| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Wyznacz równanie prostej, która przechodzi przez punkty $A(2, -1)$ i $B(5, 8)$. | Wskazówki:
- Postać kierunkowa prostej to $y = ax + b$, gdzie $a$ oznacza współczynnik kierunkowy, a $b$ to wyraz wolny (punkt przecięcia prostej z osią $OY$).
- Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty $A(x_A, y_A)$ oraz $B(x_B, y_B)$ można obliczyć bezpośrednio ze wzoru: $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
- Po wyznaczeniu współczynnika $a$, wyraz wolny $b$ można obliczyć, podstawiając współrzędne dowolnego z punktów ($A$ lub $B$) do równania $y = ax + b$.
- Alternatywnie (Sposób II) możesz podstawić współrzędne obu punktów do postaci ogólnej $y = ax + b$ i rozwiązać układ dwóch równań liniowych z niewiadomymi $a$ i $b$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
Wypisujemy współrzędne danych punktów:
$$A(x_A, y_A) = (2, -1), \quad B(x_B, y_B) = (5, 8)$$
Szukamy prostej w postaci kierunkowej:
$$y = ax + b$$
|
$y = 3x - 7$ |
| 2 | Wyznacz równanie prostej, która jest równoległa do prostej $y = -3x + 11$ i przechodzi przez punkt $A(6, -10)$. | Wskazówki:
• Proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe ($a_1 = a_2$).
• Odczytaj współczynnik $a = -3$ z równania prostej wyjściowej.
• Podstaw współrzędne punktu $A(6, -10)$ do równania $y = -3x + b$, aby obliczyć wyraz wolny $b$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Określenie współczynnika kierunkowego:
Prosta równoległa do prostej o równaniu $y = -3x + 11$ ma identyczny współczynnik kierunkowy:
$$\begin{aligned}
a &= -3
\end{aligned}$$
2. Wyznaczenie wyrazu wolnego $b$:
Szukana prosta ma postać $y = -3x + b$. Podstawiamy współrzędne punktu $A(6, -10)$:
$$\begin{aligned}
-10 &= -3 \cdot 6 + b \\[6pt]
-10 &= -18 + b \\[6pt]
b &= -10 + 18 = 8
\end{aligned}$$
|
$y = -3x + 8$ |
| 3 | Wyznacz równanie prostej, która jest prostopadła do prostej $y = -3x + 11$ i przechodzi przez punkt $A(6, -10)$. | Wskazówki:
• Warunek prostopadłości dwóch prostych o współczynnikach $a_1$ i $a_2$ wyraża się zależnością $a_1 \cdot a_2 = -1$.
• Oblicz współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej: $a_2 = -\frac{1}{a_1}$.
• Podstaw współrzędne punktu $A(6, -10)$ do równania $y = \frac{1}{3}x + b$, aby wyznaczyć wyraz wolny $b$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej:
Dla prostej $y = -3x + 11$ mamy $a_1 = -3$. Korzystamy z warunku prostopadłości:
$$\begin{aligned}
a_1 \cdot a_2 &= -1 \\[6pt]
-3 \cdot a_2 &= -1 \implies a_2 = \frac{1}{3}
\end{aligned}$$
2. Obliczenie wyrazu wolnego $b$:
Równanie prostej przyjmuje postać $y = \frac{1}{3}x + b$. Podstawiamy $x = 6$ oraz $y = -10$:
$$\begin{aligned}
-10 &= \frac{1}{3} \cdot 6 + b \\[6pt]
-10 &= 2 + b \\[6pt]
b &= -10 - 2 = -12
\end{aligned}$$
|
$y = \frac{1}{3}x - 12$ |
| 4 | Wyznacz równanie prostej, która jest nachylona do osi $OX$ pod kątem $60^\circ$ i przechodzi przez punkt $A(2\sqrt{3}, 7)$. | Wskazówki:
• Współczynnik kierunkowy prostej $a$ jest równy tangensowi kąta nachylenia do osi $OX$: $a = \operatorname{tg} \alpha$.
• Odczytaj wartość $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$.
• Podstaw współrzędne punktu $A(2\sqrt{3}, 7)$ do równania kierunkowego, aby wyznaczyć $b$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Obliczenie współczynnika kierunkowego $a$:
Korzystamy ze związku współczynnika kierunkowego z kątem nachylenia:
$$\begin{aligned}
a &= \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}
\end{aligned}$$
2. Wyznaczenie wyrazu wolnego $b$:
Podstawiamy $a = \sqrt{3}$ oraz współrzędne punktu $A(2\sqrt{3}, 7)$ do postaci $y = ax + b$:
$$\begin{aligned}
7 &= \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + b \\[6pt]
7 &= 2 \cdot 3 + b \\[6pt]
7 &= 6 + b \\[6pt]
b &= 1
\end{aligned}$$
|
$y = \sqrt{3}x + 1$ |
| 5 | Wyznacz współrzędne punktu $A$ w którym przecinają się proste o równaniach $y = -3x + 5$ i $y = 2x + 15$. | Wskazówki:
• Punkt przecięcia prostych otrzymasz, rozwiązując układ równań liniowych.
• Przyrównaj prawe strony równań: $-3x + 5 = 2x + 15$.
• Po wyliczeniu $x$, podstaw wartość do dowolnego z równań, aby otrzymać rzędną $y$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Przyrównanie równań prostych:
Wyznaczamy odciętą punktu przecięcia:
$$\begin{aligned}
-3x + 5 &= 2x + 15 \\[6pt]
-3x - 2x &= 15 - 5 \\[6pt]
-5x &= 10 \\[6pt]
x &= -2
\end{aligned}$$
2. Obliczenie współrzędnej $y$:
Podstawiamy $x = -2$ do równania $y = 2x + 15$:
$$\begin{aligned}
y &= 2 \cdot (-2) + 15 \\[6pt]
&= -4 + 15 = 11
\end{aligned}$$
|
$A(-2, 11)$ |
| 6 | Dla jakich wartości $m$ proste o równaniach $y = mx - 3$ i $y = -2x + m$ przecinają się w punkcie $A$ o obu współrzędnych dodatnich? | Wskazówki:
• Wyznacz współrzędne punktu przecięcia $(x, y)$ w zależności od parametru $m$, zakładając $m \neq -2$.
• Zbuduj układ warunków $x > 0$ oraz $y > 0$.
