Potęga o wykładniku naturalnym kartkówka LiczBit

2.1 Potęga o wykładniku naturalnym

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Oblicz, stosując prawa działań na potęgach:

a) $-3^2 \cdot (-3)^3$

b) $(0,5)^3 \cdot (0,5)^3$

c) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(2\dfrac{1}{4}\right)^3$

d) $\left(-1\dfrac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(-1\dfrac{3}{5}\right)^5$

e) $(1,5)^4 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)^4$

f) $(-2,4)^6 \cdot \left(\dfrac{25}{36}\right)^3$

Wskazówki:

Mnożenie potęg o jednakowych podstawach: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Potęgowanie potęgi: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Zwróć uwagę na nawiasy przy liczbach ujemnych: $-a^n = -(a^n)$, podczas gdy $(-a)^n$ jest dodatnie dla parzystego $n$ i ujemne dla nieparzystego $n$.

Dane i szukane:

Dane: Wyrażenia liczbowe z podpunktów a)–f):
a) $-3^2 \cdot (-3)^3$, b) $(0,5)^3 \cdot (0,5)^3$, c) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(2\dfrac{1}{4}\right)^3$, d) $\left(-1\dfrac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(-1\dfrac{3}{5}\right)^5$, e) $(1,5)^4 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)^4$, f) $(-2,4)^6 \cdot \left(\dfrac{25}{36}\right)^3$
Szukane: Wartości liczbowe podanych wyrażeń: $W_a = ?$, $W_b = ?$, $W_c = ?$, $W_d = ?$, $W_e = ?$, $W_f = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczamy wartość wyrażenia $-3^2 \cdot (-3)^3$:
Zapis $-3^2$ oznacza liczbę przeciwną do kwadratu liczby $3$, czyli $-(3^2)$. Z kolei czynnik $(-3)^3$ to potęga o wykładniku nieparzystym, więc $(-3)^3 = -(3^3)$. Iloczyn dwóch wartości ujemnych jest dodatni. Korzystamy ze wzoru na mnożenie potęg o tych samych podstawach $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$ \begin{aligned} -3^2 \cdot (-3)^3 &= -(3^2) \cdot [-(3^3)] \\ &= 3^2 \cdot 3^3 \\ &= 3^{2+3} \\ &= 3^5 = 243 \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczamy wartość wyrażenia $(0,5)^3 \cdot (0,5)^3$:
Stosujemy prawo dodawania wykładników przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, a następnie zamieniamy ułamek dziesiętny na zwykły $(0,5 = \frac{1}{2})$: $$ \begin{aligned} (0,5)^3 \cdot (0,5)^3 &= (0,5)^{3+3} \\ &= (0,5)^6 \\ &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^6 \\ &= \dfrac{1}{64} = 0,015625 \end{aligned} $$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(\dfrac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(2\dfrac{1}{4}\right)^3$:
Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$. Zauważamy, że $\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$. Stosujemy wzór na potęgowanie potęgi $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, a następnie rozbijamy potęgę o wyższym wykładniku: $$ \begin{aligned} \left(\dfrac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(2\dfrac{1}{4}\right)^3 &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(\dfrac{9}{4}\right)^3 \\ &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^5 \cdot \left[\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\right]^3 \\ &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^6 \\ &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^5 \cdot \dfrac{3}{2} \\ &= \left(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2}\right)^5 \cdot \dfrac{3}{2} \\ &= 1^5 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2} \end{aligned} $$
Podpunkt d) Obliczamy wartość wyrażenia $\left(-1\dfrac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(-1\dfrac{3}{5}\right)^5$:
Oba czynniki mają ten sam wykładnik potęgi, zatem stosujemy wzór $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe: $$ \begin{aligned} \left(-1\dfrac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(-1\dfrac{3}{5}\right)^5 &= \left(-\dfrac{5}{4}\right)^5 \cdot \left(-\dfrac{8}{5}\right)^5 \\ &= \left[\left(-\dfrac{5}{4}\right) \cdot \left(-\dfrac{8}{5}\right)\right]^5 \\ &= \left(\dfrac{5 \cdot 8}{4 \cdot 5}\right)^5 \\ &= 2^5 = 32 \end{aligned} $$
Podpunkt e) Obliczamy wartość wyrażenia $(1,5)^4 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)^4$:
Wykładniki są identyczne, dlatego mnożymy podstawy pod wspólnym wykładnikiem. Zamieniamy $1,5$ na ułamek zwykły $\frac{3}{2}$: $$ \begin{aligned} (1,5)^4 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)^4 &= \left[1,5 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)\right]^4 \\ &= \left[\dfrac{3}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)\right]^4 \\ &= \left(-\dfrac{1}{2}\right)^4 \\ &= \dfrac{1}{16} = 0,0625 \end{aligned} $$
Podpunkt f) Obliczamy wartość wyrażenia $(-2,4)^6 \cdot \left(\dfrac{25}{36}\right)^3$:
Ułamek dziesiętny zamieniamy na nieskracalny ułamek zwykły: $-2,4 = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5}$. Zauważamy relację $\frac{25}{36} = \left(\frac{5}{6}\right)^2$. Stosujemy potęgowanie potęgi, a potem wspólny wykładnik: $$ \begin{aligned} (-2,4)^6 \cdot \left(\dfrac{25}{36}\right)^3 &= \left(-\dfrac{12}{5}\right)^6 \cdot \left[\left(\dfrac{5}{6}\right)^2\right]^3 \\ &= \left(-\dfrac{12}{5}\right)^6 \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^6 \\ &= \left[\left(-\dfrac{12}{5}\right) \cdot \dfrac{5}{6}\right]^6 \\ &= (-2)^6 = 64 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) $243$

