Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych LiczBit

1.3 Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Wykonaj działania, stosując odpowiednie prawa działań (łączności lub przemienności i łączności):

a) Stosując prawo łączności dodawania: $4,375 + \dfrac{5}{8} + 12\dfrac{2}{3} + 8\dfrac{1}{3}$

b) Stosując prawo łączności mnożenia: $2\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{7}{18} \cdot 0,5 \cdot 4$

c) Stosując prawo przemienności i łączności dodawania: $(-2,6) + 7\dfrac{3}{4} + 3\dfrac{2}{7} + (-0,4) + \left(-\dfrac{2}{7}\right) + (-0,75)$

d) Stosując prawo przemienności i łączności mnożenia: $\left(-1\dfrac{2}{3}\right) \cdot (-1,25) \cdot 2\dfrac{3}{5} \cdot (-5) \cdot \dfrac{3}{5} \cdot 0,8$

Wskazówki:

Prawo łączności dodawania i mnożenia: pozwala grupować sąsiednie liczby nawiasami bez zmiany ich kolejności: $(a + b) + (c + d)$ oraz $(a \cdot b) \cdot (c \cdot d)$.
Prawo przemienności: pozwala dowolnie przestawiać kolejność liczb: $a + b = b + a$ oraz $a \cdot b = b \cdot a$. W połączeniu z łącznością szukamy par dających „okrągłe” liczby (np. dopełniające się do całości lub skracające się ułamki).
Pamiętaj o zamianie ułamków zwykłych na dziesiętne (lub odwrotnie), np. $\dfrac{5}{8} = 0,625$, $\dfrac{3}{4} = 0,75$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zastosowanie prawa łączności dodawania (podpunkt a):
W podpunkcie a) nie zmieniamy kolejności składników, lecz grupujemy w nawiasy pierwszą parę oraz drugą parę liczb. Zauważmy, że $\dfrac{5}{8} = 0,625$: $$\left(4,375 + \dfrac{5}{8}\right) + \left(12\dfrac{2}{3} + 8\dfrac{1}{3}\right)$$ Obliczamy wartości w nawiasach: $$4,375 + 0,625 = 5$$ $$12\dfrac{2}{3} + 8\dfrac{1}{3} = 20 + \dfrac{3}{3} = 21$$ Dodajemy otrzymane wyniki: $$5 + 21 = 26$$
Zastosowanie prawa łączności mnożenia (podpunkt b):
Grupujemy w nawiasy dwa pierwsze oraz dwa ostatnie czynniki, zamieniając liczbę mieszaną $2\dfrac{4}{7}$ na ułamek niewłaściwy $\dfrac{18}{7}$: $$\left(2\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{7}{18}\right) \cdot (0,5 \cdot 4) = \left(\dfrac{18}{7} \cdot \dfrac{7}{18}\right) \cdot 2$$ Liczby $\dfrac{18}{7}$ i $\dfrac{7}{18}$ są liczbami wzajemnie odwrotnymi, więc ich iloczyn wynosi $1$: $$1 \cdot 2 = 2$$
Zastosowanie przemienności i łączności dodawania (podpunkt c):
Przestawiamy kolejność składników tak, aby połączyć liczby dające proste sumy:
- Liczby dziesiętne: $(-2,6) + (-0,4) = -3$
- Ułamki o mianowniku $4$ (pamiętając, że $7\dfrac{3}{4} = 7,75$): $7,75 + (-0,75) = 7$
- Ułamki o mianowniku $7$: $3\dfrac{2}{7} + \left(-\dfrac{2}{7}\right) = 3$

