Punkty procentowe kartkówka LiczBit

1.10 Punkty procentowe

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1

Tabela poniżej przedstawia, ile procent uczniów pewnej szkoły brało udział w dodatkowych kołach zainteresowań przed doposażeniem pracowni i po ich doposażeniu.

zajęcia	robotyka	teatr	szachy	fotografia
przed doposażeniem sal	4%	2,5%	3,2%	5%
po doposażeniu sal	6%	3,5%	4,8%	6,5%

a) O ile punktów procentowych i o ile punktów bazowych wzrosło zainteresowanie poszczególnymi kołami?

b) O ile procent zwiększyła się grupa osób uczęszczająca na dane koła zainteresowań?

Wskazówki:

Zmianę wyrażoną w punktach procentowych ($\text{p.p.}$) obliczamy jako bezwzględną różnicę wartości procentowych: $\Delta p = p_2 - p_1$.
Jeden punkt procentowy odpowiada 100 punktom bazowym ($1\text{ p.p.} = 100\text{ pb}$), co oznacza, że liczbę punktów procentowych mnożymy przez 100.
Względny wzrost procentowy liczby uczestników odnosi się do stanu początkowego (przed doposażeniem): $W = \dfrac{p_2 - p_1}{p_1} \cdot 100\%$.

Dane i szukane:

Dane z tabeli:
• Robotyka: $p_{1,r} = 4\%$, $p_{2,r} = 6\%$
• Teatr: $p_{1,t} = 2{,}5\%$, $p_{2,t} = 3{,}5\%$
• Szachy: $p_{1,s} = 3{,}2\%$, $p_{2,s} = 4{,}8\%$
• Fotografia: $p_{1,f} = 5\%$, $p_{2,f} = 6{,}5\%$
Szukane:
a) Wzrost w punktach procentowych ($\Delta p$) oraz w punktach bazowych ($\Delta pb$) dla poszczególnych zajęć
b) Względny wzrost procentowy ($W$) liczby uczestników poszczególnych zajęć

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie wzrostu w punktach procentowych oraz punktach bazowych:
Wartość w punktach procentowych wyznaczamy ze wzoru: $$\Delta p = p_2 - p_1$$ Następnie zamieniamy punkty procentowe na punkty bazowe, wiedząc, że $1\text{ p.p.} = 100\text{ pb}$: $$\Delta pb = \Delta p \cdot 100$$ Wykonujemy obliczenia dla każdego koła zainteresowań:
• Robotyka: $$\begin{aligned} \Delta p_r &= 6\% - 4\% = 2\text{ p.p.} \\ \Delta pb_r &= 2 \cdot 100 = 200\text{ pb} \end{aligned}$$ • Teatr: $$\begin{aligned} \Delta p_t &= 3{,}5\% - 2{,}5\% = 1\text{ p.p.} \\ \Delta pb_t &= 1 \cdot 100 = 100\text{ pb} \end{aligned}$$ • Szachy: $$\begin{aligned} \Delta p_s &= 4{,}8\% - 3{,}2\% = 1{,}6\text{ p.p.} \\ \Delta pb_s &= 1{,}6 \cdot 100 = 160\text{ pb} \end{aligned}$$ • Fotografia: $$\begin{aligned} \Delta p_f &= 6{,}5\% - 5\% = 1{,}5\text{ p.p.} \\ \Delta pb_f &= 1{,}5 \cdot 100 = 150\text{ pb} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczenie względnego wzrostu procentowego grupy uczestników:
Względną zmianę procentową odniesioną do początkowej liczebności grupy obliczamy według wzoru: $$W = \dfrac{p_2 - p_1}{p_1} \cdot 100\% = \dfrac{\Delta p}{p_1} \cdot 100\%$$ Wykonujemy obliczenia dla poszczególnych zajęć:
• Robotyka: $$\begin{aligned} W_r &= \dfrac{2\%}{4\%} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 100\% \\ &= 50\% \end{aligned}$$ • Teatr: $$\begin{aligned} W_t &= \dfrac{1\%}{2{,}5\%} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{10}{25} \cdot 100\% \\ &= 40\% \end{aligned}$$ • Szachy: $$\begin{aligned} W_s &= \dfrac{1{,}6\%}{3{,}2\%} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 100\% \\ &= 50\% \end{aligned}$$ • Fotografia: $$\begin{aligned} W_f &= \dfrac{1{,}5\%}{5\%} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{15}{50} \cdot 100\% \\ &= 30\% \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) Robotyka: wzrost o $2\text{ p.p.}$ oraz o $200\text{ pb}$
Teatr: wzrost o $1\text{ p.p.}$ oraz o $100\text{ pb}$
Szachy: wzrost o $1{,}6\text{ p.p.}$ oraz o $160\text{ pb}$
Fotografia: wzrost o $1{,}5\text{ p.p.}$ oraz o $150\text{ pb}$

