Procenty kartkówka 2 LiczBit

1.9 Procenty

Kartkówka 2

Grupa A

Zadanie 1

Pan Tomasz przygotowuje 4-procentową zalewę octową do marynaty z grzybów. Ile litrów octu 10% i ile litrów wody powinien zmieszać, aby otrzymać 2 litry takiej zalewy?

Wskazówki:

Czysta woda nie zawiera kwasu octowego, zatem jej stężenie wynosi $0\%$.
Cała ilość czystego kwasu octowego w gotowej zalewie pochodzi wyłącznie z dodanego octu 10%.
Zadanie można rozwiązać klasycznym bilansem masy kwasu lub regułą mieszania (metodą krzyżową).

Dane i szukane:

Dane:
$c_1 = 10\%$ – stężenie octu wyjściowego
$c_w = 0\%$ – stężenie kwasu w wodzie
$c_2 = 4\%$ – stężenie docelowej zalewy
$V_2 = 2\text{ l}$ – łączna objętość zalewy
Szukane:
$V_1 = ?$ – objętość octu 10%
$V_w = ?$ – objętość wody

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyznaczenie objętości za pomocą równania bilansu czystego kwasu:
Niech $V_1$ oznacza objętość octu 10% (w litrach). Ponieważ łączna objętość roztworu ma wynosić $2\text{ l}$, objętość dodanej wody wynosi: $$V_w = 2 - V_1$$ Obliczamy objętość czystego kwasu octowego, która musi znaleźć się w gotowej zalewie 4-procentowej: $$\begin{aligned} V_k &= c_2 \cdot V_2 \\ &= 4\% \cdot 2 \\ &= 0{,}04 \cdot 2 \\ &= 0{,}08\text{ l} \end{aligned}$$ Ponieważ woda nie wnosi kwasu, całe $0{,}08\text{ l}$ musi pochodzić z roztworu 10-procentowego. Układamy równanie: $$\begin{aligned} 10\% \cdot V_1 &= 0{,}08 \\ 0{,}10 \cdot V_1 &= 0{,}08 \quad \Big/ : 0{,}10 \\ V_1 &= 0{,}8\text{ l} \end{aligned}$$ Obliczamy wymaganą objętość wody: $$\begin{aligned} V_w &= 2 - 0{,}8 \\ &= 1{,}2\text{ l} \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie reguły mieszania (metody krzyżowej):
Zapisujemy stężenia składników wyjściowych oraz stężenie docelowe w środku, a następnie obliczamy różnice po przekątnych (odejmując mniejszą wartość od większej): $$\begin{array}{ccc} 10\% & & |4\% - 0\%| = 4\text{ części objętościowe octu} \\ & \searrow \nearrow & \\ & 4\% & \\ & \nearrow \searrow & \\ 0\% & & |10\% - 4\%| = 6\text{ części objętościowych wody} \end{array}$$ Stosunek objętości octu do wody wynosi: $$\dfrac{V_1}{V_w} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$$ Całość składa się z: $$2 + 3 = 5\text{ równych części}$$ Wyznaczamy objętość przypadającą na jedną część: $$V_c = \dfrac{2\text{ l}}{5} = 0{,}4\text{ l}$$ Obliczamy ostateczne objętości składników: $$\begin{aligned} V_1 &= 2 \cdot 0{,}4\text{ l} = 0{,}8\text{ l} \\ V_w &= 3 \cdot 0{,}4\text{ l} = 1{,}2\text{ l} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Należy zmieszać $0{,}8\text{ l}$ octu 10% oraz $1{,}2\text{ l}$ wody.

Zadanie 2

Pani Barbara Kaczmarek inwestuje na giełdzie za pośrednictwem biura maklerskiego. Za każdą zrealizowaną transakcję kupna lub sprzedaży biuro pobiera prowizję w wysokości $1\%$ wartości transakcji.
Pani Kaczmarek zainwestowała $25\,000\text{ zł}$, kupując $500$ akcji spółki $A$ po $20\text{ zł}$ za akcję, a resztę przeznaczyła na kupno akcji spółki $B$ po $25\text{ zł}$ za akcję. Osobno zapłaciła prowizję.
Po pewnym czasie, gdy za akcje spółki $A$ płacono po $26\text{ zł}$, a akcje spółki $B$ wzrosły o $20\%$ w stosunku do ceny kupna, pani Kaczmarek złożyła w biurze maklerskim zlecenie sprzedaży wszystkich posiadanych akcji. Zanim jednak zlecenie zostało wykonane, akcje spółki $B$ potaniały o $5\%$ w stosunku do ostatnio notowanej ceny.
Oblicz:

a) Ile akcji spółki $B$ kupiła pani Kaczmarek?
b) Po jakiej cenie zostały sprzedane akcje spółki $B$?
c) O ile procent wzrosła cena akcji spółki $A$?
d) Jaką kwotę otrzymała pani Kaczmarek po sprzedaży wszystkich swoich akcji?
e) W jakiej wysokości łącznie zapłaciła prowizję maklerską?
f) Jaki zysk (w złotówkach oraz procentowy) osiągnęła pani Kaczmarek na tej transakcji?

Wskazówki:

Kwotę przeznaczoną na akcje spółki $B$ obliczamy, odejmując od całego kapitału wartość zakupionych akcji spółki $A$.
Przy kolejnych zmianach procentowych pamiętaj, że drugi procent dotyczy nowej, pośredniej ceny, a nie ceny pierwotnej.
Względną zmianę ceny obliczamy, dzieląc przyrost ceny przez cenę początkową i mnożąc wynik przez $100\%$.
Prowizja maklerska pobierana jest dwukrotnie: najpierw od wartości zakupu akcji, a następnie od łącznej kwoty uzyskanej z ich sprzedaży.
Czysty zysk to kwota ze sprzedaży pomniejszona o sumę zakupu akcji oraz o łączną wartość zapłaconych prowizji.

Dane i szukane:

