Wzory skróconego mnożenia kartkówka LiczBit

2.4 Wzory skróconego mnożenia

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Oblicz:

a) $(2\sqrt{3} + 3\sqrt{5})^2$

b) $(3\sqrt{2} + 4\sqrt{3})^2$

c) $(5\sqrt{2} + 2\sqrt{6})^2$

d) $(6\sqrt{2} + 2\sqrt{10})^2$

e) $(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$

f) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})^2$

g) $(2\sqrt{7} - 3\sqrt{3})^2$

h) $(3\sqrt{6} - 4\sqrt{2})^2$

i) $(4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})$

j) $(2\sqrt{7} - 6)(2\sqrt{7} + 6)$

k) $(2 - 3\sqrt{5})(2 + 3\sqrt{5})$

l) $(5\sqrt{6} + 4)(5\sqrt{6} - 4)$

Wskazówki:

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Iloczyn sumy i różnicy (różnica kwadratów): $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Potęgowanie wyrażenia z pierwiastkiem: $(k\sqrt{m})^2 = k^2 \cdot (\sqrt{m})^2 = k^2 \cdot m$.
Iloczyn pierwiastków kwadratowych: $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}$. W razie możliwości wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka.

Dane i szukane:

Dane: Wyrażenia algebraiczne z pierwiastkami w podpunktach a)–l):
a) $(2\sqrt{3} + 3\sqrt{5})^2$, b) $(3\sqrt{2} + 4\sqrt{3})^2$, c) $(5\sqrt{2} + 2\sqrt{6})^2$, d) $(6\sqrt{2} + 2\sqrt{10})^2$, e) $(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$, f) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})^2$, g) $(2\sqrt{7} - 3\sqrt{3})^2$, h) $(3\sqrt{6} - 4\sqrt{2})^2$, i) $(4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})$, j) $(2\sqrt{7} - 6)(2\sqrt{7} + 6)$, k) $(2 - 3\sqrt{5})(2 + 3\sqrt{5})$, l) $(5\sqrt{6} + 4)(5\sqrt{6} - 4)$
Szukane: Wartości liczbowe podanych wyrażeń: $W_a = ?$, $W_b = ?$, $W_c = ?$, $W_d = ?$, $W_e = ?$, $W_f = ?$, $W_g = ?$, $W_h = ?$, $W_i = ?$, $W_j = ?$, $W_k = ?$, $W_l = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $(2\sqrt{3} + 3\sqrt{5})^2$:
Stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a = 2\sqrt{3}$ oraz $b = 3\sqrt{5}$: $$ \begin{aligned} (2\sqrt{3} + 3\sqrt{5})^2 &= (2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2 \\ &= (4 \cdot 3) + 12\sqrt{15} + (9 \cdot 5) \\ &= 12 + 12\sqrt{15} + 45 \\ &= 57 + 12\sqrt{15} \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $(3\sqrt{2} + 4\sqrt{3})^2$:
Stosujemy wzór na kwadrat sumy dla $a = 3\sqrt{2}$ i $b = 4\sqrt{3}$: $$ \begin{aligned} (3\sqrt{2} + 4\sqrt{3})^2 &= (3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{3} + (4\sqrt{3})^2 \\ &= (9 \cdot 2) + 24\sqrt{6} + (16 \cdot 3) \\ &= 18 + 24\sqrt{6} + 48 \\ &= 66 + 24\sqrt{6} \end{aligned} $$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $(5\sqrt{2} + 2\sqrt{6})^2$:
Stosujemy wzór na kwadrat sumy, a następnie wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka z $\sqrt{12}$: $$ \begin{aligned} (5\sqrt{2} + 2\sqrt{6})^2 &= (5\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6} + (2\sqrt{6})^2 \\ &= (25 \cdot 2) + 20\sqrt{12} + (4 \cdot 6) \\ &= 50 + 20 \cdot \sqrt{4 \cdot 3} + 24 \\ &= 74 + 20 \cdot 2\sqrt{3} \\ &= 74 + 40\sqrt{3} \end{aligned} $$
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $(6\sqrt{2} + 2\sqrt{10})^2$:
Rozwijamy kwadrat sumy dla $a = 6\sqrt{2}$ oraz $b = 2\sqrt{10}$: $$ \begin{aligned} (6\sqrt{2} + 2\sqrt{10})^2 &= (6\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{10} + (2\sqrt{10})^2 \\ &= (36 \cdot 2) + 24\sqrt{20} + (4 \cdot 10) \\ &= 72 + 24 \cdot \sqrt{4 \cdot 5} + 40 \\ &= 112 + 24 \cdot 2\sqrt{5} \\ &= 112 + 48\sqrt{5} \end{aligned} $$
Podpunkt e) Obliczamy wartość wyrażenia $(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$:
Stosujemy wzór na kwadrat różnicy $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a = \sqrt{3}$ oraz $b = \sqrt{5}$: $$ \begin{aligned} (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 &= (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 \\ &= 3 - 2\sqrt{15} + 5 \\ &= 8 - 2\sqrt{15} \end{aligned} $$
Podpunkt f) Obliczamy wartość wyrażenia $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})^2$:
Stosujemy wzór na kwadrat różnicy dla $a = 3\sqrt{2}$ oraz $b = 2\sqrt{5}$: $$ \begin{aligned} (3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})^2 &= (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2 \\ &= (9 \cdot 2) - 12\sqrt{10} + (4 \cdot 5) \\ &= 18 - 12\sqrt{10} + 20 \\ &= 38 - 12\sqrt{10} \end{aligned} $$
Podpunkt g) Obliczamy wartość wyrażenia $(2\sqrt{7} - 3\sqrt{3})^2$:
Stosujemy wzór na kwadrat różnicy dla $a = 2\sqrt{7}$ oraz $b = 3\sqrt{3}$: $$ \begin{aligned} (2\sqrt{7} - 3\sqrt{3})^2 &= (2\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{7} \cdot 3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2 \\ &= (4 \cdot 7) - 12\sqrt{21} + (9 \cdot 3) \\ &= 28 - 12\sqrt{21} + 27 \\ &= 55 - 12\sqrt{21} \end{aligned} $$
Podpunkt h) Obliczamy wartość wyrażenia $(3\sqrt{6} - 4\sqrt{2})^2$:
Stosujemy wzór na kwadrat różnicy, a następnie redukujemy pierwiastek $\sqrt{12}$: $$ \begin{aligned} (3\sqrt{6} - 4\sqrt{2})^2 &= (3\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{2} + (4\sqrt{2})^2 \\ &= (9 \cdot 6) - 24\sqrt{12} + (16 \cdot 2) \\ &= 54 - 24 \cdot \sqrt{4 \cdot 3} + 32 \\ &= 86 - 24 \cdot 2\sqrt{3} \\ &= 86 - 48\sqrt{3} \end{aligned} $$
Podpunkt i) Obliczamy wartość wyrażenia $(4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})$:
Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, gdzie $a = 4$ oraz $b = 2\sqrt{3}$: $$ \begin{aligned} (4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3}) &= 4^2 - (2\sqrt{3})^2 \\ &= 16 - (4 \cdot 3) \\ &= 16 - 12 \\ &= 4 \end{aligned} $$
Podpunkt j) Obliczamy wartość wyrażenia $(2\sqrt{7} - 6)(2\sqrt{7} + 6)$:
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów dla $a = 2\sqrt{7}$ oraz $b = 6$: $$ \begin{aligned} (2\sqrt{7} - 6)(2\sqrt{7} + 6) &= (2\sqrt{7})^2 - 6^2 \\ &= (4 \cdot 7) - 36 \\ &= 28 - 36 \\ &= -8 \end{aligned} $$
Podpunkt k) Obliczamy wartość wyrażenia $(2 - 3\sqrt{5})(2 + 3\sqrt{5})$:
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów dla $a = 2$ oraz $b = 3\sqrt{5}$: $$ \begin{aligned} (2 - 3\sqrt{5})(2 + 3\sqrt{5}) &= 2^2 - (3\sqrt{5})^2 \\ &= 4 - (9 \cdot 5) \\ &= 4 - 45 \\ &= -41 \end{aligned} $$
Podpunkt l) Obliczamy wartość wyrażenia $(5\sqrt{6} + 4)(5\sqrt{6} - 4)$:
Mnożenie jest przemienne, zatem $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Dla $a = 5\sqrt{6}$ i $b = 4$ otrzymujemy: $$ \begin{aligned} (5\sqrt{6} + 4)(5\sqrt{6} - 4) &= (5\sqrt{6})^2 - 4^2 \\ &= (25 \cdot 6) - 16 \\ &= 150 - 16 \\ &= 134 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $57 + 12\sqrt{15}$