b) Robotyka: o $50\%$
Teatr: o $40\%$
Szachy: o $50\%$
Fotografia: o $30\%$

Zadanie 2

W pewnym liceum badano czytelnictwo w klasach pierwszych. Poniższa tabela przedstawia, jaki procent wszystkich książek wypożyczonych przez klasy pierwsze ze szkolnej biblioteki w danym roku szkolnym wypożyczyły klasy: I a, I b i I c.

I a	I b	I c
22,5%	30%	36%

a) Wyraź w punktach procentowych i w punktach bazowych różnice w czytelnictwie pomiędzy tymi klasami.

b) O ile procent więcej wypożyczyła książek ze szkolnej biblioteki klasa I c od klasy I a?

c) O ile procent mniej wypożyczyła książek ze szkolnej biblioteki klasa I a od klasy I b?

Wskazówki:

Punkt procentowy ($\text{p.p.}$) określa bezwzględną różnicę pomiędzy dwiema wielkościami wyrażonymi w procentach: $\Delta p = p_2 - p_1$.
Jeden punkt bazowy ($\text{pb}$) to jedna setna część punktu procentowego: $1\text{ p.p.} = 100\text{ pb}$.
Względną różnicę procentową obliczamy, dzieląc bezwzględną różnicę przez wielkość bazową (tę, która występuje po słowie „od”) i mnożąc wynik przez $100\%$.
W podpunkcie b) bazą odniesienia jest udział klasy I a, a w podpunkcie c) bazą odniesienia jest udział klasy I b.

Dane i szukane:

Dane:
Udział klasy I a: $p_a = 22{,}5\%$
Udział klasy I b: $p_b = 30\%$
Udział klasy I c: $p_c = 36\%$
Przelicznik punktów bazowych: $1\text{ p.p.} = 100\text{ pb}$
Szukane:
Różnice bezwzględne między parami klas w $\text{p.p.}$ oraz w $\text{pb}$
Względny wzrost czytelnictwa klasy I c względem I a: $w\% = ?$
Względny spadek czytelnictwa klasy I a względem I b: $s\% = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie różnic w czytelnictwie w punktach procentowych i bazowych:
Różnica w punktach procentowych to zwykła różnica arytmetyczna podanych wartości procentowych. Następnie wynik mnożymy przez $100$, aby uzyskać punkty bazowe.

Różnica między klasą I b a klasą I a: $$\begin{aligned} \Delta p_{ba} &= 30\% - 22{,}5\% = 7{,}5\text{ p.p.} \\ \Delta pb_{ba} &= 7{,}5 \cdot 100 = 750\text{ pb} \end{aligned}$$ Różnica między klasą I c a klasą I b: $$\begin{aligned} \Delta p_{cb} &= 36\% - 30\% = 6\text{ p.p.} \\ \Delta pb_{cb} &= 6 \cdot 100 = 600\text{ pb} \end{aligned}$$ Różnica między klasą I c a klasą I a: $$\begin{aligned} \Delta p_{ca} &= 36\% - 22{,}5\% = 13{,}5\text{ p.p.} \\ \Delta pb_{ca} &= 13{,}5 \cdot 100 = 1350\text{ pb} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczenie, o ile procent więcej książek wypożyczyła klasa I c od klasy I a:
Wielkością odniesienia (mianownikiem stanowiącym $100\%$) jest udział klasy I a ($p_a = 22{,}5\%$).