Dane:
Zainwestowany kapitał na zakup akcji: $K = 25\,000\text{ zł}$
Stawka prowizji maklerskiej: $p = 1\% = 0{,}01$
Liczba zakupionych akcji spółki $A$: $N_A = 500$
Cena zakupu jednej akcji spółki $A$: $C_{A1} = 20\text{ zł}$
Cena sprzedaży jednej akcji spółki $A$: $C_{A2} = 26\text{ zł}$
Cena zakupu jednej akcji spółki $B$: $C_{B1} = 25\text{ zł}$
Wzrost ceny akcji spółki $B$: $p_1 = 20\% = 0{,}20$
Spadek ceny akcji spółki $B$: $p_2 = 5\% = 0{,}05$
Szukane:
Liczba zakupionych akcji spółki $B$: $N_B = ?$
Cena sprzedaży akcji spółki $B$: $C_{B2} = ?$
Procentowy wzrost ceny akcji spółki $A$: $\Delta C_A\% = ?$
Łączna kwota uzyskana ze sprzedaży: $W_s = ?$
Łączna zapłacona prowizja: $P_{\text{całk}} = ?$
Zysk kwotowy i procentowy: $Z = ?$, $Z\% = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie liczby kupionych akcji spółki $B$:
W pierwszej kolejności obliczamy łączny koszt zakupu akcji spółki $A$: $$\begin{aligned} W_{kA} &= N_A \cdot C_{A1} \\ &= 500 \cdot 20\text{ zł} \\ &= 10\,000\text{ zł} \end{aligned}$$ Pani Kaczmarek na zakup akcji spółki $B$ przeznaczyła resztę z początkowej kwoty $25\,000\text{ zł}$: $$\begin{aligned} W_{kB} &= K - W_{kA} \\ &= 25\,000\text{ zł} - 10\,000\text{ zł} \\ &= 15\,000\text{ zł} \end{aligned}$$ Mając cenę jednostkową akcji spółki $B$ wynoszącą $25\text{ zł}$, obliczamy liczbę kupionych sztuk: $$\begin{aligned} N_B &= \dfrac{W_{kB}}{C_{B1}} \\ &= \dfrac{15\,000\text{ zł}}{25\text{ zł}} \\ &= 600\text{ akcji} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie ostatecznej ceny sprzedaży akcji spółki $B$:
Sposób I – Obliczenia etapowe:
Cena akcji spółki $B$ najpierw wzrosła o $20\%$ w odniesieniu do ceny zakupu ($25\text{ zł}$): $$\begin{aligned} C_{B}' &= C_{B1} + 0{,}20 \cdot C_{B1} \\ &= 25\text{ zł} \cdot 1{,}20 \\ &= 30\text{ zł} \end{aligned}$$ Następnie cena ta potaniała o $5\%$ w stosunku do ostatniej wartości ($30\text{ zł}$): $$\begin{aligned} C_{B2} &= C_{B}' - 0{,}05 \cdot C_{B}' \\ &= 30\text{ zł} \cdot (1 - 0{,}05) \\ &= 30\text{ zł} \cdot 0{,}95 \\ &= 28{,}50\text{ zł} \end{aligned}$$
Sposób II – Jedno łączne wyrażenie mnożnikowe:
Kolejne zmiany procentowe zapisujemy jako iloczyn odpowiednich czynników: $$\begin{aligned} C_{B2} &= C_{B1} \cdot (1 + 0{,}20) \cdot (1 - 0{,}05) \\ &= 25 \cdot 1{,}20 \cdot 0{,}95 \\ &= 30 \cdot 0{,}95 \\ &= 28{,}50\text{ zł} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Obliczenie procentowego wzrostu ceny akcji spółki $A$:
Cena akcji spółki $A$ wzrosła z wartości $20\text{ zł}$ do $26\text{ zł}$. Wyznaczamy bezwzględną zmianę ceny: $$\Delta C_A = 26\text{ zł} - 20\text{ zł} = 6\text{ zł}$$ Względną zmianę ceny odnosi się do ceny początkowej ($20\text{ zł}$): $$\begin{aligned} \Delta C_A\% &= \dfrac{\Delta C_A}{C_{A1}} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{6\text{ zł}}{20\text{ zł}} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{3}{10} \cdot 100\% \\ &= 30\% \end{aligned}$$
Podpunkt d) Obliczenie łącznej kwoty uzyskanej ze sprzedaży wszystkich akcji:
Wyznaczamy przychód ze sprzedaży akcji spółki $A$ oraz spółki $B$: $$\begin{aligned} W_{sA} &= N_A \cdot C_{A2} \\ &= 500 \cdot 26\text{ zł} \\ &= 13\,000\text{ zł} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} W_{sB} &= N_B \cdot C_{B2} \\ &= 600 \cdot 28{,}50\text{ zł} \\ &= 17\,100\text{ zł} \end{aligned}$$ Łączna kwota transakcji sprzedaży wynosi: $$\begin{aligned} W_s &= W_{sA} + W_{sB} \\ &= 13\,000\text{ zł} + 17\,100\text{ zł} \\ &= 30\,100\text{ zł} \end{aligned}$$
Podpunkt e) Obliczenie łącznej kwoty prowizji maklerskiej:
Biuro maklerskie pobrało prowizję $1\%$ przy zakupie akcji oraz $1\%$ przy ich sprzedaży:
Prowizja przy zakupie akcji (od wartości $25\,000\text{ zł}$): $$P_k = 0{,}01 \cdot 25\,000\text{ zł} = 250\text{ zł}$$ Prowizja przy sprzedaży akcji (od wartości $30\,100\text{ zł}$): $$P_s = 0{,}01 \cdot 30\,100\text{ zł} = 301\text{ zł}$$ Łączna prowizja zapłacona przez inwestorkę wynosi: $$\begin{aligned} P_{\text{całk}} &= P_k + P_s \\ &= 250\text{ zł} + 301\text{ zł} \\ &= 551\text{ zł} \end{aligned}$$
Podpunkt f) Wyznaczenie zysku kwotowego oraz procentowego z całej inwestycji:
Całkowity wydatek poniesiony przez panią Kaczmarek obejmuje koszt zakupu akcji oraz obie prowizje: $$\begin{aligned} K_{\text{całk}} &= K + P_{\text{całk}} \\ &= 25\,000\text{ zł} + 551\text{ zł} \\ &= 25\,551\text{ zł} \end{aligned}$$ Zysk kwotowy to różnica między kwotą ze sprzedaży a wszystkimi poniesionymi kosztami: $$\begin{aligned} Z &= W_s - K_{\text{całk}} \\ &= 30\,100\text{ zł} - 25\,551\text{ zł} \\ &= 4\,549\text{ zł} \end{aligned}$$
Sposób I – Zysk procentowy w odniesieniu do całkowitego poniesionego nakładu ($25\,551\text{ zł}$):
$$\begin{aligned} Z\% &= \dfrac{Z}{K_{\text{całk}}} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{4\,549}{25\,551} \cdot 100\% \\ &\approx 17{,}80\% \end{aligned}$$
Sposób II – Zysk procentowy w odniesieniu do początkowego kapitału akcyjnego ($25\,000\text{ zł}$):
$$\begin{aligned} Z\% &= \dfrac{Z}{K} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{4\,549}{25\,000} \cdot 100\% \\ &= 18{,}196\% \approx 18{,}20\% \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $600\text{ akcji}$

