W pewnej klasie nauczyciel zadał do domu 10 zadań, z których każde miało po 3 podpunkty oraz 5 zadań, z których każde miało po 4 podpunkty. Ile podpunktów łącznie było zadane?
Wskazówki:
• Zauważ, że praca domowa składa się z dwóch niezależnych, rozłącznych grup zadań.
• Oblicz liczbę podpunktów w pierwszej grupie zadań, mnożąc liczbę zadań przez liczbę podpunktów w każdym z nich ($10 \cdot 3$).
• Oblicz liczbę podpunktów w drugiej grupie zadań ($5 \cdot 4$).
• Zastosuj regułę dodawania: zsumuj podpunkty z obu grup, aby uzyskać łączną liczbę zadanych podpunktów.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Obliczenie liczby podpunktów w pierwszej grupie zadań:
W pierwszej grupie nauczyciel zadał 10 zadań, z których każde zawierało 3 podpunkty:
$$\begin{aligned}
L_1 &= 10 \cdot 3 \\[6pt]
&= 30
\end{aligned}$$
2. Obliczenie liczby podpunktów w drugiej grupie zadań:
W drugiej grupie nauczyciel zadał 5 zadań, z których każde zawierało 4 podpunkty:
$$\begin{aligned}
L_2 &= 5 \cdot 4 \\[6pt]
&= 20
\end{aligned}$$
3. Zastosowanie reguły dodawania i obliczenie łącznego wyniku:
Obie grupy zadań stanowią rozłączne zbiory podpunktów, zatem ich liczbę sumujemy:
$$\begin{aligned}
L &= L_1 + L_2 \\[6pt]
&= 30 + 20 = 50
\end{aligned}$$
Nauczyciel zadał łącznie 50 podpunktów.
$50$
2
Ile jest liczb 3-cyfrowych o cyfrach ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ takich, że cyfry mogą się powtarzać?
Wskazówki:
• Liczba 3-cyfrowa składa się z trzech kolejnych pozycji: cyfry setek, cyfry dziesiątek oraz cyfry jedności.
• Dostępny zbiór cyfr $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ zawiera 5 elementów i nie występuje w nim zero.
• Możliwość powtarzania się cyfr oznacza, że wybór na każdej z trzech pozycji jest w pełni niezależny i na każde miejsce mamy 5 opcji.
• Zastosuj regułę mnożenia: pomnóż liczby możliwości na poszczególnych pozycjach ($5 \cdot 5 \cdot 5$).
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Analiza struktury liczby 3-cyfrowej:
Niech szukana liczba ma postać $c_1 c_2 c_3$, gdzie:
• $c_1$ – cyfra setek,
• $c_2$ – cyfra dziesiątek,
• $c_3$ – cyfra jedności.
Dostępny zbiór cyfr to $Z = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, którego moc wynosi $|Z| = 5$.
2. Wyznaczenie liczby możliwości dla każdej pozycji:
Ponieważ cyfry mogą się powtarzać, a zbiór nie zawiera zera:
• Na pozycji setek ($c_1$) możemy postawić dowolną cyfrę ze zbioru $Z$ – 5 możliwości.
• Na pozycji dziesiątek ($c_2$) możemy postawić dowolną cyfrę ze zbioru $Z$ – 5 możliwości.
• Na pozycji jedności ($c_3$) możemy postawić dowolną cyfrę ze zbioru $Z$ – 5 możliwości.
3. Zastosowanie reguły mnożenia i obliczenie liczby liczb:
Zgodnie z regułą mnożenia łączna liczba takich liczb 3-cyfrowych wynosi:
$$\begin{aligned}
N &= 5 \cdot 5 \cdot 5 \\[6pt]
&= 5^3 = 125
\end{aligned}$$
Istnieje 125 takich liczb.
$125$
3
Rzucamy trzykrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Ile jest różnych możliwych wyników?