• Rozwiąż nierówności wymierne i wyznacz część wspólną otrzymanych przedziałów.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia:
Przyrównujemy prawe strony równań prostych dla $m \neq -2$:
$$\begin{aligned}
mx - 3 &= -2x + m \\[6pt]
(m + 2)x &= m + 3 \\[6pt]
x &= \frac{m + 3}{m + 2}
\end{aligned}$$
Podstawiamy $x$ do drugiego równania, aby wyznaczyć $y$:
$$\begin{aligned}
y &= -2 \cdot \frac{m + 3}{m + 2} + m \\[6pt]
&= \frac{-2m - 6 + m(m + 2)}{m + 2} = \frac{m^2 - 6}{m + 2}
\end{aligned}$$
2. Rozwiązanie układu nierówności $x > 0$ i $y > 0$:
• Warunek $x > 0$:
$$\begin{aligned}
\frac{m + 3}{m + 2} > 0 \iff (m + 3)(m + 2) > 0 \implies m \in (-\infty, -3) \cup (-2, \infty)
\end{aligned}$$
• Warunek $y > 0$:
$$\begin{aligned}
\frac{m^2 - 6}{m + 2} > 0 \iff (m - \sqrt{6})(m + \sqrt{6})(m + 2) > 0 \implies m \in (-\sqrt{6}, -2) \cup (\sqrt{6}, \infty)
\end{aligned}$$
|
$m \in (\sqrt{6}, \infty)$ |
| 7 | Oblicz długość odcinka $AB$, jeśli $A(3, -4)$ a $B(-2, 8)$. | Wskazówki:
• Zastosuj wzór na odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
• Uważaj na znaki minus przy odejmowaniu ujemnych współrzędnych.
• Zsumuj kwadraty różnic współrzędnych i spierwiastkuj wynik.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zastosowanie wzoru na długość odcinka:
Podstawiamy współrzędne $A(3, -4)$ oraz $B(-2, 8)$ do wzoru metrycznego:
$$\begin{aligned}
|AB| &= \sqrt{(-2 - 3)^2 + [8 - (-4)]^2} \\[6pt]
&= \sqrt{(-5)^2 + (8 + 4)^2} \\[6pt]
&= \sqrt{(-5)^2 + 12^2}
\end{aligned}$$
2. Obliczenie wartości pod pierwiastkiem:
Podnosimy różnice do kwadratu i wyciągamy pierwiastek:
$$\begin{aligned}
|AB| &= \sqrt{25 + 144} \\[6pt]
&= \sqrt{169} = 13
\end{aligned}$$
|
$|AB| = 13$ |
| 8 | Dla jakich wartości $x$ długość odcinka $AB$, gdzie $A(x, 2x - 3)$ oraz $B(5, 1)$, jest równa $\sqrt{17}$? | Wskazówki:
• Zastosuj wzór na długość odcinka i podnieś równanie obustronnie do kwadratu: $|AB|^2 = 17$.
• Rozwiń kwadraty różnic za pomocą wzorów skróconego mnożenia.
• Rozwiąż otrzymane równanie kwadratowe $5x^2 - 26x + 24 = 0$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zapisanie i przekształcenie równania długości:
Podstawiamy współrzędne do wzoru na kwadrat długości odcinka:
$$\begin{aligned}
(5 - x)^2 + [1 - (2x - 3)]^2 &= (\sqrt{17})^2 \\[6pt]
(5 - x)^2 + (4 - 2x)^2 &= 17
\end{aligned}$$
2. Rozwinięcie wyrażeń algebraicznych i redukcja:
Stosujemy wzory skróconego mnożenia:
$$\begin{aligned}
(25 - 10x + x^2) + (16 - 16x + 4x^2) &= 17 \\[6pt]
5x^2 - 26x + 41 &= 17 \\[6pt]
5x^2 - 26x + 24 &= 0
\end{aligned}$$
3. Rozwiązanie równania kwadratowego:
Obliczamy wyróżnik $\Delta$ oraz pierwiastki równania:
$$\begin{aligned}
\Delta &= (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 24 \\[6pt]
&= 676 - 480 = 196 \\[6pt]
\sqrt{\Delta} &= 14 \\[6pt]
x_1 &= \frac{26 - 14}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} \\[6pt]
x_2 &= \frac{26 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4
\end{aligned}$$
|
$x = \frac{6}{5}$ lub $x = 4$ |
| 9 | Na prostej $y = 2x + 3$ znajdź takie punkty, których odległość od punktu $A(4, 1)$ jest równa $5$. | Wskazówki:
• Zapisz współrzędne dowolnego punktu leżącego na danej prostej jako $P(x, 2x + 3)$.
• Zastosuj wzór na odległość punktu $P$ od punktu $A(4, 1)$ i przyrównaj go do $5$.
• Rozwiąż powstałe równanie kwadratowe i wyznacz obie współrzędne dla każdego ze znalezionych punktów.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Ułożenie równania odległości:
Punkt leżący na prostej ma współrzędne $P(x, 2x + 3)$. Korzystamy ze wzoru na odległość $|PA| = 5$:
$$\begin{aligned}
(4 - x)^2 + [1 - (2x + 3)]^2 &= 5^2 \\[6pt]
(4 - x)^2 + (-2x - 2)^2 &= 25
\end{aligned}$$
2. Rozwinięcie potęg i wyznaczenie $x$:
Rozwijamy kwadraty sumy i różnicy:
$$\begin{aligned}
(16 - 8x + x^2) + (4x^2 + 8x + 4) &= 25 \\[6pt]
5x^2 + 20 &= 25 \\[6pt]
5x^2 &= 5 \\[6pt]
x^2 &= 1 \implies x = 1 \quad \text{lub} \quad x = -1
\end{aligned}$$
|
$P_1(1, 5)$, $P_2(-1, 1)$ |
| 10 | Wyznacz współrzędne środka odcinka $AB$, gdzie $A(3, 2)$ i $B(-7, 16)$. | Wskazówki:
• Współrzędne środka odcinka $S(x_S, y_S)$ są średnimi arytmetycznymi współrzędnych jego końców.
• Zastosuj wzory: $x_S = \frac{x_A + x_B}{2}$ oraz $y_S = \frac{y_A + y_B}{2}$.
• Oblicz osobno każdą współrzędną.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Obliczenie odciętej środka $x_S$:
Podstawiamy współrzędne punktów $A(3, 2)$ oraz $B(-7, 16)$:
$$\begin{aligned}
x_S &= \frac{x_A + x_B}{2} \\[6pt]
&= \frac{3 + (-7)}{2} = \frac{-4}{2} = -2
\end{aligned}$$
2. Obliczenie rzędnej środka $y_S$:
Wyliczamy średnią arytmetyczną rzędnych:
$$\begin{aligned}
y_S &= \frac{y_A + y_B}{2} \\[6pt]
&= \frac{2 + 16}{2} = \frac{18}{2} = 9
\end{aligned}$$
|
$S(-2, 9)$ |
| 11 | Wyznacz równanie symetralnej odcinka $AB$, gdzie $A(-1, 5)$ oraz $B(5, -7)$. | Wskazówki:
• Symetralna odcinka to prosta prostopadła do niego, która przechodzi przez jego środek $S$.