Sposób I – Wzór na zmianę względną:
$$\begin{aligned} w\% &= \dfrac{p_c - p_a}{p_a} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{36 - 22{,}5}{22{,}5} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{13{,}5}{22{,}5} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{135}{225} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{3}{5} \cdot 100\% = 60\% \end{aligned}$$
Sposób II – Ułożenie proporcji:
Przyjmujemy czytelnictwo klasy I a za $100\%$: $$\begin{aligned} 22{,}5\% &\longrightarrow 100\% \\ 13{,}5\% &\longrightarrow w\% \end{aligned}$$ Mnożąc na krzyż: $$\begin{aligned} w\% &= \dfrac{13{,}5 \cdot 100\%}{22{,}5} \\ &= \dfrac{1350\%}{22{,}5} = 60\% \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczenie, o ile procent mniej książek wypożyczyła klasa I a od klasy I b:
Wielkością odniesienia (mianownikiem stanowiącym $100\%$) jest udział klasy I b ($p_b = 30\%$).

Sposób I – Wzór na zmianę względną:
$$\begin{aligned} s\% &= \dfrac{p_b - p_a}{p_b} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{30 - 22{,}5}{30} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{7{,}5}{30} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{75}{300} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot 100\% = 25\% \end{aligned}$$
Sposób II – Ułożenie proporcji:
Przyjmujemy czytelnictwo klasy I b za $100\%$: $$\begin{aligned} 30\% &\longrightarrow 100\% \\ 7{,}5\% &\longrightarrow s\% \end{aligned}$$ Mnożąc na krzyż: $$\begin{aligned} s\% &= \dfrac{7{,}5 \cdot 100\%}{30} \\ &= \dfrac{750\%}{30} = 25\% \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) Między klasą I b a I a: $7{,}5\text{ p.p.} = 750\text{ pb}$; między klasą I c a I b: $6\text{ p.p.} = 600\text{ pb}$; między klasą I c a I a: $13{,}5\text{ p.p.} = 1350\text{ pb}$

b) O $60\%$

c) O $25\%$

Zadanie 3

Bank zwiększył oprocentowanie kredytu hipotecznego z $15\%$ do $18\%$.
a) O ile punktów procentowych zwiększono oprocentowanie kredytu?
b) O ile procent zwiększono oprocentowanie kredytu?

Wskazówki:

Różnica w punktach procentowych (p.p.) to bezwzględna różnica arytmetyczna między dwiema wartościami wyrażonymi w procentach.
Względna zmiana w procentach określa, jaką część wartości wyjściowej stanowi zaistniały przyrost.
Podstawą odniesienia (mianownikiem w ułamku określającym zmianę procentową) jest zawsze początkowy poziom oprocentowania.

Dane i szukane:

Dane:
Początkowe oprocentowanie kredytu: $p_1 = 15\%$
Końcowe oprocentowanie kredytu: $p_2 = 18\%$

Szukane:
Zmiana w punktach procentowych: $\Delta p_{\text{p.p.}} = ?$
Względna zmiana w procentach: $\Delta p_{\%} = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie zmiany oprocentowania w punktach procentowych:
Punkt procentowy (p.p.) jest jednostką różnicy między dwiema wartościami podanymi w procentach. Obliczamy różnicę arytmetyczną między nową stawką oprocentowania a stawką pierwotną: $$\begin{aligned} \Delta p_{\text{p.p.}} &= p_2 - p_1 \\ &= 18\% - 15\% \\ &= 3\text{ p.p.} \end{aligned}$$ Oprocentowanie kredytu wzrosło o $3$ punkty procentowe.
Podpunkt b) Obliczenie względnej zmiany oprocentowania w procentach:
Wyznaczamy, jaki procent początkowego oprocentowania ($p_1 = 15\%$) stanowi zaistniały wzrost ($\Delta p = 3\%$). Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:

Sposób I – Wykorzystanie wzoru na względną zmianę wartości:
Względną zmianę wartości wyznaczamy ze wzoru: $$\Delta p_{\%} = \dfrac{p_2 - p_1}{p_1} \cdot 100\%$$ Podstawiamy dane liczbowe: $$\begin{aligned} \Delta p_{\%} &= \dfrac{18\% - 15\%}{15\%} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{3\%}{15\%} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{1}{5} \cdot 100\% \\ &= 20\% \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie proporcji:
Przyjmujemy początkowe oprocentowanie kredytu jako podstawę odniesienia, czyli $100\%$, a bezwzględny wzrost oprocentowania jako szukaną wartość $x$: $$\begin{aligned} 15\% &\text{ --- } 100\% \\ 3\% &\text{ --- } x \end{aligned}$$ Wyznaczamy wartość $x$ mnożąc na krzyż: $$\begin{aligned} 15\% \cdot x &= 3\% \cdot 100\% \\ x &= \dfrac{3\% \cdot 100\%}{15\%} \\ &= \dfrac{300}{15}\% \\ &= 20\% \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) O $3$ punkty procentowe (o $3\text{ p.p.}$)

b) O $20\%$

Zadanie 4

Rada Polityki Pieniężnej na jednym z posiedzeń obniżyła referencyjną stopę procentową banku centralnego z $5{,}00\%$ do $4{,}25\%$. Podaj obniżkę tej stopy procentowej:

a) w punktach procentowych

b) w punktach bazowych

c) w procentach.

Wskazówki:

Punkty procentowe ($\text{p.p.}$) określają bezwzględną arytmetyczną różnicę między dwiema wartościami podanymi w procentach: $\Delta s = s_1 - s_2$.
Jeden punkt procentowy odpowiada stu punktom bazowym: $1\text{ p.p.} = 100\text{ pb}$, czyli jeden punkt bazowy to jedna setna punktu procentowego ($0{,}01\text{ p.p.}$).
Względną zmianę wyrażoną w procentach obliczamy, odnosząc wielkość zmiany bezwzględnej do wartości początkowej: $\dfrac{\Delta s}{s_1} \cdot 100\%$.

Dane i szukane:

Dane:
$s_1 = 5{,}00\%$ – początkowa wysokość stopy procentowej
$s_2 = 4{,}25\%$ – końcowa wysokość stopy procentowej

Szukane:
Obniżka stopy procentowej w punktach procentowych ($\text{p.p.}$)
Obniżka stopy procentowej w punktach bazowych ($\text{pb}$)
Obniżka stopy procentowej w procentach ($\%$)

