Przybliżenia, błąd bezwzględny i błąd względny, szacowanie kartkówka LiczBit

1.11 Przybliżenia, błąd bezwzględny i błąd względny, szacowanie

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Wykonaj podane zaokrąglenia liczb:
a) do jednego miejsca po przecinku: $0{,}348$; $0{,}6815$; $0{,}42901$; $0{,}0832$
b) do części setnych: $1{,}463$; $0{,}2896$; $84{,}5249$; $400{,}8251$
c) do setek: $4620$; $18362$; $341852$; $274$

Wskazówki:

Wyznaczamy cyfrę rzędu, do którego zaokrąglamy liczbę, a następnie sprawdzamy pierwszą cyfrę po jej prawej stronie (pierwszą odrzucaną cyfrę).
Jeśli pierwsza odrzucana cyfra należy do zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4\}$, zaokrąglamy w dół (cyfra w rzędzie zaokrąglenia pozostaje bez zmian).
Jeśli pierwsza odrzucana cyfra należy do zbioru $\{5, 6, 7, 8, 9\}$, zaokrąglamy w górę (cyfrę w rzędzie zaokrąglenia powiększamy o 1).
W przypadku zaokrąglania liczb całkowitych (np. do setek) odrzucone pozycje dziesiątek i jedności zastępujemy zerami.

Dane i szukane:

Dane:
• Podpunkt a): liczby $0{,}348$; $0{,}6815$; $0{,}42901$; $0{,}0832$
• Podpunkt b): liczby $1{,}463$; $0{,}2896$; $84{,}5249$; $400{,}8251$
• Podpunkt c): liczby $4620$; $18362$; $341852$; $274$
Szukane:
Zaokrąglenia liczb do odpowiednich rzędów wielkości.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Zaokrąglenie do jednego miejsca po przecinku (do części dziesiątych):
O wartości zaokrąglenia decyduje druga cyfra po przecinku (cyfra części setnych):
• Dla liczby $0{,}348$: cyfrą części setnych jest $4$ ($4 < 5$), zaokrąglamy w dół: $$0{,}348 \approx 0{,}3$$ • Dla liczby $0{,}6815$: cyfrą części setnych jest $8$ ($8 \ge 5$), zaokrąglamy w górę: $$0{,}6815 \approx 0{,}7$$ • Dla liczby $0{,}42901$: cyfrą części setnych jest $2$ ($2 < 5$), zaokrąglamy w dół: $$0{,}42901 \approx 0{,}4$$ • Dla liczby $0{,}0832$: cyfrą części setnych jest $8$ ($8 \ge 5$), zaokrąglamy w górę: $$0{,}0832 \approx 0{,}1$$
Podpunkt b) Zaokrąglenie do części setnych (do dwóch miejsc po przecinku):
O wartości zaokrąglenia decyduje trzecia cyfra po przecinku (cyfra części tysięcznych):
• Dla liczby $1{,}463$: cyfrą części tysięcznych jest $3$ ($3 < 5$), zaokrąglamy w dół: $$1{,}463 \approx 1{,}46$$ • Dla liczby $0{,}2896$: cyfrą części tysięcznych jest $9$ ($9 \ge 5$), zaokrąglamy w górę: $$0{,}2896 \approx 0{,}29$$ • Dla liczby $84{,}5249$: cyfrą części tysięcznych jest $4$ ($4 < 5$), zaokrąglamy w dół: $$84{,}5249 \approx 84{,}52$$ • Dla liczby $400{,}8251$: cyfrą części tysięcznych jest $5$ ($5 \ge 5$), zaokrąglamy w górę: $$400{,}8251 \approx 400{,}83$$
Podpunkt c) Zaokrąglenie do setek:
O wartości zaokrąglenia decyduje cyfra stojąca w rzędzie dziesiątek (tuż przed rzędem setek):
• Dla liczby $4620$: cyfrą dziesiątek jest $2$ ($2 < 5$), zaokrąglamy w dół: $$4620 \approx 4600$$ • Dla liczby $18362$: cyfrą dziesiątek jest $6$ ($6 \ge 5$), zaokrąglamy w górę: $$18362 \approx 18400$$ • Dla liczby $341852$: cyfrą dziesiątek jest $5$ ($5 \ge 5$), zaokrąglamy w górę: $$341852 \approx 341900$$ • Dla liczby $274$: cyfrą dziesiątek jest $7$ ($7 \ge 5$), zaokrąglamy w górę: $$274 \approx 300$$

