Zbiory liczbowe LiczBit

1.2 Zbiory liczbowe

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Ustal, które z poniższych wypowiedzi są prawdziwe, a które fałszywe. Odpowiedź uzasadnij.

a) Każda liczba całkowita jest liczbą wymierną.
b) Każda liczba niewymierna jest liczbą rzeczywistą.
c) Każda liczba całkowita jest liczbą naturalną.
d) Istnieje liczba całkowita, która nie jest liczbą naturalną.
e) Istnieje liczba wymierna, która jest liczbą niewymierną.
f) Istnieje liczba rzeczywista dodatnia, która jest liczbą niewymierną.

Wskazówki:

Zwróć uwagę na relację zawierania głównych zbiorów liczbowych: liczby naturalne zawierają się w całkowitych, całkowite w wymiernych, a zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne i razem tworzą liczby rzeczywiste: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Aby obalić zdanie ze słowem „każda”, wystarczy wskazać jeden kontrprzykład.
Aby potwierdzić zdanie ze słowem „istnieje”, wystarczy podać co najmniej jeden konkretny przykład liczby spełniającej dane warunki.

Rozwiązanie krok po kroku:

Klasyfikacja zbiorów liczbowych i relacja zawierania:
Strukturę zbiorów liczbowych doskonale ilustruje poniższy schemat. Zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ dzieli się na liczby wymierne $\mathbb{Q}$ oraz liczby niewymierne $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. Wewnątrz zbioru liczb wymiernych zawierają się liczby całkowite $\mathbb{Z}$, a w nich liczby naturalne $\mathbb{N}$.
Ocena zdań a) oraz b) (relacje zawierania):
a) Prawda. Każdą liczbę całkowitą $k \in \mathbb{Z}$ można przedstawić w postaci ułamka zwykłego o mianowniku równym $1$: $$k = \dfrac{k}{1}$$ gdzie licznik $k$ oraz mianownik $1$ są liczbami całkowitymi, a mianownik jest różny od zera. Oznacza to, że zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$).

b) Prawda. Zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ jest z definicji sumą zbioru liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych. Każda liczba niewymierna jest więc z definicji elementem zbioru liczb rzeczywistych.
Ocena zdań c) oraz d) (relacja między liczbami całkowitymi a naturalnymi):
c) Fałsz. Liczby całkowite zawierają również liczby ujemne, które nie należą do liczb naturalnych. Kontrprzykładem jest liczba $-4$: $$-4 \in \mathbb{Z}, \quad \text{ale} \quad -4 \notin \mathbb{N}$$ d) Prawda. Wystarczy podać jedną liczbę całkowitą ujemną, np. $-2$. Liczba ta jest całkowita ($-2 \in \mathbb{Z}$), lecz nie jest liczbą naturalną ($-2 \notin \mathbb{N}$).
Ocena zdań e) oraz f) (relacje liczb wymiernych i niewymiernych):
e) Fałsz. Liczby niewymierne definiuje się jako liczby rzeczywiste, które nie są liczbami wymiernymi. Zbiory te są zatem z definicji rozłączne: $$\mathbb{Q} \cap (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) = \emptyset$$ Żadna liczba nie może jednocześnie należeć do obu tych zbiorów.

f) Prawda. Przykładem takiej liczby jest $\sqrt{2}$ lub liczba $\pi$. Obie są liczbami rzeczywistymi, są większe od zera (dodatnie) i mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe, czyli są niewymierne.

Odpowiedź: a) Prawda, b) Prawda, c) Fałsz, d) Prawda, e) Fałsz, f) Prawda

Zadanie 2 (3 pkt)

Zapisz daną liczbę wymierną w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

a) $0,(135)$
b) $0,4(18)$
c) $-3,(4)$
d) $-4,1(36)$
e) $3,7(9)$
f) $-1,0(135)$

Wskazówki:

Oznacz daną liczbę niewiadomą $x$.
Pomnóż równanie przez odpowiednie potęgi liczby $10$ (takie jak $10$, $100$, $1000$), aby przesunąć przecinek tak, by po prawej stronie przecinka w obu równaniach znajdował się dokładnie ten sam okres.
Odejmij równania stronami – część ułamkowa (okres) zredukuje się do zera, co pozwoli wyznaczyć ułamek zwykły.
Pamiętaj o uproszczeniu otrzymanego ułamka do postaci nieskracalnej (podzieleniu licznika i mianownika przez ich największy wspólny dzielnik).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) – wyznaczenie ułamka dla liczby $0,(135)$:
Okres składa się z trzech cyfr, dlatego mnożymy liczbę przez $10^3 = 1000$: $$x = 0,135135...$$ $$1000x = 135,135135...$$ Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego stronami: $$1000x - x = 135,135135... - 0,135135...$$ $$999x = 135$$ $$x = \dfrac{135}{999}$$ Dzielimy licznik i mianownik przez $27$: $$x = \dfrac{5}{37}$$
Podpunkt b) – wyznaczenie ułamka dla liczby $0,4(18)$:
Przed okresem znajduje się jedna cyfra, a sam okres składa się z dwóch cyfr. Mnożymy liczbę przez $10$ oraz przez $1000$: $$x = 0,41818...$$ $$10x = 4,1818...$$ $$1000x = 418,1818...$$ Odejmujemy stronami równanie o mniejszej potędze od większego: $$1000x - 10x = 418,1818... - 4,1818...$$ $$990x = 414$$ $$x = \dfrac{414}{990}$$ Skracamy ułamek dzieląc licznik i mianownik przez $18$: $$x = \dfrac{23}{55}$$
Podpunkt c) – wyznaczenie ułamka dla liczby $-3,(4)$:
Znak minus zachowujemy przed wynikiem. Obliczamy wartość liczby dodatniej $y = 3,(4)$: $$y = 3,444...$$ $$10y = 34,444...$$ Odejmujemy stronami: $$10y - y = 34,444... - 3,444...$$ $$9y = 31$$ $$y = \dfrac{31}{9} = 3\dfrac{4}{9}$$ Uwzględniając znak ujemny, otrzymujemy: $$x = -\dfrac{31}{9} = -3\dfrac{4}{9}$$
Podpunkt d) – wyznaczenie ułamka dla liczby $-4,1(36)$:
Rozpatrujemy wartość bez znaku minus: $y = 4,1(36)$. Mnożymy przez $10$ i przez $1000$: $$10y = 41,3636...$$ $$1000y = 4136,3636...$$ Odejmujemy stronami: $$1000y - 10y = 4136,3636... - 41,3636...$$ $$990y = 4095$$ $$y = \dfrac{4095}{990}$$ Skracamy licznik i mianownik przez $45$: $$y = \dfrac{91}{22} = 4\dfrac{3}{22}$$ Dopisujemy znak minus: $$x = -\dfrac{91}{22} = -4\dfrac{3}{22}$$
Podpunkt e) – wyznaczenie ułamka dla liczby $3,7(9)$:
Okres stanowi cyfra $9$. Zapisujemy równania mnożąc przez $10$ oraz $100$: $$x = 3,7999...$$ $$10x = 37,999...$$ $$100x = 379,999...$$ Odejmujemy stronami: $$100x - 10x = 379,999... - 37,999...$$ $$90x = 342$$ $$x = \dfrac{342}{90}$$ Dzielimy licznik i mianownik przez $18$: $$x = \dfrac{19}{5} = 3\dfrac{4}{5} = 3,8$$
Podpunkt f) – wyznaczenie ułamka dla liczby $-1,0(135)$:
Rozpatrujemy wartość dodatnią $y = 1,0(135)$. Jedna cyfra znajduje się przed okresem, a trzy cyfry w okresie, więc mnożymy przez $10$ oraz $10000$: $$10y = 10,135135...$$ $$10000y = 10135,135135...$$ Odejmujemy stronami: $$10000y - 10y = 10135,135135... - 10,135135...$$ $$9990y = 10125$$ $$y = \dfrac{10125}{9990}$$ Dzielimy licznik i mianownik przez $135$: $$y = \dfrac{75}{74} = 1\dfrac{1}{74}$$ Uwzględniamy początkowy znak ujemny: $$x = -\dfrac{75}{74} = -1\dfrac{1}{74}$$