b) $\dfrac{1}{64} = 0,015625$

c) $\dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}$

d) $32$

e) $\dfrac{1}{16} = 0,0625$

f) $64$

Zadanie 2

Oblicz, stosując prawa działań na potęgach:

a) $\left(2\frac{1}{2}\right)^6 : (-2,5)^4$

b) $(-0,5)^{12} : \left(-\frac{1}{2}\right)^9$

c) $(0,8)^4 : \left(\frac{16}{100}\right)^4$

d) $\left(-4\frac{1}{2}\right)^3 : \left(1\frac{1}{2}\right)^3$

e) $\left(1\frac{1}{5}\right)^2 : \left(\frac{18}{25}\right)^2$

f) $(-0,5)^8 : \left(-\frac{1}{2^8}\right)$

Wskazówki:

Iloraz potęg o tej samej podstawie: $a^m : a^n = a^{m-n}$ dla $a \neq 0$.
Iloraz potęg o tym samym wykładniku: $a^n : b^n = (a : b)^n$ dla $b \neq 0$.
Potęgowanie liczby ujemnej: parzysty wykładnik daje wynik dodatni, tj. $(-a)^{2k} = a^{2k}$, a nieparzysty wykładnik daje wynik ujemny, tj. $(-a)^{2k+1} = -a^{2k+1}$.
Doprowadzaj ułamki do jednakowej postaci (zwykłej lub dziesiętnej), a liczby mieszane zamieniaj na ułamki niewłaściwe.

Dane i szukane:

Dane: Wyrażenia arytmetyczne z potęgami w podpunktach a)–f).
Szukane: Wartości liczbowe wyrażeń z podpunktów a)–f).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie wartości wyrażenia $\left(2\frac{1}{2}\right)^6 : (-2,5)^4$:
Zauważmy, że $2\frac{1}{2} = 2,5$. Ponieważ wykładnik $4$ jest liczbą parzystą, potęga liczby ujemnej daje liczbę dodatnią: $$(-2,5)^4 = (2,5)^4$$ Otrzymujemy iloraz potęg o tej samej podstawie $a = 2,5$, odejmując wykładniki: $$\begin{aligned} \left(2\frac{1}{2}\right)^6 : (-2,5)^4 &= (2,5)^6 : (2,5)^4 \\ &= (2,5)^{6 - 4} \\ &= (2,5)^2 \\ &= 6,25 = 6\frac{1}{4} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczenie wartości wyrażenia $(-0,5)^{12} : \left(-\frac{1}{2}\right)^9$:
Zamieniamy ułamek dziesiętny na ułamek zwykły: $-0,5 = -\frac{1}{2}$. Otrzymujemy iloraz potęg o tej samej ujemnej podstawie $a = -\frac{1}{2}$: $$\begin{aligned} (-0,5)^{12} : \left(-\frac{1}{2}\right)^9 &= \left(-\frac{1}{2}\right)^{12} : \left(-\frac{1}{2}\right)^9 \\ &= \left(-\frac{1}{2}\right)^{12 - 9} \\ &= \left(-\frac{1}{2}\right)^3 \\ &= -\frac{1}{8} = -0,125 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczenie wartości wyrażenia $(0,8)^4 : \left(\frac{16}{100}\right)^4$:
Oba czynniki mają jednakowy wykładnik potęgi równy $4$. Stosujemy prawo o ilorazie potęg o tym samym wykładniku $a^n : b^n = (a : b)^n$. Zapisujemy ułamek dziesiętny w postaci zwykłej $0,8 = \frac{8}{10}$: $$\begin{aligned} (0,8)^4 : \left(\frac{16}{100}\right)^4 &= \left(\frac{8}{10} : \frac{16}{100}\right)^4 \\ &= \left(\frac{8}{10} \cdot \frac{100}{16}\right)^4 \\ &= \left(\frac{1}{1} \cdot \frac{10}{2}\right)^4 \\ &= 5^4 \\ &= 625 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Obliczenie wartości wyrażenia $\left(-4\frac{1}{2}\right)^3 : \left(1\frac{1}{2}\right)^3$:
Wykładnik w obu potęgach wynosi $3$. Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe: $$-4\frac{1}{2} = -\frac{9}{2}, \quad 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ Łączymy dzielenie pod jeden wspólny wykładnik: $$\begin{aligned} \left(-4\frac{1}{2}\right)^3 : \left(1\frac{1}{2}\right)^3 &= \left(-\frac{9}{2} : \frac{3}{2}\right)^3 \\ &= \left(-\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3}\right)^3 \\ &= (-3)^3 \\ &= -27 \end{aligned}$$
Podpunkt e) Obliczenie wartości wyrażenia $\left(1\frac{1}{5}\right)^2 : \left(\frac{18}{25}\right)^2$:
Obie potęgi mają wykładnik $2$. Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$. Wykonujemy dzielenie podstaw: $$\begin{aligned} \left(1\frac{1}{5}\right)^2 : \left(\frac{18}{25}\right)^2 &= \left(\frac{6}{5} : \frac{18}{25}\right)^2 \\ &= \left(\frac{6}{5} \cdot \frac{25}{18}\right)^2 \\ &= \left(\frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 3}\right)^2 \\ &= \left(\frac{5}{3}\right)^2 \\ &= \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9} \end{aligned}$$
Podpunkt f) Obliczenie wartości wyrażenia $(-0,5)^8 : \left(-\frac{1}{2^8}\right)$:
Zamieniamy podstawę pierwszej potęgi na ułamek zwykły: $-0,5 = -\frac{1}{2}$. Wykładnik $8$ jest parzysty, więc: $$(-0,5)^8 = \left(-\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{1^8}{2^8} = \frac{1}{2^8}$$ Dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność: $$\begin{aligned} (-0,5)^8 : \left(-\frac{1}{2^8}\right) &= \frac{1}{2^8} : \left(-\frac{1}{2^8}\right) \\ &= \frac{1}{2^8} \cdot \left(-2^8\right) \\ &= -1 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $6,25 = 6\frac{1}{4}$

b) $-0,125 = -\frac{1}{8}$

c) $625$

d) $-27$

e) $2\frac{7}{9} = \frac{25}{9}$

f) $-1$

Zadanie 3

Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 2:

a) $8^3 \cdot 4^4 : 2^7$

b) $(2^{14} \cdot 2^{17})^2 \cdot 256$

c) $(32^4)^3 : 64^5$

d) $16^8 : (4 \cdot 2^3)^3$

e) $(18^3 : 9^3)^4 \cdot 8$

f) $[(0{,}3)^4 : (0{,}6)^4]^5 \cdot 32^5$

Wskazówki:

Przedstaw wszystkie liczby w postaci potęg o podstawie $2$, pamiętając o podstawowych zależnościach: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$, $32 = 2^5$, $64 = 2^6$, $256 = 2^8$.
Skorzystaj z reguł działań na potęgach: iloczynu potęg o tej samej podstawie $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, ilorazu potęg $a^m : a^n = a^{m-n}$ oraz potęgowania potęgi $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
W przypadku ilorazu liczb o jednakowym wykładniku zastosuj wzór $a^n : b^n = (a : b)^n$.
Pamiętaj o ujemnym wykładniku: ułamek $\dfrac{1}{2}$ to $2^{-1}$.

Dane i szukane:

Dane: Wyrażenia arytmetyczne podane w podpunktach a–f.
Szukane: Postać pojedynczej potęgi $2^k$ dla każdego z wyrażeń.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Przekształcamy wyrażenie $8^3 \cdot 4^4 : 2^7$:
Zapisujemy liczby $8$ i $4$ jako potęgi dwójki: $$8 = 2^3, \quad 4 = 2^2$$ Stosujemy regułę potęgowania potęgi $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$\begin{aligned} 8^3 \cdot 4^4 : 2^7 &= (2^3)^3 \cdot (2^2)^4 : 2^7 \\ &= 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot 4} : 2^7 \\ &= 2^9 \cdot 2^8 : 2^7 \end{aligned}$$ Mnożymy i dzielimy potęgi o jednakowej podstawie, dodając i odejmując wykładniki: $$\begin{aligned} 2^9 \cdot 2^8 : 2^7 &= 2^{9 + 8} : 2^7 \\ &= 2^{17} : 2^7 \\ &= 2^{17 - 7} \\ &= 2^{10} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Przekształcamy wyrażenie $(2^{14} \cdot 2^{17})^2 \cdot 256$:
Najpierw upraszczamy iloczyn wewnątrz nawiasu, dodając wykładniki: $$2^{14} \cdot 2^{17} = 2^{14 + 17} = 2^{31}$$ Podnosimy nawias do kwadratu: $$(2^{31})^2 = 2^{31 \cdot 2} = 2^{62}$$ Zapisujemy liczbę $256$ jako $2^8$ i mnożymy: $$\begin{aligned} (2^{14} \cdot 2^{17})^2 \cdot 256 &= 2^{62} \cdot 2^8 \\ &= 2^{62 + 8} \\ &= 2^{70} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Przekształcamy wyrażenie $(32^4)^3 : 64^5$:
Zapisujemy podstawy $32$ i $64$ w postaci potęg dwójki: $$32 = 2^5, \quad 64 = 2^6$$ Wstawiamy do wyrażenia i wymnażamy kolejne wykładniki: $$\begin{aligned} (32^4)^3 &= ((2^5)^4)^3 = 2^{5 \cdot 4 \cdot 3} = 2^{60} \\ 64^5 &= (2^6)^5 = 2^{6 \cdot 5} = 2^{30} \end{aligned}$$ Dzielimy potęgi, odejmując wykładnik mianownika od licznika: $$\begin{aligned} (32^4)^3 : 64^5 &= 2^{60} : 2^{30} \\ &= 2^{60 - 30} \\ &= 2^{30} \end{aligned}$$
Podpunkt d) Przekształcamy wyrażenie $16^8 : (4 \cdot 2^3)^3$:
Przedstawiamy liczbę $16$ jako $2^4$: $$16^8 = (2^4)^8 = 2^{4 \cdot 8} = 2^{32}$$ Upraszczamy wnętrze nawiasu, korzystając z faktu, że $4 = 2^2$: $$4 \cdot 2^3 = 2^2 \cdot 2^3 = 2^{2 + 3} = 2^5$$ Podnosimy nawias do sześcianu: $$(2^5)^3 = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}$$ Wykonujemy dzielenie końcowe: $$\begin{aligned} 16^8 : (4 \cdot 2^3)^3 &= 2^{32} : 2^{15} \\ &= 2^{32 - 15} \\ &= 2^{17} \end{aligned}$$
Podpunkt e) Przekształcamy wyrażenie $(18^3 : 9^3)^4 \cdot 8$:
Stosujemy własność ilorazu potęg o jednakowych wykładnikach $a^n : b^n = (a : b)^n$: $$18^3 : 9^3 = (18 : 9)^3 = 2^3$$ Podnosimy otrzymaną potęgę do wykładnika $4$: $$(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$$ Mnożymy przez liczbę $8 = 2^3$: $$\begin{aligned} (18^3 : 9^3)^4 \cdot 8 &= 2^{12} \cdot 2^3 \\ &= 2^{12 + 3} \\ &= 2^{15} \end{aligned}$$
Podpunkt f) Przekształcamy wyrażenie $[(0{,}3)^4 : (0{,}6)^4]^5 \cdot 32^5$:
Wewnątrz nawiasu kwadratowego łączymy dzielenie pod wspólny wykładnik: $$(0{,}3)^4 : (0{,}6)^4 = (0{,}3 : 0{,}6)^4$$ Wykonujemy dzielenie ułamków dziesiętnych: $$0{,}3 : 0{,}6 = \dfrac{0{,}3}{0{,}6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$ Zapisujemy ułamek $\dfrac{1}{2}$ jako potęgę o wykładniku ujemnym: $$\dfrac{1}{2} = 2^{-1} \implies \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = (2^{-1})^4 = 2^{-4}$$ Podnosimy do potęgi $5$: $$(2^{-4})^5 = 2^{-4 \cdot 5} = 2^{-20}$$ Zapisujemy czynnik $32^5$ przy podstawie $2$: $$32^5 = (2^5)^5 = 2^{5 \cdot 5} = 2^{25}$$ Wykonujemy ostateczne mnożenie potęg: $$\begin{aligned} [(0{,}3)^4 : (0{,}6)^4]^5 \cdot 32^5 &= 2^{-20} \cdot 2^{25} \\ &= 2^{-20 + 25} \\ &= 2^5 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $2^{10}$