b) $66 + 24\sqrt{6}$

c) $74 + 40\sqrt{3}$

d) $112 + 48\sqrt{5}$

e) $8 - 2\sqrt{15}$

f) $38 - 12\sqrt{10}$

g) $55 - 12\sqrt{21}$

h) $86 - 48\sqrt{3}$

i) $4$

j) $-8$

k) $-41$

l) $134$

Zadanie 2

Korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, oblicz:

a) $(3x + 4y)^2$

b) $(\sqrt{3} + b)^2$

c) $(2a + \sqrt{5})^2$

d) $(6x - 1)^2$

e) $(3\sqrt{2} - 4x)^2$

f) $(\sqrt{3}x - \sqrt{12}y)^2$

g) $(1 - \sqrt{7}x)(1 + \sqrt{7}x)$

h) $(11x + 12y)(11x - 12y)$

i) $(\sqrt{2}a - \sqrt{10}b)(\sqrt{2}a + \sqrt{10}b)$

Wskazówki:

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Różnica kwadratów (iloczyn sumy i różnicy): $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.
Potęgowanie jednomianów: $(kx)^2 = k^2 x^2$ oraz $(\sqrt{k})^2 = k$ dla $k \ge 0$.
Iloczyn pierwiastków: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

Dane i szukane:

Dane: Wyrażenia algebraiczne z podpunktów a)–i):
a) $(3x + 4y)^2$, b) $(\sqrt{3} + b)^2$, c) $(2a + \sqrt{5})^2$, d) $(6x - 1)^2$, e) $(3\sqrt{2} - 4x)^2$, f) $(\sqrt{3}x - \sqrt{12}y)^2$, g) $(1 - \sqrt{7}x)(1 + \sqrt{7}x)$, h) $(11x + 12y)(11x - 12y)$, i) $(\sqrt{2}a - \sqrt{10}b)(\sqrt{2}a + \sqrt{10}b)$
Szukane: Rozwinięte i uproszczone postacie wyrażeń: $W_a = ?$, $W_b = ?$, $W_c = ?$, $W_d = ?$, $W_e = ?$, $W_f = ?$, $W_g = ?$, $W_h = ?$, $W_i = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $(3x + 4y)^2$:
Stosujemy wzór na kwadrat sumy $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ dla $A = 3x$ oraz $B = 4y$: $$ \begin{aligned} (3x + 4y)^2 &= (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2 \\ &= 9x^2 + 24xy + 16y^2 \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $(\sqrt{3} + b)^2$:
Stosujemy wzór na kwadrat sumy dla $A = \sqrt{3}$ oraz $B = b$: $$ \begin{aligned} (\sqrt{3} + b)^2 &= (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot b + b^2 \\ &= 3 + 2\sqrt{3}b + b^2 \end{aligned} $$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $(2a + \sqrt{5})^2$:
Stosujemy wzór na kwadrat sumy dla $A = 2a$ oraz $B = \sqrt{5}$: $$ \begin{aligned} (2a + \sqrt{5})^2 &= (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 \\ &= 4a^2 + 4\sqrt{5}a + 5 \end{aligned} $$
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $(6x - 1)^2$:
Stosujemy wzór na kwadrat różnicy $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ dla $A = 6x$ oraz $B = 1$: $$ \begin{aligned} (6x - 1)^2 &= (6x)^2 - 2 \cdot (6x) \cdot 1 + 1^2 \\ &= 36x^2 - 12x + 1 \end{aligned} $$
Podpunkt e) Obliczamy wartość wyrażenia $(3\sqrt{2} - 4x)^2$:
Stosujemy wzór na kwadrat różnicy dla $A = 3\sqrt{2}$ oraz $B = 4x$: $$ \begin{aligned} (3\sqrt{2} - 4x)^2 &= (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot (4x) + (4x)^2 \\ &= (9 \cdot 2) - 24\sqrt{2}x + 16x^2 \\ &= 18 - 24\sqrt{2}x + 16x^2 \end{aligned} $$
Podpunkt f) Obliczamy wartość wyrażenia $(\sqrt{3}x - \sqrt{12}y)^2$:
Sposób I – Bezpośrednie zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy:
Przyjmujemy $A = \sqrt{3}x$ oraz $B = \sqrt{12}y$: $$ \begin{aligned} (\sqrt{3}x - \sqrt{12}y)^2 &= (\sqrt{3}x)^2 - 2 \cdot (\sqrt{3}x) \cdot (\sqrt{12}y) + (\sqrt{12}y)^2 \\ &= 3x^2 - 2\sqrt{36}xy + 12y^2 \\ &= 3x^2 - 2 \cdot 6xy + 12y^2 \\ &= 3x^2 - 12xy + 12y^2 \end{aligned} $$ Sposób II – Uproszczenie pierwiastka przed potęgowaniem:
Zauważamy, że $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Wyłączamy wspólny czynnik $\sqrt{3}$ przed nawias: $$ \begin{aligned} (\sqrt{3}x - \sqrt{12}y)^2 &= (\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}y)^2 \\ &= [\sqrt{3}(x - 2y)]^2 \\ &= (\sqrt{3})^2 \cdot (x - 2y)^2 \\ &= 3(x^2 - 4xy + 4y^2) \\ &= 3x^2 - 12xy + 12y^2 \end{aligned} $$
Podpunkt g) Obliczamy wartość wyrażenia $(1 - \sqrt{7}x)(1 + \sqrt{7}x)$:
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ dla $A = 1$ oraz $B = \sqrt{7}x$: $$ \begin{aligned} (1 - \sqrt{7}x)(1 + \sqrt{7}x) &= 1^2 - (\sqrt{7}x)^2 \\ &= 1 - 7x^2 \end{aligned} $$
Podpunkt h) Obliczamy wartość wyrażenia $(11x + 12y)(11x - 12y)$:
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów dla $A = 11x$ oraz $B = 12y$: $$ \begin{aligned} (11x + 12y)(11x - 12y) &= (11x)^2 - (12y)^2 \\ &= 121x^2 - 144y^2 \end{aligned} $$
Podpunkt i) Obliczamy wartość wyrażenia $(\sqrt{2}a - \sqrt{10}b)(\sqrt{2}a + \sqrt{10}b)$:
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów dla $A = \sqrt{2}a$ oraz $B = \sqrt{10}b$: $$ \begin{aligned} (\sqrt{2}a - \sqrt{10}b)(\sqrt{2}a + \sqrt{10}b) &= (\sqrt{2}a)^2 - (\sqrt{10}b)^2 \\ &= 2a^2 - 10b^2 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $9x^2 + 24xy + 16y^2$

b) $3 + 2\sqrt{3}b + b^2$

c) $4a^2 + 4\sqrt{5}a + 5$

d) $36x^2 - 12x + 1$

e) $18 - 24\sqrt{2}x + 16x^2$

f) $3x^2 - 12xy + 12y^2$

g) $1 - 7x^2$

h) $121x^2 - 144y^2$

i) $2a^2 - 10b^2$

Zadanie 3

Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla podanych obok wartości zmiennych:

a) $(5 + 2y)(5 - 2y) - (5 - y)^2 \qquad y = 0{,}4$

b) $(2x + 1)(2x + 1) + (1 + 3x)(1 - 3x) \qquad x = 0{,}2$

c) $(a + 0{,}5)^2 - (a - 0{,}5)^2 \qquad a = 30$

d) $25(0{,}2 + 0{,}4b)(0{,}2 - 0{,}4b) - 3(2b - 1)^2 - 12b \qquad b = -\sqrt{3}$

e) $(3a - b)^2 - \left(\dfrac{1}{3}a - 1\right)\left(\dfrac{1}{3}a + 1\right) - (9a^2 + b^2) \qquad a = 0{,}3, \quad b = -0{,}5$

f) $2(1 - 2x)^2 + (-1)(2x - 3)(3 + 2x) - (2x + 1)^2 \qquad x = \dfrac{1}{4}$

g) $(\sqrt{5} - \sqrt{3}b)(5 + 3b)(\sqrt{5} + \sqrt{3}b) \qquad b = \sqrt{5}$

h) $(\sqrt{3} - \sqrt{2}x)(\sqrt{3} + \sqrt{2}x)(3 + 2x) \qquad x = 2\sqrt{3}$

Wskazówki:

Wykorzystuj wzory skróconego mnożenia: różnicę kwadratów $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, kwadrat sumy $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ oraz kwadrat różnicy $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Gdy przed nawiasem stoi znak minus, pamiętaj o zmianie znaków wszystkich wyrazów wewnątrz nawiasu po wykonaniu potęgowania.
Najpierw zredukuj wyrazy podobne do możliwie najprostszej postaci wielomianu, a dopiero w ostatnim kroku podstawiaj konkretne wartości liczbowe zmiennych.
Przy iloczynie trzech czynników zawierających pierwiastki pomnóż najpierw czynniki sprzężone, które dają różnicę kwadratów i eliminują pierwiastki.

