2} \\[8pt] &= 60\text{ m} - 6\text{ m} = 54\text{ m} \end{aligned}$$ Wektor położenia środka autobusu ma zatem postać: $$\vec{r}_{s2} = [54\text{ m}]$$ Tył autobusu znajduje się w odległości całej długości $l_a = 12\text{ m}$ za przodem: $$\begin{aligned} x_{t2} &= x_{p2} - l_a \\[8pt] &= 60\text{ m} - 12\text{ m} = 48\text{ m} \end{aligned}$$ Wektor położenia tyłu autobusu ma postać: $$\vec{r}_{t2} = [48\text{ m}]$$ Wszystkie trzy wektory mają zwrot zgodny z osią $x$ (dodatnie współrzędne) oraz wartości równe odpowiednio $60\text{ m}$, $54\text{ m}$ i $48\text{ m}$.
Rysunek wynikowy z naniesionymi wektorami położenia po zakończeniu ruchu:
Wszystkie wektory położenia zaczepione są w początku układu współrzędnych ($x = 0$) i wskazują aktualne współrzędne poszczególnych punktów autobusu na osi:
Podpunkt b) Analiza pojęcia punktu materialnego i interpretacja otrzymanych wyników:
Punkt materialny to ciało fizyczne obdarzone masą, którego rozmiary przestrzenne i kształt można pominąć w danym zagadnieniu fizycznym.

Przykłady sytuacji, w których autobus można traktować jak punkt materialny:
- Ruch autobusu na długiej trasie międzymiastowej (np. Warszawa–Gdańsk o długości ok. $340\text{ km}$). Wymiar pojazdu wynoszący $12\text{ m}$ stanowi zaledwie promil przebytego dystansu, więc nie wpływa na obliczenia czasu przejazdu ani prędkości średniej.
- Śledzenie pozycji pojazdu w systemie dyspozytorskim GPS na mapie aglomeracji lub całego kraju.
Interpretacja wyników z podpunktu a):
W rozpatrywanym zadaniu przebyta droga wynosi $l_d = 60\text{ m}$, a długość pojazdu to $l_a = 12\text{ m}$. Długość autobusu stanowi: $$\dfrac{l_a}{l_d} \cdot 100\% = \dfrac{12\text{ m}}{60\text{ m}} \cdot 100\% = 20\%$$ pokonanej drogi. Różnica we współrzędnych położenia przodu i tyłu pojazdu wynosi aż $12\text{ m}$. Oznacza to, że gdy przód autobusu stoi już na przystanku docelowym, jego tył znajduje się jeszcze $12\text{ m}$ przed nim. W takiej skali wymiary geometryczne mają kluczowe znaczenie (np. przy zatrzymaniu w zatoce przystankowej), dlatego autobusu nie można w tym przypadku traktować jako punktu materialnego.

Odpowiedź:
a) Wektory położenia: przód $\vec{r}_{p2} = [60\text{ m}]$, środek $\vec{r}_{s2} = [54\text{ m}]$, tył $\vec{r}_{t2} = [48\text{ m}]$.

b) Autobus można traktować jako punkt materialny na długiej trasie międzymiastowej (dystans rzędu setek kilometrów). W analizowanym zadaniu nie można traktować go jako punktu materialnego, gdyż jego długość stanowi aż $20\%$ przebytej drogi.

Zadanie 5

Piłeczka kauczukowa, upuszczona z pewnej wysokości, odbiła się sprężyście od blatu biurka i wzniosła na wysokość $h = 35\text{ cm}$ powyżej powierzchni blatu. Blat biurka znajduje się na wysokości $h_b = 75\text{ cm}$ nad podłogą pokoju. Określ współrzędną położenia piłeczki w najwyższym punkcie jej lotu po odbiciu:
a) względem blatu biurka,
b) względem podłogi, na której stoi biurko.
W obu przypadkach skieruj oś liczbową pionowo w górę.

Wskazówki:

Współrzędna położenia punktu zależy od wyboru początku układu odniesienia, czyli miejsca, w którym przyjmujemy wartość zero ($y = 0$).
Skierowanie osi pionowo w górę oznacza, że punkty leżące powyżej punktu zerowego mają współrzędne dodatnie, a odległość od punktu odniesienia odpowiada wartości współrzędnej.
Gdy początek układu znajduje się na podłodze, wysokość piłeczki jest sumą wysokości blatu nad podłogą oraz wysokości wzniesienia piłeczki nad blat.

