Dziedzina funkcji liczbowej LiczBit

3.3 Dziedzina funkcji liczbowej

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresy funkcji. Podaj dziedzinę każdej z nich.

Wskazówki:

Dziedzinę funkcji $D$ odczytujemy z poziomej osi $OX$, sprawdzając zasięg wykresu od lewej do prawej strony.
Zamalowane kółko oznacza, że punkt należy do dziedziny (nawias domknięty $\langle$ lub $\rangle$), a puste kółko oznacza wyłączenie argumentu (nawias otwarty $($ lub $)$).
Pojedyncze punkty zapisujemy w klamrach $\{ \dots \}$, a oddzielne fragmenty łączymy symbolem sumy $\cup$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie dziedziny w podpunkcie a):
Wykres jest ciągłą linią łamaną bez żadnych przerw. Zaczyna się po lewej stronie w punkcie zamalowanym $(-4, -1)$, a kończy po prawej stronie w punkcie zamalowanym $(3, -2)$. Rzutując cały wykres na oś $OX$, otrzymujemy przedział obustronnie domknięty:

$$D = \langle -4, 3\rangle$$
Wyznaczenie dziedziny w podpunkcie b):
Wykres składa się z dwóch niezależnych odcinków:
- Pierwszy odcinek rozciąga się od punktu otwartego $(-5, 2)$ do punktu zamalowanego $(-2, 0)$, co odpowiada przedziałowi $(-5, -2\rangle$.
- Drugi odcinek biegnie od punktu zamalowanego $(1, -2)$ do punktu otwartego $(4, 1)$, dając przedział $\langle 1, 4)$.

$$D = (-5, -2\rangle \cup \langle 1, 4)$$
Wyznaczenie dziedziny w podpunkcie c):
Wykres to ciągły łuk krzywej:
- Lewy koniec to punkt domknięty $(-3, 3)$, więc liczba $-3$ należy do dziedziny.
- Prawy koniec to punkt otwarty $(3, 2)$, więc liczba $3$ jest wyłączona.
Rzut na oś $OX$ tworzy przedział lewostronnie domknięty, prawostronnie otwarty:

$$D = \langle -3, 3)$$
Wyznaczenie dziedziny w podpunkcie d):
Wykres składa się z dwóch odcinków stykających się w punkcie $(1, 3)$, w którym znajduje się kółko otwarte:
- Lewy odcinek obejmuje argumenty od $-4$ (punkt zamalowany) do $1$ (punkt otwarty): $\langle -4, 1)$.
- Prawy odcinek obejmuje argumenty od $1$ (punkt otwarty) do $5$ (punkt zamalowany): $(1, 5\rangle$.
Dla argumentu $x = 1$ funkcja nie przyjmuje żadnej wartości, więc liczba $1$ odpada ze zbioru:

$$D = \langle -4, 1) \cup (1, 5\rangle = \langle -4, 5\rangle \setminus \{1\}$$
Wyznaczenie dziedziny w podpunkcie e):
Wykres tworzą dwa izolowane punkty oraz jeden odcinek poziomy:
- Punkt $(-5, -1)$ odpowiada argumentowi $x = -5$.
- Punkt $(-3, 2)$ odpowiada argumentowi $x = -3$.
- Poziomy odcinek ma oba końce domknięte: od $x = 0$ do $x = 4$, co daje przedział $\langle 0, 4\rangle$.

$$D = \{-5, -3\} \cup \langle 0, 4\rangle$$
Wyznaczenie dziedziny w podpunkcie f):
Wykres składa się z dwóch nachodzących na siebie fragmentów stykających się przy $x = -1$:
- Lewy odcinek ma oba końce otwarte: $x \in (-4, -1)$.
- Prawy odcinek ma oba końce domknięte: $x \in \langle -1, 3\rangle$.
Dla argumentu $x = -1$ funkcja przyjmuje wartość $f(-1) = 2$ (z punktu zamalowanego). Oznacza to, że liczba $-1$ NALEŻY do dziedziny, a oba przedziały łączą się w jeden:

$$D = (-4, -1) \cup \langle -1, 3\rangle = (-4, 3\rangle$$

Odpowiedź:
a) $D = \langle -4, 3\rangle$
b) $D = (-5, -2\rangle \cup \langle 1, 4)$
c) $D = \langle -3, 3)$
d) $D = \langle -4, 1) \cup (1, 5\rangle$
e) $D = \{-5, -3\} \cup \langle 0, 4\rangle$
f) $D = (-4, 3\rangle$