• Wyznacz współrzędne środka $S$ odcinka $AB$ ze wzorów na średnią arytmetyczną.
• Oblicz współczynnik kierunkowy prostej $AB$, a następnie współczynnik symetralnej z warunku $a \cdot a_\perp = -1$.
• Podstaw współrzędne środka $S$ do równania kierunkowego symetralnej, aby wyznaczyć $b$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka $S$:
Obliczamy współrzędne punktu $S$:
$$\begin{aligned}
x_S &= \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\[6pt]
y_S &= \frac{5 + (-7)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \implies S(2, -1)
\end{aligned}$$
2. Współczynnik kierunkowy odcinka i symetralnej:
Wyznaczamy nachylenie prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$:
$$\begin{aligned}
a_{AB} &= \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-7 - 5}{5 - (-1)} = \frac{-12}{6} = -2
\end{aligned}$$
Z warunku prostopadłości obliczamy współczynnik kierunkowy symetralnej:
$$\begin{aligned}
a_{AB} \cdot a_\perp &= -1 \\[6pt]
-2 \cdot a_\perp &= -1 \implies a_\perp = \frac{1}{2}
\end{aligned}$$
3. Wyznaczenie równania symetralnej:
Symetralna ma postać $y = \frac{1}{2}x + b$ i przechodzi przez punkt $S(2, -1)$:
$$\begin{aligned}
-1 &= \frac{1}{2} \cdot 2 + b \\[6pt]
-1 &= 1 + b \\[6pt]
b &= -2
\end{aligned}$$
|
$y = \frac{1}{2}x - 2$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Wyznacz równanie prostej, która przechodzi przez punkty $A(-2, 5)$ i $B(4, -7)$. | Sposób 1: Układ równań. Równanie prostej ma postać: $$ y = ax + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu A: $$ 5 = a \cdot (-2) + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu B: $$ -7 = a \cdot 4 + b $$ Tworzymy układ równań: $$ \begin{cases} -2a + b = 5 \\ 4a + b = -7 \end{cases} $$ Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego stronami: $$ 4a - (-2a) = -7 - 5 $$ $$ 6a = -12 $$ $$ a = -2 $$ Podstawiamy obliczone a do pierwszego równania: $$ -2 \cdot (-2) + b = 5 $$ $$ 4 + b = 5 $$ $$ b = 1 $$ Otrzymujemy równanie prostej: $$ y = -2x + 1 $$ Sposób 2: Wzór na współczynnik kierunkowy. Korzystamy ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty: $$ a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} $$ Podstawiamy współrzędne punktów A i B: $$ a = \frac{-7 - 5}{4 - (-2)} $$ $$ a = \frac{-12}{6} $$ $$ a = -2 $$ Podstawiamy obliczone a oraz współrzędne punktu A do równania kierunkowego prostej: $$ y = ax + b $$ $$ 5 = -2 \cdot (-2) + b $$ $$ 5 = 4 + b $$ $$ b = 1 $$ Otrzymujemy równanie prostej: $$ y = -2x + 1 $$ | $$ y = -2x + 1 $$ |
| 2 | Wyznacz równanie prostej, która jest równoległa do prostej $y = -2x + 5$ i przechodzi przez punkt $A(4, -7)$. | Proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy $a$. Dla prostej $y = -2x + 5$ współczynnik $a = -2$. Szukana prosta ma postać: $$ y = -2x + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu $A(4, -7)$: $$ -7 = -2 \cdot 4 + b $$ $$ -7 = -8 + b $$ $$ b = -7 + 8 $$ $$ b = 1 $$ Zapisujemy równanie szukanej prostej: $$ y = -2x + 1 $$ | $y = -2x + 1$ |
| 3 | Wyznacz równanie prostej, która jest prostopadła do prostej $y = -2x + 7$ i przechodzi przez punkt $A(4, -5)$. | Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$ ($a_1 \cdot a_2 = -1$). Dla prostej $y = -2x + 7$ współczynnik $a_1 = -2$. Obliczamy współczynnik kierunkowy szukanej prostej ($a_2$): $$ -2 \cdot a_2 = -1 $$ $$ a_2 = \frac{1}{2} $$ Szukana prosta ma postać: $$ y = \frac{1}{2}x + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu $A(4, -5)$: $$ -5 = \frac{1}{2} \cdot 4 + b $$ $$ -5 = 2 + b $$ $$ b = -7 $$ Zapisujemy równanie szukanej prostej: $$ y = \frac{1}{2}x - 7 $$ | $y = \frac{1}{2}x - 7$ |
| 4 | Wyznacz równanie prostej, która jest nachylona do osi $OX$ pod kątem $30^\circ$ i przechodzi przez punkt $A(3\sqrt{3}, 5)$. | Współczynnik kierunkowy prostej $a$ jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi $OX$. $$ a = \tan(30^\circ) $$ $$ a = \frac{\sqrt{3}}{3} $$ Szukana prosta ma postać: $$ y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu $A(3\sqrt{3}, 5)$: $$ 5 = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3\sqrt{3} + b $$ $$ 5 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + b $$ $$ 5 = 3 + b $$ $$ b = 2 $$ Zapisujemy równanie szukanej prostej: $$ y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 2 $$ | $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 2$ |
| 5 | Wyznacz współrzędne punktu $A$ w którym przecinają się proste o równaniach $y = -2x + 8$ i $y = 3x - 7$. | Aby znaleźć punkt przecięcia, przyrównujemy do siebie prawe strony równań obu prostych: $$ -2x + 8 = 3x - 7 $$ Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą: $$ -2x - 3x = -7 - 8 $$ $$ -5x = -15 $$ Dzielimy obustronnie przez $-5$: $$ x = 3 $$ Podstawiamy obliczone $x$ do dowolnego z równań, np. do pierwszego: $$ y = -2 \cdot 3 + 8 $$ $$ y = -6 + 8 $$ $$ y = 2 $$ Współrzędne punktu przecięcia to: $$ A(3, 2) $$ | $A(3, 2)$ |