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie obniżki stopy procentowej w punktach procentowych:
Punkt procentowy ($\text{p.p.}$) to jednostka różnicy między dwiema wielkościami wyrażonymi w procentach. Obliczamy różnicę między wartością wyjściową a wartością nową: $$\begin{aligned} \Delta s &= s_1 - s_2 \\ &= 5{,}00\% - 4{,}25\% = 0{,}75\text{ p.p.} \end{aligned}$$ Stopa procentowa spadła o $0{,}75$ punktu procentowego.
Podpunkt b) Przeliczenie obniżki na punkty bazowe:
Jeden punkt bazowy ($\text{pb}$) to jedna setna część punktu procentowego: $$1\text{ p.p.} = 100\text{ pb}$$ Mnożymy otrzymaną w podpunkcie a) liczbę punktów procentowych przez $100$: $$\begin{aligned} \Delta s_{\text{pb}} &= 0{,}75 \cdot 100\text{ pb} \\ &= 75\text{ pb} \end{aligned}$$ Obniżka wynosi $75$ punktów bazowych.
Podpunkt c) Sposób I – Wyznaczenie obniżki w procentach ze wzoru na zmianę względną:
Obliczamy, jaki procent wielkości początkowej $s_1 = 5{,}00\%$ stanowi wyznaczona obniżka $\Delta s = 0{,}75\text{ p.p.}$: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{\Delta s}{s_1} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{0{,}75\%}{5{,}00\%} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{0{,}75}{5} \cdot 100\% \\ &= 0{,}15 \cdot 100\% = 15\% \end{aligned}$$
Podpunkt c) Sposób II – Wyznaczenie obniżki w procentach za pomocą proporcji:
Przyjmujemy wartość początkową stopy procentowej $5{,}00\%$ jako $100\%$ bazy, a obniżkę $0{,}75\%$ oznaczamy jako $x$: $$\begin{aligned} 5{,}00\% &\ \text{---}\ 100\% \\ 0{,}75\% &\ \text{---}\ x \end{aligned}$$ Układamy i rozwiązujemy równanie: $$\begin{aligned} 5 \cdot x &= 0{,}75 \cdot 100\% \\ 5x &= 75\% \\ x &= \dfrac{75\%}{5} = 15\% \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $0{,}75\text{ p.p.}$

b) $75\text{ pb}$

c) $15\%$

Zadanie 5

W pewnym kraju obliczono inflację w dwóch kolejnych latach i zauważono, że w drugim roku inflacja była niższa o 140 punktów bazowych w stosunku do roku poprzedniego. Oznaczało to obniżenie inflacji o $116\dfrac{2}{3}\%$. Oblicz, jaka była inflacja w tych dwóch latach.

Wskazówki:

Punkt bazowy (pb) to jedna setna punktu procentowego (p.p.): $1\text{ pb} = 0,01\text{ p.p.} = 0,01\%$.
Względna zmiana wartości (obniżenie o dany procent) odnosi się do poziomu bazowego, czyli do stopy inflacji z pierwszego roku: $\dfrac{\Delta I}{I_1} \cdot 100\% = 116\dfrac{2}{3}\%$.
Zamień liczbę mieszaną z procentem na ułamek zwykły: $116\dfrac{2}{3}\% = \dfrac{350}{3}\% = \dfrac{7}{6}$.
Ujemna wartość inflacji ($I_2 < 0$) oznacza spadek ogólnego poziomu cen, czyli wystąpienie deflacji.

Dane i szukane:

Dane:
Bezwzględna zmiana inflacji w punktach bazowych: $\Delta I = 140\text{ pb}$
Względne obniżenie inflacji w stosunku do roku pierwszego: $p = 116\dfrac{2}{3}\%$