Zapisujemy z użyciem nawiasów: $$\left[(-2,6) + (-0,4)\right] + \left[7\dfrac{3}{4} + (-0,75)\right] + \left[3\dfrac{2}{7} + \left(-\dfrac{2}{7}\right)\right]$$ $$(-3) + 7 + 3 = 7$$
Zastosowanie przemienności i łączności mnożenia (podpunkt d):
Przestawiamy kolejność czynników, tworząc dogodne pary do skracania:
- Para 1: $\left(-1\dfrac{2}{3}\right) \cdot \dfrac{3}{5} = \left(-\dfrac{5}{3}\right) \cdot \dfrac{3}{5} = -1$
- Para 2: $(-1,25) \cdot 0,8 = \left(-\dfrac{5}{4}\right) \cdot \dfrac{4}{5} = -1$
- Para 3: $2\dfrac{3}{5} \cdot (-5) = \dfrac{13}{5} \cdot (-5) = 13 \cdot (-1) = -13$

Łączymy otrzymane wyniki: $$[(-1) \cdot (-1)] \cdot (-13) = 1 \cdot (-13) = -13$$

Odpowiedź: a) 26, b) 2, c) 7, d) -13

Zadanie 2 (3 pkt)

Wyłącz wspólny czynnik poza nawias:

a) $10 + 5\sqrt{3}$
b) $18 - 6\sqrt{7}$
c) $9\sqrt{3} - 18\sqrt{2} + 27$
d) $4\sqrt{2} + 28\sqrt{5} - 16$
e) $5 - 15\sqrt{3}$
f) $8\sqrt{5} - 2\sqrt{3} + 2$
g) $-6 + 18\pi$
h) $-3\pi - 6\pi\sqrt{2}$

Wskazówki:

Znajdź największy wspólny dzielnik (NWD) liczb całkowitych stojących przy poszczególnych wyrazach sumy algebraicznej.
Jeśli w każdym ze składników powtarza się ten sam symbol lub stała (np. liczba $\pi$), ją również wyłączamy przed nawias wraz ze współczynnikiem liczbowym.
Podziel każdy składnik wyjściowej sumy przez wyłączony czynnik – otrzymane ilorazy zapisz wewnątrz nawiasu.
Gdy wyłączasz liczbę ujemną, pamiętaj o zmianie znaków wszystkich składników w nawiasie na przeciwne.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) – wyłączenie wspólnego czynnika z wyrażenia $10 + 5\sqrt{3}$:
Największym wspólnym dzielnikiem liczb $10$ oraz $5$ jest $5$. Dzielimy oba składniki przez $5$: $$10 : 5 = 2$$ $$5\sqrt{3} : 5 = \sqrt{3}$$ Zapisujemy wyrażenie w postaci iloczynowej: $$10 + 5\sqrt{3} = 5(2 + \sqrt{3})$$
Podpunkt b) – wyłączenie wspólnego czynnika z wyrażenia $18 - 6\sqrt{7}$:
Dla liczb $18$ i $6$ największym wspólnym dzielnikiem jest $6$. Dzielimy każdy składnik przez $6$: $$18 : 6 = 3$$ $$-6\sqrt{7} : 6 = -\sqrt{7}$$ Otrzymujemy: $$18 - 6\sqrt{7} = 6(3 - \sqrt{7})$$
Podpunkt c) – wyłączenie wspólnego czynnika z wyrażenia $9\sqrt{3} - 18\sqrt{2} + 27$:
Współczynniki liczbowe to $9$, $-18$ oraz $27$. Ich największy wspólny dzielnik to $9$. Dzielimy poszczególne wyrazy: $$9\sqrt{3} : 9 = \sqrt{3}$$ $$-18\sqrt{2} : 9 = -2\sqrt{2}$$ $$27 : 9 = 3$$ Wyłączamy $9$ przed nawias: $$9\sqrt{3} - 18\sqrt{2} + 27 = 9(\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 3)$$
Podpunkt d) – wyłączenie wspólnego czynnika z wyrażenia $4\sqrt{2} + 28\sqrt{5} - 16$:
Największym wspólnym dzielnikiem współczynników $4$, $28$ oraz $-16$ jest $4$. Wykonujemy dzielenie każdego wyrazu przez $4$: $$4\sqrt{2} : 4 = \sqrt{2}$$ $$28\sqrt{5} : 4 = 7\sqrt{5}$$ $$-16 : 4 = -4$$ Zapisujemy postać iloczynową: $$4\sqrt{2} + 28\sqrt{5} - 16 = 4(\sqrt{2} + 7\sqrt{5} - 4)$$
Podpunkt e) – wyłączenie wspólnego czynnika z wyrażenia $5 - 15\sqrt{3}$:
Wspólnym czynnikiem dla $5$ i $15$ jest $5$. Należy pamiętać, że po wyłączeniu całej liczby $5$ z pierwszego składnika pozostaje $1$: $$5 : 5 = 1$$ $$-15\sqrt{3} : 5 = -3\sqrt{3}$$ Otrzymujemy: $$5 - 15\sqrt{3} = 5(1 - 3\sqrt{3})$$
Podpunkt f) – wyłączenie wspólnego czynnika z wyrażenia $8\sqrt{5} - 2\sqrt{3} + 2$:
Współczynniki liczbowe to $8$, $-2$ oraz $2$. Ich największym wspólnym dzielnikiem jest $2$. Dzielimy każdy ze składników przez $2$: $$8\sqrt{5} : 2 = 4\sqrt{5}$$ $$-2\sqrt{3} : 2 = -\sqrt{3}$$ $$2 : 2 = 1$$ Zapisujemy wynik: $$8\sqrt{5} - 2\sqrt{3} + 2 = 2(4\sqrt{5} - \sqrt{3} + 1)$$
Podpunkt g) – wyłączenie wspólnego czynnika z wyrażenia $-6 + 18\pi$:
Wspólnym dzielnikiem liczb $-6$ i $18$ jest $6$. Wyłączając czynnik ujemny $-6$, zmieniamy znaki obu wyrazów w nawiasie: $$-6 : (-6) = 1$$ $$18\pi : (-6) = -3\pi$$ $$ -6 + 18\pi = -6(1 - 3\pi)$$ Alternatywnie, wyłączając dodatnią liczbę $6$, otrzymujemy: $$-6 + 18\pi = 6(-1 + 3\pi) = 6(3\pi - 1)$$
Podpunkt h) – wyłączenie wspólnego czynnika z wyrażenia $-3\pi - 6\pi\sqrt{2}$:
W obu wyrazach powtarza się liczba $\pi$ oraz współczynniki liczbowe podzielne przez $-3$. Wyłączamy przed nawias wspólny czynnik $-3\pi$: $$-3\pi : (-3\pi) = 1$$ $$-6\pi\sqrt{2} : (-3\pi) = 2\sqrt{2}$$ Ostatecznie otrzymujemy: $$-3\pi - 6\pi\sqrt{2} = -3\pi(1 + 2\sqrt{2})$$

Odpowiedź: a) $5(2 + \sqrt{3})$, b) $6(3 - \sqrt{7})$, c) $9(\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 3)$, d) $4(\sqrt{2} + 7\sqrt{5} - 4)$, e) $5(1 - 3\sqrt{3})$, f) $2(4\sqrt{5} - \sqrt{3} + 1)$, g) $-6(1 - 3\pi)$, h) $-3\pi(1 + 2\sqrt{2})$

Zadanie 3 (3 pkt)

Skróć ułamki:

a) $\dfrac{6 - 8\sqrt{5}}{2}$

b) $\dfrac{4 - 12\sqrt{7}}{-8}$

c) $-\dfrac{8 + 24\sqrt{2}}{8}$

d) $\dfrac{-5 - 15\pi}{3\pi + 1}$

e) $\dfrac{\pi^2 - 3\pi}{\pi - 3}$

f) $\dfrac{2 - \sqrt{2}}{4\sqrt{2} - 8}$

Wskazówki:

Zanim rozpoczniesz skracanie, znajdź największy wspólny dzielnik składników licznika i wyłącz go przed nawias.
Zwróć szczególną uwagę na znaki: dzielenie przez liczbę ujemną lub minus przed ułamkiem zmienia znak każdego wyrazu licznika.
W ułamkach z wyrażeniami dwumianowymi w mianowniku szukaj możliwości wyłączenia odpowiedniej liczby ze znakiem minus, tak aby uzyskać identyczny nawias w liczniku i mianowniku.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozwiązanie podpunktu a):
W liczniku wyłączamy wspólny czynnik $2$ przed nawias, a następnie skracamy go z mianownikiem: $$\dfrac{6 - 8\sqrt{5}}{2} = \dfrac{2(3 - 4\sqrt{5})}{2} = 3 - 4\sqrt{5}$$
Rozwiązanie podpunktu b):
W liczniku wyłączamy liczbę $4$ przed nawias, skracamy ułamek przez $4$, a minus z mianownika przenosimy do licznika: $$\dfrac{4 - 12\sqrt{7}}{-8} = \dfrac{4(1 - 3\sqrt{7})}{-8} = \dfrac{1 - 3\sqrt{7}}{-2} = -\dfrac{1 - 3\sqrt{7}}{2} = \dfrac{-(1 - 3\sqrt{7})}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - 1}{2}$$
Rozwiązanie podpunktu c):
Wyłączamy liczbę $8$ przed nawias w liczniku, skracamy z mianownikiem i zmieniamy znaki składników z powodu minusa przed ułamkiem: $$-\dfrac{8 + 24\sqrt{2}}{8} = -\dfrac{8(1 + 3\sqrt{2})}{8} = -(1 + 3\sqrt{2}) = -1 - 3\sqrt{2}$$
Rozwiązanie podpunktu d):
W liczniku wyłączamy liczbę $-5$ przed nawias, co daje w nawiasie wyrażenie równe mianownikowi: $$\dfrac{-5 - 15\pi}{3\pi + 1} = \dfrac{-5(1 + 3\pi)}{3\pi + 1} = \dfrac{-5(3\pi + 1)}{3\pi + 1} = -5$$
Rozwiązanie podpunktu e):
W liczniku wyłączamy $\pi$ przed nawias, a następnie skracamy ułamek przez wspólne wyrażenie $(\pi - 3)$: $$\dfrac{\pi^2 - 3\pi}{\pi - 3} = \dfrac{\pi(\pi - 3)}{\pi - 3} = \pi$$
Rozwiązanie podpunktu f):
W mianowniku zauważamy, że $-8 + 4\sqrt{2} = -4(2 - \sqrt{2})$. Wyłączamy $-4$ przed nawias i skracamy całe wyrażenie $(2 - \sqrt{2})$: $$\dfrac{2 - \sqrt{2}}{4\sqrt{2} - 8} = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{-4(2 - \sqrt{2})} = \dfrac{1}{-4} = -\dfrac{1}{4}$$

Odpowiedź: a) $3 - 4\sqrt{5}$; b) $\dfrac{3\sqrt{7} - 1}{2}$; c) $-1 - 3\sqrt{2}$; d) $-5$; e) $\pi$; f) $-\dfrac{1}{4}$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Porównaj dwie liczby niewymierne, bez użycia kalkulatora:

a) $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ i $\dfrac{1}{\sqrt{7}}$

b) $\dfrac{7}{\sqrt{5}-1}$ i $\dfrac{8}{\sqrt{5}-1}$

c) $\dfrac{5}{3-\pi}$ i $\dfrac{4}{3-\pi}$

d) $\dfrac{-4}{\sqrt{7}-3}$ i $\dfrac{-5}{\sqrt{7}-3}$

e) $-5$ i $\dfrac{-5}{\sqrt{3}-1}$

f) $\dfrac{6}{3\sqrt{3}-3}$ i $\dfrac{3}{\sqrt{3}-1}$

Wskazówki:

Dla ułamków o równych, dodatnich licznikach większy jest ten, którego mianownik jest mniejszy.
Gdy ułamki mają identyczny mianownik, o relacji decydują liczniki oraz znak mianownika: dzielenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności.
Przed porównaniem ułamków zawsze określ znak mianownika, szacując występujące w nim pierwiastki lub liczbę $\pi \approx 3{,}14$.
Zwróć uwagę na możliwość wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias w mianowniku i uproszczenia ułamka.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) – Porównanie ułamków o takich samych dodatnich licznikach:
Porównujemy mianowniki obu ułamków. Ponieważ $5 < 7$, zachodzi: $$\sqrt{5} < \sqrt{7}$$ Dla liczb dodatnich ułamek o mniejszym mianowniku ma większą wartość, zatem: $$\dfrac{1}{\sqrt{5}} > \dfrac{1}{\sqrt{7}}$$
Podpunkt b) – Ustalenie znaku mianownika i porównanie liczników:
Szacujemy wartość mianownika $\sqrt{5}-1$. Ponieważ $5 > 1$, mamy: $$\sqrt{5} > 1 \implies \sqrt{5} - 1 > 0$$ Mianownik jest dodatni, więc kierunek nierówności jest zgodny z porządkiem liczników. Skoro $7 < 8$, to: $$\dfrac{7}{\sqrt{5}-1} < \dfrac{8}{\sqrt{5}-1}$$
Podpunkt c) – Porównanie ułamków z ujemnym mianownikiem:
Szacujemy wartość mianownika $3-\pi$. Ponieważ $\pi \approx 3{,}14 > 3$, otrzymujemy: $$3 - \pi < 0$$ Mianownik jest ujemny. Chociaż $5 > 4$, to dzielenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności: $$\dfrac{5}{3-\pi} < \dfrac{4}{3-\pi}$$
Podpunkt d) – Porównanie ułamków o ujemnych licznikach i mianownikach:
Szacujemy mianownik $\sqrt{7}-3$. Ponieważ $7 < 9$, zachodzi: $$\sqrt{7} < \sqrt{9} = 3 \implies \sqrt{7} - 3 < 0$$ Porównujemy liczniki: $-4 > -5$. Ponieważ mianownik $\sqrt{7}-3$ jest liczbą ujemną, dzielenie przez niego odwraca zwrot nierówności: $$\dfrac{-4}{\sqrt{7}-3} < \dfrac{-5}{\sqrt{7}-3}$$
Podpunkt e) – Porównanie liczby całkowitej z ułamkiem o mianowniku z przedziału $(0, 1)$:
Szacujemy mianownik $\sqrt{3}-1$. Wiemy, że $1 < 3 < 4$, stąd: $$1 < \sqrt{3} < 2 \implies 0 < \sqrt{3}-1 < 1$$ Mnożąc nierówność $\sqrt{3}-1 < 1$ obustronnie przez liczbę ujemną $-5$ (co odwraca zwrot nierówności), otrzymujemy: $$-5(\sqrt{3}-1) > -5$$ Dzieląc teraz obie strony przez dodatnią liczbę $(\sqrt{3}-1) > 0$, otrzymujemy ostatecznie: $$-5 > \dfrac{-5}{\sqrt{3}-1}$$
Podpunkt f) – Wyłączenie wspólnego czynnika i uproszczenie ułamka:
Wyłączamy liczbę $3$ przed nawias w mianowniku pierwszego ułamka i skracamy: $$\dfrac{6}{3\sqrt{3}-3} = \dfrac{6}{3(\sqrt{3}-1)} = \dfrac{2}{\sqrt{3}-1}$$ Mamy do porównania ułamki $\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}$ oraz $\dfrac{3}{\sqrt{3}-1}$. Ponieważ mianownik $\sqrt{3}-1 > 0$ jest dodatni, a $2 < 3$, otrzymujemy: $$\dfrac{2}{\sqrt{3}-1} < \dfrac{3}{\sqrt{3}-1} \implies \dfrac{6}{3\sqrt{3}-3} < \dfrac{3}{\sqrt{3}-1}$$

