Zastosowanie logarytmów kartkówka LiczBit

2.9 Zastosowanie logarytmów

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Oblicz stężenie molowe jonów wodorowych w roztworze, w którym:

a) $\text{pH} = 5$

b) $\text{pH} = 0$

c) $\text{pH} = 2{,}5$

d) $\text{pH} = 6{,}75$

Wskazówki:

Wskaźnik odczynu $\text{pH}$ definiuje się za pomocą logarytmu dziesiętnego ze stężenia jonów wodorowych: $\text{pH} = -\log [H^+]$.
Przekształcając wzór z definicji logarytmu, otrzymujemy bezpośrednią zależność na stężenie: $\log [H^+] = -\text{pH} \iff [H^+] = 10^{-\text{pH}}\text{ mol/dm}^3$.
W przypadku wykładników ułamkowych zamieniaj ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe i korzystaj ze wzorów na potęgi o wykładniku wymiernym: $a^{-\frac{m}{n}} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$.
Dla ułamków takich jak $-2{,}5$ lub $-6{,}75$ warto rozbić wykładnik na część całkowitą oraz część ułamkową i usunąć niewymierność z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczamy stężenie jonów wodorowych dla $\text{pH} = 5$:
Wychodzimy z podstawowej definicji wskaźnika odczynu $\text{pH}$: $$\text{pH} = -\log [H^+]$$ Podstawiamy wartość $\text{pH} = 5$ i przekształcamy równanie: $$ \begin{aligned} 5 &= -\log [H^+] \\[8pt] \log [H^+] &= -5 \end{aligned} $$ Korzystając z definicji logarytmu dziesiętnego (o podstawie $10$), otrzymujemy: $$ \begin{aligned} [H^+] &= 10^{-5}\text{ mol/dm}^3 \\[8pt] &= 0{,}00001\text{ mol/dm}^3 \end{aligned} $$
Podpunkt b) Wyznaczamy stężenie jonów wodorowych dla $\text{pH} = 0$:
Wstawiamy $\text{pH} = 0$ do równania definicyjnego: $$ \begin{aligned} 0 &= -\log [H^+] \\[8pt] \log [H^+] &= 0 \end{aligned} $$ Z definicji logarytmu wyznaczamy stężenie: $$ \begin{aligned} [H^+] &= 10^0\text{ mol/dm}^3 \\[8pt] &= 1\text{ mol/dm}^3 \end{aligned} $$
Podpunkt c) Wyznaczamy stężenie jonów wodorowych dla $\text{pH} = 2{,}5$:
Podstawiamy $\text{pH} = 2{,}5$ do wzoru: $$ \begin{aligned} 2{,}5 &= -\log [H^+] \\[8pt] \log [H^+] &= -2{,}5 \\[8pt] [H^+] &= 10^{-2{,}5}\text{ mol/dm}^3 \end{aligned} $$ Przedstawiamy wykładnik w postaci ułamka zwykłego $2{,}5 = \dfrac{5}{2}$ i przekształcamy zapis: $$ \begin{aligned} 10^{-2{,}5} &= 10^{-\frac{5}{2}} \\[8pt] &= \dfrac{1}{10^{\frac{5}{2}}} \\[8pt] &= \dfrac{1}{\sqrt{10^5}} \\[8pt] &= \dfrac{1}{100\sqrt{10}} \end{aligned} $$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{10}$: $$ \begin{aligned} [H^+] &= \dfrac{\sqrt{10}}{100 \cdot 10} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{10}}{1000}\text{ mol/dm}^3 = 10^{-3}\sqrt{10}\text{ mol/dm}^3 \end{aligned} $$
Podpunkt d) Wyznaczamy stężenie jonów wodorowych dla $\text{pH} = 6{,}75$:
Zapisujemy zależność dla $\text{pH} = 6{,}75$: $$ \begin{aligned} 6{,}75 &= -\log [H^+] \\[8pt] \log [H^+] &= -6{,}75 \\[8pt] [H^+] &= 10^{-6{,}75}\text{ mol/dm}^3 \end{aligned} $$ Zapisujemy ułamek dziesiętny $6{,}75$ jako ułamek zwykły: $$6{,}75 = 6\dfrac{3}{4} = \dfrac{27}{4}$$ Przekształcamy potęgę na postać pierwiastkową: $$ \begin{aligned} 10^{-6{,}75} &= 10^{-\frac{27}{4}} \\[8pt] &= \dfrac{1}{\sqrt[4]{10^{27}}} \\[8pt] &= \dfrac{1}{10^6 \sqrt[4]{10^3}} \end{aligned} $$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt[4]{10}$: $$ \begin{aligned} [H^+] &= \dfrac{\sqrt[4]{10}}{10^6 \cdot \sqrt[4]{10^4}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt[4]{10}}{10^6 \cdot 10} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt[4]{10}}{10^7}\text{ mol/dm}^3 = 10^{-7}\sqrt[4]{10}\text{ mol/dm}^3 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $[H^+] = 10^{-5}\text{ mol/dm}^3 = 0{,}00001\text{ mol/dm}^3$