Wskazówki:
• W pojedynczym rzucie standardową sześcienną kostką do gry możemy otrzymać jeden z 6 wyników ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Każdy rzut jest zdarzeniem niezależnym, więc wynik danego rzutu nie wpływa na pozostałe.
• Wynik doświadczenia reprezentowany jest jako ciąg trzech liczb $(k_1, k_2, k_3)$, gdzie $k_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Oblicz liczbę wszystkich wyników za pomocą reguły mnożenia ($6 \cdot 6 \cdot 6$).
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Określenie liczby możliwych wyników w pojedynczym rzucie:
Zbiór możliwych wyników pojedynczego rzutu symetryczną sześcienną kostką do gry to:
$$\begin{aligned}
\Omega_1 &= \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}
\end{aligned}$$
W każdym rzucie mamy $|\Omega_1| = 6$ możliwości.
2. Zastosowanie reguły mnożenia dla trzech kolejnych rzutów:
Każdy wynik trzykrotnego rzutu kostką jest uporządkowaną trójką $(k_1, k_2, k_3)$:
• W pierwszym rzucie mamy 6 możliwości,
• W drugim rzucie mamy 6 możliwości,
• W trzecim rzucie mamy 6 możliwości.
3. Obliczenie łącznej liczby możliwych wyników:
Zgodnie z regułą mnożenia całkowita liczba wyników trzykrotnego rzutu wynosi:
$$\begin{aligned}
|\Omega| &= 6 \cdot 6 \cdot 6 \\[6pt]
&= 6^3 = 216
\end{aligned}$$
Istnieje 216 różnych możliwych wyników.
$216$
4
Ile jest liczb 3-cyfrowych o cyfrach ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ takich, że cyfry nie mogą się powtarzać?
Wskazówki:
• Tworzymy liczbę 3-cyfrową o strukturze: setki, dziesiątki, jedności.
• Zbiór dostępnych cyfr $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ liczy 5 elementów.
• Warunek braku powtórzeń oznacza, że każda wybrana cyfra odpada z puli dostępnych cyfr na kolejne pozycje.
• Zastosuj regułę mnożenia: na pierwsze miejsce wybieramy 1 z 5 cyfr, na drugie 1 z 4 pozostałych, a na trzecie 1 z 3 pozostałych ($5 \cdot 4 \cdot 3$).
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Analiza obsadzania kolejnych pozycji bez powtórzeń:
Mamy zbiór cyfr $Z = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ o liczności $|Z| = 5$.
Tworzymy ciąg trzech różnych cyfr $(c_1, c_2, c_3)$:
• Na pozycji setek ($c_1$) możemy postawić dowolną cyfrę ze zbioru $Z$ – 5 możliwości.
• Na pozycji dziesiątek ($c_2$) nie możemy użyć cyfry umieszczonej na miejscu setek – zostają $5 - 1 = 4$ możliwości.
• Na pozycji jedności ($c_3$) nie możemy użyć cyfr wybranych na miejsca setek i dziesiątek – zostają $5 - 2 = 3$ możliwości.
2. Zastosowanie reguły mnożenia i obliczenie wyniku:
Korzystając z reguły mnożenia (wariacje bez powtórzeń $V_5^3$), otrzymujemy:
$$\begin{aligned}
N &= 5 \cdot 4 \cdot 3 \\[6pt]
&= 60
\end{aligned}$$
Istnieje 60 takich liczb.
$60$
5
Rzucamy trzykrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Ile jest różnych możliwych wyników takich, że liczba oczek w kolejnych rzutach się nie powtarza?
Wskazówki:
• Pojedynczy rzut daje 6 możliwych wyników ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Zastrzeżenie, że wyniki nie mogą się powtarzać, oznacza, że każdy kolejny rzut musi dać liczbę oczek różną od wszystkich poprzednich.
• W pierwszym rzucie mamy 6 możliwości, w drugim 5, a w trzecim 4.
