| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Przekątna sześcianu jest o 2 dłuższa od krawędzi tego sześcianu. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego sześcianu. | $12(\sqrt{3} + 1)$ |
| 2 | Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $2\sqrt{6}$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$. Oblicz objętość tego graniastosłupa. | $9\sqrt{6}$ |
| 3 | W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątna ściany bocznej jest 3 razy dłuższa od wysokości tego graniastosłupa, a objętość tego graniastosłupa wynosi $16\sqrt{3}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. | $16\sqrt{3} + 24\sqrt{2}$ |
| 4 | Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens wynosi $\frac{4}{3}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $192$ |
| 5 | Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego trójkątnego są trójkątami równoramiennymi, w których podstawa ma długość 12, a ramiona 13. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $132\sqrt{3}$ |
| 6 | Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $H$, a kąt między przekątną tego graniastosłupa a krawędzią podstawy miarę $\alpha$. Wyznacz objętość tego graniastosłupa. | $V = \frac{H^3 \cos^2 \alpha}{1 - 2\cos^2 \alpha}$ |
| 7 | Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne mają długości $|AC| = 3$ i $|AB| = 4$, a krawędź $AS$ jest wysokością tego ostrosłupa. Wiedząc także, że pole trójkąta $BCS$ wynosi 10, oblicz objętość tego ostrosłupa. | $\frac{32}{5}$ |
| 8 | Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $48\sqrt{3}$, a odległość środka wysokości tego ostrosłupa od ściany bocznej jest równa 1. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $64$ |
| 9 | Tangens kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy wynosi 2, a przekątna ściany bocznej ma długość $3\sqrt{2}$. Oblicz objętość tego graniastosłupa. | $8$ |
| 10 | W ostrosłupie trójkątnym krawędzie podstawy mają odpowiednio długości 50, 78 i 112. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 169. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $87360$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Przekątna sześcianu jest o 4 dłuższa od krawędzi tego sześcianu. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego sześcianu. | $24(\sqrt{3} + 1)$ |
| 2 | Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $4\sqrt{3}$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$. Oblicz objętość tego graniastosłupa. | $36$ |
| 3 | W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątna ściany bocznej jest 2 razy dłuższa od wysokości tego graniastosłupa, a objętość tego graniastosłupa wynosi $6\sqrt{3}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. | $18\sqrt{3}$ |
| 4 | Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 13 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens wynosi $\frac{12}{5}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $200$ |
| 5 | Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego trójkątnego są trójkątami równoramiennymi, w których podstawa ma długość 6, a ramiona 5. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $3\sqrt{39}$ |
| 6 | Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $h$, a kąt między przekątną tego graniastosłupa a krawędzią podstawy miarę $\beta$. Wyznacz objętość tego graniastosłupa. | $V = \frac{h^3 \cos^2 \beta}{1 - 2\cos^2 \beta}$ |
| 7 | Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne mają długości $|AC| = 6$ i $|AB| = 8$, a krawędź $AS$ jest wysokością tego ostrosłupa. Wiedząc także, że pole trójkąta $BCS$ wynosi 40, oblicz objętość tego ostrosłupa. | $\frac{256}{5}$ |
| 8 | Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $108\sqrt{3}$, a odległość środka wysokości tego ostrosłupa od ściany bocznej jest równa 2. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $\frac{432\sqrt{15}}{5}$ |
| 9 | Tangens kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy wynosi 3, a przekątna ściany bocznej ma długość $2\sqrt{19}$. Oblicz objętość tego graniastosłupa. | $24\sqrt{2}$ |
| 10 | W ostrosłupie trójkątnym krawędzie podstawy mają odpowiednio długości 104, 112 i 120. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 97. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $129024$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Przekątna sześcianu jest o 6 dłuższa od krawędzi tego sześcianu. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego sześcianu. | $36(\sqrt{3} + 1)$ |
| 2 | Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $6\sqrt{2}$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45^\circ$. Oblicz objętość tego graniastosłupa. | $108$ |
| 3 | W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątna ściany bocznej jest $\sqrt{5}$ razy dłuższa od wysokości tego graniastosłupa, a objętość tego graniastosłupa wynosi $8\sqrt{3}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. | $8\sqrt{3} + 24$ |
| 4 | Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 17 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens wynosi $\frac{15}{8}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $640$ |
| 5 | Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego trójkątnego są trójkątami równoramiennymi, w których podstawa ma długość 18, a ramiona 15. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $81\sqrt{39}$ |
| 6 | Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $m$, a kąt między przekątną tego graniastosłupa a krawędzią podstawy miarę $\gamma$. Wyznacz objętość tego graniastosłupa. | $V = \frac{m^3 \cos^2 \gamma}{1 - 2\cos^2 \gamma}$ |
| 7 | Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne mają długości $|AC| = 15$ i $|AB| = 20$, a krawędź $AS$ jest wysokością tego ostrosłupa. Wiedząc także, że pole trójkąta $BCS$ wynosi 250, oblicz objętość tego ostrosłupa. | $800$ |
| 8 | Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $300\sqrt{3}$, a odległość środka wysokości tego ostrosłupa od ściany bocznej jest równa 3. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $750\sqrt{3}$ |
| 9 | Tangens kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy wynosi 4, a przekątna ściany bocznej ma długość $3\sqrt{33}$. Oblicz objętość tego graniastosłupa. | $108\sqrt{2}$ |
| 10 | W ostrosłupie trójkątnym krawędzie podstawy mają odpowiednio długości 102, 150 i 168. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 157. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $332640$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Przekątna sześcianu jest o 8 dłuższa od krawędzi tego sześcianu. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego sześcianu. | $48(\sqrt{3} + 1)$ |
| 2 | Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$. Oblicz objętość tego graniastosłupa. | $96$ |
| 3 | W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątna ściany bocznej jest $\sqrt{10}$ razy dłuższa od wysokości tego graniastosłupa, a objętość tego graniastosłupa wynosi $18\sqrt{3}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. | $18\sqrt{3} + 36$ |
| 4 | Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 25 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens wynosi $\frac{24}{7}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $784$ |
| 5 | Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego trójkątnego są trójkątami równoramiennymi, w których podstawa ma długość 24, a ramiona 15. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $144\sqrt{11}$ |
| 6 | Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $k$, a kąt między przekątną tego graniastosłupa a krawędzią podstawy miarę $\delta$. Wyznacz objętość tego graniastosłupa. | $V = \frac{k^3 \cos^2 \delta}{1 - 2\cos^2 \delta}$ |
| 7 | Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne mają długości $|AC| = 30$ i $|AB| = 40$, a krawędź $AS$ jest wysokością tego ostrosłupa. Wiedząc także, że pole trójkąta $BCS$ wynosi 1000, oblicz objętość tego ostrosłupa. | $6400$ |
| 8 | Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $300\sqrt{3}$, a odległość środka wysokości tego ostrosłupa od ściany bocznej jest równa 4. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $\frac{4000\sqrt{3}}{3}$ |
| 9 | Tangens kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy wynosi 1, a przekątna ściany bocznej ma długość $3\sqrt{3}$. Oblicz objętość tego graniastosłupa. | $27\sqrt{2}$ |
| 10 | W ostrosłupie trójkątnym krawędzie podstawy mają odpowiednio długości 14, 30 i 40. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 65. Oblicz objętość tego ostrosłupa. | $3360$ |