b) $[H^+] = 1\text{ mol/dm}^3$

c) $[H^+] = 10^{-2{,}5}\text{ mol/dm}^3 = \dfrac{\sqrt{10}}{1000}\text{ mol/dm}^3 = 10^{-3}\sqrt{10}\text{ mol/dm}^3$

d) $[H^+] = 10^{-6{,}75}\text{ mol/dm}^3 = \dfrac{\sqrt[4]{10}}{10^7}\text{ mol/dm}^3 = 10^{-7}\sqrt[4]{10}\text{ mol/dm}^3$

Zadanie 2

Ile razy należy zwiększyć lub zmniejszyć stężenie jonów wodorowych w roztworze, aby:

a) pH wzrosło o 3

b) pH zmalało o 2

Wskazówki:

Skorzystaj z definicji skali pH: $\text{pH} = -\log [H^+]$, skąd zależność na stężenie jonów wodorowych ma postać $[H^+] = 10^{-\text{pH}}$.
Oznacz początkową wartość jako $\text{pH}_1$, a końcową jako $\text{pH}_2$. Następnie porównaj końcowe stężenie $[H^+]_2$ ze stężeniem początkowym $[H^+]_1$.
Zastosuj regułę działań na potęgach: $10^{-(a+b)} = 10^{-a} \cdot 10^{-b}$ oraz $10^{-(a-b)} = 10^{-a} \cdot 10^b$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy zmianę stężenia przy wzroście pH o $3$:
Z definicji odczynu pH zachodzi relacja: $$[H^+] = 10^{-\text{pH}}$$ Niech $\text{pH}_1$ oznacza wyjściowe pH roztworu, a $[H^+]_1 = 10^{-\text{pH}_1}$ odpowiadające mu początkowe stężenie jonów wodorowych. Po wzroście pH o $3$ otrzymujemy nową wartość: $$\text{pH}_2 = \text{pH}_1 + 3$$ Wyznaczamy nowe stężenie jonów wodorowych $[H^+]_2$: $$ \begin{aligned} [H^+]_2 &= 10^{-\text{pH}_2} \\[8pt] &= 10^{-(\text{pH}_1 + 3)} \\[8pt] &= 10^{-\text{pH}_1 - 3} \\[8pt] &= 10^{-\text{pH}_1} \cdot 10^{-3} \\[8pt] &= [H^+]_1 \cdot \dfrac{1}{10^3} \\[8pt] &= \dfrac{[H^+]_1}{1000} \end{aligned} $$ Nowe stężenie stanowi $\dfrac{1}{1000}$ stężenia początkowego, co oznacza, że stężenie jonów wodorowych należy zmniejszyć $1000$ razy.
Podpunkt b) Badamy zmianę stężenia przy spadku pH o $2$:
Niech $\text{pH}_1$ oznacza początkowe pH, a nowe pH po spadku o $2$ wynosi: $$\text{pH}_2 = \text{pH}_1 - 2$$ Obliczamy końcowe stężenie jonów wodorowych $[H^+]_2$: $$ \begin{aligned} [H^+]_2 &= 10^{-\text{pH}_2} \\[8pt] &= 10^{-(\text{pH}_1 - 2)} \\[8pt] &= 10^{-\text{pH}_1 + 2} \\[8pt] &= 10^{-\text{pH}_1} \cdot 10^2 \\[8pt] &= [H^+]_1 \cdot 100 \end{aligned} $$ Nowe stężenie jest $100$ razy większe od początkowego, co oznacza, że stężenie jonów wodorowych należy zwiększyć $100$ razy.