Odpowiedź: a) $\dfrac{1}{\sqrt{5}} > \dfrac{1}{\sqrt{7}}$, b) $\dfrac{7}{\sqrt{5}-1} < \dfrac{8}{\sqrt{5}-1}$, c) $\dfrac{5}{3-\pi} < \dfrac{4}{3-\pi}$, d) $\dfrac{-4}{\sqrt{7}-3} < \dfrac{-5}{\sqrt{7}-3}$, e) $-5 > \dfrac{-5}{\sqrt{3}-1}$, f) $\dfrac{6}{3\sqrt{3}-3} < \dfrac{3}{\sqrt{3}-1}$

Zadanie 5 (3 pkt)

Wyznacz następujące sumy:

a) $\dfrac{1}{15 \cdot 16} + \dfrac{1}{16 \cdot 17} + \dfrac{1}{17 \cdot 18} + \dots + \dfrac{1}{74 \cdot 75}$

b) $\dfrac{2}{1 \cdot 3} + \dfrac{2}{3 \cdot 5} + \dfrac{2}{5 \cdot 7} + \dots + \dfrac{2}{31 \cdot 33}$

c) $\dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \dfrac{1}{47 \cdot 49}$

d) $\dfrac{1}{2 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 6} + \dfrac{1}{6 \cdot 8} + \dots + \dfrac{1}{98 \cdot 100}$

Wskazówki:

Zauważ, że każdy ułamek postaci $\dfrac{1}{n(n+1)}$ można zapisać jako różnicę: $\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$.
Gdy czynniki w mianowniku różnią się o $2$, zachodzi tożsamość: $\dfrac{2}{n(n+2)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+2}$. Jeśli w liczniku występuje $1$, wyciągamy współczynnik $\dfrac{1}{2}$ przed całą sumę: $\dfrac{1}{n(n+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+2}\right)$.
Po rozpisaniu kolejnych wyrazów następuje teleskopowa redukcja sąsiednich składników o przeciwnych znakach – zostają tylko skrajne ułamki.

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenie sumy z podpunktu a):
Stosujemy tożsamość $\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$ dla każdego składnika: $$\left(\dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{13}\right) + \left(\dfrac{1}{13} - \dfrac{1}{14}\right) + \left(\dfrac{1}{14} - \dfrac{1}{15}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{59} - \dfrac{1}{60}\right)$$

Wszystkie składniki środkowe redukują się parami do zera: $$\dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{60} = \dfrac{5}{60} - \dfrac{1}{60} = \dfrac{4}{60} = \dfrac{1}{15}$$
Obliczenie sumy z podpunktu b):
Różnica czynników w każdym mianowniku wynosi $2$, co odpowiada licznikowi ułamków ($\dfrac{2}{n(n+2)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+2}$): $$\left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{23} - \dfrac{1}{25}\right)$$

Po wyzerowaniu wyrazów przeciwnych otrzymujemy: $$1 - \dfrac{1}{25} = \dfrac{25}{25} - \dfrac{1}{25} = \dfrac{24}{25}$$
Obliczenie sumy z podpunktu c):
Różnica w mianowniku to $2$, lecz w liczniku występuje $1$, dlatego wyłączamy czynnik $\dfrac{1}{2}$ przed całe wyrażenie: $$\dfrac{1}{2} \cdot \left[ \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{39} - \dfrac{1}{41}\right) \right]$$