| 6 | Dla jakich wartości $m$ proste o równaniach $y = mx - 4$ i $y = -3x + m$ przecinają się w punkcie $A$ o obu współrzędnych dodatnich? | Przyrównujemy równania prostych, aby wyznaczyć współrzędną $x$ punktu przecięcia: $$ mx - 4 = -3x + m $$ Przenosimy wyrażenia z $x$ na lewą stronę: $$ mx + 3x = m + 4 $$ Wyłączamy $x$ przed nawias: $$ x(m + 3) = m + 4 $$ Zakładamy, że $m \neq -3$. Dzielimy przez $(m + 3)$: $$ x = \frac{m + 4}{m + 3} $$ Podstawiamy $x$ do drugiego równania, aby wyznaczyć $y$: $$ y = -3 \cdot \frac{m + 4}{m + 3} + m $$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika: $$ y = \frac{-3m - 12}{m + 3} + \frac{m(m + 3)}{m + 3} $$ $$ y = \frac{-3m - 12 + m^2 + 3m}{m + 3} $$ $$ y = \frac{m^2 - 12}{m + 3} $$ Obie współrzędne mają być dodatnie. Tworzymy układ nierówności: $$ \begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases} $$ Rozwiązujemy pierwszą nierówność: $$ \frac{m + 4}{m + 3} > 0 $$ $$ (m + 4)(m + 3) > 0 $$ Miejsca zerowe to $m = -4$ i $m = -3$. Ramiona paraboli w górę: $$ m \in (-\infty, -4) \cup (-3, \infty) $$ Rozwiązujemy drugą nierówność: $$ \frac{m^2 - 12}{m + 3} > 0 $$ $$ (m^2 - 12)(m + 3) > 0 $$ $$ (m - \sqrt{12})(m + \sqrt{12})(m + 3) > 0 $$ $$ (m - 2\sqrt{3})(m + 2\sqrt{3})(m + 3) > 0 $$ Miejsca zerowe to $m = -2\sqrt{3}$, $m = -3$, $m = 2\sqrt{3}$. Rysujemy wężyk od prawej od góry: $$ m \in (-2\sqrt{3}, -3) \cup (2\sqrt{3}, \infty) $$ Szukamy części wspólnej obu warunków. Zauważmy, że $-2\sqrt{3} \approx -3.46$, więc przedział $(-2\sqrt{3}, -3)$ zawiera się w $(-4, -3)$, który jest wykluczony przez pierwszy warunek. Częścią wspólną jest zatem: $$ m \in (2\sqrt{3}, \infty) $$ | $m \in (2\sqrt{3}, \infty)$ |
| 7 | Oblicz długość odcinka $AB$, jeśli $A(2, -3)$ a $B(-4, 5)$. | Korzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych: $$ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$ Podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $B$: $$ |AB| = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (5 - (-3))^2} $$ Obliczamy wartości w nawiasach: $$ |AB| = \sqrt{(-6)^2 + (5 + 3)^2} $$ $$ |AB| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} $$ Podnosimy do kwadratu: $$ |AB| = \sqrt{36 + 64} $$ Dodajemy: $$ |AB| = \sqrt{100} $$ Pierwiastkujemy: $$ |AB| = 10 $$ | $|AB| = 10$ |
| 8 | Dla jakich wartości $x$ długość odcinka $AB$, gdzie $A(x, 2x - 1)$ oraz $B(4, 2)$, jest równa $\sqrt{10}$? | Korzystamy ze wzoru na długość odcinka: $$ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$ Podstawiamy dane z zadania: $$ \sqrt{(4 - x)^2 + (2 - (2x - 1))^2} = \sqrt{10} $$ Podnosimy obie strony do kwadratu: $$ (4 - x)^2 + (2 - 2x + 1)^2 = 10 $$ $$ (4 - x)^2 + (3 - 2x)^2 = 10 $$ Stosujemy wzory skróconego mnożenia: $$ 16 - 8x + x^2 + 9 - 12x + 4x^2 = 10 $$ Redukujemy wyrazy podobne: $$ 5x^2 - 20x + 25 = 10 $$ Przenosimy wszystko na lewą stronę: $$ 5x^2 - 20x + 15 = 0 $$ Dzielimy równanie obustronnie przez $5$: $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę): $$ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 $$ $$ \Delta = 16 - 12 = 4 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 2 $$ Obliczamy pierwiastki równania: $$ x_1 = \frac{4 - 2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{4 + 2}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 $$ | $x = 1$ lub $x = 3$ |
| 9 | Na prostej $y = 2x + 1$ znajdź takie punkty, których odległość od punktu $A(3, 2)$ jest równa $5$. | Niech szukany punkt ma współrzędne $P(x, y)$. Skoro punkt leży na prostej $y = 2x + 1$, to jego współrzędne możemy zapisać jako $P(x, 2x + 1)$. Odległość punktu $P$ od punktu $A(3, 2)$ wynosi $5$. Korzystamy ze wzoru na długość odcinka: $$ |PA| = \sqrt{(3 - x)^2 + (2 - (2x + 1))^2} $$ Podstawiamy $|PA| = 5$: $$ 5 = \sqrt{(3 - x)^2 + (2 - 2x - 1)^2} $$ $$ 5 = \sqrt{(3 - x)^2 + (1 - 2x)^2} $$ Podnosimy obie strony do kwadratu: $$ 25 = (3 - x)^2 + (1 - 2x)^2 $$ Stosujemy wzory skróconego mnożenia: $$ 25 = 9 - 6x + x^2 + 1 - 4x + 4x^2 $$ Redukujemy wyrazy podobne: $$ 25 = 5x^2 - 10x + 10 $$ Przenosimy $25$ na prawą stronę: $$ 5x^2 - 10x - 15 = 0 $$ Dzielimy równanie przez $5$: $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ Obliczamy deltę: $$ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 4 $$ Rozdzielamy na dwa przypadki: $$ x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1 $$ $$ x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 $$ Dla $x = -1$ obliczamy drugą współrzędną: $$ y = 2 \cdot (-1) + 1 = -1 $$ Otrzymujemy punkt $P_1(-1, -1)$. Dla $x = 3$ obliczamy drugą współrzędną: $$ y = 2 \cdot 3 + 1 = 7 $$ Otrzymujemy punkt $P_2(3, 7)$. | $P_1(-1, -1)$, $P_2(3, 7)$ |
| 10 | Wyznacz współrzędne środka odcinka $AB$, gdzie $A(5, -4)$ i $B(-1, 12)$. | Współrzędne środka $S(x_S, y_S)$ odcinka $AB$ obliczamy ze wzorów: $$ x_S = \frac{x_A + x_B}{2} $$ $$ y_S = \frac{y_A + y_B}{2} $$ Podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $B$: $$ x_S = \frac{5 + (-1)}{2} $$ $$ x_S = \frac{4}{2} $$ $$ x_S = 2 $$ Obliczamy drugą współrzędną: $$ y_S = \frac{-4 + 12}{2} $$ $$ y_S = \frac{8}{2} $$ $$ y_S = 4 $$ Współrzędne środka odcinka to: $$ S(2, 4) $$ | $S(2, 4)$ |
