Pierwiastek arytmetyczny. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej kartkówka LiczBit

2.2 Pierwiastek arytmetyczny. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Oblicz:

a) $\sqrt{17^2}$

b) $\sqrt{(-3)^4}$

c) $\sqrt[3]{(-6)^3}$

d) $\sqrt[3]{(-5)^6}$

Wskazówki:

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi tożsamość pierwiastka kwadratowego: $\sqrt{a^2} = |a|$.
Dla pierwiastka stopnia nieparzystego pierwiastkowanie jest operacją jednoznaczną w zbiorze liczb rzeczywistych: $\sqrt[3]{a^3} = a$.
Potęgę pod pierwiastkiem można rozbić, stosując regułę potęgowania potęgi: $a^{m \cdot k} = (a^m)^k$.
Zwróć uwagę na parzystość wykładnika: liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni, a do nieparzystej – ujemny.

Dane i szukane:

Dane: Wyrażenia z pierwiastkami:
a) $\sqrt{17^2}$, b) $\sqrt{(-3)^4}$, c) $\sqrt[3]{(-6)^3}$, d) $\sqrt[3]{(-5)^6}$
Szukane: Wartości liczbowe podanych wyrażeń: $W_a = ?$, $W_b = ?$, $W_c = ?$, $W_d = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $\sqrt{17^2}$:
Sposób I – Wykorzystanie definicji pierwiastka arytmetycznego i wartości bezwzględnej:
Dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi równość $\sqrt{a^2} = |a|$. Podstawiając $a = 17$: $$ \begin{aligned} \sqrt{17^2} &= |17| \\ &= 17 \end{aligned} $$ Sposób II – Zamiana pierwiastka na potęgę o wykładniku ułamkowym:
Zapisujemy pierwiastek kwadratowy jako potęgę o wykładniku $\frac{1}{2}$: $$ \begin{aligned} \sqrt{17^2} &= \left(17^2\right)^{\frac{1}{2}} \\ &= 17^{2 \cdot \frac{1}{2}} \\ &= 17^1 = 17 \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $\sqrt{(-3)^4}$:
Sposób I – Przekształcenie wykładnika na iloczyn potęg:
Rozpisujemy wykładnik $4$ jako $2 \cdot 2$, dzięki czemu pod pierwiastkiem otrzymujemy kwadrat liczby $(-3)^2$: $$ \begin{aligned} \sqrt{(-3)^4} &= \sqrt{\left[(-3)^2\right]^2} \\ &= \left|(-3)^2\right| \\ &= |9| = 9 \end{aligned} $$ Sposób II – Bezpośrednie obliczenie wartości potęgi:
Podnosimy liczbę ujemną $-3$ do potęgi czwartej (parzysty wykładnik daje liczbę dodatnią): $$ \begin{aligned} \sqrt{(-3)^4} &= \sqrt{(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)} \\ &= \sqrt{81} \\ &= 9 \end{aligned} $$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $\sqrt[3]{(-6)^3}$:
Sposób I – Własność pierwiastka stopnia nieparzystego:
Dla pierwiastka stopnia trzeciego i dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi zależność $\sqrt[3]{a^3} = a$. Wynika to z faktu, że podnoszenie do trzeciej potęgi oraz wyciąganie pierwiastka trzeciego stopnia to operacje wzajemnie odwrotne: $$ \sqrt[3]{(-6)^3} = -6 $$ Sposób II – Obliczenie wartości sześcianu pod pierwiastkiem:
Podnosimy $-6$ do trzeciej potęgi: $$ \begin{aligned} \sqrt[3]{(-6)^3} &= \sqrt[3]{-216} \\ &= -6 \quad \text{ponieważ } (-6)^3 = -216 \end{aligned} $$
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $\sqrt[3]{(-5)^6}$:
Sposób I – Zapisanie wyrażenia jako sześcianu potęgi kwadratowej:
Wykładnik $6$ rozbijamy na iloczyn $2 \cdot 3$: $$ \begin{aligned} \sqrt[3]{(-5)^6} &= \sqrt[3]{\left[(-5)^2\right]^3} \\ &= (-5)^2 \\ &= 25 \end{aligned} $$ Sposób II – Zamiana na potęgę o wykładniku ułamkowym:
Ponieważ wykładnik $6$ jest parzysty, liczba $(-5)^6$ jest równa $5^6$: $$ \begin{aligned} \sqrt[3]{(-5)^6} &= \sqrt[3]{5^6} \\ &= 5^{\frac{6}{3}} \\ &= 5^2 = 25 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $17$

b) $9$

c) $-6$

d) $25$

Zadanie 2

Oblicz:

a) $\sqrt{2\dfrac{7}{9}}$

b) $\sqrt{1\dfrac{17}{64}}$

c) $\sqrt{13\dfrac{4}{9}}$

d) $\sqrt{10\dfrac{9}{16}}$

Wskazówki:

Aby wyznaczyć pierwiastek kwadratowy z liczby mieszanej, najpierw zamieniamy ją na ułamek niewłaściwy: $c\dfrac{a}{b} = \dfrac{c \cdot b + a}{b}$.
Wykorzystujemy twierdzenie o pierwiastku z ilorazu: $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ dla liczb $a \ge 0$ i $b > 0$.
Po spierwiastkowaniu licznika oraz mianownika wyłączamy całości, zapisując wynik w postaci liczby mieszanej.

Dane i szukane:

Dane: Wyrażenia pierwiastkowe z podpunktów a)–d).
Szukane: Wartości liczbowe wyrażeń z podpunktów a)–d).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie wartości wyrażenia $\sqrt{2\dfrac{7}{9}}$:
Zamieniamy liczbę mieszaną pod pierwiastkiem na ułamek niewłaściwy: $$2\dfrac{7}{9} = \dfrac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \dfrac{25}{9}$$ Stosujemy własność pierwiastka z ilorazu: $$\begin{aligned} \sqrt{2\dfrac{7}{9}} &= \sqrt{\dfrac{25}{9}} \\ &= \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}} \\ &= \dfrac{5}{3} \\ &= 1\dfrac{2}{3} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczenie wartości wyrażenia $\sqrt{1\dfrac{17}{64}}$:
Przekształcamy liczbę mieszaną do postaci ułamka niewłaściwego: $$1\dfrac{17}{64} = \dfrac{1 \cdot 64 + 17}{64} = \dfrac{81}{64}$$ Pierwiastkujemy osobno licznik i mianownik: $$\begin{aligned} \sqrt{1\dfrac{17}{64}} &= \sqrt{\dfrac{81}{64}} \\ &= \dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{64}} \\ &= \dfrac{9}{8} \\ &= 1\dfrac{1}{8} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczenie wartości wyrażenia $\sqrt{13\dfrac{4}{9}}$:
Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $$13\dfrac{4}{9} = \dfrac{13 \cdot 9 + 4}{9} = \dfrac{117 + 4}{9} = \dfrac{121}{9}$$ Obliczamy pierwiastek z otrzymanego ułamka: $$\begin{aligned} \sqrt{13\dfrac{4}{9}} &= \sqrt{\dfrac{121}{9}} \\ &= \dfrac{\sqrt{121}}{\sqrt{9}} \\ &= \dfrac{11}{3} \\ &= 3\dfrac{2}{3} \end{aligned}$$
Podpunkt d) Obliczenie wartości wyrażenia $\sqrt{10\dfrac{9}{16}}$:
Przekształcamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $$10\dfrac{9}{16} = \dfrac{10 \cdot 16 + 9}{16} = \dfrac{160 + 9}{16} = \dfrac{169}{16}$$ Wyznaczamy pierwiastek kwadratowy: $$\begin{aligned} \sqrt{10\dfrac{9}{16}} &= \sqrt{\dfrac{169}{16}} \\ &= \dfrac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}} \\ &= \dfrac{13}{4} \\ &= 3\dfrac{1}{4} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $1\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$

b) $1\dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{8}$

c) $3\dfrac{2}{3} = \dfrac{11}{3}$

d) $3\dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{4}$

Zadanie 3

Oblicz:

a) $\sqrt[3]{0{,}027}$

b) $\sqrt[3]{-0{,}064}$

c) $\sqrt[5]{-0{,}00243}$

d) $\sqrt[6]{0{,}000064}$

e) $\sqrt{0{,}49}$

f) $\sqrt[4]{(-0{,}36)^2}$

g) $\sqrt[6]{0{,}25^3}$

h) $\sqrt[3]{-0{,}2^6}$

Wskazówki:

Ułamki dziesiętne pod pierwiastkiem warto zamienić na ułamki zwykłe o mianownikach będących potęgami liczby $10$ ($100$, $1000$, $100000$ itd.).
Skorzystaj z własności pierwiastka z ilorazu: $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej daje wynik ujemny: $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ dla nieparzystych $n$.
Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni: $(-a)^2 = a^2$.
W podpunktach f–h wykorzystaj zależność między potęgami a pierwiastkami: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, co pozwala na upraszczanie wykładnika i stopnia pierwiastka.