Odpowiedź:
a) Należy zmniejszyć $1000$ razy (lub $10^3$ razy)

b) Należy zwiększyć $100$ razy (lub $10^2$ razy)

Zadanie 3

W roztworze zwiększono 200 razy stężenie jonów wodorowych. O ile zmalało pH tego roztworu?

Wskazówki:

Skorzystaj z definicji odczynu pH: $ \text{pH} = -\log [\text{H}^+] $, gdzie $ [\text{H}^+] $ oznacza stężenie molowe jonów wodorowych.
Zapisz wzór na początkową wartość $ \text{pH}_1 $ oraz na końcową wartość $ \text{pH}_2 $, uwzględniając zależność $ [\text{H}^+]_2 = 200 \cdot [\text{H}^+]_1 $.
Zastosuj twierdzenie o różnicy logarytmów o tej samej podstawie: $ \log a - \log b = \log\left(\frac{a}{b}\right) $.
Pamiętaj, że logarytm dziesiętny iloczynu można rozbić na sumę logarytmów: $ \log(100 \cdot 2) = \log 100 + \log 2 $.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie definicji pH dla stanu początkowego oraz końcowego:
Niech początkowe stężenie jonów wodorowych wynosi $ [\text{H}^+]_1 $. Wtedy początkowa wartość pH to: $$ \text{pH}_1 = -\log [\text{H}^+]_1 $$ Stężenie jonów wodorowych zwiększono 200 razy, więc końcowe stężenie wynosi: $$ [\text{H}^+]_2 = 200 \cdot [\text{H}^+]_1 $$ Wobec tego nowa wartość pH wynosi: $$ \text{pH}_2 = -\log [\text{H}^+]_2 = -\log (200 \cdot [\text{H}^+]_1) $$
Wyznaczenie różnicy wartości pH ($\Delta \text{pH}$):
Obliczamy, o ile zmalało pH, czyli różnicę między stanem początkowym a końcowym: $$ \begin{aligned} \Delta \text{pH} &= \text{pH}_1 - \text{pH}_2 \\[8pt] &= -\log [\text{H}^+]_1 - \left(-\log (200 \cdot [\text{H}^+]_1)\right) \\[8pt] &= \log(200 \cdot [\text{H}^+]_1) - \log [\text{H}^+]_1 \end{aligned} $$
Zastosowanie własności logarytmów i obliczenie wyniku:
Różnicę logarytmów zastępujemy logarytmem ilorazu: $$ \begin{aligned} \Delta \text{pH} &= \log\left(\frac{200 \cdot [\text{H}^+]_1}{[\text{H}^+]_1}\right) \\[8pt] &= \log 200 \\[8pt] &= \log (100 \cdot 2) \\[8pt] &= \log 100 + \log 2 \\[8pt] &= 2 + \log 2 \end{aligned} $$ Przyjmując przybliżoną wartość $ \log 2 \approx 0{,}301 $, otrzymujemy: $$ \Delta \text{pH} \approx 2 + 0{,}301 \approx 2{,}30 $$

Odpowiedź:
Wartość pH zmalała o $ \log 200 = 2 + \log 2 $ (czyli w przybliżeniu o około $ 2{,}30 $).

Zadanie 4

Poziom natężenia dźwięku podczas cichej rozmowy jest równy 40 dB, a na ruchliwej ulicy wynosi 90 dB. Ile razy głośniej jest na ruchliwej ulicy niż podczas cichej rozmowy?