| 11 | Wyznacz równanie symetralnej odcinka $AB$, gdzie $A(-2, 4)$ oraz $B(6, -2)$. | Symetralna odcinka to prosta prostopadła do niego, przechodząca przez jego środek. Krok 1: Obliczamy współrzędne środka $S$ odcinka $AB$. $$ x_S = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ $$ y_S = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ Środek to $S(2, 1)$. Krok 2: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej $AB$. $$ a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} $$ $$ a = \frac{-2 - 4}{6 - (-2)} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} $$ Krok 3: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy symetralnej ($a_\perp$). Symetralna jest prostopadła, więc: $$ a \cdot a_\perp = -1 $$ $$ -\frac{3}{4} \cdot a_\perp = -1 $$ $$ a_\perp = \frac{4}{3} $$ Krok 4: Wyznaczamy równanie symetralnej przechodzącej przez punkt $S(2, 1)$. $$ y = a_\perp x + b $$ $$ 1 = \frac{4}{3} \cdot 2 + b $$ $$ 1 = \frac{8}{3} + b $$ $$ b = 1 - \frac{8}{3} = \frac{3}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{5}{3} $$ Równanie symetralnej to: $$ y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3} $$ | $y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Wyznacz równanie prostej, która przechodzi przez punkty $A(4, -3)$ i $B(-2, 9)$. | Sposób 1: Układ równań. Równanie prostej ma postać: $$ y = ax + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu A: $$ -3 = a \cdot 4 + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu B: $$ 9 = a \cdot (-2) + b $$ Tworzymy układ równań: $$ \begin{cases} 4a + b = -3 \\ -2a + b = 9 \end{cases} $$ Odejmujemy drugie równanie od pierwszego stronami: $$ 4a - (-2a) = -3 - 9 $$ $$ 6a = -12 $$ $$ a = -2 $$ Podstawiamy obliczone a do pierwszego równania: $$ 4 \cdot (-2) + b = -3 $$ $$ -8 + b = -3 $$ $$ b = 5 $$ Otrzymujemy równanie prostej: $$ y = -2x + 5 $$ Sposób 2: Wzór na współczynnik kierunkowy. Korzystamy ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty: $$ a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} $$ Podstawiamy współrzędne punktów A i B: $$ a = \frac{9 - (-3)}{-2 - 4} $$ $$ a = \frac{12}{-6} $$ $$ a = -2 $$ Podstawiamy obliczone a oraz współrzędne punktu A do równania kierunkowego prostej: $$ y = ax + b $$ $$ -3 = -2 \cdot 4 + b $$ $$ -3 = -8 + b $$ $$ b = 5 $$ Otrzymujemy równanie prostej: $$ y = -2x + 5 $$ | $$ y = -2x + 5 $$ |
| 2 | Wyznacz równanie prostej, która jest równoległa do prostej $y = 4x - 2$ i przechodzi przez punkt $A(-2, -5)$. | Proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy $a$. Dla prostej $y = 4x - 2$ współczynnik $a = 4$. Szukana prosta ma postać: $$ y = 4x + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu $A(-2, -5)$: $$ -5 = 4 \cdot (-2) + b $$ $$ -5 = -8 + b $$ $$ b = -5 + 8 $$ $$ b = 3 $$ Zapisujemy równanie szukanej prostej: $$ y = 4x + 3 $$ | $y = 4x + 3$ |
| 3 | Wyznacz równanie prostej, która jest prostopadła do prostej $y = 4x - 3$ i przechodzi przez punkt $A(8, 1)$. | Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$ ($a_1 \cdot a_2 = -1$). Dla prostej $y = 4x - 3$ współczynnik $a_1 = 4$. Obliczamy współczynnik kierunkowy szukanej prostej ($a_2$): $$ 4 \cdot a_2 = -1 $$ $$ a_2 = -\frac{1}{4} $$ Szukana prosta ma postać: $$ y = -\frac{1}{4}x + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu $A(8, 1)$: $$ 1 = -\frac{1}{4} \cdot 8 + b $$ $$ 1 = -2 + b $$ $$ b = 3 $$ Zapisujemy równanie szukanej prostej: $$ y = -\frac{1}{4}x + 3 $$ | $y = -\frac{1}{4}x + 3$ |
| 4 | Wyznacz równanie prostej, która jest nachylona do osi $OX$ pod kątem $45^\circ$ i przechodzi przez punkt $A(4, 9)$. | Współczynnik kierunkowy prostej $a$ jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi $OX$. $$ a = \tan(45^\circ) $$ $$ a = 1 $$ Szukana prosta ma postać: $$ y = 1x + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu $A(4, 9)$: $$ 9 = 1 \cdot 4 + b $$ $$ 9 = 4 + b $$ $$ b = 5 $$ Zapisujemy równanie szukanej prostej: $$ y = x + 5 $$ | $y = x + 5$ |
| 5 | Wyznacz współrzędne punktu $A$ w którym przecinają się proste o równaniach $y = 4x - 1$ i $y = -x + 14$. | Aby znaleźć punkt przecięcia, przyrównujemy do siebie prawe strony równań obu prostych: $$ 4x - 1 = -x + 14 $$ Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą: $$ 4x + x = 14 + 1 $$ $$ 5x = 15 $$ Dzielimy obustronnie przez $5$: $$ x = 3 $$ Podstawiamy obliczone $x$ do dowolnego z równań, np. do drugiego: $$ y = -3 + 14 $$ $$ y = 11 $$ Współrzędne punktu przecięcia to: $$ A(3, 11) $$ | $A(3, 11)$ |