b) $28{,}50\text{ zł}$

c) O $30\%$

d) $30\,100\text{ zł}$

e) $551\text{ zł}$

f) Zysk kwotowy: $4\,549\text{ zł}$; zysk procentowy: ok. $17{,}8\%$ (względem sumy wydatków) lub ok. $18{,}2\%$ (względem kapitału początkowego)

Zadanie 3

Pracodawca zawarł z pracownikiem umowę o dzieło na pewną kwotę. Ustalona kwota stanowi przychód pracownika, od którego odlicza się koszty uzyskania przychodu wynoszące w tego typu umowie 50% przychodu. Różnica ta jest dochodem pracownika. Od uzyskanego dochodu odprowadza się 20% podatku dochodowego, a pracownik otrzymuje wypłatę w wysokości różnicy przychodu i potrąconego podatku. Oblicz, jaką wypłatę otrzyma pracownik, z którym zawarto umowę o dzieło na kwotę 35 000 zł.

Wskazówki:

Przychód to kwota brutto określona w umowie ($35\,000\text{ zł}$).
Koszty uzyskania przychodu (KUP) to 50% kwoty przychodu – odlicza się je od przychodu, aby otrzymać dochód do opodatkowania.
Podatek dochodowy (20%) liczymy wyłącznie od kwoty dochodu, a nie od pełnego przychodu.
Końcowa kwota do wypłaty dla pracownika to różnica między początkowym przychodem a potrąconym podatkiem dochodowym.

Dane i szukane:

Dane:
Przychód pracownika (kwota brutto na umowie): $P = 35\,000\text{ zł}$
Stawka kosztów uzyskania przychodu: $k = 50\% = 0{,}5$
Stawka podatku dochodowego: $p = 20\% = 0{,}2$

Szukane:
Kwota ostatecznej wypłaty: $W = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Obliczenie kwotowe poszczególnych etapów (koszty, dochód, podatek, wypłata):
W pierwszym kroku wyznaczamy koszty uzyskania przychodu ($K$), które stanowią 50% ustalonej kwoty przychodu: $$\begin{aligned} K &= 50\% \cdot 35\,000\text{ zł} \\ &= 0{,}5 \cdot 35\,000\text{ zł} \\ &= 17\,500\text{ zł} \end{aligned}$$ Następnie obliczamy dochód pracownika ($D$), odejmując koszty od przychodu: $$\begin{aligned} D &= P - K \\ &= 35\,000\text{ zł} - 17\,500\text{ zł} \\ &= 17\,500\text{ zł} \end{aligned}$$ Kolejnym etapem jest wyznaczenie podatku dochodowego ($T$), który wynosi 20% obliczonego dochodu: $$\begin{aligned} T &= 20\% \cdot D \\ &= 0{,}2 \cdot 17\,500\text{ zł} \\ &= 3500\text{ zł} \end{aligned}$$ Na koniec wyznaczamy kwotę wypłaty ($W$) jako różnicę przychodu i potrąconego podatku dochodowego: $$\begin{aligned} W &= P - T \\ &= 35\,000\text{ zł} - 3500\text{ zł} \\ &= 31\,500\text{ zł} \end{aligned}$$
Sposób II – Wyznaczenie ogólnego wzoru procentowego na kwotę do wypłaty:
Zapisujemy zależność dochodu od przychodu: $$\begin{aligned} D &= P - 0{,}5P \\ &= 0{,}5P \end{aligned}$$ Podatek dochodowy wynosi 20% dochodu, czyli: $$\begin{aligned} T &= 0{,}2 \cdot D \\ &= 0{,}2 \cdot (0{,}5P) \\ &= 0{,}1P \end{aligned}$$ Zatem podatek stanowi dokładnie $10\%$ przychodu pracownika. Kwota wypłaty to: $$\begin{aligned} W &= P - T \\ &= P - 0{,}1P \\ &= 0{,}9P \end{aligned}$$ Pracownik otrzymuje więc $90\%$ kwoty z umowy: $$\begin{aligned} W &= 0{,}9 \cdot 35\,000\text{ zł} \\ &= 31\,500\text{ zł} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Pracownik otrzyma wypłatę w wysokości $31\,500\text{ zł}$.