Odpowiedź: a) $\dfrac{5}{37}$, b) $\dfrac{23}{55}$, c) $-\dfrac{31}{9} = -3\dfrac{4}{9}$, d) $-\dfrac{91}{22} = -4\dfrac{3}{22}$, e) $\dfrac{19}{5} = 3\dfrac{4}{5}$, f) $-\dfrac{75}{74} = -1\dfrac{1}{74}$

Zadanie 3 (3 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej podane liczby wymierne: $3,1$; $3\dfrac{1}{5}$; $\dfrac{13}{4}$; $3\dfrac{1}{3}$; $3\dfrac{1}{2}$; $3,7$; $3\dfrac{4}{5}$.

a) Wskaż możliwie dokładnie, między którymi dwiema liczbami spośród danych liczb znajduje się na osi liczbowej $\sqrt{10}$ oraz między którymi dwiema danymi liczbami znajduje się na osi liczbowej liczba $\sqrt{11}$.
b) Na podstawie rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{10}$ sprawdź, czy liczba $3 - \sqrt{10}$ leży na osi liczbowej pomiędzy liczbami $-0,2$ oraz $-0,1$.

Wskazówki:

Przekształć ułamki do postaci dziesiętnej, aby precyzyjnie ustalić ich porządek na osi liczbowej.
Wykorzystaj wartości przybliżone $\sqrt{10} \approx 3,162$ oraz $\sqrt{11} \approx 3,317$ i skonfrontuj je z dwiema najbliższymi liczbami ze zbioru.
W podpunkcie b) oszacuj różnicę $3 - \sqrt{10}$ i zweryfikuj nierówność podwójną $-0,2 < 3 - \sqrt{10} < -0,1$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zamiana danych liczb na postać dziesiętną i naniesienie na oś liczbową:
Przedstawiamy każdą z liczb w postaci ułamka dziesiętnego: $$3,1 = 3,100$$ $$3\dfrac{1}{5} = 3,200$$ $$\dfrac{13}{4} = 3\dfrac{1}{4} = 3,250$$ $$3\dfrac{1}{3} = 3,(3) \approx 3,333$$ $$3\dfrac{1}{2} = 3,500$$ $$3,7 = 3,700$$ $$3\dfrac{4}{5} = 3,800$$ Uporządkowane rosnąco liczby tworzą ciąg: $$3,1 < 3\dfrac{1}{5} < \dfrac{13}{4} < 3\dfrac{1}{3} < 3\dfrac{1}{2} < 3,7 < 3\dfrac{4}{5}$$ Punkty te nanosimy na oś liczbową:
Wyznaczenie położenia liczb $\sqrt{10}$ oraz $\sqrt{11}$ (podpunkt a):
Przybliżenie dziesiętne liczby $\sqrt{10}$ to: $$\sqrt{10} \approx 3,162277$$ Liczba ta mieści się w przedziale między $3,1$ a $3,2 = 3\dfrac{1}{5}$: $$3,1 < 3,162277 < 3\dfrac{1}{5}$$ Potwierdzamy to podnosząc liczby do kwadratu: $$3,1^2 = 9,61 < 10 < 10,24 = 3,2^2 = \left(3\dfrac{1}{5}\right)^2$$ Stąd liczba $\sqrt{10}$ znajduje się między liczbami $3,1$ oraz $3\dfrac{1}{5}$.