| 6 | Dla jakich wartości $m$ proste o równaniach $y = mx - 2$ i $y = -x + m$ przecinają się w punkcie $A$ o obu współrzędnych dodatnich? | Przyrównujemy równania prostych, aby wyznaczyć współrzędną $x$ punktu przecięcia: $$ mx - 2 = -x + m $$ Przenosimy wyrażenia z $x$ na lewą stronę: $$ mx + x = m + 2 $$ Wyłączamy $x$ przed nawias: $$ x(m + 1) = m + 2 $$ Zakładamy, że $m \neq -1$. Dzielimy przez $(m + 1)$: $$ x = \frac{m + 2}{m + 1} $$ Podstawiamy $x$ do drugiego równania, aby wyznaczyć $y$: $$ y = -\frac{m + 2}{m + 1} + m $$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika: $$ y = \frac{-m - 2}{m + 1} + \frac{m(m + 1)}{m + 1} $$ $$ y = \frac{-m - 2 + m^2 + m}{m + 1} $$ $$ y = \frac{m^2 - 2}{m + 1} $$ Obie współrzędne mają być dodatnie. Tworzymy układ nierówności: $$ \begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases} $$ Rozwiązujemy pierwszą nierówność: $$ \frac{m + 2}{m + 1} > 0 $$ $$ (m + 2)(m + 1) > 0 $$ Miejsca zerowe to $m = -2$ i $m = -1$. Ramiona paraboli w górę: $$ m \in (-\infty, -2) \cup (-1, \infty) $$ Rozwiązujemy drugą nierówność: $$ \frac{m^2 - 2}{m + 1} > 0 $$ $$ (m^2 - 2)(m + 1) > 0 $$ $$ (m - \sqrt{2})(m + \sqrt{2})(m + 1) > 0 $$ Miejsca zerowe to $m = -\sqrt{2}$, $m = -1$, $m = \sqrt{2}$. Rysujemy wężyk od prawej od góry: $$ m \in (-\sqrt{2}, -1) \cup (\sqrt{2}, \infty) $$ Szukamy części wspólnej obu warunków. Zauważmy, że $-\sqrt{2} \approx -1.41$, więc przedział $(-\sqrt{2}, -1)$ zawiera się w $(-2, -1)$, który jest wykluczony przez pierwszy warunek. Częścią wspólną jest zatem: $$ m \in (\sqrt{2}, \infty) $$ | $m \in (\sqrt{2}, \infty)$ |
| 7 | Oblicz długość odcinka $AB$, jeśli $A(1, -2)$ a $B(-2, 2)$. | Korzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych: $$ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$ Podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $B$: $$ |AB| = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} $$ Obliczamy wartości w nawiasach: $$ |AB| = \sqrt{(-3)^2 + (2 + 2)^2} $$ $$ |AB| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} $$ Podnosimy do kwadratu: $$ |AB| = \sqrt{9 + 16} $$ Dodajemy: $$ |AB| = \sqrt{25} $$ Pierwiastkujemy: $$ |AB| = 5 $$ | $|AB| = 5$ |
| 8 | Dla jakich wartości $x$ długość odcinka $AB$, gdzie $A(x, 2x + 1)$ oraz $B(3, 2)$, jest równa $5$? | Korzystamy ze wzoru na długość odcinka: $$ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$ Podstawiamy dane z zadania: $$ \sqrt{(3 - x)^2 + (2 - (2x + 1))^2} = 5 $$ Podnosimy obie strony do kwadratu: $$ (3 - x)^2 + (2 - 2x - 1)^2 = 25 $$ $$ (3 - x)^2 + (1 - 2x)^2 = 25 $$ Stosujemy wzory skróconego mnożenia: $$ 9 - 6x + x^2 + 1 - 4x + 4x^2 = 25 $$ Redukujemy wyrazy podobne: $$ 5x^2 - 10x + 10 = 25 $$ Przenosimy wszystko na lewą stronę: $$ 5x^2 - 10x - 15 = 0 $$ Dzielimy równanie obustronnie przez $5$: $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę): $$ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) $$ $$ \Delta = 4 + 12 = 16 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 4 $$ Obliczamy pierwiastki równania: $$ x_1 = \frac{2 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 $$ $$ x_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 $$ | $x = -1$ lub $x = 3$ |
| 9 | Na prostej $y = 3x - 2$ znajdź takie punkty, których odległość od punktu $A(1, 1)$ jest równa $\sqrt{10}$. | Niech szukany punkt ma współrzędne $P(x, y)$. Skoro punkt leży na prostej $y = 3x - 2$, to jego współrzędne możemy zapisać jako $P(x, 3x - 2)$. Odległość punktu $P$ od punktu $A(1, 1)$ wynosi $\sqrt{10}$. Korzystamy ze wzoru na długość odcinka: $$ |PA| = \sqrt{(1 - x)^2 + (1 - (3x - 2))^2} $$ Podstawiamy $|PA| = \sqrt{10}$: $$ \sqrt{10} = \sqrt{(1 - x)^2 + (1 - 3x + 2)^2} $$ $$ \sqrt{10} = \sqrt{(1 - x)^2 + (3 - 3x)^2} $$ Podnosimy obie strony do kwadratu: $$ 10 = (1 - x)^2 + (3 - 3x)^2 $$ Stosujemy wzory skróconego mnożenia: $$ 10 = 1 - 2x + x^2 + 9 - 18x + 9x^2 $$ Redukujemy wyrazy podobne: $$ 10 = 10x^2 - 20x + 10 $$ Przenosimy $10$ na prawą stronę: $$ 10x^2 - 20x = 0 $$ Wyłączamy $10x$ przed nawias: $$ 10x(x - 2) = 0 $$ Rozdzielamy na dwa przypadki: $$ x = 0 \text{ lub } x = 2 $$ Dla $x = 0$ obliczamy drugą współrzędną: $$ y = 3 \cdot 0 - 2 = -2 $$ Otrzymujemy punkt $P_1(0, -2)$. Dla $x = 2$ obliczamy drugą współrzędną: $$ y = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4 $$ Otrzymujemy punkt $P_2(2, 4)$. | $P_1(0, -2)$, $P_2(2, 4)$ |
| 10 | Wyznacz współrzędne środka odcinka $AB$, gdzie $A(-3, 8)$ i $B(9, -2)$. | Współrzędne środka $S(x_S, y_S)$ odcinka $AB$ obliczamy ze wzorów: $$ x_S = \frac{x_A + x_B}{2} $$ $$ y_S = \frac{y_A + y_B}{2} $$ Podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $B$: $$ x_S = \frac{-3 + 9}{2} $$ $$ x_S = \frac{6}{2} $$ $$ x_S = 3 $$ Obliczamy drugą współrzędną: $$ y_S = \frac{8 + (-2)}{2} $$ $$ y_S = \frac{6}{2} $$ $$ y_S = 3 $$ Współrzędne środka odcinka to: $$ S(3, 3) $$ | $S(3, 3)$ |