b) $2^{70}$

c) $2^{30}$

d) $2^{17}$

e) $2^{15}$

f) $2^5$

Zadanie 4

Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 2:

a) $32 \cdot 64$

b) $512^2 : 16^3$

c) $(2^4 \cdot 8)^3 \cdot 64$

d) $(22^3 : 11^3)^2 : 16$

e) $(4^3 \cdot 32)^5 : 128^6$

f) $(12^2 \cdot 32^3)^2 : (9 \cdot 2^{17})^2$

Wskazówki:

Przedstaw każdą liczbę występującą w wyrażeniach jako potęgę liczby 2: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$, $32 = 2^5$, $64 = 2^6$, $128 = 2^7$, $512 = 2^9$.
Zastosuj podstawowe prawa działań na potęgach:
– mnożenie potęg o tej samej podstawie: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$,
– dzielenie potęg o tej samej podstawie: $a^m : a^n = a^{m-n}$,
– potęgowanie potęgi: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$,
– potęga ilorazu o jednakowych wykładnikach: $a^n : b^n = (a : b)^n$,
– potęga iloczynu: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

Dane i szukane:

Dane: Wyrażenia liczbowe w podpunktach a)–f) zbudowane z potęg i iloczynów liczb całkowitych.
Szukane: Postać pojedynczej potęgi o podstawie 2, czyli $2^n$, dla każdego z podpunktów.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Upraszczamy iloczyn $32 \cdot 64$:
Zapisujemy obie liczby w postaci potęg o podstawie 2: $$32 = 2^5, \quad 64 = 2^6$$ Stosujemy wzór na mnożenie potęg o tej samej podstawie $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$\begin{aligned} 32 \cdot 64 &= 2^5 \cdot 2^6 \\ &= 2^{5 + 6} \\ &= 2^{11} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Upraszczamy iloraz $512^2 : 16^3$:
Zapisujemy podstawy potęg jako potęgi liczby 2: $$512 = 2^9, \quad 16 = 2^4$$ Wstawiamy je do wyrażenia i korzystamy ze wzoru na potęgowanie potęgi $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$\begin{aligned} 512^2 : 16^3 &= (2^9)^2 : (2^4)^3 \\ &= 2^{9 \cdot 2} : 2^{4 \cdot 3} \\ &= 2^{18} : 2^{12} \end{aligned}$$ Następnie odejmujemy wykładniki zgodnie z regułą dzielenia potęg $a^m : a^n = a^{m-n}$: $$\begin{aligned} 2^{18} : 2^{12} &= 2^{18 - 12} \\ &= 2^6 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczamy wartość wyrażenia $(2^4 \cdot 8)^3 \cdot 64$:
Zastępujemy liczby $8$ i $64$ potęgami dwójki: $$8 = 2^3, \quad 64 = 2^6$$ Wykonujemy mnożenie wewnątrz nawiasu: $$\begin{aligned} 2^4 \cdot 8 &= 2^4 \cdot 2^3 \\ &= 2^{4 + 3} \\ &= 2^7 \end{aligned}$$ Podnosimy nawias do potęgi 3, a następnie mnożymy przez $64$: $$\begin{aligned} (2^4 \cdot 8)^3 \cdot 64 &= (2^7)^3 \cdot 2^6 \\ &= 2^{7 \cdot 3} \cdot 2^6 \\ &= 2^{21} \cdot 2^6 \\ &= 2^{21 + 6} \\ &= 2^{27} \end{aligned}$$
Podpunkt d) Upraszczamy wyrażenie $(22^3 : 11^3)^2 : 16$:
Wewnątrz nawiasu dzielimy potęgi o takim samym wykładniku: $a^n : b^n = (a : b)^n$: $$\begin{aligned} 22^3 : 11^3 &= (22 : 11)^3 \\ &= 2^3 \end{aligned}$$ Zapisujemy liczbę $16$ jako $2^4$ i wykonujemy kolejne działania: $$\begin{aligned} (2^3)^2 : 16 &= 2^{3 \cdot 2} : 2^4 \\ &= 2^6 : 2^4 \\ &= 2^{6 - 4} \\ &= 2^2 \end{aligned}$$
Podpunkt e) Upraszczamy wyrażenie $(4^3 \cdot 32)^5 : 128^6$:
Sprowadzamy wszystkie podstawy do liczby 2: $$4 = 2^2, \quad 32 = 2^5, \quad 128 = 2^7$$ Obliczamy wartość wewnątrz nawiasu: $$\begin{aligned} 4^3 \cdot 32 &= (2^2)^3 \cdot 2^5 \\ &= 2^6 \cdot 2^5 \\ &= 2^{6 + 5} \\ &= 2^{11} \end{aligned}$$ Podnosimy wynik do potęgi 5 oraz zapisujemy dzielnik jako potęgę dwójki: $$\begin{aligned} (4^3 \cdot 32)^5 : 128^6 &= (2^{11})^5 : (2^7)^6 \\ &= 2^{11 \cdot 5} : 2^{7 \cdot 6} \\ &= 2^{55} : 2^{42} \\ &= 2^{55 - 42} \\ &= 2^{13} \end{aligned}$$
Podpunkt f) Rozwiązujemy wyrażenie $(12^2 \cdot 32^3)^2 : (9 \cdot 2^{17})^2$:
Rozkładamy liczbę $12$ na czynniki: $12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2$, co daje: $$12^2 = (3 \cdot 2^2)^2 = 3^2 \cdot (2^2)^2 = 9 \cdot 2^4$$ Liczba $32^3$ to: $$32^3 = (2^5)^3 = 2^{15}$$ Wyrażenie w pierwszym nawiasie wynosi: $$\begin{aligned} 12^2 \cdot 32^3 &= 9 \cdot 2^4 \cdot 2^{15} \\ &= 9 \cdot 2^{4 + 15} \\ &= 9 \cdot 2^{19} \end{aligned}$$ Podnosimy oba nawiasy do kwadratu za pomocą wzoru $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$: $$\begin{aligned} (12^2 \cdot 32^3)^2 &= (9 \cdot 2^{19})^2 \\ &= 9^2 \cdot 2^{38} \end{aligned}$$ $$(9 \cdot 2^{17})^2 = 9^2 \cdot 2^{34}$$ Dzielimy oba wyrażenia i redukujemy powtarzający się czynnik $9^2$: $$\begin{aligned} (12^2 \cdot 32^3)^2 : (9 \cdot 2^{17})^2 &= \dfrac{9^2 \cdot 2^{38}}{9^2 \cdot 2^{34}} \\ &= \dfrac{9^2}{9^2} \cdot \dfrac{2^{38}}{2^{34}} \\ &= 1 \cdot 2^{38 - 34} \\ &= 2^4 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $2^{11}$