• Zastosuj regułę mnożenia: $6 \cdot 5 \cdot 4$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Określenie liczby możliwości w każdym kolejnym rzucie:
Szukamy liczby takich ciągów $(k_1, k_2, k_3)$, gdzie $k_1, k_2, k_3 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ oraz $k_1 \ne k_2$, $k_2 \ne k_3$, $k_1 \ne k_3$:
• W pierwszym rzucie może wypaść dowolna z 6 liczb oczek – 6 możliwości.
• W drugim rzucie wynik musi być różny od wyniku pierwszego rzutu – pozostaje $6 - 1 = 5$ możliwości.
• W trzecim rzucie wynik musi różnić się od obu dotychczasowych wyników – pozostają $6 - 2 = 4$ możliwości.
2. Zastosowanie reguły mnożenia i obliczenie liczby wyników:
Zgodnie z regułą mnożenia całkowita liczba takich wyników wynosi:
$$\begin{aligned}
N &= 6 \cdot 5 \cdot 4 \\[6pt]
&= 120
\end{aligned}$$
Istnieje 120 takich wyników.
$120$
6
Ile jest liczb pięciocyfrowych, w których każda z cyfr $1, 2, 3, 4$ i $5$ występuje dokładnie jeden raz?
Wskazówki:
• Tworzymy liczbę 5-cyfrową ze zbioru 5 cyfr $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, przy czym każda z nich musi wystąpić dokładnie jeden raz.
• Zadanie polega na wyznaczeniu liczby wszystkich możliwych permutacji zbioru 5-elementowego.
• Liczbę permutacji zbioru $n$-elementowego obliczamy ze wzoru $P_n = n!$.
• Oblicz iloczyn $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Interpretacja zadania jako permutacji zbioru 5-elementowego:
Zbiór danych cyfr $Z = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ liczy $n = 5$ elementów. Ponieważ każda cyfra występuje dokładnie jeden raz i liczba ma mieć 5 cyfr, każda taka liczba jest permutacją elementów zbioru $Z$.
Wzór na liczbę permutacji zbioru $n$-elementowego to:
$$\begin{aligned}
P_n &= n!
\end{aligned}$$
2. Obliczenie wartości silni $5!$:
Dla $n = 5$ otrzymujemy:
$$\begin{aligned}
P_5 &= 5! \\[6pt]
&= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \\[6pt]
&= 120
\end{aligned}$$
Istnieje 120 takich liczb.
$120$
7
Na ile sposobów można ustawić w kolejce 6 osób?
Wskazówki:
• Ustawienie 6 osób w kolejce odpowiada ponumerowaniu ich od pozycji 1 do pozycji 6.
• Każda osoba zajmuje dokładnie jedno miejsce, a kolejność ma kluczowe znaczenie.
• Jest to klasyczny problem liczby permutacji zbioru 6-elementowego ($P_6 = 6!$).
• Rozpisz iloczyn $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ i podaj ostateczny wynik.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Analiza obsadzania miejsc w kolejce:
Wyobraźmy sobie 6 kolejnych pozycji w kolejce:
• Na pierwszym miejscu może stanąć dowolna z 6 osób (6 możliwości).
• Na drugim miejscu może stanąć dowolna z 5 pozostałych osób (5 możliwości).
• Na trzecim miejscu – jedna z 4 pozostałych osób (4 możliwości).
• Na czwartym miejscu – jedna z 3 pozostałych osób (3 możliwości).
• Na piątym miejscu – jedna z 2 pozostałych osób (2 możliwości).
• Na szóstym miejscu musi stanąć ostatnia pozostała osoba (1 możliwość).
2. Zastosowanie wzoru na liczbę permutacji i obliczenie wyniku:
Liczba permutacji zbioru 6-elementowego wynosi:
$$\begin{aligned}
P_6 &= 6! \\[6pt]
&= 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \\[6pt]
&= 720
\end{aligned}$$
Można ustawić 6 osób w kolejce na 720 sposobów.
