Potęga o wykładniku wymiernym kartkówka LiczBit

2.6 Potęga o wykładniku wymiernym

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Oblicz:

a) $64^{\frac{2}{3}}$

b) $16^{\frac{3}{4}}$

c) $\left(\dfrac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}$

d) $\left(\dfrac{27}{64}\right)^{-\frac{2}{3}}$

e) $25^{-\frac{3}{2}}$

f) $\left(\dfrac{16}{81}\right)^{-0{,}75}$

Wskazówki:

Wykorzystaj definicję potęgi o wykładniku ujemnym: $a^{-n} = \left(\dfrac{1}{a}\right)^n$ oraz $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$.
Zapisz liczby występujące w podstawach jako potęgi liczb o małych podstawach (np. $64 = 4^3$, $16 = 2^4$, $27 = 3^3$), a następnie zastosuj regułę potęgowania potęgi: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Wykładnik dziesiętny zamień na nieskracalny ułamek zwykły: $-0{,}75 = -\frac{75}{100} = -\frac{3}{4}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $64^{\frac{2}{3}}$:
Zauważmy, że liczbę $64$ możemy zapisać jako $4^3$. Wykorzystujemy wzór na potęgowanie potęgi $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ \begin{aligned} 64^{\frac{2}{3}} &= (4^3)^{\frac{2}{3}} \\[8pt] &= 4^{3 \cdot \frac{2}{3}} \\[8pt] &= 4^2 = 16 \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $16^{\frac{3}{4}}$:
Przedstawiamy liczbę $16$ jako potęgę dwójki: $16 = 2^4$. Następnie mnożymy wykładniki: $$ \begin{aligned} 16^{\frac{3}{4}} &= (2^4)^{\frac{3}{4}} \\[8pt] &= 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} \\[8pt] &= 2^3 = 8 \end{aligned} $$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(\dfrac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}$:
Minus w wykładniku potęgi oznacza odwrócenie podstawy ułamka: $\left(\frac{1}{27}\right)^{-1} = 27$. Zapisujemy liczbę $27$ jako $3^3$: $$ \begin{aligned} \left(\dfrac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} &= 27^{\frac{2}{3}} \\[8pt] &= (3^3)^{\frac{2}{3}} \\[8pt] &= 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} \\[8pt] &= 3^2 = 9 \end{aligned} $$
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(\dfrac{27}{64}\right)^{-\frac{2}{3}}$:
W pierwszym kroku odwracamy ułamek, likwidując minus w wykładniku. Następnie zapisujemy licznik i mianownik w postaci potęg o wykładniku $3$, ponieważ $64 = 4^3$ oraz $27 = 3^3$: $$ \begin{aligned} \left(\dfrac{27}{64}\right)^{-\frac{2}{3}} &= \left(\dfrac{64}{27}\right)^{\frac{2}{3}} \\[8pt] &= \left[\left(\dfrac{4}{3}\right)^3\right]^{\frac{2}{3}} \\[8pt] &= \left(\dfrac{4}{3}\right)^{3 \cdot \frac{2}{3}} \\[8pt] &= \left(\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{16}{9} = 1\dfrac{7}{9} \end{aligned} $$
Podpunkt e) Obliczamy wartość wyrażenia $25^{-\frac{3}{2}}$:
Korzystamy z własności ujemnego wykładnika, zapisując wyrażenie w mianowniku ułamka, a liczbę $25$ przedstawiamy jako $5^2$: $$ \begin{aligned} 25^{-\frac{3}{2}} &= \dfrac{1}{25^{\frac{3}{2}}} \\[8pt] &= \dfrac{1}{(5^2)^{\frac{3}{2}}} \\[8pt] &= \dfrac{1}{5^{2 \cdot \frac{3}{2}}} \\[8pt] &= \dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{125} \end{aligned} $$
Podpunkt f) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(\dfrac{16}{81}\right)^{-0{,}75}$:
Zamieniamy wykładnik dziesiętny na ułamek zwykły: $-0{,}75 = -\frac{3}{4}$. Następnie odwracamy ułamek i zapisujemy liczby $81$ oraz $16$ jako potęgi o wykładniku $4$ ($81 = 3^4$, $16 = 2^4$): $$ \begin{aligned} \left(\dfrac{16}{81}\right)^{-0{,}75} &= \left(\dfrac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}} \\[8pt] &= \left(\dfrac{81}{16}\right)^{\frac{3}{4}} \\[8pt] &= \left[\left(\dfrac{3}{2}\right)^4\right]^{\frac{3}{4}} \\[8pt] &= \left(\dfrac{3}{2}\right)^{4 \cdot \frac{3}{4}} \\[8pt] &= \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 = \dfrac{27}{8} = 3\dfrac{3}{8} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $16$