b) $2^6$

c) $2^{27}$

d) $2^2$

e) $2^{13}$

f) $2^4$

Zadanie 5

Wpisz w kratkę odpowiedni wykładnik potęgi:
a) Średnica Jowisza wynosi około 143 000 km, czyli $1{,}43 \cdot 10^{\Box}\text{ km}$.
b) Mars jest oddalony od Słońca o 228 milionów kilometrów, czyli o $2{,}28 \cdot 10^{\Box}\text{ km}$.
c) Saturn jest oddalony od Słońca o około 1,4 miliarda kilometrów, czyli $0{,}14 \cdot 10^{\Box}\text{ km}$.
d) Odległość między Ziemią a Księżycem wynosi około 384 tysiące kilometrów, czyli $38{,}4 \cdot 10^{\Box}\text{ km}$.

Wskazówki:

Przedstaw słowny zapis rzędu wielkości w pełnej postaci dziesiętnej: tysiąc to $1\,000 = 10^3$, milion to $1\,000\,000 = 10^6$, a miliard to $1\,000\,000\,000 = 10^9$.
Wyłącz podaną przed potęgą liczbę i policz, przez jaką potęgę liczby 10 (liczbę zer) należy ją pomnożyć, aby otrzymać wyjściową wartość.

Dane i szukane:

Dane:
Podpunkt a): $d_a = 143\,000\text{ km} = 1{,}43 \cdot 10^{n_a}\text{ km}$
Podpunkt b): $d_b = 228\text{ mln km} = 228\,000\,000\text{ km} = 2{,}28 \cdot 10^{n_b}\text{ km}$
Podpunkt c): $d_c = 1{,}4\text{ mld km} = 1\,400\,000\,000\text{ km} = 0{,}14 \cdot 10^{n_c}\text{ km}$
Podpunkt d): $d_d = 384\text{ tys. km} = 384\,000\text{ km} = 38{,}4 \cdot 10^{n_d}\text{ km}$
Szukane:
Wartości wykładników potęg: $n_a = ?$, $n_b = ?$, $n_c = ?$, $n_d = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie wykładnika dla średnicy Jowisza $143\,000\text{ km} = 1{,}43 \cdot 10^{\Box}\text{ km}$:
Zapisujemy liczbę $143\,000$ w postaci iloczynu liczby $1{,}43$ i odpowiedniej potęgi dziesiątki: $$\begin{aligned} 143\,000 &= 1{,}43 \cdot 100\,000 \\ &= 1{,}43 \cdot 10^5 \end{aligned}$$ W kratkę należy wpisać liczbę $5$.
Podpunkt b) Wyznaczenie wykładnika dla odległości Marsa od Słońca $228\text{ mln km} = 2{,}28 \cdot 10^{\Box}\text{ km}$:
Jeden milion to $10^6$, czyli liczba 228 milionów ma postać $228\,000\,000$. Wyłączamy czynnik $2{,}28$: $$\begin{aligned} 228\,000\,000 &= 2{,}28 \cdot 100\,000\,000 \\ &= 2{,}28 \cdot 10^8 \end{aligned}$$ W kratkę należy wpisać liczbę $8$.
Podpunkt c) Wyznaczenie wykładnika dla odległości Saturna od Słońca $1{,}4\text{ mld km} = 0{,}14 \cdot 10^{\Box}\text{ km}$:
Jeden miliard to $10^9$, zatem $1{,}4\text{ mld} = 1\,400\,000\,000$. Doprowadzamy liczbę do postaci z czynnikiem $0{,}14$: $$\begin{aligned} 1\,400\,000\,000 &= 0{,}14 \cdot 10\,000\,000\,000 \\ &= 0{,}14 \cdot 10^{10} \end{aligned}$$ W kratkę należy wpisać liczbę $10$.
Podpunkt d) Wyznaczenie wykładnika dla odległości Ziemia–Księżyc $384\text{ tys. km} = 38{,}4 \cdot 10^{\Box}\text{ km}$:
Jeden tysiąc to $10^3$, stąd $384\text{ tysiące} = 384\,000$. Wyłączamy liczbę $38{,}4$: $$\begin{aligned} 384\,000 &= 38{,}4 \cdot 10\,000 \\ &= 38{,}4 \cdot 10^4 \end{aligned}$$ W kratkę należy wpisać liczbę $4$.