Dane i szukane:

Dane:
Wysokość wzniesienia piłeczki nad blat: $h = 35\text{ cm} = 0{,}35\text{ m}$
Wysokość blatu biurka nad podłogą: $h_b = 75\text{ cm} = 0{,}75\text{ m}$
Szukane:
Współrzędna położenia piłeczki względem blatu: $y_a = ?$
Współrzędna położenia piłeczki względem podłogi: $y_b = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza poziomów odniesienia w przestrzeni:
Ruch piłeczki odbywa się w pionie. Zgodnie z treścią zadania identyfikujemy dwa kluczowe poziomy bazowe: poziom podłogi oraz poziom blatu biurka, a także punkt maksymalnego wzniesienia piłeczki. Na poniższym schemacie pomocniczym zaznaczono wyłącznie wymiary geometryczne wynikające wprost z treści zadania.
Podpunkt a) Wyznaczenie współrzędnej położenia piłeczki względem blatu biurka:
Wybieramy poziom blatu biurka jako początek osi liczbowej, czyli przyjmujemy $y = 0$ na powierzchni stołu. Oś liczbowa jest skierowana pionowo w górę. Piłeczka w najwyższym punkcie znajduje się na wysokości $h = 35\text{ cm}$ nad blatem, w kierunku zgodnym ze zwrotem osi. Zatem jej współrzędna położenia wynosi: $$ \begin{aligned} y_a &= +h \\[8pt] &= 35\text{ cm} = 0{,}35\text{ m} \end{aligned} $$
Podpunkt b) Wyznaczenie współrzędnej położenia piłeczki względem podłogi:
Wybieramy poziom podłogi jako początek osi liczbowej ($y = 0$), ze zwrotem osi skierowanym pionowo w górę. Położenie piłeczki nad podłogą stanowi sumę odległości blatu od podłogi $h_b$ oraz odległości piłeczki od blatu $h$: $$ \begin{aligned} y_b &= h_b + h \\[8pt] &= 75\text{ cm} + 35\text{ cm} \\[8pt] &= 110\text{ cm} = 1{,}1\text{ m} \end{aligned} $$
Rysunek wynikowy z naniesionymi układami odniesienia i wyznaczonymi współrzędnymi:
Poniższy rysunek ilustruje oba układy odniesienia z pionowo skierowanymi osiami współrzędnych oraz zaznaczonymi wyliczonymi wartościami współrzędnych punktu najwyższego położenia piłeczki.

Odpowiedź:
a) $y_a = 35\text{ cm} = 0{,}35\text{ m}$

b) $y_b = 110\text{ cm} = 1{,}1\text{ m}$

Zadanie 6

Do płaskiej platformy pomiarowej spoczywającej na stole laboratoryjnym przymocowano cztery siłomierze. Działają one w płaszczyźnie poziomej $xy$, wywierając siły $\vec{F}_1$, $\vec{F}_2$, $\vec{F}_3$ oraz $\vec{F}_4$ o kierunkach, zwrotach i punktach zaczepienia przedstawionych na poniższym schemacie. Bok pojedynczej kratki odpowiada sile o wartości $1\text{ N}$.

a) Wyznacz z siatki współrzędne $x$ i $y$ każdej z czterech sił działających na platformę.
b) Oblicz współrzędne wektora siły wypadkowej $\vec{F}_w$.
c) Oblicz wartość (długość) siły wypadkowej $\vec{F}_w$.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza punktu zaczepienia: Zwróć uwagę, w którym punkcie układu współrzędnych znajduje się punkt zaczepienia sił. Wektory nie wychodzą z początku układu $(0, 0)$, lecz ze środka platformy $S(2, 1)$. Współrzędne wektora to zawsze różnica współrzędnych jego końca i początku: $F_x = x_k - x_p$ oraz $F_y = y_k - y_p$.
Rozkład wektorów ukośnych: Wektor $\vec{F}_3$ jest nachylony pod kątem. Możesz zliczyć liczbę kratek w prawo ($\Delta x = +6$) oraz w górę ($\Delta y = +3$), tworząc z rzutów trójkąt prostokątny.
Zasada superpozycji sił: Składowe siły wypadkowej $\vec{F}_w = [F_{wx}, F_{wy}]$ są zwykłymi algebraicznymi sumami składowych wszystkich poszczególnych sił: osobno sumujemy wszystkie wartości wzdłuż osi $x$, a osobno wzdłuż osi $y$.
Obliczenie wartości i weryfikacja geometryczna: Wartość (długość) wektora wypadkowego wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa: $F_w = \sqrt{F_{wx}^2 + F_{wy}^2}$. Zgodność wyniku weryfikujemy graficznie za pomocą reguły równoległoboku.
Czego unikać (częsta pułapka): Nie myl współrzędnych wektora ze współrzędnymi punktu, w którym znajduje się grot strzałki! Na przykład grot wektora $\vec{F}_1$ znajduje się w punkcie $(0, 1)$, ale sam wektor ma współrzędne $[-2, 0]\text{ N}$, ponieważ jest skierowany z punktu $(2, 1)$ w lewo o $2$ jednostki.