| 11 | Wyznacz równanie symetralnej odcinka $AB$, gdzie $A(1, 7)$ oraz $B(5, -1)$. | Symetralna odcinka to prosta prostopadła do niego, przechodząca przez jego środek. Krok 1: Obliczamy współrzędne środka $S$ odcinka $AB$. $$ x_S = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$ $$ y_S = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$ Środek to $S(3, 3)$. Krok 2: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej $AB$. $$ a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} $$ $$ a = \frac{-1 - 7}{5 - 1} = \frac{-8}{4} = -2 $$ Krok 3: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy symetralnej ($a_\perp$). Symetralna jest prostopadła, więc: $$ a \cdot a_\perp = -1 $$ $$ -2 \cdot a_\perp = -1 $$ $$ a_\perp = \frac{1}{2} $$ Krok 4: Wyznaczamy równanie symetralnej przechodzącej przez punkt $S(3, 3)$. $$ y = a_\perp x + b $$ $$ 3 = \frac{1}{2} \cdot 3 + b $$ $$ 3 = \frac{3}{2} + b $$ $$ b = 3 - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} $$ Równanie symetralnej to: $$ y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} $$ | $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Wyznacz równanie prostej, która przechodzi przez punkty $A(-3, -4)$ i $B(1, 4)$. | Sposób 1: Układ równań. Równanie prostej ma postać: $$ y = ax + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu A: $$ -4 = a \cdot (-3) + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu B: $$ 4 = a \cdot 1 + b $$ Tworzymy układ równań: $$ \begin{cases} -3a + b = -4 \\ a + b = 4 \end{cases} $$ Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego stronami: $$ a - (-3a) = 4 - (-4) $$ $$ 4a = 8 $$ $$ a = 2 $$ Podstawiamy obliczone a do drugiego równania: $$ 2 + b = 4 $$ $$ b = 2 $$ Otrzymujemy równanie prostej: $$ y = 2x + 2 $$ Sposób 2: Wzór na współczynnik kierunkowy. Korzystamy ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty: $$ a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} $$ Podstawiamy współrzędne punktów A i B: $$ a = \frac{4 - (-4)}{1 - (-3)} $$ $$ a = \frac{8}{4} $$ $$ a = 2 $$ Podstawiamy obliczone a oraz współrzędne punktu A do równania kierunkowego prostej: $$ y = ax + b $$ $$ -4 = 2 \cdot (-3) + b $$ $$ -4 = -6 + b $$ $$ b = 2 $$ Otrzymujemy równanie prostej: $$ y = 2x + 2 $$ | $$ y = 2x + 2 $$ |
| 2 | Wyznacz równanie prostej, która jest równoległa do prostej $y = 5x + 1$ i przechodzi przez punkt $A(3, 10)$. | Proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy $a$. Dla prostej $y = 5x + 1$ współczynnik $a = 5$. Szukana prosta ma postać: $$ y = 5x + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu $A(3, 10)$: $$ 10 = 5 \cdot 3 + b $$ $$ 10 = 15 + b $$ $$ b = 10 - 15 $$ $$ b = -5 $$ Zapisujemy równanie szukanej prostej: $$ y = 5x - 5 $$ | $y = 5x - 5$ |
| 3 | Wyznacz równanie prostej, która jest prostopadła do prostej $y = \frac{1}{3}x + 2$ i przechodzi przez punkt $A(-2, 5)$. | Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$ ($a_1 \cdot a_2 = -1$). Dla prostej $y = \frac{1}{3}x + 2$ współczynnik $a_1 = \frac{1}{3}$. Obliczamy współczynnik kierunkowy szukanej prostej ($a_2$): $$ \frac{1}{3} \cdot a_2 = -1 $$ $$ a_2 = -3 $$ Szukana prosta ma postać: $$ y = -3x + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu $A(-2, 5)$: $$ 5 = -3 \cdot (-2) + b $$ $$ 5 = 6 + b $$ $$ b = -1 $$ Zapisujemy równanie szukanej prostej: $$ y = -3x - 1 $$ | $y = -3x - 1$ |
| 4 | Wyznacz równanie prostej, która jest nachylona do osi $OX$ pod kątem $135^\circ$ i przechodzi przez punkt $A(-2, 6)$. | Współczynnik kierunkowy prostej $a$ jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi $OX$. $$ a = \tan(135^\circ) $$ $$ a = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1 $$ Szukana prosta ma postać: $$ y = -1x + b $$ Podstawiamy współrzędne punktu $A(-2, 6)$: $$ 6 = -1 \cdot (-2) + b $$ $$ 6 = 2 + b $$ $$ b = 4 $$ Zapisujemy równanie szukanej prostej: $$ y = -x + 4 $$ | $y = -x + 4$ |
| 5 | Wyznacz współrzędne punktu $A$ w którym przecinają się proste o równaniach $y = -5x + 2$ i $y = 2x - 12$. | Aby znaleźć punkt przecięcia, przyrównujemy do siebie prawe strony równań obu prostych: $$ -5x + 2 = 2x - 12 $$ Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą: $$ -5x - 2x = -12 - 2 $$ $$ -7x = -14 $$ Dzielimy obustronnie przez $-7$: $$ x = 2 $$ Podstawiamy obliczone $x$ do dowolnego z równań, np. do drugiego: $$ y = 2 \cdot 2 - 12 $$ $$ y = 4 - 12 $$ $$ y = -8 $$ Współrzędne punktu przecięcia to: $$ A(2, -8) $$ | $A(2, -8)$ |