Odpowiedź:
a) $0{,}348 \approx 0{,}3$; $0{,}6815 \approx 0{,}7$; $0{,}42901 \approx 0{,}4$; $0{,}0832 \approx 0{,}1$

b) $1{,}463 \approx 1{,}46$; $0{,}2896 \approx 0{,}29$; $84{,}5249 \approx 84{,}52$; $400{,}8251 \approx 400{,}83$

c) $4620 \approx 4600$; $18362 \approx 18400$; $341852 \approx 341900$; $274 \approx 300$

Zadanie 2

Pan Tomasz wziął kredyt w wysokości 10 000 zł z banku, w którym oprocentowanie roczne dla kredytów gotówkowych wynosi 12%, z miesięczną kapitalizacją odsetek. Kredyt zaczął spłacać po dwóch miesiącach od daty pożyczki i spłacił w ciągu kolejnych 5 miesięcy, w równych ratach kwoty kredytu, do których były doliczane odsetki za niespłaconą kwotę kredytu. Oblicz kwotę odsetek, jaką pan Tomasz zapłacił bankowi oraz jaki procent pożyczonej kwoty stanowiły te odsetki.

Wskazówki:

Wyznacz miesięczną stopę procentową, dzieląc roczną stopę przez 12 miesięcy.
W okresie karencji (pierwsze 2 miesiące) odsetki są dopisywane do kwoty zadłużenia (kapitalizowane).
Równa rata kwoty kredytu to część kapitałowa – podziel początkowy kredyt przez liczbę miesięcy spłaty.
Odsetki w okresie spłaty maleją co miesiąc, tworząc ciąg arytmetyczny.

Dane i szukane:

Dane:
Kwota pożyczonego kredytu: $K = 10\,000\text{ zł}$
Roczna stopa procentowa: $r = 12\%$
Okres karencji: $k = 2\text{ miesiące}$
Liczba rat spłaty: $n = 5\text{ miesięcy}$

Szukane:
Łączna kwota odsetek zapłaconych bankowi: $O_c = ?$
Procent pożyczonej kwoty stanowiący odsetki: $p_o = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie miesięcznej stopy procentowej:
Kapitalizacja następuje w cyklu miesięcznym, dlatego roczną stopę procentową dzielimy przez 12 miesięcy w roku: $$p = \dfrac{12\%}{12} = 1\% = 0{,}01$$
Obliczenie odsetek skapitalizowanych w okresie karencji (pierwsze 2 miesiące):
Przez pierwsze dwa miesiące kredytobiorca nie dokonuje żadnych spłat, więc naliczone odsetki powiększają kapitał zadłużenia.
Odsetki po pierwszym miesiącu: $$O_1 = 10\,000\text{ zł} \cdot 0{,}01 = 100\text{ zł}$$ Zadłużenie po pierwszym miesiącu wynosi zatem: $$K_1 = 10\,000\text{ zł} + 100\text{ zł} = 10\,100\text{ zł}$$ Odsetki po drugim miesiącu naliczane są od nowej kwoty zadłużenia: $$O_2 = 10\,100\text{ zł} \cdot 0{,}01 = 101\text{ zł}$$ Łączna kwota odsetek dopisanych do kredytu w okresie karencji wynosi: $$\begin{aligned} O_{\text{kap}} &= O_1 + O_2 \\ &= 100\text{ zł} + 101\text{ zł} \\ &= 201\text{ zł} \end{aligned}$$
Wyznaczenie stałej raty kapitałowej:
Pożyczona kwota $K = 10\,000\text{ zł}$ spłacana jest w 5 równych ratach kapitałowych $R_k$: $$R_k = \dfrac{10\,000\text{ zł}}{5} = 2000\text{ zł}$$ Oznacza to, że po każdej wpłacie kwota niespłaconego kapitału zmniejsza się dokładnie o $2000\text{ zł}$.
Obliczenie sumy odsetek doliczanych w trakcie spłaty kredytu:
W każdym miesiącu spłaty odsetki są naliczane od pozostałej, jeszcze niespłaconej kwoty kredytu.