Zadanie 2 (3 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$, jeśli:

a) $f(x) = \dfrac{x + 7}{(x + 2)(x - 4)}$

b) $f(x) = \dfrac{7x - 2}{x^2 + 5}$

c) $f(x) = \dfrac{5x + 3}{x(x - 9)}$

d) $f(x) = \dfrac{4x - 1}{(5x - 2)(2x + 7)}$

e) $f(x) = \dfrac{3}{(x - 8)x(x + 2)}$

f) $f(x) = \dfrac{x^3 - 5}{(x + 6)(x^2 + 9)}$

Wskazówki:

Dzielenie przez zero jest niewykonalne, dlatego mianownik każdego wyrażenia ułamkowego musi być różny od zera.
Iloczyn nawiasów jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z tych nawiasów nie przyjmuje wartości zero.
Suma kwadratu i liczby dodatniej, np. $x^2 + 5$ lub $x^2 + 9$, jest ściśle dodatnia dla wszystkich $x \in \mathbb{R}$, co oznacza brak miejsc zerowych takiego czynnika.
Na osi liczbowej wyłączone punkty oznaczamy pustymi kółkami, a pozostałą część osi zaznaczamy jako dziedzinę.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie dziedziny w podpunkcie a):
W funkcji $f(x) = \dfrac{x + 7}{(x + 2)(x - 4)}$ mianownik nie może być równy zero: $$(x + 2)(x - 4) \neq 0$$ Przyrównujemy poszczególne czynniki do zera z negacją: $$x + 2 \neq 0 \quad \land \quad x - 4 \neq 0$$ $$x \neq -2 \quad \land \quad x \neq 4$$ Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych bez liczb $-2$ oraz $4$:

$$D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 4\}$$
Wyznaczenie dziedziny w podpunkcie b):
W funkcji $f(x) = \dfrac{7x - 2}{x^2 + 5}$ mianownik musi być różny od zera: $$x^2 + 5 \neq 0$$ Ponieważ $x^2 \ge 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$, zachodzi: $$x^2 + 5 \ge 5 > 0$$ Mianownik jest zawsze większy od zera, co oznacza brak ograniczeń dla argumentu $x$:

$$D = \mathbb{R}$$
Wyznaczenie dziedziny w podpunkcie c):
W funkcji $f(x) = \dfrac{5x + 3}{x(x - 9)}$ mianownik nie może być zerem: $$x(x - 9) \neq 0$$ Iloczyn nie może się zerować, więc żaden czynnik nie może być zerem: $$x \neq 0 \quad \land \quad x - 9 \neq 0$$ $$x \neq 0 \quad \land \quad x \neq 9$$ Z dziedziny wyłączamy wartości $0$ oraz $9$:

$$D = \mathbb{R} \setminus \{0, 9\}$$
Wyznaczenie dziedziny w podpunkcie d):
W funkcji $f(x) = \dfrac{4x - 1}{(5x - 2)(2x + 7)}$ mianownik musi być różny od zera: $$(5x - 2)(2x + 7) \neq 0$$ Rozwiązujemy oba warunki liniowe: $$5x - 2 \neq 0 \quad \land \quad 2x + 7 \neq 0$$ $$5x \neq 2 \quad \land \quad 2x \neq -7$$ $$x \neq \dfrac{2}{5} \quad \land \quad x \neq -\dfrac{7}{2}$$ Wyłączamy z dziedziny liczby $-\dfrac{7}{2}$ oraz $\dfrac{2}{5}$:

$$D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{7}{2}, \dfrac{2}{5}\right\}$$
Wyznaczenie dziedziny w podpunkcie e):
W funkcji $f(x) = \dfrac{3}{(x - 8)x(x + 2)}$ mianownik składa się z iloczynu trzech czynników: $$(x - 8) \cdot x \cdot (x + 2) \neq 0$$ Wszystkie trzy czynniki muszą być jednocześnie różne od zera: $$x - 8 \neq 0 \quad \land \quad x \neq 0 \quad \land \quad x + 2 \neq 0$$ $$x \neq 8 \quad \land \quad x \neq 0 \quad \land \quad x \neq -2$$ Porządkując od najmniejszej liczby, wykluczamy $-2$, $0$ oraz $8$:

$$D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 8\}$$
Wyznaczenie dziedziny w podpunkcie f):
W funkcji $f(x) = \dfrac{x^3 - 5}{(x + 6)(x^2 + 9)}$ sprawdzamy zerowanie mianownika: $$(x + 6)(x^2 + 9) \neq 0$$ Otrzymujemy warunki: $$x + 6 \neq 0 \quad \land \quad x^2 + 9 \neq 0$$ Z pierwszego czynnika otrzymujemy: $x \neq -6$.
Drugi czynnik spełnia nierówność $x^2 + 9 \ge 9 > 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$, więc nie daje żadnych dodatkowych wyłączeń.
Jedynym punktem usuniętym ze zbioru liczb rzeczywistych jest $-6$:

$$D = \mathbb{R} \setminus \{-6\}$$

Odpowiedź:
a) $D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 4\}$
b) $D = \mathbb{R}$
c) $D = \mathbb{R} \setminus \{0, 9\}$
d) $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{7}{2}, \dfrac{2}{5}\right\}$
e) $D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 8\}$
f) $D = \mathbb{R} \setminus \{-6\}$

Zadanie 3 (3 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$, jeśli:

a) $f(x) = \dfrac{2x + 7}{16x^2 - 8x + 1}$

b) $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{9x^2 - 30x + 25}$

c) $f(x) = \dfrac{4}{25x^2 + 20x + 4}$

Wskazówki:

Dziedziną funkcji wymiernej są wszystkie liczby rzeczywiste, dla których mianownik nie przyjmuje wartości zero.
Zauważ, że współczynniki w mianownikach tworzą kwadraty sumy bądź różnicy: $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$.
Równość $(ax \pm b)^2 = 0$ zachodzi wyłącznie wtedy, gdy $ax \pm b = 0$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie dziedziny dla podpunktu a):
W funkcji $f(x) = \dfrac{2x + 7}{16x^2 - 8x + 1}$ sprawdzamy, kiedy mianownik jest różny od zera: $$16x^2 - 8x + 1 \neq 0$$ Wyrażenie w mianowniku to kwadrat różnicy $(4x - 1)^2$: $$(4x - 1)^2 \neq 0$$ Rozwiązujemy warunek dla podstawy potęgi: $$4x - 1 \neq 0$$ $$4x \neq 1$$ $$x \neq \dfrac{1}{4}$$ Dziedziną funkcji jest zbiór: $$D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{4}\right\}$$
Wyznaczenie dziedziny dla podpunktu b):
W funkcji $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{9x^2 - 30x + 25}$ mianownik nie może się zerować: $$9x^2 - 30x + 25 \neq 0$$ Zwijamy trójmian za pomocą wzoru $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a = 3x$ i $b = 5$: $$(3x - 5)^2 \neq 0$$ Otrzymujemy: $$3x - 5 \neq 0$$ $$3x \neq 5$$ $$x \neq \dfrac{5}{3}$$ Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby $\dfrac{5}{3}$: $$D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{5}{3}\right\}$$
Wyznaczenie dziedziny dla podpunktu c):
Dla funkcji $f(x) = \dfrac{4}{25x^2 + 20x + 4}$ mianownik musi spełniać warunek: $$25x^2 + 20x + 4 \neq 0$$ Stosujemy wzór na kwadrat sumy $(a + b)^2$, gdzie $a = 5x$ i $b = 2$: $$(5x + 2)^2 \neq 0$$ Rozwiązujemy równanie liniowe dla podstawy kwadratu: $$5x + 2 \neq 0$$ $$5x \neq -2$$ $$x \neq -\dfrac{2}{5}$$ Dziedzina funkcji to: $$D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{2}{5}\right\}$$

Odpowiedź:
a) $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{4}\right\}$
b) $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{5}{3}\right\}$
c) $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{2}{5}\right\}$

Zadanie 4 (3 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$, jeśli:

a) $f(x) = \sqrt{3x - 12}$

b) $f(x) = \sqrt{10 - 2x}$

c) $f(x) = \dfrac{7}{\sqrt{12 - 4x}}$

d) $f(x) = \dfrac{2x - 1}{\sqrt{x + 5}}$

e) $f(x) = \sqrt{x + 3} + \dfrac{1}{\sqrt{3x - 6}}$

f) $f(x) = \dfrac{x - 4}{\sqrt{8 - x}} - \sqrt{x + 1}$

Wskazówki:

Wyrażenie pod pierwiastkiem stopnia parzystego musi być większe lub równe zero ($\ge 0$), ponieważ pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.
Mianownik ułamka nigdy nie może być równy zero. Jeśli pod pierwiastkiem w mianowniku znajduje się wyrażenie, musi ono być ściśle dodatnie ($> 0$).
Gdy wzór funkcji składa się z kilku składników, wyznaczamy warunek dla każdego z nich osobno, a ostateczną dziedziną jest ich część wspólna (iloczyn zbiorów).
Pamiętaj: dzieląc lub mnożąc obie strony nierówności przez liczbę ujemną, zawsze zmieniamy zwrot znaku nierówności na przeciwny.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) – wyznaczenie dziedziny dla $f(x) = \sqrt{3x - 12}$:
Pierwiastek kwadratowy istnieje tylko dla liczb nieujemnych. Wyrażenie podpierwiastkowe musi spełniać warunek: $$3x - 12 \ge 0$$ Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę: $$3x \ge 12$$ Dzielimy obie strony przez $3$: $$x \ge 4$$ Otrzymujemy przedział jednostronnie domknięty: $D = \langle 4, +\infty)$.
Podpunkt b) – wyznaczenie dziedziny dla $f(x) = \sqrt{10 - 2x}$:
Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne: $$10 - 2x \ge 0$$ Odejmujemy $10$ od obu stron: $$-2x \ge -10$$ Dzielimy obie strony przez $-2$. Pamiętamy o zmianie zwrotu nierówności na przeciwny: $$x \le 5$$ Zatem dziedziną jest przedział: $D = (-\infty, 5\rangle$.
Podpunkt c) – wyznaczenie dziedziny dla $f(x) = \dfrac{7}{\sqrt{12 - 4x}}$:
Pierwiastek znajduje się w mianowniku. Zwykle wyrażenie podpierwiastkowe musi spełniać $12 - 4x \ge 0$, ale ponieważ mianownik nie może być równy $0$ ($\sqrt{12 - 4x} \ne 0 \implies 12 - 4x \ne 0$), łączny warunek to ostra nierówność: $$12 - 4x > 0$$ Przenosimy wyraz wolny: $$-4x > -12$$ Dzielimy przez $-4$ i zmieniamy zwrot nierówności: $$x < 3$$ Punkt $3$ nie należy do dziedziny (kółko otwarte): $D = (-\infty, 3)$.
Podpunkt d) – wyznaczenie dziedziny dla $f(x) = \dfrac{2x - 1}{\sqrt{x + 5}}$:
Licznik $2x - 1$ jest określony dla każdej liczby rzeczywistej. W mianowniku mamy pierwiastek kwadratowy, więc wyrażenie pod nim musi być ściśle dodatnie: $$x + 5 > 0$$ Odejmujemy $5$ od obu stron: $$x > -5$$ Zatem dziedziną jest przedział otwarty: $D = (-5, +\infty)$.
Podpunkt e) – wyznaczenie dziedziny dla $f(x) = \sqrt{x + 3} + \dfrac{1}{\sqrt{3x - 6}}$:
Funkcja jest sumą dwóch składników, więc oba muszą mieć sens liczbowy jednocześnie. Układamy układ warunków: $$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 3x - 6 > 0 \end{cases}$$ Rozwiązujemy każdą nierówność osobno: $$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3 \implies x \in \langle -3, +\infty)$$ $$3x - 6 > 0 \implies 3x > 6 \implies x > 2 \implies x \in (2, +\infty)$$ Wyznaczamy część wspólną obu zbiorów: $$\langle -3, +\infty) \cap (2, +\infty) = (2, +\infty)$$ Dziedzina funkcji wynosi: $D = (2, +\infty)$.
Podpunkt f) – wyznaczenie dziedziny dla $f(x) = \dfrac{x - 4}{\sqrt{8 - x}} - \sqrt{x + 1}$:
Wyznaczamy warunki istnienia dla obu składników: $$\begin{cases} 8 - x > 0 \quad \text{(mianownik i pierwiastek)} \\ x + 1 \ge 0 \quad \text{(pierwiastek w liczniku)} \end{cases}$$ Rozwiązujemy obie nierówności: $$8 - x > 0 \implies -x > -8 \implies x < 8 \implies x \in (-\infty, 8)$$ $$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1 \implies x \in \langle -1, +\infty)$$ Wyznaczamy iloczyn (część wspólną) zbiorów: $$(-\infty, 8) \cap \langle -1, +\infty) = \langle -1, 8)$$ Zatem dziedziną funkcji jest przedział lewostronnie domknięty: $D = \langle -1, 8)$.