Dane i szukane:

Dane: Wyrażenia pierwiastkowe z podpunktów a–h.
Szukane: Dokładne wartości liczbowe podanych wyrażeń.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $\sqrt[3]{0{,}027}$:
Zapisujemy ułamek dziesiętny w postaci ułamka zwykłego: $$0{,}027 = \dfrac{27}{1000}$$ Obliczamy pierwiastek trzeciego stopnia z licznika i mianownika: $$\begin{aligned} \sqrt[3]{0{,}027} &= \sqrt[3]{\dfrac{27}{1000}} \\ &= \dfrac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}} \\ &= \dfrac{3}{10} = 0{,}3 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $\sqrt[3]{-0{,}064}$:
Ponieważ stopień pierwiastka jest nieparzysty, znak minus wyprowadzamy przed pierwiastek: $$\sqrt[3]{-0{,}064} = -\sqrt[3]{0{,}064}$$ Zamieniamy liczbę na ułamek zwykły i pierwiastkujemy: $$\begin{aligned} -\sqrt[3]{\dfrac{64}{1000}} &= -\dfrac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{1000}} \\ &= -\dfrac{4}{10} = -0{,}4 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $\sqrt[5]{-0{,}00243}$:
Wyprowadzamy minus przed pierwiastek piątego stopnia i zamieniamy liczbę podpierwiastkową na ułamek zwykły: $$\begin{aligned} \sqrt[5]{-0{,}00243} &= -\sqrt[5]{\dfrac{243}{100000}} \\ &= -\dfrac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{100000}} \\ &= -\dfrac{3}{10} = -0{,}3 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $\sqrt[6]{0{,}000064}$:
Zapisujemy liczbę w postaci ułamka o mianowniku $1000000$: $$\begin{aligned} \sqrt[6]{0{,}000064} &= \sqrt[6]{\dfrac{64}{1000000}} \\ &= \dfrac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[6]{1000000}} \\ &= \dfrac{2}{10} = 0{,}2 \end{aligned}$$
Podpunkt e) Obliczamy wartość wyrażenia $\sqrt{0{,}49}$:
Stosujemy pierwiastek kwadratowy: $$\begin{aligned} \sqrt{0{,}49} &= \sqrt{\dfrac{49}{100}} \\ &= \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}} \\ &= \dfrac{7}{10} = 0{,}7 \end{aligned}$$
Podpunkt f) Obliczamy wartość wyrażenia $\sqrt[4]{(-0{,}36)^2}$:
Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni: $(-0{,}36)^2 = 0{,}36^2$. Redukujemy stopień pierwiastka z wykładnikiem potęgi (dzieląc oba przez $2$): $$\begin{aligned} \sqrt[4]{(-0{,}36)^2} &= \sqrt[4]{0{,}36^2} \\ &= \sqrt{0{,}36} \\ &= \sqrt{\dfrac{36}{100}} \\ &= \dfrac{6}{10} = 0{,}6 \end{aligned}$$
Podpunkt g) Obliczamy wartość wyrażenia $\sqrt[6]{0{,}25^3}$:
Upraszczamy stopień pierwiastka i wykładnik potęgi, dzieląc je przez $3$: $$\begin{aligned} \sqrt[6]{0{,}25^3} &= \sqrt{0{,}25} \\ &= \sqrt{\dfrac{25}{100}} \\ &= \dfrac{5}{10} = 0{,}5 \end{aligned}$$
Podpunkt h) Obliczamy wartość wyrażenia $\sqrt[3]{-0{,}2^6}$:
Zgodnie z kolejnością działań potęgowanie dotyczy liczby $0{,}2$, a minus stoi przed potęgą: $-0{,}2^6 = -(0{,}2^6)$.
Wyciągamy minus przed pierwiastek stopnia nieparzystego i upraszczamy potęgę: $$\begin{aligned} \sqrt[3]{-(0{,}2^6)} &= -\sqrt[3]{(0{,}2^2)^3} \\ &= -(0{,}2^2) \\ &= -0{,}04 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $0{,}3$

b) $-0{,}4$

c) $-0{,}3$

d) $0{,}2$

e) $0{,}7$

f) $0{,}6$

g) $0{,}5$

h) $-0{,}04$

Zadanie 4

Oblicz:

a) $\sqrt[3]{0{,}008}$

b) $\sqrt[3]{-0{,}125}$

c) $\sqrt[5]{-0{,}01024}$

d) $\sqrt[6]{0{,}000001}$

e) $\sqrt{0{,}81}$

f) $\sqrt[4]{(-0{,}64)^2}$

g) $\sqrt[6]{0{,}09^3}$

h) $\sqrt[3]{-0{,}4^6}$

Zadanie 5

Wykonaj działania. Jaką liczbą: wymierną czy niewymierną jest wynik obliczeń?