Sposób I – Wyliczenie odsetek miesiąc po miesiącu:
W kolejnych miesiącach kwoty niespłaconego kapitału wynoszą odpowiednio $10\,000\text{ zł}$, $8000\text{ zł}$, $6000\text{ zł}$, $4000\text{ zł}$ oraz $2000\text{ zł}$: $$\begin{aligned} O_{s_1} &= 10\,000\text{ zł} \cdot 0{,}01 = 100\text{ zł} \\ O_{s_2} &= 8000\text{ zł} \cdot 0{,}01 = 80\text{ zł} \\ O_{s_3} &= 6000\text{ zł} \cdot 0{,}01 = 60\text{ zł} \\ O_{s_4} &= 4000\text{ zł} \cdot 0{,}01 = 40\text{ zł} \\ O_{s_5} &= 2000\text{ zł} \cdot 0{,}01 = 20\text{ zł} \end{aligned}$$ Suma odsetek doliczonych do poszczególnych rat wynosi: $$\begin{aligned} O_{\text{spł}} &= 100 + 80 + 60 + 40 + 20 \\ &= 300\text{ zł} \end{aligned}$$
Sposób II – Zastosowanie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:
Ponieważ kwota kapitału zmniejsza się co miesiąc o stałą wartość, kwoty odsetek tworzą malejący ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $a_1 = 100\text{ zł}$, ostatnim wyrazie $a_5 = 20\text{ zł}$ oraz liczbie wyrazów $n = 5$: $$\begin{aligned} O_{\text{spł}} &= \dfrac{a_1 + a_5}{2} \cdot n \\ &= \dfrac{100\text{ zł} + 20\text{ zł}}{2} \cdot 5 \\ &= 60\text{ zł} \cdot 5 = 300\text{ zł} \end{aligned}$$
Obliczenie całkowitej kwoty zapłaconych odsetek:
Łączny koszt odsetkowy to suma odsetek z okresu karencji oraz z okresu spłaty rat: $$\begin{aligned} O_c &= O_{\text{kap}} + O_{\text{spł}} \\ &= 201\text{ zł} + 300\text{ zł} \\ &= 501\text{ zł} \end{aligned}$$
Obliczenie procentowego udziału odsetek w pożyczonej kwocie:
Obliczamy, jaki procent początkowej kwoty kredytu ($10\,000\text{ zł}$) stanowi wyznaczona kwota odsetek: $$\begin{aligned} p_o &= \dfrac{O_c}{K} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{501\text{ zł}}{10\,000\text{ zł}} \cdot 100\% \\ &= 5{,}01\% \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Kwota odsetek: $501\text{ zł}$

Procent pożyczonej kwoty: $5{,}01\%$

Zadanie 3

Oceń, w którym przybliżeniu popełniono mniejszy błąd:

a)

	Kilimandżaro	Babia Góra
wysokość rzeczywista	$5895\text{ m}$	$1725\text{ m}$
wysokość przybliżona	$5900\text{ m}$	$1722\text{ m}$

	Wisła	Bug
długość rzeczywista	$1047\text{ km}$	$772\text{ km}$
długość przybliżona	$1040\text{ km}$	$765\text{ km}$

Wskazówki:

Błąd bezwzględny $\Delta x = |x - a|$ określa jedynie bezwzględną wielkość pomyłki w danych jednostkach (metrach, kilometrach).
Błąd względny $\delta = \dfrac{|x - a|}{x}$ (często wyrażany w procentach jako $\delta_{\%} = \delta \cdot 100\%$) odnosi wielkość pomyłki do rzeczywistej wielkości mierzonego obiektu.
O rzetelności, dokładności i jakości przybliżenia w naukach ścisłych decyduje zawsze błąd względny – przybliżenie jest tym dokładniejsze, im mniejszy jest jego błąd względny.

Dane i szukane:

Dane do podpunktu a):
Kilimandżaro: wartość rzeczywista $x_1 = 5895\text{ m}$, wartość przybliżona $a_1 = 5900\text{ m}$
Babia Góra: wartość rzeczywista $x_2 = 1725\text{ m}$, wartość przybliżona $a_2 = 1722\text{ m}$

Dane do podpunktu b):
Wisła: wartość rzeczywista $x_3 = 1047\text{ km}$, wartość przybliżona $a_3 = 1040\text{ km}$
Bug: wartość rzeczywista $x_4 = 772\text{ km}$, wartość przybliżona $a_4 = 765\text{ km}$

Szukane:
Błędy bezwzględne ($\Delta x$) oraz błędy względne ($\delta_{\%}$) dla każdego obiektu i ocena, które przybliżenie obarczone jest mniejszym błędem.