Odpowiedź:
a) $D = \langle 4, +\infty)$
b) $D = (-\infty, 5\rangle$
c) $D = (-\infty, 3)$
d) $D = (-5, +\infty)$
e) $D = (2, +\infty)$
f) $D = \langle -1, 8)$

Zadanie 5 (3 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$, jeśli:

a) $f(x) = \dfrac{\sqrt{8+2x}}{2x} + \dfrac{1}{\sqrt{6-x}}$

b) $f(x) = \dfrac{\sqrt{2x-6}}{\sqrt{10-x}} - \dfrac{3}{x+5}$

c) $f(x) = \dfrac{3x}{(2x-10)(4x+8)} + \sqrt{9-2x}$

d) $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-1}} + \dfrac{x+4}{x^2-10x+25}$

e) $f(x) = \dfrac{\sqrt{7-x}}{\sqrt{3x-6}} - \sqrt{6-2x}$

f) $f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2+6x+9}}{x^2-1} - \dfrac{x^2+2}{\sqrt{9-2x}}$

Wskazówki:

Mianownik nie może być zerem ($\ne 0$).
Wyrażenie pod pierwiastkiem stopnia parzystego w liczniku musi być nieujemne ($\ge 0$), a w mianowniku ściśle dodatnie ($> 0$).
Wyznacz dziedzinę jako część wspólną wszystkich nałożonych warunków.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozwiązanie podpunktu a:
Funkcja ma postać $f(x) = \dfrac{\sqrt{8+2x}}{2x} + \dfrac{1}{\sqrt{6-x}}$. Ustalamy warunki:
1) Licznik pierwszego ułamka: $$8 + 2x \ge 0 \iff 2x \ge -8 \iff x \ge -4$$ 2) Mianownik pierwszego ułamka: $$2x \ne 0 \iff x \ne 0$$ 3) Mianownik drugiego ułamka: $$6 - x > 0 \iff x < 6$$ Część wspólna: $x \in \langle -4, 6) \setminus \{0\}$.

Zatem: $D = \langle -4, 0) \cup (0, 6)$.
Rozwiązanie podpunktu b:
Funkcja ma postać $f(x) = \dfrac{\sqrt{2x-6}}{\sqrt{10-x}} - \dfrac{3}{x+5}$. Ustalamy warunki:
1) Licznik pierwszego ułamka: $2x - 6 \ge 0 \iff 2x \ge 6 \iff x \ge 3$.
2) Mianownik pierwszego ułamka: $10 - x > 0 \iff x < 10$.
3) Mianownik drugiego ułamka: $x + 5 \ne 0 \iff x \ne -5$.
Część wspólna $x \ge 3$ i $x < 10$ to przedział $\langle 3, 10)$. Wartość $-5$ leży poza tym przedziałem, więc nie wpływa na wynik.
Zatem: $D = \langle 3, 10)$.
Rozwiązanie podpunktu c:
Funkcja ma postać $f(x) = \dfrac{3x}{(2x-10)(4x+8)} + \sqrt{9-2x}$. Ustalamy warunki:
1) Mianownik ułamka: $$(2x - 10)(4x + 8) \ne 0 \iff 2x \ne 10 \quad \text{i} \quad 4x \ne -8 \iff x \ne 5 \quad \text{i} \quad x \ne -2$$ 2) Pierwiastek: $$9 - 2x \ge 0 \iff -2x \ge -9 \iff x \le \dfrac{9}{2} \iff x \le 4{,}5$$ Liczba $5$ jest większa od $4{,}5$, więc odpada poza zakresem. Liczbę $-2$ musimy wykluczyć z przedziału $(-\infty; 4{,}5\rangle$.
Zatem: $D = (-\infty, -2) \cup (-2; 4{,}5\rangle$.
Rozwiązanie podpunktu d:
Funkcja ma postać $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-1}} + \dfrac{x+4}{x^2-10x+25}$. Ustalamy warunki:
1) $x + 2 \ge 0 \iff x \ge -2$
2) $x - 1 > 0 \iff x > 1$
Część wspólna tych dwóch warunków to $x > 1$.
3) Mianownik drugiego ułamka: $$x^2 - 10x + 25 \ne 0 \iff (x - 5)^2 \ne 0 \iff x \ne 5$$ Zatem: $D = (1, 5) \cup (5, +\infty)$.
Rozwiązanie podpunktu e:
Funkcja ma postać $f(x) = \dfrac{\sqrt{7-x}}{\sqrt{3x-6}} - \sqrt{6-2x}$. Ustalamy warunki:
1) $7 - x \ge 0 \iff x \le 7$
2) $3x - 6 > 0 \iff 3x > 6 \iff x > 2$
3) $6 - 2x \ge 0 \iff -2x \ge -6 \iff x \le 3$
Łącząc warunki $x > 2$ oraz $x \le 3$ oraz $x \le 7$, otrzymujemy część wspólną:

Zatem: $D = (2, 3\rangle$.
Rozwiązanie podpunktu f:
Funkcja ma postać $f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2+6x+9}}{x^2-1} - \dfrac{x^2+2}{\sqrt{9-2x}}$. Ustalamy warunki:
1) Pod pierwiastkiem w liczniku mamy $x^2+6x+9 = (x+3)^2 \ge 0$, co zachodzi dla każdego $x \in \mathbb{R}$.
2) Pierwszy mianownik: $$x^2 - 1 \ne 0 \iff (x - 1)(x + 1) \ne 0 \iff x \ne 1 \quad \text{i} \quad x \ne -1$$ 3) Drugi mianownik: $$9 - 2x > 0 \iff -2x > -9 \iff x < \dfrac{9}{2} \iff x < 4{,}5$$ Zarówno $-1$, jak i $1$ są mniejsze od $4{,}5$, więc obie te liczby wyłączamy z przedziału $(-\infty; 4{,}5)$.
Zatem: $D = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1; 4{,}5)$.

Odpowiedź:
a) $D = \langle -4, 0) \cup (0, 6)$
b) $D = \langle 3, 10)$
c) $D = (-\infty, -2) \cup (-2; 4{,}5\rangle$
d) $D = (1, 5) \cup (5, +\infty)$
e) $D = (2, 3\rangle$
f) $D = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1; 4{,}5)$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresy funkcji. Podaj dziedzinę każdej z nich.

Zadanie 2 (3 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$, jeśli:

a) $f(x) = \dfrac{x - 3}{(x - 2)(x + 5)}$

b) $f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 7}$

c) $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x(x - 6)}$

d) $f(x) = \dfrac{2x - 5}{(2x - 3)(4x + 1)}$

e) $f(x) = \dfrac{1}{(x + 4)x(x - 3)}$

f) $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{(x - 5)(x^2 + 4)}$

Zadanie 3 (3 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$, jeśli:

a) $f(x) = \dfrac{x - 3}{9x^2 + 12x + 4}$

b) $f(x) = \dfrac{5 - 2x}{25x^2 - 10x + 1}$

c) $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{16x^2 + 24x + 9}$

Zadanie 4 (3 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$, jeśli:

a) $f(x) = \sqrt{4x - 20}$

b) $f(x) = \sqrt{18 - 6x}$

c) $f(x) = \dfrac{6}{\sqrt{15 - 3x}}$

d) $f(x) = \dfrac{3x + 2}{\sqrt{x + 7}}$

e) $f(x) = \sqrt{x + 6} + \dfrac{1}{\sqrt{2x - 8}}$

f) $f(x) = \dfrac{2x - 5}{\sqrt{9 - x}} - \sqrt{x + 3}$

Zadanie 5 (3 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$, jeśli:

a) $f(x) = \dfrac{\sqrt{6+2x}}{5x} + \dfrac{1}{\sqrt{7-x}}$

b) $f(x) = \dfrac{\sqrt{3x-6}}{\sqrt{9-x}} - \dfrac{2}{x+1}$

c) $f(x) = \dfrac{2x}{(3x-12)(2x+6)} + \sqrt{5-2x}$

d) $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x-2}} + \dfrac{x-1}{x^2-8x+16}$

e) $f(x) = \dfrac{\sqrt{8-x}}{\sqrt{4x-12}} - \sqrt{10-2x}$

f) $f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2+4x+4}}{x^2-9} - \dfrac{x^2+3}{\sqrt{5-2x}}$

3.3 Dziedzina funkcji liczbowej

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Zadanie 2 (3 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (3 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