b) $8$

c) $9$

d) $\dfrac{16}{9} = 1\dfrac{7}{9}$

e) $\dfrac{1}{125}$

f) $\dfrac{27}{8} = 3\dfrac{3}{8}$

Zadanie 2

Oblicz:

a) $3 \cdot 9^{-2{,}5} \cdot 81^{1{,}25}$

b) $2^{-4} \cdot 64^{\frac{2}{3}} \cdot 32^{\frac{3}{5}}$

c) $\left[ \left(\dfrac{4}{9}\right)^{-\frac{3}{2}} \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{\frac{3}{7}} \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-\frac{4}{7}} \right]^{\frac{1}{4}}$

d) $\left( 2^{\frac{1}{3}} \cdot 8^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-4} \right)^{-\frac{3}{5}}$

Wskazówki:

Sprowadź wszystkie potęgi do wspólnej podstawy będącej liczbą pierwszą (np. do podstawy $2$ lub $3$).
Skorzystaj z podstawowych praw działań na potęgach: $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$, $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$ oraz $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^r$.
Przekształć wykładniki dziesiętne na ułamki zwykłe lub wymnóż je bezpośrednio przed dodawaniem wykładników.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $3 \cdot 9^{-2{,}5} \cdot 81^{1{,}25}$:
Sprowadzamy wszystkie potęgi do wspólnej podstawy równej $3$, zauważając, że $9 = 3^2$ oraz $81 = 3^4$: $$ \begin{aligned} 3 \cdot 9^{-2{,}5} \cdot 81^{1{,}25} &= 3^1 \cdot \left(3^2\right)^{-2{,}5} \cdot \left(3^4\right)^{1{,}25} \\[8pt] &= 3^1 \cdot 3^{2 \cdot (-2{,}5)} \cdot 3^{4 \cdot 1{,}25} \\[8pt] &= 3^1 \cdot 3^{-5} \cdot 3^5 \\[8pt] &= 3^{1 + (-5) + 5} \\[8pt] &= 3^1 = 3 \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $2^{-4} \cdot 64^{\frac{2}{3}} \cdot 32^{\frac{3}{5}}$:
Zapisujemy liczby $64$ oraz $32$ jako potęgi dwójki, czyli $64 = 2^6$ oraz $32 = 2^5$: $$ \begin{aligned} 2^{-4} \cdot 64^{\frac{2}{3}} \cdot 32^{\frac{3}{5}} &= 2^{-4} \cdot \left(2^6\right)^{\frac{2}{3}} \cdot \left(2^5\right)^{\frac{3}{5}} \\[8pt] &= 2^{-4} \cdot 2^{6 \cdot \frac{2}{3}} \cdot 2^{5 \cdot \frac{3}{5}} \\[8pt] &= 2^{-4} \cdot 2^4 \cdot 2^3 \\[8pt] &= 2^{-4 + 4 + 3} \\[8pt] &= 2^3 = 8 \end{aligned} $$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $\left[ \left(\dfrac{4}{9}\right)^{-\frac{3}{2}} \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{\frac{3}{7}} \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-\frac{4}{7}} \right]^{\frac{1}{4}}$:
Sprowadzamy wszystkie podstawy wewnątrz nawiasu kwadratowego do ułamka $\dfrac{3}{2}$. Zauważmy, że: $$ \begin{aligned} \left(\dfrac{4}{9}\right)^{-\frac{3}{2}} &= \left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\right]^{-\frac{3}{2}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 \\[8pt] \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-\frac{4}{7}} &= \left(\dfrac{3}{2}\right)^{\frac{4}{7}} \end{aligned} $$ Wstawiamy przekształcone potęgi do wnętrza nawiasu i sumujemy ich wykładniki: $$ \begin{aligned} \left[ \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{\frac{3}{7}} \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{\frac{4}{7}} \right]^{\frac{1}{4}} &= \left[ \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3 + \frac{3}{7} + \frac{4}{7}} \right]^{\frac{1}{4}} \\[8pt] &= \left[ \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3 + 1} \right]^{\frac{1}{4}} \\[8pt] &= \left[ \left(\dfrac{3}{2}\right)^4 \right]^{\frac{1}{4}} \\[8pt] &= \left(\dfrac{3}{2}\right)^{4 \cdot \frac{1}{4}} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2} \end{aligned} $$
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $\left( 2^{\frac{1}{3}} \cdot 8^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-4} \right)^{-\frac{3}{5}}$:
Zapisujemy liczbę $8$ jako $2^3$ i upraszczamy wyrażenie wewnątrz nawiasu okrągłego: $$ \begin{aligned} 8^{\frac{2}{3}} &= \left(2^3\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 \end{aligned} $$ Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki: $$ \begin{aligned} 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^2 \cdot 2^{-4} &= 2^{\frac{1}{3} + 2 - 4} \\[8pt] &= 2^{\frac{1}{3} - 2} \\[8pt] &= 2^{\frac{1}{3} - \frac{6}{3}} \\[8pt] &= 2^{-\frac{5}{3}} \end{aligned} $$ Na koniec podnosimy otrzymany wynik do wykładnika zewnętrznego: $$ \begin{aligned} \left( 2^{-\frac{5}{3}} \right)^{-\frac{3}{5}} &= 2^{\left(-\frac{5}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)} \\[8pt] &= 2^1 = 2 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $3$