Rozwiązanie krok po kroku:

Definicje błędu bezwzględnego i względnego:
Niech $x$ oznacza dokładną wartość wielkości, a $a$ jej wartość przybliżoną.
Błąd bezwzględny definiujemy jako wartość bezwzględną różnicy między wartością rzeczywistą a przybliżoną: $$\Delta x = |x - a|$$ Błąd względny procentowy to stosunek błędu bezwzględnego do wartości rzeczywistej, wyrażony w procentach: $$\delta_{\%} = \dfrac{\Delta x}{x} \cdot 100\% = \dfrac{|x - a|}{x} \cdot 100\%$$ Gdy oceniamy jakość przybliżeń różnych wielkości, miarą rozstrzygającą jest błąd względny.
Podpunkt a) Obliczenie i porównanie błędów przybliżenia wysokości gór:
Dla Kilimandżaro wyznaczamy błąd bezwzględny oraz błąd względny: $$\begin{aligned} \Delta x_1 &= |5895\text{ m} - 5900\text{ m}| \\ &= |-5\text{ m}| \\ &= 5\text{ m} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \delta_{\%1} &= \dfrac{5\text{ m}}{5895\text{ m}} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{500}{5895}\% \\ &\approx 0{,}0848\% \approx 0{,}085\% \end{aligned}$$ Dla Babiej Góry wyznaczamy błąd bezwzględny oraz błąd względny: $$\begin{aligned} \Delta x_2 &= |1725\text{ m} - 1722\text{ m}| \\ &= |3\text{ m}| \\ &= 3\text{ m} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \delta_{\%2} &= \dfrac{3\text{ m}}{1725\text{ m}} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{300}{1725}\% \\ &\approx 0{,}1739\% \approx 0{,}174\% \end{aligned}$$ Porównanie wyników: $$\Delta x_2 < \Delta x_1 \quad (3\text{ m} < 5\text{ m})$$ $$\delta_{\%1} < \delta_{\%2} \quad (0{,}085\% < 0{,}174\%)$$ Choć błąd bezwzględny jest mniejszy w przypadku Babiej Góry, to błąd względny dla Kilimandżaro jest ponad dwukrotnie mniejszy. Oznacza to, że przybliżenie wysokości Kilimandżaro jest znacznie dokładniejsze i to w nim popełniono mniejszy błąd.
Podpunkt b) Obliczenie i porównanie błędów przybliżenia długości rzek:
Dla Wisły wyznaczamy błąd bezwzględny oraz błąd względny: $$\begin{aligned} \Delta x_3 &= |1047\text{ km} - 1040\text{ km}| \\ &= 7\text{ km} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \delta_{\%3} &= \dfrac{7\text{ km}}{1047\text{ km}} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{700}{1047}\% \\ &\approx 0{,}6686\% \approx 0{,}67\% \end{aligned}$$ Dla Bugu wyznaczamy błąd bezwzględny oraz błąd względny: $$\begin{aligned} \Delta x_4 &= |772\text{ km} - 765\text{ km}| \\ &= 7\text{ km} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \delta_{\%4} &= \dfrac{7\text{ km}}{772\text{ km}} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{700}{772}\% \\ &\approx 0{,}9067\% \approx 0{,}91\% \end{aligned}$$ Porównanie wyników: $$\Delta x_3 = \Delta x_4 = 7\text{ km}$$ $$\delta_{\%3} < \delta_{\%4} \quad (0{,}67\% < 0{,}91\%)$$ Błędy bezwzględne obu przybliżeń są identyczne i wynoszą $7\text{ km}$. Jednak błąd względny dla Wisły jest mniejszy, ponieważ ta sama pomyłka $7\text{ km}$ odnosi się do większej długości całkowitej. Zatem w przybliżeniu długości Wisły popełniono mniejszy błąd.