Zadanie 4

Lokata $30\,000\text{ zł}$ jest oprocentowana w wysokości $4\%$ w stosunku rocznym. W banku obowiązuje kapitalizacja:

a) roczna (bank po roku dopisuje do kapitału należne odsetki)

b) półroczna (bank po półroczu dopisuje do kapitału należne odsetki)

c) kwartalna (bank po upływie trzech miesięcy dopisuje do kapitału należne odsetki)

Jaka będzie wartość lokaty po jednym roku? (Pomijamy podatek od dochodów kapitałowych.)

Wskazówki:

Wartość kapitału po upływie określonego czasu wyznaczamy ze wzoru na procent składany: $K_2 = K_1 \cdot \left(1 + \dfrac{p}{m}\right)^{m \cdot t}$, gdzie $K_1$ to kapitał początkowy, $p$ to roczna stopa procentowa, $m$ to liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku, a $t$ to czas trwania lokaty w latach.
Częstsza kapitalizacja odsetek przy tej samej rocznej stopie procentowej daje większy zysk, ponieważ naliczone wcześniej odsetki powiększają kapitał bazowy na kolejny okres (tzw. procent od procentu).
Zadanie można również rozwiązać krok po kroku, obliczając dopisane odsetki po każdym kolejnym okresie rozliczeniowym.

Dane i szukane:

Dane:
$K_1 = 30\,000\text{ zł}$ – kapitał początkowy wpłacony na lokatę
$p = 4\% = 0{,}04$ – roczna stopa procentowa
$t = 1\text{ rok}$ – okres trwania lokaty
W podpunkcie a): $m = 1$ (kapitalizacja 1 raz w roku)
W podpunkcie b): $m = 2$ (kapitalizacja 2 razy w roku, co 6 miesięcy)
W podpunkcie c): $m = 4$ (kapitalizacja 4 razy w roku, co 3 miesiące)

Szukane:
$K_{2a} = ?$ – wartość lokaty po roku przy kapitalizacji rocznej
$K_{2b} = ?$ – wartość lokaty po roku przy kapitalizacji półrocznej
$K_{2c} = ?$ – wartość lokaty po roku przy kapitalizacji kwartalnej

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie wartości lokaty po roku przy kapitalizacji rocznej:
W banku obowiązuje kapitalizacja roczna ($m = 1$), zatem odsetki zostaną dopisane dokładnie jeden raz po upływie całego roku.