b) $8$

c) $\dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}$

d) $2$

Zadanie 3

Oblicz:

a) $ 3 \cdot (0{,}5)^{-2} + 5 \cdot 16^{\frac{3}{4}} - 18 \cdot 27^{-\frac{2}{3}} $

b) $ 256^{0{,}25} - 0{,}03 \cdot 100^{\frac{3}{2}} + 0{,}25^{-2{,}5} $

c) $ 0{,}008^{-\frac{2}{3}} - (0{,}5)^{-2} \cdot 3 + \left(6\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot (-8) $

d) $ \dfrac{1}{2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} + (4{,}19^{-2})^0 - 81^{0{,}75} \cdot (0{,}5)^{-1} $

e) $ \left( 0{,}125^{-\frac{2}{3}} \cdot 0{,}5^{-4} \right)^{\frac{1}{3}} + \left( 81^{0{,}75} \cdot 9^{-3} \right)^{-\frac{1}{3}} $

f) $ \left\{ \left[ \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-\frac{3}{4}} \right]^{\frac{2}{3}} - 2{,}5 : \left(\dfrac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \right\} \cdot 144^{\frac{7}{6}} $

Wskazówki:

Zamieniaj ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe oraz liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.
Korzystaj z definicji potęgi o wykładniku ujemnym: $ a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n $ oraz o wykładniku wymiernym: $ a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m $.
Przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy: $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $, a przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach wykładniki dodajemy: $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $.
Pamiętaj, że dla dowolnej liczby $ a \neq 0 $ zachodzi $ a^0 = 1 $.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $ 3 \cdot (0{,}5)^{-2} + 5 \cdot 16^{\frac{3}{4}} - 18 \cdot 27^{-\frac{2}{3}} $:
Przekształcamy poszczególne składniki: $$ \begin{aligned} (0{,}5)^{-2} &= \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4 \\[8pt] 16^{\frac{3}{4}} &= (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \\[8pt] 27^{-\frac{2}{3}} &= (3^3)^{-\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)} = 3^{-2} = \frac{1}{9} \end{aligned} $$ Wstawiamy otrzymane wyniki do wyjściowego wyrażenia: $$ \begin{aligned} 3 \cdot 4 + 5 \cdot 8 - 18 \cdot \frac{1}{9} &= 12 + 40 - 2 \\[8pt] &= 50 \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $ 256^{0{,}25} - 0{,}03 \cdot 100^{\frac{3}{2}} + 0{,}25^{-2{,}5} $:
Zamieniamy ułamki dziesiętne na zwykłe w wykładnikach i podstawach: $$ \begin{aligned} 256^{0{,}25} &= 256^{\frac{1}{4}} = (4^4)^{\frac{1}{4}} = 4 \\[8pt] 100^{\frac{3}{2}} &= (10^2)^{\frac{3}{2}} = 10^3 = 1000 \implies 0{,}03 \cdot 1000 = 30 \\[8pt] 0{,}25^{-2{,}5} &= \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{5}{2}} = 4^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^5 = 32 \end{aligned} $$ Obliczamy ostateczny wynik: $$ \begin{aligned} 4 - 30 + 32 &= -26 + 32 \\[8pt] &= 6 \end{aligned} $$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $ 0{,}008^{-\frac{2}{3}} - (0{,}5)^{-2} \cdot 3 + \left(6\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot (-8) $:
Wyznaczamy wartości poszczególnych elementów: $$ \begin{aligned} 0{,}008^{-\frac{2}{3}} &= \left(\frac{8}{1000}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}} = 125^{\frac{2}{3}} = (5^3)^{\frac{2}{3}} = 5^2 = 25 \\[8pt] (0{,}5)^{-2} \cdot 3 &= \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 \\[8pt] \left(6\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot (-8) &= \left(\frac{25}{4}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot (-8) = \frac{5}{2} \cdot (-8) = -20 \end{aligned} $$ Łączymy wartości: $$ \begin{aligned} 25 - 12 + (-20) &= 13 - 20 \\[8pt] &= -7 \end{aligned} $$
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $ \dfrac{1}{2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} + (4{,}19^{-2})^0 - 81^{0{,}75} \cdot (0{,}5)^{-1} $:
Rozpisujemy każdy składnik: $$ \begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} &= \frac{1}{2} \cdot (4^3)^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \\[8pt] (4{,}19^{-2})^0 &= 1 \\[8pt] 81^{0{,}75} \cdot (0{,}5)^{-1} &= (3^4)^{\frac{3}{4}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 27 \cdot 2 = 54 \end{aligned} $$ Wykonujemy dodawanie i odejmowanie: $$ \begin{aligned} 8 + 1 - 54 &= 9 - 54 \\[8pt] &= -45 \end{aligned} $$
Podpunkt e) Obliczamy wartość wyrażenia $ \left( 0{,}125^{-\frac{2}{3}} \cdot 0{,}5^{-4} \right)^{\frac{1}{3}} + \left( 81^{0{,}75} \cdot 9^{-3} \right)^{-\frac{1}{3}} $:
Upraszczamy wyrażenia wewnątrz nawiasów, sprowadzając je do wspólnych podstaw potęg: Dla pierwszego nawiasu stosujemy podstawę $ 2 $: $$ \begin{aligned} 0{,}125^{-\frac{2}{3}} &= (2^{-3})^{-\frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \\[8pt] 0{,}5^{-4} &= (2^{-1})^{-4} = 2^4 = 16 \\[8pt] (4 \cdot 16)^{\frac{1}{3}} &= 64^{\frac{1}{3}} = (4^3)^{\frac{1}{3}} = 4 \end{aligned} $$ Dla drugiego nawiasu stosujemy podstawę $ 3 $: $$ \begin{aligned} 81^{0{,}75} &= (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^3 \\[8pt] 9^{-3} &= (3^2)^{-3} = 3^{-6} \\[8pt] (3^3 \cdot 3^{-6})^{-\frac{1}{3}} &= (3^{-3})^{-\frac{1}{3}} = 3^{(-3) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)} = 3^1 = 3 \end{aligned} $$ Dodajemy wyniki obu części: $$ 4 + 3 = 7 $$
Podpunkt f) Obliczamy wartość wyrażenia $ \left\{ \left[ \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-\frac{3}{4}} \right]^{\frac{2}{3}} - 2{,}5 : \left(\dfrac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \right\} \cdot 144^{\frac{7}{6}} $:
Analizujemy wyrażenie w nawiasie klamrowym: Dla pierwszego składnika mnożymy wykładniki: $$ \left[ \left(\frac{2}{5}\right)^{-\frac{3}{4}} \right]^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{5}\right)^{\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}} $$ Dla drugiego składnika wykonujemy dzielenie potęg o tej samej podstawie $ \frac{5}{2} $ (zauważamy, że $ 2{,}5 = \frac{5}{2} = \left(\frac{5}{2}\right)^1 $): $$ 2{,}5 : \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{5}{2}\right)^1 : \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{5}{2}\right)^{1 - \frac{1}{2}} = \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}} $$ Odejmujemy wyrażenia w nawiasie klamrowym: $$ \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}} - \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}} = 0 $$ Mnożymy wynik przez pozostały czynnik: $$ 0 \cdot 144^{\frac{7}{6}} = 0 $$