Odpowiedź:
a) Mniejszy błąd bezwzględny popełniono w przypadku Babiej Góry ($3\text{ m} < 5\text{ m}$), jednak o jakości przybliżenia decyduje błąd względny, który jest mniejszy dla Kilimandżaro ($\approx 0{,}085\% < \approx 0{,}174\%$). W ujęciu miarodajnym mniejszy błąd popełniono w przybliżeniu wysokości Kilimandżaro.

b) Błędy bezwzględne obu przybliżeń są równe (wynoszą po $7\text{ km}$), natomiast błąd względny jest mniejszy dla Wisły ($\approx 0{,}67\% < \approx 0{,}91\%$). Mniejszy błąd popełniono w przybliżeniu długości Wisły.

Zadanie 4

Wyznacz liczbę $x$, jeśli:

a) przybliżenie z nadmiarem liczby $x$ jest równe $15{,}6$; błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi $0{,}015$

b) przybliżenie z nadmiarem liczby $x$ jest równe $2{,}45$; błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi $0{,}004$

c) przybliżenie z niedomiarem liczby $x$ jest równe $6{,}8$; błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi $0{,}35$

d) przybliżenie z niedomiarem liczby $x$ jest równe $18{,}305$; błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi $0{,}0025$.

Wskazówki:

Błąd bezwzględny przybliżenia liczby $x$ przez liczbę $a$ to wartość bezwzględna różnicy obu wielkości: $\Delta x = |x - a|$.
Przybliżenie z nadmiarem oznacza, że wartość przybliżona jest większa od wartości dokładnej ($a > x$). Wtedy błąd bezwzględny to $\Delta x = a - x$, skąd $x = a - \Delta x$.
Przybliżenie z niedomiarem oznacza, że wartość przybliżona jest mniejsza od wartości dokładnej ($a < x$). Wtedy błąd bezwzględny to $\Delta x = x - a$, skąd $x = a + \Delta x$.

Dane i szukane:

Dane:
Podpunkt a): $a = 15{,}6$ (nadmiar, czyli $a > x$), $\Delta x = 0{,}015$
Podpunkt b): $a = 2{,}45$ (nadmiar, czyli $a > x$), $\Delta x = 0{,}004$
Podpunkt c): $a = 6{,}8$ (niedomiar, czyli $a < x$), $\Delta x = 0{,}35$
Podpunkt d): $a = 18{,}305$ (niedomiar, czyli $a < x$), $\Delta x = 0{,}0025$

Szukane:
Wartość dokładna liczby $x$ w podpunktach a)–d).

Rozwiązanie krok po kroku:

Definicja błędu bezwzględnego oraz pojęcia nadmiaru i niedomiaru:
Błąd bezwzględny przybliżenia wartości dokładnej $x$ za pomocą liczby $a$ wyraża się wzorem: $$\Delta x = |x - a|$$ Gdy przybliżenie jest z nadmiarem, zachodzi nierówność $a > x$, co po opuszczeniu wartości bezwzględnej daje: $$\Delta x = a - x \implies x = a - \Delta x$$ Gdy przybliżenie jest z niedomiarem, zachodzi nierówność $a < x$, co prowadzi do zależności: $$\Delta x = x - a \implies x = a + \Delta x$$
Podpunkt a) Wyznaczenie liczby $x$ dla przybliżenia z nadmiarem $a = 15{,}6$ i błędu $\Delta x = 0{,}015$:
Ponieważ $15{,}6$ jest przybliżeniem z nadmiarem ($15{,}6 > x$), zapisujemy równanie błędu bezwzględnego: $$\begin{aligned} |x - 15{,}6| &= 0{,}015 \\ 15{,}6 - x &= 0{,}015 \end{aligned}$$ Odejmujemy błąd bezwzględny od wartości przybliżonej: $$\begin{aligned} x &= 15{,}6 - 0{,}015 \\ &= 15{,}585 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie liczby $x$ dla przybliżenia z nadmiarem $a = 2{,}45$ i błędu $\Delta x = 0{,}004$:
Wartość przybliżona przewyższa wartość dokładną ($2{,}45 > x$), zatem: $$\begin{aligned} |x - 2{,}45| &= 0{,}004 \\ 2{,}45 - x &= 0{,}004 \end{aligned}$$ Wyznaczamy liczbę $x$: $$\begin{aligned} x &= 2{,}45 - 0{,}004 \\ &= 2{,}446 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Wyznaczenie liczby $x$ dla przybliżenia z niedomiarem $a = 6{,}8$ i błędu $\Delta x = 0{,}35$:
Wartość przybliżona jest mniejsza od wartości poszukiwanej ($6{,}8 < x$), więc: $$\begin{aligned} |x - 6{,}8| &= 0{,}35 \\ x - 6{,}8 &= 0{,}35 \end{aligned}$$ Dodajemy błąd bezwzględny do wartości przybliżonej: $$\begin{aligned} x &= 6{,}8 + 0{,}35 \\ &= 7{,}15 \end{aligned}$$
Podpunkt d) Wyznaczenie liczby $x$ dla przybliżenia z niedomiarem $a = 18{,}305$ i błędu $\Delta x = 0{,}0025$:
Ponieważ $18{,}305$ jest przybliżeniem z niedomiarem ($18{,}305 < x$), otrzymujemy: $$\begin{aligned} |x - 18{,}305| &= 0{,}0025 \\ x - 18{,}305 &= 0{,}0025 \end{aligned}$$ Obliczamy wartość liczby $x$: $$\begin{aligned} x &= 18{,}305 + 0{,}0025 \\ &= 18{,}3075 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $x = 15{,}585$