Szukane:
Inflacja w pierwszym roku: $I_1 = ?$
Inflacja w drugim roku: $I_2 = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Przeliczenie punktów bazowych na punkty procentowe:
Jeden punkt bazowy to $0,01$ punktu procentowego, czyli $0,01\%$: $$1\text{ pb} = 0,01\text{ p.p.} = 0,01\%$$ Zatem spadek inflacji o 140 punktów bazowych wynosi: $$\Delta I = 140 \cdot 0,01\% = 1,4\%$$ Oznacza to, że różnica między stopą inflacji w pierwszym a drugim roku wynosi: $$I_1 - I_2 = 1,4\%$$
Wyznaczenie inflacji w pierwszym roku $I_1$:
Przekształcamy procent względnego obniżenia na ułamek zwykły: $$\begin{aligned} 116\dfrac{2}{3}\% &= \dfrac{116 \cdot 3 + 2}{3}\% \\ &= \dfrac{350}{3}\% \\ &= \dfrac{350}{3} \cdot \dfrac{1}{100} \\ &= \dfrac{350}{300} \\ &= \dfrac{7}{6} \end{aligned}$$
Sposób I – Ułożenie równania z ułamkiem zwykłym:
Względne obniżenie inflacji to stosunek bezwzględnego spadku $\Delta I$ do wartości wyjściowej $I_1$: $$\dfrac{\Delta I}{I_1} = \dfrac{7}{6}$$ Podstawiamy $\Delta I = 1,4\%$: $$\begin{aligned} \dfrac{1,4\%}{I_1} &= \dfrac{7}{6} \\ 7 \cdot I_1 &= 6 \cdot 1,4\% \\ 7 \cdot I_1 &= 8,4\% \\ I_1 &= \dfrac{8,4\%}{7} \\ I_1 &= 1,2\% \end{aligned}$$
Sposób II – Ułożenie proporcji:
Wartość z pierwszego roku $I_1$ stanowi bazowe $100\%$, a spadek $\Delta I = 1,4\%$ stanowi $116\dfrac{2}{3}\% = \dfrac{350}{3}\%$: $$\begin{aligned} I_1 &\longleftrightarrow 100\% \\ 1,4\% &\longleftrightarrow \dfrac{350}{3}\% \end{aligned}$$ Mnożymy na krzyż: $$\begin{aligned} I_1 \cdot \dfrac{350}{3}\% &= 1,4\% \cdot 100\% \\ I_1 \cdot \dfrac{350}{3} &= 140 \\ I_1 &= 140 \cdot \dfrac{3}{350} \\ I_1 &= \dfrac{420}{350} \\ I_1 &= \dfrac{6}{5}\% = 1,2\% \end{aligned}$$
Wyznaczenie inflacji w drugim roku $I_2$:
W drugim roku inflacja była niższa o $1,4\%$ w stosunku do pierwszego roku: $$\begin{aligned} I_2 &= I_1 - \Delta I \\ &= 1,2\% - 1,4\% \\ &= -0,2\% \end{aligned}$$ Ujemna stopa inflacji na poziomie $-0,2\%$ oznacza spadek poziomu cen, czyli deflację wynoszącą $0,2\%$.

Odpowiedź:
W pierwszym roku inflacja wynosiła $1,2\%$, a w drugim roku wynosiła $-0,2\%$ (wystąpiła deflacja $0,2\%$).

Grupa B

Zadanie 1

Tabela poniżej przedstawia, ile procent uczniów pewnego liceum korzystało z oferty zajęć sportowo-rekreacyjnych przed otwarciem nowego centrum młodzieżowego i po jego otwarciu.

zajęcia	pływalnia	taniec	siłownia	badminton
przed otwarciem centrum	4,5%	5%	6,4%	2%
po otwarciu centrum	6,3%	7%	8%	3,5%

a) O ile punktów procentowych i o ile punktów bazowych wzrosło zainteresowanie poszczególnymi zajęciami?

b) O ile procent zwiększyła się grupa osób uczęszczająca na dane zajęcia sportowe?

Zadanie 2

W pewnym technikum badano czytelnictwo w klasach pierwszych. Poniższa tabela przedstawia, jaki procent wszystkich książek wypożyczonych przez klasy pierwsze ze szkolnej biblioteki w danym roku szkolnym wypożyczyły klasy: I a, I b i I c.

I a	I b	I c
21%	28%	35,7%

Zadanie 3

Bank zwiększył oprocentowanie kredytu konsumpcyjnego z $12\%$ do $15\%$.
a) O ile punktów procentowych zwiększono oprocentowanie kredytu?
b) O ile procent zwiększono oprocentowanie kredytu?

Zadanie 4

Rada Polityki Pieniężnej na początku kwartału obniżyła lombardową stopę procentową banku centralnego z $4{,}00\%$ do $3{,}50\%$. Podaj obniżkę tej stopy procentowej:

a) w punktach procentowych

b) w punktach bazowych

c) w procentach.

Zadanie 5

W pewnym kraju obliczono inflację w dwóch kolejnych latach i zauważono, że w drugim roku inflacja była niższa o 200 punktów bazowych w stosunku do roku poprzedniego. Oznaczało to obniżenie inflacji o $133\dfrac{1}{3}\%$. Oblicz, jaka była inflacja w tych dwóch latach.

1.10 Punkty procentowe

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