$720$
8
Ile jest liczb 7-cyfrowych złożonych wyłącznie z cyfr 1 i 2 przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy?
Wskazówki:
• Liczba składa się z 7 pozycji na cyfry.
• W liczbie występują wyłącznie cyfry 1 i 2.
• Skoro cyfra 1 pojawia się dokładnie 3 razy, to na pozostałych $7 - 3 = 4$ miejscach musi znajdować się cyfra 2.
• Liczba jest jednoznacznie wyznaczona przez wybór 3 pozycji z 7 dla cyfry 1.
• Liczbę sposobów wyboru tych pozycji obliczamy za pomocą symbolu Newtona $\binom{7}{3}$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Analiza struktury liczby 7-cyfrowej:
Mamy 7 ponumerowanych pozycji na cyfry. Do dyspozycji są tylko cyfry 1 i 2:
• Cyfra 1 występuje dokładnie 3 razy,
• Cyfra 2 zajmuje wszystkie pozostałe pozycje: $7 - 3 = 4$ razy.
Wybór 3 pozycji spośród 7 dla cyfry 1 jednoznacznie ustala obsadzenie pozostałych miejsc cyfrą 2 (jest dokładnie 1 możliwość wstawienia cyfr 2).
2. Obliczenie liczby kombinacji za pomocą symbolu Newtona:
Liczba sposobów rozmieszczenia cyfry 1 na 3 miejscach z 7 wynosi:
$$\begin{aligned}
\binom{7}{3} &= \dfrac{7!}{3! \cdot (7 - 3)!} \\[6pt]
&= \dfrac{7!}{3! \cdot 4!} \\[6pt]
&= \dfrac{4! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot 4!} \\[6pt]
&= \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 7}{6} \\[6pt]
&= 5 \cdot 7 = 35
\end{aligned}$$
3. Podsumowanie:
Na 3 wybranych miejscach wstawiamy cyfrę 1, a na pozostałych 4 miejscach cyfrę 2 (na 1 sposób):
$$\begin{aligned}
N &= \binom{7}{3} \cdot 1 = 35
\end{aligned}$$
Istnieje 35 takich liczb.
W pewnej klasie nauczyciel zadał do domu 8 zadań, z których każde miało po 4 podpunkty oraz 6 zadań, z których każde miało po 2 podpunkty. Ile podpunktów łącznie było zadane?
Obliczamy liczbę podpunktów z pierwszej grupy zadań. Mamy 8 zadań po 4 podpunkty:
$$ 8 \cdot 4 = 32 $$
Obliczamy liczbę podpunktów z drugiej grupy zadań. Mamy 6 zadań po 2 podpunkty:
$$ 6 \cdot 2 = 12 $$
Dodajemy obie wartości do siebie:
$$ 32 + 12 = 44 $$
$44$
2
Ile jest liczb 4-cyfrowych o cyfrach ze zbioru $\{1, 2, 3, 4\}$ takich, że cyfry mogą się powtarzać?
Tworzymy liczbę 4-cyfrową.
Mamy do dyspozycji 4 cyfry: $1, 2, 3, 4$.
Cyfry mogą się powtarzać.
Na każdym z czterech miejsc możemy postawić jedną z 4 cyfr.
Korzystamy z reguły mnożenia:
$$ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256 $$
$256$
3
Rzucamy czterokrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Ile jest różnych możliwych wyników?
Rzucamy kostką cztery razy.
W każdym rzucie może wypaść jedna z 6 liczb oczek (od 1 do 6).
W każdym z czterech rzutów mamy 6 możliwości.
Korzystamy z reguły mnożenia:
$$ 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 1296 $$
$1296$
4
Ile jest liczb 4-cyfrowych o cyfrach ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ takich, że cyfry nie mogą się powtarzać?