a) $\sqrt{3}\cdot\sqrt{6} - 3\sqrt{2}$

b) $(\sqrt{7}-3)\sqrt{7} + 3\sqrt{7}$

c) $(3\sqrt{3}-5)-(4+3\sqrt{3})$

d) $\dfrac{4\sqrt{3}-5\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$

e) $4\cdot(-3\sqrt{2}) + 8\sqrt{2}:2 + 5\sqrt{2}$

f) $\dfrac{2\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}-1}$

g) $\dfrac{3\sqrt{14}-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} - \sqrt{7}$

h) $\dfrac{6\sqrt{21}-3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} + 2$

Wskazówki:

Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia zapisuj pod jednym pierwiastkiem: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$, a następnie wyłączaj czynniki przed znak pierwiastka.
Przy dzieleniu sumy lub różnicy przez jednomian z pierwiastkiem wyłącz wspólny czynnik przed nawias w liczniku lub podziel każdy składnik z osobna.
Wynik jest liczbą wymierną, jeśli po redukcji znika pierwiastek z liczby niewymiernej i pozostaje liczba dająca się zapisać w postaci ułamka zwykłego dwóch liczb całkowitych.

Dane i szukane:

Dane: Wyrażenia arytmetyczne podane w podpunktach a)–h).
Szukane: Wartości liczbowe wyrażeń oraz określenie ich przynależności do zbioru liczb wymiernych ($\mathbb{Q}$) lub niewymiernych ($\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie wartości wyrażenia $\sqrt{3}\cdot\sqrt{6} - 3\sqrt{2}$:
Mnożymy pierwiastki i wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka: $$\begin{aligned} \sqrt{3}\cdot\sqrt{6} - 3\sqrt{2} &= \sqrt{18} - 3\sqrt{2} \\ &= \sqrt{9 \cdot 2} - 3\sqrt{2} \\ &= 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \\ &= 0 \end{aligned}$$ Liczba $0$ jest liczbą wymierną.
Podpunkt b) Obliczenie wartości wyrażenia $(\sqrt{7}-3)\sqrt{7} + 3\sqrt{7}$:
Wymnażamy nawias przez $\sqrt{7}$ i redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} (\sqrt{7}-3)\sqrt{7} + 3\sqrt{7} &= \sqrt{7}\cdot\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + 3\sqrt{7} \\ &= 7 + (-3\sqrt{7} + 3\sqrt{7}) \\ &= 7 \end{aligned}$$ Liczba $7$ jest liczbą wymierną.
Podpunkt c) Obliczenie wartości wyrażenia $(3\sqrt{3}-5)-(4+3\sqrt{3})$:
Opuszczamy nawiasy, pamiętając o zmianie znaków w drugim nawiasie: $$\begin{aligned} (3\sqrt{3}-5)-(4+3\sqrt{3}) &= 3\sqrt{3} - 5 - 4 - 3\sqrt{3} \\ &= (3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) - 9 \\ &= -9 \end{aligned}$$ Liczba $-9$ jest liczbą wymierną.
Podpunkt d) Obliczenie wartości wyrażenia $\dfrac{4\sqrt{3}-5\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$:
Dzielimy każdy składnik licznika przez mianownik: $$\begin{aligned} \dfrac{4\sqrt{3}-5\sqrt{15}}{\sqrt{3}} &= \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \dfrac{5\sqrt{15}}{\sqrt{3}} \\ &= 4 - 5\sqrt{\dfrac{15}{3}} \\ &= 4 - 5\sqrt{5} \end{aligned}$$ Liczba $4 - 5\sqrt{5}$ jest liczbą niewymierną, ponieważ $\sqrt{5}$ jest liczbą niewymierną.
Podpunkt e) Obliczenie wartości wyrażenia $4\cdot(-3\sqrt{2}) + 8\sqrt{2}:2 + 5\sqrt{2}$:
Wykonujemy mnożenie i dzielenie, zachowując kolejność działań: $$\begin{aligned} 4\cdot(-3\sqrt{2}) + 8\sqrt{2}:2 + 5\sqrt{2} &= -12\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \\ &= (-12 + 4 + 5)\sqrt{2} \\ &= -3\sqrt{2} \end{aligned}$$ Liczba $-3\sqrt{2}$ jest liczbą niewymierną.
Podpunkt f) Obliczenie wartości wyrażenia $\dfrac{2\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}-1}$:
Wyłączamy wspólny czynnik $2\sqrt{2}$ przed nawias w liczniku: $$\begin{aligned} \dfrac{2\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}-1} &= \dfrac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{5} - 2\sqrt{2}\cdot 1}{\sqrt{5}-1} \\ &= \dfrac{2\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{5}-1} \\ &= 2\sqrt{2} \end{aligned}$$ Liczba $2\sqrt{2}$ jest liczbą niewymierną.
Podpunkt g) Obliczenie wartości wyrażenia $\dfrac{3\sqrt{14}-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} - \sqrt{7}$:
Wyłączamy wspólny czynnik $3\sqrt{2}$ w liczniku ułamka: $$\begin{aligned} \dfrac{3\sqrt{14}-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} - \sqrt{7} &= \dfrac{3\sqrt{2}(\sqrt{7}-1)}{3\sqrt{2}} - \sqrt{7} \\ &= (\sqrt{7}-1) - \sqrt{7} \\ &= -1 \end{aligned}$$ Liczba $-1$ jest liczbą wymierną.
Podpunkt h) Obliczenie wartości wyrażenia $\dfrac{6\sqrt{21}-3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} + 2$:
Wyłączamy wspólny czynnik $3\sqrt{3}$ w liczniku ułamka: $$\begin{aligned} \dfrac{6\sqrt{21}-3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} + 2 &= \dfrac{3\sqrt{3}(2\sqrt{7}-1)}{3\sqrt{3}} + 2 \\ &= (2\sqrt{7}-1) + 2 \\ &= 2\sqrt{7} + 1 \end{aligned}$$ Liczba $2\sqrt{7} + 1$ jest liczbą niewymierną.