Odpowiedź:
a) $ 50 $

b) $ 6 $

c) $ -7 $

d) $ -45 $

e) $ 7 $

f) $ 0 $

Zadanie 4

Zapisz liczbę w postaci jednej potęgi o wykładniku wymiernym:

a) $2\sqrt{2\sqrt{2}}$

b) $9\sqrt{3\cdot \sqrt[3]{3}}$

c) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{5}} \cdot \sqrt{5\sqrt{5}}$

d) $49 \cdot \sqrt[6]{7\sqrt{7}}$

Wskazówki:

Każdy pierwiastek stopnia $n$ zamieniamy na potęgę o wykładniku ułamkowym, korzystając ze wzorów $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ oraz $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Liczby całkowite stojące przed pierwiastkiem przedstawiamy w postaci potęgi tej samej liczby pierwszej (np. $9 = 3^2$, $49 = 7^2$).
Wykładniki potęg o tej samej podstawie dodajemy przy mnożeniu: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$, a przy potęgowaniu potęgi mnożymy: $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Zapisujemy wyrażenie $2\sqrt{2\sqrt{2}}$ w postaci jednej potęgi:
Rozpoczynamy od przekształcenia najbardziej wewnętrznego pierwiastka: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$. Następnie wykonujemy mnożenie pod pierwiastkiem zewnętrznym i podnosimy wynik do potęgi $\frac{1}{2}$: $$ \begin{aligned} 2\sqrt{2\sqrt{2}} &= 2^1 \cdot \sqrt{2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}} \\[8pt] &= 2^1 \cdot \sqrt{2^{1 + \frac{1}{2}}} \\[8pt] &= 2^1 \cdot \sqrt{2^{\frac{3}{2}}} \\[8pt] &= 2^1 \cdot \left(2^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= 2^1 \cdot 2^{\frac{3}{4}} \\[8pt] &= 2^{1 + \frac{3}{4}} \\[8pt] &= 2^{\frac{7}{4}} \end{aligned} $$
Podpunkt b) Zapisujemy wyrażenie $9\sqrt{3\cdot \sqrt[3]{3}}$ w postaci jednej potęgi:
Liczbę $9$ zapisujemy jako $3^2$, natomiast pierwiastek stopnia trzeciego jako $\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$. Przekształcamy wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym: $$ \begin{aligned} 9\sqrt{3\cdot \sqrt[3]{3}} &= 3^2 \cdot \sqrt{3^1 \cdot 3^{\frac{1}{3}}} \\[8pt] &= 3^2 \cdot \sqrt{3^{1 + \frac{1}{3}}} \\[8pt] &= 3^2 \cdot \sqrt{3^{\frac{4}{3}}} \\[8pt] &= 3^2 \cdot \left(3^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= 3^2 \cdot 3^{\frac{4}{6}} \\[8pt] &= 3^2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \\[8pt] &= 3^{2 + \frac{2}{3}} \\[8pt] &= 3^{\frac{8}{3}} \end{aligned} $$