Tworzymy liczbę 4-cyfrową ze zbioru 6 cyfr.
Cyfry nie mogą się powtarzać.
Na pierwszym miejscu możemy postawić jedną z 6 cyfr.
Na drugim miejscu możemy postawić jedną z pozostałych 5 cyfr.
Na trzecim miejscu możemy postawić jedną z pozostałych 4 cyfr.
Na czwartym miejscu możemy postawić jedną z pozostałych 3 cyfr.
Korzystamy z reguły mnożenia:
$$ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360 $$
$360$
5
Rzucamy dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Ile jest różnych możliwych wyników takich, że liczba oczek w kolejnych rzutach się nie powtarza?
Rzucamy kostką dwa razy, wyniki nie mogą się powtarzać.
W pierwszym rzucie mamy 6 możliwych wyników.
W drugim rzucie wynik musi być inny niż w pierwszym, więc mamy 5 możliwości.
Korzystamy z reguły mnożenia:
$$ 6 \cdot 5 = 30 $$
$30$
6
Ile jest liczb czterocyfrowych, w których każda z cyfr $1, 2, 3$ i $4$ występuje dokładnie jeden raz?
Tworzymy liczbę 4-cyfrową z 4 dostępnych cyfr.
Każda cyfra występuje dokładnie jeden raz, więc mamy do czynienia z permutacjami zbioru 4-elementowego.
Liczba możliwości to $4!$ (cztery silnia).
Obliczamy:
$$ 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $$
$24$
7
Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 osób?
Ustawiamy 5 osób w kolejce.
Jest to permutacja zbioru 5-elementowego.
Liczba sposobów to $5!$ (pięć silnia).
Obliczamy:
$$ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 $$
$120$
8
Ile jest liczb 6-cyfrowych złożonych wyłącznie z cyfr 8 i 9 przy czym cyfra 8 występuje dokładnie dwa razy?
Tworzymy liczbę 6-cyfrową z cyfr 8 i 9.
Cyfra 8 ma wystąpić dokładnie 2 razy.
Wybieramy 2 miejsca z 6, na których postawimy cyfrę 8.
Możemy to zrobić na $\binom{6}{2}$ sposobów.
Na pozostałych 4 miejscach musi znajdować się cyfra 9.
Obliczamy symbol Newtona:
$$ \binom{6}{2} = \frac{6!}{2! \cdot (6 - 2)!} $$
$$ \binom{6}{2} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} $$
Rozpisujemy silnię w liczniku:
$$ \frac{4! \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 4!} $$
Skracamy $4!$:
$$ \frac{5 \cdot 6}{2} $$
$$ \frac{30}{2} = 15 $$
W pewnej klasie nauczyciel zadał do domu 12 zadań, z których każde miało po 2 podpunkty oraz 4 zadania, z których każde miało po 5 podpunktów. Ile podpunktów łącznie było zadane?
Obliczamy liczbę podpunktów z pierwszej grupy zadań. Mamy 12 zadań po 2 podpunkty:
$$ 12 \cdot 2 = 24 $$
Obliczamy liczbę podpunktów z drugiej grupy zadań. Mamy 4 zadania po 5 podpunktów:
$$ 4 \cdot 5 = 20 $$
Dodajemy obie wartości do siebie:
$$ 24 + 20 = 44 $$
$44$
2
Ile jest liczb 3-cyfrowych o cyfrach ze zbioru $\{6, 7, 8, 9\}$ takich, że cyfry mogą się powtarzać?
Tworzymy liczbę 3-cyfrową.
Mamy do dyspozycji 4 cyfry: $6, 7, 8, 9$.
Cyfry mogą się powtarzać.
Na każdym z trzech miejsc możemy postawić jedną z 4 cyfr.
Korzystamy z reguły mnożenia:
$$ 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 $$
$64$
3
Rzucamy trzykrotnie symetryczną czworościenną kostką do gry (na ściankach są liczby od 1 do 4). Ile jest różnych możliwych wyników?