Dane i szukane:

Dane:
Punkt zaczepienia sił: $S = (x_p, y_p) = (2\text{ N}, 1\text{ N})$
Koniec wektora $\vec{F}_1$: $K_1 = (0\text{ N}, 1\text{ N})$
Koniec wektora $\vec{F}_2$: $K_2 = (2\text{ N}, 5\text{ N})$
Koniec wektora $\vec{F}_3$: $K_3 = (8\text{ N}, 4\text{ N})$
Koniec wektora $\vec{F}_4$: $K_4 = (2\text{ N}, -3\text{ N})$

Szukane:
a) $F_{1x}, F_{1y}, F_{2x}, F_{2y}, F_{3x}, F_{3y}, F_{4x}, F_{4y} = ?$
b) $\vec{F}_w = [F_{wx}, F_{wy}] = ?$
c) $F_w = |\vec{F}_w| = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Odczytanie współrzędnych poszczególnych sił oraz dekompozycja graficzna:
Wszystkie siły są zaczepione w punkcie $S = (2, 1)$. Aby odczytać współrzędne wektora $\vec{F} = [F_x, F_y]$, odejmujemy współrzędne punktu zaczepienia $S(x_p, y_p)$ od współrzędnych końca wektora $K(x_k, y_k)$: $$F_x = x_k - x_p, \quad F_y = y_k - y_p$$ Dla poszczególnych sił otrzymujemy: $$\begin{aligned} \vec{F}_1 &: [0 - 2, 1 - 1] = [-2, 0]\text{ N} \\[8pt] \vec{F}_2 &: [2 - 2, 5 - 1] = [0, 4]\text{ N} \\[8pt] \vec{F}_3 &: [8 - 2, 4 - 1] = [6, 3]\text{ N} \\[8pt] \vec{F}_4 &: [2 - 2, -3 - 1] = [0, -4]\text{ N} \end{aligned}$$ Poniższy rysunek ilustruje rozkład skośnej siły $\vec{F}_3$ na rzuty wzdłuż osi $x$ ($F_{3x} = 6\text{ N}$) oraz osi $y$ ($F_{3y} = 3\text{ N}$):
Podpunkt b) Wyznaczenie współrzędnych siły wypadkowej $\vec{F}_w$:
Współrzędne siły wypadkowej obliczamy, sumując jawnie składowe wzdłuż osi $x$ oraz wzdłuż osi $y$:

Dla osi $x$: $$\begin{aligned} F_{wx} &= F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} + F_{4x} \\[8pt] &= -2\text{ N} + 0\text{ N} + 6\text{ N} + 0\text{ N} \\[8pt] &= 4\text{ N} \end{aligned}$$ Dla osi $y$: $$\begin{aligned} F_{wy} &= F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} + F_{4y} \\[8pt] &= 0\text{ N} + 4\text{ N} + 3\text{ N} + (-4\text{ N}) \\[8pt] &= 3\text{ N} \end{aligned}$$ Zauważ, że siły pionowe $\vec{F}_2$ oraz $\vec{F}_4$ mają przeciwne zwroty i równe wartości ($4\text{ N}$ i $-4\text{ N}$), więc wzajemnie się równoważą ($4 - 4 = 0$). Cała wypadkowa siła w osi pionowej pochodzi wyłącznie ze składowej $F_{3y} = 3\text{ N}$.

Zatem wektor siły wypadkowej wynosi: $$\vec{F}_w = [F_{wx}, F_{wy}] = [4, 3]\text{ N}$$ Poniższy rysunek przedstawia redukcję czterech sił wyjściowych do dwóch prostopadłych składowych wypadkowych $\vec{F}_{wx}$ i $\vec{F}_{wy}$:

Następnie stosujemy regułę równoległoboku (prostokąta), dopełniając boki $\vec{F}_{wx}$ i $\vec{F}_{wy}$. Przekątna prostokąta wyznacza ostateczny wektor siły wypadkowej $\vec{F}_w$:
Podpunkt c) Obliczenie wartości (długości) siły wypadkowej $F_w$:
Ponieważ składowe $F_{wx}$ i $F_{wy}$ są do siebie prostopadłe, wartość wektora wypadkowego obliczamy wprost z twierdzenia Pitagorasa: $$F_w = |\vec{F}_w| = \sqrt{F_{wx}^2 + F_{wy}^2}$$ Podstawiamy wyznaczone wartości składowych: $$\begin{aligned} F_w &= \sqrt{4^2 + 3^2} \\[8pt] &= \sqrt{16 + 9} \\[8pt] &= \sqrt{25} \\[8pt] &= 5\text{ N} \end{aligned}$$ Poniższy rysunek przedstawia trójkąt wektorowy ilustrujący relację Pitagorasa dla siły wypadkowej:

Odpowiedź:
a) $F_{1x} = -2\text{ N},\ F_{1y} = 0\text{ N}$ ($\vec{F}_1 = [-2, 0]\text{ N}$)
$F_{2x} = 0\text{ N},\ F_{2y} = 4\text{ N}$ ($\vec{F}_2 = [0, 4]\text{ N}$)
$F_{3x} = 6\text{ N},\ F_{3y} = 3\text{ N}$ ($\vec{F}_3 = [6, 3]\text{ N}$)
$F_{4x} = 0\text{ N},\ F_{4y} = -4\text{ N}$ ($\vec{F}_4 = [0, -4]\text{ N}$)

b) $\vec{F}_w = [4, 3]\text{ N}$

c) $F_w = 5\text{ N}$

Grupa B

Zadanie 1

Dane są wektory $\vec{a}$ i $\vec{b}$ (patrz rysunek poniżej), których długości wynoszą odpowiednio $|\vec{a}| = 4\text{ cm}$ i $|\vec{b}| = 6\text{ cm}$.

Znajdź graficznie wektory:
a) $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$
b) $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$
c) $\vec{e} = \vec{b} - \vec{a}$

Podaj współrzędne i długości otrzymanych wektorów: $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$.

Zadanie 2

Uczeń wyrzucił pionowo w górę piłeczkę kauczukową z wysokości $h_1 = 1{,}2\text{ m}$ nad podłożem. Piłeczka wzniosła się na maksymalną wysokość $h_2 = 2{,}8\text{ m}$ nad podłoże, po czym spadła i po odbiciu od podłoża wzniosła się na wysokość $h_3 = 0{,}7\text{ m}$. Narysuj wektor położenia piłeczki i oblicz współrzędną położenia piłeczki w przyjętym układzie współrzędnych:
a) gdy znajduje się ona w maksymalnym górnym położeniu,
b) w chwili uderzenia o podłoże,
c) gdy znajduje się ona na wysokości $h_3$.
Wprowadź jednowymiarowy układ współrzędnych tak, aby punkt zero na osi znajdował się w miejscu wyrzucenia piłeczki, a oś $y$ była skierowana pionowo do góry.

Zadanie 3

Na prostej łodydze rośliny o długości $l = 12\text{ cm}$ znajdują się 3 biedronki. Skorzystaj ze skali podanej na rysunku i wyznacz współrzędne położenia środka każdej z biedronek. Przyjmij początek układu współrzędnych z lewej strony łodygi ($x = 0\text{ cm}$), a oś zwróconą w prawo.

Zadanie 4

Tramwaj o długości $l_t = 24\text{ m}$ pokonał prostoliniowy odcinek torowiska $l_d = 120\text{ m}$ między dwoma kolejnymi sygnalizatorami świetlnymi. Przyjmij jednowymiarowy układ współrzędnych, którego początek znajduje się w miejscu, z którego ruszył tramwaj (przód tramwaju w chwili początkowej). Oś współrzędnych jest skierowana w kierunku ruchu tramwaju.

a) Wyznacz wektory położenia przodu, środka oraz tyłu tramwaju w chwili, gdy jego przód dotarł do drugiego sygnalizatora.
b) Podaj przykłady sytuacji, w których tramwaj można traktować jak punkt materialny. Zinterpretuj wyniki otrzymane w punkcie a), odnosząc się do pojęcia punktu materialnego.

Zadanie 6

W basenie aerodynamicznym badany jest model poduszkowca manewrowego. Włączone stery strumieniowe wywierają na jednostkę cztery poziome siły $\vec{F}_1$, $\vec{F}_2$, $\vec{F}_3$ i $\vec{F}_4$, których układ przedstawiono na poniższym rysunku w kartezjańskim układzie współrzędnych. Przyjmij, że pojedyncza kratka siatki odpowiada sile $1\text{ N}$.

a) Odczytaj z siatki współrzędne $x$ i $y$ każdej z czterech sił manewrowych.
b) Oblicz współrzędne wektora siły wypadkowej $\vec{F}_w$.
c) Oblicz wartość siły wypadkowej $\vec{F}_w$ działającej na poduszkowiec.

2.1 Jak opisać położenie ciała

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 6

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