Wskazówki:

Poziom natężenia dźwięku $L$ w decybelach (dB) wyraża się wzorem $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, gdzie $I$ to natężenie dźwięku, a $I_0$ to próg słyszalności.
Pytanie „ile razy głośniej” oznacza konieczność wyznaczenia stosunku natężeń obu dźwięków: $\dfrac{I_2}{I_1}$.
Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby: odejmując stronami wzory na poziom natężenia dźwięku i stosując własność różnicy logarytmów $\log a - \log b = \log\left(\dfrac{a}{b}\right)$ lub wyznaczając natężenia $I_1$ oraz $I_2$ wprost z definicji logarytmu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wykorzystanie własności różnicy logarytmów:
Zapisujemy wzory na poziom natężenia dźwięku dla obu sytuacji: podczas cichej rozmowy $L_1 = 10 \log\left(\dfrac{I_1}{I_0}\right) = 40\text{ dB}$ oraz na ulicy $L_2 = 10 \log\left(\dfrac{I_2}{I_0}\right) = 90\text{ dB}$. Odejmujemy te równania stronami, aby powiązać różnicę poziomów natężenia ze stosunkiem natężeń: $$ \begin{aligned} L_2 - L_1 &= 10 \log\left(\frac{I_2}{I_0}\right) - 10 \log\left(\frac{I_1}{I_0}\right) \\[8pt] &= 10 \left(\log\frac{I_2}{I_0} - \log\frac{I_1}{I_0}\right) \\[8pt] &= 10 \log\left(\frac{\frac{I_2}{I_0}}{\frac{I_1}{I_0}}\right) \\[8pt] &= 10 \log\left(\frac{I_2}{I_1}\right) \end{aligned} $$ Podstawiamy dane liczbowe $L_1 = 40$ oraz $L_2 = 90$: $$ \begin{aligned} 90 - 40 &= 10 \log\left(\frac{I_2}{I_1}\right) \\[8pt] 50 &= 10 \log\left(\frac{I_2}{I_1}\right) \\[8pt] \log\left(\frac{I_2}{I_1}\right) &= 5 \end{aligned} $$ Z definicji logarytmu dziesiętnego otrzymujemy szukany stosunek: $$ \frac{I_2}{I_1} = 10^5 = 100\,000 $$
Sposób II – Bezpośrednie wyznaczenie natężeń dźwięku z definicji logarytmu:
Wyznaczamy natężenie dźwięku podczas cichej rozmowy $I_1$: $$ \begin{aligned} 10 \log\left(\frac{I_1}{I_0}\right) &= 40 \\[8pt] \log\left(\frac{I_1}{I_0}\right) &= 4 \\[8pt] \frac{I_1}{I_0} &= 10^4 \\[8pt] I_1 &= 10^4 \cdot I_0 \end{aligned} $$ Analogicznie wyznaczamy natężenie dźwięku na ruchliwej ulicy $I_2$: $$ \begin{aligned} 10 \log\left(\frac{I_2}{I_0}\right) &= 90 \\[8pt] \log\left(\frac{I_2}{I_0}\right) &= 9 \\[8pt] \frac{I_2}{I_0} &= 10^9 \\[8pt] I_2 &= 10^9 \cdot I_0 \end{aligned} $$ Dzielimy natężenie dźwięku na ulicy przez natężenie podczas cichej rozmowy: $$ \begin{aligned} \frac{I_2}{I_1} &= \frac{10^9 \cdot I_0}{10^4 \cdot I_0} \\[8pt] &= \frac{10^9}{10^4} \\[8pt] &= 10^{9 - 4} \\[8pt] &= 10^5 = 100\,000 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
Na ruchliwej ulicy jest $100\,000$ razy (czyli $10^5$ razy) głośniej niż podczas cichej rozmowy.

Zadanie 5

Kasia podczas oglądania filmu czterokrotnie zwiększyła natężenie dźwięku emitowanego przez głośniki komputera. O ile decybeli wzrósł poziom natężenia dźwięku docierającego do jej uszu? W obliczeniach przyjmij, że $\log 2 \approx 0{,}301$.

Wskazówki:

Poziom natężenia dźwięku $L$ w decybelach definiujemy wzorem $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, gdzie $I$ oznacza natężenie dźwięku, a $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ to poziom odniesienia (próg słyszalności).
Różnicę poziomów natężenia dźwięku obliczamy ze wzoru $\Delta L = L_2 - L_1$. Zastosuj własność różnicy logarytmów o tej samej podstawie: $\log a - \log b = \log\left(\dfrac{a}{b}\right)$.
Podstaw zależność $I_2 = 4I_1$, a następnie skorzystaj z własności potęgi w argumencie logarytmu: $\log\left(a^n\right) = n\log a$.