Rzucamy kostką czworościenną trzy razy.
W każdym rzucie może wypaść jedna z 4 liczb oczek (od 1 do 4).
W każdym z trzech rzutów mamy 4 możliwości.
Korzystamy z reguły mnożenia:
$$ 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 $$
$64$
4
Ile jest liczb 3-cyfrowych o cyfrach ze zbioru $\{5, 6, 7, 8, 9\}$ takich, że cyfry nie mogą się powtarzać?
Tworzymy liczbę 3-cyfrową ze zbioru 5 cyfr.
Cyfry nie mogą się powtarzać.
Na pierwszym miejscu możemy postawić jedną z 5 cyfr.
Na drugim miejscu możemy postawić jedną z pozostałych 4 cyfr.
Na trzecim miejscu możemy postawić jedną z pozostałych 3 cyfr.
Korzystamy z reguły mnożenia:
$$ 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 $$
$60$
5
Rzucamy czterokrotnie symetryczną czworościenną kostką do gry (na ściankach są liczby od 1 do 4). Ile jest różnych możliwych wyników takich, że liczba oczek w kolejnych rzutach się nie powtarza?
Rzucamy kostką cztery razy, wyniki nie mogą się powtarzać.
W pierwszym rzucie mamy 4 możliwe wyniki.
W drugim rzucie wynik musi być inny, więc mamy 3 możliwości.
W trzecim rzucie wynik musi być inny niż dotychczasowe, więc mamy 2 możliwości.
W czwartym rzucie zostaje tylko 1 możliwość.
Korzystamy z reguły mnożenia:
$$ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $$
$24$
6
Ile jest liczb sześciocyfrowych, w których każda z cyfr $1, 2, 3, 4, 5$ i $6$ występuje dokładnie jeden raz?
Tworzymy liczbę 6-cyfrową z 6 dostępnych cyfr.
Każda cyfra występuje dokładnie jeden raz, więc mamy do czynienia z permutacjami zbioru 6-elementowego.
Liczba możliwości to $6!$ (sześć silnia).
Obliczamy:
$$ 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 $$
$720$
7
Na ile sposobów można ustawić w kolejce 4 osoby?
Ustawiamy 4 osoby w kolejce.
Jest to permutacja zbioru 4-elementowego.
Liczba sposobów to $4!$ (cztery silnia).
Obliczamy:
$$ 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $$
$24$
8
Ile jest liczb 5-cyfrowych złożonych wyłącznie z cyfr 3 i 4 przy czym cyfra 3 występuje dokładnie cztery razy?
Tworzymy liczbę 5-cyfrową z cyfr 3 i 4.
Cyfra 3 ma wystąpić dokładnie 4 razy.
Wybieramy 4 miejsca z 5, na których postawimy cyfrę 3.
Możemy to zrobić na $\binom{5}{4}$ sposobów.
Na pozostałym 1 miejscu musi znajdować się cyfra 4.
Obliczamy symbol Newtona:
$$ \binom{5}{4} = \frac{5!}{4! \cdot (5 - 4)!} $$
$$ \binom{5}{4} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} $$
Rozpisujemy silnię w liczniku:
$$ \frac{4! \cdot 5}{4! \cdot 1} $$
Skracamy $4!$:
$$ 5 $$
W pewnej klasie nauczyciel zadał do domu 7 zadań, z których każde miało po 3 podpunkty oraz 9 zadań, z których każde miało po 2 podpunkty. Ile podpunktów łącznie było zadane?
Obliczamy liczbę podpunktów z pierwszej grupy zadań. Mamy 7 zadań po 3 podpunkty:
$$ 7 \cdot 3 = 21 $$
Obliczamy liczbę podpunktów z drugiej grupy zadań. Mamy 9 zadań po 2 podpunkty:
$$ 9 \cdot 2 = 18 $$
Dodajemy obie wartości do siebie:
$$ 21 + 18 = 39 $$
$39$
2
Ile jest liczb 5-cyfrowych o cyfrach ze zbioru $\{1, 2, 3\}$ takich, że cyfry mogą się powtarzać?