Odpowiedź:
a) $5$

b) $8$

c) $10$

d) $4$

Grupa B

Zadanie 1

Oblicz, stosując prawa działań na potęgach:

a) $-2^4 \cdot (-2)^3$

b) $(0,2)^2 \cdot (0,2)^2$

c) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^5 \cdot \left(1\dfrac{7}{9}\right)^3$

d) $\left(-1\dfrac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(-1\dfrac{1}{3}\right)^5$

e) $(2,5)^4 \cdot \left(-\dfrac{1}{5}\right)^4$

f) $(-3,5)^6 \cdot \left(\dfrac{16}{49}\right)^3$

Zadanie 2

Oblicz, stosując prawa działań na potęgach:

a) $\left(1\frac{1}{4}\right)^6 : (-1,25)^4$

b) $(-0,2)^9 : \left(-\frac{1}{5}\right)^6$

c) $(0,6)^3 : \left(\frac{12}{100}\right)^3$

d) $\left(-2\frac{2}{3}\right)^3 : \left(1\frac{1}{3}\right)^3$

e) $\left(1\frac{2}{3}\right)^2 : \left(\frac{25}{27}\right)^2$

f) $(-0,2)^{10} : \left(-\frac{1}{5^{10}}\right)$

Zadanie 3

Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 2:

a) $4^6 \cdot 8^2 : 2^7$

b) $(2^{15} \cdot 2^{11})^3 \cdot 64$

c) $(32^2)^6 : 64^3$

d) $16^{10} : (4 \cdot 2^5)^3$

e) $(12^3 : 6^3)^4 \cdot 32$

f) $[(0{,}6)^4 : (1{,}2)^4]^5 \cdot 32^6$

Zadanie 4

Przedstaw liczbę w postaci potęgi o podstawie 5:

a) $125 \cdot 25$

b) $625^2 : 25^3$

c) $(5^3 \cdot 25)^2 \cdot 125$

d) $(35^3 : 7^3)^2 : 25^2$

e) $(25^3 \cdot 125)^4 : 625^5$

f) $(20^2 \cdot 125^3)^2 : (16 \cdot 5^{10})^2$

Zadanie 5

Wpisz w kratkę odpowiedni wykładnik potęgi:
a) Średnica Ziemi na równiku wynosi w zaokrągleniu 12 800 km, czyli $1{,}28 \cdot 10^{\Box}\text{ km}$.
b) Wenus jest oddalona od Słońca o 108 milionów kilometrów, czyli o $1{,}08 \cdot 10^{\Box}\text{ km}$.
c) Uran jest oddalony od Słońca o około 2,87 miliarda kilometrów, czyli $0{,}287 \cdot 10^{\Box}\text{ km}$.
d) Odległość sondy kosmicznej od Ziemi wynosi 450 milionów kilometrów, czyli $45 \cdot 10^{\Box}\text{ km}$.

2.1 Potęga o wykładniku naturalnym

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