Dane i szukane:

Dane:
$I_2 = 4I_1$ (końcowe natężenie dźwięku jest 4 razy większe od początkowego)
$I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ (próg słyszalności)
$\log 2 \approx 0{,}301$
Szukane:
$\Delta L = ?$ (przyrost poziomu natężenia dźwięku w decybelach)

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie wzorów na poziom natężenia dźwięku w stanie początkowym i końcowym:
Zgodnie z definicją poziomu natężenia dźwięku w skali decybelowej mamy: $$ \begin{aligned} L_1 &= 10 \log\left(\dfrac{I_1}{I_0}\right) \\[8pt] L_2 &= 10 \log\left(\dfrac{I_2}{I_0}\right) \end{aligned} $$
Wyprowadzenie wzoru na zmianę poziomu natężenia dźwięku $\Delta L$:
Odejmujemy początkowy poziom natężenia od poziomu końcowego i wyłączamy wspólny czynnik $10$ przed nawias: $$ \begin{aligned} \Delta L &= L_2 - L_1 \\[8pt] &= 10 \log\left(\dfrac{I_2}{I_0}\right) - 10 \log\left(\dfrac{I_1}{I_0}\right) \\[8pt] &= 10 \left[ \log\left(\dfrac{I_2}{I_0}\right) - \log\left(\dfrac{I_1}{I_0}\right) \right] \end{aligned} $$ Stosujemy twierdzenie o logarytmie ilorazu $\log a - \log b = \log\left(\dfrac{a}{b}\right)$: $$ \begin{aligned} \Delta L &= 10 \log\left( \dfrac{\dfrac{I_2}{I_0}}{\dfrac{I_1}{I_0}} \right) \\[8pt] &= 10 \log\left(\dfrac{I_2}{I_1}\right) \end{aligned} $$
Podstawienie danych i obliczenie wartości przyrostu $\Delta L$:
Ponieważ natężenie wzrosło czterokrotnie, stosunek natężeń wynosi $\dfrac{I_2}{I_1} = 4$. Podstawiamy tę wartość do wyprowadzonego wzoru: $$ \begin{aligned} \Delta L &= 10 \log 4 \\[8pt] &= 10 \log\left(2^2\right) \\[8pt] &= 10 \cdot 2\log 2 = 20\log 2 \end{aligned} $$ Wykorzystujemy wartość przybliżoną $\log 2 \approx 0{,}301$: $$ \begin{aligned} \Delta L &\approx 20 \cdot 0{,}301\text{ dB} \\[8pt] &= 6{,}02\text{ dB} \approx 6\text{ dB} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
Poziom natężenia dźwięku wzrósł o $20\log 2\text{ dB} \approx 6{,}02\text{ dB}$ (czyli o około $6\text{ dB}$).

Grupa B

Zadanie 1

Oblicz stężenie molowe jonów wodorowych w roztworze, w którym:

a) $\text{pH} = 2$

b) $\text{pH} = 0$

c) $\text{pH} = 4{,}5$

d) $\text{pH} = 5{,}75$

Zadanie 2

Ile razy należy zwiększyć lub zmniejszyć stężenie jonów wodorowych w roztworze, aby:

a) pH zmalało o 3

b) pH wzrosło o 4

Zadanie 3

W roztworze zwiększono 500 razy stężenie jonów wodorowych. O ile zmalało pH tego roztworu?

Zadanie 4

Poziom natężenia hałasu w czytelni bibliotecznej jest równy 30 dB, a w pobliżu pracującej kosiarki spalinowej wynosi 90 dB. Ile razy głośniej jest w pobliżu kosiarki niż w czytelni bibliotecznej?

Zadanie 5

Marek podczas słuchania audycji radiowej dwukrotnie zwiększył natężenie dźwięku emitowanego przez odbiornik. O ile decybeli wzrósł poziom natężenia dźwięku w pokoju Marka? W obliczeniach przyjmij, że $\log 2 \approx 0{,}301$.

2.9 Zastosowanie logarytmów

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