Tworzymy liczbę 5-cyfrową.
Mamy do dyspozycji 3 cyfry: $1, 2, 3$.
Cyfry mogą się powtarzać.
Na każdym z pięciu miejsc możemy postawić jedną z 3 cyfr.
Korzystamy z reguły mnożenia:
$$ 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243 $$
$243$
3
Rzucamy dwukrotnie symetryczną ośmiościenną kostką do gry (na ściankach są liczby od 1 do 8). Ile jest różnych możliwych wyników?
Rzucamy kostką ośmiościenną dwa razy.
W każdym rzucie może wypaść jedna z 8 liczb oczek (od 1 do 8).
W każdym z dwóch rzutów mamy 8 możliwości.
Korzystamy z reguły mnożenia:
$$ 8 \cdot 8 = 64 $$
$64$
4
Ile jest liczb 3-cyfrowych o cyfrach ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ takich, że cyfry nie mogą się powtarzać?
Tworzymy liczbę 3-cyfrową ze zbioru 7 cyfr.
Cyfry nie mogą się powtarzać.
Na pierwszym miejscu możemy postawić jedną z 7 cyfr.
Na drugim miejscu możemy postawić jedną z pozostałych 6 cyfr.
Na trzecim miejscu możemy postawić jedną z pozostałych 5 cyfr.
Korzystamy z reguły mnożenia:
$$ 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210 $$
$210$
5
Rzucamy trzykrotnie symetryczną ośmiościenną kostką do gry (na ściankach są liczby od 1 do 8). Ile jest różnych możliwych wyników takich, że liczba oczek w kolejnych rzutach się nie powtarza?
Rzucamy kostką trzy razy, wyniki nie mogą się powtarzać.
W pierwszym rzucie mamy 8 możliwych wyników.
W drugim rzucie wynik musi być inny, więc mamy 7 możliwości.
W trzecim rzucie wynik musi być inny niż dotychczasowe, więc mamy 6 możliwości.
Korzystamy z reguły mnożenia:
$$ 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336 $$
$336$
6
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których każda z cyfr $7, 8$ i $9$ występuje dokładnie jeden raz?
Tworzymy liczbę 3-cyfrową z 3 dostępnych cyfr.
Każda cyfra występuje dokładnie jeden raz, więc mamy do czynienia z permutacjami zbioru 3-elementowego.
Liczba możliwości to $3!$ (trzy silnia).
Obliczamy:
$$ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $$
$6$
7
Na ile sposobów można ustawić w kolejce 7 osób?
Ustawiamy 7 osób w kolejce.
Jest to permutacja zbioru 7-elementowego.
Liczba sposobów to $7!$ (siedem silnia).
Obliczamy:
$$ 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040 $$
$5040$
8
Ile jest liczb 8-cyfrowych złożonych wyłącznie z cyfr 5 i 6 przy czym cyfra 5 występuje dokładnie dwa razy?
Tworzymy liczbę 8-cyfrową z cyfr 5 i 6.
Cyfra 5 ma wystąpić dokładnie 2 razy.
Wybieramy 2 miejsca z 8, na których postawimy cyfrę 5.
Możemy to zrobić na $\binom{8}{2}$ sposobów.
Na pozostałych 6 miejscach musi znajdować się cyfra 6.
Obliczamy symbol Newtona:
$$ \binom{8}{2} = \frac{8!}{2! \cdot (8 - 2)!} $$
$$ \binom{8}{2} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} $$
Rozpisujemy silnię w liczniku:
$$ \frac{6! \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 6!} $$
Skracamy $6!$:
$$ \frac{7 \cdot 8}{2} $$
$$ \frac{56}{2} = 28 $$