Dane i szukane:

Dane: Wyrażenia algebraiczne oraz wartości zmiennych podane w podpunktach a–h.
Szukane: Najprostsza postać każdego wyrażenia oraz jego wartość liczbowa dla podanych wartości zmiennych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Upraszczamy wyrażenie $(5 + 2y)(5 - 2y) - (5 - y)^2$ i obliczamy wartość dla $y = 0{,}4$:
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów oraz kwadrat różnicy: $$\begin{aligned} (5 + 2y)(5 - 2y) - (5 - y)^2 &= (25 - 4y^2) - (25 - 10y + y^2) \\ &= 25 - 4y^2 - 25 + 10y - y^2 \\ &= -5y^2 + 10y \end{aligned}$$ Podstawiamy wartość $y = 0{,}4$: $$\begin{aligned} -5 \cdot (0{,}4)^2 + 10 \cdot 0{,}4 &= -5 \cdot 0{,}16 + 4 \\ &= -0{,}8 + 4 \\ &= 3{,}2 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Upraszczamy wyrażenie $(2x + 1)(2x + 1) + (1 + 3x)(1 - 3x)$ i obliczamy wartość dla $x = 0{,}2$:
Zapisujemy pierwszy iloczyn jako kwadrat sumy $(2x + 1)^2$, a drugi rozwijamy jako różnicę kwadratów: $$\begin{aligned} (2x + 1)^2 + (1 + 3x)(1 - 3x) &= (4x^2 + 4x + 1) + (1 - 9x^2) \\ &= 4x^2 + 4x + 1 + 1 - 9x^2 \\ &= -5x^2 + 4x + 2 \end{aligned}$$ Podstawiamy $x = 0{,}2$: $$\begin{aligned} -5 \cdot (0{,}2)^2 + 4 \cdot 0{,}2 + 2 &= -5 \cdot 0{,}04 + 0{,}8 + 2 \\ &= -0{,}2 + 0{,}8 + 2 \\ &= 2{,}6 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Upraszczamy wyrażenie $(a + 0{,}5)^2 - (a - 0{,}5)^2$ i obliczamy wartość dla $a = 30$:
Rozwijamy oba kwadraty dwumianów: $$\begin{aligned} (a + 0{,}5)^2 - (a - 0{,}5)^2 &= (a^2 + a + 0{,}25) - (a^2 - a + 0{,}25) \\ &= a^2 + a + 0{,}25 - a^2 + a - 0{,}25 \\ &= 2a \end{aligned}$$ Podstawiamy $a = 30$: $$2 \cdot 30 = 60$$
Podpunkt d) Upraszczamy wyrażenie $25(0{,}2 + 0{,}4b)(0{,}2 - 0{,}4b) - 3(2b - 1)^2 - 12b$ i obliczamy wartość dla $b = -\sqrt{3}$:
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów oraz kwadrat różnicy: $$\begin{aligned} 25(0{,}04 - 0{,}16b^2) - 3(4b^2 - 4b + 1) - 12b &= 1 - 4b^2 - 12b^2 + 12b - 3 - 12b \\ &= 1 - 4b^2 - 12b^2 - 3 \\ &= -16b^2 - 2 \end{aligned}$$ Podstawiamy $b = -\sqrt{3}$, pamiętając, że $(-\sqrt{3})^2 = 3$: $$\begin{aligned} -16 \cdot (-\sqrt{3})^2 - 2 &= -16 \cdot 3 - 2 \\ &= -48 - 2 \\ &= -50 \end{aligned}$$
Podpunkt e) Upraszczamy wyrażenie $(3a - b)^2 - \left(\dfrac{1}{3}a - 1\right)\left(\dfrac{1}{3}a + 1\right) - (9a^2 + b^2)$ i obliczamy wartość dla $a = 0{,}3$, $b = -0{,}5$:
Rozwijamy poszczególne człony wzorami skróconego mnożenia: $$\begin{aligned} (3a - b)^2 - \left(\dfrac{1}{3}a - 1\right)\left(\dfrac{1}{3}a + 1\right) - (9a^2 + b^2) &= (9a^2 - 6ab + b^2) - \left(\dfrac{1}{9}a^2 - 1\right) - 9a^2 - b^2 \\ &= 9a^2 - 6ab + b^2 - \dfrac{1}{9}a^2 + 1 - 9a^2 - b^2 \\ &= -6ab - \dfrac{1}{9}a^2 + 1 \end{aligned}$$ Podstawiamy $a = 0{,}3$ oraz $b = -0{,}5$: $$\begin{aligned} -6 \cdot 0{,}3 \cdot (-0{,}5) - \dfrac{1}{9} \cdot (0{,}3)^2 + 1 &= 0{,}9 - \dfrac{1}{9} \cdot 0{,}09 + 1 \\ &= 0{,}9 - 0{,}01 + 1 \\ &= 1{,}89 \end{aligned}$$
Podpunkt f) Upraszczamy wyrażenie $2(1 - 2x)^2 + (-1)(2x - 3)(3 + 2x) - (2x + 1)^2$ i obliczamy wartość dla $x = \dfrac{1}{4}$:
Zauważamy, że $(2x - 3)(3 + 2x) = (2x - 3)(2x + 3) = 4x^2 - 9$: $$\begin{aligned} 2(1 - 4x + 4x^2) - (4x^2 - 9) - (4x^2 + 4x + 1) &= 2 - 8x + 8x^2 - 4x^2 + 9 - 4x^2 - 4x - 1 \\ &= (8x^2 - 4x^2 - 4x^2) + (-8x - 4x) + (2 + 9 - 1) \\ &= -12x + 10 \end{aligned}$$ Podstawiamy $x = \dfrac{1}{4}$: $$\begin{aligned} -12 \cdot \dfrac{1}{4} + 10 &= -3 + 10 \\ &= 7 \end{aligned}$$
Podpunkt g) Upraszczamy wyrażenie $(\sqrt{5} - \sqrt{3}b)(5 + 3b)(\sqrt{5} + \sqrt{3}b)$ i obliczamy wartość dla $b = \sqrt{5}$:
Mnożymy najpierw nawias pierwszy i trzeci, wykorzystując wzór na różnicę kwadratów: $$(\sqrt{5} - \sqrt{3}b)(\sqrt{5} + \sqrt{3}b) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3}b)^2 = 5 - 3b^2$$ Mnożymy wynik przez dwumian $(5 + 3b)$: $$\begin{aligned} (5 - 3b^2)(5 + 3b) &= 25 + 15b - 15b^2 - 9b^3 \\ &= -9b^3 - 15b^2 + 15b + 25 \end{aligned}$$ Obliczamy wartość dla $b = \sqrt{5}$: $$\begin{aligned} (5 - 3 \cdot (\sqrt{5})^2)(5 + 3\sqrt{5}) &= (5 - 3 \cdot 5)(5 + 3\sqrt{5}) \\ &= (5 - 15)(5 + 3\sqrt{5}) \\ &= -10(5 + 3\sqrt{5}) \\ &= -50 - 30\sqrt{5} \end{aligned}$$
Podpunkt h) Upraszczamy wyrażenie $(\sqrt{3} - \sqrt{2}x)(\sqrt{3} + \sqrt{2}x)(3 + 2x)$ i obliczamy wartość dla $x = 2\sqrt{3}$:
Mnożymy pierwsze dwa nawiasy: $$(\sqrt{3} - \sqrt{2}x)(\sqrt{3} + \sqrt{2}x) = 3 - 2x^2$$ Wymnażamy otrzymany wynik przez $(3 + 2x)$: $$\begin{aligned} (3 - 2x^2)(3 + 2x) &= 9 + 6x - 6x^2 - 4x^3 \\ &= -4x^3 - 6x^2 + 6x + 9 \end{aligned}$$ Podstawiamy $x = 2\sqrt{3}$, gdzie $x^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$: $$\begin{aligned} (3 - 2 \cdot 12)(3 + 2 \cdot 2\sqrt{3}) &= (3 - 24)(3 + 4\sqrt{3}) \\ &= -21(3 + 4\sqrt{3}) \\ &= -63 - 84\sqrt{3} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) Postać: $-5y^2 + 10y$, wartość: $3{,}2$