Dla liczby $\sqrt{11}$ mamy przybliżenie: $$\sqrt{11} \approx 3,316624$$ Sprawdzamy sąsiednie wartości z naszego zbioru: $$\dfrac{13}{4} = 3,250 < 3,316624 < 3,(3) = 3\dfrac{1}{3}$$ Porównujemy kwadraty: $$\left(\dfrac{13}{4}\right)^2 = 3,25^2 = 10,5625 < 11 < 11,(1) = \left(\dfrac{10}{3}\right)^2 = \left(3\dfrac{1}{3}\right)^2$$ Stąd liczba $\sqrt{11}$ znajduje się między liczbami $\dfrac{13}{4}$ oraz $3\dfrac{1}{3}$.
Sprawdzenie położenia liczby $3 - \sqrt{10}$ na osi liczbowej (podpunkt b):
Stosujemy przybliżenie dziesiętne $\sqrt{10} \approx 3,162$: $$3 - \sqrt{10} \approx 3 - 3,162 = -0,162$$ Badamy, czy spełniony jest warunek leżenia w przedziale $(-0,2;\ -0,1)$: $$-0,200 < -0,162 < -0,100$$ Nierówność jest prawdziwa, co oznacza, że liczba $3 - \sqrt{10}$ leży na osi liczbowej pomiędzy liczbami $-0,2$ oraz $-0,1$.

Odpowiedź: a) Liczba $\sqrt{10}$ leży między $3,1$ a $3\dfrac{1}{5}$, natomiast liczba $\sqrt{11}$ leży między $\dfrac{13}{4}$ a $3\dfrac{1}{3}$; b) Tak, liczba $3 - \sqrt{10}$ leży na osi liczbowej pomiędzy liczbami $-0,2$ oraz $-0,1$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Oblicz:

a) $|0 - 3{,}5|$
b) $\left|2\dfrac{3}{8} - 3\dfrac{7}{8}\right|$
c) $\left|\dfrac{4}{3} - 1{,}(2)\right|$
d) $|\sqrt{3} - 2|$
e) $|\sqrt{10} - 3|$
f) $|2\pi - 7|$

Wskazówki:

Wartość bezwzględna liczby nieujemnej jest równa tej samej liczbie: $|a| = a$ dla $a \ge 0$.
Wartość bezwzględna liczby ujemnej jest równa liczbie do niej przeciwnej: $|a| = -a$ dla $a < 0$.
Przed opuszczeniem wartości bezwzględnej w wyrażeniach z pierwiastkami lub liczbą $\pi$ ustal znak różnicy, szacując wartości tych liczb.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) – Wyznaczenie wartości bezwzględnej z różnicy liczb dziesiętnych:
Obliczamy wartość wewnątrz modułu: $$0 - 3{,}5 = -3{,}5$$ Liczba $-3{,}5$ jest ujemna, zatem wartość bezwzględna zmienia jej znak na przeciwny: $$|-3{,}5| = -(-3{,}5) = 3{,}5$$
Podpunkt b) – Wykonanie odejmowania liczb mieszanych i obliczenie modułu:
Odejmujemy liczby mieszane o wspólnym mianowniku: $$2\dfrac{3}{8} - 3\dfrac{7}{8} = \dfrac{19}{8} - \dfrac{31}{8} = -\dfrac{12}{8} = -\dfrac{3}{2} = -1\dfrac{1}{2}$$ Otrzymana liczba jest ujemna, więc jej moduł jest liczbą do niej przeciwną: $$\left|-1\dfrac{1}{2}\right| = 1\dfrac{1}{2}$$
Podpunkt c) – Zamiana ułamka okresowego na zwykły i obliczenie różnicy:
Przekształcamy ułamek okresowy $1{,}(2)$ na ułamek zwykły. Przyjmując $x = 1{,}222\dots$, mamy: $$10x = 12{,}222\dots$$ $$10x - x = 12{,}222\dots - 1{,}222\dots \implies 9x = 11 \implies x = \dfrac{11}{9}$$ Obliczamy różnicę: $$\dfrac{4}{3} - \dfrac{11}{9} = \dfrac{12}{9} - \dfrac{11}{9} = \dfrac{1}{9}$$ Wynik jest dodatni ($\dfrac{1}{9} > 0$), zatem opuszczamy moduł bez zmiany znaku: $$\left|\dfrac{1}{9}\right| = \dfrac{1}{9}$$
Podpunkt d) – Ustalenie znaku wyrażenia z pierwiastkiem kwadratowym:
Szacujemy wartość $\sqrt{3}$. Ponieważ $1 < 3 < 4$, zachodzi nierówność: $$1 < \sqrt{3} < 2 \implies \sqrt{3} \approx 1{,}73$$ Wyrażenie wewnątrz modułu jest zatem ujemne: $$\sqrt{3} - 2 < 0$$ Opuszczamy wartość bezwzględną, zmieniając znaki wyrazów na przeciwne: $$|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$$
Podpunkt e) – Porównanie pierwiastka z liczbą całkowitą:
Szacujemy wartość $\sqrt{10}$. Ponieważ $10 > 9$, mamy: $$\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3 \implies \sqrt{10} \approx 3{,}16$$ Różnica jest liczbą dodatnią: $$\sqrt{10} - 3 > 0$$ Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaków: $$|\sqrt{10} - 3| = \sqrt{10} - 3$$
Podpunkt f) – Szacowanie wyrażenia z liczbą $\pi$:
Przyjmujemy przybliżenie liczby $\pi \approx 3{,}14$: $$2\pi \approx 2 \cdot 3{,}14 = 6{,}28$$ Ponieważ $6{,}28 < 7$, wyrażenie pod modułem jest ujemne: $$2\pi - 7 < 0$$ Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej zmieniamy znaki: $$|2\pi - 7| = -(2\pi - 7) = 7 - 2\pi$$