Wewnątrz nawiasu zostają wartości skrajne: $$\dfrac{1}{2} \cdot \left(1 - \dfrac{1}{41}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{40}{41} = \dfrac{20}{41}$$
Obliczenie sumy z podpunktu d):
Mianowniki składają się z kolejnych parzystych liczb naturalnych o różnicy równej $2$. Wyłączamy $\dfrac{1}{2}$ przed sumę: $$\dfrac{1}{2} \cdot \left[ \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{28} - \dfrac{1}{30}\right) \right] $$

Po uproszczeniu sumy teleskopowej otrzymujemy: $$\dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{30}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{15}{30} - \dfrac{1}{30}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{30}$$

Odpowiedź: a) $\dfrac{1}{15}$, b) $\dfrac{24}{25}$, c) $\dfrac{20}{41}$, d) $\dfrac{7}{30}$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Wykonaj działania, stosując odpowiednie prawa działań (łączności lub przemienności i łączności):

a) Stosując prawo łączności dodawania: $3,625 + \dfrac{3}{8} + 15\dfrac{4}{9} + 4\dfrac{5}{9}$

b) Stosując prawo łączności mnożenia: $2\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{8}{21} \cdot 1,25 \cdot 8$

c) Stosując prawo przemienności i łączności dodawania: $(-\sqrt{5}) + 3,145 + 5\dfrac{2}{9} + 1,855 + \left(-\dfrac{2}{9}\right) + \sqrt{5}$

d) Stosując prawo przemienności i łączności mnożenia: $(-0,5) \cdot \sqrt{7} \cdot 0,125 \cdot (-6) \cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt{7}}\right) \cdot 8$

Zadanie 2 (3 pkt)

Wyłącz wspólny czynnik poza nawias:

a) $14 + 7\sqrt{2}$
b) $15 - 3\sqrt{5}$
c) $7\sqrt{6} - 14\sqrt{3} + 21$
d) $5\sqrt{2} + 30\sqrt{3} - 10$
e) $3 - 9\sqrt{5}$
f) $4\sqrt{7} - 2\sqrt{3} + 2$
g) $-8 + 16\pi$
h) $-5\pi - 10\pi\sqrt{3}$

Zadanie 3 (3 pkt)

Skróć ułamki:

a) $\dfrac{4 - 6\sqrt{3}}{2}$

b) $\dfrac{5 - 15\sqrt{2}}{-10}$

c) $-\dfrac{6 - 18\sqrt{5}}{6}$

d) $\dfrac{-6 - 18\pi}{18\pi + 6}$

e) $\dfrac{2\pi - \pi^2}{2 - \pi}$

f) $\dfrac{5 - \sqrt{5}}{3\sqrt{5} - 15}$

Zadanie 4 (3 pkt)

Porównaj dwie liczby niewymierne, bez użycia kalkulatora:

a) $\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ i $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

b) $\dfrac{3}{\sqrt{2}-1}$ i $\dfrac{4}{\sqrt{2}-1}$

c) $\dfrac{6}{1-\pi}$ i $\dfrac{5}{1-\pi}$

d) $\dfrac{-1}{\sqrt{2}-2}$ i $\dfrac{-3}{\sqrt{2}-2}$

e) $-4$ i $\dfrac{-4}{\sqrt{5}-2}$

f) $\dfrac{8}{4\sqrt{5}-4}$ i $\dfrac{3}{\sqrt{5}-1}$

Zadanie 5 (3 pkt)

Wyznacz następujące sumy:

a) $\dfrac{1}{12 \cdot 13} + \dfrac{1}{13 \cdot 14} + \dfrac{1}{14 \cdot 15} + \dots + \dfrac{1}{59 \cdot 60}$

b) $\dfrac{2}{1 \cdot 3} + \dfrac{2}{3 \cdot 5} + \dfrac{2}{5 \cdot 7} + \dots + \dfrac{2}{23 \cdot 25}$

c) $\dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \dfrac{1}{39 \cdot 41}$

d) $\dfrac{1}{2 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 6} + \dfrac{1}{6 \cdot 8} + \dots + \dfrac{1}{28 \cdot 30}$

1.3 Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