b) $x = 2{,}446$

c) $x = 7{,}15$

d) $x = 18{,}3075$

Zadanie 5

Porównaj liczby $x$ i $y$ (nie używając kalkulatora):

a) $x = \dfrac{3\sqrt{2}-1}{4}\quad$ oraz $\quad y = \dfrac{1}{2}$

b) $x = 1,5\quad$ oraz $\quad y = \dfrac{5+3\sqrt{3}}{6}$

c) $x = \dfrac{5+\sqrt{2}}{6}\quad$ oraz $\quad y = \dfrac{7}{6}$

d) $x = \dfrac{4\sqrt{3}-1}{10}\quad$ oraz $\quad y = \dfrac{2\sqrt{3}+2}{10}$

Wskazówki:

Aby porównać dwie liczby bez użycia kalkulatora, najwygodniej jest zbadać znak ich różnicy ($x - y$) lub sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika i porównać ich liczniki.
Jeśli $x - y > 0$, to $x > y$; jeśli $x - y < 0$, to $x < y$.
Wartości pierwiastków można precyzyjnie porównywać, włączając czynnik liczbowy pod znak pierwiastka zgodnie ze wzorem $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ dla $a > 0$.

Dane i szukane:

Dane:
a) $x = \dfrac{3\sqrt{2}-1}{4}$, $y = \dfrac{1}{2}$
b) $x = 1,5$, $y = \dfrac{5+3\sqrt{3}}{6}$
c) $x = \dfrac{5+\sqrt{2}}{6}$, $y = \dfrac{7}{6}$
d) $x = \dfrac{4\sqrt{3}-1}{10}$, $y = \dfrac{2\sqrt{3}+2}{10}$