Podpunkt c) Zapisujemy wyrażenie $\sqrt[4]{\sqrt[3]{5}} \cdot \sqrt{5\sqrt{5}}$ w postaci jednej potęgi:
W pierwszym czynniku korzystamy z potęgowania potęgi $\sqrt[4]{\sqrt[3]{5}} = (5^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{12}}$. W drugim czynniku przekształcamy wyrażenie od środka: $\sqrt{5\sqrt{5}} = \sqrt{5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{5^{\frac{3}{2}}} = 5^{\frac{3}{4}}$. Na końcu sprowadzamy wykładniki do wspólnego mianownika równego $12$: $$ \begin{aligned} \sqrt[4]{\sqrt[3]{5}} \cdot \sqrt{5\sqrt{5}} &= \left(5^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}}} \\[8pt] &= 5^{\frac{1}{12}} \cdot \sqrt{5^{\frac{3}{2}}} \\[8pt] &= 5^{\frac{1}{12}} \cdot \left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \\[8pt] &= 5^{\frac{1}{12}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} \\[8pt] &= 5^{\frac{1}{12} + \frac{9}{12}} \\[8pt] &= 5^{\frac{10}{12}} \\[8pt] &= 5^{\frac{5}{6}} \end{aligned} $$
Podpunkt d) Zapisujemy wyrażenie $49 \cdot \sqrt[6]{7\sqrt{7}}$ w postaci jednej potęgi:
Liczbę $49$ zapisujemy jako $7^2$. Wyrażenie pod pierwiastkiem stopnia szóstego upraszczamy do postaci $7^1 \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 7^{\frac{3}{2}}$, a następnie wyciągamy pierwiastek szósty: $$ \begin{aligned} 49 \cdot \sqrt[6]{7\sqrt{7}} &= 7^2 \cdot \sqrt[6]{7^1 \cdot 7^{\frac{1}{2}}} \\[8pt] &= 7^2 \cdot \sqrt[6]{7^{\frac{3}{2}}} \\[8pt] &= 7^2 \cdot \left(7^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{6}} \\[8pt] &= 7^2 \cdot 7^{\frac{3}{12}} \\[8pt] &= 7^2 \cdot 7^{\frac{1}{4}} \\[8pt] &= 7^{2 + \frac{1}{4}} \\[8pt] &= 7^{\frac{9}{4}} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $2^{\frac{7}{4}}$

b) $3^{\frac{8}{3}}$

c) $5^{\frac{5}{6}}$

d) $7^{\frac{9}{4}}$

Zadanie 5

Wykonaj wskazane działania i zapisz wynik w postaci potęgi liczby 2:

a) $\dfrac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{5}{3}} : \sqrt[4]{16^2} \cdot \sqrt[12]{2}}{3 \cdot 2^{\frac{3}{4}} + 2^{\frac{3}{4}}}$

b) $\dfrac{6 \cdot 2^{\frac{7}{6}} - 8\sqrt[6]{0{,}5^{-1}}}{16^{-\frac{1}{6}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} : 4^{-\frac{3}{2}}}$

Wskazówki:

Sprowadź wszystkie potęgi i pierwiastki do wspólnej podstawy równej 2, korzystając z definicji potęgi o wykładniku ułamkowym $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ oraz reguły potęgowania potęgi $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$.
W mianowniku podpunktu a) oraz w liczniku podpunktu b) zauważ obecność powtarzającego się czynnika potęgowego i zredukuj wyrazy podobne poprzez dodanie lub odjęcie ich współczynników liczbowych.
Przy wykonywaniu ciągu mnożeń i dzieleń o jednakowej podstawie pamiętaj o kolejności działań od lewej do prawej oraz o regułach: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ i $a^x : a^y = a^{x-y}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Upraszczamy wyrażenie $\dfrac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{5}{3}} : \sqrt[4]{16^2} \cdot \sqrt[12]{2}}{3 \cdot 2^{\frac{3}{4}} + 2^{\frac{3}{4}}}$:
W pierwszym kroku sprowadzamy każdy czynnik występujący w liczniku do potęgi liczby 2: $$ \begin{aligned} 8^{-\frac{5}{3}} &= \left(2^3\right)^{-\frac{5}{3}} = 2^{3 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)} = 2^{-5} \\[8pt] \sqrt[4]{16^2} &= \sqrt[4]{\left(2^4\right)^2} = \sqrt[4]{2^8} = 2^{\frac{8}{4}} = 2^2 \\[8pt] \sqrt[12]{2} &= 2^{\frac{1}{12}} \end{aligned} $$ Wstawiamy przekształcone czynniki do licznika i wykonujemy działania od lewej do prawej: $$ \begin{aligned} L &= 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-5} : 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{12}} \\[8pt] &= 2^{\frac{2}{3} + (-5) - 2 + \frac{1}{12}} \\[8pt] &= 2^{\frac{8}{12} + \frac{1}{12} - 7} \\[8pt] &= 2^{\frac{9}{12} - 7} = 2^{\frac{3}{4} - 7} = 2^{-\frac{25}{4}} \end{aligned} $$ Upraszczamy mianownik, wyłączając wspólny czynnik $2^{\frac{3}{4}}$ przed nawias: $$ \begin{aligned} M &= 3 \cdot 2^{\frac{3}{4}} + 1 \cdot 2^{\frac{3}{4}} \\[8pt] &= (3 + 1) \cdot 2^{\frac{3}{4}} = 4 \cdot 2^{\frac{3}{4}} \\[8pt] &= 2^2 \cdot 2^{\frac{3}{4}} = 2^{2 + \frac{3}{4}} = 2^{\frac{11}{4}} \end{aligned} $$ Dzielimy otrzymany licznik przez mianownik, odejmując wykładniki: $$ \begin{aligned} \dfrac{L}{M} &= \dfrac{2^{-\frac{25}{4}}}{2^{\frac{11}{4}}} \\[8pt] &= 2^{-\frac{25}{4} - \frac{11}{4}} = 2^{-\frac{36}{4}} = 2^{-9} \end{aligned} $$
Podpunkt b) Upraszczamy wyrażenie $\dfrac{6 \cdot 2^{\frac{7}{6}} - 8\sqrt[6]{0{,}5^{-1}}}{16^{-\frac{1}{6}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} : 4^{-\frac{3}{2}}}$:
Rozpoczynamy od przekształcenia licznika. Zauważmy, że $0{,}5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, więc $0{,}5^{-1} = \left(2^{-1}\right)^{-1} = 2^1 = 2$. Stąd: $$\sqrt[6]{0{,}5^{-1}} = \sqrt[6]{2} = 2^{\frac{1}{6}}$$ Zapisujemy współczynniki liczbowe jako iloczyny z potęgami dwójki: $6 = 3 \cdot 2^1$ oraz $8 = 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2^2$: $$ \begin{aligned} L &= 6 \cdot 2^{\frac{7}{6}} - 8\sqrt[6]{0{,}5^{-1}} \\[8pt] &= (3 \cdot 2^1) \cdot 2^{\frac{7}{6}} - (2 \cdot 2^2) \cdot 2^{\frac{1}{6}} \\[8pt] &= 3 \cdot 2^{1 + \frac{7}{6}} - 2 \cdot 2^{2 + \frac{1}{6}} \\[8pt] &= 3 \cdot 2^{\frac{13}{6}} - 2 \cdot 2^{\frac{13}{6}} \\[8pt] &= (3 - 2) \cdot 2^{\frac{13}{6}} = 2^{\frac{13}{6}} \end{aligned} $$ Następnie sprowadzamy podstawy w mianowniku do liczby 2: $$ \begin{aligned} 16^{-\frac{1}{6}} &= \left(2^4\right)^{-\frac{1}{6}} = 2^{4 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)} = 2^{-\frac{4}{6}} = 2^{-\frac{2}{3}} \\[8pt] 4^{-\frac{3}{2}} &= \left(2^2\right)^{-\frac{3}{2}} = 2^{2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)} = 2^{-3} \end{aligned} $$ Obliczamy wartość mianownika: $$ \begin{aligned} M &= 2^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} : 2^{-3} \\[8pt] &= 2^{-\frac{2}{3} + \left(-\frac{4}{3}\right) - (-3)} \\[8pt] &= 2^{-\frac{6}{3} + 3} = 2^{-2 + 3} = 2^1 = 2 \end{aligned} $$ Dzielimy uproszczony licznik przez mianownik: $$ \begin{aligned} \dfrac{L}{M} &= \dfrac{2^{\frac{13}{6}}}{2^1} \\[8pt] &= 2^{\frac{13}{6} - 1} = 2^{\frac{7}{6}} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $2^{-9}$