Odpowiedź: a) $3{,}5$, b) $1\dfrac{1}{2}$, c) $\dfrac{1}{9}$, d) $2 - \sqrt{3}$, e) $\sqrt{10} - 3$, f) $7 - 2\pi$

Zadanie 5 (3 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia. Oceń, jaką liczbą – wymierną czy niewymierną – jest wynik obliczeń.

a) $|5 - \sqrt{7}| - |\sqrt{7} + 2{,}4|$
b) $3 \cdot |\sqrt{2} - \sqrt{5}| + |\sqrt{5} - 3\sqrt{2}|$
c) $|2\pi - 6| - 2|\pi - 3|$
d) $5|1 - \sqrt{3}| - 5\sqrt{3}$

Wskazówki:

Jeśli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, opuszczamy kreski bez zmian: $|x| = x$. Jeśli jest ujemne, zmieniamy znak każdego wyrazu: $|x| = -x$.
Porównuj liczby z pierwiastkami poprzez ich podnoszenie do kwadratu lub włączanie czynników pod znak pierwiastka (np. $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$).
Przyjmij szacunki: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, $\sqrt{5} \approx 2{,}24$, $\sqrt{7} \approx 2{,}65$ oraz $\pi \approx 3{,}14$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenie wartości podpunktu a) $|5 - \sqrt{7}| - |\sqrt{7} + 2{,}4|$:
Oszacujmy $\sqrt{7}$. Ponieważ $4 < 7 < 9$, to $2 < \sqrt{7} < 3$ ($\sqrt{7} \approx 2{,}65$).