| 6 | Dla jakich wartości $m$ proste o równaniach $y = mx - 5$ i $y = -4x + m$ przecinają się w punkcie $A$ o obu współrzędnych dodatnich? | Przyrównujemy równania prostych, aby wyznaczyć współrzędną $x$ punktu przecięcia: $$ mx - 5 = -4x + m $$ Przenosimy wyrażenia z $x$ na lewą stronę: $$ mx + 4x = m + 5 $$ Wyłączamy $x$ przed nawias: $$ x(m + 4) = m + 5 $$ Zakładamy, że $m \neq -4$. Dzielimy przez $(m + 4)$: $$ x = \frac{m + 5}{m + 4} $$ Podstawiamy $x$ do drugiego równania, aby wyznaczyć $y$: $$ y = -4 \cdot \frac{m + 5}{m + 4} + m $$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika: $$ y = \frac{-4m - 20}{m + 4} + \frac{m(m + 4)}{m + 4} $$ $$ y = \frac{-4m - 20 + m^2 + 4m}{m + 4} $$ $$ y = \frac{m^2 - 20}{m + 4} $$ Obie współrzędne mają być dodatnie. Tworzymy układ nierówności: $$ \begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases} $$ Rozwiązujemy pierwszą nierówność: $$ \frac{m + 5}{m + 4} > 0 $$ $$ (m + 5)(m + 4) > 0 $$ Miejsca zerowe to $m = -5$ i $m = -4$. Ramiona paraboli w górę: $$ m \in (-\infty, -5) \cup (-4, \infty) $$ Rozwiązujemy drugą nierówność: $$ \frac{m^2 - 20}{m + 4} > 0 $$ $$ (m^2 - 20)(m + 4) > 0 $$ $$ (m - \sqrt{20})(m + \sqrt{20})(m + 4) > 0 $$ $$ (m - 2\sqrt{5})(m + 2\sqrt{5})(m + 4) > 0 $$ Miejsca zerowe to $m = -2\sqrt{5}$, $m = -4$, $m = 2\sqrt{5}$. Rysujemy wężyk od prawej od góry: $$ m \in (-2\sqrt{5}, -4) \cup (2\sqrt{5}, \infty) $$ Szukamy części wspólnej obu warunków. Zauważmy, że $-2\sqrt{5} \approx -4.47$, więc przedział $(-2\sqrt{5}, -4)$ zawiera się w $(-5, -4)$, który jest wykluczony przez pierwszy warunek. Częścią wspólną jest zatem: $$ m \in (2\sqrt{5}, \infty) $$ | $m \in (2\sqrt{5}, \infty)$ |
| 7 | Oblicz długość odcinka $AB$, jeśli $A(5, -6)$ a $B(-3, 9)$. | Korzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych: $$ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$ Podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $B$: $$ |AB| = \sqrt{(-3 - 5)^2 + (9 - (-6))^2} $$ Obliczamy wartości w nawiasach: $$ |AB| = \sqrt{(-8)^2 + (9 + 6)^2} $$ $$ |AB| = \sqrt{(-8)^2 + 15^2} $$ Podnosimy do kwadratu: $$ |AB| = \sqrt{64 + 225} $$ Dodajemy: $$ |AB| = \sqrt{289} $$ Pierwiastkujemy: $$ |AB| = 17 $$ | $|AB| = 17$ |
| 8 | Dla jakich wartości $x$ długość odcinka $AB$, gdzie $A(x, 3x - 1)$ oraz $B(1, 2)$, jest równa $\sqrt{10}$? | Korzystamy ze wzoru na długość odcinka: $$ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$ Podstawiamy dane z zadania: $$ \sqrt{(1 - x)^2 + (2 - (3x - 1))^2} = \sqrt{10} $$ Podnosimy obie strony do kwadratu: $$ (1 - x)^2 + (2 - 3x + 1)^2 = 10 $$ $$ (1 - x)^2 + (3 - 3x)^2 = 10 $$ Stosujemy wzory skróconego mnożenia: $$ 1 - 2x + x^2 + 9 - 18x + 9x^2 = 10 $$ Redukujemy wyrazy podobne: $$ 10x^2 - 20x + 10 = 10 $$ Przenosimy wszystko na lewą stronę: $$ 10x^2 - 20x = 0 $$ Wyłączamy $10x$ przed nawias: $$ 10x(x - 2) = 0 $$ Rozdzielamy na dwa przypadki: $$ x = 0 \text{ lub } x = 2 $$ | $x = 0$ lub $x = 2$ |
| 9 | Na prostej $y = -2x + 8$ znajdź takie punkty, których odległość od punktu $A(1, 1)$ jest równa $5$. | Niech szukany punkt ma współrzędne $P(x, y)$. Skoro punkt leży na prostej $y = -2x + 8$, to jego współrzędne możemy zapisać jako $P(x, -2x + 8)$. Odległość punktu $P$ od punktu $A(1, 1)$ wynosi $5$. Korzystamy ze wzoru na długość odcinka: $$ |PA| = \sqrt{(1 - x)^2 + (1 - (-2x + 8))^2} $$ Podstawiamy $|PA| = 5$: $$ 5 = \sqrt{(1 - x)^2 + (1 + 2x - 8)^2} $$ $$ 5 = \sqrt{(1 - x)^2 + (2x - 7)^2} $$ Podnosimy obie strony do kwadratu: $$ 25 = (1 - x)^2 + (2x - 7)^2 $$ Stosujemy wzory skróconego mnożenia: $$ 25 = 1 - 2x + x^2 + 4x^2 - 28x + 49 $$ Redukujemy wyrazy podobne: $$ 25 = 5x^2 - 30x + 50 $$ Przenosimy $25$ na prawą stronę: $$ 5x^2 - 30x + 25 = 0 $$ Dzielimy równanie przez $5$: $$ x^2 - 6x + 5 = 0 $$ Obliczamy deltę: $$ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 4 $$ Rozdzielamy na dwa przypadki: $$ x_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5 $$ Dla $x = 1$ obliczamy drugą współrzędną: $$ y = -2 \cdot 1 + 8 = 6 $$ Otrzymujemy punkt $P_1(1, 6)$. Dla $x = 5$ obliczamy drugą współrzędną: $$ y = -2 \cdot 5 + 8 = -10 + 8 = -2 $$ Otrzymujemy punkt $P_2(5, -2)$. | $P_1(1, 6)$, $P_2(5, -2)$ |
| 10 | Wyznacz współrzędne środka odcinka $AB$, gdzie $A(4, 7)$ i $B(-8, -1)$. | Współrzędne środka $S(x_S, y_S)$ odcinka $AB$ obliczamy ze wzorów: $$ x_S = \frac{x_A + x_B}{2} $$ $$ y_S = \frac{y_A + y_B}{2} $$ Podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $B$: $$ x_S = \frac{4 + (-8)}{2} $$ $$ x_S = \frac{-4}{2} $$ $$ x_S = -2 $$ Obliczamy drugą współrzędną: $$ y_S = \frac{7 + (-1)}{2} $$ $$ y_S = \frac{6}{2} $$ $$ y_S = 3 $$ Współrzędne środka odcinka to: $$ S(-2, 3) $$ | $S(-2, 3)$ |
| 11 | Wyznacz równanie symetralnej odcinka $AB$, gdzie $A(-3, -1)$ oraz $B(3, 5)$. | Symetralna odcinka to prosta prostopadła do niego, przechodząca przez jego środek. Krok 1: Obliczamy współrzędne środka $S$ odcinka $AB$. $$ x_S = \frac{-3 + 3}{2} = \frac{0}{2} = 0 $$ $$ y_S = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ Środek to $S(0, 2)$. Krok 2: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej $AB$. $$ a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} $$ $$ a = \frac{5 - (-1)}{3 - (-3)} = \frac{6}{6} = 1 $$ Krok 3: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy symetralnej ($a_\perp$). Symetralna jest prostopadła, więc: $$ a \cdot a_\perp = -1 $$ $$ 1 \cdot a_\perp = -1 $$ $$ a_\perp = -1 $$ Krok 4: Wyznaczamy równanie symetralnej przechodzącej przez punkt $S(0, 2)$. $$ y = a_\perp x + b $$ $$ 2 = -1 \cdot 0 + b $$ $$ 2 = 0 + b $$ $$ b = 2 $$ Równanie symetralnej to: $$ y = -x + 2 $$ | $y = -x + 2$ |