Sposób I – Wykorzystanie wzoru na procent składany:
Podstawiamy dane do wzoru: $$\begin{aligned} K_{2a} &= K_1 \cdot (1 + p)^1 \\ &= 30\,000 \cdot (1 + 0{,}04) \\ &= 30\,000 \cdot 1{,}04 \\ &= 31\,200\text{ zł} \end{aligned}$$ Sposób II – Bezpośrednie obliczenie należnych odsetek:
Obliczamy kwotę odsetek za cały rok: $$\begin{aligned} O_a &= 4\% \cdot 30\,000\text{ zł} \\ &= 0{,}04 \cdot 30\,000 = 1200\text{ zł} \end{aligned}$$ Dodajemy naliczone odsetki do wpłaconego kapitału: $$K_{2a} = 30\,000\text{ zł} + 1200\text{ zł} = 31\,200\text{ zł}$$
Podpunkt b) Obliczenie wartości lokaty po roku przy kapitalizacji półrocznej:
W ciągu roku występują dwa półrocza ($m = 2$). Oprocentowanie za jedno półrocze stanowi połowę stopy rocznej: $$\dfrac{p}{2} = \dfrac{4\%}{2} = 2\% = 0{,}02$$ Sposób I – Wykorzystanie wzoru na procent składany:
Liczba okresów kapitalizacji wynosi $n = m \cdot t = 2 \cdot 1 = 2$: $$\begin{aligned} K_{2b} &= K_1 \cdot \left(1 + \dfrac{p}{2}\right)^2 \\ &= 30\,000 \cdot (1 + 0{,}02)^2 \\ &= 30\,000 \cdot (1{,}02)^2 \\ &= 30\,000 \cdot 1{,}0404 \\ &= 31\,212\text{ zł} \end{aligned}$$ Sposób II – Obliczenia krok po kroku po każdym półroczu:
Odsetki po pierwszym półroczu: $$O_1 = 2\% \cdot 30\,000 = 0{,}02 \cdot 30\,000 = 600\text{ zł}$$ Kapitał po pierwszym półroczu: $$K_{1{,}5} = 30\,000 + 600 = 30\,600\text{ zł}$$ W drugim półroczu odsetki liczone są od nowej kwoty $30\,600\text{ zł}$: $$O_2 = 2\% \cdot 30\,600 = 0{,}02 \cdot 30\,600 = 612\text{ zł}$$ Końcowa wartość lokaty wynosi: $$K_{2b} = 30\,600 + 612 = 31\,212\text{ zł}$$
Podpunkt c) Obliczenie wartości lokaty po roku przy kapitalizacji kwartalnej:
W roku występują 4 kwartały ($m = 4$), więc odsetki kapitalizowane są czterokrotnie. Oprocentowanie przypadające na jeden kwartał wynosi: $$\dfrac{p}{4} = \dfrac{4\%}{4} = 1\% = 0{,}01$$ Stosujemy wzór na procent składany dla liczby okresów $n = 4 \cdot 1 = 4$: $$\begin{aligned} K_{2c} &= K_1 \cdot \left(1 + \dfrac{p}{4}\right)^4 \\ &= 30\,000 \cdot (1 + 0{,}01)^4 \\ &= 30\,000 \cdot (1{,}01)^4 \end{aligned}$$ Wyznaczamy wartość czwartej potęgi: $$\begin{aligned} (1{,}01)^2 &= 1{,}0201 \\ (1{,}01)^4 &= (1{,}0201)^2 = 1{,}04060401 \end{aligned}$$ Mnożymy przez kapitał początkowy: $$\begin{aligned} K_{2c} &= 30\,000 \cdot 1{,}04060401 \\ &= 31\,218{,}1203\text{ zł} \approx 31\,218{,}12\text{ zł} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $31\,200\text{ zł}$

b) $31\,212\text{ zł}$

c) $31\,218{,}12\text{ zł}$

Zadanie 5

Pani Anna zawarła z bankiem umowę kredytu w wysokości 24 000 zł na okres jednego roku przy rocznym oprocentowaniu wynoszącym 16%. Kwota pożyczonego kapitału ma zostać spłacona w czterech równych kwartalnych ratach. Do każdej raty doliczane są odsetki naliczane od kwoty kapitału, która pozostała do spłaty na początku danego kwartału.

a) Podaj kwoty wszystkich czterech rat.

b) Oblicz, jaki procent kwoty kredytu stanowi suma wszystkich zapłaconych odsetek.

Wskazówki:

Kredyt spłacany jest w systemie rat malejących: stała część kapitałowa powiększona o malejące odsetki naliczane od bieżącego salda zadłużenia.
Jeden rok składa się z 4 kwartałów, dlatego stopa oprocentowania dla jednego okresu rozliczeniowego (jednego kwartału) wynosi $\dfrac{16\%}{4} = 4\%$.
Przed wyznaczeniem odsetek dla danego kwartału zawsze ustal kwotę kapitału, która pozostaje do spłaty po uregulowaniu poprzednich rat kapitałowych.
Całkowita rata kwartalna jest sumą stałej raty kapitałowej i odsetek za dany kwartał: $R_k = R_{kap} + O_k$.