b) Postać: $-5x^2 + 4x + 2$, wartość: $2{,}6$

c) Postać: $2a$, wartość: $60$

d) Postać: $-16b^2 - 2$, wartość: $-50$

e) Postać: $-6ab - \dfrac{1}{9}a^2 + 1$, wartość: $1{,}89$

f) Postać: $-12x + 10$, wartość: $7$

g) Postać: $-9b^3 - 15b^2 + 15b + 25$, wartość: $-50 - 30\sqrt{5}$

h) Postać: $-4x^3 - 6x^2 + 6x + 9$, wartość: $-63 - 84\sqrt{3}$

Zadanie 4

Rozwiąż równania:

a) $(x - 2)^2 - (x + 3)^2 = -2x - 13$

b) $(x + 4)^2 - (x - 2)^2 = x + 23$

c) $(x + 2)^2 + (x - 4)(x + 4) + 6 = 2(x - 1)^2$

d) $(3 - x)(3 + x) + (x + 2)^2 = x - 2$

e) $(x + 2)^2 - (3 - x)(3 + x) = 2(x - 1)^2 + 1$

f) $(x - 4)^2 - (x - 2)^2 = 2(x - 3)$

g) $(x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) - (x + \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) - \sqrt{32} = 0$

h) $(x + 2\sqrt{3})^2 + (x - 2\sqrt{3})^2 = 34$

Wskazówki:

Zastosuj wzory skróconego mnożenia:
– kwadrat sumy: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$,
– kwadrat różnicy: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$,
– różnica kwadratów: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Pamiętaj o zmianie znaków na przeciwne, gdy przed nawiasem występuje znak minus.
Uporządkuj wyrażenia, redukując wyrazy z $x^2$, a następnie przenieś niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą.
W równaniach kwadratowych typu $x^2 = a$ (gdzie $a > 0$) istnieją dwa rozwiązania: $x = -\sqrt{a}$ oraz $x = \sqrt{a}$.

Dane i szukane:

Dane: Równania z jedną niewiadomą $x$ podane w podpunktach a)–h).
Szukane: Liczby rzeczywiste $x$ spełniające dane równania.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $(x - 2)^2 - (x + 3)^2 = -2x - 13$:
Rozpisujemy kwadraty sumy i różnicy po lewej stronie równania: $$\begin{aligned} (x - 2)^2 &= x^2 - 4x + 4 \\ (x + 3)^2 &= x^2 + 6x + 9 \end{aligned}$$ Wstawiamy wyrażenia do równania, pamiętając o minusie przed drugim nawiasem: $$\begin{aligned} (x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 6x + 9) &= -2x - 13 \\ x^2 - 4x + 4 - x^2 - 6x - 9 &= -2x - 13 \\ -10x - 5 &= -2x - 13 \end{aligned}$$ Przenosimy wyrazy z $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą: $$\begin{aligned} -10x + 2x &= -13 + 5 \\ -8x &= -8 \quad / :(-8) \\ x &= 1 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $(x + 4)^2 - (x - 2)^2 = x + 23$:
Rozpisujemy kwadraty po lewej stronie: $$\begin{aligned} (x + 4)^2 &= x^2 + 8x + 16 \\ (x - 2)^2 &= x^2 - 4x + 4 \end{aligned}$$ Odejmujemy drugie wyrażenie od pierwszego: $$\begin{aligned} (x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 4x + 4) &= x + 23 \\ x^2 + 8x + 16 - x^2 + 4x - 4 &= x + 23 \\ 12x + 12 &= x + 23 \end{aligned}$$ Porządkujemy równanie: $$\begin{aligned} 12x - x &= 23 - 12 \\ 11x &= 11 \quad / :11 \\ x &= 1 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $(x + 2)^2 + (x - 4)(x + 4) + 6 = 2(x - 1)^2$:
Stosujemy wzory skróconego mnożenia dla każdego składnika: $$\begin{aligned} (x + 2)^2 &= x^2 + 4x + 4 \\ (x - 4)(x + 4) &= x^2 - 16 \\ 2(x - 1)^2 &= 2(x^2 - 2x + 1) = 2x^2 - 4x + 2 \end{aligned}$$ Wstawiamy rozpisane części do równania: $$\begin{aligned} (x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 16) + 6 &= 2x^2 - 4x + 2 \\ 2x^2 + 4x - 6 &= 2x^2 - 4x + 2 \end{aligned}$$ Odejmujemy $2x^2$ od obu stron i przenosimy wyrazy: $$\begin{aligned} 4x - 6 &= -4x + 2 \\ 4x + 4x &= 2 + 6 \\ 8x &= 8 \quad / :8 \\ x &= 1 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Rozwiązujemy równanie $(3 - x)(3 + x) + (x + 2)^2 = x - 2$:
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów oraz kwadrat sumy: $$\begin{aligned} (3 - x)(3 + x) &= 9 - x^2 \\ (x + 2)^2 &= x^2 + 4x + 4 \end{aligned}$$ Podstawiamy do równania i redukujemy $x^2$: $$\begin{aligned} (9 - x^2) + (x^2 + 4x + 4) &= x - 2 \\ 4x + 13 &= x - 2 \\ 4x - x &= -2 - 13 \\ 3x &= -15 \quad / :3 \\ x &= -5 \end{aligned}$$
Podpunkt e) Rozwiązujemy równanie $(x + 2)^2 - (3 - x)(3 + x) = 2(x - 1)^2 + 1$:
Rozpisujemy poszczególne wyrażenia: $$\begin{aligned} (x + 2)^2 &= x^2 + 4x + 4 \\ (3 - x)(3 + x) &= 9 - x^2 \\ 2(x - 1)^2 + 1 &= 2(x^2 - 2x + 1) + 1 = 2x^2 - 4x + 3 \end{aligned}$$ Wstawiamy je do wyjściowego równania: $$\begin{aligned} (x^2 + 4x + 4) - (9 - x^2) &= 2x^2 - 4x + 3 \\ x^2 + 4x + 4 - 9 + x^2 &= 2x^2 - 4x + 3 \\ 2x^2 + 4x - 5 &= 2x^2 - 4x + 3 \end{aligned}$$ Redukujemy $2x^2$ i przenosimy wyrazy: $$\begin{aligned} 4x - 5 &= -4x + 3 \\ 4x + 4x &= 3 + 5 \\ 8x &= 8 \quad / :8 \\ x &= 1 \end{aligned}$$
Podpunkt f) Rozwiązujemy równanie $(x - 4)^2 - (x - 2)^2 = 2(x - 3)$:
Rozpisujemy kwadraty różnic po lewej stronie: $$\begin{aligned} (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16 \\ (x - 2)^2 &= x^2 - 4x + 4 \end{aligned}$$ Wykonujemy odejmowanie oraz mnożenie po prawej stronie: $$\begin{aligned} (x^2 - 8x + 16) - (x^2 - 4x + 4) &= 2x - 6 \\ x^2 - 8x + 16 - x^2 + 4x - 4 &= 2x - 6 \\ -4x + 12 &= 2x - 6 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe: $$\begin{aligned} -4x - 2x &= -6 - 12 \\ -6x &= -18 \quad / :(-6) \\ x &= 3 \end{aligned}$$
Podpunkt g) Rozwiązujemy równanie $(x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) - (x + \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) - \sqrt{32} = 0$:
Zauważamy, że iloczyny jednakowych nawiasów to kwadraty: $$(x - \sqrt{2})^2 - (x + \sqrt{2})^2 - \sqrt{32} = 0$$ Rozpisujemy kwadraty dwumianów oraz upraszczamy pierwiastek $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$: $$\begin{aligned} (x - \sqrt{2})^2 &= x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 \\ (x + \sqrt{2})^2 &= x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 \end{aligned}$$ Wstawiamy rozpisane wyrażenia: $$\begin{aligned} (x^2 - 2\sqrt{2}x + 2) - (x^2 + 2\sqrt{2}x + 2) - 4\sqrt{2} &= 0 \\ x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 - x^2 - 2\sqrt{2}x - 2 - 4\sqrt{2} &= 0 \\ -4\sqrt{2}x - 4\sqrt{2} &= 0 \end{aligned}$$ Wyznaczamy $x$: $$\begin{aligned} -4\sqrt{2}x &= 4\sqrt{2} \quad / :(-4\sqrt{2}) \\ x &= -1 \end{aligned}$$
Podpunkt h) Rozwiązujemy równanie $(x + 2\sqrt{3})^2 + (x - 2\sqrt{3})^2 = 34$:
Obliczamy kwadrat wyrażenia $2\sqrt{3}$: $$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$$ Rozwijamy oba kwadraty dwumianów: $$\begin{aligned} (x + 2\sqrt{3})^2 &= x^2 + 4\sqrt{3}x + 12 \\ (x - 2\sqrt{3})^2 &= x^2 - 4\sqrt{3}x + 12 \end{aligned}$$ Dodajemy oba rozwinięcia: $$\begin{aligned} (x^2 + 4\sqrt{3}x + 12) + (x^2 - 4\sqrt{3}x + 12) &= 34 \\ 2x^2 + 24 &= 34 \end{aligned}$$ Wyznaczamy wartość $x^2$: $$\begin{aligned} 2x^2 &= 34 - 24 \\ 2x^2 &= 10 \quad / :2 \\ x^2 &= 5 \end{aligned}$$ Równanie ma dwa rozwiązania: $$x = -\sqrt{5} \quad \lor \quad x = \sqrt{5}$$