Badamy znaki wnętrz modułów:
– $5 - \sqrt{7} > 0$, więc $|5 - \sqrt{7}| = 5 - \sqrt{7}$.
– $\sqrt{7} + 2{,}4 > 0$, więc $|\sqrt{7} + 2{,}4| = \sqrt{7} + 2{,}4$.
Wstawiamy do wyrażenia: $$(5 - \sqrt{7}) - (\sqrt{7} + 2{,}4) = 5 - \sqrt{7} - \sqrt{7} - 2{,}4 = 2{,}6 - 2\sqrt{7}$$ Wynik zawiera liczbę niewymierną $-2\sqrt{7}$, zatem całe wyrażenie jest liczbą niewymierną.
Obliczenie wartości podpunktu b) $3 \cdot |\sqrt{2} - \sqrt{5}| + |\sqrt{5} - 3\sqrt{2}|$:
Porównujemy wielkości liczb:
– Ponieważ $2 < 5$, to $\sqrt{2} < \sqrt{5}$, skąd: $$\sqrt{2} - \sqrt{5} < 0 \implies |\sqrt{2} - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - \sqrt{2}$$ – Włączamy liczbę $3$ pod znak pierwiastka: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18}$. Ponieważ $5 < 18$, to $\sqrt{5} < \sqrt{18}$, co oznacza: $$\sqrt{5} - 3\sqrt{2} < 0 \implies |\sqrt{5} - 3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2} - \sqrt{5}$$ Podstawiamy i redukujemy wyrazy podobne: $$3 \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + (3\sqrt{2} - \sqrt{5}) = 3\sqrt{5} - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$$ Liczba $2\sqrt{5}$ jest liczbą niewymierną.
Obliczenie wartości podpunktu c) $|2\pi - 6| - 2|\pi - 3|$:
Ponieważ $\pi \approx 3{,}14$:
– $2\pi \approx 6{,}28 > 6$, więc $2\pi - 6 > 0 \implies |2\pi - 6| = 2\pi - 6$.
– $\pi > 3$, więc $\pi - 3 > 0 \implies |\pi - 3| = \pi - 3$.
Wstawiamy do wyrażenia: $$(2\pi - 6) - 2(\pi - 3) = 2\pi - 6 - 2\pi + 6 = 0$$ Liczba $0$ jest liczbą wymierną.
Obliczenie wartości podpunktu d) $5|1 - \sqrt{3}| - 5\sqrt{3}$:
Ponieważ $1 < 3$, to $1 < \sqrt{3}$ ($\sqrt{3} \approx 1{,}73$), stąd: $$1 - \sqrt{3} < 0 \implies |1 - \sqrt{3}| = -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$$ Wykonujemy mnożenie i redukcję: $$5(\sqrt{3} - 1) - 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3} - 5 - 5\sqrt{3} = -5$$ Liczba $-5$ jest liczbą całkowitą, a zatem liczbą wymierną.

Odpowiedź: a) $2{,}6 - 2\sqrt{7}$ (niewymierna), b) $2\sqrt{5}$ (niewymierna), c) $0$ (wymierna), d) $-5$ (wymierna)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Ustal, które z poniższych wypowiedzi są prawdziwe, a które fałszywe. Odpowiedź uzasadnij.

a) Każda liczba pierwsza jest liczbą naturalną.
b) Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.
c) Istnieje liczba całkowita nieujemna, która nie jest liczbą dodatnią.
d) Każda liczba niewymierna jest liczbą ujemną.
e) Istnieje liczba rzeczywista, która nie jest ani liczbą wymierną, ani liczbą niewymierną.
f) Istnieje liczba niewymierna, której kwadrat jest liczbą całkowitą.

Zadanie 2 (3 pkt)

Zapisz daną liczbę wymierną w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

a) $0,(423)$
b) $0,7(18)$
c) $-1,(8)$
d) $-5,3(18)$
e) $2,6(9)$
f) $-2,0(270)$

Zadanie 3 (3 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej podane liczby wymierne: $\dfrac{9}{4}$; $2,6$; $2\dfrac{2}{5}$; $\dfrac{11}{4}$; $2,2$; $2\dfrac{1}{2}$; $2\dfrac{2}{3}$.

a) Wskaż możliwie dokładnie, między którymi dwiema liczbami spośród danych liczb znajduje się na osi liczbowej $\sqrt{5}$ oraz między którymi dwiema danymi liczbami znajduje się na osi liczbowej liczba $\sqrt{6}$.
b) Na podstawie rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{5}$ sprawdź, czy liczba $2 - \sqrt{5}$ leży na osi liczbowej pomiędzy liczbami $-0,3$ oraz $-0,2$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Oblicz:

a) $|0 - 4{,}8|$
b) $\left|1\dfrac{4}{9} - 3\dfrac{1}{9}\right|$
c) $\left|2{,}(18) - \dfrac{24}{11}\right|$
d) $|\sqrt{5} - 3|$
e) $|\sqrt{17} - 4|$
f) $|3\pi - 10|$

Zadanie 5 (3 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia. Oceń, jaką liczbą – wymierną czy niewymierną – jest wynik obliczeń.

a) $|4 - \sqrt{3}| - |\sqrt{3} + 1{,}6|$
b) $2 \cdot |\sqrt{3} - \sqrt{5}| + |\sqrt{5} - 2\sqrt{3}|$
c) $|4 - \pi| - |\pi - 4|$
d) $2|1 - \sqrt{7}| - 2\sqrt{7}$

1.2 Zbiory liczbowe

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