Dane i szukane:

Dane:
Kwota kredytu: $K = 24\,000\text{ zł}$
Czas trwania umowy: $t = 1\text{ rok} = 4\text{ kwartały}$
Roczna stopa oprocentowania: $r_r = 16\% = 0,16$
Kwartalna stopa oprocentowania: $r_k = \dfrac{16\%}{4} = 4\% = 0,04$

Szukane:
a) Kwoty poszczególnych rat: $R_1, R_2, R_3, R_4 = ?$
b) Procent kwoty kredytu stanowiący sumę odsetek: $p = \dfrac{\sum O}{K} \cdot 100\% = ?$

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie stałej raty kapitałowej:
Kwota kredytu jest spłacana w 4 równych ratach kapitałowych. Oznaczmy stałą ratę kapitałową jako $R_{kap}$: $$\begin{aligned} R_{kap} &= \dfrac{K}{4} \\ &= \dfrac{24\,000\text{ zł}}{4} \\ &= 6000\text{ zł} \end{aligned}$$ W każdym kwartale spłacana jest stała kwota kapitału równa $6000\text{ zł}$.
Podpunkt a) Obliczenie odsetek i całkowitych kwot kolejnych rat:
W każdym kwartale odsetki naliczane są wg stopy $4\%$ od kwoty długu pozostającego do spłaty na początku tego kwartału:

I kwartał:
Dług na początku I kwartału wynosi $K_1 = 24\,000\text{ zł}$. $$\begin{aligned} O_1 &= 24\,000\text{ zł} \cdot 0,04 = 960\text{ zł} \\ R_1 &= R_{kap} + O_1 = 6000\text{ zł} + 960\text{ zł} = 6960\text{ zł} \end{aligned}$$ Po zapłaceniu pierwszej raty kapitałowej zadłużenie zmniejsza się o $6000\text{ zł}$.

II kwartał:
Dług na początku II kwartału wynosi $K_2 = 24\,000\text{ zł} - 6000\text{ zł} = 18\,000\text{ zł}$. $$\begin{aligned} O_2 &= 18\,000\text{ zł} \cdot 0,04 = 720\text{ zł} \\ R_2 &= R_{kap} + O_2 = 6000\text{ zł} + 720\text{ zł} = 6720\text{ zł} \end{aligned}$$ Po zapłaceniu drugiej raty kapitałowej zadłużenie zmniejsza się o kolejne $6000\text{ zł}$.

III kwartał:
Dług na początku III kwartału wynosi $K_3 = 18\,000\text{ zł} - 6000\text{ zł} = 12\,000\text{ zł}$. $$\begin{aligned} O_3 &= 12\,000\text{ zł} \cdot 0,04 = 480\text{ zł} \\ R_3 &= R_{kap} + O_3 = 6000\text{ zł} + 480\text{ zł} = 6480\text{ zł} \end{aligned}$$ Po zapłaceniu trzeciej raty kapitałowej zadłużenie zmniejsza się o kolejne $6000\text{ zł}$.

IV kwartał:
Dług na początku IV kwartału wynosi $K_4 = 12\,000\text{ zł} - 6000\text{ zł} = 6000\text{ zł}$. $$\begin{aligned} O_4 &= 6000\text{ zł} \cdot 0,04 = 240\text{ zł} \\ R_4 &= R_{kap} + O_4 = 6000\text{ zł} + 240\text{ zł} = 6240\text{ zł} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczenie sumy wszystkich odsetek oraz ich udziału procentowego w kwocie kredytu:

Sposób I – Bezpośrednie zsumowanie odsetek:
Dodajemy wartości odsetek wyliczone dla każdego kwartału: $$\begin{aligned} \sum O &= O_1 + O_2 + O_3 + O_4 \\ &= 960\text{ zł} + 720\text{ zł} + 480\text{ zł} + 240\text{ zł} \\ &= 2400\text{ zł} \end{aligned}$$ Obliczamy, jaki procent kwoty początkowej kredytu stanowi ta suma: $$\begin{aligned} p &= \dfrac{\sum O}{K} \cdot 100\% \\ &= \dfrac{2400\text{ zł}}{24\,000\text{ zł}} \cdot 100\% \\ &= 0,1 \cdot 100\% \\ &= 10\% \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego:
Kolejne odsetki tworzą ciąg arytmetyczny o wyrazach $O_1 = 960\text{ zł}$, $O_4 = 240\text{ zł}$ i liczbie wyrazów $n = 4$. Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego: $$\begin{aligned} S_n &= \dfrac{O_1 + O_n}{2} \cdot n \\ \sum O &= \dfrac{960\text{ zł} + 240\text{ zł}}{2} \cdot 4 \\ &= \dfrac{1200\text{ zł}}{2} \cdot 4 \\ &= 600\text{ zł} \cdot 4 \\ &= 2400\text{ zł} \end{aligned}$$ Obliczamy udział procentowy: $$p = \dfrac{2400\text{ zł}}{24\,000\text{ zł}} \cdot 100\% = 10\%$$