Odpowiedź:
a) $x = 1$

b) $x = 1$

c) $x = 1$

d) $x = -5$

e) $x = 1$

f) $x = 3$

g) $x = -1$

h) $x = -\sqrt{5} \lor x = \sqrt{5}$

Zadanie 5

Rozłóż wyrażenia na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia:
a) $c^2 - (x+y)^2$
b) $9 - (3a-2b)^2$
c) $1 - (x^2+y^2)^2$
d) $81x^4 - 16$
e) $625x^4 - 81$
f) $x^4 - 3$
g) $81 - 18x^2 + x^4$
h) $256 - 32x^2 + x^4$
i) $x^4 - 6x^2 + 9$

Wskazówki:

W podpunktach a)–c) zastosuj wzór na różnicę kwadratów $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, pamiętając o zmianie znaków w nawiasie przy odejmowaniu wyrażenia wielomianowego.
W podpunktach d)–f) potraktuj wyrażenia stopnia czwartego jako kwadraty: $x^4 = (x^2)^2$. Po pierwszym zastosowaniu różnicy kwadratów sprawdź, czy powstałe czynniki można rozłożyć ponownie.
W podpunktach g)–i) rozpoznaj wzór na kwadrat różnicy $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$, a następnie rozłóż wnętrze nawiasu ze wzoru na różnicę kwadratów.

Dane i szukane:

Dane: Wyrażenia algebraiczne podane w podpunktach a)–i).
Szukane: Postać iloczynowa (pełen rozkład na czynniki) każdego z wyrażeń.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozkładamy wyrażenie $c^2 - (x+y)^2$:
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ dla $A = c$ oraz $B = x + y$: $$\begin{aligned} c^2 - (x+y)^2 &= [c - (x+y)][c + (x+y)] \\ &= (c - x - y)(c + x + y) \end{aligned}$$
Podpunkt b) Rozkładamy wyrażenie $9 - (3a-2b)^2$:
Zauważamy, że $9 = 3^2$. Podstawiamy $A = 3$ oraz $B = 3a - 2b$: $$\begin{aligned} 9 - (3a-2b)^2 &= 3^2 - (3a-2b)^2 \\ &= [3 - (3a-2b)][3 + (3a-2b)] \\ &= (3 - 3a + 2b)(3 + 3a - 2b) \end{aligned}$$
Podpunkt c) Rozkładamy wyrażenie $1 - (x^2+y^2)^2$:
Zapisujemy $1$ jako $1^2$ i stosujemy wzór na różnicę kwadratów: $$\begin{aligned} 1 - (x^2+y^2)^2 &= 1^2 - (x^2+y^2)^2 \\ &= [1 - (x^2+y^2)][1 + (x^2+y^2)] \\ &= (1 - x^2 - y^2)(1 + x^2 + y^2) \end{aligned}$$
Podpunkt d) Rozkładamy wyrażenie $81x^4 - 16$:
Przedstawiamy oba składniki w postaci kwadratów: $81x^4 = (9x^2)^2$ oraz $16 = 4^2$: $$\begin{aligned} 81x^4 - 16 &= (9x^2)^2 - 4^2 \\ &= (9x^2 - 4)(9x^2 + 4) \end{aligned}$$ Czynnik $9x^2 - 4$ rozkładamy ponownie ze wzoru na różnicę kwadratów, ponieważ $9x^2 = (3x)^2$ i $4 = 2^2$: $$\begin{aligned} (9x^2 - 4)(9x^2 + 4) &= (3x - 2)(3x + 2)(9x^2 + 4) \end{aligned}$$
Podpunkt e) Rozkładamy wyrażenie $625x^4 - 81$:
Zapisujemy składniki jako kwadraty: $625x^4 = (25x^2)^2$ oraz $81 = 9^2$: $$\begin{aligned} 625x^4 - 81 &= (25x^2)^2 - 9^2 \\ &= (25x^2 - 9)(25x^2 + 9) \end{aligned}$$ Czynnik $25x^2 - 9$ rozkładamy dalej, ponieważ $25x^2 = (5x)^2$ i $9 = 3^2$: $$\begin{aligned} (25x^2 - 9)(25x^2 + 9) &= (5x - 3)(5x + 3)(25x^2 + 9) \end{aligned}$$
Podpunkt f) Rozkładamy wyrażenie $x^4 - 3$:
Zapisujemy $x^4 = (x^2)^2$ oraz $3 = (\sqrt{3})^2$: $$\begin{aligned} x^4 - 3 &= (x^2)^2 - (\sqrt{3})^2 \\ &= (x^2 - \sqrt{3})(x^2 + \sqrt{3}) \end{aligned}$$ W zbiorze liczb rzeczywistych możemy rozłożyć czynnik $x^2 - \sqrt{3}$ na czynniki liniowe, zauważając, że $\sqrt{3} = (\sqrt[4]{3})^2$: $$\begin{aligned} (x^2 - \sqrt{3})(x^2 + \sqrt{3}) &= (x - \sqrt[4]{3})(x + \sqrt[4]{3})(x^2 + \sqrt{3}) \end{aligned}$$
Podpunkt g) Rozkładamy wyrażenie $81 - 18x^2 + x^4$:
Rozpoznajemy wzór na kwadrat różnicy $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$ dla $A = 9$ i $B = x^2$: $$\begin{aligned} 81 - 18x^2 + x^4 &= 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot x^2 + (x^2)^2 \\ &= (9 - x^2)^2 \end{aligned}$$ Rozkładamy dwumian wewnątrz nawiasu na czynniki ze wzoru na różnicę kwadratów $9 - x^2 = (3 - x)(3 + x)$: $$\begin{aligned} (9 - x^2)^2 &= [(3 - x)(3 + x)]^2 \\ &= (3 - x)^2(3 + x)^2 \end{aligned}$$
Podpunkt h) Rozkładamy wyrażenie $256 - 32x^2 + x^4$:
Zauważamy, że $256 = 16^2$ oraz $32x^2 = 2 \cdot 16 \cdot x^2$: $$\begin{aligned} 256 - 32x^2 + x^4 &= 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot x^2 + (x^2)^2 \\ &= (16 - x^2)^2 \end{aligned}$$ Rozkładamy wyrażenie $16 - x^2 = (4 - x)(4 + x)$: $$\begin{aligned} (16 - x^2)^2 &= [(4 - x)(4 + x)]^2 \\ &= (4 - x)^2(4 + x)^2 \end{aligned}$$
Podpunkt i) Rozkładamy wyrażenie $x^4 - 6x^2 + 9$:
Stosujemy wzór na kwadrat różnicy dla $A = x^2$ oraz $B = 3$: $$\begin{aligned} x^4 - 6x^2 + 9 &= (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 3^2 \\ &= (x^2 - 3)^2 \end{aligned}$$ W zbiorze liczb rzeczywistych rozkładamy czynnik wewnętrzny $x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$: $$\begin{aligned} (x^2 - 3)^2 &= [(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})]^2 \\ &= (x - \sqrt{3})^2(x + \sqrt{3})^2 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $(c - x - y)(c + x + y)$