Szukane:
Relacja wielkości między liczbami $x$ i $y$ w każdym podpunkcie ($x > y$ czy $x < y$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Porównujemy liczby $x = \dfrac{3\sqrt{2}-1}{4}$ oraz $y = \dfrac{1}{2}$:
Sprowadzamy obie liczby do wspólnego mianownika równego $4$: $$y = \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$$
Sposób I – Badanie znaku różnicy:
Obliczamy różnicę $x - y$: $$\begin{aligned} x - y &= \dfrac{3\sqrt{2}-1}{4} - \dfrac{2}{4} \\ &= \dfrac{3\sqrt{2}-1-2}{4} \\ &= \dfrac{3\sqrt{2}-3}{4} \\ &= \dfrac{3(\sqrt{2}-1)}{4} \end{aligned}$$ Ponieważ $2 > 1$, zachodzi $\sqrt{2} > 1$, czyli $\sqrt{2} - 1 > 0$. Oznacza to, że licznik jest dodatni, zatem: $$x - y > 0 \implies x > y$$
Sposób II – Szacowanie wartości licznika:
Włączamy liczbę $3$ pod znak pierwiastka: $$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18}$$ Wiemy, że $18 > 9$, więc $\sqrt{18} > \sqrt{9} = 3$. Stąd: $$\begin{aligned} 3\sqrt{2} - 1 &> 3 - 1 \\ 3\sqrt{2} - 1 &> 2 \end{aligned}$$ Dzieląc obie strony nierówności przez dodatnią liczbę $4$, otrzymujemy: $$\dfrac{3\sqrt{2}-1}{4} > \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \implies x > y$$
Podpunkt b) Porównujemy liczby $x = 1,5$ oraz $y = \dfrac{5+3\sqrt{3}}{6}$:
Zapisujemy liczbę $x$ w postaci ułamka zwykłego o mianowniku $6$: $$x = 1,5 = \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{6}$$
Sposób I – Badanie znaku różnicy:
Obliczamy różnicę $x - y$: $$\begin{aligned} x - y &= \dfrac{9}{6} - \dfrac{5+3\sqrt{3}}{6} \\ &= \dfrac{9 - (5+3\sqrt{3})}{6} \\ &= \dfrac{4 - 3\sqrt{3}}{6} \end{aligned}$$ Włączamy liczbę $3$ pod pierwiastek: $3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{27}$, a liczbę $4$ zapisujemy jako $\sqrt{16}$: $$4 - 3\sqrt{3} = \sqrt{16} - \sqrt{27}$$ Ponieważ $16 < 27$, to $\sqrt{16} < \sqrt{27}$, więc licznik jest ujemny: $$x - y < 0 \implies x < y$$
Sposób II – Porównanie liczników:
Porównujemy liczniki ułamków o tym samym mianowniku: $9$ oraz $5+3\sqrt{3}$. Sprawdzamy relację, odejmując obustronnie liczbę $5$: $$\begin{aligned} 9 - 5 &= 4 \\ (5+3\sqrt{3}) - 5 &= 3\sqrt{3} \end{aligned}$$ Porównujemy liczby dodatnie $4$ oraz $3\sqrt{3}$ poprzez podniesienie ich do kwadratu: $$4^2 = 16, \quad (3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$$ Ponieważ $16 < 27$, to $4 < 3\sqrt{3}$, skąd $9 < 5+3\sqrt{3}$. Wobec tego: $$\dfrac{9}{6} < \dfrac{5+3\sqrt{3}}{6} \implies x < y$$
Podpunkt c) Porównujemy liczby $x = \dfrac{5+\sqrt{2}}{6}$ oraz $y = \dfrac{7}{6}$:
Oba ułamki mają identyczny mianownik równy $6$.

Sposób I – Badanie znaku różnicy:
$$\begin{aligned} x - y &= \dfrac{5+\sqrt{2}}{6} - \dfrac{7}{6} \\ &= \dfrac{5+\sqrt{2}-7}{6} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}-2}{6} \end{aligned}$$ Zapisujemy liczbę $2$ jako $\sqrt{4}$: $$\sqrt{2} - 2 = \sqrt{2} - \sqrt{4} < 0$$ Zatem: $$x - y < 0 \implies x < y$$
Sposób II – Porównanie liczników:
Porównujemy licznik $5+\sqrt{2}$ z liczbą $7$. Wiemy, że $2 < 4$, więc: $$\sqrt{2} < \sqrt{4} = 2$$ Dodajemy obustronnie liczbę $5$: $$5 + \sqrt{2} < 5 + 2 = 7$$ Dzielimy przez $6$: $$\dfrac{5+\sqrt{2}}{6} < \dfrac{7}{6} \implies x < y$$
Podpunkt d) Porównujemy liczby $x = \dfrac{4\sqrt{3}-1}{10}$ oraz $y = \dfrac{2\sqrt{3}+2}{10}$:
Oba ułamki posiadają wspólny mianownik równy $10$.

Sposób I – Badanie znaku różnicy:
$$\begin{aligned} x - y &= \dfrac{4\sqrt{3}-1}{10} - \dfrac{2\sqrt{3}+2}{10} \\ &= \dfrac{(4\sqrt{3}-1) - (2\sqrt{3}+2)}{10} \\ &= \dfrac{4\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}-2}{10} \\ &= \dfrac{2\sqrt{3}-3}{10} \end{aligned}$$ Włączamy współczynniki pod pierwiastki: $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12}$ oraz $3 = \sqrt{9}$: $$2\sqrt{3}-3 = \sqrt{12}-\sqrt{9} > 0$$ Zatem: $$x - y > 0 \implies x > y$$
Sposób II – Przekształcenia równoważne:
Sprawdzamy przypuszczenie $x > y$: $$\dfrac{4\sqrt{3}-1}{10} > \dfrac{2\sqrt{3}+2}{10}$$ Mnożymy obustronnie przez dodatnią liczbę $10$: $$4\sqrt{3}-1 > 2\sqrt{3}+2$$ Przenosimy wyrazy z pierwiastkiem na lewą stronę, a liczby na prawą: $$\begin{aligned} 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} &> 2 + 1 \\ 2\sqrt{3} &> 3 \end{aligned}$$ Podnosimy obie dodatnie strony nierówności do kwadratu: $$\begin{aligned} (2\sqrt{3})^2 &> 3^2 \\ 4 \cdot 3 &> 9 \\ 12 &> 9 \end{aligned}$$ Otrzymana nierówność $12 > 9$ jest prawdziwa, co dowodzi, że: $$x > y$$