Odpowiedź:
a) Kwoty kolejnych rat wynoszą odpowiednio: I rata: $6960\text{ zł}$, II rata: $6720\text{ zł}$, III rata: $6480\text{ zł}$, IV rata: $6240\text{ zł}$.

b) Suma wszystkich odsetek stanowi $10\%$ kwoty udzielonego kredytu.

Grupa B

Zadanie 1

Pan Krzysztof przygotowuje 6-procentową zalewę octową do marynaty warzywnej. Ile litrów octu 10% i ile litrów wody powinien zmieszać, aby otrzymać 1,5 litra takiej zalewy?

Zadanie 2

Pan Tomasz Lewandowski inwestuje na giełdzie za pośrednictwem biura maklerskiego. Za każdą zrealizowaną transakcję kupna lub sprzedaży biuro pobiera prowizję w wysokości $1\%$ wartości transakcji.
Pan Lewandowski zainwestował $40\,000\text{ zł}$, kupując $600$ akcji spółki $A$ po $25\text{ zł}$ za akcję, a resztę przeznaczył na kupno akcji spółki $B$ po $50\text{ zł}$ za akcję. Osobno zapłacił prowizję.
Po pewnym czasie, gdy za akcje spółki $A$ płacono po $32\text{ zł}$, a akcje spółki $B$ wzrosły o $15\%$ w stosunku do ceny kupna, pan Lewandowski złożył w biurze maklerskim zlecenie sprzedaży wszystkich posiadanych akcji. Zanim jednak zlecenie zostało wykonane, akcje spółki $B$ potaniały o $10\%$ w stosunku do ostatnio notowanej ceny.
Oblicz:

a) Ile akcji spółki $B$ kupił pan Lewandowski?
b) Po jakiej cenie zostały sprzedane akcje spółki $B$?
c) O ile procent wzrosła cena akcji spółki $A$?
d) Jaką kwotę otrzymał pan Lewandowski po sprzedaży wszystkich swoich akcji?
e) W jakiej wysokości łącznie zapłacił prowizję maklerską?
f) Jaki zysk (w złotówkach oraz procentowy) osiągnął pan Lewandowski na tej transakcji?

Zadanie 3

Pracodawca zawarł z pracownikiem umowę o dzieło na pewną kwotę. Ustalona kwota stanowi przychód pracownika, od którego odlicza się koszty uzyskania przychodu wynoszące 50% przychodu. Różnica ta jest dochodem pracownika. Od uzyskanego dochodu odprowadza się 20% podatku dochodowego, a pracownik otrzymuje wypłatę równą różnicy przychodu i potrąconego podatku. Oblicz, jaką kwotę wypłaty otrzyma pracownik, jeśli umowa o dzieło opiewała na kwotę 18 000 zł.

Zadanie 4

Lokata $50\,000\text{ zł}$ jest oprocentowana w wysokości $4\%$ w stosunku rocznym. W banku obowiązuje kapitalizacja:

a) roczna (bank po roku dopisuje do kapitału należne odsetki)

b) półroczna (bank po półroczu dopisuje do kapitału należne odsetki)

c) kwartalna (bank po upływie trzech miesięcy dopisuje do kapitału należne odsetki)

Jaka będzie wartość lokaty po jednym roku? (Pomijamy podatek od dochodów kapitałowych.)

Zadanie 5

Pan Tomasz zaciągnął w banku pożyczkę w wysokości 20 000 zł na okres jednego roku przy rocznym oprocentowaniu wynoszącym 12%. Pożyczona kwota ma zostać spłacona w czterech równych kwartalnych ratach kapitałowych. Do każdej raty doliczane są kwartalne odsetki od kwoty, która pozostała do spłaty na początku danego kwartału.

a) Podaj kwoty wszystkich czterech rat.

b) Oblicz, jaki procent kwoty pożyczki stanowi suma wszystkich zapłaconych odsetek.

1.9 Procenty

Grupa A

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Grupa B

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