b) $(3 - 3a + 2b)(3 + 3a - 2b)$

c) $(1 - x^2 - y^2)(1 + x^2 + y^2)$

d) $(3x - 2)(3x + 2)(9x^2 + 4)$

e) $(5x - 3)(5x + 3)(25x^2 + 9)$

f) $(x - \sqrt[4]{3})(x + \sqrt[4]{3})(x^2 + \sqrt{3})$ lub $(x^2 - \sqrt{3})(x^2 + \sqrt{3})$

g) $(3 - x)^2(3 + x)^2$

h) $(4 - x)^2(4 + x)^2$

i) $(x - \sqrt{3})^2(x + \sqrt{3})^2$

Grupa B

Zadanie 1

Oblicz:

a) $(3\sqrt{3} + 2\sqrt{7})^2$

b) $(2\sqrt{5} + 4\sqrt{2})^2$

c) $(4\sqrt{2} + 3\sqrt{6})^2$

d) $(5\sqrt{2} + 3\sqrt{10})^2$

e) $(\sqrt{5} - \sqrt{7})^2$

f) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2$

g) $(4\sqrt{3} - 3\sqrt{5})^2$

h) $(4\sqrt{6} - 3\sqrt{2})^2$

i) $(5 - 2\sqrt{5})(5 + 2\sqrt{5})$

j) $(4\sqrt{3} - 7)(4\sqrt{3} + 7)$

k) $(3 - 2\sqrt{7})(3 + 2\sqrt{7})$

l) $(6\sqrt{5} + 5)(6\sqrt{5} - 5)$

Zadanie 2

Korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, oblicz:

a) $(5x + 2y)^2$

b) $(\sqrt{5} + a)^2$

c) $(4b + \sqrt{2})^2$

d) $(8x - 1)^2$

e) $(2\sqrt{3} - 3x)^2$

f) $(\sqrt{5}x - \sqrt{20}y)^2$

g) $(1 - \sqrt{3}x)(1 + \sqrt{3}x)$

h) $(14x + 15y)(14x - 15y)$

i) $(\sqrt{5}a - \sqrt{15}b)(\sqrt{5}a + \sqrt{15}b)$

Zadanie 3

Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla podanych obok wartości zmiennych:

a) $(6 + 2y)(6 - 2y) - (6 - y)^2 \qquad y = 0{,}5$

b) $(3x + 2)(3x + 2) + (2 + 4x)(2 - 4x) \qquad x = 0{,}1$

c) $(a + 0{,}4)^2 - (a - 0{,}4)^2 \qquad a = 25$

d) $16(0{,}5 + 0{,}5b)(0{,}5 - 0{,}5b) - 2(2b - 1)^2 - 8b \qquad b = -\sqrt{5}$

e) $(4a - b)^2 - \left(\dfrac{1}{4}a - 1\right)\left(\dfrac{1}{4}a + 1\right) - (16a^2 + b^2) \qquad a = 0{,}4, \quad b = -0{,}5$

f) $2(1 - 3x)^2 + (-1)(3x - 4)(4 + 3x) - (3x + 1)^2 \qquad x = \dfrac{1}{3}$

g) $(\sqrt{2} - \sqrt{5}b)(2 + 5b)(\sqrt{2} + \sqrt{5}b) \qquad b = \sqrt{2}$

h) $(\sqrt{5} - \sqrt{2}x)(\sqrt{5} + \sqrt{2}x)(5 + 2x) \qquad x = 2\sqrt{5}$

Zadanie 4

Rozwiąż równania:

a) $(x - 3)^2 - (x + 2)^2 = -2x - 11$

b) $(x + 3)^2 - (x - 1)^2 = 2x + 14$

c) $(x + 2)^2 + (x - 1)(x + 1) - 5 = 2(x - 2)^2 + 2$

d) $(4 - x)(4 + x) + (x + 2)^2 = 2x + 14$

e) $(x + 1)^2 - (2 - x)(2 + x) = 2(x - 1)^2 + 1$

f) $(x - 6)^2 - (x - 2)^2 = 4(x - 7)$

g) $(x - \sqrt{5})(x - \sqrt{5}) - (x + \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) - \sqrt{80} = 0$

h) $(x + 3\sqrt{3})^2 + (x - 3\sqrt{3})^2 = 68$

Zadanie 5

Rozłóż wyrażenia na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia:
a) $m^2 - (p+q)^2$
b) $16 - (2x-5y)^2$
c) $1 - (a^2+b^2)^2$
d) $16x^4 - 1$
e) $81x^4 - 625$
f) $x^4 - 5$
g) $1 - 2x^2 + x^4$
h) $x^4 - 8x^2 + 16$
i) $x^4 - 14x^2 + 49$

2.4 Wzory skróconego mnożenia

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