Odpowiedź:
a) $0$ – liczba wymierna

b) $7$ – liczba wymierna

c) $-9$ – liczba wymierna

d) $4 - 5\sqrt{5}$ – liczba niewymierna

e) $-3\sqrt{2}$ – liczba niewymierna

f) $2\sqrt{2}$ – liczba niewymierna

g) $-1$ – liczba wymierna

h) $2\sqrt{7} + 1$ – liczba niewymierna

Grupa B

Zadanie 1

Oblicz:

a) $\sqrt{19^2}$

b) $\sqrt{(-4)^4}$

c) $\sqrt[3]{(-5)^3}$

d) $\sqrt[3]{(-3)^6}$

Zadanie 2

Oblicz:

a) $\sqrt{3\dfrac{1}{16}}$

b) $\sqrt{1\dfrac{39}{25}}$

c) $\sqrt{21\dfrac{7}{9}}$

d) $\sqrt{1\dfrac{40}{81}}$

Zadanie 3

Zadanie 4

Oblicz wartość wyrażenia:

a) $\sqrt{50} + \sqrt{162} - \sqrt{72}$

b) $\sqrt{27} + \sqrt{300} - \sqrt{147}$

c) $\sqrt{20} - \sqrt{80} + \sqrt{245}$

d) $\sqrt{175} - \sqrt{28} + \sqrt{112}$

Zadanie 5

Wykonaj działania. Jaką liczbą: wymierną czy niewymierną jest wynik obliczeń?

a) $\sqrt{5}\cdot\sqrt{10} - 5\sqrt{2}$

b) $(\sqrt{3}-4)\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$

c) $(4\sqrt{5}-2)-(5+4\sqrt{5})$

d) $\dfrac{5\sqrt{3}-2\sqrt{21}}{\sqrt{3}}$

e) $3\cdot(-4\sqrt{5}) + 10\sqrt{5}:2 + 6\sqrt{5}$

f) $\dfrac{4\sqrt{15}-4\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1}$

g) $\dfrac{5\sqrt{6}-5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} - \sqrt{3}$

h) $\dfrac{6\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} + 1$

2.2 Pierwiastek arytmetyczny. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