Odpowiedź:
a) $x > y$

b) $x < y$

c) $x < y$

d) $x > y$

Grupa B

Zadanie 1

Wykonaj podane zaokrąglenia liczb:
a) do jednego miejsca po przecinku: $0{,}172$; $0{,}5381$; $0{,}81409$; $0{,}0542$
b) do części setnych: $2{,}374$; $0{,}1873$; $52{,}4651$; $200{,}6139$
c) do setek: $5730$; $24681$; $152479$; $186$

Zadanie 2

Pan Michał wziął kredyt w wysokości 8000 zł z banku, w którym oprocentowanie roczne dla kredytów gotówkowych wynosi 24%, z miesięczną kapitalizacją odsetek. Kredyt zaczął spłacać po dwóch miesiącach od daty pożyczki i spłacił w ciągu kolejnych 4 miesięcy, w równych ratach kwoty kredytu, do których były doliczane odsetki za niespłaconą kwotę kredytu. Oblicz kwotę odsetek, jaką pan Michał zapłacił bankowi oraz jaki procent pożyczonej kwoty stanowiły te odsetki.

Zadanie 3

Oceń, w którym przybliżeniu popełniono mniejszy błąd:

a)

	Mount Everest	Giewont
wysokość rzeczywista	$8848\text{ m}$	$1894\text{ m}$
wysokość przybliżona	$8840\text{ m}$	$1890\text{ m}$

	granica Polski z Niemcami	granica Polski z Litwą
długość rzeczywista	$467\text{ km}$	$104\text{ km}$
długość przybliżona	$457\text{ km}$	$94\text{ km}$

Zadanie 4

Wyznacz liczbę $x$, jeśli:

a) przybliżenie z nadmiarem liczby $x$ jest równe $17{,}4$; błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi $0{,}025$

b) przybliżenie z nadmiarem liczby $x$ jest równe $3{,}16$; błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi $0{,}008$

c) przybliżenie z niedomiarem liczby $x$ jest równe $9{,}2$; błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi $0{,}45$

d) przybliżenie z niedomiarem liczby $x$ jest równe $31{,}204$; błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi $0{,}0036$.

Zadanie 5

Porównaj liczby $x$ i $y$ (nie używając kalkulatora):

a) $x = \dfrac{2\sqrt{5}-1}{8}\quad$ oraz $\quad y = \dfrac{1}{2}$

b) $x = 2,5\quad$ oraz $\quad y = \dfrac{7+4\sqrt{2}}{5}$

c) $x = \dfrac{6+\sqrt{7}}{9}\quad$ oraz $\quad y = \dfrac{8}{9}$

d) $x = \dfrac{4\sqrt{2}-3}{6}\quad$ oraz $\quad y = \dfrac{2\sqrt{2}+1}{6}$

1.11 Przybliżenia, błąd bezwzględny i błąd względny, szacowanie

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋

	Kilimandżaro	Babia Góra
wysokość rzeczywista	\(5895\text{ m}\)	\(1725\text{ m}\)
wysokość przybliżona	\(5900\text{ m}\)	\(1722\text{ m}\)

	Wisła	Bug
długość rzeczywista	\(1047\text{ km}\)	\(772\text{ km}\)
długość przybliżona	\(1040\text{ km}\)	\(765\text{ km}\)

	Mount Everest	Giewont
wysokość rzeczywista	\(8848\text{ m}\)	\(1894\text{ m}\)
wysokość przybliżona	\(8840\text{ m}\)	\(1890\text{ m}\)