b) $2^{\frac{7}{6}}$

Grupa B

Zadanie 1

Oblicz:

a) $27^{\frac{2}{3}}$

b) $625^{\frac{3}{4}}$

c) $\left(\dfrac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}$

d) $\left(\dfrac{8}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}$

e) $4^{-\frac{3}{2}}$

f) $\left(\dfrac{16}{625}\right)^{-0{,}75}$

Zadanie 2

Oblicz:

a) $2 \cdot 4^{-2{,}5} \cdot 32^{1{,}2}$

b) $3^{-2} \cdot 81^{\frac{3}{4}} \cdot 27^{\frac{2}{3}}$

c) $\left[ \left(\dfrac{9}{16}\right)^{-\frac{3}{2}} \cdot \left(\dfrac{4}{3}\right)^{\frac{3}{5}} \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-\frac{2}{5}} \right]^{\frac{1}{4}}$

d) $\left( 3^{\frac{1}{4}} \cdot 81^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{-3} \right)^{-\frac{4}{3}}$

Zadanie 3

Oblicz:

a) $ 4 \cdot (0{,}2)^{-1} + 3 \cdot 27^{\frac{2}{3}} - 16 \cdot 64^{-\frac{1}{3}} $

b) $ 81^{0{,}25} - 0{,}02 \cdot 100^{\frac{3}{2}} + 0{,}25^{-1{,}5} $

c) $ 0{,}125^{-\frac{2}{3}} - (0{,}5)^{-3} \cdot 2 + \left(5\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot (-6) $

d) $ \dfrac{1}{5} \cdot 125^{\frac{2}{3}} + (9{,}81^{-7})^0 - 16^{0{,}75} \cdot (0{,}25)^{-1} $

e) $ \left( 0{,}04^{-\frac{3}{2}} \cdot 0{,}2^{-1} \right)^{\frac{1}{4}} + \left( 32^{0{,}6} \cdot 4^{-4} \right)^{-\frac{1}{5}} $

f) $ \left\{ \left[ \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-\frac{3}{2}} \right]^{\frac{1}{2}} - 2{,}5 : \left(\dfrac{5}{2}\right)^{\frac{1}{4}} \right\} \cdot 196^{\frac{4}{9}} $

Zadanie 4

Zapisz liczbę w postaci jednej potęgi o wykładniku wymiernym:

a) $3\sqrt{3\sqrt{3}}$

b) $25\sqrt{5\cdot \sqrt[3]{5}}$

c) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt{2\sqrt{2}}$

d) $4 \cdot \sqrt[6]{2\sqrt{2}}$

Zadanie 5

Wykonaj wskazane działania i zapisz wynik w postaci potęgi liczby 3:

a) $\dfrac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 27^{-\frac{4}{3}} : \sqrt[3]{81} \cdot \sqrt[6]{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{1}{3}}}$

b) $\dfrac{12 \cdot 3^{\frac{7}{6}} - 27\sqrt[6]{\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}}}{81^{-\frac{1}{6}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}} : 9^{-\frac{3}{2}}}$

2.6 Potęga o wykładniku wymiernym

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